Curvas técnicas

Espirales: 2 y 3 centros

Trazado de una espiral de dos centros:

Trazado de una espiral de tres centros situados en los vertices de un triángulo equilatero:

1 21 21 2 1 2

1 2 3

3 2

1

Sobre una recta situamos los dos centros a la distancia deseada.

3 43

1º- Con centro en 1 y radio 1-2 trazamos una semi-circunferencia que nos da el punto 3.2º- Con centro en 2 y radio 2-3 trazamos una semi-circunferencia, en el lado opuesto a la primera. Obtenemos elpunto 4.3º- Con centro en 1, de nuevo, trazamos una semicircunferencia de radio 1-4, obteniendo el punto 5.

Se trata de alternar los centros uno y dos, trazando semi-circunferencias, siempre en el mismo lado para cada centroy abriendo el compás el radio máximo posible en cada paso.

Trazamos un triángulo equilátero (el paso de la espirales la magnitud del lado del triángulo)Prolongamos cada lado por uno de sus extremos.

1º- Con centro en uno y radio 1-3 trazamos un arco que corta a la recta 1-2 en el punto 1a

3 2

11

1a

3 2

1

21a

2a

2º- Con centro en 2 y radio 1a, trazamos un arco que corta a la recta 2-3 en el punto 2a.

3º- Con centro en 3 y radio 3-2a trazamos un arco que corta a la recta 1-3 en el punto 3a.

4º- Con centro en 1, de nuevo, y radio 1-3, trazamos El arco que sobre la recta 1-2 nos da el punto 1b.

3 2

1

3

2a

3a

1b

4

A partir de ahí trazaremos los arcos sguiguiendo lospasos 1º, 2º y 3º, pero con radios hasta los puntos xb,xc, xd...

Observar, en ambas espirales, como cada sector de arcos siempre tiene el mismo centro, es decir, para formar laespiral trazamos arcos concéntrricos. El diametro o rádio de cada arco va incrementandose sucesivamente en funcióndel paso y del nº de centros.

Una espiral es una curva abierta y plana que da vueltas alrededor de un punto alejándose de él.El paso de la espiral es la distancia entre dos vueltas o espiras consecutivas.A las espirales tambien se les denomina volutas, aunque una voluta tambien podría llamarse espiralpoligonal. Una espiral poligonal es una curva formada por arcos tangentes interiores entre sí concentros en los vétices de un polígono.

Espirales Poligonales de 4 y 5 centros

Trazado de una espiral de cinco centros situados en los vertices de un pentágono regular:

Trazado de una espiral de cuatro centros situados en los vertices de un cuadrado:

1 2

34

1

23

45

Demás espirales poligonales todas se trazan siguiendo el mismo procecimiento que la espiral de tres centros. Enest página se muestran dos espirales de cuatro y de cinco centros pero se puede seguir aumentando el númerode vértices.

A B C

Espiral de Durero. Espirales Aureas

A B A B C A B C

A C A B C

En cualquier caso finalmenteobtenemos un rectángulo aureoque contiene un cuadrado yotro rectángulo aureo.

Este rectángulo aureo máspequeño podemos dividirlo enotro cuadrado y otro rectánguloaureo menor.

Este proceso podemos repetirlocuantas veces deseemos opodamos. De igual modopodemos añadir al lado mayorun cuadrado para conseguirotro rectángulo aureo mayorsuccesivamente.

Existe otro tipo de espiral gnomica aurea derivadade un triángulo isosceles.

En este caso el lado desigual del triángulocumple proporciones aureas respectoal lado repetido.

El factor decrecimiento siguesiendo el número de oropero el salto amgular es del 36º.

Trazado de la espiral de durero:

La espiral de Durero queda encajada en un rectángulo aureo, por lo que necesitamos recordar como trazar esterectángulo.

Partiendo de un cuadrado (el lado del cuadrado es el menor del rectángulo):

En 1525 Alberto Durero publica una obra titulada "Instrucción sobre la medida con regla ycompás de figuras planas y sólidas". Era un libro qu etrataba de enseñar a los artistas, pintores ymatemáticos de la época métodos para trazar figuras geométricas. En el libro Durero explica el trazado con regla y compás algunas espirales y entre ellas una quepasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero, también llamada Espiral aurea Mientras la espiral arquimediana y la espiral logaritmica no pueden ser trazadas con compás,la espiral aurea se compone de cuartos de circunferencia tangentes interiores entre sí. Los radiosde dos arcos consecutivos responden a la proporción aurea, el trazado de esta espiral tiene unagran similitud a una espiral logarítmica de salto ángular 90º y razón Phi (el número aureo). Las espirales logarítmicas tienen una presencia notable en la naturaleza y más concretamentela espiral logaritmica aurea.

