CUESTIONES INICIALES de la página 226Matemáticas I - UD 10: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES...

Matemáticas I - UD 10: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES SOLUCIONARIO

1

CUESTIONES INICIALES de la página 226

1. Hay una cierta variedad de nenúfares que crecen de forma exponencial, de modo que cada día aumentan un 8% su superficie. Suponiendo que uno de estos nenúfares el día 1 de julio tiene una superficie de 1 cm2, ¿qué superficie ocupará al terminar este mes?

El día 31 de julio ocupará una superficie de 1· 1,0830 = 10,06 cm2

2. Representa gráficamente la función y = f(x) que se ajuste a las siguientes características: Dom f = R – {0}, Im f = R – (-4, 4), simétrica respecto al origen de coordenadas, estrictamente creciente en ( ) ( )∞+∪−∞− ,22, y mínimo relativo en el punto (2, 4).

La gráfica buscada podría ser la siguiente:

3. Describe las características (dominio, recorrido, simetría, acotación, extremos relativos, periodicidad y tendencia) de cada una de las funciones representadas gráficamente:

Las características de las funciones aparecen en la tabla.


2

ACTIVIDADES de la página 229

1. Estudia el dominio de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2

42 −x d) f(x) = xx 2·

b) f(x) = 24

4x−

e) f(x) = ( )22ln xx −

c) f(x) = 63 +x f) f(x) = tg (x + π)

Las soluciones son:

a) Dom f = R d) Dom f = R

b) Dom f = R – {2, -2} e) Dom f = (0, 2)

c) Dom f = [ )∞+− ,2 f) Dom f =

+

−+− ππππ kkR

2,

2

Características a) b) c)

Dominio R R R

Recorrido [ )∞+,0 [- 1, 1] R

Simetría Eje OY Origen de coordenadas No tiene

Acotación Acotada inferiormente Acotada No acotada

Extremos relativos

Mínimos en

(- 2, 0) y (2, 0)

Máximo en (0, 4)

Máximos en

+ 1,

4ππ k con k ∈ Z

Mínimos en

+ 1,

43 ππ k con k ∈ Z

Mínimo en (0, - 1)

Máximo en (2, 3)

Periodicidad No tiene Periodo T = π No tiene

Tendencias ∞+→⇒∞−→ )(xfxSi

∞+→⇒∞+→ )(xfxSi

No tiene

∞+→⇒∞−→ )(xfxSi

∞−→⇒∞+→ )(xfxSi


3


2. Describe la monotonía de las siguientes funciones dadas por su representación gráfica

La primera función es creciente en ( ) ( )∞+∪−∞− ,11, y decreciente en (-1, 1).

La segunda función es creciente en ( ) ( )∞+∪ ,32,0 y decreciente en ( ) ( )3,20, ∪∞− .


3. Estudia, en cada una de las siguientes funciones el dominio, el recorrido, la monotonía, la acotación y la existencia de extremos absolutos.

a) b)


4

c)


Características a) b) c)

Dominio ( ) ( )∞+∪ ,11,0 R R

Recorrido R – {0} [- 2, 2] (0, 3]

Monotonía Decreciente en ( ) ( )∞+∪ ,11,0

Creciente en ( ) ( )∞+∪−∞− ,22,

Decreciente (-2, 2)

Creciente en ( )0,∞−

Decreciente ( )∞+,0

Acotación No acotada Acotada Acotada

Extremos absolutos

No tiene

Máximo 2

Mínimo -2

Máximo 3

Mínimo no tiene


5


4. Estudia la simetría y la periodicidad de las siguientes funciones:

a) b)

c)

La gráfica a) es simétrica respecto al origen de coordenadas y periódica de periodo 2π.

La gráfica b) es simétrica respecto al origen de coordenadas y periódica de periodo π.


6

La gráfica c) es simétrica respecto al eje de ordenadas y periódica de periodo 2π..

5. Analiza la simetría de las siguientes funciones:

a) f (x) = x4 – 2x2 b) g (x) = x3 – x c) h (x) = x2 + 4x + 3

a) Esta función f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas.

b) Esta función g(x) es simétrica respecto al origen de coordenadas.

c) Esta función h(x) no presenta simetrías, ni es par ni impar.


