Representación de curvas2º Bachillerato

Esquema

Información obtenida a partir de f(x)

• Dominio de f(x)• Encontrado el dominio de f(x) se tienen que excluir de la representación

gráfica todos los puntos cuyas abcisas no pertenecen al dominio.

• Recorrido de f(x)

• Puntos de corte con los ejes• Eje OX: se resuelve la ecuación f(x) = 0• Eje OY: si 0 es del dominio es el punto (0, f(0))

• Signo de f(x)• Se resuelven las inecuaciones f(x) > 0 y f(x) < 0

• Periodicidad

• Simetrías de f(x)

• Puntos de discontinuidad de f(x)

• Asíntotas de f(x)Verticales Horizontales Oblicuas

Dominio de una función

El dominio de una función f es el conjunto de valores de la variable x para los que está definido el valor f(x).

Normas útiles para obtener los dominios de algunas funciones: El cociente de dos expresiones no está definido para aquellos valores de x en los que se

anula el denominador. Las raíces cuadradas sólo están definidas para aquellos valores de x que hacen nulo o

positivo el radicando. El logaritmo sólo está definido para valores de x positivos.

El dominio de y = ln x

| x – 1|

es (0, 1) (1, ) El dominio de y = x + 1 es [–1, )

Dominio de una función: Cálculo

Veamos como se calcula el dominio de funciones.

•Para que un cociente de dos funciones sea real, el denominador ha de ser no nulo.

•Si una función es irracional, con índice par, el radicando ha de ser positivo o cero

•Si es una función logarítmica, el argumento debe ser positivo.

•Si es una función exponencial. El dominio son todos os números reales

•Si la función es una operación de funciones, el domino es la intersección de los dominios.

Recorrido de una función

El recorrido de una función f con dominio D es el conjunto {f(x): x D} de todos los valores que esta función toma.

El recorrido de y = e– x2 es (0, 1]

El recorrido de y = ln x

| x – 1|

es (–, ) El recorrido de y = x + 1 es [0, )

Signo de una función

Ejemplo: Vamos a estudiar el signo de la función f(x) = x/(x2 + 1).

x0

– +

x/(x2 + 1)

0

+

– +

+x2 + 10

No existefunción

No existefunción

Estudiar el signo de una función consiste en determinar en qué intervalos la función toma valores positivos o negativos, es decir, cuándo la gráfica está por encima o por debajo del eje x.

Periodicidad

Una función f es periódica si existe un número real p > 0 tal que para todo x en el dominio de f se tiene que x + p pertenece también al dominio de f y f(x + p) = f(x)

Si esta igualdad se cumple para un cierto valor p también se cumple para p1 = 2p, p2 = 3p, etc.

Se llama período de f al menor valor de p que cumple la condición de periodicidad f(x) = f(x + p)

x

f(x) • •

x + p

f(x + p) =

p

período

Cuando una función presenta simetría respecto al eje Y, es decir cuando f(– x) = f(x) para todo x D (D: dominio de la función) se dice que la función es par.

x–x

•P(x, f(x))P(–x, f(–x)) •

x = 0

f(– x) = f(x)

Simetría respecto al eje Y (x = 0): función par

Simetría respecto al punto (0, 0): función impar

Si una función es impar: f(– x) = – f(x) x D (D: dominio de la función). Una función es impar cuando su gráfica presenta simetría respecto al origen de

coordenadas: esto significa que su gráfica para valores x < 0 se obtiene mediante dos simetrías sucesivas respecto al eje de ordenadas y respecto al eje de abscisas.

•P(x, f(x))

P(–x, f(–x)) •

x

f(x)

f(– x) = – f(x)

– x

Puntos de discontinuidad

Las funciones definidas por medio de varios criterios pueden presentar discontinuidades en los puntos en los que hay cambio de criterio.

Además los puntos de discontinuidad de cada criterio son también posibles puntos de discontinuidad de la función.

