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La cultura griega se extendió por el Mediterráneo desde Sicilia hasta Asia Menor. Los griegos aprendieron la geometría egipcia, práctica y utilitaria, y la superaron, cultivándola de forma teórica, por el placer intelectual de investigar y saber. P ara hallar áreas y volúmenes, los egipcios utilizaban fórmulas obtenidas experimentalmente, mientras que los griegos las obtuvieron mediante un proceso deductivo. La culminación llegó con Arquímedes de Siracusa, que supo obtenerlas por métodos muy sofisticados. C uentan que un barco griego naufragó y algunos via- jeros consiguieron llegar a una playa desconocida. En la arena vieron dibujadas algunas figuras geométricas. Entonces uno de ellos exclamó: “¡No temamos, compañe- ros!, aquí viven personas civilizadas”. Medida directa y medida indirecta de una longitud Las longitudes pueden medirse directamente con la regla, la cinta métrica, etc. Pero, en ocasiones, conviene hacerlo de forma indirecta. El teorema de Pitágoras, que nos permite calcular una longitud a partir de otras dos, es, por tanto, una medición indirecta. Hay diversas formas de medir indirectamente una longitud. Veamos algunas. 1 Conociendo la altura del edificio, a = 108 m, y la distancia que hay desde P a su base, d = 45 m, podemos calcular la longitud, l, del cable tendido desde P hasta la azotea. Halla la longitud l. a d P l 2 Un fajo de 200 folios tiene un grosor de 24 mm. Calcula el grosor de cada folio. Medida de áreas Cuando aplicamos una fórmula para hallar el área de una figura a partir de algunas lon- gitudes, estamos hallando el área de forma indirecta. Sim embargo, las áreas de las figu- ras 1 y 2 siguientes pueden obtenerse de forma directa contando cuadraditos (unidad de superficie). Con las demás se puede proceder igual, aunque de forma aproximada. 3 Intenta hallar las áreas de todas estas figuras del modo más eficaz: razonando, descomponiendo y recomponiendo, … 1 3 4 5 6 7 2 13 Áreas y perímetros GRECIA Siracusa ASIA MENOR SICILIA

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Al iniciar la unidad

• En la lectura inicial se cuenta una pequeña anécdota sobre cómo un pueblo que domina la geometría es un símbolo de sociedad civilizada.

• Además, se señala el contraste de la geometría pragmática de egipcios y babilonios con la geometría científica, abstracta y especulativa de los griegos, que llega a su culminación con Euclides.

Aprendizaje cooperativo

Estas actividades, si el profesorado lo considera oportuno, pueden reali-zarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre iguales. En un primer momento, los grupos buscarán soluciones, que se contrastarán en una posterior puesta en común, justificando los logros conseguidos, debatien-do los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclusiones comunes.

Interdisciplinariedad/TIC

Se sugiere la siguiente actividad:

Buscar algún dato biográfico de Arquímedes y alguna anécdota relativa a la aplicación práctica de sus conocimientos científicos.

Redactar con esos datos un pequeño resumen de no más de diez líneas.

Soluciones de las actividades

1 l = 117 m

2 El grosor de cada folio es 0,12 mm.

3 Figura 1 → Área = 7 · 5 = 35 cuadraditos

Figura 2 → Área = 12 + 24 + 4 + 6 = 46 cuadraditos

Figura 3 → Área = 35 cuadraditos

Figura 4 → Área = 10 cuadraditos

Figura 5 → Área = 28 cuadraditos

Figura 6 → Área = 38 cuadraditos

Figura 7 → Área = 75 cuadraditos

El 6 y el 7 son cálculos aproximados, contando los cuadraditos.

La cultura griega se extendió por el Mediterráneo desde Sicilia hasta Asia Menor. Los griegos aprendieron la geometría egipcia, práctica y utilitaria, y la superaron, cultivándola de forma teórica, por el placer intelectual de investigar y saber.

Para hallar áreas y volúmenes, los egipcios utilizaban fórmulas obtenidas experimentalmente, mientras que

los griegos las obtuvieron mediante un proceso deductivo.

La culminación llegó con Arquímedes de Siracusa, que supo obtenerlas por métodos muy sofi sticados.

Cuentan que un barco griego naufragó y algunos via-jeros consiguieron llegar a una playa desconocida.

En la arena vieron dibujadas algunas fi guras geométricas. Entonces uno de ellos exclamó: “¡No temamos, compañe-ros!, aquí viven personas civilizadas”.

Medida directa y medida indirecta de una longitudLas longitudes pueden medirse directamente con la regla, la cinta métrica, etc. Pero, en ocasiones, conviene hacerlo de forma indirecta. El teorema de Pitágoras, que nos permite calcular una longitud a partir de otras dos, es, por tanto, una medición indirecta.Hay diversas formas de medir indirectamente una longitud. Veamos algunas.

1 Conociendo la altura del edificio, a = 108 m, y la distancia que hay desde P a su base, d = 45 m, podemos calcular la longitud, l, del cable tendido desde P hasta la azotea.Halla la longitud l.

a

d P

l

2 Un fajo de 200 folios tiene un grosor de 24 mm. Calcula el grosor de cada folio.

Medida de áreas

Cuando aplicamos una fórmula para hallar el área de una � gura a partir de algunas lon-gitudes, estamos hallando el área de forma indirecta. Sim embargo, las áreas de las � gu-ras 1 y 2 siguientes pueden obtenerse de forma directa contando cuadraditos (unidad de super� cie). Con las demás se puede proceder igual, aunque de forma aproximada.