6. Dadas las funciones f(x) = x

x−22 , g(x) =

x4 y h(x) =

24+x

, calcula:

a) (f o g) (x) b) [g o (f + h)] (x) c) (h o h) (- 1) d) ((f / g) o g) (x) e) (g o g o g) (x)

Los resultados de las operaciones son:

a) (f o g) (x) = 2

4−x

b) [g o (f + h)] (x) = 4

282

2

+−

xx

c) (h o h) (- 1) = 32

d) ((f / g) o g) (x) = xx 2

42 −


7

e) (g o g o g) (x) = x4

7. Sea la función f(x) = x

x 1− . Halla la función f o f o f. ¿Qué función obtienes?

Componiendo la función f, tenemos: (f o f o f) (x) = x. Se obtiene la función identidad.


8. Dadas las funciones f(x) = x

x−−

42 y g(x) =

1242

+−

xxx , halla:

a) (f – g) (x) b) (f 2) (x) c) )(1 xg

d) (g · f) (x)

Los resultados de las operaciones son:

a) (f – g) (x) = 472

21362

23

++−−+−

xxxxx

b) (f 2) (x) = 16844

2

2

+−+−

xxxx

c) )(1 xg

= xx

x412

2 −+

d) (g · f) (x) = 12

2 2

+−

xxx

9. Halla la función inversa de la función f(x) = x

x21

43−+ y comprueba que se verifica la siguiente

propiedad:

(f o f - 1) (x) = (f -1 o f ) (x) = x


8

La función inversa de y = f (x) es f - 1 (x) = x

x234

+−

Fácilmente se comprueba la igualdad:

xx

xxx

x

xfof ==

+−

−

+

+−

=−

1111

23421

42343

))(( 1 y xx

xx

xx

xfof ==

−+

+

−−+

=−

1111

214323

421

43

))(( 1


1. Herencia. Un mercader estando enfermo hizo testamento, dejando cierto número de hijos y cierta cantidad de ducados como hacienda. Ordenó que al hijo primero le diesen la sexta parte de la hacienda y 300 ducados más, al segundo la sexta parte del dinero restante y 600 ducados más, al tercero la sexta parte del dinero restante y 900 ducados más, y con este orden a los demás hijos, dando siempre a cada uno la sexta parte del dinero restante y 300 ducados más que al anterior. Muere el padre, parten la hacienda y comprueban que tanto correspondió al uno como al otro. Averigua cuántos hijos dejó el padre, cuánta hacienda y cuánto correspondió a cada uno.

Aunque el problema tiene una resolución sencilla utilizando álgebra (se verá posteriormente), vamos a resolverlo utilizando la estrategia de “ensayo y error dirigido”.

Del enunciado se desprende que la hacienda es un número múltiplo de 6; además de ser mayor que 300.

Supongamos que la hacienda es de 600 ducados. Al primer hijo le corresponderá:

4003006

600=+ .

Quedan 200 ducados. Al calcular la sexta parte y sumar 600 ducados, obtenemos:

60033,6336

38006006

200>==+

La cantidad obtenida, 633,33 ducados, supera a 600 y, por tanto, la hacienda es más de 600 ducados.


9

Se repite el procedimiento con 3000, 6000 y 9000 ducados.

● Para 3000 ducados:

Hijos Dinero que reciben Dinero que queda

1º 8003003000·

61

=+

2200

2º 67,9666002200·

61

=+

1233,33

3º 56,110590033,1233·

61

=+

127,74

4º 30,1221120074,127·

61

=+

- 1093,56



1º 13003006000·

61

=+

4700

2º 33,13836004700·

61

=+

3316,67

3º 78,145290067,3316·

61

=+

1853,89

4º 98,1508120089,1853·

61

=+

344,91

5º 48,1557150091,344·

61

=+

- 1212,57



10


1º 18003009000·

61

=+

7200

2º 18006007200·

61

=+

5400

3º 18009005400·

61

=+

3600

4º 180012003600·

61

=+

1800

5º 180015001800·

61

=+

0

El mercader tenía 5 hijos y cada uno recibió 1800 ducados de los 9000 que había en total.

Veamos la resolución algebraica del problema.

Llamando x al número total de ducados, al primer hijo le corresponderá ducadosx 3006+ y al segundo hijo

ducadosx 60030065·

61

+

− .

Como a todos los hijos les correspondió lo mismo, se cumplirá:

60030065·

61300

6+

−=+ xx

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene x = 9000 ducados.

A partir de este valor el reparto se realiza tal y como aparece en la última tabla.


