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Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO

1

CUESTIONES INICIALES de la página 302

1. Calcula la tasa de variación media en los intervalos [0, 3] y [3, 6] para cada una de las siguientes funciones:

a) f1 (x) = 2x c) f3 (x) = x2

b) f2 (x) = 2x + 3 d) f4 (x) = 2x

Las soluciones aparecen en la tabla.

[0, 3] [3, 6]

a) f1 (x) = 2x 2 2

b) f2 (x) = 2x + 3 2 2

c) f3 (x) = x2 3 9

d) f4 (x) = 2x 33,2

37= 67,18

356

=

2. Calcula los siguientes límites:

a) f (x) = 3x2 - 2; h

fhflímh

)1()1(0

−+→

b) 2

2)(−

=x

xxg ; h

xghxglímh

)()(0

−+→

El valor de los límites es:

a) 6)1()1(0

=−+

→ hfhflím

h


2

b) 20 )2(4)()(−

−=−+

→ xhxghxglím

h

3. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P (- 2, 3) y su pendiente vale

31

− . Halla la perpendicular a esta recta en el punto P.

La ecuación de la recta que pasa por P (- 2, 3) y con pendiente 31

− es x +3y = 7.

La ecuación de la recta perpendicular a la anterior en P (- 2, 3) es 3x – y = - 9.

4. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 – 4x + 6 en el punto P (0, 6).

La ecuación de la recta tangente a y = 2x2 – 4x + 6 en el punto P (0, 6) es 4x + y = 6.

ACTIVIDADES de la página 304

1. Un paracaidista se lanza desde un avión. Después de caer libremente durante 6 segundos, abre el paracaídas. El espacio recorrido por el paracaidista con respecto al tiempo puede verse en la tabla. Calcula la velocidad media en los intervalos [0, 2], [2, 4] y [4, 6].

Las velocidades medidas pedidas son:

vm [0, 2] = 9,8 m/s vm [2, 4] = 29,4 m/s vm [4, 6] = 49 m/s

Tiempo (s) 1 2 3 4 5 6

Espacio (m) 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5 176,4


3


2. La trayectoria de un cohete se ajusta a la función e(t) = 560 + 19,6 · t2 siendo e(t) el espacio en metros y t el tiempo en segundos. Halla:

a) La tasa de variación media entre los instantes t = 1 y t= 3.

b) La tasa de variación instantánea en t = 3. ¿Qué representa el número que obtienes?

a) La tasa de variación media entre los instantes 1 y 3 vale 78,4 m/s.

b) La tasa de variación instantánea en el instante t = 3 vale 117,6 m/s. Este número representa la velocidad del cohete a los 3 segundos.


3. La ecuación del espacio, e (en metros), que recorre un móvil en función el tiempo, t (en segundos), es e(t) = 2t + 5t2 . Calcula la velocidad de dicho móvil en los instantes t = 3, t = 5 y t = 10.

La velocidad del móvil en t=3 es: 32 m/s



4. Determina las derivadas en los puntos que se indican para cada una de las siguientes funciones:

a) ( )223)( −= xxf D [f(-1)] ; f ´(0)

b) 1

)(−

=x

xxg D [g(2)] ; g ´(- 2)

c) 32)( += xxj D [j(-1)] ; j ´(3)


4

Las derivadas pedidas serían:

a) D [f(-1)] = ( ) 302553lim)1()1( 2

00−=

−−=

−−+−→→ h

hh

fhflímhh

f ´(0) = ( ) 12423lim)0()0( 2

00−=

−−=

−+→→ h

hh

fhflímhh

Del mismo modo que el apartado anterior obtenemos:

b) D [g(2)] = - 1; g ´(-2) = 91−

c) D [j(-1)] = 1; j ´(3) = 31


5. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 1

2)(+

=x

xf en el punto de abscisa 1. ¿Qué

ángulo forma esta recta tangente con el eje de abscisas?

La recta tangente en el punto P (1, 1) tiene de pendiente m = f ´(1) = - 1/2. Su ecuación es: x + 2 y = 3.

Con el eje de abscisas forma un ángulo cuya tangente es -1/2; tg a = -1/2; a = 153º 26´6´´

6. ¿En qué punto de la gráfica de la función 13)( 3 +−= xxxf , la recta tangente tiene de pendiente 9?

Las rectas tangentes a esa función tienen de pendientes f ´(x) = 3x2 – 3. Para que la pendiente sea 9, se debe verificar que: 3x2 – 3 = 9; de donde x = 2 o x = -2

Los puntos son: P (2, 3) y Q (- 2, -1).


5

7. Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función xxf =)( que es paralela a la recta x – 2y = 0.

La recta dada tiene de pendiente 1/2

Para que la recta tangente sea paralela a la recta dada debe tener la misma pendiente. Se debe verificar que: f ´(x ) = 1/2.

La gráfica de esta función tiene una recta tangente paralela a la recta dada en el punto: P (1, 1) y su ecuación es x - 2y + 1 = 0.

Todo lo anterior puede verse en la gráfica.

121

21)(´ =⇒== x

xxf


6


8. Dada la función f (x) = x3 – 3x2:

a) Haciendo uso de la definición de derivada, halla sus dos primeras derivadas.

b) Representa, en el mismo diagrama cartesiano, la función y su primera derivada.

c) Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función dada en el punto de abscisa x0 = 0.

a) xxh

xxhxhxlímh

xfhxflímxfhh

63)3()(3)()()()(´ 22323

00−=

−−+−+=

−+=

→→

66)63()(6)(3)(´)(´)(´´222

00−=

−−+−+=

−+=

→→x

hxxhxhxlím

hxfhxflímxf

hh

b) La gráfica de la función y = f(x) puede verse en color rojo y la gráfica de su derivada en color azul.

c) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto P(0, 0) tiene por pendiente f ´ (0) = 0 y por ecuación y = 0.

La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función dada en el punto P(0, 0), al ser perpendicular a la recta tangente, es x = 0.



7

9. Dada la función x

xf 2)( = , calcula sus cuatro primeras derivadas.