Partiendo de un segmento (el segmento es el lado mayor del rectángulo:

Habiendo dividido el rectángulode este modo, trazamos laespiral uniendo los vérticesopuestos de cada cuadrado conarcos de circunferencia, concentro en otro de los vértices decada cuadrado, de modo quelos arcos sean enlaces decircunferencias tangentesinteriores.

A este tipo de crecimiento, en el que partes sucesivas, son semejantes (misma forma pero distinto tamaño) y queaumentan de tamaño en proporción geométrica dispuestas de forma similar en torno a un centro se le denominacrecimiento gnómico. Este tipo de crecimiento es común en la naturaleza y es objeto de estudio de la geometríafractal.

A

C

A B C

B

EVOLVENTE DEL CIRCULO YESPIRAL DE ARQUÍMEDES

La evolvente del círculo o de la circunferencia es la curva que genera un punto sobre unatangente a una circunferencia cuando la tangente rueda alrededor de la circunferencia manteniendosesiempre tangente a esta.

En el caso de que punto generador se situe en extremo de la tangente se denomina normal, siendoalargada o acortada si se toma un punto en la perpendicular a la tangente por el extremo por elexterior o el interior de esta.La evolvente de un circunferencia se emplea en la construcción de los dientes de engranajes.

Trazado de la evolvente del círculo:

12

3

4

5678

9

10

1112

12

3

4

5678

9

10

1112

Un caso particular de evolvente acortada es la espiralde Arquímedes. Se define como el lugar geométrico de un puntomoviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo aVelocidad Angular constante.

12

3

4

5678

9

10

1112 1

2

3

4

5678

9

10

1112 1

2

3

4

5678

9

10

1112

1 2 3 4

1º- Dividimos la circunferencia enun nº de partes iguales. Docepartes es un buen número.

2º- Trazamos una tangente a lacircunferencia por la última dividión,prolongandola en sentido hacia laprimera división.Trazamos la tangente por la primeradivisión. El punto donde estas se cortanserá el centro del arco con radio hastala última dividisión.

3º- Trazamos una tangente por la segundadivisión, donde esta corta a la anteriortangente encontramos el centro del nuevoarco con radio hasta la intersección del últimoárco con la última tangente.

4º- Seguimos el mismo procesoconsecutivamente hasta completar laoperación con todas las divisiones de lacircunferencia.

Trazado de la espiral de arquímedes:

1

2

34

5

6

7

8

9

10

11

121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1º- Dividimos la circunferencia en un numero departes iguales (en este caso la hemos dividido endoce partes iguales.

2º- Dividimos un radio en el mismo número departes iguales.Este radio tendra el nº de dividiónnº 12 y en su extermo perteneciente a lacircunferencia tendra el último punto queobtengamos de la espiral. El radio sobre el queefectuamos se corresponde con la división de lacricunferencia nº 12.

3º- Llevamos la distancia desde el centro de lacircunferencia hasta la división del radio nº1 alradio divisor nº1.

4º- Llavamos la distancia desde el centro hastala dividión del radio nº2 al radio divisor nº 2

5º- Así procedemos sucesivamente con todos losradios divisores. Cada punto obtenido sobre lasdivisiones dle círculo es un punto de la espiralque trazamos a mano alzada.

Nº Lista y grupo

Apellido Apellido, Nombre

Título de la lámina

Fecha

Espirales

Traza una espiral de dos centros:

Traza una espiral de tres centros situándolos en los vertices del triángulo equilatero:

1 2

32

1

Nº Lista y grupo



Fecha

Espirales

Traza una espiral de cinco centros situados en los vertices en el pentágono regular:

Traza de una espiral de cuatro centros situados en los vertices del cuadrado:

1 2

34

123

45

Nº Lista y grupo



Fecha

Espirales Aureas

A partir del cuadrado dado traza un rectángulo aureo y dividelo en más cuadrados y rectángulos áureospara incribir una espiral de durero o áurea:

El triángulo isosceles dado responde a proporciones áureas. Dividelo en triángulos que respondan adichas proporciones y traza a partir de el una espiral áurea.:

Nº Lista y grupo



Fecha


Traza evolvente normal del círculo dado. Utiliza como punto de partida el extremo superior deldiámetro dado, 12.