3 Intenta hallar las áreas de todas estas figuras del modo más eficaz: razonando, descomponiendo y recomponiendo, …

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13 Áreas y perímetros

GRECIA

Siracusa

ASIA MENOR

SICILIA

ANOTACIONES

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Rectángulo

Tanto el área como el perímetro de un rectángulo son muy conocidos.

b

a

área A = a · b perímetro P = 2a + 2b

Cuadrado

Un cuadrado es un rectángulo con todos los lados iguales. Por tanto:

l

área A = l2

perímetro P = 4l

Paralelogramo cualquiera

Al suprimir en el paralelogra-mo el triángulo de la izquierda y ponerlo a la derecha, se ob-tiene un rectángulo de dimen-siones a × b. b

ac a

b

paralelogramo delados b y c y altura a b

c a

área A = a · b perímetro P = 2b + 2c

Observa que puede haber muchos paralelogramos con los mismos lados pero con distinta área:

4 cm

5 cm

7 cm 7 cm 7 cm

1 cm5 cm3 cm5 cm

Di el área y el perímetro de este rectángulo: 4 cm

2,5 cm

Cálculo mental

¿Cuál es el lado de este cuadrado cuya área cono-cemos? ¿Y su perímetro?

81 cm2 l?

Cálculo mental

Halla el área y el perímetro de este pa-ralelogramo:

3,2 cm4 cm

10 cm

Y ahora que ya conoces el área, ¿sa-brías calcular la otra altura? Es decir, la distancia entre los otros dos lados.

a4 cm

10 cm

Cálculo mental

1 Medidas en los cuadriláteros

1. Calcula el perímetro y el área de un salón rectangular de dimensiones 6,4 m y 3,5 m.

2. Mide las dimensiones de una página de este libro. ¿Cuántos metros cuadrados de papel se necesitan para hacer el libro completo, sin contar las tapas?

3. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de 225 cm2 de área?

4. Halla la altura de un rectángulo de 47 m2 de superfi-cie y 4 m de base.

5. Halla el área y el perímetro de estos dos paralelogramos. Obser-va que, aunque el segundo es un rombo, su área se puede calcu-lar como la de un paralelogramo cualquiera.

4 m

4 m

6 m

5 m

5 m

5 m

Piensa y practica

13UNIDAD

239

Rombo

Puesto que el rombo es un paralelogramo, su área se puede calcular como se ha descrito en el apartado anterior:

A = l · a (a es la distancia entre dos lados opuestos).También se puede calcular conociendo sus diagonales.

Área del rectángulo morado: Arectángulo = d · d'dd'

Área del rombo: Arombo = 2ARECTÁNGULO

rombo de lado ly diagonales d y d'

ldd'

área 'A d d2·=

perímetro P = 4l

Trapecio

A los lados paralelos de un trapecio se les lla-ma bases (b, base mayor; b' , base menor). A la distancia entre las bases, altura, a.Si a un trapecio le adosamos otro igual, se obtiene un paralelogramo de base b + b' y altura a.

a

b

b'

b + b'

( )'A A b b a2 2

·TRAPECIO

PARALELOGRAMO= = +

No hay una fórmula especial para el perímetro del trapecio.

l a

l

Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 10 cm. ¿Cuál es su área?La diagonal de un cuadrado mide 4 dm. ¿Cuál es su área?

Cálculo mental

Las bases de un trapecio miden 13 cm y 7 cm. Su altura, 10 cm. ¿Cuál es su área?

Cálculo mental

6. Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras:

a) b)

c) d)

24 m

5 m11 m 13 m13 m

25 m20 m

23 m13 m

28 m

43 m

37 m

14,4 m

16 m

24 m

7. Una parcela cuadrangular tiene dos lados paralelos de longitudes 37,5 m y 62,4 m. La distancia entre esos lados paralelos es 45 m.¿Cuál es la superficie de la parcela?

8. Las diagonales de un rombo miden 37 cm y 52 cm.Halla su área.

9. La diagonal de un cuadrado mide 15 cm.Halla su área. (Recuerda, el cuadrado es, también, rombo).

10. ¿Verdadero o falso?

I

II

El área del ala-delta de la figura I se puede hallar cal-culando el área del rombo rojo (figura II), restándo-le el área del rombo verde y dividiendo la diferencia por 2.

Piensa y practica

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Sugerencias

• Para calcular el área de un triángulo, se propone un método muy senci-llo: transformar el triángulo añadiéndole otro igual, de manera que se obtiene un paralelogramo.

•Para el caso particular de los triángulos rectángulos, se ofrecen dos pro-cedimientos, dependiendo de si se toman los catetos como base y altu-ra o si la altura que se toma es la correspondiente a la hipotenusa.

•Es muy importante que los alumnos y las alumnas, en todos los ejerci-cios, se habitúen a realizar los dibujos correspondientes, como medio muy aconsejable para entender y poder diseñar el procedimiento ade-cuado que resuelva la situación planteada.

Refuerzo y Ampliación

Se recomiendan:

•Del cuaderno n.º 5 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 1 a 4 de la página 27.

Ampliación: Ejercicio 3 de la página 30.

•Del fotocopiable INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD:

Refuerzo: Ejercicio 1 de la ficha B.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 a) A = 130 m2 b) A = 6 000 m2

2 a) A = 216 cm2 b) 14,4 cm

3 A = 692,8 m2

4 Verdadero.

13UNIDAD

241240

Observa: si a un triángulo le adosamos otro igual, se obtiene un paralelogramo. Por tanto, el área del triángulo es la mitad de la del paralelogramo.

b

a

A A b a

2 2·

TRIÁNGULOPARALELOGRAMO= =

No hay una fórmula especial para el cálculo del perímetro de un triángulo.Si el triángulo es rectángulo, los catetos son perpendiculares. Tomando uno como base, el otro es la altura. Por tanto, el área se puede calcular de dos maneras:

ac c'

h A a

2h ·=

c

c' h

'A c c2·=

Halla el área de este triángulo:

5 m

6 m

Cálculo mental

c y c' son los catetos.h es la hipotenusa.a es la altura sobre la hipotenusa.

Notación

Halla el área y el perímetro de este cuadrilátero irregular. Observa que se puede descomponer en dos triángulos rectángulos.

