1

A

fig. 3

CD B4

6

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 25

UNIDAD: GEOMETRÍAGEOMETRÍA PROPORCIONAL II

TEOREMAS DE EUCLIDES

El triángulo de la figura 1 es rectángulo en C y CD es altura.

a y b: catetos

c: hipotenusa

p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.

Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a lahipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobrela hipotenusa.

Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcionalgeométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

EJEMPLOS

1. En el triángulo ABC de la figura 2, CD AB y AC CB . ¿Cuál es la medida del segmento

DB ?

A) 8B) 10C) 12D) 16E) 18

2. Sea el triángulo ABD de la figura 3 rectángulo en A. Si AC es altura, DB =

A) 9B) 9,5C) 10D) 12E) 13

12

8A

C

D B

fig. 2

a2 = p c b2 = q c

A D B

C

ba

c

q

h

c

p

fig. 1

2c

h = p q

Curso: Matemática

Material N° 33

2

3. Si el triángulo ABC de la figura 4 es rectángulo en C, entonces la medida de CD es:

A) 4B) 6C) 12D) 16E) Falta información.

4. En el triángulo ABC, rectángulo en C, de la figura 5, CD es altura ¿Cuál de los siguientes

pares de datos son posibles valores para AD y DB ?

A) 25 y 25B) 5 y 10C) 5 y 4D) 10 y 10

E) 10 y 10

5. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, la proyección del cateto menor es:

A) 2 13

B) 3 13

C) 4D) 6E) 9

6. En el triángulo rectángulo en C de la figura 7, CD es altura, entonces CD mide:

A)75

B) 5

C)125

D)123

E) 5 5

AC

Dfig. 5

B

10

fig. 66

D 9A B

C

4

fig. 73 4

DA B

C

C

D 8A B

fig. 4

2

3

PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA

Teorema de las cuerdas

Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan enel interior de ella, el producto de los segmentosdeterminados en una de ellas es igual al producto desegmentos determinados en la otra.

Teorema de las secantes

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazandos secantes, el producto de una de ellas por susegmento exterior es igual al producto de la otra secantepor su segmento exterior.

Teorema de la tangente y la secante

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazanuna tangente y una secante, la tangente es mediaproporcional geométrica entre la secante y su segmentoexterior.

EJEMPLOS

1. En la circunferencia de centro O de la figura 1 DB CA . Si EB =10 cm y CE =5 cm,

entonces, ¿cuánto mide el diámetro CA ?

A) 10 cmB) 15 cmC) 20 cmD) 25 cmE) 30 cm

A D

C B

P

A

B

C

D

P

AB

T

P

AP · PB = CP · PD

PA · PC = PB · PD

=2

PT PA · PB

E

O

A

C

D

B

fig. 1

E

4

2. En la circunferencia de la figura 2, la secante PC mide 10 cm, PB también es secante y

PA = 4 cm. Si DC = 2 cm, entonces PB mide

A) 16 cmB) 17 cmC) 20 cmD) 36 cmE) 80 cm

3. Sea la circunferencia de centro O de la figura 3. Si PT es tangente en T, entonces el radiode la circunferencia es:

A) 2 cmB) 3 cmC) 4 cmD) 6 cmE) 8 cm

4. En la circunferencia de la figura 4, DB y AC son cuerdas. Si DP =10 cm, AP = 4 cm y

PC =5 cm, entonces PB =

A) 2 cmB) 4 cmC) 5 cmD) 7 cmE) 10 cm

5. Sea TP tangente en T a la circunferencia de centro O de la figura 5. Si PC =2CA y TP =12

cm, entonces PC =

A) 4 3 cm

B) 6 2 cm

C) 12 cm

D) 12 2 cm

E) 24 cm

O

C

P

A

T

fig. 5

fig.4

D PB

A

C

A

D

B

C

P

fig. 2

4 cm

2 cmP

T

AB

O

fig. 3

5

DIVISIÓN DE TRAZOS

DIVISIÓN INTERNA

Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m:n, si AP :PB = m:n

DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA

Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo quela razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayory el menor.

(AP > PB)

OBSERVACIÓN: La razónAB

APse denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO:

EJEMPLOS

1. Un trazo de 24 cm ha sido dividido en dos partes razón de 3:5. Entonces el trazo menormide

A) 3 cmB) 4,8 cmC) 5 cmD) 9 cmE) 15 cm

2. Si un segmento de 40 cm se ha dividido en razón aurea, entonces el trazo mayor mide

A) 20( 5 -1)

B) ±20( 5 -1)

C) 20( 5 +1)

D) 20 5

E) Falta información

AP m=

nPB

AB

AP=

5 + 12

1,618034

AB AP=

AP PB

A BPfig. 1

fig. 2A BP

6

3. El trazo AJ se ha dividido en 9 partes congruentes, tal como se muestra en la figura 3. Escorrecto afirmar entonces que:

I)ADBF

=CIBJ

II) D divide a AJ en razón aurea

III)AI BJ

=AD BD

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

4. Sea AB un trazo de 50 cm que se ha dividido en dos partes por el punto P como semuestra en la figura 4. La razón entre el segmento menor y el mayor es:

A) 3:5B) 3:7C) 7:3D) 7:10E) 4:5

5. En el ejercicio anterior, la razón entre el segmento mayor y AB es:

A) 3:5B) 3:7C) 7:3D) 7:10E) 4:5

6. ¿Cuál(es) de los siguientes trazos se ha(n) dividido en la razón 3:2?

