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Matemáticas I – UD 5: TRIGONOMETRÍA II SOLUCIONARIO

1

CUESTIONES INICIALES de la página 112

1. Razona la verdad o falsedad de las siguientes igualdades:

a) sen (45º - 30º) = sen 45º · cos 30º - sen 30º · cos 45º

b) cos (2 · 60º) = 2 · cos 60º

c) tg 60º + tg 45º = tg 105º

La primera igualdad es verdadera y las otras dos son falsas. Para probarlo basta con utilizar la calculadora.

2. Halla el área comprendida entre el círculo de 20 cm de radio y el heptágono regular inscrito en el mismo.

El área del círculo es π · 202 = 1256,64 cm2.

El lado y la apotema del heptágono regular de radio 20 cm miden 17,36 y 18,02 cm, respectivamente. Su

área mide .90,10942

02,18·36,17·7 2cm=

El área entre el círculo y el heptágono será 1256,64 – 1094,90 = 161,74 cm2.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) tg (2x) = 1 b) cos ( x + π ) = 0,5 c) 2· sen x = - 1

Las soluciones de las ecuaciones son:

a)

∈+=∈+=

⇒

∈+=∈+=

⇒=Zkkx

ZkkxZkkx

Zkkxxtg

22

11

22

11

;·º180º5,112;·º180º5,22

;·º360º2252;·º360º452

12


2

b)

∈+=

∈+−=⇒=+

Zkkx

Zkkxx

22

11

;23

2

;23

2

5,0)(cosππ

ππ

π

c)

∈+=∈+=

⇒−=⇒−=ZkkxZkkx

xsenxsen22

11

;·º360º330;·º360º210

2112

4. Halla el valor de la expresión: º150cosº210cosº150º210

+− sensen .

El valor de la expresión es: 33º30

º30cos·º180cos2º30·º180cos2

º150cosº210cosº150º210

===+− tgsensensen

1. A partir de las razones trigonométricas de los ángulos de 60º y 45º calcula las razones trigonométricas del ángulo de 15º.

Utilizando las fórmulas de las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos, obtenemos:

426

21·

22

22·

23º60cos·º45º45cos·º60)º45º60(º15

−=−=−=−= sensensensen

462

22·

23

22·

21º45·º60º45cos·º60cos)º45º60(cosº15cos

+=+=+=−= sensen

326

36123333

1·331

133

º45·º601º45º60

)º45º60(º15 −=−

=+

−=

+

−=

+−

=−=tgtg

tgtgtgtg


3

2. Si sen 38º = 0,6157 y cos 18º = 0,9511, calcula el valor de las razones trigonométricas de los ángulos de 56º y 20º en función de las razones de los ángulos de 18º y 38º.

Si sen 38º = 0,6157, las otras razones del ángulo de 38º son: cos 38º = 0,7880 y tg 38º = 0,7813.

Si cos 18º = 0,9511, las otras razones del ángulo de 18º son: sen 18º = 0,3090 y tg 18º = 0,3249.

Utilizando las fórmulas de las razones trigonométricas de la suma y la diferencia de dos ángulos, obtenemos:

● Para el ángulo de 38º:

sen 56º = sen (38º + 18º) = sen 38º · cos 18º+sen 18º · cos 38º = 0,6157 · 0,9511 + 0,3090 · 0,7880 = 0,8291

cos 56º = cos (38º + 18º) = cos 38º · cos 18º -sen 18º · sen 38º = 0,7880 · 0,9511 - 0,3090 · 0,6157 = 0,5592

4826,13249,0·7813,01

3249,07813,0º18·º381

º30º38)º18º38(º56 =−

+=

−+

=+=tgtg

tgtgtgtg


sen 20º = sen (38º - 18º) = sen 38º · cos 18º-sen 18º · cos 38º = 0,6157 · 0,9511 - 0,3090 · 0,7880 = 0,3421

cos 20º = cos (38º - 18º) = cos 38º · cos 18º +sen 18º · sen 38º = 0,7880 · 0,9511 + 0,3090 · 0,6157 = 0,9397

3640,03249,0·7813,01

3249,07813,0º18·º381

º30º38)º18º38(º20 =+

−=

+−

=−=tgtg

tgtgtgtg

3. Prueba esta igualdad: atgbababasenbasen

=−++−++

)(cos)(cos)()( .

Desarrollamos el miembro izquierdo de la igualdad, operamos, simplificamos y obtenemos:


4

=++−−++

=−++−++

bsenasenbabsenasenbaabsenbasenabsenbasen

bababasenbasen

·cos·cos·cos·coscos·cos·cos·cos·

)(cos)(cos)()(

atgaasen

babasen

===coscos·cos·2

cos··2

ACTIVIDADES de la página 116

4. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Si 21cos =a , siendo 0º < a < 90º, calcula tg 2a.

b) Si tg a = 2, siendo 0º < a < 90º, calcula sen 2a.

c) Si 31

=asen , siendo 90º < a < 180º, calcula cos 2a.

a) Si 21cos =a , entonces,

23

=asen y 3=atg .

El valor de tg 2a es ( )

.3231

3·22 2 −=⇒

−= atgatg

b) Si tg a = 2, entonces, 55cos =a y .

55·2

=asen

El valor de sen 2a es .542

55·

55·2

·22 =⇒= asenasen

c) Si 31

=asen , entonces, 3

22cos −=a .

El valor de cos 2a es .97

91

98

31

322

2cos22

=−=

−

−=a


5


5. Si sen 42º ≈ 0,67, calcula el valor de las razones trigonométricas de los ángulos doble (84º) y mitad (21º).

Si sen 42º ≈ 0,67, las otras razones del ángulo de 42º son: cos 42º ≈ 0,74 y tg 42º ≈ 0,90.


sen 84º = 2 · sen 42º · cos 42º ≈ 2 · 0,67 · 0,74 ≈ 0,99

cos 84º = cos2 42º - sen2 42º ≈ 0,742 – 0,672 ≈ 0,10

47,990,0190,0·2

º421º42·2º84 22 ≈

−≈

−=

tgtgtg


36,02

74,012

º42cos1º21 ≈−

=−

=sen

93,02

74,012

º42cos1º21cos ≈+

=+

=

39,074,0174,01

º42cos1º42cos1º21 ≈

+−

=+−

=tg

6. Halla las razones trigonométricas de 15º a partir del ángulo mitad de 30º.

Las razones trigonométricas del ángulo de 30º son: 33º30

23º30cos,

21º30 === tgysen .

