Derivadas!!!

Integrantes:Fares, Lucas

Ingratta, SantiagoVillalba, Martin

Zavalia Pereda, Agustin

Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto.Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

El problema de la derivación para campos escalares no cambia respecto de lo ya visto para funciones escalares. Es decir, siempre se efectúa la derivación según una sola de las variables que intervienen, dejando fijas las demás.

Por ello, se trata de una derivación parcial. Subsisten, por lo tanto, todas las reglas para derivar funciones de una variable.

Derivadas parciales

Sea F: A|R (A c |R^2) y (a;b) un punto interior al dominio.Si fijamos una de las variables, por ejemplo y=b, F depende exclusivamente de la variablex. Resulta F(x;b) = g(x). Si g es derivable en a, su derivada es, por definición,

Luego, definimos “derivada parcial de F, respecto de x, en el punto (a;b)”, al siguiente limite simple, si existe:

Se utiliza también la notación (a;b), Fx (a;b), F1 (a;b) o Dx (a;b).

El grafico g es una curva en el plano de ecuación y=b, intersección de la superficie definida por F y el plano mencionado. Por definición, g’(a) es la pendiente de la recta tangente a esa curva en el punto (a;g(a)).Por lo tanto la derivada parcial Fx’ (a;b) es la pendiente de la recta tangente en el punto A = (a;b;F(a;b)), a la curva plana, intersección de la superficie correspondiente a z = F(x;y) con el plano de ecuación y = b.

Análogamente, puede definirse e interpretarse geométricamente la derivada parcial de F respecto de y:

También puede utilizarse las siguiente definiciones, equivalentes a las anteriores:

Para un campo escalar de n variables, se define:

Teorema del valor medio (del calculo diferencial)

Recordemos que el teorema en una variable tiene como tesis para el intervalo [a;b] : f(b) = (b-a) f’(c)Con c entre a y b.

Sea F: A|R (A c |R^2) una función con derivadas parciales finitas en entorno del punto (a;b), interior al dominio, si el punto (a+h;b+h) pertenece a dicho entorno, entonces es

Con 0<c1<1 ^ 0<c2<1.

En el plano de ecuacion y = b, F depende exclusivamente de x, y puede aplicarse el teorema a una sola variable:

En el plano de ecuacion x = a, F depende exclusivamente de y,Luego,

Sumando (1) y (2) queda la tesis.

La tesis es:

Derivadas parciales sucesivas

Pueden considerarse, a partir de una función inicial de dos o masvariables, nuevas funciones definidas mediante las derivadas parcialesprimeras. Estas funciones pueden admitir, a su vez, nuevas derivadasParciales, definidas de la misma manera.

si existe, es la derivada segunda de F respecto de x dos veces.

si existe, es la derivada segunda de Frespecto de x y luego de y, etcétera.

Análogamente:

También puede utilizarse la notación:

El orden de la derivación en la ultima notación se indica de derecha a izquierda, contrariamente a lo que sucede con Fxy’’ donde el orden es de izquierda a derecha.

Análogamente indica que primero se deriva F respecto de y, y luego Fy’ respecto de x.

Pueden definirse en forma similar