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DISEOS EXPERIMENTALESDISEO POR BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS

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Estadstica e InformticaDiseos Experimentales Docente Mag. Fernando R. Arce Zuiga Trabajo de: Huane Alvarado Juan D.

FACULTAD DE CIENCIAS

ESTADSTICA E INFORMTICA

DISEOS EXPERIMENTALES

TEMA : DISEO DE BLOQUES INCOMPLETOS.

DOCENTE : Mag. FERNANDO R. ARCE ZIGA.

ALUMNO : HUANE ALVARADO Juan D.

Huaraz Abril del 2010


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INTRODUCCIN.

En la investigacin experimental, algunas veces no se pueden obtener todos los

datos planeados a observar debido a motivos inherentes al diseo o a que en la

construccin del mismo hay prdida de unidades experimentales, lo que conlleva a tener un

diseo no ortogonal. Este hecho no tiene consecuencias cuando el diseo experimental es

un completamente al azar, pero en el caso de los diseos de bloques y especficamente en el

diseo de bloques incompletos al azar no se cumplen algunas propiedades importantes

como el balanceamiento y esto conlleva a que cambia la estructura de bloques incompletos.


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BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS.

Segn Hinkelman y Kempthorne (1994), los diseos experimentales se encuentran

clasificados en un orden jerrquico de acuerdo al nmero de factores de control local o

bloqueo. Cuando los diseos tienen un factor extrao", se dice que son Diseos de Bloques

al Azar, los cuales de acuerdo a algunas caractersticas se clasifican en: Completos al Azar

(BCA), al Azar Generalizado (BAG), Incompletos al azar (BI). Estos ltimos se

caracterizan porque no todos los tratamientos pueden ser aplicados en cada bloque. Dentro

del tipo deBI, cabe resaltar los diseos deBloques Incompletos Balanceados, introducidos

por Yates en 1936.

Anlisis Estadstico.

Como es usual, suponemos que existe t tratamientos y b bloques. Se supone

adems, que se prueban k tratamientos en cada bloque, que cada tratamiento sucede r

veces en el diseo (o se repite r veces) y que hay un total de N= t.r = b.k observaciones.

Ms an, el nmero de veces que cada par de tratamientos ocurre en el mismo bloque es:

)1(

)1.(

t

kr

Se dice que el diseo es simtrico si t = b.

El parmetro debe ser un entero. Para deducir la relacin de , considrese

cualquier tratamiento, por ejemplo el 1.Como el tratamiento 1 ocurre en r bloques, y hay

otros k-1 tratamientos en cada uno de esos bloques, existen r.(k-1) observaciones en un

bloque que contiene al tratamiento 1. Estas r. (k-1) observaciones deben representar al resto

de los a-1 tratamientos veces. Por lo tanto, .(a-1) =r. (k-1).


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Modelo Estadstico.

El modelo Estadstico lineal, es como sigue:

ijjiij

Y

Donde:

)DNI(0,conv.a.unaesal,experimentError:

bloqueesimo-jdelEfecto:

totratamienesimo-idelEfecto:

a.v.esrespuesta,variablelaEs:Y

medioefectoelEs:

,...,3,2,1

,...,3,2,1

2

ij

j

i

ij

bj

ti

Los pasos a seguir para realizar el ANVA son como siguen:

1)iH

tiH

i

i

unalmenospara,0:

,...,3,2,1,0:

1

0

2) Nivel de significancia .

3) La funcin pivotal F con grados de libertad.

4) Se rechaza Ho, si Fe (del cuadro del anva) es mayor Fo.

5) Se halla:

Suma de cuadrados:

t

i

b

j

ijYT1 1

NTFC /2 , Dnde. N = tr

Suma de cuadrados del total:

t

i

b

j

ij FCYSCT1 1

2

La suma de cuadrado puede ser dividida en tres sumas de cuadrados, esta es como sigue:

SCT = SCTA + SCB + SCE

Donde:


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SCTA = Es la suma de cuadrados de los tratamientos ajustados.

t

Qk

SCTA

t

i

i

1

2

Donde:

b

j

jijii bjtiYnk

YQ1

.,...,3,2,1;,...,3,2,1

1

SCB = Es la suma de cuadrados de los bloques, y tienen b-1 g.l.

Donde:

t

i

ijj YY1

. es el total de los j-esimo bloque.

SCE = Es la suma de cuadrados del error.

SCBSCTASCTSCE , y tienen N-t-b+1 grados de libertad.