Las razones trigonométricas del ángulo de 15º son:


6

232

2231

2º30cos1

º15−

=−

=−

=sen

232

2231

2º30cos1

º15cos+

=+

=+

=

3473232

º15 −=+

−=tg

7. Prueba la igualdad: 222

22 2 atgasenasenasenasen=

+−

Operando desde el miembro de la izquierda:

2cos1cos1

)cos1(2)cos1(2

cos22cos22

2222 2 atg

aa

aasenaasen

aasenasenaasenasen

asenasenasenasen

=+−

=+−

=+−

=+−


8. Halla, sin utilizar la calculadora, el valor de la siguiente expresión: cos 195º + cos 75º.

El valor de la expresión es:

22º60cos·º135cos2

2º75º195

cos·2

º75º195cos·2º75cosº195cos −==

−

+

=+

9. Calcula sen (30º + a) + sen (30º - a).

Utilizando la transformación de la suma de dos senos en producto obtenemos:

=

−−+

−++

=−++2

)º30(º30cos·2

º30º30·2)º30()º30( aaaasenasenasen

aaasen coscos·21·2cos·302 ===


7

10. Determina, sin hacer uso de la calculadora, el valor de las expresiones:

a) cos 75º + sen 255º b) cos 75º · sen 255º

a) Cambiamos cos 75º = sen 15º y utilizamos la transformación de la suma de dos cosenos en producto para obtener:

=

−

+=+=+

2º255º15

cos·2

º255º15·2º255º15º255º75cos sensensensen

22

21·

22·2)º120(cosº1352 −=

−

=−= sen

b) Utilizando una de las fórmulas que transforman productos en sumas, obtenemos:

[ ] =−−−== ))º240(cos)º270(cos·21º255·º15º255·º75cos sensensen

41

)21(0·

21 −

=

−−−=


11. Resuelve las siguientes ecuaciones o sistemas trigonométricos:

a) sen 2x = 2 cos x b) sen 2x + cos 2x = 4 sen2 x c)

=+

=−

22)2(

1)2(

yxsen

yxtg

a) Desarrollamos sen 2x = 2 · sen x · cos x, operamos y obtenemos:

2 · sen x · cos x = 2 cos x ⇒ 2 · sen x · cos x – 2 · cos x = 0 ⇒ 2 · cos x · (sen x – 1) = 0 ⇒


8

∈+=⇒=

∈+=⇒=⇒

Zkkxxsen

Zkkxx

22

11

;22

1

;2

0cos

ππ

ππ

b) Desarrollamos sen 2x y cos 2x: 2 · sen x · cos x + cos2 x - sen2 x = 4 · sen2 x.

Sustituimos cos2 x = 1 – sen2 x, operamos: 2 · sen x · cos x = 6 sen2 x – 1.

Sustituimos xsenx 21cos −= , elevamos al cuadrado y operamos: 40 sen4 x – 16sen2 x + 1 = 0.

Resolvemos la ecuación bicuadrada:

=±

=−±

=0775,03225,0

2064

8040·41616 2

2 xsen

Encontramos las soluciones más sencillas correspondientes al intervalo [0º, 360º]:

● sen x = 0,5669, entonces x = 34º 36´ 14,1´´

● sen x = - 0,5669, entonces x = 325º 23´ 45,9´´

● sen x = 0,2784, entonces x = 16º 9´ 53,05´´

● sen x = - 0,2784, entonces x = 343º 50´ 6,95´´

c)

==

⇒

=+=−

⇒

=+

=−

º0º45

º452º452

22)2(

1)2(

yx

yxyx

yxsen

yxtg


9


1. Sumas de enteros consecutivos. Observa las identidades:

1 + 2 = 3

4 + 5 + 6 = 7 + 8

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

Escribe las identidades que siguen. ¿Cuál es la relación que observas y por qué funciona? Encuentra el valor de la suma de cada uno de los miembros de la enésima identidad.

Las identidades que siguen son:

1 + 2 = 3

4 + 5 + 6 = 7 + 8

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24

25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 31 + 32 + 33 + 34 + 35

36 + 37 + 38 + 39 + 40 + 41 + 42 = 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48

Para ver la relación que existe en cada una de las identidades consideramos, por ejemplo, la tercera identidad:

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

Si sumamos 4 a cada uno de los tres primeros números de la izquierda (9, 10 y 11), entonces obtenemos los tres números de la derecha (13, 14 y 15). Hemos sumado 4 · 3 = 12 al lado izquierdo de la igualdad, que es justo el valor del cuarto número que aparece a la izquierda.

Esto mismo ocurre en cada una de las identidades. La enésima identidad, para n ≥ 1, es:

n2 + (n2 + 1) + (n2 + 2) +…+ (n2 + n) = (n2 + n + 1) + (n2 + n + 2) + (n2 + n + 3) +…+ (n2 + n + n)


10

En la identidad anterior hay n + 1 términos a la izquierda y n términos a la derecha. Si sumamos n + 1 a cada término de la izquierda menos al último, obtenemos todos los términos de la derecha. Hemos sumado:

(n + 1) · n = n2 + n

a la izquierda, que es justo el último término de la derecha.

Para hallar el valor de la suma de cada uno de los miembros de la enésima identidad, consideramos que los sumandos del miembro de la izquierda forman una progresión aritmética de n + 1 términos, siendo n2 el primero y n2 + n el último.

Teniendo en cuenta lo anterior el valor de la suma es:

2)12(·)1(·)1(·

22)1(·

2)( 222 ++

=++

=+++ nnnnnnnnnn

Otro procedimiento es encontrar el término general de la sucesión de las sumas de las primeras identidades.

Estas son: 3, 15, 42, 90, 165, 273…

Hallamos las distintas diferencias entre los términos y obtenemos:

3 15 42 90 165 273…

12 27 48 75 108…

15 21 27 33…

6 6 6 …

El término general que buscamos es un polinomio de tercer grado S (n) = an3 + bn2 + cn + d que cumplirá:


11

⇒

=+=+=++=+++

⇒

=++=++=++=+++

⇒

+++==+++==+++==

+++==

2121815212

12373

4873727519

12373

416649043927423

24815231

baba

cbadcba

cbacba

cbadcba

dcbanSídcbanSí

dcbanSídcbanSí

=

=

=

=

⇒

==+=++=+++

⇒

021231

661521212373

d

c

b

a

aba

cbadcba

Sustituyendo estos valores, obtenemos:

2)12(·)1(·

21

23)( 23 ++

=++=nnnnnnnS


12

2. Sombras. Un poste vertical de altura a, iluminado por los rayos del Sol, arroja una sombra sobre un plano horizontal. La longitud de la sombra era a en un momento, 2a en otro momento y 3a en un tercero. ¿Cuánto suman los ángulos de incidencia de los rayos con el plano en esos tres instantes?