Las derivadas pedidas son:

2

2)(´x

xf −=

3

4)(´´x

xf = 4

12)(´´´x

xf −=

5

48)(´´´´x

xf =

10. Dada la función 3)( 2 += xxf :

a) Determina su función derivada y D [f(1)].

b) Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de esa función en el punto de abscisa (- 1).

a) La función derivada es f ´(x) = 32 +x

x. El valor pedido es D [f (1)] = 1/2.

b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto P (- 1, 2) tiene por pendiente f ´ (-1) = -1/2 y por ecuación x + 2y – 3 = 0

La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función dada en el punto P (- 1, 2) al ser perpendicular a la recta tangente tiene por pendiente m = 2 y su ecuación es 2x – y + 4 = 0

11. En la gráfica de la figura hemos representado la función 34 4)( xxxf −= y dos de sus rectas tangentes en dos puntos.

Halla D [f (- 1)]; f ´ (3) y encuentra las ecuaciones de las rectas normales en los dos puntos de tangencia.

Obtenemos:

D [f (- 1)] = - 16 y f ´ (3) = 0.


8

La recta normal en el punto A (- 1, 5) tiene por ecuación:

x – 16 y + 81 = 0.

La recta normal en el punto B (3, - 27) tiene por ecuación:

x - 3 = 0.


12. Sean las funciones f (x) = x3 – 3x2, g (x) = 5x2 + 4 y sus derivadas f ´ (x) = 3x2 – 6x, g ´ (x) = 10x, halla las derivadas de las siguientes funciones:

a) f (x) + g (x) c) f (x) – g (x) e) 3 · f (x) – 2 · g (x)

b) (- 1) · g (x) d) 5 · g (x) f) f (x) · g (x)

Las derivadas son:

a) D [f (x) + g (x)] = D [f (x)] + D [g (x)] = 3x2 + 4x

b) D [(-1) · g (x)] = (-1) · D [g (x)] = - 10x

c) D [f (x) - g (x)] = D [f (x)] – D [g (x)] = 3x2 - 16x

d) D [5 · g (x)] = 5· D [g (x)] = 50x

e) D [3 · f (x) – 2 · g (x)] = 3 · D [f(x)] – 2 · D [g (x)] = 9x2 – 38 x

f) D [f (x) · g (x)] = D [f (x)] · g(x) + D [g(x)] · f (x) = 25x4 - 60 x3 + 12x2 - 24x



9

13. Dadas las funciones f (x) = x2 – 2x, g (x) = x3, y sabiendo que f ´ (x) = 2x - 2, g ´ (x) = 3x2, halla las derivadas de las siguientes funciones:

a) )()(

xgxf b)

)()(

xfxg c) (g o f) (x) d) (f o g) (x)

Las derivadas son:

a) [ ] [ ][ ] 32

4)(

)(·)()(·)()()(

xx

xgxfxgDxgxfD

xgxfD −

=−

=

b) [ ] [ ][ ] ( )2

2

2 24

)()(·)()(·)(

)()(

−−

=−

=

xxx

xfxgxfDxfxgD

xfxgD

c) ( )[ ] ( )[ ] [ ] )66(·)2()(·)()( 22 −−== xxxxfDxfgDxfogD

d) ( )[ ] ( )[ ] [ ] )66()(·)()( 25 xxxgDxgfDxgofD −==


14. Halla las derivadas siguientes:

a) D [4x3-5x+1] d) [ ]252 xD − g) D [ln (1 - 6x2)]

b) D [(3x2 – 4)2] e) D [e3x – 2x4] h) D [4 · ln (1 + x4)2]

c) [ ]3 3 322 +xD f)

x

xD4

4

i)

+ 12

2lnx

xD

Las derivadas son:


10

a) D [4x3 - 5x + 1] = 12x2 - 5

b) D [(3x2 – 4)2] = 36x3 – 48x

c) [ ]3 3 322 +xD = ( )3 23

2

32

4

+x

x

d) [ ]252 xD − = )10·(2·ln225 xx −−

e) D [e3x – 2x4] = 3e3x – 8x3

f)

x

xD4

4

= x

xx4

4ln4 43 −

g) D [ln (1 - 6x2)] = 26112

xx

−−

h) D [4 · ln (1 + x4)2] = 4

3

132

xx

+

i)

+ 12

2lnx

xD = xx +22

1


11


15. Encuentra las derivadas de las siguientes funciones:

a) f (x) = sen 2x3 e) f (x) = 3 cos x i) f (x) = tg ex

b) f (x) = 3 · sen x f) f (x) = cos2 (3x) j) f (x) = tg2 x3

c) ( )3xf x sen = −

g) f (x) = cos

2x k) ( )

4xf x tg π =

d) f (x) = π · sen ( )4x π+ h) f (x) = 2 ·cos x4 l) f (x) = 4 tg ( )π+x2

Las derivadas son:

a) f ´ (x) = 6x2 · cos 2x3

b) f ´ (x) = 3 cos x

c) f ´ (x) =

−

−

3cos·

31 x

d) f ´ (x) = 4π · cos (4x + π)

e) f ´ (x) = - 3 sen x

f) f ´ (x) = - 6 · sen (3x) · cos (3x)

g) f ´(x) =

−

2·

21 xsen

h) f ´ (x) = - 8x3 · sen x4


12

i) f ´ (x) = x

x

ee

2cos

j) f ´ (x) = 32

32

cos·6

xxtgx

k) f ´ (x) =

4cos

42 xπ

π

l) f ´ (x) = ( )π+x2cos8

2


1. Escaleras mecánicas. Dos amigos tienen la costumbre de subir andando por la escalera mecánica del metro mientras funciona. El primero de los amigos sube 20 escaleras con su paso y tarda 60 s exactamente y el segundo tarda en subir 16 escalones con su paso, 72 s. Un día la escalera no funciona, ¿cuántos escalones tiene la escalera?

Sea x el número de peldaños desconocidos. Cuando toma el primer amigo la escalera, ésta recorre x – 20 escalones en 60 segundos, mientras que con el segundo amigo recorre x – 16 escalones en 72 segundos.

Por tanto, en 12 segundos recorre en el primer caso 5

20−x mientras que en el segundo son

616−x

.

Ambas expresiones son iguales y resolviendo la ecuación resultante:

40801205680512066

165

20=⇒−=−⇒−=−⇒

−=

− xxxxxxx

La escalera tiene 40 escalones.


13

2. El cristal. En una familia de 5 hermanos uno de ellos ha roto un cristal. Juan dice: “Ha sido Hugo o Tomás”; Hugo dice: “No hemos sido ni Esteban ni yo”; Tomás dice: “Los dos están mintiendo”; David dice: “No, uno está diciendo la verdad pero el otro no”; Esteban dice: “No, David, eso no es verdad”.

El padre, que es sincero, dice que 3 de sus hijos siempre dicen la verdad, pero que los otros dos no son de fiar. ¿Quién rompió el cristal?

Utilizamos la notación: M significa que miente y V que dice la verdad.