11

2. Suma de cubos. Encuentra los números de tres cifras que cumplan la misma condición que 153, es decir:

153 = 13 + 33 + 53

Utilizamos la estrategia de ensayo y error dirigido. Tenemos que ver si alguno de los 900 números de tres cifras cumple:

abc = a3 + b3 + c3

Tenemos presente los cubos de los diez dígitos:

Cifras 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cubos 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729

Comenzamos con los números 10c con c = 0, 1, 2, …, 9 y vemos que ninguno lo cumple.

Seguimos con los números 11c, 12c, 13c y 14c, viendo que ninguno cumple la condición.

Estudiando los números de la forma 15c y vemos que el único que cumple la condición es el número 153, que aparece en el enunciado.

Seguimos ensayando con los siguientes números, desechado muchos de ellos y puede verse que los únicos números que cumplen la condición del enunciado son 370, 371 y 407:

370 = 33 + 73 + 03 = 27 + 343 + 0

371 = 33 + 73 + 13 = 27 + 343 + 1

407 = 43 + 03 + 73 = 64 + 0 + 343


12

3. Las tres primas y los tres primos. Una abuela tenía tres nietas hermanas y tres nietos hermanos. Un día los reunió a todos en casa y anunció que destinaría a cada pareja primo-prima una dote igual a sus respectivos pesos en oro. Se pesaron todas las nietas juntas y la báscula marcó 180 kg. Sin embargo, Ángela pesaba 5 kg más que Berta, y Carmen pesaba 5 kg más que Ángela. Uno de los nietos, Darío, pesaba lo mismo que su prima compañera, Ernesto pesaba la mitad que su prima compañera y Felipe, el pesaba el doble que su prima compañera. Las nietas y nietos juntos pesaban 395 kg. ¿Qué tres parejas primo-prima formaron los nietos y nietas de la abuela?

Este problema tiene dos partes, y ambas podrían resolverse mediante ensayo y error.

La primera parte es el peso de las tres nietas. Aunque estos pesos pueden calcularse aplicando la estrategia de ensayo y error dirigido, con un poco de reflexión podríamos conocer los pesos de estas.

Como los pesos de las nietas difieren sucesivamente en 5 kg, podemos dejar que Carmen ceda 5 kg a Berta (provisionalmente), y las tres pesarán 60 kg (180 entre 3). Después hacemos que Berta devuelva los 5 kg a Ángela, con lo que los pesos de las novias son:

Berta = 55 kg Ángela = 60 kg Carmen = 65 kg.

La segunda parte consiste en emparejar los pesos de los tres primos a los de las tres primas de manera que todos juntos sumen 395 kg de peso.

Como no tenemos información que nos permita hacer algún emparejamiento fijo, comenzamos intentando emparejar al primo más pesado (con respecto a su novia) con la prima menos pesada, y al primo menos pesado, con la prima más pesada.

Esto une a Felipe con Berta, Darío con Carmen y a Ernesto con Ángela. Si hacemos esto comprobaremos que el peso total (65 + 65 + 60 + 30 + 55 + 110 = 385 kg) no llega a los 395 kg exigidos.

El resultado anterior nos indica que debemos buscar una combinación que incremente el total, como, por ejemplo, el primo más pesado con la prima más pesada y el primo menos pesado con la prima menos pesada.

Las uniones son ahora, Darío con Berta, Felipe con Carmen y a Ernesto con Ángela. Si hacemos esto comprobaremos que este emparejamiento es la solución ya que el peso total es:

55 + 55 + 60 + 30 + 65 + 130 = 395 kg.

Por tanto, Darío se emparejo con Berta, Ernesto con Ángela y Felipe con Carmen.


13

4. Cortando una hoja. Mediante un corte recto se quita una esquina de una hoja rectangular y nos queda un pentágono de lados 13, 19, 20, 25 y 31 aunque no necesariamente en ese orden. ¿Cuánto mide el área del pentágono?

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA

Comenzamos haciendo un dibujo de la situación descrita en el enunciado, que puede verse en el margen. Asignamos letras a los segmentos del pentágono y del triángulo que ha desaparecido en la esquina debido al corte realizado.

