1. Halla el tercer lado en los siguientes triángulos rectángulos:a) Catetos, 16 y 30 cm. b) Cateto, 24 cm, e hipotenusa, 25 cm.c) Catetos iguales a cm cada uno.

2. En un triángulo rectángulo la altura h sobre la hipotenusa a divide a esta en dos partes que miden m y n, respectivamente. Los catetos miden, a su vez, b y c.Calcula los valores desconocidos de a, b, c, h, m y n en los siguientes casos:a) b = 5 cm y c = 12 cm c) a = 20 cm y h = 9,6 cmb) b = 15 cm y h = 12 cm d) m = 28 cm y n = 7 cm

3. Calcula la longitud de la arista de un cubo sabiendo que su diagonal mide 10 cm

4. En un triángulo equilátero ABC de lado 6 cm se traza el segmento que une los puntos medios M y N de los lados AB y AC. Halla la relación que existe entre las áreas del triángulo AMN del trapecio BMNC.

5. Una escalera de 12 m se apoya en la pared formando con el suelo un ángulo de 60º. ¿Qué altura alcanza el extremo que se apoya en la pared?

6. Considera un triángulo equilátero de 8 cm de lado. Calcula: a) Su altura. b) Su área.

7. Calcula el perímetro de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 16 cm, y la altura correspondiente, 9 cm.

8. Calcula el área de un rombo cuyos lados miden 12 cm, y una de sus diagonales, 10 cm.

9. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y uno de los catetos mide el doble

que el otro. Calcula sus medidas.

10. En un triángulo rectángulo los catetos miden 14 cm y 8 cm, respectivamente. Halla la medida de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa del triángulo.

11. Los ángulos de un triángulo son proporcionales a 1, 2 y 3. Calcula el valor de dichos ángulos expresados en grados y en radianes.

12. El ángulo A mide 31º 21’ y el B 156º 45’ ¿Cuántas veces es mayor B que A? Expresa el valor de los ángulos A y B en radianes.

13. Un ángulo recto se divide en cuatro partes iguales y se toman tres de ellas. Expresa el ángulo considerado en grados y en radianes.

14. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos siguientes:a) A = 90º a = 13 cm b = 12 cm b) A = 90º b = 7 cm c = 24 cm

15. Con ayuda de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, calcula las razones del ángulo α = -1 395º.

16. Con ayuda de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, calcula las razones del ángulo α = rad

17. Calcula las razones trigonométricas de a, sabiendo que sen α = y que α es un ángulo del primer cuadrante.

18. El triángulo ABC, rectángulo en A, verifica que sen B = y a = 20 cm. Calcula la medida de la altura relativa a la hipotenusa.

19. Simplifica todo lo que puedas la expresión: (sen α + cos α)2 + (sen α - cos α)2

20. Sabiendo que tan α = - 4 y que el ángulo a verifica que 90º < α < 180º, calcula el seno y el coseno de α.

21. Resuelve los triángulos rectángulos en los siguientes casos (el valor del ángulo A es siempre de 90º):

a) a = 230 m B = 35º c) b = 75 m c = 100 mb) b = 100 m B = 35º d) a = 180 m b = 108 m

22. Un rectángulo mide 12 cm de base y 7 cm de altura. Calcula el valor de los ángulos que una de las diagonales forma con cada uno de los lados del rectángulo.

23. Una señal de carretera indica que la inclinación en ese tramo es del 10 %, lo cual quiere decir que por cada 100 m que se recorren, se ascienden 10 m verticales. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal? ¿Cuántos metros hay que recorrer para ascender 120 m?

24. Juan mide 173 cm. ¿Cuál será la longitud de la sombra que proyecte cuando los rayos del sol formen un ángulo de 50º con el suelo?

25. ¿A qué distancia de la pared se debe colocar el pie de una escalera de 5 m de largo para que forme un ángulo de 65º con la horizontal?

26. Calcula el valor del ángulo α sabiendo que: AM = MB = 5 cm y CA = 9 cm.

27. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 14 cm y 8 cm, respectivamente.

28. ¿Es posible que la suma del seno y del coseno de uno de los ángulos de un triángulo sea 2,5?

29. Calcula el área de un rombo cuyos lados miden 8 cm y dos de los ángulos 72º.

30. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide lo mismo que su altura. ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo?