Recogemos toda la información en la tabla que sigue.

Si el que ha roto el cristal ha sido

Juan Hugo Tomás David Esteban

Juan M V V M M

Hugo V M V V M

Tomás M M M M V

David V V M V M

Esteban M M V M V

La única columna en la que aparecen 3 V es la de Tomás, Así pues, Tomás es el que rompió el cristal.


14

3. Triángulo espacial. Uno de los lados de un triángulo equilátero coincide con el lado de un cuadrado. Se construye un triángulo de la forma sombreada que se muestra en el dibujo.

a) Calcula la medida del ángulo inferior derecho del triángulo sombreado.

b) Sabiendo que el lado del cuadrado mide a centímetros, averigua el área del triángulo sombreado.

a) El triángulo ABC es isósceles porque AB y BC miden lo mismo. Ambos lados son iguales por construcción:

Su ángulo B está formado como suma del ángulo recto del cuadrado y el ángulo del triángulo equilátero, por tanto, mide 90º + 60º = 150º.

Si llamamos α al ángulo del triángulo ABC, teniendo en cuenta que al ser isósceles ambos son iguales, tenemos que:

2α + 150º = 180º ⇒ 2α = 180º – 150º ⇒ α = 30º : 2 = 15º

El ángulo buscado es complementario de α y mide 90º - 15º = 75º.

b) Para calcular el área del triángulo sombreado necesitamos conocer su altura ya que la base es el lado a del cuadrado. Dicha altura es la suma del lado del cuadrado y la altura del triángulo equilátero de lado a.

La altura, h, del triángulo equilátero de lado a (teorema de Pitágoras) es:

cmahahaahaah23

43

42

222

222 =⇒=⇒−=⇒

−=

La altura, H, del triángulo sombreado es aaH23

+= , es decir, cmaH2

32 += .

El área del triángulo sombreado es:

222 93,04

322

32··21 cmaAaAaaA ≈⇒

+=⇒

+=


15

4. Idiomas. En un centro de 800 alumnos, sabemos que 460 estudian inglés, 280 francés, 260 alemán, 150 estudian francés e inglés, 50 estudian francés y alemán, 80 estudian inglés y alemán y 30 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos no estudian ninguno de estos tres idiomas? ¿Cuántos estudian solo alemán?

Debemos saber que el número de elementos del conjunto BA ∪ , es decir, del conjunto de los elementos que está en A o en B es:

)(º)(º)(º)(º BAnBnAnBAn ∩−+=∪

siendo BA ∩ el conjunto de los elementos que están en A y en B.

Para tres conjuntos A, B y C se obtiene, de forma análoga:

=∪∪ )(º CBAn

)(º)(º)(º)(º)(º)(º)(º CBAnCBnCAnBAnCnBnAn ∩∩+∩−∩−∩−++=

En nuestro caso, el número de alumnos que estudian algún idioma, es decir, inglés (I), francés (F) o alemán (A) es:

=∪∪ )(º AFIn 460 + 280 + 260 – 150 – 50 – 80 + 30 = 1000 – 280 + 30 = 750

Por tanto, el número de alumnos que no estudian ninguno de los tres idiomas es:

800 – 750 = 50

Ver el esquema:

Como vemos en el dibujo hay 160 alumnos que solo estudian alemán.


16

MATEMÁTICAS de la página 320

1. Halla las derivadas de las siguientes funciones:

a) 2

32)(

+−

=xxxf b)

22)(+

=x

xg c)

+

=x

xxh1

ln)(

En la opción Cálculo Simbólico (CAS) utilizamos el comando Derivada (<Expresión>).

Tecleamos las expresiones Derivada(((x-2)/(x+3))^2); Derivada((2/(sqrt(x)+2)) y Derivada(ln((x)/(1+x)) y obtenemos las funciones derivadas que pueden verse en la imagen.

En la opción Cálculo Simbólico (CAS) utilizamos el botón:

Tecleamos las expresiones de las funciones y pulsando el botón citado obtenemos las funciones derivadas que pueden verse en la imagen.


17

2. Calcula y visualiza las derivadas de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) 42

3)(+

=x

xxf en x = 1 b) 2

)( 2 +=

xxxg en x = - 1 c) h (x) = x2 - 8x + 8 en x = 2

a) Seguimos los pasos que se describen a continuación:

- Representamos la función tecleando en el Campo de entrada f (x) = 3x/(2x+4).

- Con la herramienta Punto en objeto dibujamos un punto sobre la gráfica de la función. Movemos el punto sobre la curva hasta hacerlo coincidir con el punto de abscisa x = 1.

- Con la herramienta Tangentes y creamos la recta tangente a la gráfica en el punto anterior.

- Con la herramienta Pendiente, haciendo clic sobre la recta, dibujamos la pendiente de la recta tangente.


18

- Obtenemos el punto

=

21,1A ; con la pendiente, es decir, la derivada que vale 0,33 y la ecuación de la

recta tangente es 61

31

+= xy .

b) Seguimos los siguientes pasos:

- Representamos la función tecleando en el Campo de entrada f (x) = (x)/(x^2+2).

- Utilizamos las mismas herramientas que en el apartado anterior.

- Movemos el punto sobre la curva hasta hacerlo coincidir con el punto de abscisa x = - 1.

- Obtenemos el punto

−−=

31,1A ; con la pendiente, es decir, la derivada que vale 0,11 y la ecuación de la

recta tangente es 92

91

−= xy .


19

c) Seguimos los siguientes pasos:

- Representamos la función tecleando en el Campo de entrada f (x) = 2x^2 - 8x + 8.

- Utilizamos las mismas herramientas que en el apartado anterior.

- Movemos el punto sobre la curva hasta hacerlo coincidir con el punto de abscisa x = 2.

- Obtenemos el punto A (2, - 4); con la pendiente, es decir, la derivada que vale - 4 y la ecuación de la recta tangente es y = - 4x + 4.


20

3. Determina las rectas tangente y normal a las funciones siguientes en los puntos que se indican:

a) 1

)( 2

2

+=

xxxf en x = 2 b)

12)(

+−

=xxxg en x = 2 c) h (x) = e – x · cos x en x = 0.

Seguimos los pasos:

- En cada caso, comenzamos representando las funciones.

- Con la herramienta Punto en objeto dibujamos un punto sobre la gráfica de la función haciendo que su abscisa sea x = 2.

- Con la herramienta Tangentes y creamos la recta tangente a la gráfica en el punto anterior.

- Con la herramienta Perpendicular dibujamos la recta normal.