4 m

3 m

13 m

12 m

5 m

Cálculo mental

a es la apotema del polígono regular.Notación

Para hallar el área de un polígono cualquiera, se descompone en triángulos y se calcula el área de cada uno.

área del polígono = = Suma de la áreas de

los triángulos

Sin embargo, para los polígonos regulares se puede proceder de una forma más sencilla.

Área y perímetro de un polígono regular

Si el polígono es regular, se puede descomponer en tantos triángulos iguales como lados tiene el polígono.

a

l

a

l

a

l

a

l

a

l

a

l

a

l

·A n l a Per metro a2 2veces · í= =

n es el número de lados y, por tanto, Perímetro = n · l.

3 Medidas en los polígonos2 Medidas en los triángulos

Ejercicios resueltos

1. Calcular el área del triángu-lo rectángulo de lados 15 cm, 20 cm y 25 cm. Calcular la altura sobre la hipotenusa. Hallar, también, su períme-tro.

Los dos catetos son los lados menores.

El área es, pues: 'A c c2 2

15 20 150· · cm2= = =

25 cm

20 cm

15 c

m

El área también se puede calcular así:20 cm a

25 cm

15 cm

A a

225·=

Como A = 150 → a2

25 150· = → 25 · a = 300 → a 25300 12 cm= =

La altura sobre la hipotenusa mide 12 cm.Su perímetro es 15 cm + 20 cm + 25 cm = 60 cm.

2. Hallar el área de un trián-gulo equilátero de lado 10 cm y 8,66 cm de altura.

, ,A 210 8 66 43 3· cm2= =

El área es 43,3 cm2.10 cm

8,66

cm

1. Halla el área de estos triángulos:

13 m

20 m

a) b)

240 m

50 m

2. De un triángulo rectángulo, conocemos los tres lados: c = 18 cm, c' = 24 cm y h = 30 cm.a) Calcula su área.b) ¿Cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?

3. Halla el área de un triángulo equilátero de 40 m de lado y 34,64 m de altura.

4. ¿Verdadero o falso?En las siguientes figuras, se ve que el área de un trián-gulo es igual al área de un rectángulo con su misma altura y la mitad de su base.

a

b

a

b/2

Piensa y practica

1. Calca este polígono en tu cuaderno, continúa descom-poniéndolo en triángulos y toma en ellos las medidas necesarias para calcular sus áreas. Halla, así, el área total.

1,7 cm

4 cm

1,4 cm

2,7 cm

2. En el hexágono regular, la longitud del lado es igual a la longitud del radio de la circunferencia circunscrita.

Dibuja un hexágono regular cuyo lado tenga una lon-gitud l = 4 cm. Mide su apotema y comprueba que es de, aproximadamente, 3,5 cm. Calcula su área.

3. El lado de un octógono regular mide 15 cm, y su apo-tema 18,9 cm. Halla su área.

4. Calcula el áreade la siguiente figura:

60 m

20 m

12 m

5. ¿Verdadero o falso?a) En los polígonos irregulares, no se puede calcular el

área. Si acaso, aproximadamente.

b)

Con estas dos figuras se ve que si un triángulo equi-látero y un hexágono regular tienen el mismo pe-rímetro, entonces el área del triángulo es 3/4 de la del hexágono.

Piensa y practica

Practica calculando áreas.

En la web

Sugerencias

• Si se descompone un polígono regular en triángulos iguales, los estu-diantes percibirán que el área del polígono se obtiene calculando el área de uno de esos triángulos y multiplicando por el número de ellos. Colocando los triángulos como se puede observar en el gráfico, los alumnos y las alumnas tomarán conciencia de que la suma de todas las bases es el perímetro del hexágono.

• Al final de la página, y como colofón de un proceso en el que el alumna-do ya ha llegado a saber calcular el área de cualquier polígono regular, se propone el procedimiento de la triangulación para hallar el área de cualquier polígono. Los estudiantes deben ver que este es el mismo método que el empleado para los polígonos regulares, salvo que en este caso no se puede llegar a una fórmula general.

Refuerzo y Ampliación

Se recomiendan:

•Del cuaderno n.º 5 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicio 2 de la página 30.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 A = 16,325 cm2

2 A = 1 080 cm2

3 A = 1 134 cm2

4 A = 960 m2

5 a) Falso. b) Falso.

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Sugerencias• En primer lugar, los estudiantes han de ver que el perímetro de un círcu-

lo, o longitud de su circunferencia, depende enteramente del diámetro. Por un tiempo, conviene usar alternativamente los términos de períme-tro y longitud de circunferencia. Si a partir de la experiencia realizada en unidades anteriores, los alumnos saben que π es una constante que relaciona perímetro con diámetro, será fácil entender la fórmula para el cálculo de longitudes de circunferencias.

• El área del círculo se deduce del hecho de considerar un círculo como un polígono de muchísimos lados.

• Para el cálculo de longitudes de arcos de circunferencia, se recurre a deducir la fórmula planteando sencillos casos de proporcionalidad a partir del ángulo central. Y algo similar se hace en el caso del cálculo del área de un sector circular.

Refuerzo y AmpliaciónSe recomiendan:

•Del cuaderno n.º 5 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 1 a 3 de la página 29.

Ampliación: Ejercicios 6 y 7 de la página 31.

•Del fotocopiable INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD:

Refuerzo: Ejercicios 1 y 5 de la ficha A. Ejercicio 3 de la ficha B.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 A = 3 769,9 m2; P = 376,99 m

2 A = 314,16 m2; P = 125,66 m

3 a) Falso. b) Verdadero.

4 A = 29,32 dam2; P = 22,66 dam

5 6,98 cm

6 A = 16,49 cm2; P = 17 cm

7 A = 104,72 cm2

13UNIDAD

243242

Perímetro del círculo

El perímetro de un círculo es la longitud de su circunferencia. Sabemos que la longitud de una circunferencia es algo más de tres veces su diámetro.

l

d d d

Longitud de la circunferencia = 3,14 veces su diámetro → l = πd = 2πr

Área del círculo

Descomponemos el círculo en muchos triángulos, como si fuera un polígono regular de muchos lados.

