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LINEAS NOTABLES

1. ALTURAEs la perpendicular trazada desde unvértice al lado opuesto.

2. BISECTRIZEs el rayo que partiendo del vértice deun ángulo divide a este en dos partesiguales.

3. MEDIANAEs el segmento que une un vértice conel punto medio del lado opuesto.

4. MEDIATRIZEs la perpendicular a un lado trazadapor el punto medio del mismo.

5. CEVIANAEs es segmento que une un vérticecon un punto cualquiera del ladoopuesto.

PONTE MOSCA

En un polígono no convexo (cóncavo)existen por lo menos 2 puntos en laregión poligonal mas AB nopertenece totalmente a dicha región.

QUE NOMBRE LLEVA LAS SIGUIENTES LINEAS

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ANGULOS FORMADOS PORDOS LINEAS NOTABLES

1. Por dos bisectrices interiores:

2. Por dos bisectrices exteriores:

3. Por una bisectriz interior y otra exterior.

4. Por una bisectriz interior y una altura.

5. Por dos alturas:

DETERMINA EL N° DE TRIÁNGULOS...........

OJO ¡ MEDIATRIZ ¡

I M P O R T A N T E

La suma de los ángulos Interiores de un triángulo es 180°.

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6. Por una bisectriz interior y el ladoopuesto.

Ejemplos

1. En la figura BH es altura. Además:m A=70° y m C= 30°.

Calcular CBH - m ABH.

Resolución :

A B H : m ABH = 90° - m Am ABH = 90° - 70° = 20°

A H C : m CBH = 90° - m C

m CBH = 90° - 30° = 60°

m CBH – m ABH=60°-20°= 40°

2. Se tiene un triángulo rectángulo ABCrecto en “B”, se traza la altura BH yla bisectriz del ángulo HBC que corta allado AC en el punto “D” Si: AD=10,calcular “AB”.

Solución:

BHD : m ADB = 90° -

ABD : m ABD = 90° -

Luego el triángulo ABD es isósceles.

x = 10°

3. En la figura mostrada hallar “x” si AL yCM son bisectrices y m B = 50.

Resolución :

2 +2 = 130°

+ =2

130 = 65°

+ = 65°

Por ser ángulo exterior

X = +

X = 65°

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4. En un triángulo MNP, recto en N, laaltura NT corta a la bisectriz interiorMG en el punto “R”, demostrar queel triángulo NRG es Isósceles.

N R N R G=N M R+M N R

N R G = +

M G P N G M = G M P + P

N G M = +

N R G = N G M

N R G es Isósceles y NR = NG

5. Demostrar que en todo triángulo lasbisectrices de un ángulo interior y otroángulo exterior, forman un ángulo quemide la mitad del tercer ángulo interiordel triángulo.

´Con el teorema del ángulo externo

AMC : M C Q=M A C+ M

ø = + b ........... *

B C Q = B A C + B

2ø = 2 + Z....... * *

Reemplazamos (*) en (**)

2 (+b) = 2 + z

2b = z

b =2

z l.q.q.

6. El ortocentro en un triángulorectángulo se encuentra:

a) Parte interna.b) Parte exterior.c) En el vértice del ángulo recto.d) Faltan datos.e) N.a

Resolución :

La Rpta. es la letra ( C ), porque:

P O L I G O N O S

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CONSTRUYENDO

MIS CONOCIMIENTOS

1. Demostrar que en todo triángulo elmayor ángulo que forman lasbisectrices de dos ángulos interiores,mide 90° mas la mitad de la medidadel tercer ángulo.

2. En que clase de triángulo al trazar unalínea notable cumple las mismasfunciones que los otros.

3. En el ABC de la figura; demostrar

4. En que clase de triángulo elortocentro, baricentro, incentro ycincuncentro coinciden?

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5. Calcular

6. Calcular

7. Los ángulos A y C de un ABC miden70° y 30°. Hallar la medida del ánguloque forman la altura BH y la bisectrizinterior BE .

8. Calcular x en:

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REFORZANDO

MIS CAPACIDADES

1. Indicar con falso o verdadero, segúncorreponda.

Las mediatrices de un triángulo sepueden intersectar fuera deltriángulo.................... ( )

El incentro coincide con el centrode la circunferencia escrita...........( )

2. Indicar con falso o verdadero, segúncorreponda.

El baricentro es el punto de cortede las alturas.

El incentro es el punto de corte delas bisectrices exteriores.

El ortocentro se encuentra en elvértices del ángulo recto en lostriangulos rectángulos.

a) FFFb) VFFc) VVFd) FFVe) FVV

3. Indicar con falso o verdadero, segúncorresponda.

El ortocentro s el punto de corte delas mediatrices en un triángulo.

El circuncentro de un triángulocoincide con el centro de lacircunferencia circunscrita.

El incentro de un triángulo divide atoda bisectriz en la relación dos esa uno.

a) FFF b) VVV c) VFFd) FVF e) VVF

4. MNPQ, es un cuadrilátero convexo.Hallar la medida del menor ánguloformado por MP y NQ , sí: NMQ =

60°, M Q = 50°,Q P=65°, M N=70°y N P=55°.

5. En un MNP se trazan las bisectricesinteriores NH y MG (HCMP y GCNH). Sim P=20°, calcular medida deángulo HGP.

6. En la figura, calcular “ ” N.

7. En un MNP, calcular m HNO,siendo “H” el ortocentro y “O” elcircuncentro. Además m NMP -m NPM = 20°.

8. Si uno de los catetos de un triángulorectángulo mide 15 cm y la distancia

del baricentro al ortocentro es3

25cm.

La altura relativa a la hipotenusa encentímetros mide:

a) 4b) 12c) 6d) 10e) 8

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9. En un triángulo isósceles MNP,MN = NP =10 y MP =16. Hallar ladistancia del punto “N” al baricentro.

10. Halla el valor de “ ” en la figura.

11. Complete según corresponda:

El ..................... es el punto deconcurrencia de las bisectrices.

El baricentro de un triángulo, dividea toda mediana en la relación..............es a uno.

12. MNP: O circuncentro. Hallar“ ”.

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AUTO - EVALUACIÓN

1. Hallar x en :

2. Encontrar “m” si NT es mediana deltriángulo MNR.

3. En un triángulo rectángulo ABC setraza la altura BH luego la bisectrizBQ del HBC, si AB = 10.

QC = 13Calcular “ AC ”