- En el menú Configuración de cada uno de los objetos hacemos que aparezcan como en los dibujos.

- En el apartado a) la recta tangentes es y = 0,16x + 0,48 y la normal y = - 6,25x + 13,31.


21

- En el apartado b) la recta tangentes es y = 0,33x – 0,67 y la normal y = - 3x + 6.

- En el apartado c) la recta tangente es y = - x + 1 y la normal y = x + 1.


22

ACTIVIDADES FINALES de la página 321

1. Calcula la tasa de variación media en los intervalos [-2, 3]; [0, 4] y [2, 5] para cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = 2x + 4 b) g (x) = 7x – x3 c) 6)( += xxh d) 1

2)( 2 −=

xxt

Las soluciones pueden verse en la tabla.

[- 2, 3] [0, 4] [2, 5]

a) f (x) = 2x + 4 2 2 2

b) g (x) = 7x – x3 0 - 9 - 32

c) 6)( += xxh 2,051= 18,0

4610=

− 16,0

3811=

−

d) 1

2)( 2 −=

xxt 083,0

121

−=− 53,0158

= 19,0367

−=−

2. Lanzamos verticalmente hacia arriba un balón. La trayectoria que lleva este viene dada, en metros, por la expresión f(x) = 40x - 4x2, en función de los segundos transcurridos desde su lanzamiento.

a) Representa gráficamente la función.

b) Halla la tasa de variación media desde 1 a 1,5s; desde 1 a 3s; y desde 1 a 5s.

c) ¿Qué representan estos valores en la gráfica anterior?

Las soluciones son:

a) La gráfica la podemos ver en el dibujo.

b) Las tasas de variación medias son:


23

TVM [1; 1,5] = 30 m/s

TVM [1; 3] = 24 m/s

TVM [1; 5] = 16 m/s

c) Los valores anteriores son las velocidades medias que alcanza el balón en cada uno de los intervalos citados.

3. Halla la tasa de variación media de la función y = ln x en los intervalos [1, e] y [e, e2].

Las tasas pedidas son:

5820,01

11

1lnln],1[ =−

=−−

=ee

eeTVM ; 2141,01lnln],[ 22

22 =

−=

−−

=eeee

eeeeTVM

4. La trayectoria de movimiento que sigue un cuerpo viene dada por la función f (t) = 2 t2- 4t siendo f(t) el espacio recorrido en metros y t el tiempo en segundos desde el instante en que empieza a moverse. Calcula la velocidad media entre los instantes 2,5 s y 6 s. Calcula las velocidades instantáneas en esos dos instantes.

La velocidad media entre los instantes 2,5 y 6 vale 13 m/s.

La velocidad instantánea en el instante 2,5 vale 6 m/s.

La velocidad instantánea en el instante 6 vale 20 m/s.

5. Un antibiótico determinado administrado a un enfermo hace efecto, en función de las horas desde que se empieza a tomar, siguiendo la función:

+=

8··

215,0)( tsentf π .

a) Halla la variación media del efecto de este antibiótico al cabo de 2 horas. ¿Cuál es al cabo de 4 horas?

b) ¿Aumenta o disminuye el efecto con el paso de las horas?


24

a) Las tasas de variación media del efecto son: TVM [0,2] = 0,1768 y TVM [0, 4] = 0,125.

b) En la gráfica podemos ver que en las cuatro primeras horas aumenta el efecto del fármaco, no así en las siguientes.

6. Determina, mediante la definición de derivada de una función en un punto, el valor de las derivadas de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) f (x) = 3x2 - 2; f ´ (-1) b) )2(´;1)( 2 fx

xf −= c) )7(´;34)( fxxf −=

El valor de las derivadas es:

a) f ´ (1) = - 6 b) f ´ (2) = 41 c) f ´ (7) =

52

7. En cada una de las siguientes funciones halla la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa 0 y el ángulo que esta forma con el semieje positivo de abscisas:

a) f (x) = 8 + x b) g (x) = 2 – x2 c) t (x) = 1

1+x

Los resultados pueden verse en la tabla.

Función Tangente Pendiente Ángulo con OX

a) f(x) = 8 + x y = x + 8 1 45º

b) g (x) = 2 – x2 y = 2 0 0º

c) t (x) = 1

1+x

y = - x + 1 - 1 135º


25

8. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 5 - 2x + x2 en el punto de abscisa 0.

La recta tangente en el punto P (0, 5) es 2x + y = 5.

9. Escribe las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la parábola y = 2x2 – 12x + 15 en los puntos en los de ordenada 5.

Los puntos de ordenada 5 son P (1, 5) y Q (5, 5).

Las rectas tangente y normal en el punto P (1, 5) son, respectivamente: 8x + y = 13 y x – 8y = - 39.

Las rectas tangente y normal en el punto Q (5, 5) son, respectivamente: 8x - y = 35 y x + 8y = 45.

10. ¿En qué punto de la curva 431)( 3 −= xxf la recta tangente es perpendicular a la bisectriz del

segundo y cuarto cuadrante?

La bisectriz dada tiene de pendiente -1, por tanto, la recta tangente a la gráfica de la función dada debe tener como pendiente 1 por ser rectas perpendiculares.

De modo que: f ´ (x) = x2; x2 = 1 ; x = 1 y x = -1

Hay dos puntos que verifican el enunciado y son:

−−

−

313,1

311,1 QyP .

11. ¿En qué puntos de la gráfica de la función 3212)( 32 +−= xxxf las rectas tangentes son paralelas al eje de abscisas?

El eje de abscisas tiene de pendiente 0, por tanto, la recta tangente a la gráfica de la función dada debe tener como pendiente 0 por ser rectas paralelas.

De modo que: f ´ (x) = 24x - 6x2; 24x - 6x2 = 0; x = 0 y x = 4.

Hay dos puntos que verifican el enunciado y son: P (0, 3) y Q (4 ,67).


26


12. Dada la función cuya gráfica aparece en el dibujo adjunto. Halla, de forma razonada, f ´ (2) y f ´ (-1/2).

Sea la función cuya gráfica aparece en el dibujo adjunto. Halla, de forma razonada, f ´ (2) y f ´ (-0,5).

Los valores que se piden son: f ´(2) = 0 y 27,075,31

21´ −=−=

−f

13. Dada la función f (x) = ax + b, calcula a y b, de manera que f (2) = 1 y f ´ (1) = 2.

El valor de a es 2 y el de b es -3. La función buscada es f (x) = 2x – 3.

