Comunicaciones I - 2015C

8/19/2019 Comunicaciones I - 2015C

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CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN, ANÁLISIS DE FOURIER.

SEÑALES Y SISTEMAS: DEFINICIONES

1.1 Introducción – Historia

Entre las formas más antiguas de las comunicaciones estaban los sonidos de las cuerdas vocales generados poranimales y seres humanos, con la recepción a través de los oídos. Los primeros lenguajes consistían de gruñidos.Con el tiempo se desarrollaron lenguajes más sofisticados con vocabularios cada vez más grandes. Cuando serequirieron mayores distancias, se usó el sentido de la visión para aumentar el alcance. En el siglo II a. c., lostelegrafistas griegos usaban señales con antorchas para comunicarse. Se usaban diferentes combinaciones yposiciones de las antorchas para representar las letras del alfabeto griego. Estas primeras señales con antorchasrepresentaban ciertamente el primer ejemplo de las comunicaciones digitales. Posteriormente, se usaron sonidosde tambores para comunicación a grandes distancias, recurriendo de nuevo al sentido del sonido. Eran posibles

mayores distancias puesto que los sonidos de los tambores se diferenciaban más fácilmente del ruido ambiental.En el siglo 18, la comunicación de letras se hacía usando banderas. Igual que las antorchas de los griegos

antiguos, estas banderas dependían del ojo humano para recibir la señal. Esta dependencia limitadaseveramente las distancias de transmisión.

En 1753, Charles Morrison, un cirujano escosés, sugirió un sistema de transmisión eléctrico usando un alambre(más tierra) para cada letra del alfabeto. En el receptor se usaba un sistema de bolitas y papel con letrasimpresas.

En 1835, Samuel Morse comenzó a experimentar con la telegrafía. Dos años después, en 1837, el telégrafo fueinventado por Morse en los Estados Unidos y por Sir Charles Wheatstone en Gran Bretaña. El primer telegramapúblico fue enviado en 1844 y la comunicación eléctrica se estableció como una componente vital importante.Estas formas tempranas de comunicación consistían de componentes de mensajes individuales tales como las

letras del alfabeto.No fue sino hasta 1876, cuando a Alexander Graham Bell se le dio la patente del teléfono, que la comunicación

eléctrica analógica se hizo común (Elisha Gray también trabajó en el desarrollo de un transmisor e introdujo una“notificación de invención” el 14 de febrero de 1876. Bell introdujo la aplicación de su patente el mismo día. Porrazones desconocidas, Gray no hizo mucho para desarrollar su trabajo en los años siguientes y la patente se leconcedió a Bell). Las transmisiones de radio experimentales comenzaron aproximadamente en 1910 con Lee DeForest produciendo un programa de la Casa de la Ópera Metropolitana en la ciudad de Nueva York. Cinco añosdespués, se abrió una estación de radio experimental en la Universidad de Wisconsin en Madison (U.S.A). Laestación WWJ en Detroit y KDKA en Pittsburgh estuvieron entre las primeras en conducir transmisionesregulares en 1920.

La televisión pública tuvo sus comienzos en Inglaterra en 1927. En los Estados Unidos comenzó tres años

después en 1930. En su primer período, no siguió ningún formato regular. El horario regular no comenzó sino en1939, durante la apertura de la Feria Mundial de Nueva York.

Las comunicaciones satelitales comenzaron en la década de 1960 y el satélite Telstar I se usó para retransmitirprogramas de TV en 1962. Los primeros satélites de comunicaciones comerciales fueron lanzados en los años1960.

La década de 1970 vio el comienzo de la revolución de las comunicaciones por computadoras. La transferencia dedatos se convirtió en parte integral de nuestras vidas diarias y ha conducido a una fusión de disciplinas entre laIngenierías de Comunicaciones y de Computación.


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2

La revolución de las comunicaciones personales comenzó en la década de 1980. Antes de que finalizara la décadade los años 1990, el profesional promedio tenía un teléfono celular, un localizador, una conexión digital paraInternet y una máquina de FAX en su casa. Los consumidores usaban tecnología interactiva de discoscompactos, computadoras portátiles (laptops) con servicios de datos mundiales y el sistema global deposicionamiento por satélite (GPS) para ayudarse en problemas de trancas en el tráfico.