CUADRO DEL ANVA:

Fuente de

Variacin

Grados de

Libertad

Suma de

CuadradosCuadrados Medios Fe

Bloques b-1 SCB CMB=SCB/(b-1) CMB/CME

Tratamientos

Corregidost-1 SCTA

CMTA=SCTA/

(t-1)CMTA/CME

Error

ExperimentalN-t-b+1 SCE

CME=SCE/

(N-t-b+1)___

Total N-1 SCT ___ ___

6) Se realiza la decisin del caso segn el Fe obtenido.

b

j

jFC

k

YSCB

1

2

.


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EVALUACION DE LOS EFECTOS DE LOS BLOQUES.

En este caso no se puede usar el cuadro del ANVA anterior, porque las SCT se

dividi en SCTA+SCB+SCE, por el cual el cuadrado medio de los bloques no es el

correcto, esto implica que tenemos que ajustar o corregir los bloques y dejar los tratamiento

sin ajustar. Los cuadrados de los bloques corregidos, se obtiene fcilmente si el diseo es

simtrico, es decir t=b, esto es:

b

j

iijjj bjYnr

YQ1

.

* ,...,3,2,11

La suma de cuadrados de los bloques es:

b

Qr

SCBC

b

j

i

1

2* )(

La suma de cuadrados de los tratamientos es:

CUADRO DEL ANVA

Fuente deVariacion

Grados deLibertad

Suma deCuadrados

CuadradosMedios

Fe

Bloques

Corregidosb-1 SCBC

CMBC=SCBC/

(b-1)CMBC/CME

Tratamientos t-1 SCTrCMTr=SCTr/

(t-1)CMTr/CME

Error

ExperimentalN-t-b+1 SCE

CME=SCE/

(N-t-b+1)___

Total N-1 SCT ___ ___

0:

0:

1

0

J

J

H

H

t

i

i FCr

YSCTr

1

2


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Si el Fe es mayor que Fo, se rechaza Ho, en consecuencia, si hay diferencia significa entre

los bloques usados. En consecuencia se advierte que SCT SCTA+SCBC+SCE como

consecuencia de la no ortogonalidad entre los bloques y los tratamientos.

Si el factor bajo estudio corresponde a un modelo de efectos fijos, las pruebas

individuales de medias pueden ser tiles, si se emplean los contrastes ortogonales, estos

contrastes se basan en los totales de los tratamientos ajustados o corregidos, esto significa

las Qi en vez de los Yi.

t

i

i

t

i

ii

ct

Qck

SCC

1

2

2

1

)(

Donde:

ic Son los coeficientes del contraste, talque 0

1

t

i

ic

Otro mtodo de comparacin mltiple, para comparar las medias de tratamientos

corregidos, los estimadores mnimos cuadrados se obtienen de a siguiente manera.

t

kQt ii

^

El error estndar del tratamiento corregido es:

t

kCMES

Es recomendable trabajar con la prueba de rangos mltiples de Duncan, para los cuales se

siguen los pasos siguientes.

i) Se ordenan los^

it en forma ascendente.

ii) De la tabla estadstica de Duncan con los grados de libertad de CME, n y , se

obtienen.

SrRt t

Donde los trse obtienen de la tabla correspondiente de Duncan.


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iii) Se realizan las comparaciones.

Ejemplo:

Un ingeniero qumico cree que el tiempo de reaccin en un proceso qumico es

funcin del catalizador empleado. De hecho 4 catalizadores estn siendo investigados. El

procedimiento experimental consiste en seleccionar un lote de materia prima, cargar una

planta piloto, aplicar cada catalizador a ensayos separados de dicha planta y observar el

tiempo de reaccin. Debido a que las variaciones en los lotes de materia prima pueden

afectar el comportamiento del catalizador, el ingeniero decide controlar este factor por

medio de bloques. Sin embargo, cada lote es lo suficientemente grande para permitir el

ensayo de 3 catalizadores nicamente. Por lo tanto, es necesario utilizar un diseo

aleatoriazado por bloques incompletos. El diseo BIB, junto con las observaciones

recopiladas aparece en la siguiente tabla. Hacer un anva con un 95% de seguridad.

Tratamiento

(catalizador)

Bloque (Lote de Materia Prima)

yi.1 2 3 4

A 73 74 __ 71 218

B __ 75 67 72 214

C 73 75 68 __ 216

D 75 __ 72 75 222y.j 221 224 207 218 870

Solucin:

Considrense los datos de la Tabla para el experimento de los catalizadores. ste es

un diseo BIB con t = 4, b = 4, k = 3, r = 3, = 2 y N = 12.

iHiH

i

i

unalmenospara,0:4,3,2,1,0:

1

0

= 0.05

La funcin pivotal es una F con 3 y 5 grados de libertad.

