Ejercicios de Repaso para Examen Segundo ParcialLa hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 17 cm...

I. Relaciona las columnas.

1. ( ) Porción del espacio limitada por segmentos de recta (lados). A Axiomas o postulados

2. ( ) Son criterios de semejanza de triángulos: B Superficie

3. ( ) Son características de un triángulo equilátero: C Ángulo exterior

4. ( ) Principios que se aceptan como ciertos o evidentes. D Conjugados

5. ( ) Son criterios de congruencia de triángulos: E Medianas

6. ( ) Conjunto de todos los puntos que limitan un cuerpo plano geométrico F Mediatriz

7. ( ) Si al sumar dos ángulos el resultado es igual a 360°, podemos decir que los ángulos son: G

Ángulos de igual medida y lados

congruentes

8. ( ) Recta que pasa por el punto medio de alguno de los lados de un triángulo formando

ángulos rectos. H Bisectriz

9. ( ) Si a un triángulo lo corta una recta paralela a uno de sus lados; entonces se forman dos

triángulos, los cuales son: I Polígono

10. ( ) El baricentro es el punto único de intersección de las __________ en un triángulo. J LLL, LAL, ALA

11. ( ) En un triángulo cualquiera, la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre

mayor que la longitud del tercer lado. K Teorema Tales

12. ( ) Si a rectas paralelas las cortan transversales, sobre estas se determinan segmentos

proporcionales. L Semejantes

13. ( ) La medida del _____________ de un triángulo es igual a la suma de las medidas de sus

dos ángulos interiores opuestos. M LLL, LAL, AA

14. ( ) Es el segmento de recta que une al vértice de un triángulo con su lado opuesto formando

un ángulo recto (90°) con este último.

N Desigualdad triangular

15. ( ) Semirrecta que divide un ángulo en dos ángulos de igual medida, y tiene su origen en el

vértice del ángulo en cuestión. O Altura

II. Responde VERDADERO o FALSO a los siguientes enunciados.

1) En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es igual a 180°

2) En un polígono convexo un ángulo exterior es suplementario con un ángulo interior.

3) En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.

4) En un paralelogramo los lados opuestos no son congruentes.

5) Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente

6) Los ángulos de la base de un trapecio isósceles son iguales, a diferencia de un trapecio no isósceles en el cual estos ángulos no son

iguales.

7) Los ángulos contiguos a los lados no paralelos suman 360°

8) El segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia se llama secante.

9) La medida de un ángulo central en una circunferencia es igual a la medida del arco que lo subtiende (comprende).

10) La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que lo subtiende.

UANL

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

CICLO ESCOLAR 2018 – 2019 SEMESTRE: ENERO – JUNIO 2019

LABORATORIO DE MANEJO DE FORMAS Y ESPACIOS FECHA: ABRIL DE 2019

ELABORÓ: ACADEMIA DE MANEJO DE FORMAS Y ESPACIOS SEGUNDO SEMESTRE

JEFE DE ACADEMIA: MTRA. ADRIANA I. GARZA CERVANTES

PROGRAMA EDUCATIVO: PROPEDÉUTICO CLAVE: N/A

NOMBRE: _____________________________________________________________________________________________________________________

GRUPO: ______ N. L. _____ CALIFICACIÓN _______

A.G.,R.A.,H.B. Preparatoria 7, U.A.N.L. Laboratorio de Manejo de Formas y Espacios, 2019

III. Utiliza la siguiente figura para completar la tabla.

Ángulos Nombre Característica.

Ej: A, G Alternos externos A=G

B, E

B, H

A, C

D,G

E,F

Pág. 2

El largo de un rectángulo mide 2 m mas que su ancho. Si el área es de 120m2, determina la longitud de su largo

La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 17 cm y un cateto mide 7 cm mas que el otro. Calcula la longitud de sus catetos

Javier tiene el doble de edad que Antonio. El producto de sus edades es de 72, ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?

Calcula la altura de un triangulo si longitud es 4 cm menor que el doble de su base y su área es de 63 cm2.

