En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según

cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como

el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable

independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto

al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las

12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o

menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en

ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la

velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las

15:19 y las 15:21.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde

con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de

la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el

caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

¿QUÉ ES Y PARA QUE SIRVE UNA DERIVADA?

1º IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)

Dispones de unos tablones que irás poniendo de peldaño a peldaño (Figura 2) para poder desplazar tu carro

Fijate en ellos, observa la figura 2 ¿Qué constatas con relación a su inclinación?

Tendrás que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el último tramo. La pendiente,

aunque subas todo el tiempo, es más elevada al inicio que al final.

Si establecemos el ángulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ángulo se va reduciendo a medida que

vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de la pendiente va reduciéndose.

Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ¼ ya que

tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la

escalera) . La pendiente es la división de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la

pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de

0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10

unidades ¿Cuál sería la pendiente en este caso?

La pendiente en ese caso sería de 10/5= 2.

Eso que acabamos de explicar es la clave de la derivada. Así de sencillo.

La derivada nos muestra la evolución de la inclinación de los tablones a lo largo del trayecto.

Así que la derivada tiene que ver con los cambios de los coeficientes directores o los ángulos de los tablones con relación

a la horizontal. En el ejemplo los coeficientes son positivos hasta el punto 21, a partir del punto 21 el coeficiente director

es 0 ya que el tablón está paralelo al suelo, si a partir de ahí se fuese avanzando y las escaleras fuesen bajando, en lugar

de subir, el coeficiente director sería negativo. Si fuese bajando de modo simétrico al que ha ido subiendo encontraríamos

los mismos indices angulares pero negativos.

La derivada muestra la evolución de la pendiente, en cada punto de los tablones, a lo largo de la curva. ¿Lo habéis

entendido?

Así que si remplazamos todos esos tablones por una solo tablero flexible que se posiciona sobre la escalera, podríamos

decir que es una subida continua ya que la rueda de mi carro no siente ningún tipo de discontinuidad a lo largo del trayecto

(no hay rupturas entre tablones) y escribiríamos una función continua f(x) que nos indicaría por cada punto que

avanzamos en que punto de la altura nos encontramos. Mientras que la derivada sería una función f'(x) derivada de la

anterior función que ya no nos da la altura sino que nos dice de cuánto cambia aquella función primitiva y la pendiente

que tiene en cada punto del tablero flexible.

Los matemáticos dicen que la derivada es la función f'(x) que da la tangente en cada punto de la curva f(x). De todo esto

lo importante es que lleguemos a imaginar y a visualizar con algún ejemplo como la derivada mide las evoluciones y los

cambios de una variable (en el ejemplo, la altura de la escalera del dibujo) con relación a otra (la profundidad de la escalera

del dibujo).

Ahora vamos a imaginar otras funciones en las que hay una derivada. ¿Se os ocurre alguna? Por ejemplo el incremento

de peso que he ido cogiendo en función de los años. ¿Qué me dará la derivada? Eso ya lo podéis responder: la evolución

de ese incremento de peso que no es otra cosa la evolución del ángulo de los tablones sobre la horizontal.

¿Para qué sirve entonces la derivada? La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la

evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0

(máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho

de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar

muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas

están siempre presentes. Se utiliza en economía, se utiliza en gestión, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de cálculo

de frenado y de automatización utilizan derivadas, los sistemas y las máquinas automatizadas para fabricar o para

controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que ésta sea

suave, se controla el “jerk” que es la derivada de la aceleración con relación al tiempo.

Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicándola al estudio de puntos máximos y mínimos de una

curva, pero fue Newton en 1669 quien la integró en un sistema matemático que es una genialidad y que se llama el Cálculo

integral y diferencial y que se puede decir es la base matemática de la ciencia clásica. La relación entre la derivada y su

primitiva (aquella curva de la que se puede derivar) funda el estudio de las diferenciales que sirven por ejemplo para

cálculos de fenómenos de acumulación, reducción y dispersión. El estudio de la cantidad de carbono 14 en un hueso

permite, por ejemplo, a través de una diferencial, llegar a calcular su edad.