Observamos que a, b, c, d, e son los datos y x e y son incógnitas. Además las posibilidades de distribución de las longitudes de los lados del pentágono son muchísimas y no tendría sentido hacer un estudio exhaustivo de todas ellas.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS

Tenemos que centrarnos en las soluciones de las ecuaciones del tipo:

x2 + y2 = (longitud lado)2

Estas soluciones son las llamadas ternas pitagóricas: números enteros que expresan la medida de los lados de un triángulo rectángulo como por ejemplo, 3, 4 y 5 al cumplirse 32 + 42 = 52.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA

Analizamos las ternas pitagóricas con los valores más pequeños posibles y de forma que los valores de x, y, d sean primos entre sí (en la tabla del margen aparecen algunas de ellas).

Los números 19 y 31 no pueden ser las longitudes del lado d porque no hay ninguna terna pitagórica de la forma (x, y, 19) o (x, y, 31). De aquí se deduce que el lado mayor necesariamente es b = 31.

Las ternas posibles con 13, 20 y 25 son:

● Con d = 13, entonces a = 25, c = 25 – 5 = 20 y e = 31 – 12 = 19.

● Con d = 20, será a = 25, c = 25 – 12 = 13 y e = 31 – 16 = 15, que no es posible.

x y d

3 4 5

5 12 13

7 24 25

8 15 17

9 40 41

11 60 61

12 35 37

13 84 85

15 112 113


14

● Con d = 25, tendremos a = 20, c = 20 – 15 = 5, que no es posible.

● Con d = 25, será a = 20, c = 20 – 7 = 13, y e = 31 – 24 = 7, que no es posible.

Por tanto, la única posibilidad es la primera, es decir:

x = 5, y = 12, a = 25, b = 31, c = 20, d = 13, e = 19

y el área de la región pedida será la diferencia entre el área del rectángulo y la del triángulo rectángulo de la esquina.

27453077512·5·2131·25 uÁrea =−=−=

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL

La idea clave en la resolución de este problema ha sido darnos cuenta que algunas de las cantidades del enunciado no forman parte de ninguna terna pitagórica. ¿Podemos enunciar problemas análogos cambiando las longitudes de los lados del pentágono.


1. Representa las siguientes funciones:

a) f(x) = - x2 + 12 x - 36 b) g(x) = ex + 5 c) h(x) = ln (2x - 5)

a) Introducimos en la pantalla que aparece después de pulsar la tecla la expresión:

-X^2 + 12 * X - 36


15

Pulsamos la tecla para representar la función, y modificamos las opciones de la pantalla con la tecla Obtenemos la gráfica del dibujo.

b) Procediendo como en el apartado anterior y tecleando e^(X+5), obtenemos:

c) Procediendo como en los apartados anteriores y tecleando ln(2*X-5), obtenemos:


16

2. Visualiza y halla los puntos de corte con el eje OX y los extremos relativos de las funciones:

a) f (x) = 2 + x - 2x2 – x3 b) g (x) = 11

2

2

+−

xx

c) h (x) = x2 · ex

a) Representamos la función f (x) = 2 + x - 2x2 – x3 y con las opciones del menú que ofrece la tecla obtenemos, como vemos en la imagen, que la función tiene tres cortes con OX en los puntos (- 2, 0); (- 1, 0) y (1, 0); un máximo relativo en (0,22; 2,11) y un mínimo relativo en (- 1,55; - 0,63).

b) Para la función g (x) = 11

2

2

+−

xx procedemos como en el apartado anterior y obtenemos, como vemos en la

imagen, que la función tiene dos cortes con OX en los puntos (- 1, 0) y (1, 0) y un mínimo relativo en (0, - 1).


17

c) Para la función h (x) = x2 · ex procedemos como en los apartados anteriores y obtenemos, como vemos en la imagen, que la función tiene un corte con OX en el punto (0, 0); un máximo relativo en (-2; 0,54) y un mínimo relativo en (0, 0).

