UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO 1

a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70 rad53, yrad6

7 :ángulos los grados a Pasab)

Solución:

rad6

7rad180

210210 a)

rad

187rad

1807070

2101806

7rad6

7 b)

"7'3220018053rad53

,,

EJERCICIO 2 : Completa la tabla:

Solución:

rad1813rad

180130130

24018034rad

34

rad6

11rad180

330330

"37'568518051rad51

,,

Por tanto:

ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA

EJERCICIO 3 : :)hallar (sin calcula cuadrante, primer el en está que ángulo un esy31Si αααtg

αtgαtgαtgαtg 360 d)360 c)180 b)180 a) Solución:

31180 a) tgtg

31180tg b) tg

31360 c) tgtg

31360 d) tgtg

EJERCICIO 4 : Si sen 0,35 y 0 < < 90 halla sin calcular :

αcosαsen 180 b)180 a) Solución:

350180 a) ,sensen

coscos 180 b)

Necesitamos saber cuánto vale cos : 13501 2222 cos,cossen

87750112250 22 ,coscos, )900 pues positivo, (es 94,0 cos

940180 :tanto Por ,coscos

EJERCICIO 5 : Sabiendo que sen 50 0,77, cos 50 0,64 y tg 50 1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora:

310 d)230 c)310 b)130 a) sencostgcos Solución:

64,050150180130 a) coscoscos

19,15050360310 b) tgtgtg

64,05050180230 c) coscoscos

77,05050360310 d) sensensen RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EJERCICIO 6 : En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos. Solución: Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto:

cm 9b81144225b225b14415b12cba 22222222

Hallamos los ángulos: "12'523660159 B,Bsen

cbBsen 48"'75390 BA

Por tanto: 90C cm; 15c;"12'5236B cm; 9b;48"'753A cm; 12a EJERCICIO 7 : Para sujetar un mástil al suelo como indica la figura hemos necesitado 10 metros de cable.

Halla la altura del mástil y la distancia entre los puntos A y B. Solución:

hsenz

hsenz

zhsen

zhsen

3510

60

1035

60

35351060351060 senzsensenzsenzsenz

3510356035103560 sensensenzsensenzsenz m 9833560

3510 ,sensen

senz

m 453356060351060 ,

sensensensensenzh

La altura del mástil es de 3,45 m

Para hallar la distancia entre A y B, tenemos que hallar x e y:

m 99160453

6060 ,

tg,

tghy

yhtg

m 93435453

3535 ,

tg,

tghx

xhtg

Por tanto, la distancia entre A y B es de x y 4,93 1,99 6,92 m.

EJERCICIO 8 : Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 55. Alejándose 7 metros en línea recta, el ángulo es de 40. ¿Cuál es la altura de la antena?

Solución:

htgx

htgx

xhtg

xhtg

407

55

740

55 407405540755 tgtgxtgxtgxtgx

40740554074055 tgtgtgxtgtgxtgx m 9794055

407 ,tgtg

tgx

m 241440555540755 ,

tgtgtgtgtgxh

La altura de la antena es de 14,24 metros.

EJERCICIO 9 : Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos. Solución:

Hallamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras: cm 687457 2222 ,lll

Hallamos los ángulos: "44'275490"16'323575 ABAAtg

Los ángulos del rombo miden:"29'55108ˆ2

"31'471ˆ2

BA

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA EJERCICIO 10 : En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 80. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio? Solución

:B ángulo el Hallamos 35180 CAB

Hallamos los valores de a y c aplicando el teorema de los senos:

km 7935

655035

5065

sensena

sensena

km 858535

805035

5080

,sen

sencsensen

c

Por tanto, el barco está a 79 km de la estación C y a 85,85 km de la estación A. Los metros de valla necesarios serían: m 49,5549,201520 cba

EJERCICIO 11 : Resuelve este triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos:

Solución: Hallamos el lado c con el teorema del coseno:

8548162590504592459

2

2

222

222

,,ccos,,c

Ccosabbac

cm 5874572 ,c,c

Como conocemos los tres lados, la solución es única. :ˆ ángulo el Hallamos A

5875059

5058759

,sen,Asen

sen,

Asen,

Csenc

Asena

"24'4573960 A,Asen

"36'1456180 CAB

Por tanto: 50C cm; 58,7c ;"36'1456B cm; 4b ;"24'4573A cm; 5,9a EJERCICIO 12 : Halla los lados y los ángulos de este triángulo:

Solución:

:senos los de teorema el con ángulo el Hallamos B

BsensenBsenb

Asena 8

10815

46"'2830507015

1088

B,senBsen

relación). unahay solo agudos, ser de han ˆ y ˆ obtuso, es ˆ (Como CBA

:ˆ ángulo el Hallamos C "14'3141180 BAC

Calculamos el lado c: m 4610108

15"14'3141

,csensen

cAsen

aCsen

c

Por tanto: "14'3141C m; 46,10c ;"46'2830B m; 8b;108A m; 15a EJERCICIO 13 : Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

Solución: Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de los otros dos, existe solución única. Hallamos los ángulos A y B con el teorema del coseno:

Acosbccba 2222 Acos,, 423625128451

845136251242 ,,Acos 59342 ,Acos

"12'54948500 A,Acos

Bcos,,,Bcosaccab 4863684512512222

87502512368451486 ,Bcos,,Bcos, "7'5828ˆ B

"41'756ˆˆ180ˆ BAC

Por tanto: "41'756C cm; 6c;"7'5828B cm; 5,3b;"12'5494A cm; 2,7a EJERCICIO 14 : Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?

Solución: Hallamos la distancia, x, aplicando el teorema del coseno:

38209170421561110523425234

2

222

,xcosx

km 20713850692

,x,x

Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 71,20 km. EJERCICIO 15 : Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50, y el ángulo en A es de 75. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ? Solución:

: ángulo el Hallamos C 55180 BAC Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos:

m 9211755

7510055

10075

,sen

senasensen

a

m 529355

5010055

10050

,sen

senbsensen

b

Por tanto, la distancia entre B y C es de 117,92 m y la distancia entre A y C es de 93,52 m. EJERCICIO 16 : Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:

Solución:

:senos los de teorema el con ángulo el Hallamos B

BsensenBsenb

Asena 6

10510

"9'253558010

1056

B,senBsen

solución). unahay solo agudos; ser de han y obtuso, es (Como CBA

: de ángulo el Hallamos C "51'3439180 BAC

Calculamos el lado c: m 66105

10"51'3439

,csensen

cAsen

aCsen

c

Por tanto: "51'3439C m; 6,6c;"9'2535B m; 6b;105A m; 10a EJERCICIO 17 : Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140. ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo? Solución:

:será ángulo El C 1514025180 C

Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y:

m 3524815

14010015

100140

,sen

senxsensen

x

m 2916315

2510015

10025

,sen

senysensen

y

Por tanto: Sara está a 248,35 m del castillo y Manolo, a 163,29 m.

DEMOSTRAR IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 18 : Demuestra que:

a) xsenxcos

xcosxcos

xsenxsen

xcos

221

2111

b) 1

21

22 2

xcosxcos

c) ysenxsenyxsenyxsen 22 d) xsenxsenxcos

xcosxcosxsen 212

e) xcosxcosxsen

x2tgxsen 2

2

Solución:

a)

2

211

1111

1

22222

xcos xsenxcos

xsenxcosxcosxsenxcos

xsenxcosxcos xsen

xsenxsenxcosxcos

xsenxsen

xcos

xsenxosc

xosc

221

21

b) 1121

212

21

22 2

xcosxcosxcosxcosxcosxcos

c) 22 ysenxcosycosxsenysenxcosycosxsenysenxcosycosxsenyxsenyxsen

ysenxsenxsenysenxcosysenxsenyxsencosycosxsen 2 2222222222 1

ysenxsenysenxsenysenysenxsenxsenysenxsen 22222222221

d)

xsenxcosxsenxcos

xcosxcosxsenxcosxsenxsenxcos

xcosxcosxsen 22

xcos

xcosxcosxsenxcosxsenxsenxcos

xcosxcosxsen2

222 22

22

2

xsenxcosxsenxcosxsenxcosxsen 2121222

e) xcosxsen

xcosxsenxsen

xcosxsen

xtgxsen 22

22

22

2

xcosxsen

xcosxsenxsenxcosxsen

xcosxsen

xsenxcosxsen 2222

22

222

xcosxcosxcos

xcosxsenxsenxcos

xcosxsen

xcosxsenxcos

2222222

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 19 : Resuelve: a) 14545 xsenxsen b) sen 2x cos x 0 c) cos x sen 2x sen x 0 d) xsenxcosxcosxcos 333 e) xcosxcos 3124 f) xsenxcosxcosxsen 22122 Solución: a) 14545 xsenxsen 145454545 senxcoscosxsensenxcoscosxsen