14. Dada la función 33)( −= xxf . Halla f ´ (2) y el ángulo que la recta tangente en el punto de abscisa 2 forma con eje de ordenadas.


27

Se cumple: 332

3)(´−

=x

xf y 23

323)2(´ ==f .

Por tanto con el eje de abscisas forma un ángulo α de modo que tg α = 23 de donde α= 40º53´36´´

Con el eje de ordenadas forma el ángulo complementario β = 90º - 40º53´36´´= 49º 6´24´´

15. La gráfica en color azul corresponde a la función derivada de una determinada función f (x). Indica cuál de las gráficas, a), b) o c) se corresponde con la función f (x). Razona tu respuesta.

Se corresponde con la gráfica del apartado b).

La gráfica de f ´(x) tiene por ecuación f ´(x) = - 4x + 4, entonces f (x) = - 2x2 + 4x.

16. Halla, aplicando la definición de función derivada, las funciones derivadas de las siguientes:

a) f (x) = 5x - 7 b) f (x) = (3 – 4x)2 c) f (x) = 2 - x3 +2x d) 4)( 2 += xxf

Las funciones derivadas son:

a) f ´ (x) = 5 c) f ´ (x) = - 3x2 + 2

b) f ´ (x) = 32x – 24 d) 4

)(´2 +

=x

xxf


28

17. Determina m y p de modo que la función f(x) = mx + px2 tenga como recta tangente y = 27 – 11x en el punto de abscisa 3.

El punto de tangencia es P (3 , - 6). Imponiendo las condiciones del enunciado tenemos:

3;7693

1166)3(11)3(´

−==⇒

−=+−=+

⇒

−=−=

pmpm

pmff

18. Encuentra la función derivada de cada una de las siguientes funciones y, en cada caso, representa en un diagrama cartesiano ambas funciones:

a) f (x) = - 2/3 c) f (x) = 3x2 + 4x - 1 e) f (x) = 2

1+x

b) f (x) = 8 -2x d) f (x) = 5x3 – 10x + 3 f) f (x) = 623 2 −x

Las funciones y sus derivadas aparecen a continuación. En las representaciones las gráficas de las funciones son las líneas continuas y rojas y las gráficas de las funciones derivadas son las azules y discontinuas.

a) f (x) = 32

− y f ´ (x) = 0

b) f (x) = 8 -2x y f ´ (x) = - 2


29

c) f (x) = 3x2 + 4x – 1 y f ´ (x) = 6x + 4

d) f (x) = 5x3 – 10x + 3 y f ´ (x) = 15x2 - 10

e) f (x) = 2

1+x

y 2)2(1)(´+

−=x

xf


30

f) f (x) = 623 2 −x y f ´ (x) = 3x


19. ¿En qué punto o puntos de cada una de las siguientes funciones las rectas tangentes trazadas a las mismas por ellos tienen la misma pendiente?

a) f (x) = x3 - 3x2 + 4 b) g (x) = 9x – 6x2

Se debe verificar que: f ´ (x) = g ´ (x); es decir la ecuación 3x2 – 6x = 9 – 12x; de donde obtenemos las soluciones 1 y - 3.

Para la función y = f (x) los puntos son A1 (1, 2) y A2 (- 3, - 50), en ambos las pendientes de las rectas tangentes valen – 3 y 45, respectivamente.

Para la función y = g (x) los puntos son B1 (1, 3) y B2 (- 3, - 81), en ambos las pendientes de las rectas tangentes valen – 3 y 45, respectivamente.

20. Calcula las derivadas de las siguientes funciones potenciales:

a) D [x 3/2] f) [ ]53 xD k)

+ 15

5x

xD


31

b) [ ]45xD g)

−4

12xD l)

+−

2

2

22

xxD

c) D [5x2 + 4 x - 1] h) D [(x - 2x2)3] m) ( )

−+324 23

4xx

D

d)

+− 4

25

43 24 xxD i) ( )[ ]23 12·7 −xxD n) [ ]254 xD −

e)

3

5x

D j)

− 52

3x

D o)

+

−223

1x

D

Las derivadas son:

a) D [x 3/2] = (3/2)x1/2 i) ( )[ ]23 12·7 −xxD = (2x – 1) · (70x3 - 21x2)

b) D [5 x 4] = 20 x3 j)2)52(

652

3−

−=

− xx

D

c) D [5x2 + 4 x - 1] = 10x + 4 k)( )215

515

5+

=

+ xxxD

d)

+− 4

25

43 24 xxD = 3 x3 – 5x l)

( )222

2

28

22

xx

xxD

+

−=

+−

e) 43

155xx

D −=

m)

( ) 424

3

324 )23(7248

234

−+−−

=

−+ xxxx

xxD

f) [ ]5 4

5

533x

xD = n) [ ]254 xD − = 254

5x

x−

−


32

g) 24

12 xxD =

− o) 222 23)23(

2231

xxx

xD

++=

+

−

h) D [(x - 2x2)3] = 3 · (1 – 4x) · (x – 2x2)2

21. Calcula las derivadas de las siguientes funciones exponenciales:

a)

45x

D c) [ ]xx eeD −− e)

−

4

2xeD

b) D [2 · 32x] d) [ ]xxD 53 3·5 f) D [(e2x + 1)4]

Las derivadas son:

a) 44 5·4

5ln5xx

D =

d) [ ] xxxxD 5353 3·5·)3ln55ln3(3·5 +=

b) D [2 · 32x] = 4 · ln 3 · 32x e) xx

eeD 22

21

4−

−

−=

c) [ ] xxxx eeeeD −− +=− f) D [(e2x + 1)4] = 8 · e2x · (e2x + 1)3

22. Calcula las derivadas de las siguientes funciones logarítmicas:

a) D [ln (7x2 - 1)] d) [ ]94ln 3 −xD g) D[ln (ln x)]

b) D [ln (2 – x3)2] e) D [log3 (x2 - 1)] h) ( )[ ]22 9·ln xxD −

c) D [ln (ex · 2x)] f)

+−

xxD

5252ln g)

+−

11ln

xxD

Las derivadas son:


33

a) D [ln (7x2 - 1)] = 17

142 −x

x f) 425

205252ln 2 −

=

+−

xxxD

b) D [ln (2 – x3)2] = 3

2

26

xx−

− g) D [ln (ln x)] = xx ln·

1

c) D [ln (ex · 2x)] = x

x 1+ h) ( )[ ] 3

222

93189·lnxxxxxD

−−

=−

d) [ ]94

694ln 3

23

−=−

xxxD i)