Sean los ángulos:

α = BAC

β = BA1C

γ = BA2C

y los segmentos:

BA = a, BA1 = 2a y BA3 = 3a.

Por la definición de la razón trigonométrica tangente se cumple:

31

211 === γβα tgtgtg

Teniendo en cuenta la expresión de la tangente de la suma de ángulos btgatg

btgatgbatg·1

)(−

+=+

podemos escribir:

( )[ ] =

−+

−

−+

+=

+−++

=++

γβγβα

γβγβα

γβαγβαγβα

tgtgtgtgtg

tgtgtgtgtg

tgtgtgtgtg

·1·1

·1)(·1

)(

010

12361236

31·

21

31·1

21·11

31·

21·1

31

211

···1··

=−−−−++

=−−−

−++=

−−−−++

=γβγαβαγβαγβα

tgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtg

Esto último implica que 2πγβα =++ es decir, dan lugar a un ángulo recto.


13

3. Espiral infinita. Un hombre H está de pie en una llanura, a 5 m al este de un poste P. Camina 5 m en línea recta y en dirección perpendicular hasta que se sitúa al nordeste del poste; entonces, siempre en línea recta, camina al noroeste hasta que está directamente al norte del poste; entonces camina hacia el oeste hasta que está directamente al noreste del poste; y sigue así, describiendo una línea poligonal en espiral.

Suponiendo que este hombre sigue caminando de la misma forma indefinidamente, encuentra una fórmula que muestre la distancia que ha recorrido el hombre H desde el poste P.

En el dibujo observamos el trayecto que sigue el hombre desde que parte en su camino espiral, con el poste situado en el punto P, y el inicio del camino en el punto H.

Como muestra el diagrama, cada segmento caminado es uno de los dos lados iguales de los triángulos rectángulos isósceles, múltiplos de 5 cuando camina en dirección N-S o E-O y múltiplos de 25 los trayectos en diagonal.


14

Hallamos las distancias que denominamos Simpar y Spar:

Simpar = 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + … = 5 · 20 + 5 · 21 + 5 · 22 + 5 · 23 + …

para los trayectos 1º, 3º, 5º, 7º,…


15

...2·2·52·2·52·2·52·2·5...2·402·202·102·5 3210 ++++=++++=parS

para los trayectos 2º, 4º, 6º, 8º, …

Tenemos dos progresiones geométricas: una de trayectos impares, múltiplos de 5, y otra para los trayectos pares, múltiplos de 25 . La suma de ambas sucesiones nos dará el camino recorrido, d, hasta la finalización del trayecto a considerar.

( ) ...)2222(5·21...2402202·102·5...4020105 3210 +++++=+++++++++=d

( ) ( )12·5·21 1 −+= +nd cm. que es la fórmula buscada.

4. Relaciones familiares. Por ahí vienen nuestros padres, padres de nuestros hijos, maridos de nuestras madres y nuestros propios maridos. ¿Cómo es posible esto?

Sí puede ser cierto; se trata de dos padres que se han casado cada uno con la hija del otro.


1. Resuelve las ecuaciones siguientes y representa gráficamente sus soluciones.

a) sen2 x – cos2 x = 1 b) 2 · cos x + 3 · tg x = 0

a) Resolviendo la ecuación por los métodos que aparecen en el libro de texto, obtenemos como soluciones:

Zkkkx ∈+=+= 1111 ;·22

3·º360º270 ππ Zkkkx ∈+=+= 2222 ;·22

·º360º90 ππ

Resuelta con la opción Cálculo Simbólico (CAS), utilizando el comando Resolución (<Ecuación en x>), la solución puede verse en la imagen.

En la gráfica que sigue pueden verse las dos soluciones en el intervalo [0, 2π].


16

b) Resolviendo la ecuación por los métodos que aparecen en el libro de texto, obtenemos como soluciones:

Zkkkx ∈+=+= 1111 ;·23

5·º360º300 ππ Zkkkx ∈+=+= 2222 ;·26

7·º360º210 ππ

Resuelta con la opción Cálculo Simbólico (CAS), utilizando el comando Resolución (<Ecuación en x>), la solución puede verse en la imagen.

En la gráfica que sigue pueden verse las dos soluciones en el intervalo [0, 2π].

2. Resuelve los sistemas siguientes


17

y representa gráficamente sus soluciones.

a)

b)

=+=+

º902coscos

yxyx

a) Resolviendo el sistema por el procedimiento que aparece en el libro de texto, obtenemos como soluciones:

==

6;

2 11ππ yx y

−==

2;

67

12ππ yx

Resuelta con la opción Cálculo Simbólico (CAS), utilizando el comando Resolución (<Lista de Ecuaciones>, <Lista de variables>), la solución puede verse en la imagen.

En la gráfica que sigue pueden verse las dos soluciones.

a) Resolviendo el sistema por el procedimiento que aparece en el libro de texto, obtenemos como solución:

==

4;

4 4ππ yx

=−

=+

21

32

ysenxsen

yx π


18

Resuelta con la opción Cálculo Simbólico (CAS), utilizando el comando Resolución (<Lista de Ecuaciones>, <Lista de variables>), la solución puede verse en la imagen.

En la gráfica que sigue pueden verse la solución.

ACTIVIDADES FINALES de la página 127

1. Sabiendo que 53

=asen y 54cos =b , y que 90º < a < 180º y 270º < b < 360º, calcula:

a) sen (a + b) b) cos (a - b) c) tg (a + b)

Si 53

=asen y el ángulo a está en el segundo cuadrante, entonces 43

54cos −=−= atgya .