Una función es discontinua en un punto x = a cuando se cumple alguna de las condiciones siguientes:

axxf

)(lim f(a)

ax

xf )(lim ax

xf )(lim

La gráfica de f « se va hacia infinito » cuando la variable se acerca al valor a.

f(x) = x si x –1 1 – x2 si –1 < x < 2 – 3 si x 2

puede ser discontinua en los puntos –1 y 2

Asíntotas verticales

a+xLim f(x) = (asíntota hacia arriba por la derecha).

ax

xf )(lim = (asíntota hacia arriba por la izquierda).

ax

xf )(lim = – (asíntota hacia abajo por la derecha).

ax

xf )(lim = – (asíntota hacia abajo por la izquierda

La recta vertical, cuya ecuación es x=a, es una asíntota de la función f(x) cuando se verifica alguna de las siguientes condiciones:

La función presenta una asíntota vertical cuando el límite de la función en un punto es

Asíntotas horizontales

Una función presenta una asíntota horizontal cuando: y en este caso la recta y = b es la asíntota

Para saber si la curva está por encima o debajo de la asíntotas, se calculan los límites laterales y se observa si los valores son mayores o menores que b:

bxfx

)(lim

)(lim xfx

)(lim xfx

Asíntotas oblicuas

• La pendiente de la asíntota oblicua y las pendientes de las tangentes a la curva tienden a coincidir para x +.

m = tg a

•[f(x) – (mx + n)] 0 para x +

y = mx + n

• Se observa lo mismo para x–

x

f(x) – (mx + n)

mx + n f(x)

m = x+lim f‘(x) =

x +lim

f (x)x

n = x+lim [f (x) – mx]

Información obtenida a partir de f'

• Dominio de f'• De esta manera se obtienen los puntos en los que f no es derivable.• Si las derivadas laterales en un punto existen pero son distintas la

gráfica tiene un ángulo.

• Intervalos de crecimiento y decrecimiento.• Se obtiene a partir del estudio del signo de f' en el dominio de la

función.

• Máximos y mínimos relativos.• En los puntos del dominio en los que f' cambia de signo tenemos

máximos o mínimos relativos.

Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica)

Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o mínimo en un punto c (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0

Si la función es constanteentonces f '(c) = 0

Si A es máximo, la tangenteen x = c es horizontal. Su

pendiente es 0

Si A es mínimo, la tangenteen x = c es horizontal. Su

pendiente es 0

f '(c) = 0

f '(c) = 0

f '(c) = 0

Extremos relativos de funciones derivables

•Los puntos críticos son posibles extremos relativos

•La derivada proporciona un criterio para decidir qué puntos críticos son máximos o mínimos relativos

1. Si una función continua es creciente a la izquierda del punto y decreciente a la derecha, tiene un máximo relativo en x = p.

2. Si una función continua es decreciente a la izquierda del punto y creciente a la derecha, tiene un mínimo relativo en x = p.

Condición necesaria de extremo

Teorema: Si f es una función que tiene un extremo relativo en x = p y es derivable en ese punto, se tiene que f ’ (p)=0

D./ Supongamos que en p hay un máximo. Si h>0 (a la derecha de p) f(p+h)<f(p)

f(p+h)-f(p)0

Si h<0 (a la izquierda de p) f(p+h)<f(p) f(p+h)-f(p)0

.

Como la función es derivable las dos derivadas laterales han de ser iguales luego

f ‘ (p+) = f ‘ (p-) = 0

Si en lugar de máximo es un mínimo se hace exactamente igual.

0)()(

h

pfhpf 0)()(

)('0

h

pfhpfLimpfh

0)()(

h

pfhpf

0)()(

)('0

h

pfhpfLimpfh

Máximos y mínimos relativos. Definición

Una función f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo en x = a si existe un intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)<f(a) (f(x)>f(a)) para todo x perteneciente al intervalo.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo relativo en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene máximo absoluto en su dominio.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el punto (1, 3).

• La función y = x2 – 6x + 8 no tiene máximos ni mínimos en el intervalo (4, 5).

• m(3, -1)1 5

Discriminación de máximos y mínimos relativos

f ' < 0

f ' > 0

f ' < 0a

b

f ' (a) = 0

f ' (b) = 0

mínimo relativo de coordenadas

(a, f(a))

máximorelativo de

coordenadas (b, f(b))

• Si una función tiene en a un máximo o mínimo relativo y en dicho punto es derivable entonces f '(a) = 0.

• Si en un punto es f '(a) = 0. ¿Cómo se discrimina si es máximo o mínimo?

Valores máximo y mínimo de una función

El valor máximo (mínimo) de una función es el mayor (menor) valor que toma la función en todo su dominio.