Este nuevo milenio sigue trayendo un conjunto único de aplicaciones e innovaciones conforme lascomunicaciones continúan teniendo un impacto significativo en nuestras vidas. Conforme la comunicación

inalámbrica universal de banda ancha se hace más común, los conceptos de la telefonía celular se aplicarán enmuchas nuevas situaciones y la transmisión directa por satélite se volverá más común. Al mismo tiempo, losavances en fibra óptica conducen hacia una comunicación mundial con tasas de datos más rápidas. Las cosas nopodrían ser más excitantes.

ANÁLISIS DE FOURIER

1.2 Series de Fourier

La representación de la señal de entrada a un sistema (entendiendo como sistema un conjunto de elementos o bloques funcionales conectados para alcanzar un objetivo deseado) de tiempo continuo lineal e invariable en eltiempo (LIT) como una integral ponderada de impulsos desplazados conduce a la integral de convolución. Estarepresentación de sistemas LIT de tiempo continuo indica cómo la respuesta de esos sistemas a una entradaarbitraria se construye a partir de las respuestas a los impulsos unitarios desplazados. Entonces, la integral deconvolución no sólo proporciona una manera conveniente de calcular la respuesta de un sistema LIT,suponiendo conocida su respuesta al impulso unitario, sino que también indica que las características de unsistema LIT son especificadas completamente por su respuesta al impulso unitario. A partir de este hecho,muchas de las propiedades de los sistemas LIT se pueden analizar en detalle y relacionar estas propiedades conlas características equivalentes de las respuestas al impulso de tales sistemas, lo cual se hace al final del capítulo.

Una función puede ser representada aproximadamente en un intervalo dado por una combinación lineal demiembros de un conjunto ortogonal de funciones. Si el conjunto de funciones se denota como gn(t), lo anteriorpuede escribirse como en la Ec. (1.1):

( ) ( )n nn

s t C g t∞

=−∞

= ∑ (1.1)

Un conjunto ortogonal de funciones es un conjunto con la propiedad de que una operación particular realizadaentre dos miembros distintos cualesquiera del conjunto produce cero. Hemos aprendido que dos vectores sonortogonales si forman ángulos rectos entre ellos. El producto punto de dos vectores que forman un ángulo recto escero. Esto significa que un vector no tiene nada en común con otro. La proyección de un vector sobre el otro escero. Una función puede ser considerada con un vector de dimensión infinita (piense en formar una sucesión

mediante muestreo de la función), de manera que los conceptos de los espacios vectoriales tienen analogíadirecta con los espacios de funciones. Hay muchos conjuntos posibles de funciones ortogonales, así como haymuchos conjuntos posibles de vectores tridimensionales ortogonales. La idea central para la representación delas señales es la siguiente: Dada una secuencia de funciones 1 2 3( ), ( ), ( ), g t g t g t … con la propiedad deortogonalidad

( ) ( ) 0b

m na g t g t dt∗ =∫

siempre que n m≠ (el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función “arbitraria” ( ) f t en una serie infinita de la forma


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3

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t C g t C t g t C t g t= + + +⋯

Superficialmente, esto parece bastante sencillo. Para determinar Cn para cualquier valor fijo de n,multiplicamos ambos lados de esta ecuación por ( )n g t

∗ e integramos en el intervalo ( ),a b :

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .b b b

n n na a a

f t g t dt C g t g t dt C g t g t dt∗ ∗ ∗= + +∫ ∫ ∫ ⋯ Debido a la propiedad de ortogonalidad, todos los términos en el lado derecho se anulan excepto el n-ésimo y

obtenemos

2( ) ( ) ( )

b b

n n na a

f x g x dx C g x dx∗ =∫ ∫

la cual se puede resolver para obtener nC .

