EJERCICIOS DE

CURVAS TÉCNICAS

Construcciones Elementales

Ejercicio Nº 1.- Trazar un óvalo conocido el eje mayor AB=70 mm.

1.- Se divide el eje mayor en tres partes iguales. Aplicando el teorema de Thales.

2.- Por los puntos O1 y O2 trazamos dos circunferencias de radio O1-A y O2-B.

3.- Los puntos de intersección de las circunferencias O3 y O4 son los otros dos centros del óvalo.

4.- Unimos los centros O3 con O1 y O2 y lo mismo O4 con O1 y O2.

5.- Con centro en O3 y O4 trazamos los arcos de circunferencia que enlaza con las circunferencia trazadas y tenemos el óvalo buscado.

Ejercicio Nº 2.- Construcción de un óvalo dado el eje menor CD= 50mm.

1.- Trazamos la mediatriz del eje dado CD.

2.- Con centro en O trazamos la circunferencia de diámetro CD, que nos determina los centros O1, O2, O3, O4.

3.- Unimos los centros O1 con O3 y O4 y O2 con O3 y O4, que nos determina los tramos de arco de circunferencia correspondiente a cada arco.

4.- Con centro en O1 y en O2 y radio CD trazamos los dos arcos de circunferencia.

5.- Con centro en O3 y O4 trazamos los otros dos arcos de las circunferencias y tenemos el óvalo buscado.

Ejercicio Nº 3.- Trazar un óvalo conocidos los ejes AB=70 mm y CD=50mm.

1.- Con centro en el punto O trazamos el arco de circunferencia de radio OA que corta a la prolongación del CD.

2.- Unimos los extremos A y C, con centro en C y radio C-1 trazamos el arco 1-2.

3.- Trazamos la mediatriz del segmento A-2.

4.- Donde la mediatriz corta a los ejes puntos O1 y O2 son los centros de los arcos del óvalo.

5.- Como los óvalos son simétricos respecto a los ejes los centros también son simétricos el O3 del O1 y el O4 del O2 .

6.- Unimos los centros O2 con O1 y O3 y O4 con O1 y O3.

7.- Con centro en los centros O1, O2, O3 y O4 y radios que pasen por los puntos A, C, B y D trazamos los arcos de las circunferencias.

Ejercicio Nº 4.- Trazar un ovoide dado el eje mayor AB=70 mm .

1.- Dividimos el eje dado en 6 partes iguales.

2.- Los puntos 2 y 5 del eje son centros del ovoide.

3.- Con centro en O1 y radio O1-A trazamos la semicircunferencia que es un arco del ovoide, con centro en O1 y radio O1-B trazamos otro arco que nos determina los puntos O2 y O3 que son los otros dos centros que faltan.

4.- Unimos O2 con O4 y O3 con O4 para determinar las tangentes.

5.- Con centro en O4 trazamos el arco de circunferencia de radio O4-B, y con centro en O3 y O2 trazamos los arcos que faltan tangentes a los anteriores, que determinan el ovoide.

Ejercicio Nº 5.- Construir un ovoide dado el eje menor CD=50 mm.

1.- Hallamos la mediatriz del eje menor CD.

2.- Con centro en O1 y diámetro CD trazamos una circunferencia.

3.- Obtenemos los cuatro centros del ovoide O1, O2, O3 y O4, unimos los centros según vemos y obtenemos los puntos de tangencia.

4.- Con centro en O1 trazamos el arco de circunferencia CD y con centro en O2 y O3 continuamos el arco desde C y D respectivamente.

5.- Con centro en O4 cerramos el ovoide.

Ejercicio Nº 6.- Construcción de un ovoide conocidos los dos ejes AB=70 mm y el eje menor CD= 50mm.

1.- Trazamos la mediatriz del eje menor CD que resulta el eje mayor.

2.- Con centro en O1 trazamos una circunferencia de diámetro CD.

3.- El extremo del diámetro A resulta ser el extremo del eje mayor, se lleva sobre el mismo la distancia AB=70 mm y se obtiene el eje mayor.

4.- Tomamos un punto E cualquiera sobre el eje menor (menor que la mitad del radio O1-D), se toma otro punto O2 sobre el eje mayor de forma tal que O1-D= O2-B.