Si en lugar de serlo en todo su dominio lo es en un intervalo los puntos se llaman máximo (mínimo) relativos. El teorema de Weierstras nos asegura su existencia para funciones continuas.

Para encontrar los valores máximo o mínimo de una función en un intervalo

1. Se buscan los puntos críticos de f, que son las soluciones de f ‘(x) = 0

2. Se buscan los puntos singulares, (valores en los que la función no es derivable)

3. Los extremos del intervalo

Signo de f '(x): monotonía

f '(x) = tg a > 0 función creciente f '(x) = tg a < 0 función decreciente

Sea f(x) una función derivable en (a,b), entonces:

1. si f '(x) es positiva en (a,b), f(x) es creciente.

2. si f '(x) es negativa en (a,b), f(x) es decreciente.

3. si f '(x) es nula en (a,b), f(x) es constante.

Cálculo de los intervalos de monotonía

Siempre positivo

2x Intervalos de monotonía de y =

1 + x2

y ' = 2(1 – x)(1 + x)

(1 + x2)2

(1 + x2)2

2(1 – x)(1 + x) = 0 x = 1;

–1 1y ' < 0decreciente

y ' > 0creciente

y ' < 0decreciente

Para obtener los intervalos de monotonía bastará calcular el signo de la derivada en el dominio de la función.

Información obtenida a partir de f"

• La derivada f " puede usarse para encontrar los máximos y mínimos relativos.

• Intervalos de concavidad y convexidad.• Se obtiene a partir del estudio del signo de f" en el dominio de la

función.

• Puntos de inflexión.• Se obtienen a partir de los puntos del dominio en los que f" cambia de

signo.

Segunda derivada y extremos relativos

• Si una función tiene en a un máximo o mínimo relativo y en dicho punto es derivable entonces f '(a) = 0.

• Si en un punto es f '(a) = 0. ¿Cómo se discrimina si es máximo o mínimo?

Si una función satisface la ecuación f ‘(x) = 0 y su derivada segunda es continua en el intervalo de estudio

1.- Si f ‘’(p) >0 la función tiene un mínimo relativo en p

2.- Si f ‘’(x) <0 la función tiene un máximo relativo en p.

a

b

f ' (a) = 0

f ' (b) = 0

mínimo

máximo

f " > 0

f " (b)< 0

f " (a)> 0

f " < 0

Signo de f ''(x): curvatura

Teorema primero de curvatura

Si la derivada primera de una función f(x) es

creciente

constantedecreciente

en un intervalo [a, b],

entonces la función f(x) es

cóncava

linealconvexa

, respectivamente.

Teorema segundo de curvatura

Si la derivada segunda de una función f(x) es

mayor que

igual amenor que

0 en el intervalo [a, b],

entonces f(x) es

cóncava

linealconvexa

, respectivamente.

Curvatura y puntos de inflexión

Se estudia la posición relativa de una función variable y su recta tangente en un punto.

•Si la recta tangente está por debajo de la gráfica de f cerca del punto de tangencia, la función es cóncava hacia arriba en el punto o simplemente cóncava.

•Si la recta tangente está por encima de la gráfica de f cerca del punto de tangencia, la función es cóncava hacia abajo en el punto o simplemente convexa.

•Si la recta tangente atraviesa la gráfica de f en el punto de tangencia, la función tiene un punto de inflexión en p.

X

Y

[a

]b

Derivadas y curvatura: concavidad

Las pendientes de las tangentes aumentan f ' es creciente f " > 0 función cóncava

X

Y

[a

]b

x1 x2

tg a1 < tg a2 f '(x1) < f '(x2)

x1 x2

X

Y

[a

]b

a1

a2

X

Y

[a

]b

Derivadas y curvatura: convexa

x1 x2

a1

a2

x1 x2

tg a1 > tg a2 f '(x1) > f '(x2)

Las pendientes de las tangentes disminuyen f ' es decreciente f " < 0 función convexa

Puntos de inflexión

X

Y

P(a, f(a))

f" < 0

f" > 0

f"(a) = 0

En un punto de inflexión la gráfica pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa.

Por tanto si f es derivables dos veces en el punto, y p es un punto de inflexión se cumplirá que: f ‘’ (a) = 0

El recíproco no siempre es cierto, puesto que si f ‘’ (a)= 0 los puntos que verifican esa ecuación son posibles puntos de inflexión.