Un ejemplo de un conjunto de funciones ortogonales es el conjunto de senos y cosenos relacionadosarmónicamente. Es decir, las funciones

0 0 0sen 2 , sen 4 , sen 6 , f t f t f tπ π π …

0 0 0cos 2 , cos 4 , cos 6 , f t f t f tπ π π …

forman un conjunto ortogonal para cualquier selección de f 0. Estas funciones son ortogonales en el intervaloentre cualquier punto inicial t0 y t0 + 1/ f 0. Es decir,

0 0

0

1( ) ( ) 0 para toda

t f

n mt

t g t dt n m+

= ≠∫ (1.2)

donde gn(t) es cualquier miembro del conjunto de funciones y gm(t) es cualquier otro miembro. Esto puedeverificarse mediante una simple integración usando las identidades trigonométricas del “coseno de una suma” y“coseno de una diferencia”.

Al comienzo de esta sección, usamos la palabra “aproximadamente”. Estamos implicando aquí que estarelación no siempre puede hacerse una igualdad. Se dice que un conjunto de funciones del tiempo es un conjuntocompleto si la aproximación de la Ec. (1.1) puede convertirse en una igualdad (con la palabra igualdad

interpretada en algún sentido especial) a través de una escogencia adecuada de los factores de ponderación Cn ydonde s(t) es cualquier miembro de una cierta clase de funciones. Los tres vectores unitarios rectangularesforman un conjunto ortogonal completo en el espacio tridimensional, en tanto los vectores unitarios en lasdirecciones x y y, por sí mismos, forman un conjunto ortogonal que no es completo.

Sin demostración, afirmamos que el conjunto de funciones armónicas en el tiempo 0 0cos 2 , sen2nf t nf tπ π ,donde n puede tomar cualquier valor entero entre cero e infinito, es un conjunto ortogonal completo en el espaciode las funciones de tiempo definidas en el intervalo entre t0 y t0 +1/ f 0. Por tanto, una función del tiempo1 puedeser expresada, en el intervalo entre t0 y t0 +1/ f 0 mediante una combinación lineal de senos y cosenos. En estecaso, la palabra “igualdad” se interpreta no como una igualdad de punto por punto, sino en el sentido que ladistancia entre s(t) y la representación en serie, tiende a cero conforme se incluyen más y más términos en lasuma. La distancia se define como

0 0

0

1 2

0

( ) ( )

t f

n n

nt

s t C g t dt

+

∞

=

−⌠ ⌡

∑ (1.3)

Esto es lo que se quiere decir cuando hablamos de igualdad de dos funciones del tiempo. Este tipo de igualdades suficiente para todas nuestras aplicaciones.

1 En el caso de las series de Fourier, la clase de funciones del tiempo está restringida a aquella que tiene un número finito dediscontinuidades y un número finito de máximos y mínimos en cualquier período. También, la integral de la magnitud de lafunción en un período debe existir (es decir, no ser infinita).


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4

Por conveniencia, definimos el período de la función T como

0

1T

f = (1.4)

Cualquier función del tiempo s(t) puede entonces escribirse como

( ) [ ]0 0 01

( ) cos 0 cos 2 sen 2n n

n

s t a a nf t b nf t∞

=

= + π + π

∑ (1.5)

La Ec. (1.5) aplica en el intervalo de tiempo

0 0t t t T < < +

Una expansión de este tipo se conoce como una serie de Fourier. Observe que el primer término en la Ec. (1.5) essimplemente “a0”, ya que ( )cos 0 1= . La selección adecuada de las constantes an y bn se indica en la Ec. (1.6):

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1( )

2( ) cos 2

2( ) sen 2

t T

t

t T

nt

t T

nt

a s t dtT

a s t nf t dtT

b s t nf t dtT

+

+

+

=

= π

= π

∫

∫

∫

(1.6)

La relación para a0 puede derivarse integrando ambos lados de la Ec. (1.5). Las otras dos relaciones para an y bn se deducen a partir de la Ec. (1.5) multiplicando ambos lados por la sinusoide apropiada e integrando.

Observe que a0 es el promedio de la función s(t). Es razonable esperar que este término aparezca por sí solo en laEc. (1.5) ya que el valor promedio de los senos y cosenos es cero. En cualquier igualdad, el promedio en eltiempo del lado izquierdo debe ser igual al promedio en el tiempo en el lado derecho.