Se rechaza Ho, si Fe (del cuadro del anva) es mayor Fo=5,41.


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Se halla:

870T

6307512/)870( 2 FC

8163075)75...7473(222

SCT

3)218224221(3

12181 Q

333.2)218207224(3

12142 Q

333.1)207224221(3

12163 Q

667.6)218207221(3

12224 Q

75.22)4(2

)667.6()333.1()333.2(3(3 2222

SCTA

25.35575.2281 SCE

CUADRO DEL ANVA:

Fuente de

Variacin

Grados de

Libertad

Suma de

Cuadrados

Cuadrados

MediosFe

Bloques 3 55 18.3333333 28.2051282

Tratamientos

Ajustados3 22.75 7.58333333 11.6666667

Error

Experimental5 3.25 0.65 ___

Total 11 81 ___ ___

55630753

218207224221( 2222

SCB


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Como 41.5667.11 FoFe , se rechaza Ho por lo tanto existe diferencia significativa,

esto implica que el catalizador empleado tiene un efecto significativo sobre el tiempo de

reaccin.

Evaluamos los efectos de los bloques

333.2)222216218(3

1221*1 Q

8)216214218(3

1224*2 Q

667.10)222216214(3

1207*3 Q

0)222214218(31218*4 Q


083.66)4(2

)0()333.10()8()333.2((3 2222

SCBC


Fuente de

Variacin

Grados de

Libertad

Suma de

Cuadrados

Cuadrados

Medios Fe

Bloques

Corregidos 3 66.0833333 22.0277778 33.89

Tratamientos 3 11.6666667 3.88888889 5.98

Error

Experimental 5 3.25 0.65 ___

Total 11 81 ___ ___

667.11630753

222216214218( 2222

SCTr


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11


0:

0:

1

0

J

J

H

H

Como Fe = 33.89 es mayor que Fo = 5.41, se rechaza Ho, en consecuencia, si hay

diferencia significa entre los bloques usados. Se advierte que SCT SCTA+SCBC+SCE

como consecuencia de la no ortogonalidad entre los bloques y los tratamientos.

Ejemplo2:

Como solo se dispona de tres cmaras de alta presin para una corrida del

experimento, fue necesario hacer bloques a las corridas, ya que no podia haber una

variacin sustancial de una corrida a otra producida por nuevas preparaciones de las

cmaras para el experimento, por lo que los qumicos establecieron un diseo de bloques

incompletos balanceado(corridas), cada uno con tres unidades experimentales(cmaras

pasteurizadas) y se usaron tres presiones diferentes en cada corrida, el diseo obtenido tubo

seis replicas de cada tratamiento de presin los datos se encuentran en la siguiente tabla,

haga un ANVA con un 95% de seguridad.

Corrida(Bloque)

Presin (bar)

Total125 150 175 200 225

1 31 33 _ _ 60 124

2 34 41 _ 47 _ 122

3 35 _ 54 61 _ 1504 _ 34 36 _ 76 146

5 _ _ 48 50 70 168

6 28 28 _ 62 _ 118

7 36 _ 49 _ 63 148

8 _ 25 45 46 _ 116

9 39 _ _ 52 67 158

10 _ 39 46 _ 65 150

Total 203 200 278 318 401 1400

Solucin:

iH

iH

i

i

unalmenospara,0:

5,4,3,2,1,0:

1

0


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12


b=10, k=3, r=6, =3, N=30

= 0.05

La funcin pivotal es una F con 4 y 16 grados de libertad.

Se rechazara Ho, si Fe (del cuadro del anva) es mayor Fo=3.022.

Se halla:

1400T

3333.6533330/)1400( 2 FC

66667.55763333.65333)65...3331( 222 SCT

333.70)158148118150122124(3

12031 Q

667.58)150116118146122124(3

12002 Q

667.14)150116148168146150(3

12783 Q

667.40)158116118168150122(3

13184 Q

103)150158148168146124(3

14015 Q

2889.4173)5(3

)103()667.40()667.14()667.58()333.70((3 22222

SCTA

3778.38710162889.4173667.5576 SCE

1016333.653333

150...150122124( 2222

SCB


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CUADRO DEL ANVA:

Fuente deVariacion

Gradosde

LibertadSuma de

CuadradosCuadrados

MediosFe

Bloques 9 1016 112.888889 4.66268931

TratamientosAjustados

4 4173.28889 1043.32222 43.0927031

ErrorExperimental

16 387.377778 24.2111111 ___

Total 29 5576.66667 ___ ___

Como Fe = 43.09 > Fo = 3.022, se rechaza Ho, en consecuencia hay diferencia

significativa entre las diferentes presiciones.