B

M

AC

α

31. Dados los vectores = (3, -5), = (-2, 2) y = (3, 4), calcula:a) + 2 - b) 3 - ( - ) c) 2 ( + ) + 3

32. Considerados los puntos A(2, -1), B(2, 0), C(-1, -2) y D(0, -5), calcula las coordenadas de los vectores: a) b) c) d)

33. Del vector = (4, 1) se sabe que A(3, -2); calcula las coordenadas del extremo B.

34. Dados los vectores = (4, -3), = (-2, 0) y = (6, -1), calcula:a) y b) c)

35. Dados los vectores = (-2, -3), = (0, 3) y = (5, -1),, calcula: a) . b) . c) .

36. Halla el ángulo que forman los vectores = (5, -3) y = (4, 2).

37. Halla el valor de x e y para que se verifique que 3(2, -y) + 2( x, 4) = (5, 3).

38. Halla el valor de x para que los vectores = (x, 4) y = (-1, 6) sean perpendiculares.

39. Sea = ( x, x), halla el valor de x para que se verifique que = 3.

40. Halla el valor de x para que el módulo del vector = sea 1.

41. ¿De qué tipo es el cuadrilátero cuyos vértices son A(-2,3) B(2,3) C(2,5) D(-2,5) ? Justifica tu respuesta.42. Escribe, en todas las formas posibles, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-4,1) y Q( 1,2).

43. Una recta pasa por los puntos P(0,2) y Q(3,0) ¿Es paralela a otra de pendiente 2?

44. Determina la ecuación de la mediatriz del segmento AB, siendo A( 2,0) B(4,-8)

45. Calcula los puntos de corte de la recta de ecuación 4x+5y+6=0 con los ejes de coordenadas.

46. ¿Es equilátero el triángulo de vértices A(2,-2) B( ) C(-2,2)? Razona tu respuesta.

47. Calcula m y n para que se verifique , siendo , ,

48. Dado el vector , halla las coordenadas de otro vector que sea perpendicular a él. Calcula su módulo.

49. Averigua si los puntos A(2,-1) , B(6,1) C(8,2) están alineados.

50. Averigua el valor de m para que P(1,4) Q(5,-2) y R(6,m) estén alineados.

51. Halla el simétrico , A´ , del punto A(7,4) respecto de P(3,-11)

52. Si M(7,4) y N(-2,1) , halla un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N.

53. Dada la recta a) Obtén tres puntos de r . b) Dados P(-10,4) , Q(38,-7) , ¿pertenecen a r ? c) Halla m para que R(-7,m) pertenezca a r . d) Halla una recta paralela y otra perpendicular a r que pasen por P(6,4)

54. a) Obtén la ecuación implícita de b) Obtén las ecuaciones paramétricas de r :

55. Obtén la distancia de A(3,-5) a B(1,4)

56. a) Dados los puntos A(2,-3) , B(5,2) , C(4,4) halla el punto D de modo que ABCD sea un paralelogramo. b) Comprueba que los puntos medios de sus diagonales coinciden.

57. Halla el punto simétrico de A(1,-3) respecto de la recta r: x+2y-3=0

58. Los puntos P(3,8) , Q(-11,3) y R(-8,-2) son vértices de un triángulo.a) Comprueba que es isósceles. b) Halla su área

59. Un rombo tiene el vértice A en el eje de abscisas. Otros dos vértices opuestos son B(3,1) y D(-5,-3). Halla A y C.

60. Halla la ecuación de la recta paralela a cuya ordenada en el origen es -2.

61. Dada la recta , escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas.62. Escribe la ecuación de una recta perpendicular a la recta y que pase por el punto A(1,3)

63. Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(3,4) y B(0,-2) en dos partes tales que

64. Calcula m y n en las rectas de ecuaciones , sabiendo que son perpendiculares y que r pasa por P(1,4)

65. En el triángulo de vértices A(-2,3) B(5,1) C(3,-4) , halla las ecuaciones de : a) La altura que parte de Bb) La mediana que parte de Bc) La mediatriz del lado CD

66. La recta determina, al cortar a los ejes de coordenadas, un segmento AB. Halla la ecuación de la mediatriz de AB.

67. ¿Qué coordenadas debe tener P para que se verifique , siendo Q(3,2) y R(-1,5)?