Una forma más compacta de la serie de Fourier descrita se obtiene si consideramos el conjunto completo deexponenciales armónicas complejas ortogonales, es decir, el conjunto formado por las funciones ( )0exp 2 j nf tπ ,

donde n es cualquier entero, positivo, negativo o cero. Este conjunto es ortogonal en un período de 1/ f 0

segundos. Recuerde que la exponencial compleja puede considerarse como un vector de longitud “1” y ángulo“n2π f 0t” en el plano complejo de 2 dimensiones. Así,

( ) ( ) ( )0 0 0exp 2 cos 2 sen 2 j nf t j nf t j j nf tπ = π + π (1.7)

Igual que antes, la expansión en serie aplica en el intervalo de tiempo entre t0 y 0 01t f + . Por tanto, cualquierfunción s(t) puede expresase como una combinación lineal de estas exponenciales en el intervalo entre t0 y

0t T + (T = 1/ f 0):

02( ) j nf tnn

s t c e∞

π

=−∞

= ∑ (1.8)

Los coeficientes cn son dados por la relación0

0

0

21 ( )t T

j nf tn

tc s t e dt

T

+− π= ∫ (1.9)

Esta fórmula se verifica multiplicando ambos lados de la Ec. (1.8) por ( )0exp 2 j mf t− π e integrando ambos lados.

Los coeficientes {cn} se conocen como los coeficientes de la serie de Fourier de s(t) o los coeficientes espectrales de s(t).

Si s(t) es una función real, entonces *( ) ( )s t s t= y por tanto


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0( ) ( ) jn tnn

s t s t c e∞

− ω∗ ∗

=−∞

= = ∑

Reemplazando n por − n en la sumatoria, se obtiene

0( ) jn tn

n

s t c e∞

ω∗−

=−∞

= ∑

la cual, al compararla con la Ec. (1.8), requiere que n nc c∗−= , o en forma equivalente, que

n nc c∗

−= (1.10)

Una propiedad muy importante.

Los resultados básicos se resumen en las Ecs. (1.5) y (1.8). Cualquier función del tiempo puede expresarsecomo una suma ponderada de senos y cosenos o una suma ponderada de exponenciales complejas en unintervalo. Las reglas para hallar los factores de ponderación se dan en las Ecs. (1.6) y (1.9). A la Ec. (1.8) confrecuencia se le refiere como la ecuación de síntesis y a la Ec. (1.9) como la ecuación de análisis.

El lado derecho de la Ec. (1.5) representa una función periódica fuera del intervalo 0 0t t t T < < + . De hecho, su

período es T . Por tanto, si s(t) es periódica con período T , aunque la igualdad en la Ec. (1.5) se escribió paraaplicarla sólo dentro del intervalo 0 0t t t T < < + , esta igualad en efecto sí aplica para todo el tiempo. En otraspalabras, si s(t) es periódica y escribimos una serie de Fourier que aplica en un período completo, la serie esequivalente a s(t) para todo el tiempo.

Ejemplo 1.1

Evaluar la expansión en serie de Fourier trigonométrica para la señal s(t) mostrada en la Fig. 1.1. Esta serie debeaplicar en el intervalo 2 2t− π < < π . Considere que la señal mostrada en la figura es periódica con período π.

Figura 1.1

Solución Usamos la serie de Fourier trigonométrica con T = π y 0 1 1 f T = = π . Por tanto, la serie tiene la forma

[ ]01

( ) cos 2 sen 2n nn

s t a a nt b nt∞

=

= + +∑ donde

20

2

1 2cosa t dtπ

−π= =

π π∫

( ) ( )12

2

2 2 1 1cos cos2

2 1 2 1

n n

na t nt dtn n

+π

−π

− −= = +

π π − + ∫

y

2

2

2( ) sen 2

T

nT

b s t nt dtT −

= ∫

t

s(t)

π/ −π/

cos t


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Como s(t) es una función par de t, esto es, s(t) = s(−t), ( ) sen 2s t nt es una función impar de t y entonces la integral

de −T /2 a +T /2 es cero. De hecho, bn = 0 para cualquier s(t) que sea impar. La serie de Fourier es dada entoncespor

