Curvas. Generalidades

2. CURVAS (1). GENERALIDADES

Tema 2: CURVAS (1). GENERALIDADES1. Lneas a) b) c)

Definicin Generacin Tipos

2. Conceptos elementales a) b) c) d) e)

Elemento rectilneo. Orden de contacto Tangencia Ortogonalidad Curvatura Puntos singulares

3. Trazados aproximados a) b)

Por poligonales Por arcos circulares

4. Curvas planas de aplicacin tcnica a) b) c)

Envolventes e involturas Envolventes y evolutas Otras: cclicas, espirales, etc.

Teora de Dibujo TcnicoErasmo Iglesias Carro

Pgina 1 de 15


LNEASDefinicin La lnea se puede definir como la trayectoria de un punto que se mueve o como el lugar geomtrico de las posiciones sucesivas de un punto mvil. Si la ley del movimiento es continua y determinada, la lnea se llama geomtrica, y si es arbitrario o indeterminada, grfica.

Generacin Para un fcil trazado de lneas curvas complejas es necesario conocer las dos lneas bsicas: la lnea recta y el arco de circunferencia. Trazado: Lnea recta: empleo de regla, escuadra y cartabn. Arco de circunferencia empleo del comps o de plantillas. La gran importancia de estas curvas es su fcil trazado y que adems cualquier otra curva plan compleja la podemos trazar de forma aproximada mediante arcos de circunferencias y segmentos rectilneos tan pequeos como permitan las herramientas.

Tipos Lnea recta: una recta queda perfectamente definida mediante dos puntos de ella. Para determinar un segmento basta indicar su recta soporte, su origen y su longitud, o simplemente dos puntos


Pgina 2 de 15


caractersticos (orden y extremo). El paralelismo y la ortogonalidad entre rectas y segmentos tienen un fcil trazado mediante el empleo de la escuadra y el cartabn. Arco de circunferencia: un arco de circunferencia queda definido dando el centro de la circunferencia y que lo contiene, el radio y la longitud de su cuerda (recta que pasa por los extremos del arco). La mediatriz de la cuerda de un arco pasa por el centro de la circunferencia que lo contiene y corta al arco en su punto medio y la tangente a la circunferencia en este punto es paralela a la cuerda correspondiente.


Pgina 3 de 15


CONCEPTOS ELEMENTALESElemento rectilneo. Orden de contacto Se define el crculo osculador en el punto N como la circunferencia c determinada por tres puntos infinitamente prximos M, N y P de una curva . Su centro O es la interseccin de las mediatrices a y b de los elementos MN y NP; = ON , su radio, y tn la tangente en N. La tangente tn a la curva en un punto N es normal al radio del crculo osculador en N, y el valor 1 es la curvatura de la curva en dicho punto. El crculo osculador tiene con la curva un contacto de segundo orden por tener comunes dos elementos (tres puntos sucesivos). A cada punto de la curva le corresponde un crculo osculador y una Curvatura

Circulo osculador

curvatura distinta. Orden de una curva plana es el nmero mximo de puntos en que puede ser cortada por cualquier secante rectilnea, y clase, el nmero mximo de tangentes que pueden trazrsele desde un punto exterior.


Pgina 4 de 15


Una curva se llama convexa si la tangente en cualquiera de sus puntos deja toda la curva a un mismo lado de ella, y cncava en caso contrario.

Contactos de lnea tangentes En general, se dice que dos lneas tangentes tienen un contacto de primero, segundo,, n-simo orden, si tienen uno, dos, ,n elementos comunes, o dicho de otro modo, si tienen dos, tres, , n+1 puntos comunes confundidos con el de contacto. Los diversos rdenes de contacto y los puntos donde existen se determinan por clculo diferencial, por tratarse de magnitudes infinitamente pequeas, imposibles de apreciar grficamente. Segn esto, la tangente ordinaria a una curva tiene con ella un contacto de primer orden. Elementos tangente tangente. y Dos curvas son tangentes en un punto T si pasan por T y admiten la misma

Tangencia Tangente a una curva en un punto T es la posicin lmite de una secante que gira alrededor de l hasta que su segundo punto de interseccin con la curva se confunda con T. Si T es impropio, la tangente se llama asndota. La tangente as definida se llama tangente ordinaria, principal o de primera especie. Existe otra, denominada de segunda especie, que podemos definir como la posicin lmite de una secante que se mueve de cualquier modo, aproximando entre s dos de sus puntos de interseccin con la curva, hasta que ambos se confunden con T. Tangentes de primera y segunda especieTeora de Dibujo TcnicoErasmo Iglesias Carro Pgina 5 de 15


En general, por un punto de una curva puede trazrsele una tangente ordinaria solamente, y ninguna o infinitas de segunda especie.

