1

DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER

FUNCIONES DE TRANSMISIÓN

Estos problemas proceden de cuadernillos y exámenes de años anteriores. Las soluciones presentadas aquí se basan en los enunciados resueltos por

los profesores de la sede central Carmen Carreras y Manuel Yuste

2

Una rendija rectangular de dimensiones bx by se ilumina con un haz plano monocromático de longitud de onda . Determinar en aproximación de Fraunhofer la intensidad sobre una pantalla situada a una distancia z de la rendija (z >>bx, by).

PROBLEMA 1

1x

0x

0y

1yz

xb

yb

P

),( 2

exp exp

1 ),( 11

20

20000 yxtTFyx

z

kjzkj

zjyxE

Sean x1, y1 las coordenadas de los puntos del plano donde se encuentra la rendija difractante.

Las coordenadas x0, y0 corresponden a la pantalla donde se observa la figura de difracción.

El campo difractado es:

dondez

xf x

0

z

yf y

0

TF es la transformada de Fourier de la función de transmisión 0 en otro caso

22 1 xx bxb

22 1 yy byb ),( 11 yxt1

11111111 2exp),(),( dydxyfxfjyxtyxtTF yx

2/

2/

11

2/

2/

1111 2exp 2exp),(

y

y

x

x

b

b

y

b

b

x dyyfjdxxfjyxtTF

2/

2/

1

2/

2/

111 2

2exp

2

2exp),(

y

y

x

x

b

by

y

b

bx

x

fj

yfj

fj

xfjyxtTF

Tomamos como origen del plano x0, y0 el punto que está situado directamente bajo el

centro de la rendija

3

2/ 2exp2/ 2exp 2

1 2/ 2exp-2/ 2exp

2

1),( 11 yyyy

yxxxx

x

bfjbfjfj

bfjbfjfj

yxtTF

j

bfjbfj

fj

bfjbfj

fyxtTF yyyy

y

xxxx

x 2

exp exp

1

2

exp exp

1),( 11

y

yy

x

xx

f

bf

f

bfyxtTF

sin

sin),( 11

yy

yy

xx

xxyx bf

bf

bf

bfbb

sin

sin

yyxxyx bfbfbb sinc sinc

PROBLEMA 1 (CONT.)

2

exp exp

1 ),( 2

020000

yx

z

kjzkj

zjyxE

z

xf x

0

z

yf y

0

00 sinc sinc y

z

bx

z

bbb yx

yx

),(),(),( 00*000000 yxEyxEyxI

2

exp exp

1 20

20

yx

z

kjzkj

zj 2

exp exp

1 20

20

yx

z

kjzkj

zj

0

20

222 sinc sinc yz

bx

z

bbb yx

yx

0

20

200000 sinc sinc ),( y

z

bx

z

bIyxI yx

),( 000 yxI

00I

es la distribución de intensidad en el plano de observación (x0,y0)

es el valor máximo de la intensidad en el punto central del plano de observación (x0,y0)

yxI 2200 sinc sinc

00 yz

bx

z

b yy

xx

4

PROBLEMA 2

Una onda plana monocromática de longitud de onda incide sobre el sistema de doble rendija indicado en la figura, y se observa la figura de difracción sobre la pantalla P. Se pide:

a) Determinar la distribución de intensidad sobre la pantalla en aproximación de Fraunhofer.

0x

0y

z

1x

1y

z

d

P

xb

yb

yb

(suponemos que la separación z entre las rendijas y la pantalla de observación es mucho mayor que el tamaño de las rendijas).

b) Representar gráficamente la intensidad a lo largo de los ejes x0 e y0 del plano P, siendo:

1-m 10

z

bx

1-m 1

z

by

1-m 5.1

z

d

Ayuda: El campo escalar de difracción de una rendija rectangular bx by cuyo centro NO ESTÁ sobre el origen de coordenadas, sino que está en el punto (x1, y1) es

yxjyxEyxE exp,, 00000

01

2x

z

x Cx

01

2y

z

y Cy

Es decir, el campo difractado por una rendija no centrada se obtiene multiplicando el campo difractado por una rendija centrada por una corrección de fase.

Donde x1C, y1C son las coordenadas del centro de la rendija no centrada sobre el origen

5

yxjyxEyxE exp,, 00000 01

2x

z

x Cx

0

1

2y

z

y Cy

PROBLEMA 2 (CONT.)