( ) ( )1

1

2 2 1 1( ) cos 2

2 1 2 1

n n

n

s t ntn n

∞ +

=

− −= + +

π π − + ∑

1.3 Espectro de Fourier (Espectro de Líneas)

Al hallar la representación en serie de Fourier de una función del tiempo, asignamos un factor de ponderacióncomplejo cn a cada valor de n. Estos factores cn pueden graficarse en función de n. Observe que esto requiererealmente de dos gráficas, ya que en general los coeficientes cn son números complejos. Una de las gráficasrepresenta la magnitud de cn y la segunda gráfica representa la fase. Alternativamente, se podrían graficar laspartes real e imaginaria. Señalamos también que esta gráfica será discreta. Es decir, solamente tiene valoresdiferentes de cero para valores discretos de la abscisa.

Una cantidad más significativa que n para graficar como la abscisa sería n veces f 0, una cantidadcorrespondiente a la frecuencia de la exponencial compleja para la cual cn es un coeficiente de ponderación. Estagráfica de cn versus nf 0 se denomina el espectro de Fourier complejo.

Ejemplo 1.2

Halle el espectro de Fourier complejo de una onda coseno rectificada

( ) coss t t=

como muestra la Fig. 1.2.

Figura 1.2

Solución Para hallar el espectro, debemos hallar primero la expansión en serie de Fourier exponencial de estaseñal. La serie trigonométrica ya se determinó en el Ejemplo 1.1 y es dada por

( ) ( )1

1

2 2 1 1( ) cos 2

2 1 2 1

n n

n

s t ntn n

∞ +

=

− −= + +

π π − + ∑

Podemos expandir las funciones coseno como exponenciales complejas usando la identidad de Euler:

[ ]2 21cos22

j nt j ntnt e e−= +

La serie de Fourier exponencial es entonces dada por

12 2

1

2 2

1 1

2( )

2 2

2

2 2

nt j ntn n

n n

j nt j ntn n

n n

a as t e e

a ae e

∞ −−

= =−∞

∞ ∞−

= =

= + +π

= + +π

∑ ∑

∑ ∑

π/ −π/

cos t

π/ −π/


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7

Vemos que los coeficientes cn están relacionados con los an por

0

, 02

, 02

2

nn

nn

ac n

ac n

c

−

= >

= <

=

π

El espectro de Fourier resultante se dibuja en la Fig. 1.3. Observe que sólo es necesario una gráfica, en esteejemplo, ya que los coeficientes cn son todos números reales.

Figura 1.3

Ejemplo 1.3

Considérese el tren periódico de pulsos rectangulares en la Fig. 1.4. Cada pulso tiene una altura o amplitud A yuna anchura o duración τ. Hay discontinuidades escalonadas al comienzo y al final de cada pulso en 2t = ± τ , etc., de modo que los valores de x(t) no están definidos en estos puntos de discontinuidad. Esto pone de manifiestootra posible diferencia entre una señal física y su modelo matemático, ya que una señal física nunca hace unatransición escalonada perfecta. Sin embargo, el modelo todavía puede ser razonable si los tiempos de transiciónefectivos son pequeños en comparación con la duración del pulso.

Figura 1.4

Para calcular los coeficientes de Fourier, se toma como intervalo de integración el período central

0 02 2T t T − ≤ ≤ , donde

, /2( )

0 , / 2

A tx t

t

≤ τ=

> τ

Entonces,

( )

( )

00 0

0 00

0 0

/2 /21 1

/2 /2

/2 /2

0 0

0

0 0

( )

sen /2

/2

T jn t jn t

n T T T

jn jn

c x t e dt A e dt

Ae e

jn T

n A

T n

τ− ω − ω

− − τ

− ω τ ω τ

= =

= −− ω

ω τ=

ω

∫ ∫

(1.11)

A x t

T 0 t τ/2 −τ/2 – T 0 0

. . . . . .