)1(·1

11ln

−=

+

−

xxxxD

e) D [log3 (x2 - 1)] = )1(·3ln

22 −x

x

23. Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y sus inversas:

a) D [sen 3x] g) D [cos x- 4] m) D [tg 3x]

b) D [3 sen x] h) D [cos (x + π)] n) [ ]xtgD

c)

3xsenD i) D [cos2 (2x3 + 1)] ñ) D [tg3 (x +1)]

d)

xsenD 3 j) [ ]3 3xsenD o) D [arcos (ln x)]

e) D [sen x3] k) D [tg (x2 + 2)] p) D [arcsen (x - 3)2]

f) D [sen3 x] l) [ ]xtgD q) [ ]xtgarcD 4

Las derivadas son:


34

a) D [sen 3x] = 3 · cos (3x) j) [ ] )3(cos·)3(3 32

3 xxsenxsenD −=

b) D [3 sen x] = 3 · cos x k) D [tg (x2 + 2)] = 2x + 2x · tg2 (x2 + 2)

c)

=

3cos

31

3xxsenD l) [ ]

xtgxtgxtgD

21 2+

=

d)

−=

xxxsenD 3cos·33

2 m) D [tg 3x] = ln 3 · 3x · [1 + tg2 (3x)]

e) D [sen x3] = 3x2 · cos x3 n) [ ]x

xtgxtgD2

1 2+=

f) D [sen3 x] = 3 · sen2 x · cos x ñ) D [tg3 (x +1)] = 3 · tg2 (x + 1) · 3 · tg4 (x + 1)

g) D [cos x- 4] = 4 · x- 5 · sen x- 4 o) D [arcos (ln x)] = xx 2ln1

1−

−

h) D [cos (x + π)] = - sen (x + π) p) D [arcsen (x - 3)2] = 4)3(1

)3(2−−

−

xx

i) D [cos2 (2x3 + 1)] = - 12x2 · cos (2x3 + 1) · sen (2x3 + 1) q) [ ])41(

14xx

xtgarcD+

=


35


24. Calcula las derivadas que se indican:

a) )1(;2

41)(

4

fDx

xxf

+= c) h (x) = sen2 3x – cos2 3x; D h (π)

b) [ ] )0(;8ln)( 2 gDxxxg ++= d) )0(;1

)( jDe

exj x

x

+=

Los valores de las derivadas son:

a) 42

4

412

14)(´xx

xxf+

−= D f (1) =

1053

b) 28

1)(´x

xg+

= D g (0) = 88

c) h ´ (x) = 12 · cos 3x · sen 3x D h (π) = 0

d) 2)1()(´

+= x

x

eexj D j (0) = 1/4

25. Halla a, en la función f(x) = 2

2

xaxa

−+ , de modo que se verifique f ´ (2) = 1.

La derivada de la función es ( )22

4)(´xa

axxf−

= y f ´(2 ) = ( )24

8−aa .

Por tanto: ( )24

8−aa = 1 348 ±=⇒ a


36

26. Calcula, simplificando lo más posible los resultados, las siguientes derivadas:

a) ( )[ ]xxD +− 11 j) D [(x2 + 1)2 · e2x] r) D [xa · ax · ea x]

b) [ ]3 5 43 +xD k) [ ])14(ln 2 −xxD s) D [sen4 x3 · cos3 x4]

c)

−+

1212

2

2

xxD l) [ ]8)2(·ln·2 xxD x t)

+−

xx

Dcos1cos1

ln

d) D [(7x2 - 3).(5x - 4)5 ] m) D [x2 ln x + x ln x2] u) ( )[ ]π−xtgD 22

e) D [ln 6 · 6x ] n) D [ln (e- x – 2x6] v)

+−

11

xxarctgD

f) [ ]xxD 53·5 + ñ)

+

++ xx

D1

1ln1

1 w)

−+

xsenxsen

D11

g)

+ 44x

xD o) D [sen 7x · 72x] x)

+ 9ln

2xxD

h)

xeD

x2

p) D [ln (ln sen x)] y)

− 21 xxarcsenD

i)

x

xD 2

2

3 q)

− 22cos2.2

xxsenD z)

++

−+

xx

xxD

1

1ln

2

2


37

Las derivadas son:

a) ( )[ ]xxxxD

+−−

=+−12

3111

b) [ ]3 25

43 5

)43(543+

=+x

xxD

c) 222

2

)12(8

1212

−−=

−+

xx

xxD

d) D [(7x2 - 3).(5x - 4)5 ] = (245x2 – 56x – 75) · (5x – 4)4

e) D [ln 6 · 6x ] = (ln 6)2 · 6x

f) [ ]x

xxxxxD

5325·5ln53·5·5ln53·5

2

+++=+

g) ( )24

84

4

+=

+ xxxxD

h) 2

2 )12(·22

xxe

xeD

xx −=

i) xx

xxxD 2

2

2

2

3·3ln·22

3−

=

j) D [(x2 + 1)2 · e2x] = 2 (x2 + 1) · ex · (x + 1)2


38

k) [ ]xx

xxxD−−

=− 22

416)14(ln

l) [ ] ( ) ( ) 3888 1024·ln·22·222"·ln·

22·ln2)2(·ln·2 xxx

xxx

xxxD x

xxx ++=

m) D[x2 ln x + x ln x2] = (2x + 2) · ln x + (x + 2)

n) D [ln (e- x – 2x6] = x

x

exxe−

−

−+

6

5

212

ñ) 2)1(2

11ln

11

xx

xxD

++

−=

+

++

o) D [sen 7x · 72x] = 72x · [7 · cos (7x) + 2 · ln 7 · sen (7x)]

p) D [ln (ln sen x)] = )(ln

cotxsenxg

q) 2)2)2((cos)2(cos·84

22cos2.2

−−

=

− xx

xxsenD

r) D [xa · ax · ea x] = xa – 1 · ax · eax · [a + x · ln a + ax]

s) D [sen4 x3 · cos3 x4] = 12x2 · sen3 (x3) · cos (x3) · cos3 (x4) – 12x3 · sen4 (x3) · cos2 (x4) · sen (x4)

t) xsenx

xD 2

cos1cos1

ln =

+−

u) ( )[ ] )]2(1[·)2(42 22 πππ −+−=− xtgxtgxtgD


39

v) 211

11

xxxarctgD

+=

+−

w) xsenxsen

xxsenxsen

xsenxsen

D−

=−+

−=

−+

11

)1(cos

·11

11

2

x) xxx

xD9

99

ln 32 +=

+

y) )1(21

11 222 xxx

xarcsenD−−

=

−

z) 1

21

1ln

22

2

+−=

++

−+

xxx

xxD

27. Lanzamos una pelota. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos viene dada por la expresión ( ) 2324 ttth −= .

a) Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo [2, 4].

b) ¿En algún momento la velocidad de la pelota ha sido de 12 m/s? ¿A qué altura sucedió?

a) La velocidad media en el intervalo [2, 4] fue de 6 m/s.

b) La velocidad de la pelota fue de 12 m/s en el instante t = 2; esto sucedió a la altura de 12 m.