Perímetro = 2πr

r

Si los sectores son muy � nos, son prácticamente triángulos. Su altura es r.

La suma de todas sus bases es el perímetro del círculo, 2πr. Por tanto, su área es: A r r r2

2π · π 2= =

l = πd = 2πrEl número π (pi) vale, aproximada-mente, 3,14 o 3,1416.

d

Longitud de un arco de circunferencia

La circunferencia completa, cuya longitud es 2πr, corresponde a un arco de 360°.

Así, a cada grado le corresponde una longitud de r2360

π . Por tanto:

Un arco de n grados tiene una longitud de π ·l r n3602= .

Área de un sector circular

El círculo completo, cuya super� cie es πr 2, corresponde a un arco de 360°.

Así, a cada grado le corresponde una super� cie de πr360

2. Por tanto:

Un sector de n grados tiene una super� cie de π ·A r n3602

= .

r

r l

4 Medidas en el círculo

Ejercicio resuelto

Hallar el área y el perímetro de los recintos coloreados.

3 cm

5 cm

3 cm

I II

5 cm

I. Estas dos circunferencias se llaman concéntricas, porque tienen el mismo centro. La región comprendida entre ellas se llama corona circular. Su área es la diferencia de las áreas de los dos círculos.

A = π · 52 – π · 32 = 16 π = 50,26 cm2

El perímetro del recinto es la suma de las longitudes de las dos circunferen-cias:

P = 2π · 5 + 2π · 3 = 16 π = 50,26 cmCuriosamente, su área en centímetros cuadrados coincide con su perímetro en centímetros. Es, simplemente, una casualidad.

II. Aunque la forma sea distinta, tanto su área como su perímetro coinciden con los del recinto anterior.

Ejercicio resuelto

Calcular el área y el perímetro de estos recintos:

120°

3 m

60°

7 m

10 m

I II

I. π · · π ,A 3603 120 3 9 42 m

2 2= = = π · · ,P 3602 3 120 3 3 12 28 m= + + =

II. A = (π · 102 – π · 72) · 36060 = 26,69 m2

P = π ·360

2 10 · 60 + π ·360

2 7 · 60 + 2 (10 – 7) = 10,46 + 7,33 + 6 =

= 23,79 m

1. Halla la superficie y el perímetro del recinto coloreado.

20 m 40 m

2. Calcula el perímetro y el área de esta figura:

40 m

Piensa y practica

3. ¿Verdadero o falso?a) El valor de π es tanto mayor cuanto más grande

sea la circunferencia sobre la que actúa.b) Cuando tomamos para π el valor 3,14, lo estamos

haciendo de forma aproximada.

4. Halla el área y el perímetro de esta figura:

210°

4 dam

5. Halla la longitud de un arco de circunferencia de 10 cm de radio y 40° de amplitud.

6. Calcula el área y el perímetro de esta figura:

90°

5 cm

2 cm

7. Calcula el área de un sector circular de 20 cm de ra-dio y 30° de amplitud.

Piensa y practica

ANOTACIONES

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Sugerencias

• El teorema de Pitágoras no entra en el currículo oficial de primer curso. A pesar de ello, muchos departamentos didácticos deciden incluirlo en su currículo particular. Por eso incluimos este apartado, expresamente separado, para que resulte cómodo incluirlo o excluirlo. Lo mismo se hace con los ejercicios y problemas del final de la unidad: todas las áreas que requieren el uso del teorema de Pitágoras se encuentran agrupadas en varios bloques de las páginas finales.

Refuerzo y Ampliación

Se recomiendan:

•Del cuaderno n.º 5 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la página 37. Ejercicios 5, 6, 9 y 10 de la pá-gina 38. Ejercicio 11 de la página 39.

Ampliación: Ejercicios 3 y 4 de la página 37. Ejercicios 7 y 8 de la página 38. Ejercicios 12 a 14 de la página 39.

•Del fotocopiable INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD:

Refuerzo: Ejercicio 1 de la ficha B.

Ampliación: Ejercicio 4 de la ficha A.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 A = 1 848 cm2

2 A = 9 360 m2

3 A = 300 m2

4 A = 33,25 cm2

5 A = 97,5 cm2

6 A = 3 556,44 cm2

7 A = 1 048,05 cm2

8 A = 364,1 cm2

13UNIDAD

245244

En ocasiones, los datos que poseemos de una � gura no son los que se necesitan para calcular su área. En muchos de esos casos, el teorema de Pitágoras permite obtener el dato que conviene. Veamos algunos ejemplos.

Ejercicios resueltos

Hemos de calcular la otra diagonal.

Empezamos obteniendo el segmento x:

x = 14 10–2 2 = 96 ≈ 9,8 cm

Por tanto, d' = 2 · 9,8 = 19,6 cm.

d'

14 cm

10 cm

d = 20 cm

x

El área del rombo es A = · ,2

20 19 6 = 196 cm2.

En el triángulo rectángulo, conocemos la hipotenusa, 25 m, y un cateto, 43 – 28 == 15 m. Hallamos el otro cateto, a:

a = 25 15–2 2 = 400 = 20 m

25 m

28 m

43 m15 m

a

El área del trapecio es A = 228 43+ · 20 = 710 m2.

37 – 23 = 14 m; 14 : 2 = 7 m

Los catetos miden 7 m y a (altura):

a = 25 7–2 2 = 576 = 24 m25 m

23 m

37 m7 m

a

El área del trapecio es A = 223 37+ · 24 = 720 m2.