Si 54cos =b y el ángulo b pertenece al cuarto cuadrante, entonces

43

53

−=−= btgybsen

Teniendo en cuenta los teoremas de adición, obtenemos:

a) sen (a + b) = 2524 b) cos (a - b) = - 1 c) tg (a + b) =

724

−


19

2. Teniendo en cuenta los valores de las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º y si utilizar calculadora, halla los valores de estas razones:

a) sen 90º e) tg 120º

b) cos 90º f) sen 105º

c) sen 120º g) cos 105º

d) cos 120º h) tg 105º

Teniendo en cuenta las formulas del ángulo doble y los teoremas de adición, obtenemos:

a) sen 90º = sen (2 · 45º) = 2 · sen 45º · cos 45º = 1

b) cos 90º = cos (2 · 45º) = cos2 45º - sen2 45º = 0

c) sen 120º = sen (2 · 60º) = 23

d) cos 120º = cos (2 · 60º) = 21

−

e) tg 120º = tg (2 · 60º) = 3−

f) sen 105º = sen (45º + 60) = 4

62 +

g) cos 105º = 4

62 −

h) tg 105º = ( )32 +−


20

3. Si tg a = 1,5 y tg b = - 2,5, calcula (verificando los resultados con la calculadora):

a) tg (a + b) b) tg (a – b) c) tg ( 2a + b)

Teniendo en cuenta que tg a = 1,5 y tg b = - 2,5 y los teoremas de adición, obtenemos:

a) tg (a + b) = - 0,2105 b) tg (a – b) = - 1,4545 c) tg ( 2a + b) = 0,98

En este último apartado hay que tener en cuenta que tg 2a = - 2,4.

4. Justifica las siguientes igualdades:

a) sen (180º + a) = - sen a

b) cos (90º + a) = - sen a

c) tg (270º + a) = - cotg a

Para ello es suficiente con utilizar los teoremas de adición para el seno, coseno y tangente estudiados en esta unidad.

5. Calcula el valor de la siguiente expresión:

sen a · sen (b – c) – sen b · sen (a – c) + sen c · sen (a – b)

Desarrollando y operando, obtenemos:

sen a · sen (b – c) – sen b · sen (a – c) + sen c · sen (a – b) =

= sen a · sen b · cos c – sen a · sen c · cos b - sen b · sen a · cos c + sen b · sen c · cos a + sen c · sen a ·

· cos b – sen c · sen b · cos a = 0


21

6. Demuestra que cos (a + b) · cos (a – b) = cos2 a – sen2 b = cos2 b – sen2 a.

Tenemos en cuenta la relación:

cos (a + b) · cos (a – b) = (cos a · cos b – sen a · sen b) · (cos a · cos b + sen a · sen b) =

= cos2 a · cos2 b – sen2 a · sen2 b

A partir de esta expresión obtenemos las dos igualdades:

cos2 a · cos2 b – sen2 a · sen2 b = cos2 a · ( 1 – sen2 b) – (1 – cos2 a) · sen2 b = cos2 a – sen2 b

cos2 a · cos2 b – sen2 a · sen2 b = cos2 b · ( 1 – sen2 a) – (1 – cos2 b) · sen2 a = cos2 b – sen2 a

7. Prueba: sen (a + b) · sen (a – b) = sen2 a – sen2 b = cos2 b – cos2 a.

Partimos del primer miembro y probamos la primera igualdad:

sen (a + b) · sen (a – b) = (sen a · cos b + sen b · cos a) · (sen a · cos b – sen b · cos a) =

= sen2 a · cos2 b – sen2 b · cos2 a = sen2 a · (1 – sen2 b) – sen2 b · ( 1 – sen2 a) = sen2 a – sen2 b

A partir de la expresión sen2 a – sen2 b probamos la segunda igualdad:

sen2 a – sen2 b = (1 – cos2 a) – (1 – cos2 b) = cos2 b – cos2 a.

8. Halla las expresiones que se piden usando los teoremas de adicción:

a) cos 3a en función de cos a.

b) sen 4a en función de sen a.


22

Queda:

a) cos 3a = cos (2a + a) = 4 cos3 a – 3 cos a

b) sen 4a = sen (2 · 2a) = (4 sen a – 8 sen3 a) · asen21 −

9. Si cos 80º = 0,17; calcula manualmente utilizando las fórmulas del ángulo doble (después comprueba tus resultados con la calculadora):

a) sen 160º b) cos 160º c) tg 160º

Si cos 80º = 0,17, entonces sen 80º = 0,98 y tg 80º = 5,76. Los valores pedidos, teniendo en cuenta las fórmulas del ángulo doble, son:

a) sen 160º = sen (2 · 80º) = 0,34 b) cos 160º = cos (2 · 80º) = - 0,94 c) tg 160º = tg (2 · 80º) = - 0,36

10. Si cos 80º = 0,17, calcula utilizando las fórmulas del ángulo mitad las razones trigonométricas de lsos ángulos de 40º, 20º y 10º (después comprueba tus resultados con la calculadora).

Si cos 80º = 0,17, entonces sen 80º = 0,98 y tg 80º = 5,76. Los valores pedidos, teniendo en cuenta las fórmulas del ángulo mitad, son:

a) sen 40º = sen

2º80 = 0,64; cos 40º = cos

2º80 = 0,76; tg 40º = tg

2º80 = 0,84

b) sen 20º = sen

2º40 = 0,34; cos 20º = cos

2º40 = 0,94; tg 20º = tg

2º40 = 0,36

c) sen 10º = sen

2º20 = 0,17; cos 10º = cos

2º20 = 0,98; tg 10º = tg

2º20 = 0,18

11. Sabiendo que 332cot =ag , halla tg a.

Si 332cot =ag , entonces 32 =atg . El valor de tangente es:


23

−=

=

⇒=−+⇒=−

⇒=

3

33

032331

·232 22

tg

o

atg

atgatgatg

atgatg

12. Sabiendo que 24=atg y que a es un ángulo cuyo seno y coseno son negativos, encuentra las razones trigonométricas del ángulo 2a.

Si el seno y el coseno del ángulo son negativos, este se encuentra en el tercer cuadrante.

Si 24=atg , entonces 524

−=asen y 51cos −=a .

