TEOREMA DE PITÁGORAS A B C CATETO HIPOTENUSA 3 4 5 5 12 13 20 21 29 (CATETO) 2 + (CATETO) 2 =...
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TEOREMA DE PITÁGORAS
A
B C
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
3
45 512
1320
21 29
(CATETO)2 + (CATETO)2 = (HIPOTENUSA)2
El teorema de Pitágoras, tal como lo conocemos es solo un caso particular del teorema del Coseno
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS
qq=
CatetoOpuestoasen
Hipotenusa
CatetoAdyacentea
cosHipotenusa
Hipotenusasec
CatetoAdyacentea
Hipotenusa
cscCatetoOpuestoa
CatetoAdyacentea
cotCatetoOpuestoa
CatetoOpuestoa
tanCatetoAdyacentea
CATETO
OPUESTO
A
CATETO ADYACENTE A
HIPOTENUSA
SENO COSENO
TANGENTE COTANGENTE
SECANTE COSECANTE
12
35
H2 2 2H 12 35
TEOREMA DE PITÁGORAS
H 1369 37
sen
cos
tan 12373537
1235
cot
sec
csc 3512
37353712
EJEMPLO :
EJEMPLO :Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....
23
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
1sen
csc
1
cossec
1tan
cot
EJEMPLOS
o
1A)
sen36ocsc 36 o
1B)
cos 17osec 17
sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1
D)sen2 csc 2 1o oC)tan 49 cot 49 1
oE)cos 63 sec 1 o63
F) tan 2 cot 1 2
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROPIEDAD :
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
sen cos
cos
tan
sen
cot a
b ccot
sec
csc
tan
csc
sec
EJEMPLOSoA)sen25 oB) tan 43 oC)sec 60
ocos 65ocot 47ocsc 30
...............
...............
...............
o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90
oD)sen cos 20 o O20 90 o70
E) tan 5 cot o5 90 o15
F)sen5
cos
5 2
2 5
3
rad10
TRIÁNGULOS NOTABLES
1 2
3
o30 (
)
O601
1
2
o45
o45
(
)3
4
5
o37
o53
(
)
osen30 12
otan 60 3
osec 45 2 ocot 37 43
otan 30 1
3
3x
333
osen45 1
22
x2
22
))
((o30
o37 o45
4 3
4
3 3
3 3
CALCULAR : cot
83 3
cot4
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
HHsen
H cos
L sec L tan
L
5
o62
o5sen62
o5 cos 62
8
8 tan8 sec
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO
L
L cot
L csc k
o24
ok csc 24
ok cot 24
EJEMPLO
)
)
mCalcular L en términos de m y ;
L
CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO
SOLUCIÓN
m
m tanLL m tan
m
cot L m tan m cot
L m cot m tan L m (cot tan ) NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
F
yF
xF X
Y
xF F cos
yF Fsen
ÁREA DEL TRIÁNGULO
A B
C
ab
c
abS senC
2
bcS senA
2
acS senB
2
EJEMPLO
5m
8m
O60
o(5)(8)S sen60
2
(5)(8) 3S ( )
2 2 10 3
R: 210 3 m
ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
HORIZONTAL
VISUAL
VISUAL
))
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?
EJEMPLO :
SOLUCIÓN
) ) o37O53
70
12k 12k
) O539k
) o37
16k
+
9k +70 = 16k k = 10 H = 120
=H
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN ÁNGULO AGUDO (método gráfico)
2
2
a
bc
c))
(
) 2
tan2
b
c a
+
bc a
EJEMPLO :
Sabiendo que : tan 8=24/7, calcula tan2SOLUCIÓN
8
24
7
25
425
24tan 4
25 7
24
tan 432
3tan 4
4
4 2
3
4
5
5
3tan 2
9 1
tan 23
(