1452 cosxsen 22

21121

22

2 xsenxsenxsen

kxk

kx

360135 donde

36045Z

b) 0120202

xsenxcosxcosxcosxsenxcosxsen

donde360330360210

21012

360270360900

Zkkxkxxsenxsen

kxkxxcos

c) 01xcos2xsen0xsenxcosxsen2xcos0xsenx2senxcos 2

22

21

21012

36018036000

22 xcosxcosxcos

kxkxxsen

kxkxxcos

kxkxxcos

360225360135

22

36031536045

22

Por tanto, las soluciones son:

. donde

360225360315360180360135360453600

Z

k

kxkxkxkxkxkx

d) xsenxcosxcosxcos 333 0333 xsenxcosxcosxcos 0332 xsenxcosxcos

0331 2 xsenxsenxcos 0232 xsenxsenxcos 0232 xsenxsenxcos

023360270

360900

2 xsenxsenkx

kxxcos

vale) (no 2

1

213

213

2893

xsen

kxxsen 3602701

Por tanto las soluciones son:

Z siendo

360270

36090k

kx

kx

e) xcos31xsenxcos4xcos31x2cos4 22 xcos31xsen4xcos4 22

xcos31xcos14xcos4 22 05xcos3xcos8xcos31xcos44xcos4 222

185

16133

161693

1616093

xcos

kxxcosk

kxkxxcos

3601801 siendo

360"56'40308360"4'1951

85

Z

f) xsenxcosxcosxsen 22122 xsenxcosxsenxcosxcosxsen 222 212 0212 222 xsenxcosxsenxcosxcosxsen 012 22 xcosxsenxcosxcosxsen

0112 xcosxcosxsen 02 xcosxcosxsen 012 xsenxcos

kxkxxx

kkx

kxx

36015036030

21sen01sen2

siendo 360270

360900cos

Z

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 20

a Representa la siguiente función trigonométrica:

2xcosy

b Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente:

Solución: a Hacemos una tabla de valores:

La gráfica sería:

b La gráfica corresponde a la función y cos x. EJERCICIO 21 a Escribe la ecuación de la función correspondiente a esta gráfica:

b Representa la siguiente función: y cos x

Solución: a La gráfica corresponde a la función y sen x. b Hacemos una tabla de valores:

La gráfica sería:

CAMBIOS DE UNIDADES EJERCICIO 1 : Expresa en radianes las medidas de los siguientes ángulos: a) 45º b) 120º c) 690º d) 1470º EJERCICIO 2 : Expresa en grados los siguientes ángulos:

a) 3 rad b) 2,5 rad c) 72 rad d)

5 rad

EJERCICIO 3 : Calcular 3/4 rad + 0,5 rectos + 50º 40’ 3’’ expresándolo en radianes. OPERAR CON ÁNGULOS CONOCIDOS EJERCICIO 4 : Halla, sin utilizar la calculadora, el cuadrante y las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 135º b) 450º c) 210º d) –60º EJERCICIO 5 : Calcula, razonadamente, las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 1035º b) –3400º c) 10.000º d) 2700º EJERCICIO 6 : Calcula los valores de las siguientes expresiones, sin calculadora: a) 2.tag 30º + 5.tag 240º - cos 270º b) cos 60º + sen 150º + sen 210º + cos 240º EJERCICIO 7 : Calcular las razones trigonométricas de 120º. EJERCICIO 8 : Sabiendo que sen 25 0,42, cos 25 0,91 y tag 25 0,47, halla sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora las principales razones trigonométricas de 155 y de 205. EJERCICIO 9 : Calcula las principales razones trigonométricas de 130 y de 230, sabiendo que:

08440tg;77,040cos;64,040sen CAMBIO DE CUADRANTES EJERCICIO 10 : Sabiendo que sec = -4 y 0 < < , calcular: a) cosec (3/2 + ) b) sen (/2 - ) c) tag(630º - ) EJERCICIO 11 : Sabiendo que sen = 2/3 y /2 < < 3/2. Calcular: a) cos (3/2 + ) b) tag ( - ) EJERCICIO 12 : Sabiendo que cos = -2/3 y < < 2. Calcular, sin calculadora: a) cos (3/2 - ) b) tag ( + ) EJERCICIO 13 : Sabiendo que cos 53º = 0,6. Calcular: a) cos 37º b) sen 143º c) tag 127º d) cotag 233º e) sec (-53º) EJERCICIO 14 : Sabiendo que tag = ½ y que < < 3/2, calcular:

a) sen (/2 + ) b) cos ( + ) c) tag (/2 - ) d) sec (360º - ) EJERCICIO 15 : Sabiendo que cotag = -2 y que < < 2, calcular: a) cos(/2 + ) b) sen ( + ) c) cotag (/2 -) EJERCICIO 16 : Sabiendo que sen (/2 + ) = -1/3 . Calcular sen y cos ( pertenece al 2º cuadrante)

EJERCICIO 17 : Hallar el valor de la expresión )xsen()xcos(

)xsen()xcos()x2/sen(

EJERCICIO 18 : Calcular el valor de la expresión: )(tag.2

)x2/sen().x2/(agcot

EJERCICIO 19 : Hallar el valor de : )x2/cos().x(agcot

)xcos().x(tag

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 20 : Sea /2 < < 2 tal que tg = 3/4 calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante de : a) sen (x/2) b) tg (x + 3/4) EJERCICIO 21 : Si cos x = -4/5 y x 2 Calcular, sin utilizar la calculadora, el cuadrante y el valor de cos (x/2) y sen (2x) EJERCICIO 22 : Conociendo sen x = - 3/5 y sabiendo /2 x 3/2, calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante de: a) tag ( x - /4) b) sen (x/2) EJERCICIO 23 : Si cos = -5/13 y < < 2.. Calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante al que pertenecen los siguientes ángulos. a) sen(2.) b) tag (/2) EJERCICIO 24 : Si x es un ángulo comprendido entre /2 y 3/2 y su seno vale 3/5. Calcular, sin utilizar la calculadora, el sen (2x) y cos(x/2). Razona los signos. EJERCICIO 25: Si sen x = -3/5 90º x 270º Calcular y razona en que cuadrante están: a) sen (x/2) b) cos (2x) EJERCICIO 26 : Sabiendo que /2 < < 3/2 y sen = 1/3 a) Hallar el cuadrante y el resto de razones trigonométricas de b) Hallar el cuadrante y el valor del cos (2) c) Hallar el cuadrante y el valor del sen (/2) a) Hallar el cuadrante y el valor de tag ( - /4) EJERCICIO 27 : Sabiendo que 90º < x < 270º y sen x = -2/5, hallar, sin utilizar calculadora, el cuadrante y el valor de : a) sen (2x) b) cos (x/2) c) ctg (x + 45º)

SIMPLIFICAR EJERCICIO 28 : Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas

a) tagx.xsenxcos

xsec.xsen.xtag122

22

b)

x

2cos

xcos.xcos1.x2

sec

x2

tag.xsen2

22

c) 2xsen1

1xsen1

1

d) 22

2 xcosxsenxcosxsen:xtag1

xsec

DEMOSTRAR IDENTIDADES EJERCICIO 29 : Comprobar si son ciertas las siguientes identidades trigonométricas:

a) cos

cossen1 2

b) xcos1

1.tagxtagx

1tagx 2

c) cos2x + sen2x + tag2x = xcos

12 d)

xsen1

xtag11 22

EJERCICIO 30 : Demuestra las siguientes igualdades:

a) x2tg21

xsenxcosxcosxsen

22

b) ysenxsenyxsenyxsen 22

c) x2cos2145xcos45xcos d)