2

exp exp

1 ),( 2

020000

yx

z

kjzkj

zjyxE

z

xf x

0

z

yf y

0

00 sinc sinc y

z

bx

z

bbb yx

yx

El campo difractado en la pantalla (x0,y0) por una rendija rectangular bx by centrada en el origen en el plano (x1,y1) es (véase problema anterior):

0x

0y

z

1x

1y

z

d

P

xb

yb

yb

2/,0 d

2/,0 d

Campo difractado por una rendija no centrada:

Véanse en la figura los centros de las dos rendijas

2/ 0 11 dyx CC Rendija superior

Rendija inferior 2/ 0 11 dyx CC

Campo difractado por la rendija superior

2

exp exp

1 ),( 2

02000sup

yx

z

kjzkj

zjyxE

00 sinc sinc y

z

bx

z

bbb yx

yx

0

2/2y

z

dy

0x

0

2/2exp y

z

dj

6

Campo difractado por la rendija inferior

2

exp exp

1 ),( 2

02000inf

yx

z

kjzkj

zjyxE

00 sinc sinc y

z

bx

z

bbb yx

yx

0

2/2y

z

dy

0x

0

2/2exp y

z

dj

0000

20

2000 expexpsincsinc

2expexp

1 ),( y

z

djy

z

djy

z

bx

z

bbbyx

z

kjjkz

zjyxE yx

yx

El campo total sobre la pantalla P será la suma ),( ),(),( 00inf00sup00 yxEyxEyxE

000

20

2000 cos2sincsinc

2expexp

1 ),( y

z

dy

z

bx

z

bbbyx

z

kjjkz

zjyxE yx

yx

),(),(),( 00*

0000 yxEyxEyxI

0

20

20

2

2

cos sinc sinc

2y

z

dy

z

bx

z

b

z

bb yxyx

Intensidad

PROBLEMA 2 (CONT.)

Término difracción

Interferencia (según el eje y0)

7

PROBLEMA 2 (CONT.)

Representaciones gráficas

0

20

20

2

2

00 cos sinc sinc

2, y

z

dy

z

bx

z

b

z

bbyxI yxyx

1-m 10

z

bx

1-m 1

z

by

1-m 5.1

z

d

sinc

20, 0

2

2

0

x

z

b

z

bbxI xyx

A lo largo del eje x0 10sinc

20

2

2

xz

bb yx

x0 (m)

0,0xI

22

z

bb yx

8

PROBLEMA 2 (CONT.)

Representaciones gráficas

0

20

20

2

2

00 cos sinc sinc

2, y

z

dy

z

bx

z

b

z

bbyxI yxyx

1-m 10

z

bx

1-m 1

z

by

1-m 5.1

z

d

0

20

2

2

0 cos sinc

2,0 y

z

dy

z

b

z

bbyI yyx

A lo largo del eje y0 0

20

2

2

5.1cos sinc

2xx

z

bb yx

y0 (m)

0,0 yI

22

z

bb yx

9

PROBLEMA 3

Una abertura difractante situada en el plano {X,Z} está formada por una abertura cuadrada de lado 2a en cuyo centro hay un obstáculo cuadrado de lado a. La abertura se ilumina con una onda plana monocromática de longitud de onda .

a2

a2a

a1x

1z

a) Determinar la distribución de intensidad en aproximación de Fraunhofer sobre una pantalla situada en el plano y = D, expresando la intensidad en función de la que se observaría en caso de no existir la obstrucción central de lado a.

b) Representar gráficamente la distribución e intensidad obtenida según el eje X. Señalar las posiciones de los cuatro primeros mínimos.

c) Calcular la anchura angular del máximo principal (distancia angular entre el primer mínimo a izquierdas y el primer mínimo a derechas del máximo principal). Comparar con la anchura angular de la figura de difracción de un cuadrado de lado 2a sin obstáculo central.

Para resolver este problema utilizaremos el resultado del problema 1, que se refería a una abertura rectangular; en este caso, particularizaremos aquel resultado para un cuadrado.

Funciones de transmisión:

Abertura de lado a:

22 1 axa

22 1 aza ),( 11 zxta

1

0 en otro caso

Abertura de lado 2a:

axa 1

aza 1 ),( 112 zxt a

1

0 en otro caso

(Aunque el cuadrado de lado a es un obstáculo, necesitaremos esto más tarde)

Aplicaremos el principio de

superposición

10

PROBLEMA 3 (CONT.)

