Conceptos elementalesde lógica informática

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Nelson Becerra Correa

Nacido en Guicán, Colombia. Ingeniero de sistemas; impartió las cátedras de Inteligencia Artificial y Lógica Informática en la Facultad Tecnológica, de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Actualmente es docente en la misma Universidad.

Conceptos Elementales deLogica Informatica

Nelson Becerra Correa

Primera Edicion

F B C

Indice general

Contents I

1. Conceptos Generales de Logica IX

1.1. Oraciones y proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

1.2. Verdad y Validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1.3. Sintaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

1.4.1. Formalizar proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

1.4.2. Formalizar inferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

1.4.3. Ejemplos de inferencias ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

1.4.4. Ejemplo de inferencias desordenadas . . . . . . . . . . . . . . xxii

1.5. Sımbolos utilizados en este libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv

2. Logica proposicional XXVII

2.1. Logica Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii

2.1.1. Sintaxis de la logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . xxviii

2.1.2. Subformulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx

2.1.3. Semantica de la logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . xxxi

2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxi

2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxii

2.3. Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlii

2.3.1. Forma Normal Conjuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlii

2.3.2. Forma Normal Disyuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xliii

i

ii INDICE GENERAL

2.4. Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlviii

2.5. Metodo de Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlviii

2.5.1. Tableaux semanticos representados como arboles . . . . . . . lvi

3. Logica predicados LXIX

3.1. Lenguaje de la logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxx

3.2. Lenguaje del calculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxx

3.2.1. Arbol de una formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxiv

3.3. Semantica de la logica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxvii

3.3.1. Equivalencias logicas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxx

3.4. Indecibilidad del calculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxxi

3.5. Ejercicios calculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxxi

4. Procedimiento de prueba de Logica predicados LXXXV

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxxv

4.2. Formas Normales de la Logica de Predicados . . . . . . . . . . . . . . lxxxv

4.2.1. Forma clausal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxxv

4.3. Forma Normal de Skolem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxxviii

4.3.1. Teorema de Herbrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xci

4.4. Tableaux semanticos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . xciii

4.5. Unificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xcvi

4.6. Resolucion de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xcviii

5. Deduccion Natural CI

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ci

5.2. Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cii

5.2.1. Reglas empleadas en la deduccion natural . . . . . . . . . . . cii

5.2.2. Prueba directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cv

5.2.3. Prueba condicional : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cvi

5.2.4. Pruebas por reduccion al absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . cvii

5.2.5. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cix

INDICE GENERAL iii

5.2.6. Las reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cx

5.2.7. Las reglas de inferencia en terminos de la Deduccion Natural . cxiii

5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cxvii

6. Tecnicas Resolucion SAT CXXV

6.1. El Problema SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cxxvi

6.1.1. Que es SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cxxvi

6.1.2. Areas de Investigacion de SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . cxxvii

6.1.3. Casos de prueba SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cxxviii

6.1.4. Metodos de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cxxx

6.1.5. Breve revision de las tecnicas para solucionar SAT . . . . . . . cxxxii

6.1.6. Otros Trabajos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cxxxv

6.2. Que procesos son importantes en un Resolvedor SAT . . . . . . . . . cxlvi

6.2.1. Algoritmos Backtracking Search . . . . . . . . . . . . . . . . . cxlvii

6.2.2. Estructuras de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cxlviii

6.2.3. Heurısticas de seleccion de variable . . . . . . . . . . . . . . . cxlix

6.2.4. Aprendizaje de Clausulas dirigidas por conflictos . . . . . . . cli

6.2.5. Backtracking no-cronologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cliii

6.2.6. Reinicios y aleatorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cliii

6.2.7. Busqueda Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cliv

6.3. Caracterısticas de algunos Algoritmos SAT . . . . . . . . . . . . . . . clv

6.3.1. Algoritmos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . clv

6.3.2. Algoritmos Incompletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . clxii

6.3.3. Competiciones SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . clxiv

6.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . clxvii

Prefacio

vi

”... Cuando conozco a alguien no me importa si es blanco, negro, judıo o musulman. Mebasta con saber que es un ser humano. Peor cosa no puede ser1...”

Walt Whitman

´´Maıtres anciens de Thomas Bernhard :2 La escuela es la escuela delEstado, donde se hace de los jovenes criaturas del Estado, es decir, ni mas ni menosque agentes del Estado. Cuando entraba en la escuela, entraba en el Estado, y comoel Estado destruye a los seres, entraba en el establecimiento de destruccion de seres.[...] El Estado me ha hecho entrar en el por la fuerza, como por otra parte a todoslos demas, y me ha vuelto docil a el, [...], y ha hecho de mı un hombre estatizado, unhombre reglamentado y registrado y dirigido y diplomado, y pervertido y deprimido,como todos los demas. Cuando vemos a los hombres, no vemos mas que hombresestatizados, servidores del Estado, quienes, durante toda su vida sirven al Estado y,por lo tanto, durante toda su vida sirven a la contra-natura ...Soy de la opinion que todos los paıses y todas las religiones, a la que se los conocede cerca, son igual de horribles. Con el tiempo se descubre que la estructura es entodas partes la misma, tanto en las dictaduras como en las democracias; en el fondo,para el individuo son igual de horribles.¿Pero este fragmento que tiene que ver con un libro de logica y por que se lo incluyeen el prologo ?.Veamos: Empezando a responder la ultima pregunta. Simplemente, por que megusto.Respecto al primer interrogante, yo pienso, que todo depende del cristal con quese mire. Este fragmento de Bernhard -En mi infinita ignorancia-. Resume nuestrocomportamiento, describe el motor que nos impulsa a hacer cosas y ademas de algunamanera al que quiera, permearse lo hace analizar su esencia.De otro lado, y para respetar las opiniones un libro sobre el lenguaje matematico-para los que saben matematicas y los ortodoxos-, solo deberıa contener sımbolos ydemostraciones complicadisimas. Y ser el producto de gentes ıluminadas”que levitany estan como dice Nietzsche ”Mas alla del bien y del mal”. sobre este aspecto nodiscuto, -por que no quiero, no puedo y me da miedo- y les presento mis disculpas.El libro titulado Conceptos elementales de logica informatica.o sea -La utilizacionpor parte de la ciencias de la computacion, de las herramientas desarrolladas por lalogica-; es producto de un compromiso entre yo, Nelson Becerra Correa, mayor deedad -bastante mayor de edad- en uso de mis facultades -las pocas que tengo- fısicasy mentales y de otro lado la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas. Comocompromiso para otorgar el ”disfruteası consta en el acta- del ano sabatico.

1Segun Facundo Cabral, el ultimo fragmento del texto: ’... ,peor cosa no puede ser’; se loadjudican a Mark Twain

2Thomas Bernhard Ecrivain autrichien [Litterature etrangere] Ne a Herleen le 09 fevrier 1931Decede a Gmunden le 12 fevrier 1989

vii

Este libro, esta dividido en seis capıtulos. El primero de ellos habla de los conceptosgenerales de la logica. Respecto al segundo se tocan los conceptos elementales de lalogica de proposiciones. El tercer capitulo habla sobre la logica de predicados. Enel cuarto se desarrollan los procedimientos de prueba de la logica de predicados. ElQuinto trata sobre la Deduccion Natural y el Ultimo y sexto capitulo trata el temade la resolucion del problema SAT de una manera muy elemental. Este libro estadisenado para abarcar el curso de Logica Informatica en una carrera de Ingenierıao Tecnologıa.A qui no se inventa nada, pero como dice Andre Guide ”Todas las cosas estan yadichas; pero como nadie escucha, hay que volver a empezar siempre”. Algunos delos temas tratados son conocidos desde hace miles de anos y han sido explicadospor muchos autores con la formacion adecuada para detallarlos y demostrarlos demanera ortodoxa con mayor claridad. Por tal razon yo sugiero al amable lector quese remita a ellos.Si de alguna manera, este libro, contribuye a aclarar dudas o crearlas me doy por bienservido. Si por el contrario, no ayuda a nadie, de igual manera me siento satisfechopues disfrute el hacerlo.

Capıtulo 1

Conceptos Generales de Logica

”... Colombia asesina, malapatria, ¡paıs hijo de puta engendro de Espana! ¿A quien estasmatando ahora, loca? ...”

El Desbarrancadero, Fernando Vallejo

ix

x 1.1. Oraciones y proposiciones

Introduccion

La es un modelo matematico del pensamiento deductivo; el formalismo logicoes atractivo porque sugiere una forma potente para derivar conocimiento nuevoa partir de hechos comprobados: la deduccion mate-matica. Utilizando la logicapodemos concluir que una proposicion nueva es cierta demostrando que se deducede proposiciones conocidas, esto nos permite usar la deduccion como una forma dederivar respuestas a preguntas y solucionar problemas.

1.1. Oraciones y proposiciones

Vamos por partes dijo del descuartizador. Primero debemos recordar que esuna oracion y cuales de ellas son : Segun la real academia de la lengua una oracion es:

“ La oracion es la mınima unidad del habla con sentido completo, que posee unverbo. Esto significa que es el fragmento mas pequeno del enunciado que comunicauna idea total, y posee independencia (es decir, podrıa sacarse del contexto y seguircomunicando, no lo mismo, pero algo)”.

Clases de oraciones:

Las las podemos clasificar de la siguiente manera:

Tipos de oraciones

Aseverativas o declarativas: Las cuales afirman o niegan algo

Desiderativas : Expresan un deseo, Ejmp: Te deseo maria

Interrogativas : son las utilizadas para hacer preguntas

Exclamativas o admirativas : expresan sorpresa o admiracion

Exhortativas o imperativas : se utilizan para exhortar dar un mandato o hacer la prohibicion.

Figura 1.1: Calsificacion de las oraciones

Una proposicion debe cumplir cuatro condiciones estas son:

1. Debe ser una oracion

2. Debe ser oracion Aseverativa o declarativa

3. La oracion debe de tern sentido decir de ella que sea verdadera o falsa

4. La oracion no debe cambiar con el tiempo.

A su vez las proposiciones se pueden clasificar en 2:

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Este libro está dividido en seis capítulos. El primero habla de los conceptos generales de la lógica; en el segundo se tratan los conceptos elementales de la lógica de proposiciones; el tercero trata sobre la lógica de predicados; posteriormente, se desarrollan los procedimientos de prueba de la lógica de predicados; en el quinto se aborda la deducción natural y por último, se trata el tema de la resolución del problema SAT de una manera muy elemental. Este texto está diseñado para abarcar el curso de Lógica Informática de la carrera de Ingeniería o Tecnología.

Aquí no se inventa nada, pero como dice André Guide “Todas las cosas están ya dichas; pero como nadie escucha, hay que volver a empezar siempre”. Algunos de los temas tratados son conocidos desde hace miles de años y han sido explicados por muchos autores con la formación adecuada para detallarlos y demostrarlos de manera ortodoxa y con claridad.