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Dinmica Rotacional yMovimiento GiroscpicoAdriana Ordez

Dinmica RotacionalRotacines el movimiento de cambio de orientacin de un cuerpo extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotacin dado, existe una lnea de puntos fijos denominada eje de rotacin.La velocidad angular se expresa como el ngulo girado por unidad de tiempo y se mide en radianes por segundo. Otras unidades que se pueden utilizar son Hercios (ciclos por segundo) o revoluciones por minuto (rpm).

Dinmica Rotacional e Inercia Cintica de RotacinCuando un objeto real gira alrededor de algn eje, su movimiento no se puede analizar como si fuera una partcula, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como un gran nmero de partculas, cada una con su propia velocidad, aceleracin. El anlisis se simplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rgido. Para un cuerpo rgido formado por una coleccin de partculas que gira alrededor del eje z fijo con velocidad angular , cada partcula del cuerpo rgido tiene energa cintica de traslacin. Si la partcula de masa mi, se mueve con velocidad vi, su energa cintica es:

Dinmica Rotacional e Inercia Cintica de RotacinCada partcula del cuerpo rgido tiene la misma velocidad angular , pero distintas velocidades lineales, porque estas dependen de la distancia r al eje de rotacin, y se relacionan por vi = ri. Entonces la energa cintica de la partcula i es:

La energa cintica total del cuerpo rgido en rotacin es la suma de las energas cinticas de cada partcula individual, esto es:

donde se factoriz 2 porque es la misma para todo el cuerpo rgido. A la cantidad entre parntesis en la ecuacin anterior se la define como el momento de inercia, I, del cuerpo rgido:

Momento Angular de una PartculaDe la definicin momento de inercia, sus unidades de medida en el SI son kgm2 . Con esta definicin, se puede escribir la energa cintica de rotacin de un cuerpo rgido como:

Se define momento angular de una partcula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posicinr por el vector momento linealmv :

Momento angular de un slido rgidoLas partculas de un slido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describenvi=wriConsideremos un slido de forma arbitraria que rota con velocidad angular con respecto a un ejeZque, para simplificar, consideraremos fijo con respecto a un sistema de referencia inercial.

Momento angular de un slido rgidoCada partcula del slido describe un movimiento circular con velocidad angular y sumomento angularcalculado con respecto al origenOviene dado por:

El momento angular del slido con respecto aOes simplemente elmomento angular de un sistema de partculas, es decir, la suma de los momentos angulares de todas las partculas del sistema.Es ms interesante calcular laproyeccin del momento angular de la partcula sobre el eje de giro, que viene dada por:

Luego se deduce que elradio de giro(Ri) de la partcula i-sima del slido y la velocidad lineal de dicha partcula son respectivamente:

Momento angular de un slido rgidoSustituyendo en la ecuacin anterior, la proyeccin del momento angular de la partcula i-sima sobre el eje de giro queda:

Laproyeccin del momento angular del slido rgido sobre el eje de giroLzser la suma de las proyecciones de todas las partculas del slido sobre dicho eje:El sumatorio que aparece en la ecuacin anterior es elmomento de inercia I del slido con respecto al eje de giro. Veremos su significado fsico cuando obtengamos la ecuacin del movimiento de rotacin de un slido. Sus unidades en el Sistema Internacional son kg m2, y se define:

Momento angular de un slido rgidoFinalmente, la proyeccin del vector momento angular del slido es:

En general, el vector momento angular de un slido con respecto a un determinado eje de giro no tiene por qu ser paralelo a este ltimo, por lo que la proyeccin deLsobre el eje no coincide con su mdulo.

A la izquierda se ha representado el momento angular total de un slido con respecto a un eje de giroZ. La direccin del momento angular no coincide con la del eje. A la derecha, se ha representado una situacin hipottica en la que el vectorLestara alineado con el eje de giroZ'.Momento angular de un slido rgidoSin embargo, para cualquier slido existen al menos tres ejes (denominadosejes principales de inercia) tales que, si el slido rota con respecto a alguno de ellos, el vector momento angular es paralelo al ejey, por tantola proyeccin deL sobre el eje coincide con su mdulo. Cuando el slido tiene algn eje de simetra, los ejes principales de inercia coinciden con estos ltimos.

Cuando un slido rota con respecto a uno de sus ejes principales de inercia, el vector momento angulardel slido viene dado por:

A partir de esta ecuacin deduciremos laecuacin del movimiento de rotacin de un slido rgidocon respecto a uno de sus ejes principales de inercia.

Movimiento Giroscpico

Movimiento GiroscpicoLos girscopos son objetos muy interesantes debido a que parecen desafiar la gravedad; Adems, en ellos actan diversos fenmenos fsicos a causa de que el eje de rotacin cambia de direccin en todo momento. stas propiedades especiales de los girscopos son muy importantes debido a que se aplican desde una bicicleta hasta en un sistema de navegacin avanzado como puede ser un transbordador espacial.

Movimiento GiroscpicoEl mismo, si lo sostenemos con el eje del volante horizontal y se suelta, cuando el volante no esta girando, el extremo libre del eje cae debido a la gravedad. Si el volante gira, se produce un movimiento circular uniforme del eje en un plano horizontal, combinado con la rotacin del volante alrededor del eje. ste movimiento del eje, no intuitivo, se denomina precesin. Para el estudio de este fenmeno se relaciona el momento de torsin neto queacta sobre un cuerpo y la razn a la que cambia el momento angular del cuerpo, dada por la ecuacin:

Cuando el volante gira alrededor de su eje de simetra, Li est a lo largo del eje. Cada cambio del momento angular dL es perpendicular al eje, porque el momento de torsin =rw tambin lo es. Esto hace que cambia la direccin de L, pero no su magnitud.