Tangente en una direccin dada y normal a una curva

Ortogonalidad Normal a una curva en un punto P es la perpendicular n a la tangente t a la curva en dicho punto.

Curvatura Se llama curvatura absoluta de un arco AB, al ngulo de flexin que forma con las tangentes en sus extremos. Curvatura media CAB de un arco AB es la relacin AB entre la curvatura absoluta y su longitud. El lmite de esta relacin cuando el arco AB tiende a cero (B se confunde con A), se llama curvatura en el punto A y la representaremos por CA. La curvatura de todos los puntos de una circunferencia es constante e igual a la inversa del radio.

Puntos singularesTeora de Dibujo TcnicoErasmo Iglesias Carro Pgina 6 de 15


Punto de inflexin: aquel punto en el que el punto generador avanza sobre la tangente mientras esta cambia del sentido de giro. Este punto se caracteriza por estar alineado con sus dos punto contiguos C y E. La tangente en este punto coincide con los dos elementos (tangente-curva) por lo que hay un contacto de segundo orden y el centro de curvatura est en el infinito, pues las normales

Puntos ordinarios y de inflexin a los dos elementos son paralelas. Todas las rectas que pasan por el punto de inflexin son secantes a la curva. Punto de retroceso: el punto generador retrocede sobre la tangente mientras esta no vara su sentido de giro (punto de retroceso de primera especie). Si la tangente cambia de sentido de giro, entonces el punto de retroceso es de segunda especie. Esto sucede cuando las ramas de la cuerva estn, respectivamente, a distinto o al mismo lado de la tangente comn.

Puntos de inflexin En el punto de retroceso, las dos ramas de la curva tiene comn el elemento PQ, que coincide con tP, entonces la tangente a las dos ramas en P (punto de retroceso) es comn. Las rectas que pasan por un punto de retroceso de primera especie son todas tangentes de segunda especie que no cortan a la curva, y una tangente de primera especie que si al corta. En le punto de retroceso de segunda especie, todas las rectas que pasan por l son tangentes de segunda especie, excepto la tangente principal, y ninguna de ellas corta a la curva.Teora de Dibujo TcnicoErasmo Iglesias Carro Pgina 7 de 15


Punto anguloso: aquel en el que el punto generador se para sobre la tangente al tiempo que la tangente gira en el mismo sentido (anguloso de primera especie) o lo camia se sentido (ngulos de segunda especie). Eso sucede cuando las tangentes en el punto P son distintas

Punto de retroceso, anguloso y de parada para cada rama. Si las dos ramas estn dentro (o las dos fuera) del ngulo formado por las tangentes en P, entonces es de primera especie; si una est dentro y otra fuera, es de segunda especie.

Otros tipos de puntos:1. Punto de ruptura o de parada: aquel en que se interrumpe una

curva. En las curvas geomtricas continuas no existen puntos de parada, pero si pueden aparecer en sus proyecciones.2. Punto mltiple: aquel por el que pasa varias veces el punto

generador. Puede ser doble, triple, segn pase una, dos, tres, veces.3. Punto de tangente mltiple: aquel en el que la recta generadora

el haz de tangentes coincide dos o ms veces con alguna de las tangentes de primera especie de dicho punto.4. Punto de mxima o mnima curvatura: aquel en que la curvatura

pasa por un mximo o un mnimo, correspondiendo al radio de curvatura un mnimo o un mximo respectivamente. Estos puntos se denomina vrtices de la curva.


Pgina 8 de 15


TRAZADOS APROXIMADOSMediante trazados aproximados de rectas y arcos de circunferencia, se puede aproximar cualquier superficie de un objeto por compleja que sea.


