REPRESENTACIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES

1.- EXPRESIÓN DECIMAL.- Se usa para representar, no solo a los números racionales, sino también a los números irracionales y reales.

2.- NÚMEROS RACIONALES: DECIMALES.

En una fracción, al realizar la división del numerador entre el denominador, podemos obtener un número entero o un número decimal.

Número entero : 28/4 =7 ; 36/9 = 4 Número decimal : 3/2 = 1,5 ; 7/5 =

1,285

A) NÚMERO DECIMAL EXACTO: (NÚMERALES DECIMALES TERMINANTES)

Número finito de cifras decimales. Estos números decimales provienen de

las fracciones cuyos denominadores son 2 ó 5 ó potencia de estos números.

Ejemplo: 1) 2/5 = 0,4 2) ¼ = 0,25

3) 5/8 = 0,625 4) 11/40 = 0.275 5) 7/25 = 0,28 6) 8/125 = 0.064

B) NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO : ( NUMERALES DECIMALES PERIÓDICOS PUROS)

Son aquellos numerales, en el cual, una cifra o un grupo de cifras se repiten indefinidamente, que empieza inmediatamente después de la coma y se simboliza con un pequeño arco sobre el periodo. Estos números decimales provienes de una fracción irreductible que tiene como denominador a un número diferente de 2 ó 5.

Estos números son: 3; 7; 9 ; 11; 13 ; 17; 19; etc.Ejemplo: 1) 1/3 = o,333… = 2) 5/11 = 0,454545 … =

C) NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO: ( NUMERALES DECIMALES PERIÓDICOS MIXTOS)

El periodo no empieza inmediatamente después de la coma.

Estos numerales provienen de una fracción irreductible cuyo denominador es divisible por 2 ó 5 y además por otro número primo. Los denominadores de estas fracciones pueden ser: 6; 12; 14; 15; 18; etc.

Ejemplo. 1) 5/6 = 0,8333… = 2) 11/12 = 0,91666.. = 3) 3/14 = 0,2142857142857… =

TALLER

A) Transformar a numeral decimal las siguientes fracciones.

1) 3/16 2) 8/5 3) 13/100 4) 6/20 5) 7/8

B) Expresar en notación decimal periódicos puros las siguientes fracciones.

1) 2/3 2) 7/11 3) 5/9 4) 3/7 5) 10/11 C) Expresar en notación decimal periódicos

mixtos las siguiente fracciones. 1) 1/6 2) 17/18 3) 11/6 4) 8/15 5) 5/12

EJEMPLOS

1) Determinar a que tipo de decimal da lugar la fracción: 189/420

Solución Hallamos la fracción irreductible y

analizamos el denominador. 189/420 = 63/140 = 9/20 = 9/2.2.5 } los

factores so 2 ó 5; se trata de un decimal exacto.

Comprobamos dividiendo. 189 : 420 = 0,45 es un decimal exacto.

2

2) Determina a que tipo de decimal de lugar la fracción: 70/462.

3) Determina a que tipo de decimal da lugar la fracción: 114/ 396.

4) Determina a que tipo de decimal da lugar la fracción: 105/117.

3) FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL.

FRACCIÓN GENERATRIZ.-Todo número decimal tiene su equivalente en forma de fracción. La fracción que genera un número decimal se llama fracción generatriz.

Casos para hallar la fracción generatriz.

1ER. CASO

a) GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO.

Se procede de la siguiente manera. 1°.- Se escribe como numerador todo el

número sin considerar la coma decimal. 2°.- Se escribe como denominador la unidad

seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal.

3°.- Se simplifica si es posible, hasta obtener la fracción irreductible.

EJEMPLOS

1) Hallar la fracción generatriz de 0,175 Solución. 0,175 = 175/ 100 = 7/40 2) ¿Cuál es la generatriz de 3,25? Solución 3,25 = 325/100 = 13/4 3) ¿Cuál es la generatriz de o,o12? Solución 0,012 = 012/1000 = 3/250 4) ¿Cuál es la generatriz de 30,5? Solución 30,5 = 305/10 = 61/2

EJEMPLOS

5) Hallar la fracción generatriz de 0,072 y 1,68 Solución a) 0,072 = 72/1000 = 36/500 = 18/250 =

9/125 b) 1,68 = 168/100 = 84/50 = 42/25 6) Halla la fracción generatriz de 0,125 y 2,75 Solución a) 0,125 = b) 2,75 =

2° CASO

b) GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO.

Se procede de la siguiente manera. 1°.- Se escribe como numerador todo el

número hasta el final del periodo y se le resta la parte entera del número.

2°.- Se escribe como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo.

3°.- Se simplifica hasta obtener la fracción irreductible.

EJEMPLOS

1) Hallar la generatriz de: a) 0,545454… b) 0,711 711… Solución Solución

c) d) Solución Solución

3° CASO

C) GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO.

1°.- Se escribe como numerador todo el número hasta el final del periodo y se le resta el número resultante de suprimir las cifras del periodo.

2°.- Se escribe como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica.

3°.- Se simplifica hasta obtener la fracción irreductible.

EJEMPLOS

1) Hallar la generatriz de: a) 0,159090… b) 0,124545… Solución Solución

c) d) 6,5666.. e) 1,5333…

f) 2,23636

EJEMPLOS

1) Halla la fracción generatriz de Solución a) b)

2) Halla la fracción generatriz de Solución a) b)

OTROS EJEMPLOS

1) Simplificar la siguiente fracción. a ) Solución

2

b) M = 0,25 + 0,333… - 0,1666… Solución

TALLER

1) Hallar la generatriz de los decimales terminantes. 1) 0,95 2) 0,125 3) 0,625 4) 0,85 5) 0,25

6) 0,9375 7) 0,1875 8) 0,875 2) Hallar la fracción generatriz de los decimales

periódicos puros. 1) 0,333… 2) 0,444… 3) 0,1818… 4) 0,777…

5) 0,1515… 6) 0,1212… 7) 0,4545… 8) 0,567567…

3) Hallar la generatriz de los decimales periódicos mixtos.

1) 0,58333… 2) 0,8666… 3) 0,1333… 4) 0,7222…. 5) 0,68181… 6) 0,8333… 7) 0,9666… 8) 0,958333…

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1) Hallar la fracción , si: Solución Transformando a fracciones los

numerales decimales.

2

2) Se tiene: Hallar: a + b ; si “a” y “b” son

enteros. Solución

3

3) Hallar ( b - a), si Solución Transformamos el decimal a fracción.

4

4) Hallar: a + b, si Solución Transformamos los decimales a

fracciones