21xcos5

2xcos

xsenx2sen 2

e) 12xsen2xcos 2 f)

x2senxsen2xcos44

xsenxcos1

xcos1xsen

ECUACIONES EJERCICIO 31 : Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: a) tag2x – tag x = 0 b) 2cos2x – sen2x + 1 = 0 c) 2senx.cos2x – 6sen3x = 0

d) cos (2x + 20º) = - 23 e) 3sec x - 2sen x.tag x = -3 f) sen2 x +

45

xsec1

EJERCICIO 32 : Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 1xsen3x2cos b) xcos1xsen 22 c) xcos21xsen 22

d) 0xsen2x2senxsen 2 e) xsen2xcos42 2 f) 021xsenx2cos 2

g) 145xsen45xsen h) 41xcos

2xcos2 i) cos 2x cos2 x 2

j) cos (6.x) + cos (8.x) = - 3 .cos x k) cos5x + cos 3x = 2 .cos4x REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 33 : Representa gráficamente y estudia las propiedades de las siguientes funciones: a y cos x b y sen x + 1

PROBLEMAS EJERCICIO 34 : Un barco, pide socorro recibiéndose la señal en dos estaciones A y B que distan entre sí 45 Km. Desde cada estación se miden los ángulos BAC = 44º 55’ y ABC = 52º 16’. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada estación? EJERCICIO 35 : Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km, la de BC es de 9 Km, el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuál es la distancia de A a C?. Calcular los otros dos ángulos. EJERCICIO 36 : Desde dos puntos situados en la misma orilla de un río y separados entre si 30 m se observa un árbol situado en la otra orilla. La distancia del primer punto al pie del árbol es de 24 m y el ángulo que forma la visual del segundo punto con respecto al árbol es de 45º 37’. Calcular la distancia del segundo punto al árbol y el ángulo que forma la visual del primer punto. EJERCICIO 37 : Resolver el siguiente triángulo: A = 30º, a = 40 m, b = 65 m. Calcular su área. ( Enuncia las resultados teóricos que utilices ). EJERCICIO 38 : Dos amigos parten de un mismo punto en dirección a dos ciudades situadas a 200 y 300 Km, respectivamente, del punto de partida. El ángulo que forman dichas carreteras es de 60º. En sus coches llevan un teléfono móvil que tiene un radio de alcance de 250 Kms. ¿Podrán ponerse en contacto cuando lleguen a su destino?. Calcular los otros dos ángulos. EJERCICIO 39 : Dos asistentes a una conferencia se sitúan en las dos butacas extremas de una fila. Cada uno desde su posición, mide el ángulo que determinan el conferenciante y el otro asistente obteniéndose resultados de 37º y 42º. ¿A qué distancia está cada uno de ellos del conferenciante?. ¿A qué distancia se encuentran ambos del escenario?. Desde una butaca a la otra hay una distancia de 30 m. EJERCICIO 40 : Una antena de telefonía móvil está sujeta al suelo con dos cables desde su punto más alto, y uno de los cables tiene doble longitud que el otro. Los puntos de sujeción de los cables al suelo están alineados con el pie de la antena, la distancia entre dichos anclajes es de 70 metros y el ángulo formado por los cables es de 120º. Calcula la longitud de cada uno de los cables y la altura de la antena de telefonía. EJERCICIO 41 : De un triángulo ABC sabemos que a = 12 cm, b = 18 cm y A + B = 110º ¿Cuánto valen A y B? EJERCICIO 42 : En un mapa de carreteras observamos los pueblos A, B, C y D como se indica en la figura. Por un error no aparece la distancia entre los pueblos A y D, pero si las distancias y ángulos que forman las carreteras que los unen. Calcula la distancia entre los pueblos A y D. EJERCICIO 43 : En una circunferencia de radio 10 cm trazamos la cuerda AB de 8 cm. Si O es el centro de la circunferencia, halla el ángulo AOB. EJERCICIO 44 : Desde una carretera se ve el punto más alto de una montaña, y la visual de dicho punto forma un ángulo de 40º con la horizontal. La carretera avanza hacia la montaña en línea recta, y después de avanzar 5 Km, vemos que la visual con el pico y la horizontal forma un ángulo de 75º. ¿Qué altura tiene la montaña?