Un ejemplo que de una aplicación de la derivada y que es más fácil de visualizar que los clásicos sobre el movimiento, las

velocidades y las aceleraciones que se suelen utilizar habitualmente en clase: tenemos que construir una tubo o pista de

skateboard de 20 metros de distancia entre los dos extremos superiores y de 2,5 metros de altura (figura 4). Se debe

construir en un parque donde hay una piedra que tiene una inclinación de 16,7 º, es decir una tangente de 0,3 de

coeficiente director (recordar lo de los tablones: 0,3= 3/10, es decir en 10 metros de recorrido sube 3 metros).

Hay que aprovechar esa piedra para utilizar el menor cemento posible. Se trate entonces de ver que punto de la piedra y

que punto de la pista van a coincidir para construir el tubo para el skateboard utilizando el mínimo material (ver figura 4).

Así que sin entrar en explicaciones de como se realiza la derivada de una función, aceptamos que la función de la pista

es f(x)= 1/40 *x2 y su derivada f'(x)=1/20*x .

Sabemos dos cosas. Sabemos que la pendiente de la piedra es 0,3 y sabemos que si hay un punto en la curva que tenga

0,3 de pendiente, podemos saber cual es. Ese es el punto que debe tocar la pierda. Y eso es fácil. De manera que buscamos

el punto 0,3 en la derivada: 0,3=1/20*x; x=6; es decir 6 metros con relación al centro (el punto cero de la curva). Por otro

lado sabemos que en ese punto la altura del tubo para el skateboard es de 0,9 metros, ya que en la función principal:

f(x)= 1/40 *x2 =1/40 *(6)2= 0,9; así pues, es en el punto de altura de la piedra que hace 0,9 m es donde se encuentran la

piedra y la parte del tubo para utilizar la menor cantidad de cemento y que nos permite establecer las distancias para

iniciar los trabajos.

Si tuviésemos que calcular la cantidad de cemento necesario para fabricar el tubo del stakeboard sería muy fácil

conociendo la longitud y utilizando la función primitiva f(x)= 1/40 *x2 como si fuese la derivada de otra función. Lo cual

nos permitiría encontrar el área y multiplicarlo por la longitud para hallar el volumen. Las relaciones que se establecen

entre una función y su derivada son múltiples y han sido la base para la construcción de las ciencias. Es algo que parece

magia y cuando se enseña magia a un chaval… se aviva el interés por aprender.

Bueno, no se si con estas explicaciones hemos visto un poco mejor lo qué es y para qué sirve una derivada. En todo caso

nadie puede entender bien una derivada o una integral o cualquier otro concepto fundador del conocimiento si no es

capaz de sentirlo, observarlo, imaginarlo. Mis explicaciones han buscado VISUALIZAR el concepto.

Y esta es el punto al que quiero llegar. No es lo mismo adquirir “conocimientos” que comprender los fundamentos de las

matemáticas, de la física, de la estadística, de la sociología. Para poderlo comprender, el alumnado debería ser capaz de

imaginar el concepto con imágenes simples, cotidianas, suyas y poder él mismo explicarlo así al resto de la clase. Es mejor

pasar tiempo visualizando el concepto base de cualquier ciencia, hasta que todo el alumnado pueda “a su manera”y desde

su experiencia imaginar en que consiste, aunque no se cumpla el programa escolar, que memorizar fórmulas, de

derivación en este caso, que no van a servir para nada por varias razones: no se sabe para qué y en qué casos aplicar;

haciendo derivadas sin saber bien para qué se pierde el sentido del aprendizaje y el gusto por aprender; un aprendizaje

sin engarce con la realidad, sin movilizar el sentir, o la emoción se olvida.

Fórmulas de Derivación