DIFRACCION DE FRAUNHOFER PARA UNA ABERTURA CIRCULAR

I. DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA:

Sea una fuente ideal de ondas secundarias para una rendija larga como se muestra en la figura:

El campo eléctrico de forma esférica que pasa por la rendija, según el Principio de Fresnel – Huygens tiene la forma:

E=Ɛ0rsen (wt−kr )

Donde:

Ɛ0−eficacialumi nosa

Ya que la fuente secundaria es una fuente mucho más débil para existen n fuentes dadas por

n=NΔ y i

D

Tomando el Δy tan pequeño en relación a r tal que el desfase de las oscilaciones sea despreciable, r tiende a ser una constante tal que

Ei=ε0risen (wt−kri ) N

Δ y i

D

Ei=εlr i

sen (wt−kri ) Δ y i

Donde:

Ɛ l=ε0ND

eficacia de fuente por unidad de longitud

Para una fuente lineal continua, el número de fuentes para Δ yi nos da que n infinito, luego una sumatoria de todos los i, es definida como una integral para el campo neto

E=εl ∫−D2

D2

sen(wt−kr¿)

Rdy¿

E=εlR∫−D2

D2

sen(wt−kr¿)

1dy ¿

Luego:

r=R− y sinѲ

Siempre y cuando se cumpla R >> D, reemplazando en la última integral y resolviendo

E=εlR∫−D2

D2

senwt−k (R− y senѲ)1

dy

E=εlR

D sen[(k D2

) senѲ ]

(kD2

)senѲsen(wt−kR)

II. DIFRACCION DE FRAUNHOFER POR UNA ABERTURA CIRCULAR:

Cuando la luz de una fuente puntual pasa a través de una abertura circular pequeña no produce como imagen un punto brillante, sino más bien un disco difuso circular, rodeado de anillos circulares concéntricos mucho más tenues. Si esta deformación de la imagen de la fuente puntual, es mayor que la producida por las aberraciones del sistema, se dice que el proceso de imágenes está limitado por difracción.

Para una abertura circular, la simetría sugiere el uso de coordenadas esféricas tanto en el plano de la abertura como en el plano de observación, por consiguiente

Y=q sinΦ

Z=q sinΦ

y=ρsin ϕ

z=ρ sinϕ

ds=ρdϕdρ

E=( εlR )e i(ωt−kR) ∫ρ=0

ρ=a

∫ϕ=0

ϕ=2π

eik (

kρqR

)cos(ϕ−Φ)ρdρdϕ

Por simetría azimutal podemos tomar la solución no depende de Φ por ello tomamos Φ=0 , simplificada la integral tiene la forma

E=( εlR )e i(ωt−kR) ∫ρ=0

ρ=a

∫ϕ=0

ϕ=2π

eik (

kρqR

)cosϕρdρdϕ

E=( εlR )e i(ωt−kR) ∫ρ=0

ρ=a

[ ∫ϕ=0

ϕ=2π

eik (

kρR

)cosϕdϕ¿] ρdρ¿

Donde:

∫ϕ=0

ϕ=2 π

eik (

kρR

)cosϕdϕ−tiene la formade la funciónde Bessel

Jm (u )= i−m

2 π∫0

2π

e i ¿¿¿

E=( εlR )e i(ωt−kR)2π ∫ρ=0

ρ=a

Jo ( kqρR

) ρdρ

Usando la propiedad:

ddu

u 'J 0 (u' )du'=u J1(u)

∫uJo (u )du=uJ 1(u)

∫ρ=0

ρ=a

Jo ( kqρR

) ρdρ=( Rkq )2

∫w

w= kaqR

J0(w)wdw

E=( εlR )e i (ωt−kR )2π ( Rkaq )J 1( kaqR )

III. ANEXO

Funciones de Bessel

J0(x )=0

J1(x )=0

J2(x )=0

J3(x )=0

J5(x )=0