π

π

π−

π


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Antes de continuar con este ejemplo, se derivará una expresión que aparece repetidamente en el análisisespectral. Esta expresión es la llamada función sinc definida por

sensinc

πλλ ≡

πλ (1.12)

La Fig. 1.4 muestra que la función sinc λ es una función de λ que tiene su valor pico en λ = 0 y sus cruces con

cero están en todos los otros valores enteros deλ

; así que1 0

sinc0 1, 2 ,

λ =λ =

λ = ± ± ⋯

λ

sinc λ

Figura 1.4. La función sinc.

La porción de la función sinc entre los cruces con cero y 1λ = ± se conoce como el lóbulo principal de la funciónsinc. Las ondulaciones más pequeñas fuera del lóbulo principal se denominan lóbulos laterales.

En términos de la función definida por la Ec. (1.12), la última igualdad en la Ec. (1.11) se convierte en

( )

( )

00

00

sinc 2

sinc

n

Ac n

T

A nf T

τ= ω τ π

τ= τ

donde ω0 = 2π f 0.

El espectro de amplitudes para ( ) ( )0 0 0sincnc nf c Af nf = = τ τ se muestra en la Fig. 1.5a para el caso τ /T 0 = f 0τ

= 1/4. Esta gráfica se construye dibujando la función continua ( )0 sinc Af f τ τ como una curva punteada, la cual

se convierte en la envolvente de las líneas. Las líneas espectrales en ±4 f 0, ±8 f 0, etc., no aparecen, ya que ellas caen acero precisamente en múltiplos de 1/τ donde la envolvente es igual a cero. La componente de CD tiene unaamplitud 0(0)c A T = τ , la cual debe reconocerse como el valor promedio de x(t) al inspeccionar la Fig. 1.4.

Incidentalmente, τ/T 0 es la relación entre el tiempo cuando la onda es diferente de cero y su período, y

frecuentemente designa como el ciclo de trabajo en la electrónica de pulsos.El espectro de fase en la Fig. 1.5b se obtiene observando que ak es siempre real pero algunas veces negativa. Por

lo tanto, ( )0arg a nf toma los valores 0° y ±180°, dependiendo del signo de ( )0sinc nf τ . Se usó +180° y −180°

para resaltar la simetría impar de la fase.


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Figura 1.5. Espectro del tren de pulsos rectangulares con 1 4c f τ = . (a)Amplitud; (b) Fase.

1.4 La Transformada de Fourier

La gran mayoría de las señales de interés se extienden por todo el tiempo y son no periódicas. Ciertamente, nose necesitaría un gran esfuerzo para transmitir una señal periódica ya que toda la información está contenida enun solo período. Más bien, se podría ya sea transmitir la señal por un único período o transmitir los valores delos coeficientes de la serie de Fourier en la forma de una lista. Por tanto surge la pregunta de si podemos o noescribir una serie de Fourier para una señal no periódica.

Una señal no periódica puede considerarse como un caso límite de una señal periódica, donde el período de laseñal, T , tiende a infinito. Si el período tiende a infinito, la frecuencia fundamental f 0 tiende a cero. Losarmónicos se vuelven más y más cercanos entre ellos y, en el límite, la representación de la sumatoria de la seriede Fourier de s(t) se convierte en una integral. En esta forma, se podría desarrollar la teoría de la integral(transformada) de Fourier.

Para evitar los procesos de límites requeridos para pasar de la serie de Fourier a la integral de Fourier,tomaremos un enfoque axiomático. Esto es, definiremos la transformada de Fourier y después demostraremosque esta definición es extremadamente útil. No debe haber ninguna pérdida de motivación por introducir latransformada de esta manera ya que su extrema versatilidad se hará obvia rápidamente.

¿Qué es una transformada? Recuerde que una función común es un conjunto de reglas que sustituye un númeropor otro número. Esto es, si s(t) es un conjunto de reglas que asigna un número, s(t), en el recorrido a cualquiernúmero t en el dominio. Se puede pensar en una función como una caja negra que emite un número cada vez quese le introduce un número. En una forma similar, una transformada es un conjunto de reglas que sustituye unafunción por otra función. Se puede pensar en ella como una caja que eyecta una función siempre que se leinyecta una función.