ACTIVIDADES FINALES de la página 243

1. Completa, en tu cuaderno, la siguiente tabla estudiando si los valores dados de x pertenecen o no al dominio de esas funciones:

FUNCIONES/VALORES DE x -2 -1 0 1/3 1 3 2

xxxf2

13)( −=

SI SI NO SI SI SI SI

1)( += xxg

NO SI SI SI SI SI SI

xxxh−

=12)(

SI SI SI SI NO NO NO

i (x) = 2

1log+−

xx

NO SI SI SI NO NO NO

j (x) = 23

2 −x

SI SI SI SI SI SI NO


18

2. Estudia el dominio y el recorrido de cada una de las siguientes funciones dadas por medio de su gráfica:

a) Dom f = R ; Im f= ( ]0,∞−

b) Considerando que la función continua así: Dom g = R ; Im g = Z

Si consideramos solo lo que esta dibujado: Dom f = [- 2, 4] Im f = {- 2, - 1, 0, 1, 2,3}

c) Dom h= ( ) ( )∞+∪∞− ,20, ; Im h = ( )∞+,0


19

3. Determina el dominio de cada una de las siguientes funciones dadas por medio de su expresión analítica:

a) f (x) = 7 – 3x – x3 d) f (x) = 3 · sen (4x) g) f (x) = 3 2 253 ++ xx

b) f (x) = xx 2

32 +

e) f (x) =

≥+

<<−−

11

21223

xsix

xsix h) f (x) = ln

− 32

xx

c) f (x) = 228 x− f) f (x) = e x-3 i) f (x) = tg

+

2πx

Los dominios de las funciones son:

a) Dom f = R f) Dom f = R

b) Dom f = R – {0, - 2} g) Dom f = R

c) Dom f = [- 2, 2] h) Dom f = ( ) ( )∞+∪∞− ,30,

d) Dom f = R i) Dom f = R – { k · π; k ∈ Z}

e) Dom f = ( )∞+− ,2

4. Dadas las funciones f (x) = xx −2

5 , g(x) = 12 −x y h(x) = xxx

322 −+ , halla las siguientes funciones y

sus dominios:

a) (f + h)( x)

b) (f · g) (x)

c) (f – g)(x)


20

d) )(xhg

Las operaciones y los dominios pedidos son:

a) (f + h) (x) = xx

xx33

1732

3

−+− Dom (f + h) = R – {0, 1}

b) (f · g) (x) = ( )x

x 15 + Dom (f · g) = R – {0}

c) (f - g) (x) = xx

xxxx−

−++−2

2345 Dom (f - h) = R – {0, 1}

d) )(xhg

=

233 2

++

xxx Dom

hg

= R – {- 2}


21


5. Estudia, a partir de sus respectivas representaciones gráficas, la acotación y la existencia de extremos absolutos para las siguientes funciones:

a) f (x) = - x2 + 2x

b) g(x) = 2-2x

c) h(x) = - x24 −

Las gráficas pueden verse en los dibujos.


22

Las características pedidas son:

a) Acotada superiormente por 1. Máximo absoluto 1.

b) Acotada inferiormente por 0. No tiene máximo ni mínimo absoluto.

c) Acotada superiormente por 0. Máximo absoluto 0.

6. Prueba que las siguientes funciones están acotadas por los valores que en ellas se indican y halla los máximos y mínimos absolutos, si existen:

a) f (x) = 2 + cos (2x) acotada por 1 y 3

b) f (x) = 3

62 +x

acotada por 0 y 2

a) Siempre se verifica que -1 ≤ cos 2x ≤ 1 por tanto si sumamos 2 en todos los miembros se mantiene la desigualdad -1 + 2 ≤ 2 + cos 2x ≤ 1 + 2, de donde, 1 ≤ 2 + cos 2x ≤ 3, por lo que la función dada esta acotada entre 1 y 3 . Tiene máximo absoluto 3 y mínimo absoluto 1.

b) Por un lado 3

62 +x

> 0 siempre, pues esta función racional siempre es positiva.

Por otro lado vamos a ver que 3

62 +x

≤ 2; 3

62 +x

- 2 = 3

22

2

+−x

x ≤ 0, la función es siempre negativa.

Por tanto 0 < 3

62 +x

≤ 2 es decir esta acotada por 0 y 2. Tiene máximo absoluto 2 y no tiene mínimo

absoluto.


23

7. Analiza, a partir de la representación gráfica de cada una de las siguientes funciones, su dominio, imagen, monotonía y extremos absolutos y relativos:

c)

d)

Las características de estas funciones las podemos ver en la siguiente tabla:

Dominio Imagen Monotonía Extremos absolutos

Extremos relativos

a) R - {- 2, 2} R Estrictamente creciente

( ) ( )+∞∪−∞− ,5,35,3,

Estrictamente decreciente

(-3,5; 3,5) – {-2, 2}

NO Max (-3,5; - 5,2)

Min (3,5; 5,2)

b) R ( ]0,3− Estrictamente creciente ( )0,∞−

Estrictamente decreciente ( )∞+,0

Máximo 0 Máximo (0, 0)

c) R Z Ni crece, ni decrece NO NO

d) R [0, 1) Crece en su periodo Mínimo 0 Mínimo en los puntos de abscisa entera


24

8. Dada la función f(x) = x2 + 6x + 7. Halla los valores de x, en cada uno de los apartados, que cumplen las condiciones que siguen:

a) 2 ≤ f (x) < 7

b) f (x + 2) > f (x)

a) Se han de verificar las siguientes inecuaciones: 2 ≤ x2 + 6x + 7 < 7.