Pgina 9 de 15


CURVAS PLANAS DE APLICACIN TCNICAEnvolventes e involutas Sea c una curva, (indeformable o no) que se mueve por un plano siguiendo cualquier ley de movimiento. Al conjunto de las posiciones c1, c2, de la curva generadora se le denomina familia. A la curva tangente a todas ellas se le denomina envolvente y a las curvas, involutas. Si la familia est compuesta por rectas r1, r2,..., estas sern las involutas y la tangente a todas ellas ser la envolvente. Segn esto, toda curva es la envolvente de sus tangentes (haz de tangentes). Si la familia est compuesta por circunferencias iguales su envolvente son dos curvas paralelas a la trayectoria descrita por el centro de la circunferencia generatriz. Si esta es recta o circular, las envolventes sern rectas o arcos circulares respectivamente.

Envolvente e involuta


Pgina 10 de 15


Envolventes y evolutas Sea una curva arbitraria y sean nA, nB,,nN las normales en distintos puntos de ella, y la envolvente de todas ellas. Entonces, se llama evoluta de una curva a la envolvente de todas las normales. Se llama evolvente a la curva a partir de la cual se construy la evoluta. Las propiedades ms importantes de la evolutas son:1. Es el lugar geomtrico de los centros de curvatura de la curva

dada. La evoluta es tangente a las sucesivas normales, es decir, es la envolvente de las normales y por tanto la evoluta de . Cualquier tangente a la evoluta es normal a la curva en el punto de interseccin con ella, y su punto de contacto con , el centro de curvatura de la curva dada en el punto.2. La longitud de un arco de evoluta es la diferencia de los radios

de curvatura de la evolvente tangente a aquella en los extremos del arco.3. Una curva slo tiene una evoluta, pero esta tiene infinitas

envolventes paralelas entre s (las paralelas son las tangentes a cada uno de los puntos de cada una de las evolventes correspondientes).


Pgina 11 de 15


Evolvente y evoluta


Pgina 12 de 15


Otras: cclicas, espirales, etc. Se llama curva de rodadura a la descrita por un punto P ligado invariablemente a una curva (ruleta), la cual rueda sin deslizarse sobre otra curva fija (base) tangente a ella. Si la base y la ruleta son circunferencias, las curvas de rodadura se llaman cclicas, incluyndose en esta denominacin el caso en que una de ellas sea recta (curva de radio infinito).

Cicloide Se obtiene por la rodadura de una circunferencia , tangente a una base rectilnea . Si el punto generador pertenece a la circunferencia se denomina cicloide normal, si el punto es interior cicloide acortada y si es exterior cicloide alargada.

Construccin de la cicloide1. Llevar el permetro de la ruleta sobre la base a partir del punto

PO. Para llevar la longitud de la circunferencia sobre la base basta con llevar una longitud igual a tres veces el dimetro ms un sptimo de ste.2. Dividir esta longitud y la circunferencia en el mismo nmero de

partes iguales, normalmente un nmero par, a partir de PO.3. Trazar perpendiculares a la base por dichos puntos obtenindose

los respectivos centros O1, O2,...,On.4. El punto P1 se obtiene en la interseccin de la recta paralela a la

base por el punto 1 de la ruleta y la circunferencia de centro O1 y radio r, y as para el resto de los puntos.

Epicicloide o pericicloide La epicicloide es una curva engendrada circulares, tangentes exteriores al crculo base.Teora de Dibujo TcnicoErasmo Iglesias Carro

por

ruletas

Pgina 13 de 15


Hay tres tipos de epicicloides: normal, acortada, y alargada, segn que el punto generador sea incidente, interior o exterior a la circunferencia respectivamente.

Cicloides normal, acortada y alargada Hipocicloides Se engendran por el rodamiento de una ruleta circular tangente interior al crculo base. Tambin se diferencia la hipocicloide normal, acortada y alargada.

Espiral Es la curva engendrada por un punto mvil A que se desplaza en un determinado sentido sobre una recta r, al mismo tiempo que esta gira alrededor de un punto fijo O de ella denominado polo.

Espiral logartmica e hiperblicaTeora de Dibujo TcnicoErasmo Iglesias Carro Pgina 14 de 15



Pgina 15 de 15

Curvas. Generalidades

Documents

Transcript of Curvas. Generalidades