Las razones del ángulo 2a son:

25242

51·

524·22 =

−

−=asen

2523

524

51·2cos

22

−=

−−

−=a

23242

241242

2 −=−

=atg

13. Comprueba que: agagatg 2cot·2cot −= .

Partimos del segundo miembro e intentamos llegar al primero.

atgatg

atgatg

atgatgatgatg

agag =+−

=−

−=−=−22 11

2)1(·21

2212cot·2cot


24

14. Simplifica las expresiones:

a) a

asen2cos1

2+

b) a

aasenasen

cos2cos1

:2 +

a) atga

aasenasena

aasena

asen==

−+=

+ 222 cos·2cos··2

cos1cos··2

2cos12

b) 1cos·2cos·2

coscos1

:cos··2

cos2cos1

:2

2

222

==−+

=+

aa

aasena

asenaasen

aa

asenasen


a) a

asenatgatg

2cos21

11 −

−+−

b) atgasen

aasen

22

cos

2

+

Expresamos todas las razones en función de sen a y cos a y operamos:

a) =−

−−

+

−=

−−

+−

asenaaasen

aasenaasen

aasen

atgatg

22coscos21

cos1

cos1

2cos21

11

0cos

cos21)(coscos

cos21coscos

22

2

22 =−

+−−=

−−

−+−

=asena

aasenasenaasenaaasen

asenaasena

b) =−

+=+=+aasen

asenaasenaasen

asenaasen

aasen

atgasen

aasen

cos2)(cos2

cos22cos2

cos22

cos

22222

aaa cos

coscos2

==


25


16. Comprueba las siguientes identidades:

a) atg

atgasen 2122+

= c) atg

asenatga22

cos2 +=

b) cotg2 a – cos2 a = cotg2 a · cos2 a d) aatgatg

atg 2cos2

=−

La comprobación puede hacerse de la siguiente manera:

a) asenaasena

aasen

aasena

aasen

aasen

aasen

atgatg 2cos2

coscos2

coscos

cos2

cos1

cos2

12 2

2

22

2

22 ===+

=+

=+

b) Desarrollamos los dos miembros:

asena

asenasena

asenasenaaa

asenaaag 2

4

2

22

2

2222

2

222 cos)1(·cos·coscoscoscoscoscot =

−=

−=−=−

asenaa

asenaaag 2

42

2

222 coscos·coscos·cot ==

c) 2

cos2cos1

2cos

cos2

cos2

2 aaasen

aasenasen

aasen

asenaasen

atgasenatg

=+

=+

=+

=+

d) aatgatgatgatg

atgatg

atgatg

atgatgatg 2cos

)1()1(

122 2

2

2

=+

−=

−−

=−


26

17. El coseno de un ángulo a del cuarto cuadrante vale 1/7. Halla el seno y el coseno del ángulo mitad.

Los valores pedidos son:

6547,073

2711

2==

−=

asen 7559,074

2711

2cos −=−=

+−=

as

18. El seno de un ángulo a del cuarto cuadrante es – 1/3. Calcula tg a/2.

Si 31

−=asen y el ángulo es del cuarto cuadrante, el valor del coseno es 38cos =a .

El valor de tg a/2 es: ( )838383

381

381

cos1cos1

2−−=

+−

−=+

−−=

+−

−=aaatg

19. Sabiendo que 32

2cos −=

a y que a es un ángulo del tercer cuadrante, halla sen a y cos a.

Los valores de las razones pedidas son: 91cos −=a y

954

−=asen .

20. Expresa en función de la razón trigonométrica del ángulo mitad:

a) asen

acos1 −

b) a

aa

asencos1

cos·2cos1

2++

Queda expresado del siguiente modo:


27

a) 2

2cos·

22

22

2cos·

22

22cos1cos1

222

atgaasen

asen

aasen

asena

asena

==+−

=−

b) =−+−+

=++

22cos1

cos·cos1

cos·2cos1

cos·2cos1

222

22 asenaa

asenaaasen

aa

aasen

2

2cos2·)cos2(

cos·2

cos·2

2·2

22

2

atgaa

aaasen=

=

21. Haciendo uso de las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo mitad prueba que la razón entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de este es el llamado «número cordobés»:

22

1

−.

En el triángulo rectángulo dibujado en el interior del octógono se cumple:

RLsen

R

L

sen2

º5,222º5,22 =⇒=

Teniendo en cuenta la fórmula del seno del ángulo mitad 2cos1

2αα −

±=sen con α = 45º, es decir:

222

º5,222

221

º5,222

º45cos1º5,22−

=⇒−

=⇒−

= sensensen

Sustituyendo el último resultado en la expresión RLsen

2º5,22 = y operando, obtenemos:

22

11

222

222 −

=⇒−

=⇒−

=LR

RL

RL


28

22. Comprueba que: agaecatg 2cotcos2

−= .

Se puede demostrar directamente, o bien haciendo un cambio de variable xa=

2.

Habría que probar: tg x = cosec 2x – cotg 2x. Partiendo del segundo miembro:

xtgxxsen

xsenxsen

xsenxxsen

xxsenx

xsenxgxec ==

+−=

−=−=−

cos22

2cos1

22cos1

22cos

212cot2cos

222

23. Determina el valor de las sumas o diferencias de las razones trigonométricas siguientes:

a) sen 75º - sen 15º b) cos 75º + cos 15º c) sen 75º + sen 15º

a) 22

21·

22·2º30·º45cos·2º15º75 ===− sensensen

b) 26

23·

22·2º30cos·º45cos·2º15cosº75cos ===+

c) 26

23·

22·2º30cos·º45·2º15º75 ===+ sensensensen

24. Simplifica las expresiones siguientes:

a) º50cosº150cosº50º150

+− sensen b)

º75º195º75º195

sensensensen

+− c)

º100º160º100cosº160cos

sensen +−

Los resultados son:

a) 5050cos·100cos250·100cos2

º50cosº150cosº50º150 tgsensensen

==+−


29

b) 60·135cot60cos·135260·135cos2

º75º195º75º195 tgg

sensen

sensensensen

==+− = - tg 60 = - 3

c) 3030cos·130230·1302

º100º160º100cosº160cos tg

sensensen

sensen−=

−=

+−

= - 33

25. Demuestra que:

a) 12cos

)º45(cos·)º45(cos2=

−+a

aa

b) btgbasenbasenbaba

=−+++−−

)()()(cos)(cos .

a) Desarrollamos el numerador de la fracción teniendo en cuenta los teoremas de adición, operamos y vemos que coincide con el numerador, por tanto, el resultado de la fracción se 1.

b) Se demuestra del siguiente modo:

btgbasen

bsenasenbasenbasenbaba

=−−

=−+++−−

cos·2)(··2

)()()(cos)(cos .