12

Traza la espiral de arquímedes dentro del círculo dado:

Nº Lista y grupo



Fecha

Espirales

Trazado de una espiral de dos centros:

Trazado de una espiral de tres centros situados en los vertices de un triángulo equilatero:

1 2

3

2

1

Nº Lista y grupo



Fecha

Espirales

Trazado de una espiral de cinco centros dado el pasoTrazado de una espiral de cinco centros situados en los vertices de un pentágono regular:

Trazado de una espiral de cuatro centros dado el pasoTrazado de una espiral de cuatro centros situados en los vertices de un cuadrado:

1 2

34

1

23

45

Nº Lista y grupo



Fecha

Espirales Aureas

A partir del cuadrado dado traza un rectángulo aureo y dividelo en más cuadrados y rectángulos áureospara incribir una espiral de durero o áurea:

El triángulo isosceles dado responde a proporciones áureas. Dividelo en triángulos que respondan adichas proporciones y traza a partir de el una espiral áurea.:

Nº Lista y grupo



Fecha


Traza evolvente normal del círculo dado. Utiliza como punto de partida el extremo superiordel diámetro dado.

12

3

4

5678

9

10

1112

Traza la espiral de arquímedes dentro del círculo dado:

1

2

34

5

6

7

8

9

10

11

121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Construcción de un Óvalo de 8 arcos.

El óvalo es una curva cerrada y plana que está compuesta por cuatro, O MÁS, arcos de circunferéncia SIMÉTRICOSENTRE SÍ. En este caso nos encontramos con un óvalo de 8 centros, mucho más fiel a la forma de una elipse. Es unproceso de construcción más complejo que el de cualquier óvalo de cuatro centros, aunque la simetría puede ayudarnosa reducir el problema a encontrar los tres primeros centros y los tres primeros enlaces.

O1

O2

O3

O4

O1

O2

O3

O4

t3

O5

t2

t4

O6

t5

t6

O7

t7

O8

O1

O2

O3

O4

t3

O5

t2

t4

O6

O1

O2

O3

O4

t3

O5

t2t4

O6

t5

t6

O7

t7

O8

Óvalo dados el eje mayor y el menor (ocho centros)1º- Necesitamos situar los ejes perpendiculares entre sí y cortándose por sus puntos medios. Con lados el semieje mayor y semi eje menor trazamos un rectángulo en uno de sus cuadrantes. Y trazamos la diagona que une los extremos de los ejes.2º- Trazamos una perpendicular a la diagonal del rectangulo partiendo del vértice opuesto al corte de los dos ejes. Esta sobre el semieje mayor nos dará el primer centro O1 y sobre la prolongación del eje menor nos dará el primer centro, O2. Con centro en la intersección de los ejes y radio hasta los centros O1 y O2 llevamos la distancia los semiejes opuestos (SIMETRÍA).3º- Con diámetro igual al eje mayor y centro su punto medio trazamos una circunferencia e inscribimos en ella un decágono regular. Lo haremos de modo que los extremos del diámetro horizontal coincidan con dos vértices del decágono. Solo necesitamos las divisiones de la circunferencia.

O1

O2

O3

O4

O1

O2

O3

O4

t3

4º- Con centro en O4 y radio hasta el extremo del correspondiente semieje trazamos un arco que corta al decágono en t3. (Podemos repetir, a continuación o después, este paso con centro en O1 teniendo en cuenta la SIMETRÍA respecto al eje menor del óvalo).5º- Trazamos una recta que pasa por la intersección de la prolongación de semieje menor con la circunferencia de radio el mayor y por el primer vértice del decágono. Trazamos una paralela pasando por el extremo superior del eje menor.(En este caso lo hemostrazado esta recta haciéndola pasar por el vértice izquierdo del polígono, posteriormente repetiremos el mismo paso simétricamente respecto al eje menor).

O1

O2

O3

O4

t3

O5

t2

O6

O1

O2

O3

O4

t3

6º- Con centro en O2 y radio el semieje mayor trazamos un arco que corta a esta última recta en el punto t2. Unimos t2 con O2 y unimos t3 con O4 prolongándola hasta cortar a la anterior segmento en O5. Con centro en O5 trazamos un arco que enlaza t3 con t2.