Movimiento GiroscpicoLos cambios dL siempre estn en el plano horizontal x-y, as que el momento angular y el eje del volante con el que se mueve siempre son horizontales. Es decir, el eje no se cae, tiene precesin. El cambio infinitesimal del momento angular es dL = dt , que es perpendicular a L. Esto implica que el eje del volante del girscopo gir un ngulo pequeo d dado por d=dL/L . La razn a la cual se mueve el eje, d/dt , se denomina velocidad angular de precesin:

Ejercicio 1Como se muestra en la figura, una esfera slida uniforme rueda sobre una superficie horizontal a 20 m/s y luego rueda hacia arriba sobre un plano inclinado. Si las prdidas debidas a la friccin son despreciables. Cul ser el valor de h en el lugar donde se detiene la esfera?

Las Energa Cintica traslacional y rotacional de la esfera en la base del plano inclinado cambia a Energa Potencial Gravitacional cuando la esfera se detiene. Las Frmulas que utilizaremos son:Epg= Ec+ Ecrmgh =1/2mv2+ I2

Para una esfera slida se tiene: Ic =2/5MR2 =v/r Sustituyendo 2 y 3 en 1

mgh =1/2mv2+2/5mr2(v/r)2Simplificando gh =1/2v2+2/5v2gh =9/10v29,81m/s2h =9/10(20 m/s)2h= 28 m

Ejercicio 2Cul es el momento de inercia de una esfera slida homognea de 10 kg de masa y radio de 20 cm, alrededor de un eje que pasa por su centro?

Sabiendo que el momento de Inercia de una esfera slida homognea es:Ic =2/5MR2

Transformamos: 20cm.1m/100cm= 0,2m

Entonces sustituimos los valores:Ic =2/5(10kg)(0,20m)2

Ic =0,16km2

Ejercicio 3Cul sera el perodo de rotacin del Sol si colapsara formando una enana blanca de 4000 km de radio, sin variacin apreciable de masa?

Datos:Radio solar:695.800 km;Perodo de rotacin:25.4 das ; Momento de inercia de la esfera macizaI=(2mr 2 )/5

Datos

Radio solarRs= 695800km. 1000m = 6.958108m kmRadio del Sol como enana blancaRe= 4000 km. 1000m = 4106m KmPerodo de rotacin inicialT1=25.4das = 25.4 24hora 60m 60s = 2194560 s 1 da 1 hora 1min

Como que se nos dice que no hay variacin de masa y no existen en el proceso momentos de fuerza externos, elmomento angular debe mantenerse constante antes y despus de la conversin, es decir:

Ejercicio 3(I11)antes=(I22)despus(2mRs2 . 2/52/T1)antes= (2mRe2.2/52/T2)despusSimplificando las masas y los radios nos queda:T2=T1Re2/Rs2 =2194560(4106) 2/ (6.958108) 2=69.5s

Ejercicio 4Se sabe que un satlite espacial de masa m es dinmicamente equivalente a dos discos delgados de igual masa. Los discos tienen un radio a=800mm y estn rgidamente conectados mediante una barra ligera de longitud 2a. En un principio, el satlite gira con libertad alrededor de su eje de simetra a la velocidad w0=60 rpm. Un meteorito, de masa m0=m/1000 y que viaja con una velocidad v0 de 2 000 m/s relativa al satlite, choca con ste y se incrusta en C. Determine a) la velocidad angular del satlite inmediatamente despus del impacto, b) el eje de precesin del movimiento resultante, c) las velocidades de precesin y giro del movimiento subsecuente. Se puede observar que los ejes que se muestran son los ejes principales de inercia del satlite y se escribe:I=Iz= ma 2

I =Ix= Iy =2[1/4 (1/2m)a 2 (1/2m)a 2 ]=5/4ma 2

Ejercicio 4Velocidad angular despus del impacto. Al sustituir los valores obtenidos para las componentes de HG, y para los momentos de inercia en:Hx =Ixwx Hy= Iy wy Hz=Iz wz =- m0v0a=Iwx =5/ 4ma 2 wx 0=Iwy Iw0= Iwz Wx= - 4/5(movo)/ma wy=0 wz=wo

Para el satlite considerado se tiene w0=60rpm=6.283rad/s, m0/m=1/1000a=-0.800m, y v0= 2 000 m/s; se encuentra

Wx=-2 rad/s wy=0 wz= 6.283 rad/s W=(wx 2 +wz 2 ) 1/2 = 6.594 rad/s tan=-wx/wz= +0.3183 W=63.0 rpm =tan -1 (0.3183) =17.7

Ejercicio 4Eje de precesin. Puesto que en el movimiento libre la direccin de la cantidad de movimiento angular HG permanece fija en el espacio, el satlite preceder con respecto a esta direccin. El ngulo formado por el eje de precesin y el eje z es:Tan =-Hx/Hz = movo 2 =Iwo = 2movo/mawo = 0.796 =tan -1 ( -Hx/Hz = movo 2 =Iwo = 2movo/mawo )=38,5

Velocidades de precesin y giro. Se dibujan los conos espacial y corporal para el movimiento libre del satlite. Recurriendo a la ley de los senos, se calculan las velocidades de precesin y giro.Por la Ley del Seno tenemos: w/sen= /sen = /sen( - )

=30,8rpm = 35,9rpm