30


a) aaaasenasenasen

5cos3coscos53

++++

b) a

asenasenasencos22

223+

++

a) =++

=++++

=++++

aaaaasenasen

aaaasenasenasen

aaaasenasenasen

2cos·3cos23cos2cos·323

)5cos(cos3cos)5(3

5cos3coscos53

atgaasen

aaaasen

33cos3

)2cos21(·3cos)2cos21(·3

==++

=

b) asenaaasen

aasenaasen

aasenasenasen

2)cos1(2

)1(cos·22)cos1(2

22cos·22cos22

223=

++

=+

+=

+++

27. ¿Existe un triángulo ABC en el cual dos de sus lados midan 17 cm y 42 cm y el ángulo opuesto al menor de estos sea de 26º 30´?

Utilizando en el triángulo el teorema de los senos:

1024,117

´30º26·4242´30º26

17=⇒=⇒= Asen

senAsen

Asensen

Como el valor del seno es mayor que 1, no existe ningún triángulo con esas condiciones.

28. Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 4, respectivamente. Calcula su área sabiendo que su perímetro es de 27 m.

Sean a, b y c los lados del triángulo. Teniendo en cuenta la proporcionalidad del enunciado se cumple:

===

⇒==++++

===1296

3927

432432cba

cbacba


31

El semiperímetro vale 5,132

27= . Calculamos el área con la fórmula de Herón.

214,26)125,13(·)95,13(·)65,13(·5,13 mÁrea =−−−=


29. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) 232

4=

+ xsen π c) sen 3x – sen 30º = 0

b)23)(

21cos =

+ πx d) 3

2º45cot =

+xg


a) 232

4=

+ xsen π ⇒ Zkkconkxokx ∈+=+= 2121 ,

245

24ππππ

b) 23)(

21cos =

+ πx ⇒ Zkkconkxokx ∈+=+−= 2121 ,4

384

32 ππππ

c) sen 3x – sen 30º = 0 ⇒ Zkkconkxokx ∈+=+= 2121 ,º120º50º120º10

d) 32

º45cot =

+xg ⇒ Zkconkx ∈+= 11º360º15


a) sen 2x · cos x = 6 sen3 x

b) sen x + sen 3x = cos x


32

c) sen 4x = sen 2x

d) cos 2x – cos 6x = sen 5x + sen 3x


a) sen 2x · cos x = 6 sen3 x ⇒ 2 sen x cos2 x – 6 sen3 x = 0 ⇒ 2 sen x (cos2 x – 3 sen2 x) = 0 ⇒

● sen x = 0 ⇒ x1 = 0º + 180º · k1 con k1 ∈ Z

● cos2 x – 3 sen2 x = 0 ⇒ cos2 x – 3 (1 – cos2 x) = 0 ⇒ cos x = 23

± ⇒ x2 = 30º + 180º · k2 con

k2 ∈ Z y x3 = 150º + 180º · k3 con k3 ∈ Z.

b) sen x + sen 3x = cos x ⇒ 2 sen 2x · cos x = cos x ⇒ 2 sen 2x · cos x – cos x = 0 ⇒

⇒ cos x = 0; sen 2x = 21

⇒ x1 = 90º + 180º · k1 con k1 ∈ Z; x2 = 15º + 180º · k2 con k2 ∈ Z y x3 =

75º + 180º · k3 con k3 ∈ Z.

c) sen 4x = sen 2x ⇒ 2 sen 2x · cos 2x = sen 2x ⇒ 2 sen 2x · cos 2x – sen 2x = 0 ⇒

⇒ sen 2x · (2 cos 2x – 1) = 0 ⇒ cos 2x = 21

; sen 2x = 0 ⇒ x1 = 0º + 90º · k1 con k1 ∈ Z;

x2 = 30º + 180º · k2 con k2 ∈ Z y x3 = 150º + 180º · k3 con k3 ∈ Z.

d) cos 2x – cos 6x = sen 5x + sen 3x ⇒ - 2 sen 4x · sen (- 2x) = 2 sen 4x · cos x ⇒


33

⇒ 2 sen 4x · (sen 2x – cos x) = 0 ⇒

● sen 4x = 0 ⇒ x1 = 45º · k1 con k1 ∈ Z

● sen 2x – cos x = 0 ⇒ cos x ( 2 sen x – 1)= 0 ⇒ cos x = 0; sen x = 21

⇒ x2 = 90º + 180º · k2

con k2 ∈ Z; x3 = 30º + 360º · k3 con k3 ∈ Z y x4 = 150º + 360º · k4 con k4 ∈ Z.


a) sen x = 1 + 2 cos2 x

b) sec x + tg x = cos x

c) 6 cos2 2x

+ cos x = 1

d) 6 cos2 x + 6 sen2 x = 5 + sen x

e) tg 2x · tg x = 1

f) cos2 x = 3 sen2 x


a) sen x = 1 + 2 cos2 x ⇒ sen x = 1 + 2 – 2 sen2 x ⇒ 2 sen2 x + sen x – 3 = 0 ⇒

⇒ sen x = 1 ⇒ x1 = 90º + 360º · k1 con k1 ∈ Z

b) sec x + tg x = cos x xxxsen

xcos

coscos1

=+⇒ 1·0 kxsenx π=⇒=⇒ con k1 ∈ Z


34

c) 6 cos2 2x + cos x = 1 ⇒ ⇒=++⇒=+

+ 1coscos331cos2cos16

2

xxxx

⇒ cos x = - 21

⇒ x1 = 120º + 360º · k1 con k1 ∈ Z; x2 = 240º + 360º · k2 con k2 ∈ Z

d) 6 cos2 x + 6 sen2 x = 5 + sen x ⇒ 6 = 5 + sen x ⇒ sen x = 1 ⇒ x1 = 90º + 360º · k1 con k1 ∈ Z

e) tg 2x · tg x = 1 ⇒ 3

1112

2

2

±=⇒=−

tgxtg

xtg⇒ x1 = 30º + 180º · k1 con k1 ∈ Z y

x2 = 150º + 180º · k2 con k2 ∈ Z

f) cos2 x = 3 sen2 x ⇒ 1 = 4 sen2 x ⇒ sen x = 21

± ⇒ x1 = 30º + 180º · k1 con k1 ∈ Z y

x2 = 150º + 180º · k2 con k2 ∈ Z


a) sen x + 3 cos x = 2

b) sen x + cos x = 2


35

c) sen x + cos x = 25


a) sen x + 3 cos x= 2 ⇒ 1cos23

21

=+ xxsen ⇒ sen (x + 60º) = 1 ⇒

⇒ x1 = 30º + 360º · k1 con k1 ∈ Z

b) sen x + cos x = 2 ⇒ 1cos22

21

=+ xxsen ⇒ sen (x + 45º) = 1 ⇒

⇒ x1 = 45º + 360º · k1 con k1 ∈ Z

c) sen x + cos x = 25 ⇒ Imposible ya que sen x + cos x ≤ 2.

