CUADERNO DE MATEMÁTICA

Teorema de Pitágoras

Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

La hipotenusa es el lado de mayor longitud en el triangulo rectángulo.

Los catetos son los dos lados menores del triangulo, los cuales forman un Angulo recto.

c²=a²+b²

Hipotenusa Cateto

c=a²+b²

b=c²-a²

a=c²-b²

Ejercicios

c= (2)²+(3)²c= 4+9c= 13c=3.6

c = ?

a = 2

b = 3

a= (5)² - (3)²a= 25 - 9a= 16a=4

c = 5

a = ?

b = 3

b= (7)² - (4)²b= 49 - 16b= 33b=5.7

c = 7

a = 4

b = ?

Trigonometria

La trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría.

NOMBRE ABREVIACION

DEFINICION

seno sen cat. op./hip.

coseno cos cat. adv./hip.

tangente tan cat. op./cat. adv.

cotangente cot cat. adv. / cat. op.

secante sec hip. /cat. adv.

cosecante csc hip. / cat. op.

Ejercicios

gh

f

sen= h/g cot=f/h

cos=f/g sec=g/f

tan=h/f csc=g/h

sen= 2/3 cot=1/2

cos=1/3 sec=3

tan=2 csc=3/2

c = 3b= 2

a = 1

c = 5b = 4

a = 3

sen= 4/5 cot=3/4

cos=3/5 sec=5/3

tan=4/3 csc=5/4

Funciones Trigonométricas

Función 45º 30º 60º

Seno 2/2 1/2 3/2

Coseno 2/2 3/2 1/2

Tangente 1 3/3 3

Cotangente 1 3 3/3

Secante 2 23/3 2

Cosecante 2 2 23/3

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

Propiedad Reflexiva

Se dice que una relación es un conjunto es reflexiva cuando cada elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo.

1 1

2 2

3 3

Propiedad Simétrica

Una relación es simétrica cuando cada ves que a esta relacionada con b, entonces lo esa con a.

1

2

3

5

Propiedad Transitiva

Una relación es transitiva si cada vez que esta relacionado con b esta relacionado con c. aRb^bRc aRc

13 17

25

36

Función

Una relación f de A en B denota por f=a B es una función si y solo si a cada elemento x que pertenece al conjunto Ale corresponde un único elemento y que pertenece al conjunto B atreves de f.

2

14

56

3

7

Ejercicios

mesa

silla

vaso

mesa

silla

vaso

L1

L2

L3

L1

L2

L3

Intervalos

Es un conjunto de números que se encuentran entre dos extremos.

a b

+ -

Intervalo abierto

No incluye los extremos, se lo representa ( ).

-4 9

+ -

-4 < x < 9

Intervalo cerrado

Incluye los extremos, se lo representa .

5 10

+ -

5 x 10

Dominio y Rango de una función restringida

f(x)=2x+1

Dominio: -4 ≤ x ≤ -3Rango: -7≤ x ≤ 5

x y (x,y)

-4 -7 (-4,-7)

2 5 (2,5)

-3 -5 (-3,-5)

f(x)=x+2

Dominio: -1 ≤ x ≤ 3Rango: 1 ≤ x ≤ 5 

x y (x,y)

-1 1 (-1,1)

3 5 (3,5)

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Paralelas: L1 // L2 Dos rectas son paralelas si y solo si son

pendientes son iguales.L1 // L2 = m1 = m2

Perpendiculares: L1 L2 Dos rectas son perpendiculares si y solo si el

producto de sus pendientes es igual a 1.

Ecuación de la forma y=mx+b

y=m x + b intersección con el eje y pendiente

y=2x-1x y (x,y)

1 1 (1,1)

2 3 (2,)

m=1-3 1-2m=2

Ecuación de la recta Punto-Pendiente

y - y1 = m (x - x1)

Ejercicios

Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto P (-2,4) y tiene de pendiente 3

P= (-2,4) y- y1= m(x-x1)m=3 y-4= 3(x+2)

y-4= 3x+6 

-3x+6-4-6=0Y=3x+10 forma y= mx + b-3x+y-10=0 forma general

 

Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto (2/7, -3) y tiene de pendiente (1/2)

 P ( 2/7,-3) Y-Y1=m (x-x1)m=1/2 y+3= 1/2 (x-2/7)

y+3= 1/2x – 2/14 y=1/2x – 2/14- 3

y=1/2x – 22/7 forma y=mx + b4y= 7x-44-7X+14Y+44=0 forma general

 

Ecuación de la recta Punto- Punto

y-y1 = m(x-x1)

m = y2-y1 x2-x1

y-y1 =y2-y1 (x-x1) x2-x1

Punto-Pendiente

Pendiente

Ejercicios

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (3,2) y Q (-4,1)

P (3,2) Y-2 = (x-3) Q (-4,1) y-2 =-1/7 (x-3)

y-2 = x/7- 3/77y-14=x-3 R: -x+7y-11= 0-x+7y-14+3 = 0

 

 Determinar la ecuación de la recta que

pasa por P (-1, 7) y Q (3,5)

P (-1,7)Y-7 = (x+1)Q (3,5) y-7 = -2/4 (x+1)

y- 7 = -x/2 - 1/2 R: x+2y-13=02y- 14 = -x-1x+2y-14+1= 0

Ecuación Simétrica dela recta

Ejercicios

Determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica sabiendo que su ecuación general es 3y+2y-6= 0

3y+2y-6=03x/6 + 2y/6 = 6/6 (÷6)x/2 + y/3 = 1a= 2 P (2,0)B=3 P (0,3)

Determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica sabiendo que su ecuación general es 2x+3y-5= 0

2x+3y-5 = 02x+3y = 5 (÷5) a= 5/2 P (5/2, 0)2x/5 +3y/5 = 1 B= 5/3 P (0, 5/3)

Función Creciente

x1, x2 € Drx1 < x2 f (x1) < f (x2)x1 < x2

Una función se llama creciente para todo x1, x2 elementos del dominio de la función se cumple que : x1<x2 f (x1) < f (x2)

Función Decreciente

x1, x2 € Drx1 > x2 f (x1) > f (x2)x1 > x2

Una función se llama decreciente si para todo x1, x2 elementos del dominio de la función se cumple que: x1 < x2 f (x1) > f(x2)

Distancia entre dos punos

Dp1p2= (x2-x1)² +(y2-y1)²

Ejercicio

Determinar la distancia entre dos puntos A(-3,5) B(2,-2)

A=(x1,y1) B(x2,y2)Dab= (-3-2)² +(-5-2)²Dab= (-5)² +(-7)² Dab= 25+49Dab= 74 

SISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos variables ejemplo:

X+3y=8 2x+y=9Resolver un sistema de ecuaciones consiste en

encontrar los valores de las variables que hacen que se cumpla la igualdad

Los métodos de resolución de un sistema son:1. método grafico2. método de adición3. método de sustitución4. método de igualación

Método Grafico

Consiste en graficar en un plano cartesiano las dos ecuaciones lineales las posibilidades de solución son las siguientes

Solución única Infinitas soluciones Sin soluciones

Solución Única

Esta posibilidad se da cuando las dos rectas se intersecan y la solución esta dada por el punto de intersección de las dos rectas

Infinitas Soluciones

Esta posibilidad se da cuando la una recta coincide con la otra

Sin Soluciones

Esta posibilidad se da cuando las dos rectas son paralelas

Método de Sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución se debe seguir el siguiente procedimiento:

1er Paso: Es conveniente que se despeje una variable con coeficiente 1

2do Paso: Sustituimos la otra ecuación el valor de la variable despejada en la primera obteniendo una ecuación de primer grado con una variable

3er Paso: Resolvemos la ecuación obteniendo en el paso anterior siendo este valor .

4to Paso: Sustituimos el valor obteniendo en el paso anterior en cualquier ecuación del sistema ( de preferencia en la que se encuentra despejada) y luego hallamos el valor de la otra variable

Ejercicio

7/3x-2y=4/35/4x+3/2y=-7

(7x-6y)/3=4/3 (5x+6y)/4=-77x-6y=4 5x+6y=-28-6y=-7x+4 6y=-5x-286y=7x-4 y=(-5x-28)/6y=(7x-4)/6 

x y (x;y)

4 4 (4;4)

-2 -3 (-2;-3)x y (x;y)

4 -8 (4;-8)

10 11 (10;11)

Método de Adición

Este método también con el método de eliminación o reducción, es el mas sencillo de todos los métodos si se aplica adecuadamente. Se fundamenta en eliminar una de las variables at raves de a adición de las ecuaciones. En la aplicación de este método podemos considerar el siguiente proceso:

 1. Obtener coeficientes numéricos opuestos en una delas

variables de las 2 ecuaciones del sistema.2. Adicionar las 2 ecuaciones y eliminar dicha variable.3. Resolver la ecuación obtenida y hallar el valor de la

variable.4. Sustituir de la variable conocida en cualquiera e las

ecuaciones del sistema y hallar e valor de otra variable.

Ejercicio

2x+y=52x+3y=8  -2x-y=-5 2x+3/2=5

2x+3y=8 2x=5-3/2 0+2y=3

2y=3 y=3/22x=7/2x=7/4

Método de Igualación

Un sistema de ecuaciones se puede resolver por el método de igualación siguiendo este proceso:

 1. Despejar la misma variable en las 2 ecuaciones.2. Igualar los resultados obtenidos.3. Resolver la nueva ecuación y encontrar el valor

de la una variable.4. Sustituir el valor obtenido con el paso anterior

en cualquier ecuación del sistema.

Ejercicio

2x-y=20 2x+y=48y=2x-20y =48-2x2x-20=48-2x2x+2x=48+204x=68x=17

Sustituir:y=2x-20y=2(17)-20y=34-20y=14

R: x=17 y=14

Inecuación lineal

Una inecuación lineal con 2 variables se puede expresar de las siguiente formas:  1) Ax + By + C > 0 Ejemplo: 3x + 2y - 1 > 0 2) Ax + By + C < 0 Ejemplo: x + y < 0 3) Ax + By + C ≥ 0 Ejemplo: -2x + 4y - 5 ≥ 0 4) Ax + By + C ≤ 0 Ejemplo: 3/2x + 1/4y ≤ 0  La solución de una inecuación con 2 variables corresponde al conjunto de pares ordenados que permiten que se cumpla la desigualdad. Por lo tanto la solución se observara en el gráfico como una región que se encuentra sombreada sobre o bajo una recta. 

Ejemplo

Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación lineal 3x + y ≤ 2. 3x + y ≤ 2  1er. Paso:

Cambiar los signos de orden con un igual. 3x + y = 2   2do. Paso:

Despejar "y" 3x + y = 2 y = 2 - 3x  

3er. Paso: Tabla de valores

4to. Paso: Graficar

x y (x;y)

0 2 (0;2)

1 -1 (1;-1)

-1 5 (-1;5)

5to. Paso: Determinar zona solución

Sobre la recta Bajo la recta ( 3 ; 5 ) ( -3; 1 )

3x + y ≤ 2 3x + y ≤ 23(3) + 5 ≤ 2 FALSO 3(-3) + 1 ≤ 2

VERDADERO9 + 5 ≤ 2 (-9) + 1 ≤ 2 14 ≤ 2 (-8 ) ≤ 2 Observación:  Si la inecuación tiene los símbolos > o < la recta se

grafica con líneas entrecortadas esto quiere decir que las partes que pertenecen a la recta no son parte de la solución.

Si la inecuación tiene los símbolos > o < la recta se grafica con línea continua esto quiere decir que los puntos que pertenecen a la recta son parte de la solución.

Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar como :  ax² + bx + c = 0  En donde a, b y c son números reales y a ≠ o.

Ejemplo:1) 3x² + 2x - 7 = 0 a b c

 2) x² - 9 = 0 a= 1b= 0c= -9

Factor Común Diferencia de cuadrados Trinomios :Cuadrados perfectosForma x² + bx + cForma ax² + bx + c Ejemplo:

x² - 3x = x ( x -3 )y² - 16 = (y + 4) (y - 4 )x²- 4x + 4 = (x - 2)²x² + 5x + 6 = ( x + 3)(x+ 2)3x² + 13x + 12 = ( 3x + 4 ) ( x + 3)

3X 4 = 4XX 3 = 9X

Método de Factorización

Este método consiste en descomponer en factores a la ecuación cuadrática y luego aplicar el teorema a*b = 0 ; entonces b= 0 o a=0, es decir para encontrar cada una de la raíces, cada uno de los factores se iguala a 0 y se despeja la variable.

Ejemplo

Resolver la siguiente ecuación cuadrática por el Método de Factorización. x² + 3x -10 = 0 Factorizar (x + 5) (x -2) = 0  Teorema del

factor 0x + 5 = 0  x= -5 

x - 2 = 0

x = 2

Comprobación

x = - 5 x = 2

(-5)² + 3(-5)- 10 = 0 2² + 3(2)- 10 = 025 - 15 - 10 = 0 4 + 6 - 10 = 025 -25 = 0 10 – 10 = 00 = 0 0 = 0

4x² - 9 = 0 (2x + 3) (2x - 3) 2x - 3 = 02x = -3 2x = 3x = -3/2 x= 3/2

Método de Completación al cuadrado

Una ecuación cuadrática se puede resolver utilizando el método de completación del cuadrado que consiste en transformar a dicha ecuación en un trinomio cuadrado perfecto. Para ella se debe sumar a los dos miembros de la ecuación. La expresión de ( b/2)², con el coeficiente numérico de la variable al cuadrado igual a 1.

Método por formula

Para resolver una ecuación cuadrática por este método se aplica la siguiente formula:

x=-b ± b² - 4ac 2ªEn donde: a= coeficiente numérico de b= coeficiente numérico de c= termino independiente  Para resolver por medio de la formula se puede seguir el

siguiente proceso:1. Expresar la ecuación en la forma 2. Identificar los coeficientes a, b y c de la ecuación.3. Reemplazar los valores en la formula y determinar las raíces e

la ecuación.

Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática

Discriminante

D > 0 (positivo)

D < 0 (negativo)

D = 0

La ecuación tiene 2 raíces R y diferentes

La ecuación tiene 1 solución en los R

La ecuación no tiene solución en los R

Ejercicios3x²+11x+6=0a=3b=11c=6D > 0 La ecuación va a tener 2 soluciones

2x²+3x+4=0a=2b=3c=4D < 0 La ecuación no va a tener soluciones

Propiedad de las raíces de una ecuación cuadrática

ax²+bx+c=0

Raíces x1; x2

Propiedades

Suma Producto

x1+x2=-b/a x1*x2=c/a

EjercicioDadas las raíces determinar la ecuación cuadrática

x1=-1x2=7

Suma: x1+x2=-b/a -1+7=6Producto: x1 * x2= c/a (-1)(7)=-7 Ecuación: x²+6x-7=0