TRIÁNGULO II

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- 25 - T T R R I I N N G G U U L L O O I I I I LINEAS NOTABLES 1. ALTURA Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. 2. BISECTRIZ Es el rayo que partiendo del vértice de un ángulo divide a este en dos partes iguales. 3. MEDIANA Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. 4. MEDIATRIZ Es la perpendicular a un lado trazada por el punto medio del mismo. 5. CEVIANA Es es segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto. PONTE MOSCA En un polígono no convexo (cóncavo) existen por lo menos 2 puntos en la región poligonal mas AB no pertenece totalmente a dicha región. QUE NOMBRE LLEVA LAS SIGUIENTES LINEAS

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5.LINEAS NOTABLES 1. ALTURA Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto.CEVIANA Es es segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto.PONTE MOSCA En un polígono no convexo (cóncavo) existen por lo menos 2 puntos en la región poligonal mas AB no pertenece totalmente a dicha región. 2. BISECTRIZ Es el rayo que partiendo del vértice de un ángulo divide a este en dos partes iguales.3.MEDIANA Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado

Transcript of TRIÁNGULO II

5.

LINEAS NOTABLES 1. ALTURA Es la perpendicular trazada desde un vrtice al lado opuesto.

CEVIANA Es es segmento que une un vrtice con un punto cualquiera del lado opuesto.

PONTE MOSCA En un polgono no convexo (cncavo) existen por lo menos 2 puntos en la regin poligonal mas AB no pertenece totalmente a dicha regin. 2. BISECTRIZ Es el rayo que partiendo del vrtice de un ngulo divide a este en dos partes iguales.

3.

MEDIANA Es el segmento que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto.

QUE NOMBRE LLEVA LAS SIGUIENTES LINEAS

4.

MEDIATRIZ Es la perpendicular a un lado trazada por el punto medio del mismo.

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ANGULOS FORMADOS POR DOS LINEAS NOTABLES 1. Por dos bisectrices interiores:

DETERMINA EL N DE TRINGULOS...........

2.

Por dos bisectrices exteriores: OJO MEDIATRIZ

3. Por una bisectriz interior y otra exterior.

IMPO RTA NTE La suma de los ngulos Interiores de un tringulo es 180.

4.

Por una bisectriz interior y una altura.

5.

Por dos alturas:

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6. Por una bisectriz interior y el lado opuesto.

BHD : m Ejemplos ABD : m 1. En la figura BH es altura. Adems: m A=70 y m C= 30. Calcular CBH - m ABH.

ADB = 90 ABD = 90 -

Luego el tringulo ABD es issceles. x = 10

3.

En la figura mostrada hallar x si AL y CM son bisectrices y m B = 50.

Resolucin : ABH: m m AHC: m m m 2. CBH m ABH = 90 - m A ABH = 90 - 70 = 20 CBH = 90 - m C Resolucin : 2 +2 + Se tiene un tringulo rectngulo ABC recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz del ngulo HBC que corta al lado AC en el punto D Si: AD=10, calcular AB. Solucin: + = 130 =

CBH = 90 - 30 = 60 ABH=60-20= 40

130 = 65 2

= 65

Por ser ngulo exterior X= +

X = 65

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4.

En un tringulo MNP, recto en N, la altura NT corta a la bisectriz interior el tringulo NRG es Issceles.

Reemplazamos (*) en (**) 2 ( +b) = 2 + z 2b = z b=

MG en el punto R, demostrar que

z 2

l.q.q.

6.

El ortocentro en un rectngulo se encuentra: a) b) c) d) e)

tringulo

NR

N R G=N M R+M N R NRG =+

Parte interna. Parte exterior. En el vrtice del ngulo recto. Faltan datos. N.a

Resolucin :

MG P NG M =

NG M = GM P + P+

N R G = NG M N R G es Issceles y

NR = NGLa Rpta. es la letra ( C ), porque: POLIGONOS

5.

Demostrar que en todo tringulo las bisectrices de un ngulo interior y otro ngulo exterior, forman un ngulo que mide la mitad del tercer ngulo interior del tringulo.

Con el teorema del ngulo externo

AMC : M C Q=M A C+ M

=

+ b ........... *

BC Q = B AC +2

B*

=2

+ Z....... *

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3.

En el

ABC de la figura; demostrar

1.

Demostrar que en todo tringulo el mayor ngulo que forman las bisectrices de dos ngulos interiores, mide 90 mas la mitad de la medida del tercer ngulo.

4.

En que clase de tringulo el ortocentro, baricentro, incentro y cincuncentro coinciden?

2.

En que clase de tringulo al trazar una lnea notable cumple las mismas funciones que los otros.

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5.

Calcular

7.

Los ngulos A y C de un ABC miden 70 y 30. Hallar la medida del ngulo que forman la altura BH y la bisectriz interior BE .

6.

Calcular 8. Calcular x en:

- 30 -

4.

MNPQ, es un cuadriltero convexo. Hallar la medida del menor ngulo formado por MP y NQ , s: NMQ = 60, M Q = 50,Q P=65, M N=70 y N P=55.

1.

Indicar con falso o verdadero, segn correponda. Las mediatrices de un tringulo se pueden intersectar fuera del tringulo.................... ( ) El incentro coincide con el centro de la circunferencia escrita........... ( )

5.

En un MNP se trazan las bisectrices interiores NH y MG (HCMP y GCNH). Si m P=20, calcular medida de ngulo HGP.

6.

En la figura, calcular

N.

2.

Indicar con falso o verdadero, segn correponda. El baricentro es el punto de corte de las alturas. El incentro es el punto de corte de las bisectrices exteriores. El ortocentro se encuentra en el vrtices del ngulo recto en los triangulos rectngulos. a) FFF b) VFF c) VVF d) FFV e) FVV 8.

7.

En un MNP, calcular m HNO, siendo H el ortocentro y O el circuncentro. Adems m NMP m NPM = 20.

3.

Indicar con falso o verdadero, segn corresponda. El ortocentro s el punto de corte de las mediatrices en un tringulo. El circuncentro de un tringulo coincide con el centro de la circunferencia circunscrita. El incentro de un tringulo divide a toda bisectriz en la relacin dos es a uno. a) FFF d) FVF b) VVV e) VVF c) VFF

Si uno de los catetos de un tringulo rectngulo mide 15 cm y la distancia del baricentro al ortocentro es

La altura relativa a la hipotenusa en centmetros mide: a) 4 b) 12 c) 6 d) 10 e) 8

25 cm. 3

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9.

En

un

tringulo

issceles

MNP,

11. Complete segn corresponda: El ..................... es el punto de concurrencia de las bisectrices. El baricentro de un tringulo, divide a toda mediana en la relacin ..............es a uno.

distancia del punto N al baricentro.

MN = NP =10 y MP =16. Hallar la

10. Halla el valor de

en la figura.

12.

MNP: O .

circuncentro. Hallar

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3.

En un tringulo rectngulo ABC se traza la altura BH luego la bisectriz HBC, si AB = 10. BQ del Calcular AC QC = 13

1.

Hallar x en :

2.

Encontrar m si NT es mediana del tringulo MNR.

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