28. Comprueba que la función y = eax · sen bx verifica la igualdad 2a y ´ - y´´ = (a2 + b2) · y

La demostración queda:

Sea la función y = eax · sen bx , derivamos e introducimos en la expresión a demostrar.

y ´ = a · eax · sen bx + b · eax · cos bx ⇒ y ´´ = a2 · eax · sen bx + 2ab · eax · cos bx – b2 · eax · sen bx


40

Introducimos las derivadas en la expresión a demostrar:

2a y ´ - y´´ = a2 · eax · sen bx + b2 · eax · sen bx = (a2+ b2) · eax · sen bx = (a2 + b2) · y


29. Dada la función xexf 3)( −= , calcula f (10) (x).

La derivada pedida es f(10) (x) = 310 · e – 3x

30. Calcula los valores de x para los cuales D [f (x)] > 0, siendo f (x) = x3 – 6x2 + 12.

La derivada es positiva para los valores de x pertenecientes a ( ) ( )∞+∪∞− ,40, .

31. Calcula f (2016) (x) para la función f (x) = ln (x – 1).

La derivada enésima es ( ) ( )n

nn

xnxf

)1(!11)( 1)(

−−

−= + . Por tanto, 2016

)2016(

)1(!2015)(

−−=

xxf

32. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la cónica x2 – 8x – 2y + 12 = 0 en el punto de abscisa 8.

La recta tangente en el punto (8, 6) es 4x – y = 26.

33. Halla la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 4x2 – y2 = 4 en el punto ( )4,5 .

La recta tangente es 15 =− yx .


41

34. Halla el punto de la curva 2

4+

=x

y en el cual la recta tangente es perpendicular a la recta y = x.

La pendiente de la recta dada es m = 1.

Hallamos la derivada de la función dada: ( )22

4´+−

=x

y

Para que se cumplan las condiciones del enunciado, se debe verificar que:

( )1

24

2 −=+−

x; x2 + 4x = 0 ⇒ x= 0 ; x = -4

Los puntos pedidos son: (0, 2) y (- 4, - 2).

35. En la gráfica hemos representado la función f(x) = 3x2 – x3 + 2. Halla:

a) Los puntos en los que la derivada es nula.

b) Los intervalos en los que la derivada es positiva y los intervalos en los que es negativa.

a) La derivada es nula en los puntos en los que la recta tangente es paralela al eje de abscisas y estos son: (0, 2) y (2, 6)

b) La derivada es positiva en el intervalo (0, 2) y es negativa en ),2()0,( ∞+∪−∞

36. Dada la función 1

11

1)(−

−+

=xx

xf . Halla la derivada de orden 2020 de esta función.


42

( ) ( )22 11

11)(´

−−

−+−

=xx

xf

( ) ( )33 12

12)(´´

−−

+=

xxxf

( ) ( )44 16

16)(´´´

−−

−+−

=xx

xf

Por tanto: ( )( )

( )( ) 11

(

1!·1

1!·1)( ++ −

−−

+−

= n

n

n

nn

xn

xnxf y

( ) ( )202120212020(

1!2020

1!2020)(

−−

+=

xxxf

37. Halla los puntos de corte de la gráfica de la función 2

1)(x

xf = con la recta tangente en el punto

de ordenada 1/4 y abscisa positiva.

La recta tangente en el punto P (2, 1/4) tiene por ecuación x + 4y – 3 = 0.

Resolviendo el sistema

=−+

=

034

12

yxx

y Obtenemos los puntos: (2, 1/4); (- 2, 1/4) y (- 1, 1).

38. Halla la derivada de la función

+−

=1)3(1)3(ln)(

xsenxsenxf simplificando al máximo el resultado.

La derivada es f ´ (x) = )3(cos

6x

−

39. Encuentra la función cuadrática cuya gráfica tiene una tangente en el punto de abscisa (- 2) que forma un ángulo de 45º con el eje OX y en el punto P(1, 3) tiene una tangente de pendiente 13.

La función es f(x) = ax2+ bx + c.


43

Se debe verificar:

−===

⇒

=+=++=+−

⇒

==

=−

892

132314

13)1´(3)1(

1)2(´

cba

bacbaba

fff

La función buscada es: f (x) = 2x2 + 9x – 8.

40. Los fármacos anestésicos se utilizan para bloquear la sensibilidad al dolor de un paciente que va a ser intervenido quirúrgicamente. Su efecto comienza cuando estos llegan a la sangre y se van eliminando con el paso de las horas. Uno de estos fármacos permite ajustar su evolución a la función f (t) = 680 · 0,25t, siendo f(t) la cantidad de anestésico en sangre en miligramos y t el tiempo en horas. Responde a las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué dosis inicial de anestésico se administró al paciente?

b) ¿Cómo fue la variación media de efecto durante la primera hora? ¿Y durante la cuarta hora?

c) ¿Cuál fue la variación del efecto del anestésico en el instante t = 1,5 horas?

d) Si consideramos que cuando queda un 1% de la dosis inicial de anestésico en sangre desaparece su efecto, ¿cuánto tiempo tarda este en desaparecer?

a) La dosis inicial fue de f.(0) = 680 mg.

b) Las tasas de variación media del efecto son: TVM [0,1] = -510 mg y TVM [3, 4] = - 7,97 mg.

c) En el instante t= 1,5 la variación fue f ´(1,5) = 680 · 0,251,5·ln 0,25= - 117,84 mg

d) Resolvemos la ecuación 680 · 0,25t = 6,80 y obtenemos t = 3,32 h. Es decir al cabo de 3,32 h la cantidad de anestésico en sangre se ha reducido a 6,80 mg, un 1% de la dosis inicial.


44


41. Halla las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia de ecuación x2 + y2 + 6x + 8y - 27 = 0 en el punto de abscisa 1.

Hay dos puntos de coordenadas con abscisa 1: P (1, 2) y Q (1, - 10).