0

3 – 3

Para calcular los intervalos de curvatura

Siempre positivo

2x Intervalos de curvatura de y =

1 + x2

y " < 0cóncava

y " < 0cóncava

Para obtener los intervalos de curvatura bastará calcular el signo de la derivada segunda en el dominio de la función.

y " > 0convexa

y" = 4x (– 3 + x2)x2 ;

4x (– 3 + x2)x2 = 0

x = 0

x = 3x = – 3

y " > 0convexa

Representación gráfica: Esquema

1. Estudiar el dominio y continuidad

3. Puntos de cortes con los ejes

4. Calcular posibles asíntotas

5. Monotonía. Estudiar derivada primera

6. Curvatura. Estudiar derivada segunda

Verticales: Puntos que no están en el dominio.

Horizontales u oblicuas: Hallando límites en el infinito.

Posibles puntos de inflexión:

Cóncava:

Convexa:

Posibles extremos:

Crecimiento:

Decrecimiento:

( ) 0.f x ( ) 0.f x

( ) 0.f x

( ) 0.f x ( ) 0.f x ( ) 0.f x

Eje X:

Eje Y:

( ) 0.f x

(0).f

2. Comprobar simetrías y periodicidad

Representación gráfica:Funciones polinómicas I

Vamos a dibujar la gráfica de la función 3( ) 4f x x x El dominio es R, es continua y no tiene asíntotas.

1. Puntos de cortes

2. Simetrías

3. Límites en el infinito

Eje Y: 3(0) 0 4 0 0f (0,0)

Eje X: 3 4 0; =0, 2x x x {( 2,0)

(0,0)

(2,0)

3 3( ) ( ) 4( ) ( 4 ) ( )f x x x x x f x

3

3

lim 4

lim 4

x

x

x x

x x

IMPAR

Representación gráfica: Funciones polinómicas II

Vamos a dibujar la gráfica de la función 3( ) 4f x x x 4. Monotonía

2( ) 3 4f x x

23 4 0x

si 2 3( ) 0

3x f x

2 2 3

33x

si 2 3 2 3( ) 0

3 3x f x

si 2 3( ) 0

3x f x

2 3 2 3Máximo, Mínimo

3 3

Representación gráfica: Funciones polinómicas III

Vamos a dibujar la gráfica de la función 3( ) 4f x x x 5. Curvatura

( ) 6f x x

6 0x

si 0 ( ) 0x f x

0x

si 0 ( ) 0x f x

0 punto de inflexiónx

Vamos a dibujar la gráfica de la función

4( )

4(1 )

xf x

x

1. Dominio y continuidad

2. Puntos de cortes

3. Simetrías ( ) ( )f x f x

NO TIENE

{1}R4(1 ) 0; 1x x

Eje Y:0 4

(0) 14(1 0)

f

(0, 1)

Eje X: 4 0; =4x x (4,0)

Representación gráfica: Funciones racionales I

Representación gráfica: Funciones racionales II

5. Monotonía

2

3( )

4( 1)f x

x

( ) 0 para todo {1}f x x R-

No tiene extremos

Vamos a dibujar la gráfica de la función

4( )

4(1 )

xf x

x

4. Asíntotas

Vertical:1

4lim

4(1 )x

x

x

1x

} 14

y Horizontal:

4 1lim

4(1 ) 4x

x

x

4 1

lim4(1 ) 4x

x

x

5. Curvatura

3

3( )

2( 1)f x

x

si 1 ( ) 0x f x

si 1 ( ) 0x f x

No punto de inflexión

Representación gráfica: Funciones polinómicas

Vamos a dibujar la gráfica de la función

4( )

4(1 )

xf x

x

Proceso para resolver problemas de optimización

•Dar un nombre a cada un de las cantidades o magnitudes desconocidas.

•Expresar la función a optimiza en función de las variables elegidas.

•Encontrar las condiciones que satisfacen las variables y utilizarlas para expresar la función a optimizar con una sola variable.

•Identificar el dominio de la función

•Para hallar el punto óptimo (máximo o mínimo) utilizamos el procedimiento de la derivada aunque esta sólo indica cuales son los extremos relativos. Para hallar los absolutos, hay que tener en cuenta los extremos del intervalo y los puntos singulares.

•Expresar el resultado contestando claramente a la pregunta planteada.