Las soluciones son todos los valores de x pertenecientes a ( ] [ )0,15,6 −∪−− .

En el dibujo vemos también la solución:

b) Se ha de verificar que (x + 2)2 + 6 (x + 2) + 7 > x2 + 6x + 7. De donde obtenemos x > - 4.


25

9. Dibuja una gráfica para cada una de las siguientes funciones, con las características citadas:

a) Dom f = [ )∞+,0 ; acotada inferiormente por -1; estrictamente creciente en ( )∞+,2/1 y mínimo relativo en el punto (1/2, -1).

b) Dom f = { }2,2 −−R ; Imf = ( ] ( )∞+∪∞− ,20, ; estrictamente creciente en ( ) ( )0,22, −∪−∞− y simétrica respecto al eje de ordenadas.

c) Dom f = R; Im f = [-2, 2]; acotada superiormente por 2; máximo relativo en el punto (3/2, 2) y simétrica respecto al origen de coordenadas.

d) Dom f = ( ] ( )∞+∪∞− ,20, ; Imf = ( ]0,∞− ; estrictamente decreciente en ( ) ( )∞+∪−∞− ,22, y máximo absoluto 0.

Las gráficas pueden ser como las que aparecen el los gráficos que sigue.

a)


26

b)

c)

d)


27


10. Estudia el dominio, el recorrido, la acotación, la monotonía, la existencia de extremos relativos y la simetría de cada una de las siguientes funciones dadas por medio de su gráfica:


Características a) y = f (x) b) y = g (x)

Dominio R R

Recorrido [ )∞+,0 [- 1, 1]

Acotación Acotada inferiormente Acotada

Monotonía Decreciente en ( ) ),2(0, ∞+∪∞−

Creciente en (0, 2)

Decreciente en ( ) ),1(1, ∞+∪−∞−

Creciente en (-1,1)

Extremos relativos

Mínimo en (0, 0)

Máximo en (2; 0,54)

Mínimo en (- 1, - 1)

Máximo en (1, 1)

Simetría No tiene Respecto del origen de coordenadas


28

11. Analiza la simetría de las siguientes funciones, dadas mediante su expresión analítica:

a) f (x) = 6x – x3 c) f (x) = cos (2x) e) f (x) = 3 54 xx +

b) f (x) = 2

42 +−

x d) f (x) = xsen f) f (x) =

36−xx

Las respuestas son:

a) Simétrica respecto al origen de coordenadas.

b) Simétrica respecto al eje de ordenadas.

c) Simétrica respecto al eje de ordenadas.

d) Simétrica respecto al eje de ordenadas.

e) Simétrica respecto al origen de coordenadas.

f) Carece de simetría.


29

12. Estudia la periodicidad de las siguientes funciones indicando el periodo:

Ambas funciones son periódicas, entendiendo que continúan de igual forma a izquierda y derecha. La función y = f (x) tiene de periodo T = 2 y la función y = g (x) tiene de periodo T = 5.

13. Dadas las funciones f(x) =22

−+

xx , g(x) = xe 2 y h(x) =

44

2 −−

x, determina la expresión de las

siguientes funciones con sus respectivos dominios:

a) f + h b) f · h c) f : g d) f - 1 e) (f – h) · g f) g + h g) g - 1

Las respuestas aparecen a continuación.

a) (f + h) (x) = 4

42

2

−+

xxx Dom (f + g) = R - { }2,2 −+

b) (f · h) (x) = ( )22

4−−

x Dom (f · h) = R - { }2+

c) (f : g) (x) = xex

x2·)2(

2−

+ Dom (f · g) = R - { }2+

d) f - 1 (x) = 122

−+

xx Dom (f - 1 ) = R - { }1+


30

e) ((f – h) · g) ( x) = ( )484

2

22

−++

xexx x

Dom ((f - h) · g) = R - { }2,2 −+

f) (g + h) (x) = 4

42

2

−−

xe x Dom (g + h) = R - { }2,2 −+

g) g – 1 (x) = ln ( )x Dom g - 1 = ( )+∞,0

14. Dadas las funciones f(x) = 4

2 32x

x + , g(x) = 4+x , h(x) = x

x 1− calcula:

a) f o g b) (g o g) (- 4) c) h o h o h d) (h o f) (1)