),( 2

exp exp

1 ),( 112

20

20002 0 zxtTFzx

D

kjDkj

DjzxE aa

),( 2

exp exp

1 ),( 11

20

2000 0 zxtTFzx

D

kjDkj

DjzxE aa

Campos difractados sobre una pantalla {X0,Z0}situada en y = D

Por un cuadrado de lado a:

Por un cuadrado de lado 2a:

donde TF representa a las respectivas transformadas de Fourier de las funciones de transmisión

2

exp exp

1 ),( 2

02000 0

zx

D

kjDkj

DjzxE a

00

2

sinc

sinc z

D

ax

D

aa

2

exp exp

1 ),( 2

020002 0

zx

D

kjDkj

DjzxE a

00

2

2sinc

2sinc 4 z

D

ax

D

aa

0000

z

D

ax

D

azx

2exp exp

1 20

20

zx

D

kjDkj

DjC

Resultados (ver problema 1)

D

xf x

0

D

zf z

0

Recuérdese que al calcular la transformada utilizamos la notación

A partir de ahora llamaremos

0000

2

0 sin sin

zx

zxa

aCE

0000

2

2 0 2sin 2sin 4

4zx

zxa

aCE

000000

2

2 0 coscossin sin

4zxzx

zxa

aCE

Cuadrado de lado aCuadrado de lado 2a

11

0000

2

0 sin sin

zx

zxa

aCE

000000

2

2 0 coscossin sin

4zxzx

zxa

aCE

PROBLEMA 3 (CONT.)

Por superposición, el campo difractado sobre el plano y = D debe ser E0 2a-E0 a

1coscos4sin sin

0000

00

2

02 00 zxzxzx

aa

aCEEE

2000

20

220

20

4*000 1coscos4sin sin

zxzx

zx

aEEI

2000

20

24*000 1coscos4sinc sinc zxzxaEEI

Intensidad en el plano y = D

1* CCTéngase en cuenta que

Intensidad difractada por una abertura cuadrada sin

obstáculo, de lado 2a

02

02

02

02

20

20

4*

2 02 02 0 cos cos sin sin

16 zxzx

zxaaa

aEEI

02

02

02

024*

2 02 02 0 cos cos sinc sinc 16 zxzxaaa aEEI

Término difracción Término interferencia

El valor máximo de la intensidad debida a una rendija cuadrada de lado 2a es 42 0 160,0 aI a

0 0 ; 0 0 0000 zx zx El máximo se presenta en el origen de coordenadas, ya que

Rendija con obstáculo

Por tanto puede escribirse que

16

0,0 2 04 aIa

2000

20

22 00 1coscos4sinc sinc

16

0,0 zxzx

aII

12

PROBLEMA 3 (CONT.)

Apartado b)Representar gráficamente la distribución e intensidad obtenida según el eje X. Señalar las posiciones de los cuatro primeros mínimos.

2000

20

22 00 1coscos4sinc sinc

16

0,0 zxzx

aII A lo largo del eje X, se tiene que 0 0 00 zz

El máximo de esta función en (0,0) tiene el valor 2

0022 0

00 1cos4 sinc 16

0,00, xx

aIxI 0,0

16

90,0 2 00 aII

0,02 0 aI

0,016

90,0 2 00 aII

Gráfica de la intensidad de la abertura sin obstáculo

02

02

2 002 0 cos sinc )0,( xxaa IxI

radianes

0,0 0 xI

Para posiciones de los 4 primeros mínimos, véase transparencia siguiente

13

PROBLEMA 3 (CONT.)

Apartado b) Posiciones de los 4 primeros mínimos

rad .143 2rad 28.6

2/rad .571 2/3rad .714

200

22 000 1cos4 sinc

16

0,00, xx

aIxI

Mínimos de la función

1,2,3...)( 0 sinc 00 mmxx

4/1cos 0 x01cos4 0 x

0,1,2,... 4/1cos2 10 mmx

1m

2m

0 x

2 0 x

0m

1m

rad 32.1 0 xrad 97.4 0 x

radianes

0,0 0 xI

Mínimos de la función

02

02

2 002 0 cos sinc )0,( xxaa IxI

1,2,3...)( 0 sinc 00 mmxx

Coinciden con la anterior:

...)2,1,0( 2/12 0 cos 00 mmxx

0m

1m

rad 2/ 0 x

rad 2/3 0 x

Mínimos que no coinciden:La intensidad es simétrica, ya que depende de funciones al cuadrado. Las anchuras son:

Apartado c)

0,00 xI

)0,( 02 0 xI a

0,00 xI rad 64.232.12 0 x

)0,( 02 0 xI a rad 2/2 0 x

rad .321 rad .974