I)

II)

III)

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo II y IIID) TodosE) Ninguno

A B C

9 6

A B C

8 16

A B C

510

PA Bfig. 415

A B C D E F G H I J

Fig.3

7

D

fig. 2

C

A

B8 2

EJERCICIOS

1. En el triángulo ABC de la figura 1, rectángulo en C. Si h es altura, entonces es correctoafirmar que:

A) p+h = a2

B) b2 = q(p+q)C) ab = p+qD) ap = qE) Todas son verdaderas.

2. En la figura 2, ABD es un triángulo rectángulo en A y AC es altura. De acuerdo a los datosde la figura, el perímetro del triángulo ABD es

A) 20 5 cm

B) 30 cmC) 36 cm

D) (4 5 +10) cm

E) (6 5 +10) cm

3. En la circunferencia de centro O de la figura 3, PD y PA son secantes. Si AP =16 cm,CP = 8 cm y BP = 6 cm, entonces, la medida de DC es

A) 4 cmB) 6 cmC) 8 cmD) 10 cmE) 12 cm

4. En el triángulo ACD de la figura 4, AD DC , DB es altura, si BC = 2 cm y DB = 4 cm, elárea del triángulo ACD es

A) 16 cm2

B) 20 cm2

C) 24 cm2

D) 28 cm2

E) 32 cm2

B

C

O

fig. 3

D

P

A

D qA B

fig. 1ba

h

C

p

fig. 4

A B C

D

8

5. El segmento PQ de la figura 5, se ha dividido en razón aurea por el punto R. Si PR es el

segmento menor y mide 5 - 1, entonces RQ mide

A) 2 2 cm

B) 2 2 cm

C) 2 cm

D) 3 2 cm

E) 4 cm

6. En la circunferencia de centro O y radio 4 de la figura 6, se ha inscrito el triángulo ABC, siCD = 1 y es altura, entonces la multiplicación de las proyecciones de los catetos y la sumade ellas es respectivamente:

A) 1 y 8B) 8 y 1C) 4 y 4D) 16 y 4E) 16 y 8

7. En la circunferencia de centro O de la figura 7, AB es diámetro y CB tangente en B. Si el

triángulo ABC es isósceles, entonces CD mide:

A) 2 cm

B) 2 2 cm

C) 2 10 cm

D) 4 cm

E) 4 2 cm

8. ¿En qué razón están los segmentos AP y PB , AP > PB , de la figura 8, si su suma es36 cm y su diferencia es 4 cm?

A) 4:1B) 5:4C) 9:1D) 9:4E) 9:5

O

A

C

D

B

fig. 7

4

RP Qfig. 5

PA Bfig. 8

fig. 6OA

C

DB

9

9. En El triángulo ABC, rectángulo en C, de la figura 9, CD es altura y CB = 2 DB = 8 cm,

entonces AB mide:

A) 8 cm

B) 8 2 cm

C) 8 3 cm

D) 12 cmE) 16 cm

10. En un trazo AB un punto P lo divide en razón aurea, tal que AP < PB . Si AB = 13 cm yPB = x, entonces, la ecuación para determinar x es:

A) x2 – 13x – 169 = 0B) x2 + 13x – 169 = 0C) x2 + 13x + 169 = 0D) x2 – 13x + 169 = 0E) x2 – 13x + 169 = 0

11. Las proyecciones de los catetos del triángulo ABC rectángulo en C de la figura 10, con CDaltura son:

A) 1,2 y 1,6B) 3,6 y 6,4C) 6 y 8D) 8 y 10E) 6,5 y 8,5

12. El área triángulo ADC de la figura 10 es:

A) 8,64B) 8,82C) 10D) 10,8E) 12,5

A BD

C

fig. 9

6 8

A B

C

D

fig. 10

10

D

A

C

B

4

fig. 112

13. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s) con respecto altriángulo ABC, rectángulo en B de la figura 11, donde BD es altura?

I) AD = 2 cm

II) BD = 2 3 cm

III) El triángulo ABC es escaleno

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

14. ¿Cuál es el área del triángulo ABC, de la figura 12, si AC es tangente en C?

A) 32 cm

B) 36 2 cm

C) 38 cm

D) 38 2 cm

E) 64 cm

15. En el plano cartesiano se ha dibujado una recta L, tal como se muestra en la figura 13.La mínima distancia de L al origen es:

A) 2,4B) 3C) 3,5D) 4E) No se puede determinar.

