Derivadas+parciales+Regla+cadena+implicita
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UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CALCULO 2 CM 222 GUIA 1 DERIVADAS PARCIALES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1) Dadas las funciones, evaluar donde se indica a) Sea ( ) √ ; ( ) [()] b) Sea ( ) ; (2,0) ; () ; ( ) c) Sea ( ) Calcule () () ( ) DERIVADAS PARCIALES 2) Calcular las primeras derivadas parciales de la función a) f(x, y)= b) f(x, y)= c) ( ) d) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) e) ( ) ( ) f) ⁄ h) √ i) ( ) 3) Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las funciones a) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) 4) Verificar, en cada caso, que 2 2 f f yx xy a) 5 3 3 4 (, ) 4 3 5 fxy x xy y b) 2 (, ) cos xy fxy e xseny 5) Para las funciones, obtener lo que se indica: a) ( ) √ ; ( ); ( ); ( ) b) ( ) √ obtener ( ) c) ( ) √ obtener ( ) ; ( ) , ( ) d ) Sea ( ) . Obtener ( ) ( ) 5) Verificar que ( ) ( ) si ( ) 6) Verificar que la función ( ) ( ) satisfacen la ecuación diferencial ( ) ( ) 7) Si entonces 8) Si 2 2 x y z x y , demostrar que, 0 w w x y x y 9) Si 2 2 (, ) ln( ) fxy x xy y , demostrar que, 2 f f x y x y
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UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS
CALCULO 2 CM 222
GUIA 1 DERIVADAS PARCIALES
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1) Dadas las funciones, evaluar donde se indica
a) Sea ( ) ; ( ) [ ( )]
b) Sea ( )
; (2,0) ; ( ) ; ( )
c) Sea ( )
Calcule ( ) ( ) ( )
DERIVADAS PARCIALES
2) Calcular las primeras derivadas parciales de la funcin
a) f(x, y)=
b) f(x, y)=
c) ( )
d) ( ) ( ) ( )
e) ( ) (
) f)
h) i) ( )
3) Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las funciones
a) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( )
4) Verificar, en cada caso, que 2 2f f
y x x y
a) 5 3 3 4( , ) 4 3 5f x y x x y y b) 2( , ) cosxyf x y e xseny
5) Para las funciones, obtener lo que se indica:
a) ( ) ;
( );
( );
( )
b) ( )
obtener ( )
c) ( )
obtener ( ) ; ( ) , ( )
d ) Sea ( ) . Obtener ( ) ( )
5) Verificar que
( )
( ) si ( )
6) Verificar que la funcin ( ) (
) satisfacen la ecuacin diferencial
( )
( )
7) Si
entonces
8) Si 2 2x y
zx y
, demostrar que, 0
w wx y
x y
9) Si 2 2( , ) ln( )f x y x xy y , demostrar que, 2
f fx y
x y
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REGLA DE LA CADENA
1) Utilice la regla de la cadena para hallar
o
a) , ,
b) , , ,
c) , , ,
2) Utilice la regla de la cadena para hallar
y
a)
, ,
b) , ,
3) Si ( ) donde es diferenciable, mostrar que
4) Sea (
). Expresar en su forma ms simple ( ) ( )
5) Si x
y
yx GFxw encontrar en su forma ms simple yx wywx
DERIVACION IMPLICITA
1) Para responder los siguientes ejercicios: Recuerde revisar el contenido de derivacin implcita
para funciones de varias variables. Puede buscar loa informacin en el libro Clculo Tomo II de
Larson u otro libro
Obtener
( ) y
( ) si ( ) est definida implcitamente mediante las
siguientes ecuaciones
a) ( ) ( ) b) ( )
c) d) ( )
2) Si ( ) est definida implcitamente mediante la ecuacin ( ) . Obtener
de la
forma usada en Clculo 1, luego use la frmula obtenida en el ejercicios anterior para obtener
a) b) ( )
3) Obtener las primeras y segundas derivadas de , siendo .
4) Obtener
( ) si la funcin ( ) definida implcitamente por la ecuacin:
y compruebe si
( )
5) Si la ecuacin
define a como funcin implcita de e ,
probar que
6) Dado el sistema de ecuaciones:
02
02
2
2
yxyvu
xyxvu
con ),(y ),( yxvvyxuu . Probar que: xy
u
yx
u
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