3. Hallar el área de un trape-cio rectángulo cuyas bases miden 43 m y 28 m, y el lado oblicuo, 25 m.

2. El lado de un rombo mide 14 cm, y una de sus diagona-les, 20 cm. Calcular su área.

1. Hallar el área de un rectán-gulo del que conocemos un lado, 10 cm, y la diagonal, 26 cm.

Calculamos el otro lado:

b = 26 10–2 2 = 24 cm

A = a · b = 24 · 10 = 240 cm2

26 cm 10 cm

b

4. Las bases de un trapecio isós-celes miden 37 m y 23 m. Los lados oblicuos miden 25  m. Calcular su área.

Ejercicios resueltos

En un hexágono regular, el radio es igual al lado:l = r = 8 cm

Apotema: a = 8 4–2 2 ≈ 6,9 cm

Área: A = · · ,2

6 8 6 9 ≈ 165,6 cm2

8 cm

8 cm

4 cm

a

Llamamos x a la mitad del lado:

x = 13 12–2 2 = 25 = 5 cmLado l = 10 cm, perímetro = 10 · 8 = 80 cm

Área = 280 12· = 480 cm2

13 cm12 cm

x

a) x es la mitad de la cuerda.

x = ,15 7 5–2 2 = ,168 75 ≈ 13 cmLa cuerda mide 13 · 2 = 26 cm.

Área del triángulo: A = · ,2

26 7 5 = 97,5 cm2

15 cm

7,5 cm

x

b) Calculamos el área del sector:

°°

360120

31= . El sector es 3

1 del círculo.

Asector = 31 π · 152 ≈ 235,6 cm2

15 cm

120°

El área del segmento circular es:Asegm. circ. = Asector – Atriángulo = 235,6 – 97,5 = 138,1 cm2

7. En un octógono regular, el radio mide 13 cm, y la apo-tema, 12 cm. Hallar su área.

6. Calcular el área del hexágo-no regular de 8 cm de lado.

5. Hallar el área del triángulo equilátero de lado l = 12 m.

Altura: a = 12 6–2 2 = 108 ≈ 10,4 m

Área: A = · ,2

12 10 4 = 62,4 m212 m

6 m

a

8. a) Calcular la longitud de la cuerda y el área del trián gulo .

15 cm

7,5 cm

120°

b) Hallar el área del segmento circular (azul), si el ángulo correspondiente es de 120°.

15 cm

120°

5 El teorema de Pitágoras para el cálculo de áreas

1. La diagonal de un rectángulo mide 65 cm, y uno de sus lados, 33 cm. Halla su área.

2. El lado de un rombo mide 97 m, y una de sus diago-nales, 144 m. Halla su área.

3. En un trapecio rectángulo, las bases miden 45 m y 30 m, y el lado oblicuo, 17 m. Halla su área.

4. Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases mi-den 8,3 m y 10,7 m, y el otro lado, 3,7 m.

Piensa y practica5. Halla el área de un triángulo equilátero de lado 15 cm.

6. Halla el área de un hexágono regular de 37 cm de lado.

37 cm

7. Halla el área de un pentágono regular de radio 21 cm, y apotema, 17 cm.

8. En una circunferencia de radio 29 cm trazamos una cuerda de 29 cm. Halla el área del triángulo con base en esta cuerda y vértice opuesto en el centro de la cir-cunferencia.

Piensa y practica

En la web Practica calculando áreas.

ANOTACIONES

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206

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

1 a) A = 25 dm2; P = 20 dm

b) A = 8 cm2; P = 17 cm

2 a) A = 78,5 dm2; P = 31,4 dm

b) A = 60 m2; P = 40 m

3 a) A = 56 dm2; P = 32,2 dm

b) A = 50 mm2; P = 30 mm

4 a) A = 54 cm2; P = 38 cm

b) A = 75,6 hm2; P = 58 hm

5 a) A = 1 560 mm2; P = 164,8 mm

b) A = 15,75 cm2; P = 15 cm

6 a) A = 36 dam2; P = 28 dam

b) A = 14,13 km2; P = 9,42 km

7 a) A = 172,8 cm2; P = 48 cm

b) A = 474 cm2; P = 114 cm

8 La altura del rectángulo mide 8 m.

9 El área del trapecio es 160 cm2.

10 A = 160 cm2; P = 60 cm

11 A = 120 dm2; ah = 7,06 dm

12 A = 93,6 mm2; P = 36 mm

13 a) A = 5,76 cm2; P = 9,6 cm

b) A = 4,52 cm2; P = 7,54 cm

14 a) A = 4,8 cm2; P = 8,8 cm

b) A = 3,5 cm2; P = 8 cm

15 a) A = 4,1 cm2; P = 8,4 cm

b) A = 3,3 cm2; P = 6,8 cm

c) A = 3,9 cm2; P = 9 cm

16 a) A = 3 437 m2; P = 314 m

b) A = 180 dam2; P = 72 dam

c) A = 51,29 cm2; P = 28,65 cm

d) A = 66,97 mm2; P = 32,75 mm

e) A = 25 m2; P = 31,4 m

17 A = 20 cm2; P = 30 cm

18 a) A = 505,54 m2; P = 144,44 m

b) A = 50,3 m2; P = 71,6 m

19 a) A = 17,43 km2; P = 22,61 km

b) A = 8,83 m2; P = 20,47 m

20 a) A = 0,98 m2; P = 4,92 m

b) A = 37,12 hm2; P = 28,45 hm

c) A = 10,53 mm2; P = 49,98 mm

d) A = 50 m2; P = 32,5 m

21 A = 6,28 cm2

22 a) A = 7,5 cm2; P = 11,1 cm

b) A = 3,13 cm2; P = 7,41 cm

c) A = 22,77 cm2; P = 22,8 cm

13UNIDAD

246 247

Ejercicios y problemas

Áreas y perímetros de figuras sencillasHalla el área y el perímetro de cada una de las figuras coloreadas en los siguientes ejercicios:

1. a) b)

5 dm5 cm4 cm

2 cm

8 cm

2. a) b)

8 m17 m

15 m

5 m

3. a) b)5 dm

11 dm

7 dm

5 m

m9,2 dm

10 mm

4. a) b)

15 hm

28 hm

6 cm

18 cm

9,5 cm

5,4 hm

5. a) b)

30 mm

57 mm

30,4 mm

47 mm 2,1 cm

3 cm

6. a) b)

4 dam

6 km

5 dam

9 dam

7. a) b)

7,2 cm 6 cm 12 cm

20 cm15 cm

36 cm

43 cm

8. Averigua cuánto mide la altura de un rectángulo de 40 m2 de superficie y 5 m de base.

9. Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 12 cm y 20 cm, y su altura, 10 cm.