3

4O

L

x

y

fig. 13

OBC

D

A

fig. 122

16

11

16. El trazo PQ de la figura 14 mide 18 cm. Si PR : PQ = 2:9, entonces la diferencia entre los

segmentos RQ y PR es

A) 4 cmB) 7 cmC) 10 cmD) 16 cmE) N.A. cm

17. En el triángulo ABC, rectángulo en C de la figura 15, CD = 14 cm y es altura, entonces2x =

A) 2 cmB) 4 cmC) 7 cmD) 9 cmE) 14 cm

18. En la circunferencia de centro O y radio R de la figura 16, PS y PQ son tangentes. Si PT = 2cm, calcule el perímetro del deltoide QOSP.

A) 4+2R cmB) 4+4R cm

C) (2+ R +2R) cm

D) (2 1+R +2R) cm

E) (4 1+R +2R) cm

19. En el segmento AB de la figura 17, AC y CB están en razón aurea, si AC = 4 cm y es el

segmento menor, entonces AB mide

A) 6 cmB) 8 cm

C) (4+2 5 ) cm

D) (6+2 5 ) cm

E) 12 cm

O

S

P

Q

fig. 162 T

A

fig. 15

RP Qfig. 14

CA Bfig. 17

D x+5 B

C

x

12

20. En la figura 18, ABC es un triángulo rectángulo en C. Si CD es altura y CE es transversalde gravedad, entonces, el área achurada es:

A) 17 cm2

B) 19,5 cm2

C) 38 cm2

D) 39 cm2

E) 78 cm2

21. Sea BD arco de la circunferencia de centro O y radio 8 como se muestra en la figura 19.Entonces si AB = OA , CA mide:

A) 2 8 cm

B) 3 2 cm

C) 4 cm

D) 4 3 cm

E) 8 cm

22. Si en la figura 20, el segmento OQ es dividido por P en razón aurea (z<y), entonces no secumple que:

A)x + y x

=y + z z

B)x 5+1

=y 2

C) 2

xz = 1

y

D)x y

=y z

E) y2 – xz = 0

23. En la figura 21, PT es tangente en T a las circunferencias de centro O y O` de radio 3 y 7cm respectivamente. Si PA y PC son secantes, PB · PA – PD · PC =

A) 0 cmB) 4 cmC) 7 cmD) 10 cmE) Falta información.

A Bsaed

Csaed

D E

6

fig. 18

9

C A

B

D O

fig. 19

fig. 21

0 P Q

xy z

fig. 20

P

A C

B

O`TT

D

O

13

24. El segmento AB se ha dividido en razón aurea por P (b<c). El segmento PB se ha divididoa su vez en la misma razón por el punto R (d<e) como se muestra en la figura 22. Escorrecto afirmar que:

I)a d + e

=c b

II)a - b c - d

=e d

III)c e

=b d

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) Todas

25. En la circunferencia de la figura 23, si AC perpendicular a BD , entonces es siempreverdadero que:

I) ∆ABC congruente ∆ADC

II) DE = EB

III) ∆ABC es isósceles de base AC

A) Sólo IB) Sólo I y IIIC) Sólo II y IIID) TodasE) Ninguna de ellas

26. Sea AOB, en la figura 24, la cuarta parte de una circunferencia de centro O.Si AD = 3 2 cm y DB =2 2 cm, entonces CD + DO =

A) 5 cm

B) 5 2 cm

C) 6 cm

D) 6 2 cm

E) (5+2 2 ) cm

A

B

D C

E fig. 23

C

D

B

A O

fig. 24

P R Bd e

fig. 22A P Bb c

a

14

27. De acuerdo a la figura 24 de la pregunta anterior, DO mide

A) 3 2 cm

B) 2 7 cm

C) 4 5 cm

D) 13 cm

E) No se puede determinar

28. Sea PC y PB secantes a la circunferencia de centro O de la figura 25. Se puede

determinar la medida de CB si:

(1) El perímetro del ∆PBC es 28 cm.

(2) DC = 3 cm.

A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

29. Un segmento AB de 42 cm, se ha dividido en dos partes por un punto P. Se puededeterminar la longitud del segmento menor si se conoce:

(1) En qué proporción se dividió el segmento inicial.

(2) La constante de la razón.

A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

30. Sea en la figura 26, AB // CD y AC DB . Se puede determinar la medida de EF si:

(1) CGF=45°.

(2) GE AB .

A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

A

4 cm

2 cm

D

B

C

P

fig. 25

8 9

fig. 26

A

BC

D

GE F

15

RESPUESTAS

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6

1 y 2 E A A D C C

3 y 4 D C B A D

5 y 6 D A A B D A

EJERCICIOS PÁGINA 7

1. B 11. B 21. D

2. E 12. A 22. A

3. A 13. E 23. A

4. B 14. B 24. E

5. C 15. A 25. E

6. A 16. C 26. A

7. B 17. B 27. D

8. B 18. E 28. C

9. E 19. D 29. D

10. B 20. B 30. C

DMDOMA-33

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