Barbosa, febrero 17 de 1999 · Web viewBuscamos la función trigonométrica apropiada. Al no...

INSTITUTO INTEGRADO DE COMERCIO – BARBOSA, SANTANDERGUÍAS DE TRABAJO ACADÉMICO

Emergencia sanitaria COVID 19 - II PERIODO 2021

ASIGNATURA: MATEMATICAS GRADO: DECIMO

Docentes: Para cualquier asesoría, comuníquese con su respectivo docente así:

Grado y jornada Docentes Teléfono10-1 J.M. Gilberto

Sandoval 3106796056

10-2 J.M. Mireya Avendaño 311273085110– 3 J.M. Cleotilde Mateus 314428528610-4 J.M. Andrés Lozano 316464379010-1 y 10-2 J.T. Hilda T. Parra 3142667648

META DE COMPRENSIÓN 1: Aplicar la definición de las razones trigonométricas a partir reconocimiento del triángulo rectángulo, para solucionar este triángulo y elaborar las gráficas de las funciones trigonométricas

DESEMPEÑO DE COMPRENSIÓN:1. Halla razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo2. Resuelve ejercicios y problemas de aplicación de triángulos rectángulos

EXPLORACIÓN: ¿Se podría hallar la altura de un árbol del colegio aplicando razones trigonométricas? ¿Cómo? ESTRUCTURACIÓN Y PRÁCTICA:

1. “Funciones trigonométricas”

Las funciones trigonométricas son las razones (divisiones) que se forman con las longitudes de los lados de un TRIÁNGULO RECTÁNGULO, éstas se establecen con respecto a uno de sus ángulos agudos.

Según la figura:

a, b = catetos h = hipotenusa α, β = ángulos agudos

Para el ángulo α El cateto a es el opuesto (está al frente) y el cateto b es el adyacente (está al lado, pegado al ángulo)

Para β El cateto b es el opuesto y el cateto a es el adyacente

Recordemos el teorema de Pitágoras: h2 = a2 + b2

Nota: EN TODO TRIANGULO LA SUMA DE SUS TRES ANGULOS VALE 180ο

FUNCIONES O RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ANGULO AGUDO (θ)

Las funciones o razones trigonométricas son tres fundamentales y tres recíprocas así:

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Razones o funciones trigonométricas fundamentales

Seno (θ) = catetoopuestoh ipotenusa : sen (θ) =

c .oh

Coseno (θ) = catetoadyacenteh ipotenusa : cos (θ) =

c . ah

Tangente (θ) = cateto opuestocatetoadyacente : tan (θ) =

c .oc .a

Razones o funciones trigonométricas recíprocas:Se obtienen invirtiendo las razones fundamentales así:

Secante (θ) = h ipotenusa

catetoadyacente : sec (θ) = hc . a . Inversa de coseno

Cosecante (θ) = h ipotenusacatetoopuesto : csc (θ) =

hc .o . Inversa de seno

Cotangente (θ) = catetoadyacentecateto opuesto : cot (θ) =

c .ac .o . Inversa de tangente

Ejemplo 1: Para la figura anterior, escribir:

a. Las seis funciones trigonométricas para el ángulo α b. Las seis funciones trigonométricas para el ángulo β

a. Para α tenemos:

1. Sen α = a / h 2. Cos α = b / h 3. Tan α = a / b 4. Sec α = h / b 5. Csc α = h /a 6. Cot α = b /a

b. Para β: 1. Sen β = b/h 2. Cos β = a/ h 3. Tan β = b / a 4. Sec β = h/a 5. Csc β = h/b 6. cot β = a/b Ejemplo 2: Para el siguiente triángulo, hallar las seis funciones trigonométricas de θ con

los datos dados:

Solución: aplicando teorema de Pitágoras hallamos la medida de la hipotenusa h, h2 = (3m)2 + (4m)2 Realizando las operaciones y sacando raíz cuadrada se tiene que: h = 5 m .

Conocidos los tres lados del triángulo podemos encontrar las seis funciones:

1. sen θ = c.o/h: 3m/ 5m = 0.6 2. cos θ = c.a /h: 4/5 = 0.8 3. tan θ = c.o / c.a: ¾ = 0.75

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4. secθ =h/c.a: 5/4 =1.25 5. cscθ =h/c.o: 5/3 =1.66 6. Cot θ =c.a/c.o: 4/3 =1.33

Ejemplo 3: Si senA = 8/17, encontremos el valor de las otras cinco funciones trigonométricas del ángulo A en el triángulo ABC de la siguiente figura:

Solución: Como senA = c.o/h, podemos concluir que para el ángulo A, el cateto opuesto mide 8 y la hipotenusa 17, completamos el triángulo como se ve en la figura:

ACTIVIDAD 1

1. En su cuaderno de matemáticas escriba un resumen de los conceptos del tema de “Funciones o razones trigonométricas”, así como el desarrollo completo de los ejemplos

a. Determinar el valor de las funciones trigonométricas de β con los datos indicados en cada triángulo:

Fig. 1

b. Sea la función trigonométrica: Sen θ = 5/8, completar el triángulo, dibujarlo y hallar para θ las restantes funciones trigonométricas

c. Sea la función trigonométrica: Cos θ = 7/10, completar el triángulo, dibujarlo y hallar para θ las restantes funciones trigonométricas

d. Consultar esta página web: https://www.youtube.com/watch?v=tTqDtsrKpCA

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2. “Solución de triángulos rectángulos”

La solución de triángulos rectángulos consiste en calcular los tres lados y los tres ángulos de un triángulo rectángulo utilizando las funciones trigonométricas en ecuaciones para calcular incógnitas.

Para solucionar el triángulo, se deben conocer además del ángulo recto, otros dos elementos del triángulo incluyendo un lado, ejm: un ángulo agudo y la hipotenusa, un cateto y un ángulo agudo, los dos catetos, la hipotenusa y un cateto.

Ejemplo: Solucionar el triángulo que aparece en la figura:

Datos: cateto a = 24 cm cateto c = 24 cm debemos hallar b (hipotenusa) y los ángulos A y C

Cálculo de b (teorema de Pitágoras) : b2 = a2 + c2 reemplazando. b2 = 242 + 142 y aplicando raíz cuadrada tenemos que b = 27.8 cm

Para hallar el ángulo A podemos usar la tangente, ya que relaciona los dos catetos:

tan (A) = c .oc .a : tan A = 24cm / 14cm = 1.71 es la tangente de A

Para saber el valor del ángulo aplicamos tan-1(1.71) = 59.7ο que es el valor de APara hallar el ángulo C: Como la suma de los tres ángulos es 180 ο entonces: C = 30.3 ο

El triángulo queda solucionado así: a = 24 cm, b= 27.8 cm, c= 14 cm, A = 59.7ο , B = 90ο

C = 30.3 ο

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Para lo cual debemos tener en cuenta dos conceptos:

1. Angulo de elevación: Es el ángulo formado por la horizontal y la línea visual del observador de un objeto situado encima de la horizontal

2. Angulo de depresión: Es el ángulo formado por la horizontal y la línea visual del observador de un objeto situado por debajo de la horizontal

Ejemplos de solución de triángulos rectángulos

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1. Un árbol proyecta una sombra de 1,25 m y forma un ángulo de elevación con el sol de 58₀ ¿Cuál es la altura del árbol?

Solución: Como vemos en la figura, se forma un triángulo rectángulo donde un cateto es la altura del árbol, el otro cateto es la sombra, el ángulo de elevación es θPor lo tanto los datos son:

Θ = 58ο , Cateto adyacente = 1.25 h (altura del árbol) = cateto opuesto =?

Buscamos la función trigonométrica apropiada. Al no conocer la hipotenusa debemos utilizar la función tangente que relaciona los dos catetos, uno conocido y el otro la

incógnita así: tan (θ) = c .oc .a es decir : tan (θ) =

hc .a Despejamos h :

h = (tan θ)(c.a): h = (tan58ο)(1.25 m) = 2 m que es la altura del árbol h, realizando la multiplicación en la calculadora, la cual en el tablero le debe aparecer la D o Deg para trabajar en grados 2. Una escalera de 2,13 m está apoyada contra una pared . La base de la escalera está a 1,5 m de la pared. ¿Cuál es la medida del ángulo que forma la escalera con el piso? ¿Cuál es la altura de la pared?

Datos: θ = ? Cateto adyacente = 1.5 m hipotenusa (escalera) = 2.13 m

Solución: La función trigonométrica que relaciona la hipotenusa y el cateto adyacente es la función coseno, así:

cos (θ) = c . ah aquí la incógnita es cos (θ), simplemente

reemplazamos datos:

cos (θ) = 1.5m2.13m = 0.70 Esto es el coseno del ángulo, para hallar el valor en grados del

ángulo aplicamos en la calculadora: cos-1 (0.70) = 45.2 ο es decir, θ = 45.2 ο respuesta

ACTIVIDAD 21. En su cuaderno de matemáticas escriba un resumen de los conceptos del tema de “solución de triángulos rectángulos”, así como el desarrollo completo de los ejemplos

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2. Solucionar los triángulos de la fig. 1, es decir, encontrar los elementos que faltan en cada uno de los triángulos (página 3) Aplicando solución de triángulos rectángulos

3. Resolver los siguientes problemas:

a. El edificio de Nueva York “Empire State” tiene 1250 pies de altura. Encontrar el ángulo de elevación (θ) de su último piso desde un punto de la calle que está a 5280 pies desde la base del edificio (Fig. 2)

b. Una persona se encuentra en la terraza de un edificio de 10 m de alto y observa un automóvil que se encuentra estacionado cerca del edificio (fig.3) Si el ángulo de depresión con que la persona observa el automóvil es de 39₀ , ¿ a qué distancia se encuentra el automóvil del edificio

Fig. 2 Fig.3

TRANSFERENCIA Y VALORACIÓN (EVALUACIÓN)

1. Desarrollar las actividades propuestas para la meta 1 y enviarlas2. consulte las siguiente páginas web: https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=FUMlQtJfrHo&list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1

META DE COMPRENSIÓN 2:

“Aplicar las leyes del seno y del coseno para solucionar triángulos no rectángulos”

DESEMPEÑO DE COMPRENSIÓN:

Resuelve ejercicios y problemas de aplicación de las leyes del seno y del coseno

EXOLORACION:

En el tema anterior se vio que las razones trigonométricas se aplican en triángulos rectángulos; pero no todos los triángulos son rectángulos, ¿habrá alguna manera de hacer extensivas las funciones trigonométricas a este tipo de triángulos? Recordemos que:

Existen triángulos oblicuángulos: Triángulos que no son rectángulos La suma de los ángulos internos de todo triángulo es180° En todo triángulo el lado de mayor longitud se opone el ángulo de mayor medida,

el lado de menor longitud se opone el ángulo de menor medida.

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https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=FUMlQtJfrHo&list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1

https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=FUMlQtJfrHo&list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1




ESTRUCTURACIÓN Y PRÁCTICA

1. LEY (O TEOREMA) DEL SENO

Esta ley se aplica para solucionar triángulos (encontrar el valor de todos sus lados y ángulos) cuando el triángulo NO es rectángulo. Trabaja con el ángulo y su respectivo lado opuesto. Para mayor claridad se dibuja el triángulo de manera que el ángulo tenga la letra mayúscula y su respectivo lado opuesto tenga la misma letra pero minúscula, como se observa en la siguiente figura:

Esta ley dice: “En todo triángulo ABC, las longitudes de los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a dichos lados”

Se resume así:asenA = b

senB = csenC

También se puede invertir así: senAa = senBb = senCc

Se usa así: La ley tiene tres razones (fracciones). Se debe formar una proporción, es decir, sólo dos (2) razones, para formar la igualdad, donde solo aparezca una incógnita, la cual se va a despejar.

El requisito para aplicar esta ley es: “ Se debe conocer un ángulo y su lado opuesto (las dos letras iguales, una mayúscula y la otra minúscula) y cualquier otro término que pueda completar la proporción con la incógnita, si esta proporción no se logra, se debe aplicar la ley del coseno”

Ejemplo1: En un triángulo ABC (como el de la figura) se tiene que: A= 42ο , a = 56 cm, c= 30 cm Hallar el valor del lado b y de los ángulos B y C. ( Es decir, solucionar el triángulo)

Solución: Observe que se conoce ángulo A y lado a, y se conoce lado c, que debe completarse con ángulo C, así:

senAa = senCc La incógnita resulta ser senC, los otros tres términos deben ser

conocidos. Al despejar tenemos:

senC = (senA ) . ca

→ senC = (sen42)x 30 cm

56 cm ; sen C = 0.35

(seno y coseno siempre menores a 1, es decir, 0,…)Como necesitamos el ángulo y no el seno del ángulo, aplicamos: shift sen-1 y obtenemos: C = 21ο (recuerde: La calculadora en Deg o D, porque se están trabajando grados)

Ya tenemos dos ángulos, A y C nos faltaría hallar el tercero que es B, pero es lo que falta para completar 180ο Serían 117ο (En todo triángulo se cumple que la suma de los tres ángulos es180ο)

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Para hallar el lado que falta que es b, formamos la proporción de b y puede ser con la de los A, que nos dieron, así:

senBb = senAa Despejamos: b =

(senB ) . asenA

: b = (sen117 ) x 56cm

(sen)42 : b = 74.5 cm

Por lo tanto, el triángulo ya está solucionado porque tenemos los tres lados y los tres ángulos así :

Los lados: a = 56 cm, b = 74.5 cm, c = 30 cm. Los ángulos: A = 42ο, B = 117ο, C = 21ο

ACTIVIDAD 3

1. En su cuaderno de matemáticas escriba un resumen de los conceptos del tema de “Ley o teorema del seno”, así como el desarrollo completo de los ejemplos

2. Teniendo como base la figura, Aplicar la ley del seno para solucionar el triángulo en los siguientes casos:

1. A = 50ο, B = 50ο , a = 7 cm.2. A = 55ο , C = 88 ο, a = 14 cm. 3. C = 95 ο , a = 9 cm c = 12 cm4. B = 60ο, C = 50ο , b = 6 cm5. C = 85 ο , a = 8 cm c = 12 cm

2. LEY DEL COSENO (Teorema)

También se usa para solucionar triángulos no rectángulos, para cuando no se puede aplicar la ley del seno.

Este teorema o ley sólo se puede aplicar en el siguiente caso: “ Cuando se conocen dos lados y el ángulo formado entre esos dos lados conocidos, se puede hallar el lado opuesto a este ángulo qué es el lado desconocido” por lo tanto:

Para la figura, se puede aplicar en los siguientes casos:

1. Se conocen los lados b y c y el ángulo A, para hallar el lado a2. Se conocen los lados a y c y el ángulo B, para hallar el lado b3. Se conocen los lados a y b y el ángulo C, para hallar el lado c

La ley o teorema para cada caso queda así:

1. a2 = b2 + c2 - [ (2 ) (b ) (c )(cosA )] 2. b2 = a2 + c2 - [ (2 ) (a ) (c )(cosB) ]

3. c2 = a2 + b2 - [ (2 ) (a ) (b )(cosC)]

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Los términos que están en el paréntesis cuadrado se multiplican seguidos. Al final se saca raíz cuadrada para obtener el valor del lado. En cada expresión sólo debe aparecer una incógnita, que puede ser cualquiera o el mismo ángulo, es cuestión de despejar. Pero se puede combinar con el teorema del seno para hallar algún elemento del triángulo. Lo que se facilite más.

Ejemplo 1: Aplicando el teorema del coseno hallar: 1. el lado que falta 2. Los ángulos que faltan

1. c = 40 cm, b= 50 cm, A = 29 ο , a = ? Solución: a2 = b2 + c2 - [ (2 ) (b ) (c )(cosA )] Se reemplaza:

a2 = (50cm)2 + (40cm)2 - [2x 50cm x 40 cmx cos29 ] , entonces, a2 = 601.5 cm2 al sacar √ : a = 24.5 cm

2. Para los ángulos se puede despejar porque ya se conocen todos los lados, podemos despejar el ángulo B con la expresión donde aparece cosB que es la segunda, así:

b2 = a2 + c2 - [ (2 ) (a ) (c )(cosB) ] para despejar, pasamos el paréntesis completo a sumar a b2 (cambia de signo) así:

b2 +[ (2 ) (a ) (c )(cosB) ] = a2 + c2 Luego sí despejamos cosB y tenemos:

CosB = a2 + c2 - b2 ÷ [(2)(a)(c)] Lo que está sumando pasa a restar y lo que multiplicaba, pasa a dividir

Reemplazando: Cos B = (24.5 cm )2 + (40 cm)2 - (50 cm)2 ÷ (2 x 24.5cm x 40cm) tenemos que cos B = -0.15 El coseno puede ser negativo o positivo pero siempre menor que 1, es decir 0,….

Para saber cuál es el ángulo dueño de ese coseno, aplicamos Shift, así : Cos-1 (-0.15) se tiene que ángulo B = 98.8 ο

Para el ángulo C, buscamos lo que falta para 180 ο entonces: C = 62.2 ο

El triángulo solucionado, tres lados y tres ángulo es: a = 24.5 cm, b = 50 cm, c = 40 cm; A = 29 ο , B = 98.8 ο , C = 62.2 ο

ACTIVIDAD 4

1. En su cuaderno de matemáticas escriba un resumen de los conceptos del tema de “Ley o teorema del coseno”, así como el desarrollo completo de los ejemplos

2. Aplicando la ley del coseno, hallar el lado que falta:

1. b = 20 cm, c = 30 cm, A = 29 ο a = ?

2. a = 150 cm, c = 30 cm, B = 150 ο b = ?

3. a = 10 cm, b = 15 cm, C = 42 ο c = ?

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4. consulte las siguientes páginas web: https://www.youtube.com/watch?v=Dbd5OmbOE9c

TRANSFERENCIA Y VALORACIÓN (EVALUACIÓN)Desarrollar las actividades propuestas en la meta 2 y enviarlas

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https://www.youtube.com/watch?v=Dbd5OmbOE9c

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