10. Las bases de un trapecio isósceles miden 26 cm y 14 cm; la altura, 8 cm, y otro de sus lados, 10 cm. Calcula el perímetro y el área de la figura.

11. Los lados de un triángulo rectángulo miden 15  dm, 8 dm y 17 dm. Calcula su área y la altura sobre la hipotenusa.

12. Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado y 5,2 mm de apotema.

Medir y calcular áreas y perímetrosEn cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que medir algún elemento (lado, diagonal, radio…):

13. a) b)

14. a) b)

15.

c)

a) b)

Áreas y perímetros menos sencillosHalla el perímetro y el área de las figuras coloreadas en los siguientes ejercicios:

16. a)

54 m

40 m

49 m31 m

35 m

37 m

b) 6 dam

24 dam

6 da

m

6 da

m

c) d)

7 cm120°

8 mm

e) 5 m

2,5 m

17.

5 cm 4 cm 3 cm

13 cm

18. a) b)

15 m

8 m

10 m

7,1 m

7,9

m 3,5 m

19. a) b)

3 km

9,9 km

4 km

A

A^ = 60°—AB = 10 m—AC = 8,7 m

BC

20. a) b)

1 m

0,5 m 5 hm 7 hm

8,6 hm

c) d)

7 mm

5 m

10 m

8 m

21. Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunferencia grande es de 6 cm.

22. Toma las medidas que necesites para calcular el área y el perímetro de cada figura:a) b)

c)

α αα αα

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207

Aprendizaje cooperativo Si el profesor o la profesora considera oportuno orientar los problemas hacia el aprendizaje cooperativo, se sugiere la siguiente metodología:

Los estudiantes, formando parejas o tríos, resuelven unos cuantos proble-mas individualmente y, después, contrastan las soluciones y los procesos.

Si hay discrepancias, deben analizar el trabajo realizado y descubrir, por sí mismos, los errores. Si no saben resolver las dudas o no se ponen de acuerdo, actuará el docente.

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

23 a) A = 13,8 m2; P = 17 m

b) A = 84 m2; P = 56 m

24 a) A = 60 cm2; P = 34 cm

b) A = 4 900 m2; P = 280 m

25 a) A = 5 280 cm2; P = 292 cm

b) A = 2 520 m2; P = 212 m

26 a) A = 2 480 dam2; P = 206 dam

b) A = 2 262 cm2; P = 244 cm

27 a) A = 246 m2; P = 60 m

b) A = 165,6 m2; P = 48 m

c) A = 4 499,2 cm2; P = 243,2 cm

d) A = 54 m2; P = 35,3 m

28 a) A = 704,7 cm2; P = 227,3 cm b) A = 247,7 cm2; P = 107,1 cm

c) A = 13,8 cm2; P = 26,6 cm d) A = 569,3 m2; P = 89,1 m

e) A = 79,1 m2; P = 36,5 m

29 A = 57 m2; P = 36 m

30 A = 120 cm2; P = 52 cm

31 A = 96 m2

32 A = 162 m2; P = 52 m

33 A = 420 cm2; P = 90 cm

34 Son necesarias 800 losetas.

35 Serán necesarias 810 baldosas.

36 A = 164,16 cm2

37 a20 = 3,3 cm; a13 = 5,08 cm; a11 = 6 cm

P = 44 cm

38 a) El área del triángulo rojo es el triple que la del azul.

b) La altura del triángulo azul son 4 cm.

c) La distancia del centro del triángulo a cada vértice es, aproximada-mente, de 7,74 cm.

39 A = 8 100 m2

40 Pondremos C en el punto más alto de la circunferencia.

41 La superficie de cada loseta es 250 cm2.

42 La estimación más acertada es la de Jorge.

43 A = 262,5 cm2

44 La longitud del hilo enrollado en el carrete es, aproximadamente, de 285 m.

13UNIDAD

248 249

Ejercicios y problemas

Áreas y perímetros utilizando el teorema de Pitágoras En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcu lar el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Si no es exacto, redondea a las décimas:

23. a) b)

5 m

7 m6 m 25 m

24. a) b)

5 cm 13 cm 99 m

25. a) b)

110 cm 90 m

53 m

73 cm

26. a) b)

71 dam

41 dam

41 d

am

53 dam

98 cm

89 cm

18 cm

27. a) b)

c) d)

12 m

8 m

40 cm 37 cm

12 m

10,2 m 8 m

28. a) b)

15 cm10 cm

c)

AB AC BC 8 cm= = =

BD DE BE21= =

A E

B

C

D

d) e)

24 m

18 m 10 m

10 m

29.

13 m4 m

3,5 m

5 m

30. Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales menor y mayor miden, respectivamente, 10 cm y 24 cm.

31. Calcula el área de un rombo sabiendo que su pe-rímetro mide 40 m, y su diagonal mayor, 16 m.

32. Halla el área y el perímetro de un trapecio rec-tángulo de bases 16 cm y 11 cm y lado inclinado de 13 cm.

33. Halla el área y el perímetro de un trapecio isós-celes cuyas bases miden 20 cm y 36 cm, y su altura, 15 cm.

Resuelve problemas

34. Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo con losetas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman losetas de 25 × 25). ¿Cuán-tas losetas son necesarias?

35. Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 cada una. ¿Cuántas baldo-sas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, igual, del vecino?

36. En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm. Halla el área del segmento circular sa-biendo que el ángulo central correspondiente es de 90°.

24 cm90° O34

cm

37. El área de un triángulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cm y c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.

38. Observa el triángulo equilátero rojo y el azul:

12 c

m

a) ¿Cuál es la relación entre sus áreas?b) Basándote en la respuesta anterior, y teniendo en

cuenta que tienen bases iguales, ¿cuál es la altura del triángulo azul?

c) ¿Cuál es la distancia del centro del triángulo a ca-da vértice?

39. La valla de esta parcela tiene una longitud de 450 m. ¿Cuál es el área de la parcela?

40. A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar de la cir-cunferencia.¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?

C C

C

A B

Problemas “+”

41. Halla la superficie de cada loseta de este embal-dosado:

50 cm

40 c

m

42. Nuria y Jorge entrenan en bicicleta. Nuria observa el cuentakilómetros y comenta:— Vamos a dieciocho kilómetros por hora. ¿Cuántas

vueltas dará mi rueda en un minuto?Jorge responde:— No lo sé, habría que medir el radio de la rueda, pe-

ro así, a ojo, échale unas 200 vueltas por minuto.Nuria piensa que son demasiadas:— ¡Halaaaa! No creo que lleguen ni a 150.Sabiendo que el diámetro de la rueda es de 50 cm, ¿cuál de los dos ha hecho una estimación más acertada?

43. La base de este rectángulo mide 20 cm más que la altura. Su perímetro es de 100 cm. Calcula el área del cuadrilátero morado. (Los puntos rojos indican la mitad de los lados correspondientes).

44. Con los datos que te ofrece el esquema, haz una estimación de la longitud del hilo enrollado en el carrete. (Diámetro del hilo: 1/3 de mm).

35 mm

HILO 12 mm

HILO 12 mm

12 mm

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208

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

45 a) A = 216 cm2

b) A = 144 cm2

46 A = 50,24 cm2

47

2

d’ = 8 m

d =

15 m

1

3

6 4

7

8

5

A1 = A2 ; A3 = A4 ; A5 = A6 ; A7 = A8

Afigura = Arectángulo/2 = d · d ’/2

Aazul = 250 mm2 ; Averde = 300 mm2

48 Solar el patio nos costará 744 €.

49 A = 385,33 dm2; P = 79,38 dm

50 a) 4,24 cm × 6 cm; A = 25,44 cm2

b) 6 cm × 6,71 cm; A = 40,26 cm2

51 El lado perpendicular a la base, 40 m; el otro, 40,3 m.

52 A = 1 384 cm2; P = 194,6 cm

53 Como 532 = 452 + 282, es un triángulo rectángulo.

A = 630 cm2; ah = 11,9 cm

54 No es regular. P = 9,64 cm; A = 7 cm2

55 A = 170,88 m2; P = 61,33 m

56 A = 117,14 cm2; P = 46,84 cm

57 A = 5,19 cm2

58 a) A = 8,8 m2; P = 20,5 m

b) A = 13 mm2; P = 26,2 mm

59 a) A ≈ 40,48 cm2; P = 26,15 cm

b) A = 44,11 cm2; P = 26,84 cm

13UNIDAD

250 251

Ejercicios y problemas

250

Aprende a resolver problemas

Interpreta, dibuja, justifica

45. Todos los arcos con los que se han trazado estas figuras son iguales, pertenecen a circunferencias de 6 cm de radio. Halla el área de cada una.a) b)

46. Halla el área y el perímetro de toda la figura.

60°

4 cm

47. La figura roja no es un rombo, pero tiene las diagonales perpen-diculares. Justifica que también puedes calcular el área meditante la fórmula:

· 'd d2

8 m

15 m

Calcula, ahora tú, el área de estos dos cuadriláteros tomando medidas.

AB

Resuelve problemascon el teorema de Pitágoras

48. Queremos embaldosar un patio cuadrado de 48 m de perímetro. Para ello, vamos a poner baldosas con forma de rombo cuyas diagonales miden 40 cm y 30 cm. Si cada baldosa cuesta 2,20 € y el cemento cuesta 1,50 €/m2, ¿cuánto nos costará solar el patio?

49. Halla el perímetro y el área de esta figura:

26 dm

10 dm

50. Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones del cubo:a) b)

6 cm3 cm

3 cm

3 cm 6 cm6 cm

6 cm6 cm

51. Una comunidad de vecinos quiere pintar una de las fachadas de su edificio. Esta tiene forma de trape-cio rectángulo cuyos lados paralelos miden 110 m y 105 m. Sabiendo que tienen que pintar 4 300 m2 de pared, ¿cuánto miden los otros dos lados de la fachada?

52. Calcula el área y el perímetro de la siguiente ce-nefa decorativa que ha puesto Susana en el jardín de su casa:

80 cm

53. Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba que es rectángulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo.

54. ¿Es regular este octógono? Calcula su área y su perímetro.

1 cm

1 cm

Problemas “+” (con Pitágoras)

55. Calcula el perímetro y el área de esta figura:

18 m

8 m

8 m12 m

56. Calcula el área y el perímetro de la siguiente fi-gura:

10 cm

57. Calcula el área del si-guiente triángulo equilátero sabiendo que está inscrito en una circunferencia de radio 2 cm.

2 cm

58. En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro:a) b)

8 mm10 m

60°

x x

x

x

59. Halla el área y el perímetro de cada una de las figuras rojas obtenidas mediante un corte plano a un cubo de 6 cm de arista.a) b)

6 cm

3 cm 3 cm

6 cm

3 cm

3 cm

¿Qué quiere hacer Esther? ¿Qué le dicen en la o� cina de correos? ¿Qué forma tiene cada uno de los paquetes que puede usar Esther? ¿Qué te preguntan?

¿De qué crees que dependerá que un paquete sea más caro que otro? ¿Qué tienes que hacer entonces?