Las funciones y valores pedidos son:

a) (f o g) (x) = ( )24

112++

xx c) (h o h o h) (x) = x

b) (g o g) (- 4) = 2 d) (h o f) (1) = 4/5


31

15. Encuentra, en cada apartado funciones f(x) y g(x) que verifiquen las igualdades dadas:

a) (f o g) (x) = 42x-1 b) (g o f)(x) = 2

2 2x

x − c) (f o g) (x) = ( )224 ++ x

Las funciones pedidas pueden ser:

a) f (x) = 4x; g(x) = 2x – 1

b) f (x) = x2; g(x) = x

x 2−

c) f (x) = 24 x+ ; g(x) = x + 2

16. Halla la función inversa, f- 1 (x), de cada una de las siguientes funciones, f (x), y comprueba que cumplen f o f- 1 (x) = x, y f- 1 o f (x) = x.

a) 43

2)( +=xxf c) xxf 23)( += e) xxf 32)( +=

b) x

xxf2

3)( −= d) ( )323)( += xxf f) 3 32)( −= xxf

Las funciones inversas pedidas son:

a) 623)(1 −=− xxf

b) x

xf21

3)(1

−=−

c) ( )3log)( 21 −=− xxf

d) 3

2)(3

1 −=− xxf

e) 3

2)(2

1 −=− xxf

f) 2

3)(3

1 +=− xxf


32


17. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Sean las funciones f(x) = a – 2x, g(x) = 4x + 3, calcula el valor de a para que la composición de ambas funciones sea conmutativa, es decir, f o g = g o f

b) Si la función definida por 32

)(+

=xaxxf , con x ≠ - 3/2, verifica que f o f (x) = x, ¿cuánto vale a?

a) El parámetro vale a = - 3.

b) El parámetro vale a = - 3.

18. Dadas las funciones x

xf31

4)(−

= y 22)(

−+

=xxxg . Halla la función inversa de las funciones (g o f)

y (f o g).

Obtenemos:

(g o f) (x) = 13

33+

−x

x y (g o f)-1 (x) = 33

3+−

xx . (f o g) (x) =

424

+−

xx y (f o g)-1 (x) =

244+−

xx .

19. Dada la función f(x) = 1

2+x

. Resuelve la ecuación

Resolvemos la ecuación 1

22+

=−

xxx y obtenemos x = 1; x = - 2;

x = 2

173 ± .

El valor x = 2 no es solución como puede verse en la imagen.

( ) ( )xfxf =−1


33

20. Encuentra las funciones correspondientes a cada uno de los siguientes enunciados y halla el dominio y recorrido en cada una de ellas:

a) La función que nos permita hallar el área de un rectángulo de 40 m de perímetro en función de la longitud de su base.

b) La función que nos permita calcular el dinero a pagar por cada estudiante de primero de bachillerato por visitar un museo, que esta fuera de su localidad, si el autobús vale 600 € y dispone de 50 plazas, en función del número de estudiantes que asisten.

a) Llamando x a la longitud de la base, la función que nos permite hallar el área es A(x) = x (20 – x).

El dominio de esta función es (0, 20) y el recorrido (0, 100]

b) Llamando x al número de estudiantes que van al museo la función que da el precio a pagar por cada uno de ellos es: P(x) = 600 / x.

El dominio de esta función es [1, 50] y el recorrido es [12, 600]

21. Un agricultor dispone de 450 m de valla para cercar un terreno circular de radio r y uno rectangular cuyo lado menor es igual al diámetro del terreno circular. Encuentra la función que da la suma de las áreas de ambos terrenos en función del radio r.