5.- Trazamos la mediatriz del segmento E-O2.

6.- Donde la mediatriz corta al eje menor punto O3 resulta el otro centro el que falta es simétrico respecto el eje mayor.

7.- Hallamos el simétrico de O3 punto O4 y tenemos los cuatro centros.

8.- Unimos el centro O2 con los centros en O3 y O4 y tenemos las tangentes de los arcos de circunferencias .

8.- Con centro en O1 trazamos la semicircunferencia que pasa por A; con centro en O2 trazamos el arco de circunferencia B; con centro en O3 trazamos el arco de circunferencia que pasa por D y cierra con el de centro O2: con centro en O4 trazamos el arco de circunferencia que pasa por C y cierra con el de centro O2.

Ejercicio Nº 7.- Construcción de una voluta de cuatro centros de paso 32mm.

Construimos un cuadrado de lado 32/4= 8mm.

1.- Prolongamos los lados del cuadrado tal como vemos en la fig.

2.- Con centro en el vértice 4 trazamos la circunferencia de radio el lado del cuadrado.

3.- El arco 1-A es parte de la voluta.

4.- Con centro en el vértice 1 trazamos el arco AB.

5.- Con centro en el vértice 2 trazamos el arco BC.

6.- Con centro en el vértice 3 trazamos el arco CD.

7.- .- Con centro en el vértice 4 trazamos el arco DE.

8.- Con centro en el vértice 1-5 trazamos el arco EF.

9.- Con centro en el vértice 2 trazamos el arco FG.

10.- Con centro en el vértice 3 trazamos el arco G H. y todas las vueltas que se quieran dar.

Ejercicio Nº 8.-Trazar la espiral de Arquímedes de paso= 45 mm.

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1º.- Trazamos una circunferencia de radio 45 mm.

2.- Se divide el radio en un numero de partes iguales como tenemos que dividir la circunferencia en doce o dieciséis por ejemplo en nuestro caso dieciséis.

3º.- Dividimos la circunferencia en el mismo numero de partes 16.

4º.- Por las divisiones del radio trazamos circunferencias de centro O y que pasan por 1, 2, 3, 4,…..16.

5º.- La intersección de las circunferencias con las divisiones de la circunferencia, nos da los puntos A, B, C,…..N, Q, P. Que son los puntos por los que tiene que pasar la espiral.

6º.- Unimos los puntos A, B, C,…..N, Q, P. Y tenemos la espiral de Arquímedes.

Ejercicio Nº 9.- Construir una cicloide de radio de la ruleta 15 mm.

1.- Calculamos la longitud de la circunferencia .

2º.- Se divide la longitud de la circunferencia en un numero de partes iguales 12 por ejemplo al ser un numero fácil de dividir la circunferencia también.

3.- Se divide la circunferencia en el mismo numero de partes iguales 12 que dividimos la recta.

4.- Por los puntos de división de la circunferencia trazamos paralelas a la recta.

5.- Llevamos sobre la recta del centro de la circunferencia las divisiones de la recta determinando los puntos O1, O2, ……. , O12, Que son los centros de las circunferencias.

6.- Con centro en los puntos O1, O2, ……. , O12. Trazamos circunferencias de igual radio que la circunferencia dada (15 mm).

7.- Los punto de corte de la circunferencias con las paralelas determinan el punto de paso de la cicloide. La paralela trazada por 1 con la circunferencia de centroO1, la que pasa por 2 con la de centro O2, ……. , que nos determinan los punto P1, P2, P3,…. P12. Puntos que tenemos que unir.

8.- Unimos los puntos P1, P2, P3,…. P12 .Y tenemos la cicloide.

9.- Para construir la cicloide alargada (una longitud b). Unimos los puntos P0 con O y llevamos la longitud dada (b) que nos determina el punto de dicha cicloide. Continuamos con, P1 y O1, y O2 y P2, y O3 y P3,…..Y tenemos la cicloide alargada.

10.- Para construir la cicloide acortada (una longitud b). Sobre las mismas rectas que resultan de unir los puntos P0 con O y llevamos en sentido contrario que la anterior la longitud dada (b) que nos determina el punto de dicha cicloide. Continuamos con, P1 y O1, y O2 y P2, y O3 y P3,…..Y tenemos la cicloide acortada.