7º- Repetimos los procedimientos del paso 5º,6º y 7º de forma simétrica para realizar el cuadrante superior derecho.8º- Repetimos de forma simétrica respecto al eje horizontal para realizar la mitad inferior.9º- Remarcamos o pasamos a tinta.


Construcción de un Óvalo de 8 arcos.

El óvalo es una curva cerrada y plana que está compuesta por cuatro, O MÁS, arcos de circunferéncia SIMÉTRICOSENTRE SÍ. En este caso nos encontramos con un óvalo de 8 centros, mucho más fiel a la forma de una elipse. Es unproceso de construcción más complejo que el de cualquier óvalo de cuatro centros, aunque la simetría puede ayudarnosa reducir el problema a encontrar los tres primeros centros y los tres primeros enlaces.

O1

O2

O3

O4

t3

O5

t2t4

O6

t5

t6

O7

t7

O8

En magenta y con el mismo grosor se ha representado en último plano la elipse con los mismosejes que el óvalo. Nótese la mínima diferencia entre la curva técnica y la cónica.


1º- Situamos los ejes de modo que se corten perpendicularmente por sus puntos medios.2º- Unimos c con a (extremos del eje mayor y menor).3º- Prolongamos el eje mayor, con centro en x y radio xa, trazamos un arco que corta a la prolongación en Y.4º- Con centro en c, y radio cY, trazamos un arco que corta a la restca ac en e.5º- Trazamos la mediatriz del segmento ae obteniendo O1 sobre el eje mayor y O2 sobre la prolongación del eje menor.6º- Con centro en x, llevamos O1 y O2 a las mitades opuestas de los ejes obteniendo O3 y O4. Unimos O1 con O2 y O3 con O4, sobre estas rectas quedarán los puntos de tangencia.7º- Trazamos los arcos simetricos con centros O1-O2, y O3.O4 y radio hasta los extremos de los ejes.

Óvalo dados el eje mayor y el menor (método 1)

a b

c

d

O1

O2

xO3

O4

a b

c

d

a

c

Y

O1

O2

xe

1

2 3

4 576

1º- Situamos los ejes de modo que se corten perpendicularmente por sus puntos medios.2º- Unimos c con a (extremos del eje mayor y menor).3º- Desde c trazamos una paralela al eje ab y desde a otra paralela al eje cd. obteniendo el punto e.4º- Hallamos el incentro (i) del triangulo ace (dos bisectrices) i.

5º- Por el punto i trazamos una perpendicular al segmento ac. obtenemos O1 sobre el eje ab y O2 sobre la prolongación de cd.6º- Con centro en x, llevamos O1 y O2 a las mitades opuestas de los ejes obteniendo O3 y O4. Unimos O1 con O2 y O3 con O4, sobre estas rectas quedarán los puntos de tangencia.7º- Trazamos los arcos simetricos con centros O1-O2, y O3.O4 y radio hasta los extremos de los ejes.Las rectas que unen los centros marcarán los puntos de tangencia.

Óvalo dados el eje mayor y el menor (metodo 2)

a b

c

d

1

2 3

4

6

El óvalo es una curva cerrada y plana que está compuesta por cuatro, o más, arcos de circunferéncia simétricos entresí. Suele venir definido por dos ejes que marcan sus dimensiones y sirven de ejes de simetría de los arcos. Se empleafrecuentemente en perspectivas axonométricas para representar la circunferencia vista en perspectiva.

OVALOS

a

ce

b

d

a

ce

b

d

i

O1

O2

5

a

c

b

d

iO1

O2

a

c

b

d

iO3

O47

O1

O2

a

c

b

d

O3

O4

Óvalo dados los dos ejes: óvalo óptimo


Óvalo dado el eje mayor (metodo 1)

El óvalo es una curva cerrada y plana que está compuesta por cuatro, o más, arcos de circunferéncia simétricos entresí. Suele venir definido por dos ejes que marcan sus dimensiones y sirven de ejes de simetría de los arcos. Se empleafrecuentemente en perspectivas axonométricas para representar la circunferencia vista en perspectiva.

0 1 2 3

O3

O4

t1 t2

t3

t4

O2O1O1 O2

1º- Dividimos el eje mayor dado en tres partes iguales. Los dos puntos que lo dividen serán dos de los centros2º- Trazamos dos circunferencias desde O1 y O2 y radio hasta los extremos del eje, los dos puntos de intersecciónserán los otros dos centros del óvalo.3º- Unimos O3 y O4 con O1 y O2, los puntos en que las rectas cortan las dos circunferencias trazadas serán los puntos de tangencia.4º- Desde O3 y O4 trazamos los arcos que completan el óvalo.

Óvalo dado el eje mayor (metodo 2)

O1 O2OA B

O1 O2OA B

O3

O4

O1 O2OA B

O3

O4

O1 O2

A B

O3

O4

t3

t1 t2

t4

1º- Trazamos la mediatriz del eje AB obteniendo O.Trazamos mediatrices a los dos semi-ejes obteniendo O1 y O22º- Trazamos dos circunferencias desde O1 y O2 abriendo el comás hasta O. Desde A y B trazamos dos arcos abriendo el compás hasta O los dos puntos de intersección con la primera mediatriz serán los otros dos centros del óvalo.3º- Unimos O3 y O4 con O1 y O2, los puntos en que las rectas cortan las dos circunferencias trazadas serán los puntos de tangencia.4º- Desde O3 y O4 trazamos los arcos que completan el óvalo.

Óvalo dado el eje menor

OO1 O2

O3

O4

1º- Colocando el eje dado en posición vertical, trazamos su mediatriz y desde su punto medio (O) trazamos una circunferencia con diámetro igual al eje dado, obteniendo así los cuatro centros del óvalo.2º- Desde los extremos del eje menor trazamos dos arcos de radio igual a la totalidad del mismo.3º- Unimos O3 y O4 con O1 y O2 obteniendo sobre ambos arcos los puntos de tangencia.4º- Con centro en O1 y O2 trazamos los arcos necesarios para completar el óvalo abriendo el compás hasta los puntos de tangencia.

t1

t2

t3 t4

O1

O2

ALOS

Óvalo dado uno de los ejes


Óvalo dada la "caja" isometrica

El óvalo se emplea en perspectivas axonométricas para representar la circunferencia vista en prespectiva.

En realidad, una circunferencia observada desde cualquier punto de vista que no se encuentre en unaperpendicular por el centro de la circunferencia al plano que la contiene se ve como una elipse.

Dada la complejidad del trazado de la elipse (únicamente se puede trazar por puntos, sin compás) y conel fin de la representación limpia y clara, está permitido representar a la circunferencia vista en prespectivamediante el óvalo.

En perspectiva axonométrica es muy común encontrase con "cajas" , planas o con volumnen, en las quese encierra una circunferencia o figura volumetrica.En este apartado veremos como trazar un óvalo encerrado en una "caja" isométrica, es decir en un rombocuyos angulos enfrentados miden 120º y 60º.

"Método de Orth": para corregir la excentricidad de un óvalo

60º 60º

120º

120º

Datos PQRS: Paralelogramo procedente de una perspectivaisométrica.

1º- Trazamos las diagonales RS y PQ para obtener las direcciones de los ejes del óvalo.2º- Trazamos la mediatriz del lado RQ obteniendo m.3º- Con centro en Q y radio Qm trazamos un arco que corta al eje horizontal del óvalo en O1.4º- Con centro en O llevamos la medida OO1al otro lado del eje obteniendo O2.5º- Para encontrar puntos de tangencia (t) y los otros dos centros (O3 y O4) del óvalo trazaremos desde O1 y O2 perpendiculares a los lados del paralelogramo.

O1

O2

O3 O4

t1

t2 t3

t4

O2 O

m

O1

R

QP

SO3

O4

t1

t2

t3

t4

O2

O

m

O1

R

QP

SO3

O4

t1

t2

t3

t4

O2

O

m

O1

R

QP

S

1

2 3 4 5

Nº Lista y grupo



Fecha

Óvalo dado el eje mayor Óvalo dado el eje menor

Óvalo dados ambos ejes Óvalo dada la "caja" isométrica

Construcciones de óvalos


Ovoide de 8 centros dado el eje mayor:"5-point-egg"

c2'

c1

c2

t1 t1'

c2c2'

t2 t2'

t3t3'

c3c3'

t4 t4'

c4 c4'

c5

7

12 3

4 5

6 7

DADO EL EJE MAYORCONSTRUIR UN OVOIDEDE 8 CENTROS.