33. Resuelve los siguientes sistemas:

a)

=+

=+

26

2

ysenxsen

yx π

b)

=+

=+

22seccos

2cos

yxec

yxsen

c)

=+=+

1)(cos1coscos

yxyx

d)

==

ygxtgygxtg

2cotcot2

Las soluciones de los sistemas, en el primer giro, son:


36

a) Despejamos y = 90º - x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

⇒=−⇒=−+26)º45(cos·º45·2

26)º90( xsenxsenxsen

330º45º30º4523)º45(cos =−=−⇒=−⇒ xóxx

Las soluciones del sistema son: (15º, 75º) y (75º, 15º).

b)

=+

=+⇒

=+

=+

22cos·

cos2cos

22)seccos

2cos

yxsenxsenyyxsen

yxec

yxsen

Operamos en la segunda ecuación y sustituimos en ella el resultado de al primera ecuación, es decir, 2cos =+ yxsen :

yxsenyxsenyxsen

yxsenxseny

cos21

21cos·2cos·2222

cos·cos

=⇒=⇒=⇒=+

Sustituyendo en la primera ecuación:

º4522cos01cos22cos22cos

cos21 2 =⇒=⇒=+−⇒=+ yyyyy

y

Con este valor de y, obtenemos x = 45º y la solución del sistema es x = 45º e y = 45º.

c) De la segunda ecuación obtenemos: x + y = 0º, entonces x = - y

Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos: cos (- y) + cos y = 1 ⇒ 2 cos y = 1 ⇒ cos y = 21 .

Las soluciones del sistema son: (300º, 60º) y (60º, 300º).


37

d)

−=

−=⇒

==

⇒

==

ytgytgxtgxtgytgxtg

ytgxtgytgxtg

ygxtgygxtg

2

2

1··21··2

12·1·2

2cotcot2

Igualando ambas ecuaciones, obtenemos: ytgxtg ±= .

Sustituyendo en la primera ecuación y operando:

==

⇒±=⇒=⇒−=º150

º3033

3112 222

yy

ytgytgytgytg

Con estos valores, las soluciones del sistema son

==

==

º150º150

º30º30

yx

yyx

34. Resuelve un triángulo cuyos lados son tres números consecutivos y el ángulo menor es la mitad del mayor.

Llamamos x, x + 1 y x + 2 a los lados y α, β y 2α a los ángulos opuestos a los lados, respectivamente.

Utilizando el teorema del seno: x

xsenx

senx

22

cos22 +

=⇒+

= ααα

Sustituyendo la expresión anterior en la expresión asociada al teorema del coseno y operando, obtenemos:

⇒++−+++= αcos·)2(·)1(·2)2()1( 222 xxxxx

043...2

2·)2(·)1(·2)2()1( 2222 =−−⇒⇒

+++−+++=⇒ xx

xx

xxxxx

Las soluciones de la ecuación de segundo grado son x = - 1 y x = 4; la única válida es x = 4.

Por tanto, los lados del triángulo miden 4, 5 y 6 unidades.


38

Con x = 4, la amplitud del ángulo α es: ´´35´24º4186cos =⇒= αα

Los otros ángulos son 2α = 82º 49´ 10´´ y β = 55º 46´ 15´´.

35. Desde un punto A se observa un puente sobre un río. Si B y C son los extremos del puente sobre las orillas opuestas (B es el más cercano a A), averigua la longitud del puente sabiendo que la distancia AB es de 80 m y los ángulos BAC y ABC miden 20º y 113º, respectivamente.

La amplitud del ángulo C es:

180º - 20º - 113º = 47º

Aplicando el teorema de los senos:

mLsen

senL

sensenL 41,37

º47º20·80

º4780

º20=⇒=⇒=

El puente mide 37,41 metros.


36. En una de las orillas de un río hay un pedestal de 60 m de altura sobre el que se apoya una estatua de 9 metros de alzada. Halla la anchura x del río, sabiendo que desde el punto A, situado en la orilla opuesta al pedestal, se ve a la estatua bajo el mismo ángulo que se vería a un hombre de 1,80 m situado delante del pedestal.


39

Según la siguiente figura:

Llamando β al ángulo bajo el cual se ve el pedestal, tenemos:

( ) ⇒−

=⇒−

+=

+−

+=+

1088,6169

8,1·601

8,160960;

·1 2xx

xxx

xxxtgtg

tgtgtgαβαβαβ

.17,3274522,7 2 mxx =⇒=⇒

La anchura del río es de 32,17 metros.

37. Una calle mide 12 m de ancha. Desde el punto medio de la misma se observan los aleros de sendos edificios de alturas H y h bajo ángulo 2β y β, respectivamente.

En el caso de que los ángulos sean 60º y 30º, calcula H y h. Encuentra la relación general que liga a las alturas H y h, y comprueba que las alturas calculadas anteriormente verifican la relación general.

Sea el esquema:


40

Los cálculos quedan:

.39,103·66

º60 mHHHtg =⇒=⇒=

.46,33

1·66

º30 mhhhtg =⇒=⇒=

En la expresión ( )β

ββ 2122

tgtgtg

−= , sustituimos

662 htgyHtg == ββ , y obtenemos:

HH

hHhhHh

hH 36366

03672·

361

6·2

6

22

2

−+=⇒=−+⇒

−=

Esta es relación que liga ambas alturas. Relación que se verifica para los valores del enunciado.

38. Siendo A, B, C los ángulos de un triángulo, demuestra que:

tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C

Nota: ayúdate del desarrollo de tg (A + B + C) y recuerda que A + B + C = 180º.

A partir del desarrollo de tg (A + B + C) y de sustituir A + B + C = 180º, obtenemos la expresión buscada:

[ ] =+−++

=++=++)(·1

)()()(CBtgAtg

CBtgAtgCBAtgCBAtg

CtgAtgBtgAtgCtgBtg

CtgBtgAtgCtgBtgAtg···1

··−−−

−++=

Como A + B + C = 0, entonces tg (A + B + C) = 0 y queda tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C


41

39. En los manuales de agrimensura podemos encontrar la siguiente fórmula para calcular el área de un triángulo, siempre que se conozcan los elementos que en ella aparecen:

BtgAtgBtgAtgcS

+=

···21 2

Ayudándote de la altura correspondiente al vértice C, demuestra la fórmula anterior.