Perfecto, ponte a ello. La super-� cie del cuadrado es un poco más complicada de calcular, pero fíjate que conoces su dia-gonal...

¿Y ahora?

— Como los dos paquetes son del mismo material, la diferencia de precio solo dependerá de la cantidad de cartón usado.

— Voy a calcular la super� cie de cada uno de los paquetes, y la que sea menor, será la más económica.

— Del rectángulo A conozco su largo y su ancho, así que:AA = 128,9 · 70,7 = 9 113,23 cm2

— Del cuadrado B conozco la diagonal, 128,9 cm, y puedo relacionarla con el lado, l, con el teorema de Pitágoras. Además, sé que su área es igual a l 2. Por tanto:(128,9)2 = l 2 + l 2 = 2l 2 →→ AB = l 2 = (1/2) · (128,9)2 = 8 307,605 cm2

— Ya lo tengo. Comparo las dos áreas y listo:8 307,605 < 9 113,23 → AB < AA

Solución: Esther debe utilizar el paquete B.

Esther quiere mandar a su sobrino una cometa como la de la � gura. En la o� cina de correos le han dicho que tiene que utilizar un paquete rectangular. Para gastar la mínima cantidad de cartón, Esther piensa en dos opciones, A y B, de envolver la cometa. ¿Cuál resulta más económica?

Comprueba que has entendido el enunciado.

Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?

1 m

1 m

50 cm

50 cm

70,7

cm128,9 cm

A B

Aprende a resolver problemas

ANOTACIONES

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209

Asocia causas y efectos

¿Por qué son esféricas las pompas de jabón?

Esta hermosa experiencia sirve para poner de manifiesto que el círculo es la figura plana con mayor superficie a igualdad de perímetro. Y que los polígonos regulares cumplen la misma propiedad en comparación con el resto de polígonos con el mismo número de lados.

El experimento es vistoso y fácil de reproducir. Se puede sugerir a los alumnos que lo realicen en casa.

Entrénate resolviendo problemas

Utiliza tu ingenio

• a)

b)1

23

• a)

b)

c)

Entrénate resolviendo problemas

Reflexiona antes de actuar

•A = 18 cm2

• a) b)

Soluciones de la autoevaluación

1 a) A = 50 cm2; P = 34 cm b) A = 225 cm2; P = 62 cm

c) A = 168 cm2; P = 65 cm d) A = 2 520 m2; P = 252 m

e) A = 24 cm2; P = 20 cm f ) A = 440 m2; P = 80 m

g) A ≈ 163,36 cm2; P = 66,45 cm

2 A = 32 400 m2

3 A = 116,18 cm2; P = 119,32 cm

4 a) A = 3,6 m2; P = 8,6 m b) A = 150 cm2; P = 50 cm

5 El perímetro de la figura es 34,4 cm.

13UNIDAD

252 253

Taller de matemáticas

253252

aprenderemprender

Taller de matemáticasTaller de matemáticas

emprender

¿Por qué son esféricas las pompas de jabón?Las láminas de agua jabonosa son elásticas y tienden a reducirse todo lo que pueden. Cuando se las llena de aire (pompas), adoptan la forma esférica porque la esfera es el cuerpo geométrico cuya su-per� cie es menor para un mismo volumen (el volumen de aire que hemos insu� ado es su interior).

Aquí, la lámina de jabón es plana (mínima super� cie).Hemos depositado sobre ella un hilo con los extremos anudados. Si pinchamos en su interior (punto rojo) se rompe esta parte de la lámina.La parte exterior se contrae todo lo que puede. El hilo adopta la forma circular. ¿Por qué? Porque el círculo es la � gura plana con mayor super� cie (hueco) para el mismo perímetro (hilo). De este modo la lámina jabo-nosa exterior se contrae todo lo posible.

Explica por qué crees que, en este otro caso, el pentágono que se forma es regular:

Asocia causas y efectos

Utiliza tu ingenio• Dando dos cortes a un cuadrado se pueden obtener

con facilidad 4 cuadrados:

a) Dando dos cortes rectos a un cuadrado se pueden formar, con los trozos, dos cuadrados. Hazlo.

b) ¡Más difícil todavía! Da dos cortes rectos a un cua-drado y construye, después, con los trozos, tres cua-drados.

• Dibuja un triángulo equilátero.

a) Divídelo en dos trozos iguales (fácil, ¿verdad?).

b) Dibuja otro y divídelo en tres trozos iguales (este es menos fácil).

c) ¡Pues también puedes dividirlo en cuatro trozos iguales! Y esto último se puede hacer con un trián-gulo cualquiera.

Entrénate resolviendo problemas

Reflexiona antes de actuar• ¿Cuál es el área de la zona comprendida entre los dos

cuadrados?(Gira el interior del circulo 45°).

6 cm

• Busca la manera de partir cada � gura en cuatro trozos iguales.a) b)

• Divide esta � gura en cuatro partes, todas ellas de igual forma y tamaño.

• Divide esta � gura en seis partes, todas ellas de igual forma y tamaño.

Entrénate resolviendo problemas

1. Calcula el área y el perímetro de cada una de las si-guientes figuras:

a)

5 cm7 cm

12,5 cm

10 cm

b) 17 cm

12 c

m

20,5 cm

c)

15 cm

22 cm

28 cm

12 c

m

d)

56 m

106 m

90 m

e) 5 cm

6 cm

4 cm

f )

16 m

11 m

g)16 cm

10 cm120°

2. Calcula el área de este campo:

390 m

90 m

120 m

150 m

360 m

3. Halla el área y el perímetro de esta figura:

8 cm

10 c

m

4. Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras:

a) b)12,5 cm

15 c

m

1,2

m

2,5 m

3,5 m

5. El área de la siguiente figura es 45 cm2. Calcula su perímetro.

Autoevaluación

252 253

Reflexiona antes de actuar•

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