La función buscada es f (r) = 450 r – (π + 4) r2


34

22. El dibujo muestra la gráfica de una función y = f (x). Dibuja:

a) La gráfica de la función simétrica de y = f (x) respecto al eje de ordenadas.

b) La gráfica de la función simétrica de y = f (x) respecto al origen de coordenadas.

c) La gráfica de la función y = ( )xf

a) La simétrica respecto a OY quedaría:

b) La simétrica respecto del origen sería:


35

c) La gráfica de la función y = ( )xf sería:

23. En la taquilla de un teatro, con capacidad para 120 espectadores, hay un cartel en el que se informa sobre los precios de las localidades para grupos: «Grupos con menos de 30 personas deben pagar en total 400 €. Entre 30 y 60 personas deben pagar 12 € por cada persona y si pasan de 60 personas deberán pagar una cantidad fija de 50 € y 8 € por cada persona que asiste».

Escribe la función correspondiente a esta información. Indica su dominio y su recorrido.

La función buscada es

≤<+≤≤<<

=12060850

603012300400

)(xsix

xsixxsi

xf

El dominio de esta función son los números enteros desde 0 a 120 y este valor incluido.

La imagen de esta función es [400, 1010]

24. Una pastelería está especializada en elaborar caramelos de café, que vende a 12 €/kg. La función que da el coste, en euros, de producir x kg de caramelos viene dada por:

C(x) = 3

3594

1007 2 ++ xx

a) Un día de fiesta la pastelería vende 40 kg de caramelos, ¿qué beneficio obtiene? b) Encuentra la función que dé el beneficio neto diario de la pastelería por la elaboración de los caramelos. c) ¿En algún momento el beneficio será nulo?


36

Las respuestas a los apartados son:

a) El beneficio es de 338,56 €.

b) La función beneficio es B(x) = 3

35100

79

104 2 −− xx

c) El beneficio es nulo si vende aproximadamente 1 kg o 164 kg.

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN de la página 247

Matemáticas y deporte

Existen muchos aspectos de los deportes que pueden ser estudiados con ayuda de las matemáticas. Indicamos alguno de los posibles trabajos de investigación.

1. Evolución temporal de la mejora de las marcas mundiales en cada una de las modalidades de atletismo. Análisis de la evolución temporal de las marcas. ¿Por qué en algunas pruebas se han producido mejoras bruscas? ¿Qué elementos influyen en las marcas? Realizar gráficas de las variables velocidad media y distancia recorrida. Comparar los resultados masculinos y femeninos, etc.

2. Las fórmulas matemáticas en el entrenamiento de la resistencia. Análisis del rendimiento deportivo: test de esfuerzo, test de Wintage, test de Conconi y prueba de lactato. Fórmulas y gráficas para medir la frecuencia cardiaca máxima, etc.

3. Medición del rebote de pelotas y balones en distintas superficies. Comparación de rebotes. Variación del rebote con la temperatura de la pelota. Distancias entre rebotes sucesivos. Especificaciones de las diferentes pelotas. Geometría de las pelotas y balones, etc.

4. Trayectorias en distintos deportes. Estudio y representación gráfica de lanzamientos de proyectiles (balón, peso, disco, jabalina, saltador, etc.). Comparar las trayectorias con las del “tiro oblicuo” y determinar la altura máxima alcanzada y el alcance máximo para distintas velocidades iniciales y distintos ángulos de elevación. Existen los tipos parabólicos sin rozamiento, con rozamiento y, además, con rotación (efecto Magnus), etc.

Para estos trabajos relacionados con el deporte puedes pedir asesoramiento a los profesores del departamento de educación física.


37

Ofrecemos bibliografía sobre la relación entre matemáticas y deporte.

BOLT, B. y HOBBS, D. (1991). 101 proyectos matemáticos. Labor. Barcelona.

CORBALÁN, Fernando. (2007) Matemáticas en la vida misma. Graó. Barcelona.

CORBALÁN, Fernando. (201) Matemáticas de cerca. Graó. Barcelona.

ORTEGA, Tomás. (2005). Conexiones matemáticas. Graó. Barcelona.

SORANDO MUZÁS, J. M. (2012) Matemáticas y deporte. Sugerencias para el aula. Revista Números. Volumen 80.

SORANDO MUZÁS, J. M. http://catedu.es/matematicas_mundo/

VV. AA. (2013). Matemáticas y deporte. Revista UNO. Graó. Barcelona.

http://catedu.es/matematicas_mundo/

CUESTIONES INICIALES de la página 226Matemáticas I - UD 10: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES...

Documents

Transcript of CUESTIONES INICIALES de la página 226Matemáticas I - UD 10: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES...