Consolidacion

Estadística bivariada Nivel consolidación

1. un pediatra desea reclutar a 5 parejas, cada una de ellas en espera de su primer hijo, para participar en un nuevo tipo de nacimiento natural. Si la probabilidad de que una pareja acepte es de 0,2 ¿Cuál es la probabilidad de que se le pida a 10 parejas antes de encontrar la quinta pareja que acepte?

Solución.

2. Sea la cantidad de ostras de cierto tipo que caen en una trampa durante determinado periodo. Supongamos que tiene una distribución de Polisón con . Determine la probabilidad de que una trampa contenga 5 ostras.

Solución.

e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l 2


3. Supongamos que el 15% de la población tiene problemas de lenguaje. Determine la probabilidad de que en un grupo de 50 individuos haya a lo más 10 personas con problemas de lenguaje.

Solución.

4. Supongamos que el 15% de la población tiene problemas de lenguaje. Determine la probabilidad de que en un grupo de 50 individuos haya a lo menos 5 personas con problemas de lenguaje.

Solución.



5. Supongamos que el 15% de la población tiene problemas de lenguaje. Determine la probabilidad de que en un grupo de 50 individuos haya entre 3 y 6 personas inclusive con problemas de lenguaje.

Solución.

6. Supongamos que el 15% de la población tiene problemas de lenguaje. Determine la probabilidad de que en un grupo de 50 individuos haya exactamente 5 personas con problemas de lenguaje.

Solución.

7. escribe el desarrollo del binomio para la expresión

Solución.



8. En una prueba de ciencias que consta de 10 puntos. El puntaje promedio que obtuvieron los alumnos fue de 6,7 y la desviación estándar fue de 1,2. Considerando que los puntajes están normalmente distribuidos, determine el porcentaje de estudiantes que obtuvieron 6 puntos.

Solución.

9. Un dado es lanzado 10 veces, determine la probabilidad de obtener entre 3 y 6 caras inclusive.

Solución.

10. Un dado es lanzado 10 veces, determine la probabilidad de obtener entre 3 y 6 caras inclusive, usando la aproximación a una distribución normal



Solución.

11. El 10% de los trabajadores de una empresa presentan problemas con el cálculo de porcentajes. Calcule la probabilidad de que en una muestra de 10 trabajadores elegidos al azar, exactamente dos de ellos presenten problemas con el cálculo de porcentajes, usando la distribución de modelo Binomio.

Solución.

12. El 10% de los trabajadores de una empresa presentan problemas con el cálculo de porcentajes. Calcule la probabilidad de que en una muestra de 10 trabajadores elegidos al azar, exactamente dos de ellos presenten problemas con el cálculo de porcentajes, usando la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.



Solución.

13. Un periodista escribe una columna en un diario, la probabilidad de encontrar un error tipográfico es de 0,005, los errores son independientes entre cada columna. ¿Cuál es la probabilidad de que en 400 columnas escritas solo 1 de ellas posea errores tipográficos?

Solución.

14. Un periodista escribe una columna en un diario, la probabilidad de encontrar un error tipográfico es de 0,005, los errores son independientes entre cada columna. ¿Cuál es la probabilidad de que en 400 columnas escritas a lo más 3 de ellas posean errores tipográficos?

Solución.



15. Supongamos que en una parada de autobús pasan 6 cada minuto. Determine la probabilidad de que en 0,5 minutos pasen al menos un autobús.

Solución.

16. En cierto hospital se comprobó que la aplicación de un determinado tratamiento en enfermos con cirrosis produce una cierta mejoría en el 0,8% de los casos. Si el tratamiento es aplicado a 8 personas, calcule la probabilidad de que mejoren 5.

Solución.



17. En cierto hospital se comprobó que la aplicación de un determinado tratamiento en enfermos con cirrosis produce una cierta mejoría en el 0,8% de los casos. Si el tratamiento es aplicado a 8 personas, calcule la probabilidad de que mejoren al menos 3.

Solución.

18. En una ciudad se encontró que el 0,2% había necesita de bomberos este año. Con objeto de establecer una encuesta, bomberos selecciona a 5 hogares al azar. Calcule la probabilidad de que dos hogares hayan necesitado de bomberos.

Solución.



19. En una ciudad se encontró que el 0,2% había necesita de bomberos este año. Con objeto de establecer una encuesta, bomberos selecciona a 5 hogares al azar. Calcule la probabilidad de que al menos 3 hogares hayan necesitado de bomberos.

Solución.

20. En una ciudad se encontró que el 0,2% había necesita de bomberos este año. Con objeto de establecer una encuesta, bomberos selecciona a 5 hogares al azar. Calcule la probabilidad de que ninguno de los hogares haya necesitado de bomberos.

Solución.



21. En una ciudad se encontró que el 0,2% había necesita de bomberos este año. Con objeto de establecer una encuesta, bomberos selecciona a 5 hogares al azar. Calcule la probabilidad de que alguno de los hogares haya necesitado de bomberos.

Solución.

22. Una agencia de publicidad ha determinado que, en una encuesta telefónica, la probabilidad de que una persona vote por tres candidatos A,B,C es, respectivamente, 0,1 ; 0,4 y 0,5. Suponiendo que la encuesta es realizada a 10 personas, calcule la probabilidad de que el candidato B no obtenga ningún voto y el A y el C el mismo número de votos.

Solución.



23. Una agencia de publicidad ha determinado que, en una encuesta telefónica, la probabilidad de que una persona vote por tres candidatos A,B,C es, respectivamente, 0,1 ; 0,4 y 0,5. Suponiendo que la encuesta es realizada a 10 personas, calcule la probabilidad de que el candidato A obtenga los 10 votos

Solución.

24. En un hospital un enfermo del riñón debe tomar tres pastillas de un medicamento, se sabe que de las 12 pastillas que contiene un envase 4 están en malas condiciones. Calcule la probabilidad de que tome sólo una buena.

Solución.

25. En un hospital un enfermo del riñón debe tomar tres pastillas de un medicamento, se sabe que de las 12 pastillas que contiene un envase 4 están en malas condiciones. Calcule la probabilidad de que al menos una esté en malas condiciones.



Solución.

26. En un hospital un enfermo del riñón debe tomar tres pastillas de un medicamento, se sabe que de las 12 pastillas que contiene un envase 4 están en malas condiciones. Si existe otro envase que contenga 40 pastillas, de las cuales 10 están en malas condiciones, ¿Qué envase sería más beneficiosos para el enfermo?

Solución.



Por lo tanto el segundo envase es más beneficioso que el

primero.

27. Para aprobar un ramo una persona debe contestar una prueba de 20 ítems. Se sabe que la probabilidad de que una determinada persona conteste bien cada ítem es de 0,8. Calcule la probabilidad de que la primera pregunta que contesta bien sea la tercera que hace.

Solución.

28. Para aprobar un ramo una persona debe contestar una prueba de 20 ítems. Se sabe que la probabilidad de que una determinada persona conteste bien cada ítem es de 0,8. Para aprobar este ítem es necesario contestar 10 ítems bien. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al contestar el doceavo ítem?



Solución.

29. Un profesor realiza un test de 10 ítems a una clase cada uno con 4 posibilidades, de las cuales solo una es correcta. Suponiendo que un alumno no se ha preparado y tiene la misma probabilidad de responder a cada una de las alternativas. Determine la probabilidad de que conteste todos los ítems mal.

Solución.

30. Un profesor realiza un test de 10 ítems a una clase cada uno con 4 posibilidades, de las cuales solo una es correcta. Suponiendo que un alumno no se ha preparado y tiene la misma probabilidad de responder a cada una de las alternativas. Determine la probabilidad de que conteste al menos 5 ítems bien.

Solución.



31. Un profesor realiza un test de 10 ítems a una clase cada uno con 4 posibilidades, de las cuales solo una es correcta. Suponiendo que un alumno no se ha preparado y tiene la misma probabilidad de responder a cada una de las alternativas. Determine la probabilidad de que conteste entre 4 y 6 bien.

Solución.

32. Un profesor realiza un test de 10 ítems a una clase cada uno con 4 posibilidades, de las cuales solo una es correcta. Suponiendo que un alumno no se ha preparado y tiene la misma probabilidad de responder a cada una de las alternativas. Determine la probabilidad de que conteste todos los ítems bien.

Solución.



33. Un profesor realiza un test de 10 ítems a una clase cada uno

con 4 posibilidades, de las cuales solo una es correcta. Suponiendo que un alumno no se ha preparado y tiene la misma probabilidad de responder a cada una de las alternativas. Determine la probabilidad de que conteste menos de 3 ítems bien.

Solución.

34. Un grupo de estudiantes debe tomar ramos optativos, dentro de los cuales existen 4 posibilidades, a saber, álgebra, trigonometría, cálculo y geometría, cada uno de ellos tiene la probabilidad de ser elegido de 0,3; 0,4; 0,1 y 0,2 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que de 12 alumnos 3 elijan álgebra, 5 trigonometría, 2 cálculo y 2 geometría?

Solución.



35. En una rotación de alimentos de cierto supermercado, se analizan en promedio 1 de cada 20 productos perecibles tienen problemas de trazabilidad. Determine la probabilidad de que al hacer el control de calidad el cuarto producto analizado sea el primero defectuoso

Solución.

36. Se extraen las cartas de la baraja española con reemplazamiento y al azar. Determine la probabilidad de obtener 5 cartas que no sean espadas antes de obtener la primera espada.

Solución.

37. Se sabe que la probabilidad de que una bacteria sobreviva más de una semana es de 0,5, si se tienen 100 bacterias determine la probabilidad de que vivan más de 65



Solución.

38. Se sabe que la probabilidad de que una bacteria sobreviva más de una semana es de 0,5, si se tienen 100 bacterias determine la probabilidad de que vivan entre 40 y 60

Solución.

39. Se sabe que la probabilidad de que una bacteria sobreviva más de una semana es de 0,5, si se tienen 100 bacterias determine la probabilidad de que vivan menos de 30

Solución.

40. Se sabe que la probabilidad de que una bacteria sobreviva más de una semana es de 0,5, si se tienen 100 bacterias determine la probabilidad de que vivan más de 45



Solución.

41. Los proveedores de bebidas deciden otorgar un premio entre sus vendedores si venden 320 o más bebidas por día. El número de bebidas vendidas por día por ambos proveedores está distribuido normalmente de la siguiente forma:

Proveedor Promedio DesviaciónA 290 bebidas 20 bebidasB 300 bebidas 10 bebidas

Determine el porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor A

Solución.

42. Los proveedores de bebidas deciden otorgar un premio entre sus vendedores si venden 320 o más bebidas por día. El número de bebidas vendidas por día por ambos proveedores está distribuido normalmente de la siguiente forma:

Proveedor Promedio DesviaciónA 290 bebidas 20 bebidasB 300 bebidas 10 bebidas

Luego.



Determine el porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor B

Solución.

43. Una variable aleatoria sigue una distribución de de Persson. Se pide calcular la probabilidad

Solución.

Se debe interpolar

Abscisa Areas

Luego.

44. Una variable aleatoria sigue la distribución de estudiantes, calcule la probabilidad



Solución.

Análogamente, teniendo en cuenta que tenemos

Sin embargo, el no se encuentra directamente en las tablas.

Interpolando se obtiene

Abscisas Áreas

Luego

45. Una variable aleatoria sigue la distribución t de estudiantes,

calcule la probabilidad



Solución.

Se debe interpolar

Abscisas Áreas

Luego

46. Una variable aleatoria sigue la distribución t de estudiantes, calcule la probabilidad



Solución.

Llamando

Se tiene que

Abscisas Áreas

Luego

47. Un sistema de robo tiene una probabilidad de detectar un robo con una probabilidad de 0,9. Encuentre la probabilidad de que el sistema no funcione en al menos 2 de 4 registros.

Solución.



48. Un sistema de robo tiene una probabilidad de detectar un robo con una probabilidad de 0,9. Encuentre la probabilidad de que el sistema no funcione en al menos 1 vez en 20 registros.

Solución.

49. Supongamos que en una carretera los automóviles están distribuidos aleatoriamente con distancias promedio de 1.000 pies. Determinar la probabilidad de encontrar al menos dos automóviles en un intervalo de 1.000 pies, escogido aleatoriamente.

Solución.



50. Una bolsa de 50 dulces, son elegidos al azar entre en un total de 100. Hallar la probabilidad de que 2 dulces sean del mismo tipo.

Solución.

51. Una bolsa de 50 dulces, son elegidos al azar entre en un total de 100. Hallar la probabilidad de que 2 dulces sean del mismo tipo.

Solución.

52. En la elección de un centro de padres, se deben elegir 5

representantes, si dos de ellos son apoderados de cursos de educación media y cuatro de educación básica, determine la probabilidad de que los cuatro de educación básica sean elegidos.

Solución.



53. 5 amigos cenan en un restauran donde existen 6 variedades de postres, a saber 2 de leche y 4 pasteles, si los postres son elegidos al azar, determine la probabilidad de que 4 de los 5 amigos elijan postres de pasteles.

Solución.

54. .Cierto estudio ha arrojado que los errores que cometen algunos componentes tiene como media cero y la desviación típica es cuatro. Calcule la probabilidad de:

a) Que un error no sea mayor a 6.

b) Que sea por defecto y mayor a 8 grados.

Solución.



55. Se ha determinado que la probabilidad de que una persona acierte a cierto juego de azar es de 0,0001. Si 2000 personas apuestan al mismo juego. Determine la probabilidad de que a lo más cinco personas acierten en el juego.

Solución.

56. Una empresa tiene tres sucursales que producen cierto artículo, si cada una de las sucursales son independientes y la cantidad de artículos producidos durante un día determinado siguen una distribución gamma, si la primera sucursal tiene parámetros , la segunda sucursal y la tercera

sucursal . Calcular la probabilidad de que la empresa produzca en un determinado día más de 4 toneladas de dicho artículo.

Solución.

Sucursal 1:

Sucursal 2:

Sucursal 3:



Empresa:

57. Las edades en cierto grupo están distribuidas normalmente media 21,3 y desviación estándar de 0,5. ¿Qué porcentaje de personas están bajo los 20 años?

Solución.

58. Una persona que planta rosas, esta temporada ha plantado 1.000 semillas, por experiencia sabe que el 1% de dichas semillas no florecerá ¿Cuál es la probabilidad de que la plantación contenga más del 1% de semillas que no florezcan?



Solución.

59. Un cierto artículo en un supermercado tiene 4 marcas diferentes si la probabilidad de vender el de marca A es 0,3, el de marca B es 0,4, el de marca C es 0,1 y el de marca D es 0,2. En un determinado día se venden 12 artículos, determine la probabilidad de que 3 sean de la marca A, 5 de la marca B, 2 de la marca C y 2 de la marca D.

Solución.

60. 12 alumnos se han reunido a estudiar para un examen, si la

probabilidad de los resultados es la siguiente:

0,2

0,4

0,3

0,1



Determine la probabilidad de que 2 de los alumnos obtengan nota superior a 6,0; 6 obtengan nota entre el 5,0 y el 6,0; 2 entre el 4,0 y el 5,0 y 2 nota inferior a 4,0

Solución.

61. En una partida de 4.000 televisores se informa que 500 tienen un pequeño desperfecto. Si cierta empresa compra 20 de esos computadores. Determine la probabilidad de encontrar exactamente 2 con defectos.

Solución.

62. se ha determina que en promedio a cierto local llegan 180

personas por hora, si en ese local se pueden atender a 5 personas por minuto. Determine la probabilidad de que en un minuto determinado queden personas sin atender.

Solución.



63. En cierto restaurante los clientes llegan en promedio 6 personas por minuto, si la llegada de los clientes siguen un modelo exponencial. Determine la probabilidad de que el próximo cliente no llegue dentro de medio minuto.

Solución.

64. La probabilidad de encontrar a una persona cesante en cierta ciudad es de 0,05. Si la cantidad de personas cesantes es independiente. Determine la probabilidad de encontrar a lo más 2 personas cesantes en un grupo de 10 personas.

Solución.

65. En un juego de azar un portador apuesta a 5 juegos, si la probabilidad de acertar es de . Determine la probabilidad de que dicho apostador gane al menos 3 juegos.

Solución.



66. En cierta boutique se hacen dos tipos de vestidos, de novias y de noche, si una persona compra 4 vestidos, determine la probabilidad de que compre al menos uno de novia

Solución.

67. En una empresa agrícola el20% de los trabajadores tienen estudios superiores, si se eligen 20 personas al azar determine la probabilidad de que a lo más 3 trabajadores tengan estudios superiores.

Solución.



68. En una empresa agrícola el20% de los trabajadores tienen estudios superiores, si se eligen 20 personas al azar determine la probabilidad de que a lo menos 3 trabajadores tengan estudios superiores.

Solución.

69. La probabilidad de encontrar estacionamientos en un centro comercial en vísperas de una fecha importante es de 0,005, si el estacionamiento tiene una capacidad para 400 vehículos. Determine la probabilidad de a los más 3 automóviles no encuentren lugar para estacionar.

Solución.


Solución.




Solución.

72. En una cinta de sellado de conservas pasan cada 6 segundos un tarro, determine la probabilidad de que en 0,5 segundo pase al menos 1 tarro.

Solución.

73. En una cinta de sellado de conservas pasan cada 6 segundos un tarro, determine la probabilidad de que en 0,5 segundo pase a lo más 3 tarros.

Solución.



74. una prueba consta de 5 preguntas, si la probabilidad de contestar correctamente es de 0,6. Determine la probabilidad de que al menos 3 de las preguntas sean correctamente contestadas

Solución.

75. Una distribuidora automotriz trabaja con tres marcas: Hyundai, Mazda y Toyota, si la cantidad de unidades que tiene están en razón de 0,3:0,25:0,45 respectivamente. Si durante una semana se venden 20 unidades ¿Cuál es la probabilidad de que 8 sean Hyundai, 5 mazda y 7 Toyota?

Solución.



76. De un grupo de 300 personas, se seleccionan 4 para realizar una capacitación laboral, si 200 de esas personas ya han participado anteriormente de una capacitación ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro personas escogidas no hayan participado de una capacitación?

Solución.

77. Las edades de 10 personas, siguen una distribución , determine la probabilidad de que más de dos personas tengan entre 13 y 31 años .

Solución.

78. En un club deportivo se escogen 50 deportistas al azar, si la probabilidad de aplicar el doping a algún deportista y éste sea



positivo es de 0,2. Determine la probabilidad determine la probabilidad de tener entre 9 y 12 deportistas con doping positivo.

Solución.

79. Una persona escribe 3,2 palabras por minuto, determine la probabilidad de que escriba 5 palabras en el próximo minuto.

Solución.

80. Se entrevista a 200 personas las que deben decir si en un partido de futbol cierto equipo gana o pierde. Determine la probabilidad de que a lo más 50 personas digan que su equipo gana el partido.



Solución.

81. La longitud de ciertos alambres es en promedio 7000 metros con una desviación de 600 metros ¿Cuál es la probabilidad de que un alambre tenga menos de 500 metros?

Solución.

82. Una comisaría recibe en promedio cada noche 5 personas detenidas, suponiendo que la cantidad de personas detenidas sigue un modelo de Poisson, determine la probabilidad de que esa comisaría reciba 3 personas detenidas.

Solución.



83. Una maquina de proceso industrial comete en promedio 0,2 errores por día. Determine la probabilidad de que la máquina no cometa ningún error al cabo de 8 días.

Solución.

84.La aprobación de un crédito, es en promedio 150 días, con una desviación estándar de 30 días, Si el crédito lo están solicitando 15 personas ¿cuál es la probabilidad de que el crédito de estas personas esté listo en menos200 días?

Solución.

85.Un centro de salud pública puede atender a un máximo de 300 personas, si diariamente se atienden en promedio 250 personas con una distribución de Poisson. Determine la probabilidad de que en un día determina el sistema de salud colapse.

Solución.



86.Fundación Chile es el organismo encargado de supervisar que las condiciones de una empresa sean las óptimas para su funcionamiento, la probabilidad de que una empresa no cumpla con los requerimientos mínimos es de 0,05. Si cada empresa es independiente entre sí. Determine la probabilidad de que entre 10 empresas 2 no cumplan con dichos requerimientos.

Solución.

87.Fundación Chile es el organismo encargado de supervisar que las condiciones de una empresa sean las óptimas para su funcionamiento, la probabilidad de que una empresa no cumpla con los requerimientos mínimos es de 0,05. Si cada empresa es independiente entre sí. Determine la probabilidad de que entre 10 empresas a lo más 1 no cumpla con dichos requerimientos.

Solución.

88.Un gerente tiene 30% de probabilidades de concretar una venta con un cliente, si llama a cinco proveedores ¿Cuál es la probabilidad de que haga menos de tres ventas?



Solución.

89. El administrador de una empresa ha determinado que un subcontratista entrega las órdenes a tiempo alrededor del 90% de las veces. Si el administrador le ha hecho 10 pedidos ¿Cuál es la probabilidad de que le entregue todos sus pedidos a tiempo?

Solución.

89. En una promoción de 24 productos 6 han sido marcados con premios, si se seleccionan 6 productos al azar determine la probabilidad de que los 6 productos ninguno tenga premio.

Solución.



90. Se ha determinado que la probabilidad de que ocurra un accidente en una autopista recién inaugurada es de 0,0001. Si 2000 vehículos transitan por dicha autopista. Determine la probabilidad de que a lo más cinco automóviles se vean involucrados en accidentes.

Solución.

91. Una persona decide comprar 4 chocolates al azar, si al entrar en una tienda solo existen dos tipos de chocolates, de chocolate negro y chocolate blanco. Determine la probabilidad de que al menos uno sea chocolate blanco

Solución.



91. La cantidad de asistentes los conciertos es en promedio de 7000 personas con una desviación de 600 personas ¿Cuál es la probabilidad de que un concierto tenga menos de 500 personas?

Solución.

92. Los clientes de cierta tiendan ingresan cada 6 minutos, determine la probabilidad de que en 0,5 minutos, ingrese a lo más 3 clientes.

Solución.

93. La edad de los apoderados de un curso de educación básica

es en promedio 40 años, con una desviación estándar de 7 años, si la edad de estos apoderados sigue una distribución de normal. Determine la probabilidad de que tener un apoderado menor de 20 años.



Solución.

94. Un pescador desea pescar un determinado molusco que se encuentra con un porcentaje del 15%. Hallar la probabilidad de que tenga que pescar 10 moluscos no deseados antes de pescar un ejemplar del que anhela.

Solución.

95. Un pescador desea pescar un determinado molusco que se encuentra con un porcentaje del 15%. Hallar la probabilidad de que tenga que pescar 10 moluscos antes de encontrar 3 ejemplares deseados



Solución.

96. En un estadio la probabilidad de encontrar una entrada falsificada es de 0,0001, si se venden 20000 entradas para un determinado partido. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren más de 2 entradas falsificadas?

Solución.

Se trata de una Binomial con . Se aproxima a una distribución

de Poisson de parámetro

97. De 10.000 accidentes automovilísticos se sabe que el 0,005% tiene al menos un fallecido. Halle la probabilidad de que más de 3 accidentes tengan un fallecido.



Solución.

La Binomial de parámetro se aproxima a una Poisson

de parámetro

98. Una central telefónica recibe unas 300 llamadas cada hora.

No puede establecer más de 12 conexiones por minuto. Determine la probabilidad de que quede rebasada en un minuto dado.

Solución.

Como se desconoce el valor de se considera el número de llamadas por

minuto

esto es:

, luego



99. Una central telefónica recibe unas 300 llamadas cada hora. No puede establecer más de 12 conexiones por minuto. Determine la probabilidad de que reciba solo una llamada en un minuto dado.

Solución.

Como se desconoce el valor de se considera el número de llamadas por minuto

esto es:

, luego

100. La escasez de glóbulos rojos puede determinarse

examinando al microscopio una muestra de sangre. Suponiendo que un volumen pequeño determinado contenga por medio 20 glóbulos rojos en personas normales. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de una persona normal contenga menos de 15 glóbulos rojos

Solución.

que es el término medio de glóbulos rojos.



101. En una empresa el número de accidentes sigue una distribución de Poisson de parámetro . Calcule la probabilidad de que haya 4 accidentes en el transcurso de 2 semanas.

Solución.

Sea el número de accidentes en la primera semana, e en la

segunda semana. Ambas

variables son independientes. La variable es el número de accidentes en las dos

semanas que también seguirá una distribución de Poisson de parámetro

102. En una empresa el número de accidentes sigue una distribución de Poisson de

parámetro . Calcule la probabilidad de que haya 2 accidentes en una semana

y otros 2 en la semana siguiente.



Solución.

103. Una sala de computación tiene 20 computadores, 2 de los cuales estaban defectuosos. Si se selecciona al azar 3 tres computadoras de dicha sala. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos tengan desperfectos?

Solución.



Entonces la probabilidad de sacar computadores defectuosas en una muestra de es

104. Una vendedora tiene éxito en formalizar una venta en un 30% de sus clientes. Supóngase que una venta es independiente de otra. ¿Cuál es la probabilidad de que esta vendedora tenga que tratar con 10 personas antes de hacer su primera venta?

Solución.

105. Las lesiones de una empresa tiene un promedio anual de 2,7 si el próximo año las condiciones de seguridad continúan de la misma forma ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lesiones graves sea menor a dos?

Solución.



106. Se lanza al aire una moneda veces, calcular al probabilidad de obtener veces cara y veces cruz.

Solución.

La masa de probabilidad se distribuye según el binomio de

newton:

Y la probabilidad de que una variable aleatoria tome un

cierto valor es:



107. Una concesionaria de automóviles vendió en un día 5 automóviles del mismo tipo. La probabilidad de que dicho automóvil no pase la revisión técnica en un periodo de dos años es de 0,8. Calcule la probabilidad de que todos los automóviles vendidos ese día en dos años más no aprueben la revisión

Solución.

108. Un vendedor de refrigeradores sabe que éstos pueden tener fallas dentro de 10 años, si la probabilidad de que fallen es de 0,4. Si ha vendido 15 refrigeradores. Determine la probabilidad de que a lo más 3 presenten fallas.

Solución.



109. Un texto contiene 1500 errores distribuidos al azar, si se

abre el texto en cualquier página y sea la cantidad de errores encontrados. Es posible aproximar la distribución de probabilidad de por medio de una distribución de Poisson. Determine el parámetro de distribución.

Solución.

110. La probabilidad que una persona presente una reacción alérgica a vacuna contra una gripe estacionaria es de 0,001. Si 2000 personas han sido vacunadas, determine la probabilidad que a lo más 3 personas presenten reacciones alérgicas.

Solución.

Aproximando a una distribución de probabilidad de Poisson se

tiene:



111. Una empresa que está en paro el 25% de los trabajadores,

se realiza una encuesta a 12 personas. Determine la probabilidad de encontrar a 4 personas que estén en paro

Solución.

112. Se sabe que el 40% de los habitantes de una ciudad utilizan una determinada marca de detergente, si se encuesta a 20 personas determine la probabilidad de encontrar 15 personas que usen dicho detergente.

Solución.



113. Si el 85% de la población no son vegetarianos, cual es la probabilidad de encontrar en un grupo de 15 personas a 5 que sean vegetarianos.

Solución.

114. En promedio los reclamos de cierta tienda, se realizan dos cada cinco días, sabiendo que sigue un modelo de Poisson, determine la probabilidad de que llegue un reclamo en los próximos cinco días

Solución.



115. El tiempo que tarda un mail en llegar a su destino es de 5 segundos, si el tiempo que tarda sigue un modelo exponencial. Determine la probabilidad de que un mail demore más de 10 segundos en ser recepcionado

Solución.

116. En una bolsa hay 6 frutas, 2 manzanas y 4 peras, si una persona elige al azar 5 frutas, determine la probabilidad que 4 de ellas sean peras.

Solución.

117. De un grupo de 100 personas son escogidas aleatoriamente 50 de ellos, determine la probabilidad que dos de ellos sean familiares.



Solución.

118. La probabilidad de que una mujer queda embarazada entre los 18 y 20 años es de 0,5. Si se tienen 100 mujeres en ese rango de edad, determine la probabilidad de que entre 40 y 60 mujeres queden embarazadas.

Solución.

119. En un test se aplican 100 preguntas a un grupo de 200 personas, se sabe que dicho test tiene una distribución normal de media 60 y desviación 10 preguntas. Determine la probabilidad de que una persona conteste entre 30 y 40 preguntas.

Solución.



120. En un test se aplican 100 preguntas a un grupo de 200 personas, se sabe que dicho test tiene una distribución normal de media 60 y desviación 10 preguntas. Determine la probabilidad de que una persona conteste entre 39 y 80 preguntas.

Solución.

121. En un test se aplican 100 preguntas a un grupo de 200 personas, se sabe que dicho test tiene una distribución normal de media 60 y desviación 10 preguntas. Determine la probabilidad de que una persona conteste menos de 80 preguntas.

Solución.



122. En un embarque de 400 televisores 500 de ellos trae algún tipo de falla. Si una empresa compra 20 televisores de ese embarque determine la probabilidad de que exactamente 2 de ellos presente fallas.

Solución.

123. Al realizar las compras, una dueña de casa en promedio compra 1 alimento próximo a vencer entre 20 que ella adquiere. Determine la probabilidad de que el cuarto producto que ella compra sea el primero con fecha próxima a caducar

Solución.



124. Los estudiantes de cierto colegio deben elegir una rama deportiva de las cuatro que ofrece el establecimiento, a saber: natación, rugby, tenis y futbol. La probabilidad de elegir alguno de ellos es la siguiente 0,3; 0,4; 0,1 y 0,2 respectivamente. Determine la probabilidad de que de 12 alumnos 3 escojan natación, 5 rugby, 2 tenis y 2 futbol.

Solución.

125. Ciertas ratas de laboratorio han sido cruzadas para analizar sus características, si los colores que poseen al momento de nacer están en la razón de 8:4:4. Determine la probabilidad de que de 10 ratas 6 sean blancas, 3 grises y 1 negro.

Solución.

126. Una ruleta del casino está formada por 16 números de color rojo, 16 de color negro y 1 de color verde. Determine la probabilidad de que al final de 10 juegos el rojo salga 7 veces, el negro 2 veces y el verde una vez.



Solución.

127. Una ruleta del casino está formada por 16 números de color rojo, 16 de color negro y 1 de color verde. Determine la probabilidad de que al final de 10 juegos el rojo salga 10 veces consecutivas.

Solución.

128. Se analizan los cocientes intelectuales (cociente entre la edad mental y la edad real) de 1.000 personas, se sabe que sigue un modelo normal de media 0,90 y desviación estándar 0,40. Determine el número de personas con un cociente superior a 1,4.

Solución.



129. Una ruleta del casino está formada por 16 números de color rojo, 16 de color negro y 1 de color verde. Determine la probabilidad de que al final de 10 juegos el rojo salga 7 veces, el negro 2 veces y el verde una vez.

Solución.

130. Una ruleta del casino está formada por 16 números de color rojo, 16 de color negro y 1 de color verde. Determine la probabilidad de que al final de 10 juegos el rojo salga 10 veces consecutivas.

Solución.

131. Se analizan los cocientes intelectuales (cociente entre la edad mental y la edad real) de 1.000 personas, se sabe que sigue un modelo normal de media 0,90 y desviación estándar



0,40. Determine el número de personas con un cociente superior a 1,4.

Solución.

132. Se analizan los cocientes intelectuales (cociente entre la edad mental y la edad real) de 1.000 personas, se sabe que sigue un modelo normal de media 0,90 y desviación estándar 0,40. Determine el número de personas con un cociente entre 0,8 y 1,3.

Solución.



133. Un test consta de 400 preguntas de verdadero y falso. Sea el número de veces que fue contestado afirmativamente. Determine la probabilidad de .

Solución.

134. El peso de ciertos caballos es en promedio 151 kilos con una desviación estándar de 15 kilos. Si se toma una muestra de 500 caballos y suponiendo que están normalmente distribuidos, determine cuantos caballos pesan entre 120 y 155 kilos.

Solución.



135. El peso de ciertos caballos es en promedio 151 kilos con una desviación estándar de 15 kilos. Si se toma una muestra de 500 caballos y suponiendo que están normalmente distribuidos, determine cuantos caballos pesan más de 185 kilos.

Solución.

136. El peso de ciertos caballos es en promedio 151 kilos con una desviación estándar de 15 kilos. Si se toma una muestra de 500 caballos y suponiendo que están normalmente distribuidos, determine cuantos caballos pesan menos de 128 kilos.

Solución.

137. El peso de ciertos caballos es en promedio 151 kilos con una

desviación estándar de 15 kilos. Si se toma una muestra de 500 caballos y suponiendo que están normalmente distribuidos, determine cuantos caballos pesan a no más 128.

Solución.



138. El peso de ciertos caballos es en promedio 151 kilos con una desviación estándar de 15 kilos. Si se toma una muestra de 500 caballos y suponiendo que están normalmente distribuidos, determine cuantos caballos pesan 128 kilos.

Solución.

139. La probabilidad de que una mujer sobre 50 años quede embarazada es de 0,005, determine la probabilidad de que en un grupo de 400 mujeres sobre 50 años sólo una de ellas quede embarazada.

Solución.



140. La probabilidad de que una mujer sobre 50 años quede embarazada es de 0,005, determine la probabilidad de que en un grupo de 400 mujeres sobre 50 años a lo mas tres de ellas quede embarazada.

Solución.

141. Lo intereses que cobran por transacción de dinero es en promedio de 1,25, con una desviación de 0,46. Determine la probabilidad de que los interés estén entre 1,00 y 1,75?

Solución.



142. Una vacuna en estudio tiene una reacción efectiva en el 0,8% de los casos. Si dicha vacuna se le aplica a 8 personas determine la probabilidad de que sea efectiva al menos para 3 personas.

Solución.

143. El 0,2% de la población son donantes de órganos, si se seleccionan 5 personas al azar. Determine la probabilidad de que dos personas sean donantes.

Solución.



144. El 0,2% de la población son donantes de órganos, si se seleccionan 5 personas al azar. Determine la probabilidad de que al menos 3 personas sean donantes.

Solución.

145. El 0,2% de la población son donantes de órganos, si se seleccionan 5 personas al azar. Determine la probabilidad de que ninguna persona sea donantes.

Solución.

146. Un equipo de futbol recluta a 5 jugadores la probabilidad de que un jugador efectúe un gol en el próximo campeonato es de 3/5. Determinar la probabilidad de que al menos tres de los nuevos jugadores hagan un gol. (c)

Solución.



147. Un equipo de futbol recluta a 5 jugadores la probabilidad de que un jugador efectúe un gol en el próximo campeonato es de 3/5. Determinar la probabilidad de que sólo dos hagan un gol. (c)

Solución.

148. Un equipo de futbol recluta a 5 jugadores la probabilidad de que un jugador efectúe un gol en el próximo campeonato es de 3/5. Determinar la probabilidad de que al menos uno.

Solución.



149. Un equipo de futbol recluta a 5 jugadores la probabilidad de que un jugador efectúe un gol en el próximo campeonato es de 3/5. Determinar la probabilidad de que los cinco hagan un gol. (c )

Solución.

150. Un una tienda comercial cierto día se encuentran en vitrina solo dos productos a precios respectivamente, el 70% de

los artículos en vitrina corresponden a los de precio . Y el 30%

restante corresponde a los artículos de precio . Si en un determinado día se venden 20 productos ¿Cuál es la probabilidad de que todas correspondan al artículo de precio .

Solución.



151. Un una tienda comercial cierto día se encuentran en vitrina solo dos productos a precios respectivamente, el 70% de los artículos en vitrina corresponden a los de precio . Y el 30% restante corresponde a los artículos de precio . Si en un determinado día se venden 20 productos ¿Cuál es la probabilidad de que 5 correspondan al artículo de precio y el

resto al artículo de precio ?.

Solución.

152. Si en un negocio existen 3 marcas que venden el mismo producto, si el producto A tiene el 30% de stock, el producto B tiene el 25% y el producto C tiene el 45% restante. Si durante la semana se vendieron 20 productos. Determine la probabilidad de que 8 pertenezcan a la marca A, 5 a la marca B y 7 a la marca C.

Solución.



153. Una multitienda ofrece a sus clientes dos formas de pago, “al contado” o con tarjeta, se sabe que el 20% de las ventas realizadas son canceladas “al contado”. Si en un periodo de tiempo determinado, se han vendido 5 productos. Determine la probabilidad de que 2 o más unidades hayan sido compradas al contado. (c )

Solución.

154. Una multitienda ofrece a sus clientes dos formas de pago, “al contado” o con tarjeta, se sabe que el 20% de las ventas realizadas son canceladas “al contado”. Si en un periodo de tiempo determinado, se han vendido 5 productos. Determine la probabilidad de que 2 o menos unidades hayan sido compradas con tarjeta.

Solución.



155. Una pregunta de verdadero o falso es realiza a dos grupos el primero formado por 10 personas y el segundo por 6 personas. Determinar la probabilidad de que el número de respuestas afirmativas, en el primer grupo sea inferior a 6.

Solución.

156. Una pregunta de verdadero o falso es realiza a dos grupos el primero formado por 10 personas y el segundo por 6 personas. Determinar la probabilidad de que el número de respuestas afirmativas, en ambos grupos sea igual o superior a 12.

Solución.



157. El número en promedio de automóviles que atiende un mecánico es 210 por año. Si dicho mecánico no puede atender más de 10 automóviles mensuales, determine la probabilidad de que en un mes determinado, lleguen más automóviles de los que puede atender.

Solución.

158. La proporción de una población con sueldo superior a los 2 millones de pesos es de 0,005%. Determinar la probabilidad de que, entre 5000 personas consultadas, haya que tengan sueldo superior a 2 millones de pesos.

Solución.

159. Una compañía de seguros sabe que el 0,003% de una población fallece cada año de una determinada enfermedad,



determine la probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de 3 de los 10.000 asegurados contra esa enfermedad.

Solución

160. Sean dos variables tales que:

: se distribuye según Poisson de

parámetro

: se distribuye según Poisson de

parámetro

Comprobar que la variable , definida como:

Se distribuye según Poisson de parámetro , si son independientes.



Solución.

Determinaremos la función característica de la variable . Por definición está dada

por la forma:

Reemplazando la definición de la variable , se tiene:

Suponiendo que las variables son independientes.

Donde son la función característica de las variables

de ahí:



161. Dos industrias que producen el mismo tipo de productos, se sabe que la probabilidad de obtener unidades defectuosas es:

En la primera industria para

En la segunda industria para

Determine la probabilidad de que en un día determinado resulten

cinco o más unidades

defectuosas en la primera industria.

Solución.

162. Dos industrias que producen el mismo tipo de productos, se

sabe que la probabilidad de obtener unidades defectuosas es:





Determine la probabilidad de que en un día determinado

resulten cinco o menos

unidades defectuosas en la segunda industria.

Solución.

163. Una compañía de seguros sabe que el 0,003% de una población fallece cada año de una determinada enfermedad, determine la probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de 3 de los 10.000 asegurados contra esa enfermedad.

Solución.

21) Sean dos variables tales que:



Comprobar que la variable , definida como:

Se distribuye según Poisson de parámetro , si son

independientes.

Solución.

Determinaremos la función característica de la variable . Por

definición está dada por la forma:

Reemplazando la definición de la variable , se tiene:

Suponiendo que las variables son independientes.

Donde son la función característica de las variables de ahí:

: se distribuye según Poisson de parámetro

: se distribuye según Poisson de parámetro






Determine la probabilidad de que en un día determinado resulten

cinco o más unidades defectuosas en la primera industria.

Solución.






Determine la probabilidad de que en un día determinado

resulten cinco o menos unidades defectuosas en la segunda

industria.

Solución.



166. La duración aleatoria de un determinado producto, en horas está dada por una distribución de probabilidad . Determine la probabilidad de que la duración del producto sea superior a 170 horas.

Solución.

167. La duración aleatoria de un determinado producto, en horas está dada por una distribución de probabilidad . Determine la probabilidad de que la duración del producto sea inferior a 150 horas.

Solución.



168. Toshiba sabe de que la probabilidad que sus computadores tengan una duración mayor a 5 años es de 0,8. Determine la probabilidad de que de 4.000 computadores vendidos, más de 3.120 estén en servicio dentro de 5años.

Solución.

Aproximando a una distribución normal se tiene:

169. El 50% de las bolas contenidas en una urna son de color blanco, el 30% de color rojo y el 20% de color negro. Determinar la probabilidad de que al efectuar cinco extracciones sucesivas con reemplazamiento, dos de las bolas sean de color blanco, dos rojas y una negra

Solución.



170. El 50% de las bolas contenidas en una urna son de color blanco, el 30% de color rojo y el 20% de color negro. Determinar la probabilidad de que al efectuar cinco extracciones sucesivas con reemplazamiento, tres de las bolas sean de color blanco.

Solución.

171. El 50% de las bolas contenidas en una urna son de color

blanco, el 30% de color rojo y el 20% de color negro. Determinar la probabilidad de que al efectuar cinco extracciones sucesivas con reemplazamiento, una de las bolas sea de color rojo.

Solución.

172. El 50% de las bolas contenidas en una urna son de color blanco, el 30% de color rojo y el 20% de color negro. Determinar la probabilidad de que al efectuar cinco extracciones sucesivas con reemplazamiento, dos de las bolas sean de color negro.

Solución.



173. Un supermercado tiene diariamente a la venta cuatro artículos del mismo tipo, los que ofrece a los precios .

El 40% de las unidades ofrecidas, son de precio

El 30% de unidades ofrecidas, son de precio



Si en un determinado día se venden 8 unidades, determine la

probabilidad de que una unidad sea de precio , dos artículos de

precio , dos del artículo de precio y tres artículos de precio

Solución.



174. Un supermercado tiene diariamente a la venta cuatro artículos del mismo tipo, los que ofrece a los precios .


El 30% de unidades ofrecidas, son de precio



Si en un determinado día se venden 8 unidades, determine la

probabilidad de que tres unidades sean del precio

Solución.



175. Para probar si un estudiante tiene conocimientos de la materia se le realiza una prueba que consta de 6 preguntas de verdadero o falso y se le pide que en caso de no conocer la respuesta la adivine. Se toma como hipótesis de que si están correctas cuatro o más respuestas el estudiante tiene conocimientos de la materia. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que adivinó las respuestas de las 6 preguntas obtenga este resultado?

Solución.

Por tanto, la probabilidad de rechazar la suposición de que el estudiante está adivinando cuando esta suposición de hecho es correcta, es 0,34.

176. Los estudiantes de dos grupos toman el mismo examen. Obteniendo los siguientes resultados:

Clase

Números de estudiantes

Resultado medio

Desviación estándar

A 50 58 10



B 40 62 8

¿A qué nivel de significación son diferentes los resultados?

Solución.

La diferencia en medias

La desviación estándar de la diferencia es

Valor crítico

El nivel de significación es de 4%

177. Un dado se lanza 360 veces y se obtienen los siguientes resultados:

Cara 1 2 3 4 5 6Frecuenci 46 65 71 70 56 52



a

Utilizando la prueba de determine si el dado es verdadero.

Solución.

Cara 1 2 3 4 5 6Frecuencia observada 46 65 71 70 56 52Frecuencia esperada 60 60 60 60 60 60

-14 5 11 10 -4 -813,5 4,5 10,5 9,5 3,5 7,5182,3 20,3 110,3 90,3 12,3 56,3

Ya que el valor esperado es el mínimo para cada cara, debemos

sumar antes de dividir entre .

El número de grados de libertad es 5. Las diferencias observadas

significativas de un nivel de significación de 10%, por ende no se



puede suponer que el dado utilizado sea falso.

178. Se sacan al azar 300 bolitas de una bolsa reemplazando cada una después de haberla sacado. Se hace la hipótesis de que hay 2 bolas negras por cada bola roja, y se acepta si el número de bolas rojas que se sacan están en el rango de 90 a 110. Calcúlese la probabilidad de un error tipo I ¿Cuál es el nivel de significación de esta prueba?

Solución.

Como se trabaja con un error del tipo I la hipótesis se rechaza, cuando se debiera

aceptar.

El rango aceptado es



La probabilidad de un error tipo I es 0,2. El nivel de significación de la prueba es 20%.

179. La función de densidad de una distribución normal es:

Encontrar el límite superior sobre

Solución.

Es evidente que es simétrica con respecto a , y tiene un solo

punto máximo, de esta forma se tiene:

Como es par, , por consiguiente,

Lo que implica que:



Por consiguiente,

De esta manera, el límite superior requerido es

180. Un sistema de radar tiene una probabilidad de 0,1 de detectar un blanco durante un registro único. Hallar la probabilidad de que el blanco sea detectado al menos 2 veces en 4 registros consecutivos.

Solución.



181. Un sistema de radar tiene una probabilidad de 0,1 de detectar un blanco durante un registro único. Hallar la probabilidad de que el blanco sea detectado al menos 1 vez en 20 registros.

Solución.

182. La probabilidad de que se haga una soldadura defectuosa en una conexión dada es encuentre la probabilidad de que no se presenten defectos en el sistema.

Solución.

La probabilidad de que no haya defectos en alguna conexión es

Y la probabilidad de que no haya defectos en ninguna de las conexiones, es donde



Como

Por consiguiente:

183. Un número real entre 0 y 100 se selecciona aleatoriamente y se redondea al entero más cercano. Determinar si una variable aleatoria está definida por:

Solución.



En donde

Así:

184. Un grupo de 50 senadores de cierto país son elegidos al azar entre un total de 100. Hallar la probabilidad de que los senadores de una de las ciudades estén entre los elegidos.

Solución.



185. cinco ejemplares de una población animal, considerados en vía de extinción, han sido atrapados, marcados y puestos en libertad para que se, mezclen con la población. Después de mezclarse, se eligió una muestra aleatoria de 10. Si existen 25 animales de ese tipo en la región ¿Cuál es la probabilidad de encontrar dos animales marcados?

Solución.

186. cinco ejemplares de una población animal, considerados en vía de extinción, han sido atrapados, marcados y puestos en libertad para que se, mezclen con la población. Después de mezclarse, se eligió una muestra aleatoria de 10. Si existen 25 animales de ese tipo en la región ¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de dos animales marcados?

Solución.



187. un pediatra desea reclutar a 5 parejas, cada una de ellas en espera de su primer hijo, para participar en un nuevo tipo de nacimiento natural. Si la probabilidad de que una pareja acepte es de 0,2 ¿Cuál es la probabilidad de que se le pida a 15 parejas antes de encontrar 5 parejas que acepten?

Solución.

188. Un lote contiene 100 bebidas Coca-Cola y 200 bebidas Pepsi. Si se seleccionan cuatro bebidas al azar y sin reemplazo,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean Coca-Cola?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos más sean Coca-Cola?

c) ¿Cuál es la probabilidad que al menos una sea Coca-Cola?

Solución.

a) Sea igual al número de bebidas Coca-Cola. Entonces, tiene una distribución hipergeométrica y la probabilidad pedida es

.



Por lo tanto,

b)

c)

189. Supongamos que un cable sigue una distribución de Poisson

con una media de imperfecciones por centímetro.

a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un centímetro de cable.



b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 centímetros de cable.

Solución.

a) Entonces imperfecciones y

b) Sea que denote el número de imperfecciones en 5 centímetros de alambre.

Entonces, tiene una distribución de Poisson con

Por lo tanto

190. Un test consta de 10 preguntas de verdadero y falso, si un alumno contesta al azar ¿Cuál es la probabilidad que acierte en el 70% o más? ¿Y que acierte en exactamente 7 de las 10 respuestas?



Solución.

Preguntas, Preguntas correctas

191. En un aeropuerto solo existen dos compañías aéreas, si de un grupo de 400 pasajeros potenciales, la primera compañía vende pasajes a todo aquel que se lo solicita, si la capacidad del avión es de 230 pasajeros, calcule la probabilidad que un pasajero no tenga asiento.

Solución.

si pasajeros optan por esta compañía

Luego:



192. En una ciudad existen 10 quioscos que venden El Mercurio, si las ventas diarias tienen una distribución . Determine la probabilidad que más de dos quioscos vendan entre 13 y 31 Mercurios.

Solución.

Que un quiosco venda entre 13 y 31 diarios Que un quisco no venda entre 13 y 31 diarios quioscos que venden entre 13 y 31 diarios

193. Una empresa elige pendrive de una tienda para regalar a sus operarios. La probabilidad que sea defectuoso es .

a) Si ¿Cuál es la probabilidad de tener entre 9 y 12 pendrives defectuosos?

b) ¿cuántos pendrives hay en la tienda si al varianza es 32?



Solución.

a)

Luego:

b)

194. La probabilidad que una lavadora automática salga defectuosa es de 0,98. Calcule la probabilidad de obtener 27 o más lavadoras defectuosas de un total de 1000

Solución.



195. Una bencinera recibe en promedio 6 billetes falsos al dia, suponiendo que el número de billetes falsos sigue una distribución de Poisson, hallar:

a)

La probabilidad que reciban 4 billetes falsos en un dia.

b)

La probabilidad que se reciban mas de 30 billetes falsos en una semana.

Solución.



sabemos que es Poisson porque solo dan la media.

billetes falsos al dia.

pasamos a una normal

cheques falsos por semana.

En las cosechas de frutas se ha detectado la existencia de una mosca contaminante de la cosecha. Para poder analizarla, se segmentan la tierra en parcelas de , y se concluye que existe la probabilidad de 0,6 de encontrar dicha mosco en una parcela.

a)

Si un agricultor posee 15 de estas parcelas ¿Qué probabilidad existe de que tenga una contaminada?

b)

Una empresa posee 200 parcelas. ¿Qué probabilidad hay que tenga entre 100y 150 parcelas contaminadas?



Solución.

a)

b)

Supongamos que la contaminación de un rio se encuentra distribuida de manera uniforme en el intervalo de 0 a 20 pares de millón. Si el agua no puede ser utilizada para consumo con una contaminación de 8 o más. ¿Cuál es la probabilidad que la tomarse una muestra el agua no pueda ser utilizada para consumo? Concentración media y varianza. Probabilidad que la contaminación sea exactamente 10.

Solución.



El peso de las manzanas de exportación fluctúa normalmente con media 150gr. Y desviación típica 30gr. Si una caja se llena con 15 manzanas seleccionadas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de la caja sea menor a 2 kilos?

Solución.

Se localiza un punto en , donde sus tres coordenadas son variables aleatorias independientes con distribución . ¿Cuál es la



probabilidad de que el cuadrado de la distancia de dicho punto al origen sea menor de 6,25?

Solución.

Las coordenadas del punto elegido en el espacio son variables aleatorias con distribución

La distancia al cuadrado del punto al origen es:

Como es la suma de 3 variables aleatorias al cuadrado con distribución , presenta una distribución Chi-cuadrado con tres grados de libertas. Por lo tanto, en las tablas de dicha distribución encontramos la probabilidad pedida:

Se ha comprobado que la duración de los implantes utilizados en la reconstrucción del cáncer de mamas sigue una distribución exponencial con media 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una mujer que se ha sometido a esta operación, deba reimplantarse otro antes de 20 años? Si el implante lleva funcionando 5 años en una paciente, ¿Cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes del 25% años?



Solución.

Sea la variable aleatoria que mide la duración de un implante en una mujer. Tenemos que

Entonces:

En segundo lugar:

Luego como era de esperar, por ser propio del mecanismo exponencial:

Es decir, en la duración que se espera que tenga el implante, no influye el tiempo que en la actualidad lleva funcionando.



Se ha observado que una cámara fotográfica desechable falla antes de cumplir las 100 fotografías es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho:

a)

¿Cuál es la probabilidad de que fallen antes de 25 fotografías?

b)

¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos 10 en 125 fotografías?

Solución.

Sea la variable aleatoria , con distribución de Poisson de

parámetro que determina el número de

componentes que fallan antes de cumplir fotografías.

a)

Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir

que una variable que mide el número de componentes que fallan antes de

cumplir con 25 fotografías sigue una distribución de Poisson con parámetro

. Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente:



b)

Análogamente, definimos una variable aleatoria con una

distribución de Poisson de parámetro , que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir

las 50 fotografías. Se tiene que :

Un cuartel de Carabineros es capaz de atender un máximo de 300 servicios por día. Si en promedio diario de servicios es de 250 con distribución de Poisson, ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado no se puedan atender todos los servicios requeridos? ¿Qué probabilidad existe de que en 31 días haya al menos un día en el que no se puedan atender todos los servicios requeridos?

Solución.

Si un día no se pueden atender todos los servicios requeridos

es porque superan la capacidad máxima de 300 servicios, por

lo tanto, la probabilidad pedida es:

Esta probabilidad puede aproximarse mediante la



distribución

Si consideramos como éxito el que un día no se puedan

atender todos los servicios

requeridos, el número de días en que a lo largo de un mes,

vendrá dado por la binomial de parámetros .

La probabilidad de que al menos un día no se puedan

prestar todos los servicios solicitados será:

El consumo de arroz por las familias chilenas se distribuye como una variable aleatoria de distribución uniforme, con esperanza igual a 10 y varianza unidad. Determinar la probabilidad de que dicho consumo este comprendido entre 8 y 12 unidades.

Solución.

Sea el número de unidades consumidas, sabemos que se distribuye , además:



Sumamos las dos igualdades:

La distribución es uniforme entre 8,26y 11,73 unidades, por lo tanto la probabilidad de que el consumo se encuentre entre 8 y 12 es la unidad.

Supongamos que la probabilidad que en una cinta de sellado automático, una lata en conserva no cumpla las condiciones necesarias es de . Si las latas terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:

a)

¿Cuál es la probabilidad de que entre 10 unidades 2 que no cumplan las condiciones?

b)



¿Cuál es la probabilidad de encontrar que no cumpla las condiciones?

Solución.

Sea una variable aleatoria que representa el estado de una lata en la línea de sellado

automático en el momento , siendo si la lata mal sellada es defectuosa y

en caso contrario. La variable sigue una distribución de Bernoulli con parámetro

, de acuerdo con el dato del problema. Además nótese que un conjunto de

unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, por lo que el

número de latas mal selladas de un total de unidades

terminadas esto es, , sigue una distribución Binomial de parámetros y . Hechas estas

condiciones iniciales, procedemos a resolver el problema:

a)

b)



196. Sean y las variables aleatorias que cuentan el número de veces que sale 2 y 5, respectivamente, en 5 lanzamientos de un dado. ¿Son y independientes?

Solución:

Las variables y siguen una distribución binomial de

parámetros y . Veamos mediante un contraejemplo,

que y no son independientes. Por un lado se tiene que:

, pero

Concluyéndose así que las variables no son independientes.



197. Un sistema bancario tienen tres computadoras idénticas. Se utiliza únicamente una para las operaciones; las dos restantes son de repuesto en caso que la primera falle. Durante una hora de activación de la maquina la probabilidad de que una falle o cualquiera de los repuestos es 0,0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente,

a) ¿Cuál es el tiempo promedio para que fallen las tres

computadoras?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres fallen en una lapso de 5 horas?

Solución.

Sea que el número de horas hasta que los tres sistemas fallen, y sea que el número de horas de operación antes de una falla de la primera, la segunda y la tercera computadoras usadas, respectivamente. Entonces, . Además, se supone que las horas comprenden ensayos independientes con la probabilidad constante de falla y . En consecuencia,



198. Una panadería descubre que el número x de tortas vendidas por semana obedece a una ley de Poisson de media 10. La ganancia de cada torta vendida es de $500. Sin embargo, un día se encuentran con que solo les quedan 10 tortas, y que a lo largo de esa semana no van a poder fabricar más. Determinar la distribución de las ganancias totales en concepto de tortas a lo largo de esa semana.

Solución:

Teniendo en cuenta los datos del problema, podemos definir una variable aleatoria que representa la ganancia total en concepto de tortas a lo largo de la semana considerada, a partir de la variable x:

En el segundo caso, si la demanda es de más de 10 tortas, es decir, si supera al número de existencias, solo es posible vender este último número de tortas.La distribución de las ganancias totales es, por tanto:



199. Para averiguar el tamaño N de una población de serpientes se utiliza el método siguiente: se captura, se marca y se vuelve a capturar. Se capturan lagartos, se les marca y se devuelven a la selva. Un tiempo después se realizan avistamientos independientes de los que es el número de ellos que están marcados.

a) Obtener una expresión para la probabilidad de que

b) Si y , demostrar que la probabilidad es máxima cuando

Solución.

Teniendo en cuenta que los avistamientos que se realizan son independientes, la variable aleatoria sigue una distribución binomial de parámetros y , donde es la probabilidad de que la serpiente escogida al azar de la población este marcada.

a) La probabilidad de que de las serpientes estén marcados es:

b) Si

Derivando en la anterior expresión respecto de e igualando a cero se obtiene que:



Por lo que

197. En un estudio que ha realizado una escuela de conducción, ha determinado que una persona para aprender a manejar, demora en promedio 24 horas con una desviación estándar de 3 horas. ¿Cuántas horas necesitará una persona para aprender a manejar si el 68% de los alumnos ha necesitado más horas que él?

Solución.

Nos piden calcular el valor de de tal manera que

Entonces: , utilizando la simetría de la normal se

tiene que:

buscando en la tabla se obtiene

Entonces: ,

reemplazando se obtiene que:


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