Ejercicio Nº 10.- Construcción de una con los siguientes datos circunferencia base R= 30 y ruleta r= 20 mm.

1.- Calculamos la longitud o ángulo de la circunferencia base.Por la formula siguiente: nº =360 r/R= 360 20/30 = 720/3 = 240 Donde:r=radio de la circunferencia de la ruletaR= radio de la circunferencia base

2.- Se divide la ruleta en el mismo numero de partes, que la circunferencia base en nuestro caso en doce partes.

3.- con centro en O’ centro de la circunferencia base, trazamos circunferencias que pasen por los puntos 1, 2, 3, 4, …..11, 12..

4.- Hallamos los centros O1, O2, O3,…….O11, O12. Que son los centros de las circunferencias

5.- Con centro en O1, O2, O3,…….O11, O12. trazamos las circunferencias del mismo radio que la ruleta 20mm. Que nos determina los puntos P1, P2, P3,…….P11, P12. Que son los punto de la curva buscada . Epicicloide

6.- La Epicicloide alargada se obtiene del mismo modo que la cicloide, es decir, unimos el centro con el punto correspondiente es decir O1 con P1 y le sumamos una distancia a y se obtiene el punto correspondiente de la alargada. Seguidamente los otros puntos y centros

7.- La Epicicloide acortada se obtiene del mismo modo que la cicloide, es decir, unimos el centro con el punto correspondiente es decir O1 con P1 y le restamos una distancia a y se obtiene el punto correspondiente de la acortada. Seguidamente los otros puntos y centros

Ejercicio Nº 11.- Construir una hipocicloide de radio de la ruleta 30 mm radio de la base 110 mm.

1.- Calculamos la longitud o ángulo de la circunferencia base.Por la formula siguiente: nº =360 r/R= 360 30/110 = 10800/110 = 98,1º Donde:r=radio de la circunferencia de la ruletaR= radio de la circunferencia base

2.- Se divide la circunferencia base el ángulo de 98,1º en un numero de partes iguales, en nuestro caso en doce partes.

3.- Se divide la ruleta en el mismo numero de partes que la circunferencia base, en nuestro caso en doce partes. Con centro en O’ centro de la circunferencia base y radio O-O’ se traza una circunferencia que corta a las divisiones en los puntos O1, O2, O3, ……. O12. Que son los centros de las circunferencias.

4.- Con centro en O’ centro de la circunferencia base y radio O’-1 se traza un arco de circunferencia hacemos lo mismo con el punto 2, 3, 4, 5 y 6 que coinciden con 11, 10, 9, 8 y 7 como vemos.

5.- Con centro en O1 y radio 30 el de la ruleta se trazan circunferencias que corta a la de centro O’ que pasa por 1 en el punto P1 que es un punto de la hipocicloide, se continua trazando circunferencias de centro O2, O3, O4, ……. O12, y obtenemos los puntos P2, P3, P4, ……. P12 que son el resto de los puntos de la curva.

6.- La Hipocicloide alargada se obtiene del mismo modo que la cicloide, es decir, unimos el centro con el punto correspondiente es decir O1 con P1 y le sumamos una distancia a y se obtiene el punto correspondiente de la alargada. Seguidamente los otros puntos y centros

7.- La Hipocicloide acortada se obtiene del mismo modo que la cicloide, es decir, unimos el centro con el punto correspondiente es decir O1 con P1 y le restamos una distancia a y se obtiene el punto correspondiente de la acortada. Seguidamente los otros puntos y centros

Ejercicio Nº 12 Construir un voluta de tres centros de paso =20 mm

Se construye un triangulo de lado 20/3.

1.- Prolongamos los lados del triangulo tal como vemos en la figura

2.- Con centro en O1=A y radio A-B trazamos el arco B-1.

3.- Con centro en B y radio B-1 trazamos el arco 1-2.

4.- Con centro en C y radio C-2 trazamos el arco 2-3.

5.- Con centro en A y radio A-3 trazamos el arco 3-4. La distancia 1-4 es igual al paso de la voluta.

6.- Con centro en B y radio B-4 trazamos el arco 4-5.

7.- Con centro en C y radio C-5 trazamos el arco 5-6.

8.- Con centro en A y radio A-6 trazamos el arco 6-7. La distancia 4-7 el igual al paso dado.