PROCEDIMIENTO:

1º- DIvidimos el eje mayor en4 partes iguales. Con centroen las tres secciones, noextremos, del eje trazamoscuatro circunferencias deradio igual a la cuarta partedel eje. Con centros en lasdos intersecciones que seproducen entre las doscircunferencias de la partemedia trazamos otras doscircunferencias del mismoradio (una a cada lado)fig 1.

2º- En este paso se puedeobservar como trazandoalgunos segmentos que unencentros e intersecciones seremarcan los centros delovoide a trazar.

3º- Uniendo C1 con C2 y C2',obtenemos los puntos t1 y t1'sobre la cir. superior, yatrazaza.

4º. Trazamos los arcos concentro en los c2 y radioshasta los t2 a los ladosopuestos del eje mayor-Unimos los c2 con los c3 conlos c4 obtenemos los t2 sobrelos arcos trazados en estepaso.

5º- Con centros en c3 y radioshasta los t2 del otro lado deleje mayor trazamos los arcos.Uniendo los c4 con c5obtenemos los t3.

6º- Con centros en los c4 yradio hasta los t3 al otro ladodel eje,trazamos dos arcos.Uniendo los c4 con c5encontramos sobre esosarcos los t4 .

7º- Con centro en c5 y radiohasta cualquiera de los t4trazamos el arco que cierrael ovoide


El Ovoide: 5-point-egg

t3 t3'

c5

c4c4'

c3c3'

c2 c2'

c1

t4 t4'

t2 t2'

t1t1'

Nº Lista y grupo



Fecha

Cosntrucción de ovoide de ocho centros: 5-point-egg

A partir del eje mayor dado construye un ovoide de 8 centros:


El Ovoide: Dado un eje

El ovoide es una curva cerrada y plana que está compuesta por cuatro, o más, arcos de circunferéncia simétricos entresí. Es un caso particular de óvalo con un solo eje de simetría, por lo que dos de sus arcos no guardaran relación desimetría. En un ovoide los arcos de circunferencia extremos tienen distinto rádio.

Ovoide dado el eje menor:

Ovoide dado el eje mayor:

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2 3 4

1º- Dividimos el eje mayor en 6 partes. Por la división nº 4 trazamos una perpendicular. Con centro en 4 trazamos una circunferencia de radio 4-6 que corta a la perpendicular en T1 y T2.

2º- Con centro en 4 y radio 4-0 trazamos un arco que corta a la perpendicular

en C2 y C3. Desde C2 y C3 trazamos rectas que pasan por 1.

3º- Con centro en C2 y radio C2T2 trazamos un arco que corta a la recta que

pasa por 1 en T4. Repetimos la operación desde C3 (Simétrica).

4º- Con centro en 1 y radio 1-0 trazamos el arco que enlaza los puntosT1 y T2.

T1T2

C3 C2 T1T2

T4T3

0

C3 C2

T1T2

C3

C4

C2

C1

C3

C4

C2

C1

1º- Situamos el eje menor y trazamos su mediatriz. Encontramos el punto medio C1. Con centro en C1 y diámetro igual al eje menor trazamos una circunferencia que corta a la mediatriz C4.

2º- Pasando por C2 y C3 (extremos del eje mejor) trazamos dos rectas que pasan por C4.Con centros en C2 y C3 trazamos dos arcos con radio igual al diámetro del eje menor, encontrando sobre las rectas que pasan por C4

los puntos T1 y T2.

3º- Con centro en C4 y radio C4T2 trazamos un arco que enlaza los puntos T1 y T2.

T1T2

C3

C4

C2

2 31


A B

El Ovoide:Dados ambos ejes (método condicionado)


1 2 3

C D

C D

A

B

E

C3 C4

C2

C1

C D

A

C2

B

C1

C D

A

B

E

C2

C1

CD

A

B

E

C2

C3 C1

C D

A

B

E

T1 T2

C3 C4

C2

C1

4º- Con centro en D, y radio C2B, trazamos

un arco que corta al eje menor en E.

5º- Trazamos la mediatriz del segmento

EC2 obteniendo C3 sobre el eje menor.

6º- Con centro en C1, llevamos C3 al

extremo opuesto del eje menor

obteniendo C4 (SIMETRIA).

7º- Desde C3 y C4 trazamos rectas que pasan

por C2 Obteniendo sobre la circunferencia

de centro C2 los puntos de tangencia T1

y T2.