Evaluamos los efectos de los bloques

6/60)401200203(6

1124*1 Q

6/11)318200203(61122*2 Q

6/101)318278203(6

1150*3 Q

6/3)401200200(6

1146*4 Q

6/11)401318278(6

1168*5 Q

6/13)318200203(6

1118*6 Q

6/6)401278203(6

1148*7 Q

6/100)318278200(6

1116*8 Q


14/16


14


6/26)401218203(6

1158*9 Q

6/21)401278200(6

1150*10 Q


9667,140)10(3

)6/21(...)6/101()6/11()6/60((6 2222

SCBC


ANVA:Fuente deVariacin

Grados deLibertad

Suma deCuadrados

CuadradosMedios Fe

BloquesCorregidos 9 140.966667 15.662963 0.358

Tratamientos 4 4736.33333 1184.08333 27.09

ErrorExperimental 16 699.366667 43.7104167 ___

Total 29 5576.66667 ___ ___

0:

0:

1

0

J

J

H

H

Como Fe = 0,358 < Fo = 2,55, no es prudente rechazar Ho, por lo tanto no hay diferencia

significa entre los bloques usados.

Realizaremos la prueba de Duncan para comparar las medias de los tratamientos estimados.

Estimamos los tratamientos:

15/21115/)3/211(31^

1 t

kQt

15/17615/)3/176(32^

2 t

kQt

333.4736333.653336

401318278200203( 22222

SCTr


15/16


15


15/4415/)3/44(33^

3 t

kQt

15/12215/)3/122(34^

4 t

kQt

15/30915/)3/309(35^

5 t

kQt

8422.45*3

)211,24(3

t

kCMES

Los tratamientos estn ordenados en forma ascendente.

De la tabla correspondiente de Duncan, con 16 g.l. y =0.05, se obtienen los datos.

97926,15)8422.4(30.330.3)16,5(

6403.15)8422.4(23.323.3)16,4(

25293,15)8422.4(15.315.3)16,3(5266,14)8422.4(00.300.3)16,2(

205.0

205.0

205.0

205.0

Rr

Rr

RrRr

Comparamos los tratamientos:

diferentessonno5y4tostratamienlos5266.1447,12)15/122(15/309

diferentessonno4y3tostratamienlos5266.14067.11)15/44(15/122

diferentesson5y3tostratamienlos2529.1553.23)15/44(15/309

diferentessonno3y2tostratamienlos5266.148,8)15/176(15/44


diferentesson5y2tostratamienlos6403.1533.32)15/176(15/309diferentessonno2y1tostratamienlos5266.1433.2)15/211(15/176

diferentessonno3y1tostratamienlos2529.1513.11)15/211(15/44



54

43

53

32

42

52

21

31

41

51

tyt

tyt

tyt

tyt

tyt

tyttyt

tyt

tyt

tyt


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Estadstica e Informtica Diseos Experimentales Docente Mag Fernando R Arce Zuiga

BIBLIGRAFIA.

DISEO DE EXPERIMENTOS - Miguel Rodrguez lvarez.

DISEANDO EXPERIMENTOS - Manuel R. Pia1, Manuel A. Rodrguez

2y

Evelyn H. Castaeda2

REVISTA COLOMBIANA DE ESTADSTICA - Volumen 24 (2001) No2, paginas

73 a 89 - HENRY MENDOZA R.

http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1102196

http://dm.udc.es/asignaturas/estadistica2/sec2_6.html

http://www.revfacagronluz.org.ve/PDF/enero_marzo2006/W.%20Gonzalez.pdf
http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1102196http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1102196http://dm.udc.es/asignaturas/estadistica2/sec2_6.htmlhttp://dm.udc.es/asignaturas/estadistica2/sec2_6.htmlhttp://www.revfacagronluz.org.ve/PDF/enero_marzo2006/W.%20Gonzalez.pdfhttp://www.revfacagronluz.org.ve/PDF/enero_marzo2006/W.%20Gonzalez.pdfhttp://www.revfacagronluz.org.ve/PDF/enero_marzo2006/W.%20Gonzalez.pdfhttp://dm.udc.es/asignaturas/estadistica2/sec2_6.htmlhttp://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1102196

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