68. Comprueba que los puntos medios del cuadrilátero A(3,8) B(5,2) C(1,0) D(-1,6) forman un paralelogramo.

69. Las ecuaciones de los lados del triángulo ABC son : . Halla :

a) Los vértices del triángulo.b) El vector que une los puntos medios de AB y AC. Comprueba que es

paralelo a

70. Dada la recta y el punto P(1,1) halla dos vértices de un cuadrado que tiene en P uno de sus vértices y un lado sobre r.

71. Carmen y Julián quieren medir la anchura de un río-. Se encuentran en una de sus orillas, a 50m una del otro, y ven que al otro lado del río hay un árbol. Mirando el árbol, miden con un teodolito los ángulos de sus visuales: 46º y 39º . ¿Cuál es la anchura del río?

72. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos ( A = 90º ) :a) a = C = 15º b) b = 8 c = 9

73. Halla sen y cos , sabiendo que tg = 1 y que pertenece al tercer cuadrante.

74. Sin utilizar la calculadora, averigua el valor de : a) sen 120º - cos 1590º - cos 330º b) tg 225º + sen 330º -

cos 210ºc) cosec 240º + sen 1230º - tg 300º

75. Halla todos los ángulos comprendidos entre 0º y 360º que verifiquen : a) sen = -1/2 b) cos = c) tg =

76. Calcula el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

77. Calcula el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 24 cm y 8 cm y uno de sus ángulos interiores es de 120º.

TEST GEOMETRÍA . 4º ESO

En cada pregunta puede haber más de una respuesta correcta

1. Los vectores , :a) Tienen la misma dirección b) Son opuestos c) tienen el mismo módulo d) tienen el mismo sentido

2. Los vectores , :a) Tienen la misma dirección b) Son iguales c) tienen el mismo módulo d) son opuestos

3. Para que los vectores , sean opuestos, los valores de m y n han de ser:a) m =2 , n = -9 b) m = -2 , n = -9 c) m =2 , n = 1 d) m = -2 , n = 1

4. El módulo del vector es:a) 1 b) 5 c) –5 d) –1

5. ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta determinada por A(0,3) y ,:

a) A(7,2) b) B(5,1) c) C(1,5) d) D(2,5)

6. ¿Cuál de los siguientes puntos no pertenece a la recta de ecuación a) A(2,4) b) B(-2,-4) c) C(-2,-8) d) D(0,-2)

7. La recta de ecuación :a) Es paralela al eje de abscisas b) Es paralela al eje de ordenadasc) Tiene pendiente 4 d) Su ordenada en el origen es –4

8. ¿Cuánto ha de valer m para que las rectas , sean paralelas:

a) m=2/3 b) m= - 2/3 c) m = - 3/2 d) m = 3/2

9. Las rectas , a) Se cortan en un punto b) Son paralelas c) Son la misma recta d) Depende de la situación

10. Dadas las rectas , , ,

a) r y s son coincidentes b) r y s son paralelasc) r y u son paralelas d) r y u son secantes

SOLUCIONES1. a) b) c)

2.

a) b = 5 cm y c = 12 cm

b) b = 15 cm y h = 12 cm

a = m + n = 9 + 16 = 25 cm

c =12 cm b = 5 cm

an m

h

b =15 cmc

am n

h = 12 cm

c) a = 20 cm y h = 9,6 cm

m = 12,8 cm

n = 20 – m = 20 – 12,8 = 7,2 cm

d) m = 28 cm y n = 7 cm

a = m + n = 28 + 7 = 35 cm

3.

a = 10

cm

4..

5. h será la altura de un triángulo equilátero de 10 m de lado,

luego a su vez será el cateto de un triángulo rectágulo de

base 5 m

b c

a = 20 cmm n

h = 9,6 cm

c b = 5 cm

am = 28 cm

n = 7 cm

h

D

d

a

aa

A

B C

M N

12 m

60º

h

6 m

6.

a)

b)

7. Aplicamos el Teorema de Pitágoras:

Luego:

P = 16 + 2 x = 16 + 2. ≈ 40,08 cm

8.

El área del rombo será pues: A = 4 . AT =

9.

Uno mide y otro

10.