8º- Con centro en C3 y radio C3T2, trazamos un arco que enlaza las dos circunferencias extremos del ovoide. Repetimos la operación, simétrica, desde C4.

Ovoide dados el eje mayor y el menor:

1º- Situamos el eje menor y trazamos su mediatriz. encontramos el punto C1. Con centro en C1 y diámetro CD trazamos una circunferencia que corta a la mediatriz en A y en C2.

2º- A partir de A copiamos la distancia del eje mayor situando B sobre la mediatriz.

3º- Con centro en C2 y radio C2B trazamos una circunferencia (la cual formará parte del trazado del ovoide).

C D

A

C1

C2

C D

A

B

C1

C2

4 5

6 78

C D

A

B

E

T1 T2

C3 C4

C2

C1

Este método es válido cuando el eje mayor es menor de 3/2 del eje menor. El radio del arco menor del ovoide debeser más pequeño que el otro arco asimétrico.


El Ovoide: Dados los dos ejes (método general 1)



1º- Situamos el eje menor y trazamos su mediatriz. encontramos el punto C1. Con centro en C1 y diámetro AB trazamos una circunferencia que corta a la mediatriz en E y en C.2º- A partir de C copiamos la distancia del eje mayor situando D sobre la mediatriz.3º- Trazamos el segmento BD.4º- A partir de B copiamos sobre BD la distancia ED obteniendo F

4

5 6

7

8

C1

A B

C

D

E

A B C D

C1

A B

C

D

E F

1 2 3

C1

C2

C3 A B

C

D

E

F

T

C1

C2

C3 A B

C

D

E

F

C1

C2

C3 A B

C

D

E

F

C4

TT

O1

O2

O3 A B

C

D

E

F

O4

TT

5º- Trazamos la mediatriz del segmento FD obteniendo C3 sobre la prolongación del eje menor y C2 sobre el eje mayor.

6º- Con centro en C2 trazamos la circunferencia con radio C2-D. En su intersección con la mediatriz anterior encontramos T.

7º- Con centro en C1 y radio C1-C3 Trasladamos la distancia al otro lado del eje menor situando C4. Trazamos una recta desde C4 que, pasando por C2, al cortar la circunferencia de dicho centro nos situa el segundo punto de tangencia T.

7º- Con centro en C3 y C4 Trazamos los arcos con radio hasta T.


A B

Con este método podemos elegir el radio del arco de circunferencia menor del ovoide y por lo tanto lo “afilado” quequedará.

1 2 3

C D

C D

A

C2

B

C1

T1 T2

4º- Con centro en D, y radio C2B, trazamos

un arco que corta al eje menor en E.

5º- Trazamos la mediatriz del segmento

EC2 obteniendo C3 sobre el eje menor.

6º- Con centro en C1, llevamos C3 al

extremo opuesto del eje menor

obteniendo C4 (SIMETRIA).

7º- Desde C3 y C4 trazamos rectas que pasan

por C2 Obteniendo sobre la circunferencia

de centro C2 los puntos de tangencia T1

y T2.

8º- Con centro en C3 y radio C3T2, trazamos un arco que enlaza las dos circunferencias extremos del ovoide. Repetimos la operación, simétrica, desde C4.


1º- Situamos el eje menor y trazamos su mediatriz. encontramos el punto C1. Con centro en C1 y diámetro CD trazamos una circunferencia que corta a la mediatriz en A y en C2.

2º- A partir de A copiamos la distancia del eje mayor situando B sobre la mediatriz.

3º- Con centro en C2 (Elegiremos C2 en función del radio que queramos darle al arco menor del ovoide) y radio C2B

trazamos una circunferencia (la cual formará parte del trazado del ovoide).

C D

A

C1

C2

C D

A

B

C1

C2

4 5

6 78

C D

A

C2

B

C1

EC D

A

C2

B

C1

EC3

C D

A

C2

B

C1

EC3

C4C D

A

C2

B

C1

EC3

C4

T1 T2

C D

A

C2

B

C1

EC3

C4

El Ovoide: Dados los dos ejes,eligiendo el radio del arco menor

Nº Lista y grupo



Fecha

Construcciones de ovoides

Ovoide dado el eje mayor

Ovoide dado el eje menor

Ovoide dados ambos ejes(orientar el extremo de menor rádio hacia abajo)

A BC D

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