Escuela politéncica del ejercito.

Ingeniería Electrónica.

Métodos Numéricos.

Mat. Javier González.

1 Ejercicios sobre polinomios de Lagrange.

1. Sea f(x) =px� x2 y P2(x) el polinomio interpolante en x0 = 0; x1;

x2 = 1: Calcular el valor mas grande de x1 en (0; 1) para el cual f(0:5)�P2(0:5) = �0:25:Al encontrar el polinomio de grado 2, obtenemos P2(x) = f(x0)L2;0 +f(x1)L2;1 + f(x2)L2;2; por tanto

P2(x) = f(x1)L2;1 =px1 � x21 �

(x�0)(x�1)(x1�0)(x1�1) =

px1 � x21 �

x(x�1)x1(x1�1) ;

entonces

f(0:5)� P2(0:5) = �0:25p0:5� 0:52 �

px1 � x21 �

0:5(0:5�1)x1(x1�1) = �0:25

�px1(1�x1)x1(1�x1) = �0:75

0:25 ,

� 1px1(1�x1)

= �0:750:25 , cuya solución es x1 = 0:127 32; x1 = 0:872 68; por

tanto la solución es x1 = 0:872 68:

2. Construya el polinomio interpolante de Lagrange para la función f(x) =e2x cos 3x con x0 = 0; x1 = 0:3; x2 = 0:6:

El polinomio de grado 2 es P2(x) = f(x0)L2;0 + f(x1)L2;1 + f(x2)L2;2;por tanto

P2(x) =(x�0:3)(x�0:6)(�0:3)(�0:6) +e

0:6 cos 0:9� (x�0)(x�0:6)(0:3�0)(0:3�0:6)+e

1:2 cos 1:8� (x�0)(x�0:3)(0:6�0)(0:6�0:3)

entonces

P2(x) =(x�0:3)(x�0:6)(�0:3)(�0:6) +e

0:6 cos 0:9� (x�0)(x�0:6)(0:3�0)(0:3�0:6)+e

1:2 cos 1:8� (x�0)(x�0:3)(0:6�0)(0:6�0:3)

Entonces el error absoluto en los puntos x0 = 0; x1 = 0:3; x2 = 0:6 escero, porque en los polinomios de Lagrange f(xk) = P2(xk):

3. El método de Neville sirve para aproximar f(0:4) si se cuenta con la sigu-iente tabla. Determine P2 = f(0:5):

x0 = 0 P0 = 1x1 = 0:25 P1 = 2 P01 = 2:6x2 = 0:5 P2 = P12 = 3:2 P012 = 3:08x3 = 0:75 P3 = 8 P23 = 2:4 P123 = 2:96 P0123 = 3:016

P0123 = Q33 =(x�x0)Q32�(x�x3)Q22

x3�x0 = (0:4�0)2:96�(0:4�0:75)Q22

0:75�0 = 3:016,por tanto Q22 = 3:08:

1

Luego Q22 =(x�x0)Q21�(x�x2)Q11

x2�x0 = (0:4�0)Q21�(0:4�0:5)2:60:5�0 = 3:08,por

tanto Q21 = 3:2; �nalmente

Q21 =(x�x1)Q20�(x�x2)Q10

x2�x1 = (0:4�0:25)Q20�(0:4�0:5)20:5�0:25 = 3:2, de donde

Q21 = P2 = 4:0:

4. Sea f(x) = ex; para 0 � x � 2:

(a) Aproxime f(0:25) mediante la interpolación lineal con x0 = 0 y x1 =0:5:

P1(x) =(x�0:5)(0�0:5) e

0 + (x�0)(0:5�0)e

0:5; entonces

P1(0; 25) =(0:25�0:5)(0�0:5) e

0 + (0:25�0)(0:5�0) e

0:5 = 1:324 4

(b) Aproxime f(0:75) mediante la interpolación lineal con x0 = 0:5 yx1 = 1:

P1(x) =(x�1)(0:5�1)e

0:5 + (x�0:5)(1�0:5) e

1; entonces

P1(0; 75) =(0:75�1)(0:5�1) e

0:5 + (0:75�0:5)(1�0:5) e

1 = 2:183 5

(c) Aproxime f(0:25) y f(0:75) mediante el segundo polinomio inter-polante con x0 = 0, x1 = 1 y x2 = 2:

P2(x) =(x�1)(x�2)(0�1)(0�2) +

(x�0)(x�2)(1�0)(1�2) e+

(x�0)(x�1)(2�0)(2�1) e

2; entonces

P2(0:25) =(0:25�1)(0:25�2)(0�1)(0�2) + (0:25�0)(0:25�2)

(1�0)(1�2) e+ (0:25�0)(0:25�1)(2�0)(2�1) e2

P2(0:25) = 1:152 8, y

P2(x) =(0:75�1)(0:75�2)(0�1)(0�2) + (0:75�0)(0:75�2)

(1�0)(1�2) e+ (0:75�0)(0:75�1)(2�0)(2�1) e2

P2(0:75) = 2:011 9

(d) ¿Cuáles aproximaciones son mejores y porque?jf(0:25)� P1(0; 25)j =

��e0:25 � 1:324 4�� = 4:037 5� 10�2jf(0:25)� P2(0; 25)j =

��e0:25 � 1:152 8�� = 0:131 23jf(0:75)� P1(0; 75)j =

��e0:75 � 2:183 5�� = 6:650 0� 10�2jf(0:75)� P2(0; 75)j =

��e0:75 � 2:011 9�� = 0:105 1;5. El polinomio de Bernstein de grado n para f 2 C[0; 1] está dado por

Bn(x) =nXk=0

�n

k

�f(k

n)xk(1� x)n�k:

(a) Obtenga B3(x) para las funciones

i. f(x) = x

B3(x) =3P

k=0

�3k

�(k3 )x

k(1� x)3�k

B3(x) = x3 + x (1� x)2 + 2x2 (1� x) = x

2

10.750.50.250

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Bernstein B3(x)ii. f(x) = 1

B3(x) =3P

k=0

�3k

�xk(1� x)3�k = (x+ (1� x))3 = 1:

(b) Demuestre que, para cada k � n,�n�1k�1�= ( kn )

�nk

�:

( kn )�nk

�= ( kn )

n!k!(n�k)! ;

( kn )�nk

�= ( kn )

n(n�1)!k(k�1)!(n�1�k+1)! ;

( kn )�nk

�= (n�1)!

(k�1)![(n�1)�(k�1)]! ;

( kn )�nk

�=�n�1k�1�:

(c) Demuestre que cuando f(x) = x2 se tiene que Bn(x) = (n�1n )x2+ 1nx:

Al utilizar la de�nición del polinomio de Bernstein para f(x) = x2;

se obtiene Bn(x) =nPk=0

�nk

�( kn )

2xk(1 � x)n�k; como para k = 0; la

expresión es cero, empezamos la sumatoria en k = 1; con lo que

Bn(x) =nPk=1

��nk

�kn

�knx

k(1�x)n�k; utilizando la parte b), se obtiene

Bn(x) =nPk=1

�n�1k�1�knx

k(1�x)n�k, utilizando propiedades del simbolo

sumatoria,

Bn(x) =n�1Pk=0

�n�1k

�k+1n xk+1(1� x)n�(k+1); de donde

Bn(x) =n�1Pk=0

�n�1k

�knx

kx(1�x)(n�1)�k+n�1Pk=0

�n�1k

�1nx

kx(1�x)(n�1)�k;

Bn(x) = xn�1n

n�1Pk=0

�n�1k

�k

n�1xk(1 � x)(n�1)�k + x

n

n�1Pk=0

�n�1k

�xk(1 �

x)(n�1)�k;

La expresiónn�1Pk=0

�n�1k

�k

n�1xk(1�x)(n�1)�k; es el polinomio de Bern-

stein de grado n � 1 para f(x) = x; y la expresiónn�1Pk=0

�n�1k

�xk(1 �

x)(n�1)�k, es el polinomio de Bernstein de grado n�1 para f(x) = 1;con lo que se obtiene

3

Bn(x) =n�1n x2 + x

n :

10.750.50.250

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Bn(x) para f(x) = x2

(d) Estime el valor de n necesario para que��Bn(x)� x2�� � 10�6:��Bn(x)� x2�� = ��n�1

n x2 + xn � x

2�� = ��� 1

nx2 + x

n

�� = �� 1nx (1� x)

�� �10�6; como 0 � x � 1; tenemos también que 0 � 1�x � 1; por tanto�� 1n

�� � 10�6; de donde n � 106 = 1000 000:

4