Aplicando por dos veces el teorema del cateto tenemos:

11.

La proporcionalidad se expresa así

Si x = α; y = 2α; z = 3α ; luego tenemos que; α + 2 α + 3 α = 180º 6 α = 180

α = 30º

luego x = 30º; y = 60º; z = 90º o lo que es igual x = rad; y = rad; z = rad

(recordemos que 180º ≡ radianes)

12.

x

8 cm

9 cm

12 cm

5 cmh

B = 5.A

13.

1 recto = 90º = rad

de 90º = 67º 30’ de rad = rad ≈ 1,18 rad

14. ángulo B

sen B = cos B = tan B =

ángulo C

cos C = sen C = tan C =

b) A = 90º b = 7 cm c = 24 cm

Aplicando el Teorema de Pitágoras a =

ángulo B

sen B = cos B =

tan B =

ángulo C

sen C = cos C =

tan C =

15. 1395º = 3 . 360º + 315º

sen (- 1395º) = - sen 1395º = - sen 315º = sen 45º =

cos (- 1395º) = cos 1395º = cos 315º = cos 45º =

tan (- 1395º) = 1

16.

sen = sen = cos = cos = tan = tan = 1

17.

18..

sen B = b = a . sen B b = 20 . = 12 cm

c =

h = c . sen B = 16 . = 9,6 cm

19. (sen α + cos α)2 + (sen α - cos α)2 = sen2 α + 2 sen α . cos α + cos2 α + sen2 α

- 2 sen α . cos α + cos2 α = 2 sen2 α + 2cos2 α = 2 (sen2 α + cos2 α) = 2 . 1 = 2

20.

1 + tan2 α = sec2 α 1 + 16 = sec2 α sec2 α = 17 sec α = -

cos α = = sen α = tan α.cos α =

21.

a) a = 230 m B = 35º

b) b = 100 m B = 35º

c) b = 75 m c = 100 m

d) a = 180 m b = 108 m

22..

β = 90º - α = 90º - 30º 15’ = 59º 45’

23.

sen α =

24.

25.

26.

27..

B

M

AC

α

7 cm

12 cm αβ

100 m10 m

α

5 m

65º x

D = 14 cm

d = 8 cm

4

7

α

β

2.α = 2 . 29º 44’ 42” = 59º 29’ 24” 2.β = 2 . 60º 15’ 18” = 120º 30’ 36”

28. ¿Es posible que la suma del seno y del coseno de uno de los ángulos de un triángulo sea 2,5?

No, ya que tanto el seno como el coseno han de ser menores que 1

29. Calcula el área de un rombo cuyos lados miden 8 cm y dos de los ángulos 72º.

Si dividimos el rombo en cuatro triángulos rectángulos estos tendrán como hipotenusa 8 cm y como

ángulos agudos 36º (mitad de 72º) y 54º (mitad de 108º)

Los catetos serán:

30.

Por tanto, β = 180º - 2 α = 53º 8’

31.:

a) + 2 - = (3, -5) + 2 (-2, 2) - (3, 4) = (-4, -5)

b) 3 - ( - ) = 3 (3, -5) – [ (-2, 2) - (3, 4) ] = (14, -13)

c) 2 ( + ) + 3 = 2 [ (3, -5) + (-2, 2) ] + 3 (3, 4) = (11, 6)

32.

a) = (2 – 2, 0 + 1) = (0, 1) b) = (-1 – 2, -2 + 1) = (-3, -1)

c) = (2 – 0, 0 + 5) = (2, 5) d) = (0 + 1, -5 + 2) = (1, -3)

33.

= (4, 1) + (3, -2) = (7, -1)

El punto B es (7, -1)

34.

h

α

β

2h

a)

b)

c)

35.

a) . = (-2, -3) . (0, 3) = - 2 . 0 + (-3) . 3 = -9

b) . = (5, -1) . (-2, -3) = 5 .(- 2) + (-1) .(-3) = -7

c) . = (0, 3) . (5, -1) = 0 . 5+ 3 .(-1) = -3

36.

37.

(6, -3y) + (2x, 8) = (5, 3)

38.

(x, 4) . (-1, 6) = 0 - x + 24 = 0 x = 24

39. Sea = ( x, x), halla el valor de x para que se verifique que = 3.

40.