Hallamos la pendiente de todas las rectas tangentes a esta circunferencia:

2x + 2yy´ + 6 + 8y´ = 0 43´

++

−=⇒yxy

● La recta tangente en P es: 38

32)1(

322 +−=⇒−−=− xyxy .

● La recta tangente en Q es: 3

3232)1(

3210 −=⇒−=+ xyxy .

42. Dada la función y = mx2 + nx + 3 averigua el valor que deben adoptar m y n para que la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto (1, 4) tenga por ecuación 2x + y - 6 = 0.

Los valores son m = - 3 y n = 4 y la función será y = - 3x2 + 4x + 3.

43. Un agricultor recibe un camión de humus para la huerta. La descarga del humus se hace a una velocidad de 0,3 m3 /min. Al caer al suelo, el humus forma un cono de altura igual al radio de su base. ¿A qué velocidad sube el vértice del cono si la altura es de 1,75 m?

Llamamos h a la altura del cono y r al radio de la base. El volumen vendrá dado por hrV ··31 2π= .

Hemos de calcular dh/dt cuando h = 1,75 m y dV/dt = 0,3.

Como h = r obtenemos 3·31 hV π= . Derivando obtenemos: .·· 2

dtdhh

dtdV π=

De donde 275,1·

3,0π

=dtdh = 0,031 m/min.


45

44. En una piscina de un parque acuático hay un tobogán que comienza con un tramo recto seguido de uno curvo. El tramo recto responde a la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (0, 9) y Q (2, 5). El tramo curvo tiene forma de parábola, con una tangente horizontal en la superficie del agua en el punto (7, 0) y unida en Q al tramo recto. Halla la ecuación de la parábola y de la recta.

La recta tiene por ecuación y = - 2x + 9 y la parábola y = 0,2 x2 – 2,8 x + 9,8.

45. Un coche estacionado en un aparcamiento deja en el suelo una mancha circular de grasa que va creciendo. El radio de la mancha, en centímetros, en función del tiempo t, en minutos, desde que cayó la mancha de grasa, viene dada por la siguiente función:

( )1256

3

3

++

=t

ttR

a) ¿Cuánto tiempo ha pasado hasta que la mancha forma un círculo de radio cinco veces el inicial?

b) Expresa la tasa de variación del radio respecto al tiempo.

c) Cuando R = 4 cm ¿cuál es la tasa de variación del área de la mancha?

a) El radio inicial es R (0) = 0,5 cm. Para que el radio sea de 2,5 cm han de pasar 2,13 minutos.

b) La tasa de variación del radio respecto al tiempo viene dada por ( )23

2

12

·162

+=

t

tdtdR .

c) El área de la mancha es A (t) = π · R2 y ( )23

2

3

3

12·162·

1256·2

+++

=t

tt

tdtdA π y para R = 4; t = 3,48 minutos y

la tasa de variación del área de la mancha es 16,83 m2/min.

46. Un enjambre de avispas crece según la función

N (t) = 200 (e0,3 · t + 2)

siendo t el tiempo en días. Halla:

a) El número inicial de avispas.

b) La tasa de crecimiento de esta población de avispas al cabo de 5 días.

c) ¿En qué instante la tasa de crecimiento es de 13 284,38 avispas por día?


46

a) N (0) = 600 avispas.

b) Hallamos N ´ (5); N´ (t) = 60 · e0,3t; N´ (5) = 268,9 avispas/día.

c) Hallamos t para que N´ (t) = 13284,38 y obtenemos t = 18 días.

47. El ángulo que forman dos curvas que se cortan en un punto P viene dado por el ángulo que forman sus respectivas tangentes en ese punto P.

En la gráfica de esta página están representadas las funciones:

y = x2 + 2 e y = x3 –x2 + x

y sus tangentes en el punto de corte P.

a) Halla el punto de corte P.

b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes en ese punto P y el ángulo que estas forman.

a) Estas funciones se cortan en el punto P (2, 6).

b) La recta tangente a la primera curva en el punto P tiene por pendiente m1 = 4 y por ecuación y = 4x - 2.

La recta tangente a la segunda curva en el punto P tiene por pendiente m2 = 9 y por ecuación y = 9x – 12.

c) Hallamos el ángulo que forman estas rectas con la fórmula:

21

21

·1 mmmmtg

+−

=α y obtenemos α = 7,70º.


47

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN de la página 327

Matemáticas y ciclismo

El ciclismo es un deporte con múltiples aspectos relacionados con las matemáticas. Veamos algunos de ellos.

La bicicleta está llena de figuras geométricas que se pueden describir y dibujar. Los elementos principales son los piñones, los platos, las ruedas y el ordenador en ruta. ¿Qué tipos de piñones se fabrican? ¿Qué tipos de platos? ¿Cuántas velocidades (marchas) pueden tener una bicicleta? ¿Por qué existen ruedas diferentes? El ordenador en ruta, ¿qué mide?, ¿en función de qué variables realiza las mediciones?

La velocidad de una bicicleta depende del tipo de plato y de piñones usados y se rige por estos principios:

● Con un mismo número de pedaladas, con un plato grande se recorre una distancia mayor que con un plato pequeño.

● Con un mismo número de pedaladas, con un piñón grande se recorre una distancia menor que con un piñón pequeño.

Analiza las distintas velocidades que utiliza un ciclista según las características del terreno que recorre.

Estudio de los perfiles de etapas: tasas de variación, porcentajes de las pendientes, pendientes medias, pendientes máximas, velocidad media, rampas máximas que han subido los profesionales, comparación de perfiles.

Evolución histórica del “record de la hora”: tiempos empleados, velocidades medias parciales y total, gráficas del desarrollo de la prueba, comparación de gráficas, rendimiento de los ciclistas, etc.

Ofrecemos bibliografía sobre la relación entre matemáticas y ciclismo.


48

CORBALÁN, Fernando. (201) Matemáticas de cerca. Graó. Barcelona.

ORTEGA, Tomás. (2005). Conexiones matemáticas. Graó. Barcelona.

SORANDO MUZÁS, J. M. (2012) Matemáticas y deporte. Sugerencias para el aula. Revista Números. Volumen 80.

SORANDO MUZÁS, J. M. http://catedu.es/matematicas_mundo/

http://plataformarecorridosciclistas.org/2009/11/22/rampas-maximas-superadas-en-competicion/

http://catedu.es/matematicas_mundo/

http://plataformarecorridosciclistas.org/2009/11/22/rampas-maximas-superadas-en-competicion/

CUESTIONES INICIALES de la página 302 · Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS...

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