Consideramos el triángulo del dibujo.

El área del triángulo es: hcalturabaseS ·21·

21

==

Vamos a calcular h:

BtgAtgBtgAtgch

xchBtg

xhAtg

+=⇒

−=

=··

De modo que sustituyendo en el área obtenemos la fórmula buscada.

BtgAtgBtgAtgc

BtgAtgBtgAtgccS

+=

+=

···21···

21 2


42

40. Una antena vertical de telecomunicaciones está fijada al suelo por cuatro cables cuyos anclajes forman un cuadrado de lado 80 m, sobre cuyo centro está situada la base de la antena. El ángulo formado por cada cable con la horizontal es de 75º. Realiza un dibujo de la situación y calcula la longitud de cada cable y la altura de la antena.

En el dibujo adjunto aparece la antena, AC, y los cables, uno de ellos BC.

En el dibujo puede apreciarse el triángulo ABC, rectángulo en A, con el ángulo en B de 75º y sus lados son:

- AC la longitud de la antena,

- AB la mitad de la diagonal de la base,

- BC la longitud de uno de los cables.

La medida de AB es la mitad de la diagonal del cuadrado de lado 80 m, por tanto:

mABDAB 57,568080·21·

21 22 =⇒+==

Calculamos la longitud de cada cable y la longitud de la antena en el triángulo ABC:

.57,218º75cos

57,5657,56º75cos mLLL cablecable

cable

=⇒=⇒=

.12,211º75·57,5657,56

º75 mLtgLL

tg antenaantenaantena =⇒=⇒=


43

41. En una estación de esquí quieren hallar la distancia entre las cimas de dos montañas para unirlas con un cable. Calcula la longitud del cable con los datos que aparecen en el dibujo.

Sea el dibujo del enunciado:

En el triángulo ABC1:

El ángulo C1 vale C1 = 180º - 72º - 49º = 59º.

Utilizando el teorema de los senos:

==

==⇒==

44,1331º59º72·1200

56,1056º59º49·1200

º72º49º591200

1

111

sensenBC

sensenAC

senBC

senAC

sen

En el triángulo ABC2:

El ángulo C2 vale C2 = 180º - 47º - 82º = 51º.

Utilizando el teorema de los senos:


44

==

==⇒==

29,1129º51º47·1200

08,1529º51º82·1200

º47º82º511200

2

222

sensenBC

sensenAC

senBC

senAC

sen

Determinamos la longitud del cable, Lcable, en el triángulo AC1C2 aplicando el teorema del coseno:

⇒−+= º25cos·08,1529·56,1056·208,152956,1056 222acbleL

.26,725 mLcable =⇒

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN de la página 131

La distancia al horizonte

a) Para un observador que tenga los ojos a 1,80 m de altura, ¿sabrías calcular a qué distancia, d1, se encuentra su horizonte?

b) Intenta calcular la distancia anterior si nos desplazamos sobre la Tierra (distancia d2). ¿Crees que el resultado obtenido variará mucho respecto al anterior? ¿Por qué?

c) Encuentra y representa las funciones que relacionan la distancia al horizonte, d1 o d2, en función de la altura, h, del observador.

d) ¿A qué altura deberíamos subir para ver el horizonte a 50 kilómetros?

e) Suponiendo que desde el Everest no hubiera ninguna nube cubriendo la Tierra, calcula la superficie total del planeta que se podría divisar desde esa montaña.

Investiga y calcula la superficie del casquete esférico que puede verse desde un avión que vuela por encima de 10 000 metros.


45

a) La distancia que buscamos es d1 = OH, como puede verse en la figura.

El triángulo OHC es rectángulo en H ya que el radio y la tangente en H son perpendiculares.

Aplicando el teorema de Pitágoras y operando, obtenemos:

⇒+=++⇒+=+ 21

22221

22 2)( dRRhhRdRhR

RhdRhhddRhh 222 12

12

12 ≈⇒+=⇒=+⇒

En la expresión final no se ha tenido en cuenta h2, ya que su valor será prácticamente nulo comparado con el valor de 2Rh.

Para el caso de una persona que tenga los ojos a h = 1,8 m = 0,0018 km del suelo y dado que el radio de la Tierra es R = 6371 km, tenemos:

.789,40018,0·6371·2 kmd ≈≈

b) En este caso hay que calcular la distancia d2, correspondiente al arco de círculo PH.

En el triángulo OHC podemos calcular: hR

RhR

R+

=⇒+

= arccoscos αα

En el triángulo curvilíneo PHC tenemos en cuenta la relación “arco = radio · ángulo” y obtenemos:

hRRRd+

= arccos·2

Para h = 1,8 m = 0,0018 km, obtenemos:

.789,40018,06371

6371arccos·63712 kmd ≈+

=

El resultado es prácticamente igual al obtenido con anterioridad. Esto es debido a que R y R + h tienen valores muy próximos y, por tanto, el ángulo es muy pequeño.


46

c) En la gráfica pueden verse las gráficas de las funciones que relacionan la distancia al horizonte, tomando o no el término h2. Estas funciones son:

hhd ·6371·221 += y hD ·6371·2=

En la gráfica pueden verse las gráficas de las funciones de las distancias al horizonte:

hhd 6371·221 += y

+

=h

d6371

6371arccos·63712


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d) Debemos resolver la siguiente ecuación:

.1962,06371·2

2500·6371·250··250 2 kmhhhR ≈=⇒=⇒=

Tendríamos que subir a unos 200 m de altura.

e) Desde una altura h se puede ver un casquete esférico de altura R · (1 – cos α), donde

+

=hR

Rarccosα .

Teniendo en cuenta que el área de un casquete esférico viene dada por la fórmula A = 2πRh, tenemos:

+

−=⇒

+

−=hR

RRAhR

RRRA 1·2arccoscos1··2 2ππ

Tomando la altura del Everest h = 8848 m = 8,848 km, tenemos:

.696353848,86371

63711·63712 22 kmA ≈

+

−= π

CUESTIONES INICIALES de la página 112...Matemáticas I – UD 5: TRIGONOMETRÍA II SOLUCIONARIO 1...

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