𝑏

2𝑏−4

𝑕 = 14𝑐𝑚

largo= 12m

𝑐 = 15 𝑦 𝑐 = 8

𝐽𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟 = 12 𝑎ñ𝑜𝑠 𝐴𝑛𝑡𝑜𝑛𝑖𝑜 = 6 𝑎ñ𝑜𝑠

IV. Resolver los siguientes problemas de aplicación


→ Grados a Radianes Considerar su equivalencia:

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =180 ∗ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 ∗ 𝜋

180

Convierte 200° a Radianes

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 200 ∗ 𝜋

180=200𝜋

180

← Debemos simplificar la fracción a su máxima

expresión →

(200𝜋)/2

(180)/2=(100𝜋)/2

(90)/2=(50𝜋)/5

(45)/5=10𝜋

9𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

226°

𝑟𝑎𝑑 =113

90𝜋

45°

156° 185°

𝑟𝑎𝑑 =1

4𝜋

𝑟𝑎𝑑 =13

15𝜋 𝑟𝑎𝑑 =

37

36𝜋

V. Convierte los grados a radianes o vise versa

→ Radianes a Grados

Convierte 5𝜋

12 radianes a Grados

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =180 ∗

5𝜋12

𝜋= 180 ∗

5𝜋12𝜋

5𝜋12𝜋1

=5𝜋

12𝜋=5

12

← Tomas la fracción doble y la

simplificas →

← Regreso la fracción simplificada→

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 180 ∗5

12= 75°

7𝜋

9

𝜋

18

5𝜋

6

7𝜋

4

𝑔𝑟𝑎𝑑 = 140° 𝑔𝑟𝑎𝑑 = 10°

𝑔𝑟𝑎𝑑 = 150° 𝑔𝑟𝑎𝑑 = 315°

→ Sistema Circular: Medida del Ángulo, Radio y Arco

𝜃 =𝑆

𝑟

𝜃 = Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑆 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝐴𝑟𝑐𝑜 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜

Encuentra la medida del ángulo ( en radianes y grados) , radio o arco, según lo requiera.

𝑟 = 20cm 𝑆 = 24𝑐𝑚 𝜃 =?

𝜃 =24𝑐𝑚

20𝑐𝑚 𝜃 = 1.2 𝑟𝑎𝑑 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =

180 ∗ 1.2𝑟𝑎𝑑

𝜋=216

3.1416= 68.75°

𝑟 =? 𝑆 = 15cm 𝜃 = 45°

𝜃 =𝑆

𝑟

𝑆 = 𝜃𝑟

𝑟 =𝑆

𝜃 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

45° ∗ 𝜋

180=45𝜋

180=9𝜋

36=𝜋

4= .785 𝑟 =

15𝑐𝑚

.785= 19.10 cm

𝑟 = 36 𝑐𝑚 𝑆 =?

𝜃 =𝜋

12

𝜃 =𝑆

𝑟 𝑆 =

𝜋

12∗ 36 = 9.42 𝑐𝑚

Pág. 3


𝑟 = 35 cm 𝑆 = 2.4 𝑚 𝜃 =?

𝑟 =? 𝑆 = 40 cm 𝜃 = 35°

𝑟 = 74 cm 𝑆 =? 𝜃 = 63°

𝑟 =? 𝑆 = 35 cm 𝜃 = 79°

𝜃 = 392.5° 𝑟 = 65.48 𝑐𝑚

𝑆 = 81.36 cm 𝑟 = 25.38 𝑐𝑚

VI. Convierte los grados a radianes

Complementarios Suplementarios Conjugados Opuestos por el Vértice

Dos ángulos cuya suma da como resultado 90°. A cada ángulo se le

llama complemento del otro.

Dos ángulos cuya suma es 180°. A cada ángulo se le llama suplemento del otro.

Dos ángulos cuya suma resultan en 360°. A cada

ángulo se le llama conjugado del otro.

Cuando dos rectas se intersectan, los pares de ángulos adyacentes que se forman, se llaman

opuestos por el vértice y son iguales

→ Clasificación de Ángulos

Dos ángulos complementarios están a razón de 5:4. Determina

la medida del ángulo mayor.

5𝑥 + 4𝑥 = 90 9𝑥 = 90

𝑥 =90

9

𝑥 = 10

5𝑥 = 50 4𝑥 = 40 7𝑥 − 2 ° 6𝑥 − 13 °

C O A

B 6𝑥 − 13 + 7𝑥 − 2 = 180 13𝑥 − 15 = 180 13𝑥 = 180 + 15

13𝑥 = 195

𝑥 =195

13

𝑥 = 15

∠𝐴𝑂𝐵 = [7 15 − 2] ∠𝐴𝑂𝐵 = 103°

∠𝐶𝑂𝐵 = [6 15 − 13] ∠𝐶𝑂𝐵 = 77°

Dos ángulos conjugados están a razón de 8:6 calcula la medida del ángulo menor.

Sean A y B dos ángulos complementarios, donde ∠𝐴 = 12𝑥 − 36 𝑦 ∠𝐵 = 4𝑥 + 12. Determina la medida del ángulo B

𝑥 = 25.71 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 = 154.29°

𝑥 = 7.125 𝐵 = 40.5°

VII. Resuelve los siguientes ejercicios.

Pág. 4


A B O

C

𝑥 = 20 𝑥 = 25

−2𝑥 + 90 ° 8𝑥 − 30 °

A B

C D

(4𝑥 − 6)°

2(𝑥 + 18)°

2(3𝑥 − 28)°

8𝑦 + 18 𝑥2

5𝑥 + 6

A

B C

D

2𝑥2

10𝑥 + 12

A

B C

D 𝑥 = 6 𝑦 = 15.75 𝑥 = 6

Calcula el valor de " x " Determina el valor de " x "

Calcula el valor de " x " y " y " Determina el valor de " x "

→ Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una transversal.

Ángulos correspondientes Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos Ángulos

conjugados externos

Ángulos conjugados

internos

Dos ángulos, uno interno y otro externo, situados en el mismo

lado de la transversal y con vértices en dos paralelas

distintas.. Son iguales

Son pares de ángulos, ambos internos, situados en lados

distintos respecto a la transversal, los cuales son

iguales.

Son pares de ángulos, ambos externos, situados en lados

distintos respecto a la transversal, los cuales son iguales.

Dos ángulos internos (o externos) que estén situados del mismo lado de la transversal.

Dos ángulos conjugados internos (externos) son suplementarios (es decir, suman 180°).

VIII. Encuentra el valor de las variables en cada problema.

Alternos internos 112° , 2 4𝑥 + 28 °

Opuestos por el vértice 4 x + 21 ° , 2 4𝑥 + 28 °

Opuestos por el vértice 2𝑦° , 4𝑥 − 2 °

Alternos internos 4𝑥 − 2 ° , (5𝑥 − 12)°

∠1 = ∠4 = ∠5 = ∠8

∠2 = ∠3 = ∠6 = ∠7

∠3 = ∠6 ∠1 = ∠8

∠4 = ∠5 ∠2 = ∠7 ∠3 + ∠5 = 180 ∠1 + ∠7 = 180

∠4 + ∠6 = 180 ∠2 + ∠8 = 180

𝑥 = 10 𝑦 = 19 𝑥 = 7

𝑟2

𝑟1

𝑟2

𝑟1 112°

2(4𝑥 + 28)°

4(𝑥 + 21)°

2𝑦°

(4𝑥 − 2)°

(5𝑥 − 12)°

Pág. 5


Opuestos por el vértice 10 2𝑥 + 7 ° , 130°

Conjugados externos 130° , 2 7𝑦 − 3 °

𝑟1 ∥ 𝑟2

(17𝑥 + 6)°

(3𝑥2)°

8𝑦 + 4 °

r1

r2

𝑥 = 6 𝑦 = 8.5

𝑥 = 3 𝑦 = 4

𝑟2

𝑟1 130°

10(2𝑥 + 7)°

2(7𝑦 − 3)°

→ Triángulos, Clasificación y Propiedades.

IX. Escribe debajo de cada triangulo, su nombre según correspondan sus ángulos o lados.

30°

25°

50°

40° 50°

60° 70°

En un triangulo rectángulo, los ángulos agudos guardan una razón de 2:7. Encuentra la medida del ángulo mayor.

á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 70°

𝑥°

𝑦°

𝑧°

3 cm

3 cm

3 2 𝑐𝑚

4 cm

4 cm 4 cm

5 cm

13 cm 8 cm

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 180°

𝑤 = 𝑥 + 𝑦

𝑥 = 17 𝑦 = 23

𝑥 = 16 𝑦 = 9.33

120° 6y° (8𝑥 − 4)°

64°

(6𝑥 + 9)° 3𝑦° (6𝑥 − 25)°

2𝑥

Calcula el valor de las variables " x " e " y " . Determina el valor de las variables " x " e " y " .

Pág. 6


𝑃 = 100° 𝑅 = 35° 𝑆 = 45° 𝑧 = 20°

𝑧

35°

50° 75° 80°

45°

A D

B

C

𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑠 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 ∠𝑆, ∠𝑃, ∠𝑅

𝑃

𝑄 𝑇

𝑆

𝑅

Determina el valor de " z " .

→ Congruencia de Triángulos.

LLL LAL ALA

Bajo los criterios de congruencia, identifica a cual criterio pertenece.

AC=AD <1=<2 Demuestra que <C = <D

AC=AD <1=<2

AB

A

C

D

B 1 2 A

C

D

B 1

2

Al demostrar que el triangulo es congruente bajo el criterio LAL,

podemos afirmar que <c=<d

Justificación Argumento

Criterio LAL

Dato Dato

Lado compartidos

𝐴𝐷 𝑦 𝐶𝐸 𝑠𝑒 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛 𝑚𝑢𝑡𝑢𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝐶

Criterio: __________

A

E

C

D B


X. Demuestra lo que se te pide en cada problema utilizando los criterios de congruencia.

𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 ∆𝐴𝐵𝐸 ≅ ∆𝐵𝐶𝐷

Pág. 7


Triangulo Equilátero 𝐷𝐸 𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑠𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 Criterio: __________

D B C E

A Justificación Argumento

𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴𝐸𝐶

𝑆𝑖, 𝐴𝐶 = 𝐶𝐸 𝑦 𝐵𝐸 = 𝐷𝐴, Demuestra que ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐶𝐸𝐵, B y D son puntos medios de AC y CE

A E

B D

C

F

Criterio: ___________

A

C B

F D

E

Si, ∆𝐴𝐶𝐵 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝐶𝐴 ∥ 𝐷𝐸 , 𝐹𝐷 ∥ 𝐶𝐵 𝑦 𝐹 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝐶 𝑦 𝐸 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝐵. Demuestra que ∆𝐴𝐹𝐷 ≅ ∆𝐸𝐵𝐷, escribe el criterio


Criterio: ___________ Justificación Argumento

→ Semejanza de Triángulos.

AA LAL LLL

Pág. 8


A C M

B

N 16

x

21 35

𝐴𝐶

𝐴𝑀=𝐵𝐶

𝑀𝑁

21 + 35

35=16

𝑥

56𝑥 = 16 35

𝑥 =560

56

𝑥 = 10

B

E

C A

D

12

15

20 7𝑥 − 5

𝐴𝐶

𝐷𝐶=𝐵𝐶

𝐸𝐶

7𝑥 − 5 + 20

20=12 + 15

15

15 7𝑥 + 15 = 20 27 105𝑥 + 225 = 540 105𝑥 = 540 − 225 105𝑥 = 315

𝑥 =315

105

𝑥 = 3

A

C

B

D E

𝐶𝐷 = 2𝑥 − 6 𝐷𝐴 = 𝑥 + 1 𝐷𝐸 = 12 𝐴𝐵 = 24

𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 ∆𝐼~∆𝐼𝐼

A D

B C

E

Criterio: _________

𝐼

𝐼𝐼

𝐵𝐸 = 8

𝐶𝐸 = 7

𝐷𝐸 = 40

𝐴𝐸 = 35

𝑥 = 7

Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 5 m al mismo tiempo que una señal de tráfico de 2.5 m proyecta una sombra de 0.75 m.

.75m

2.5m

5 m 𝑕 = 16.67𝑚

𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐵

Pág. 9

XI. Resuelve lo que se te pide.

Calcula el valor de " 𝑥 "


→ Polígonos, clasificación, elementos y propiedades .

Suma de ángulos interiores

Sai(n)

Sai(n) = 180° (n - 2)

Ángulo interior

Ai(n)

𝐴𝑖 𝑛 =𝑆𝑎𝑖 𝑛

𝑛

=𝑛 − 2 180°

𝑛

Suma de ángulos

exteriores

Sae(n)

Sae(n) = 360°

Numero de Diagonales

d

d=𝑛(𝑛−3)

2

Angulo Exterior

Ae(n)

𝐴𝑒 𝑛 =360

𝑛

Angulo Central

𝜃(𝑛)

𝜃(𝑛) =360

𝑛

Suma Angulo Interior y Angulo

Exterior

Ai(n) + Ae(n)=180

Los ángulos interiores de un hexágono se representan mediante 𝐴 = 5𝑥° , 𝐵 = 3𝑥° , 𝐶 = 2.5𝑥° , 𝐷 = 3.5𝑥° , 𝐸 = 6𝑥° 𝑦 𝐹 = 5𝑥°. Encuentra la medida del ángulo F.

Determina el numero de lados de un polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°

El ángulo exterior de un polígono regular es de 45°. Halla el numero de lados. La suma de sus ángulos interiores. La medida de cada ángulo interior. El numero total de diagonales que se pueden trazar. El valor del ángulo central

𝐹 = 144°

𝑛 = 9

𝑛 = 8 𝑆𝑎𝑖(𝑛) = 1080° 𝑑 = 20 𝐴𝑖 𝑛 = 135°

Cuantos lados tiene un polígono en el que se pueden trazar 104 diagonales.

Cuantas diagonales se pueden trazar en un polígono regular cuando su ángulo interior mide el doble de su ángulo exterior?

𝑛 = 16

𝑑 = 9

XII. Resuelve los siguientes problemas.

Pág. 10


→ Cuadriláteros.

Cuadrado

Un cuadrado es un paralelogramo que tiene sus

cuatro lados congruentes y sus ángulos interiores todos son

rectos.

AB = BD = CD = CA

Rectángulo

Un rectángulo es un paralelogramo que tiene todos

sus ángulos interiores rectos

Cada diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos congruentes, rectángulos e

isósceles.

Rombo

Un rombo es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados

congruentes

Las diagonales de un rombo, se bisecan mutuamente.

Trapecios

Los ángulos contiguos a cada uno de los lados no paralelos de

un trapecio son suplementarios.

Los ángulos de la base de un trapecio isósceles son

congruentes.

El perímetro de un rombo es de 40 cm y una de sus diagonales mide 16 cm. ¿Cuánto mide la otra diagonal?

𝑑 = 12

La base mayor de un trapecio isósceles mide 30.5 cm, la base menor 20 cm y la altura mide 14 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los lados no paralelos?

El lado de un cuadrado mide 10 cm. ¿Cuánto mide su diagonal

𝑑´ = 10 2 𝑐𝑚

𝑥 = 14.95

En el siguiente trapecio, Calcula z 𝑦 𝑥

125°

6x 4𝑧 + 24

4z

𝑥 = 9.17 𝑧 = 19.5

A

B C

D

∠𝐴 = 4𝑧 − 60 , ∠𝐶 = 2𝑧 , ∠𝐷 = 2𝑥

12.5 𝑐𝑚

𝑏´ =?

10 𝑐𝑚

A

B C

D 𝑏 = 30 𝑐𝑚

𝑥 = 60° 𝑧 = 30°

𝑏´ = 15 𝑐𝑚

XIII. Resuelve los siguientes problemas.

Calcula "x" 𝑦 "z" utilizando los siguientes valores del siguiente paralelogramo

Calcula el b´ en el siguiente trapecio isósceles

Pág. 11


→ Áreas de regiones poligonales.

Cuadrado

𝐴 = 𝑙2

𝑙 = 𝑙𝑎𝑑𝑜

𝑃 = 4𝑙

Rectángulo

𝐴 = 𝑏𝑕

𝑏 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑕 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑃 = 2(𝑕 + 𝑏)

Paralelogramo

𝐴 = 𝑏𝑕


𝑃 = 2(𝑕 + 𝑏)

Triangulo

𝐴 =𝑏𝑕

2


𝑃 = 3𝑙

Trapecio

𝐴 =1

2𝑕(𝑏 + 𝑏´)

𝑏 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑏´ = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑕 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑃 = 2𝑏 + 2𝑕

Rombo

𝐴 =𝑑𝑑´

2

𝑑 = 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑´ = 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙

𝑃 = 4𝑙 Encuentra el área de un triangulo equilátero

si su lados miden 20 cm

20 cm

20 cm 10 cm

𝑕 =?

𝑕 = 20 2− 10 2

𝑕 = 300 𝑕 = 17.32

𝐴 =20 ∗ (17.32)

2

A=173.20

Encuentra el área de un trapecio isósceles, si 𝑏´ = 17 𝑐𝑚, ℓ = 10 𝑐𝑚 𝑦 𝑕 = 6 𝑐𝑚

ℓ

b

b´

h

AE A

B C

D F

𝐴𝐸 = 102 − 62

𝐴𝐸 = 100 − 36

𝐴𝐸 = 64 𝐴𝐸 = 8

𝑏 = 𝐴𝐸 + 𝑏´ + 𝐹𝐷 𝑏 = 8 + 17 + 8 𝑏 = 33

𝐴 =1

2(6)(17 + 33)

𝐴 = 150 𝑐𝑚2

Un rombo con una d = 30 y uno de sus lados = 17. encuentra el área.

Halla el área de un rectángulo si su base mide 5 cm y su diagonal mide 12

Determina la base y altura de un paralelogramo si están a razón de 4:5 y su área es de 1280 m2

Encuentra el área de un triangulo equilátero, cuyo perímetro es 60 cm

Halla la altura de un trapecio, si sus bases miden 13 y 17 respectivamente y su área es de 42 m2

𝐴 = 240 𝑢2 𝑏 = 36𝑚 𝑕 = 40𝑚

𝐴 = 54.55 𝑐𝑚2

𝑕 = 2.8𝑚

𝐴 = 173.2 𝑐𝑚2

La base de un paralelogramo se representa por (x+3) y la altura por (x+1), si su área es de 48 cm2. Calcula la base y

altura

𝑏 = 8 𝑐𝑚 𝑕 = 6 𝑐𝑚

XIV. Resuelve los siguientes problemas.

Pág. 12


Encuentra el área del triangulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 18 respetivamente.

Las diagonales de un rombo están a razón de 6:4. Si el área es de 64 m2. Encuentra la diagonal mayor.

𝑑 = 13.86 𝑚 𝐴 = 72 𝑢2

→ Circunferencia y Circulo. Angulo Central

•Es cualquier ángulo con vértice en el centro y cuyos lados son radios de la circunferencia.

• ∠𝐴𝑂𝐵 = 𝐴𝐵

Angulo Inscrito

• Es cualquier ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de la circunferencia.

• ∠𝐴𝐵𝐶 =𝐴𝐶

2

∠𝐴𝐶𝐵 =𝐴𝐵

2

𝐴𝐵 = 35° ∗ 2

𝐴𝐵 = 70°

∠𝐴𝑂𝐵 = 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵 = 70°

Encuentra el valor de "x", "z"

En una circunferencia los arcos 𝐴𝐵 ,𝐵𝐶 y 𝐶𝐴 están a razón de 3:4:5 encuentra los ángulos internos del triangulo

inscrito.

Encuentra el valor de «x»

Encuentra el valor de «a» y «b» Encuentra el valor de «x» y «z»

XV. Resuelve los siguientes problemas.

𝑥 = 35°

𝑧 = 50°

𝑥 = 78°

𝑧 = 39°

𝑎 = 56°

𝑏 = 56°

𝑎 = 45°

𝑏 = 60°

𝑐 = 75° 𝑥 = 20

Pág. 13


Pág. 14

Antes de explicar el Teorema se debe tomar en cuenta que: Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90°) y el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

→ Teorema de Pitágoras.

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto a, es decir a+b, como en la figura de la derecha. El área de este cuadrado será (a+b)2.

Demostración.

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si ahora unimos los puntos se forman cuatro triángulos rectángulos iguales. El área del cuadrado (a+b)2, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos y el cuadrado pequeño que se forma con las hipotenusas de los triángulos.

4 (Área de triangulo rectángulo)

4a(b) 2

+ Área de cuadrado =

c2

4a(b)

2

2ab

c2=a2+b2

4 X + =

(a+b)2 + =

c2 + = a2 + 2ab + b2

c2 + = a2 + 2ab + b2

a2 + b2 c2 = XVI. Resuelve los siguientes problemas.

Desde la parte más alta de un faro de 52m de altura se observa un bote a una distancia de 120m. Se pide hallar la distancia desde el pie del faro hacía el bote.

Una palmera de 17 metros de altura se encuentra sujeta por dos cables de 22m y 27m . Encuentra la distancia entre ambos cables.

108.14

34.94 𝑚


Pág. 15

→ Funciones trigonométricas

Seno de un ángulo agudo

cateto opuesto

hipotenusa =

cateto adyacente

hipotenusa Coseno de un ángulo agudo =

cateto opuesto

cateto adyacente

Tangente de un ángulo agudo =

cateto opuesto

cateto adyacente Cotangente de un ángulo agudo =

cateto adyacente

hipotenusa Secante de un ángulo agudo =

cateto opuesto

hipotenusa Cosecante de un ángulo agudo =

Sen R r

s =

Cos R p

s =

Tan R r

p =

Cot R p

r =

Sec R s

p =

Csc R s

r =

Sen D d

e =

Cos D =

Tan D d

=

Cot D =

Sec D e

f =

Csc D =

Sen L m

=

Cos L =

Tan L =

Cot L =

Sec L =

Csc L =

Sen G =

Cos G =

Tan G =

Cot H =

Sec H =

Csc H =

XVII. Completa los espacios vacíos .

→ Cofunciones

Ejemplo : Si β + µ = 90°

Sen β = 3

5 y Cos µ =

5

3

entonces Sen β = Cos µ

Una función trigonométrica de un ángulo es siempre igual a la cofunción del complemento del ángulo.

β + µ = 90°

aplicandolo a las otras funciones tenemos que: Sen β = Cos µ Tan β = Cot µ Sec β = Csc µ

Las razones trigonométricas de un ángulo agudo de cualquier triángulo rectángulo se definen comúnmente como el cociente entre dos de los tres lados. Las funciones trigonométricas son las funciones derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. Ampliando el contexto, las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo


Pág. 16

Funciones Ángulo complementario Cofunciones

Sin 50° 40° Cos 40°

Tan 38° 17’

Csc 51°52’

Cos 28° 17’

Cot 71°12’28”

XIX. Usando cofunciones completa las equivalencias.

XVIII. Usando cofunciones completa la tabla.

tan 53° =

sec 22° =

cos 18°39′ =

sin 38°23′50" =

XX. Relaciona ambas columnas.

1) ( ) Cos 34° a) 2.2570

2) ( ) Cot 55° b) .2915

3) ( ) Sin 46° 13’ c) 39° 27’ 31.76”

4) ( ) Csc 28° 42’ d) .7220

5) ( ) Tan 84° 35’ e) 71° 58’ 30.4”

6) ( ) Sec 63° 42’ f) 24°35’53.9”

7) ( ) Cos 73° 3’ g) 10.5461

8) ( ) Tan 47° 22’ h) .8290

9) ( ) Cot A = .3254 i) 10° 52’ 36.94”

10) ( ) Sin B = .1887 j) 2.0824

11) ( ) Sec E = 1.2952 k) 77° 43’ 3.02”

12) ( ) Cot F = .2177 l) .7002

13) ( ) Cos A = .2648 m) 74° 38’ 41.75”

14) ( ) Csc B = 1.3421 n) 1.0862

15) ( ) Tan E = .4578 o) 48° 10’ 3.98”


Pág. 17

Para encontrar los valores de ángulos de 45° es un triangulo rectángulo isósceles, le damos como valor mínimo a los catetos de 1 y se calcula la hipotenusa con el teorema de Pitágoras. (Recuerda que en algunos casos es necesario racionalizar denominadores).

1

1

45°

2

𝑆𝑒𝑛 45° =2

2

𝐶𝑜𝑠 45° =2

2

𝑇𝑎𝑛 45° = 1 𝐶𝑜𝑡 45° = 1

𝑆𝑒𝑐 45° = 2

𝐶𝑠𝑐 45° = 2

Para encontrar los valores de ángulos de 30° y 60 ° es un triangulo Equilátero, le damos como valor mínimo a los catetos de 2, dibujamos la altura y la calculamos con el teorema de Pitágoras. (Recuerda que en algunos casos es necesario racionalizar denominadores).

1 60°

2

30°

3

𝑆𝑒𝑛 60° =3

2

𝐶𝑜𝑠 60° =1

2

𝑇𝑎𝑛 60° = 3

𝐶𝑜𝑡 60° =3

3

𝑆𝑒𝑐 60° = 2

𝐶𝑠𝑐 60° =2 3

3

𝑆𝑒𝑛 30° =1

2

𝐶𝑜𝑠 30° =3

2

𝑇𝑎𝑛 30° =3

3

𝐶𝑜𝑡 30° = 3

𝑆𝑒𝑐 30° =2 3

3

𝐶𝑠𝑐 30° = 2

Para resolver los ejercicios deberás considerar los valores exactos de los ángulos.

𝑆𝑒𝑛30° + 𝐶𝑜𝑠 60° + 𝑇𝑎𝑛 45° =

1

2

1

2 1 + + = 2

𝐶𝑜𝑡230° + 𝐶𝑜𝑠 45°𝑆𝑒𝑐45° − 𝐶𝑠𝑐 30° =

2

2 ( 3)2

3

+ −

= 2

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

2 2

+ − 2

2

2

Ejemplo 3:

𝐶𝑠𝑐245° − 6𝐶𝑜𝑠 60° + 𝑇𝑎𝑛 30°𝑆𝑒𝑛60° =

61

2 −

+ = −1

2

( 2)2 3

3

3

2

2 − 6

2

3

6

a) 2𝑆𝑒𝑛 30° − 𝑇𝑎𝑛 60° + 3𝑇𝑎𝑛 45° = 3𝐶𝑠𝑐 60° − 2𝐶𝑜𝑡30° = b) c) 𝑆𝑒𝑐245° + 𝐶𝑠𝑐245° + 𝐶𝑜𝑡245° =

𝑆𝑒𝑛 30° + 𝐶𝑜𝑠 60° − 𝐶𝑜𝑠30° = d) 𝐶𝑜𝑠230° 𝑆𝑒𝑛60°

𝑇𝑎𝑛245°=

e) f) 𝑆𝑒𝑛245° + 𝑆𝑒𝑛230° + 𝐶𝑜𝑠60° =

→ Ángulos Exactos 30°, 45°,60°

XXI. Resuelve los siguientes ejercicios utilizando los valores exactos de los ángulos.


Pág. 18

A

C B

12

36°

Debemos encontrar los lados a y c, es decir un cateto y la hipotenusa y el ángulo A

𝑎 =?

𝑐 =?

Que función trigonométrica me puede ayudar a encontrar el valor del cateto a?

𝑇𝑎𝑛 𝐵 =𝑐𝑜

𝑐𝑎 𝑐𝑎 ∗ 𝑇𝑎𝑛 𝐵 = 𝑐𝑜 𝑐𝑎 =

𝑐𝑜

𝑇𝑎𝑛 𝐵 𝑐𝑎 =

12

𝑇𝑎𝑛 36° 𝑐𝑎 = 16.52

Para calcular el ángulo A, debes recordar que la suma de los ángulos agudos debe ser 90°, por lo tanto, se le resta el valor del ángulo agudo que tienes como dato .

∠𝐴 = 90 – 38 ∠𝐴 = 52°

Para calcular la hipotenusa, se puede utilizar teorema de Pitágoras

122 + 16.522 = 𝑐2 𝑐2 = 416.9104 𝑐 = 416.9104 𝑐 = 20.42

B C

A

17

15

Debemos encontrar un cateto y los ángulos A y B

Con que procedimiento puedo calcular el cateto que me falta del triángulo?

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

172 = 152 + 𝑏2 𝑏2 = 172 − 152 𝑏2 = 64 𝑏 = 8

Con que función trigonométrica puedo calcular el valor del ángulo A y B

𝑆𝑒𝑛 𝐴 =𝑐𝑜

𝑕 𝑆𝑒𝑛 𝐴 =

15

17 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1

15

17 ∠𝐴 = 62.93°

El dato que me falta por calcular es el ángulo B.

∠𝐵 = 90 − 62.93° ∠𝐵 = 27.07°

B

C

A

15

28°

O

N

M 15

66°

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑔 = 17

∠𝐺 = 26°

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖 = ?

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑕 = ?

∠𝐻 =?

O P

Q

7

27

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒 = 17

∠𝐸 = 34°15´

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑓 = ?

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑔 = ?

∠𝐺 =?

D E

F

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑓 = 12

∠𝐹 = 34°23´15"

→ Resolución de Triángulos Rectángulos

XXII. Calcula el valor de los lados o ángulos que hagan falta en los siguientes triángulos rectángulos, según sea el caso.


Pág. 19

a) Desde un punto en el suelo, un estudiante observa la parte más alta de la catedral de Lima con un ángulo de elevación de 53° cuando se encuentra separado 12 m de su base. ¿Cuál es la altura de la catedral?

b) Una persona de 2 m de estatura ubicada a 32 m de la base de una torre, que tiene una altura de 34 m, divisa la parte más alta de la torre. Cual es el ángulo de elevación?

c) Una colina mide 150 m de altura. Se encuentra que el ángulo de elevación a la cima, vista desde el punto P, es de 45°. Determina la distancia desde P hasta la cima.

d) Desde lo alto de un faro, se divisan dos barcos de 96 m de alto a un mismo lado con ángulos de depresión de 37° y 45°. ¿Cuál será la distancia entre los barcos?

e) Desde lo alto de un faro, se observa dos barcos en direcciones opuestas con ángulo de depresión de 16° y 37°. Si la altura del faro es 21 m, ¿qué distancia separa a los barcos?

f) Los ojos de un jugador de baloncesto están a 1.8 m del piso. El jugador está en la línea de tiro libre a 4.6 m del centro de la canasta. El aro está a 3 m del piso. ¿Cuál es el ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del aro?

→ Aplicación de Resolución de triángulos rectángulos

XXIII. Resuelve los siguientes problemas.

15.92 𝑚

45°

Ejercicios de Repaso para Examen Segundo ParcialLa hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 17 cm...

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