Nuestra transformada particular la definimos en la forma siguiente:2( ) ( ) j ftS f s t e dt

∞− π

−∞= ∫ (1.13)

Como t es una variable de integración, el resultado de la evaluación de la integral no es una función de t, sinosolamente una función de f . Por tanto hemos dado una regla que asigna a cada función de t (con algunasrestricciones requeridas para que la integral en la Ec. (1.13) converja) una función de f .

El teorema de la transformada de Fourier, extremadamente significativo, afirma que, dada la transformada deFourier de alguna función del tiempo, la función del tiempo original siempre puede recuperarse en forma única.

1

τ 2

τ

3

τ 1

τ− 3

τ−

2

τ− 0

( )0c nf

0 sinc Af f τ τ

f f 0

104 f τ =

1

τ 2

τ 3

τ 1

τ− 3

τ−

2

τ− 0

180°

–180°

( )0arg c nf

(a)

(b)


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La transformada es única. Bien sea s(t) o su transformada, ( )S f , caracteriza en forma única una función. ¡Esto escrucial¡ Si no fuese cierto, la transformada sería inútil.

Un ejemplo de una transformada inútil es la siguiente:

A cada función s(t) asígnele la función

2( ) 1.3R f f = +

Esta transformada define una función de f para cada función de t. La razón por la cual no se ha hecho famosa esque, entre otros factores, no es única. Dado que la transformada de una función es 2 1.3 f + , no hay forma nimanera de hallar la función s(t) que produjo esa transformada.

En realidad, la transformada de Fourier va un paso más allá de afirmar unicidad. Ella da la regla pararecuperar s(t) a partir de su transformada de Fourier. La regla se exhibe ella misma como una integral y es caside la misma forma que la regla de la transformada original. Esto es, dada ( )S f , s(t) se puede recuperarevaluando la siguiente integral:

2( ) ( ) j fts t S f e df ∞

π

−∞= ∫ (1.14)

La Ec. (1.14) se denomina la transformada inversa de ( )S f . Se sigue que ésta también es única.

Existen infinitamente muchas transformadas únicas. Entonces, ¿por qué goza la transformada de Fourier detanta fama y por qué su amplio uso? Ciertamente debe poseer propiedades que la hacen mucho más útil queotras transformadas.

En efecto, se descubrirá que la transformada de Fourier es útil en una forma que es análoga al logaritmocomún. Para multiplicar dos números, podemos hallar el logaritmo de cada uno de los números, sumar loslogaritmos y hallar el número correspondiente al logaritmo resultante. Hacemos todo esto para evitar lamultiplicación.

log( ) log( ) log( )

a b c

a b c

× =

⇓ ⇓ ⇑

+ =

Una operación que debe realizarse con frecuencia entre dos funciones del tiempo es la convolución. En la Sección1.6 se demostrará que si se determina primero la transformada de Fourier de cada una de las dos funciones deltiempo, se puede realizar una operación mucho más sencilla sobre las transformadas, la cual corresponde a laconvolución de las funciones en el tiempo. Esa operación, correspondiente a la convolución en el tiempo de lasdos funciones, es la multiplicación de las dos transformadas. Así, multiplicaremos las dos transformadas y luegohallamos la función correspondiente a la transformada resultante.

Notación

Normalmente usaremos la misma letra para la función en el tiempo y su transformada correspondiente, laversión mayúscula se usará para la transformada. Es decir, si tenemos una función del tiempo identificada como

g(t), su transformada se llamará ( )G f . En casos donde esto no sea posible, será necesario adoptar algunas

formas de notación alternas para asociar una función del tiempo con su transformada. Con frecuencia se usan laletras F y −F para denotar la transformada o la transformada inversa, respectivamente. Así, ( )S f es latransformada de s(t), podemos escribir

[ ]

[ ]1 ( ) ( )

( ) ( )

s t S f

S f s t−

=

=

F

F

Una flecha con doble punta también se usa con frecuencia para relacionar una función del tiempo con sutransformada. Para un par de transformadas, entonces escribiríamos


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( ) ( )

( ) s( )

s t S f

S f t

⇔

⇔

1.5 Funciones de Singularidad

Debemos introducir un nuevo tipo de función antes de proceder con aplicaciones de la teoría de Fourier. Lanueva función aparece siempre que analizamos funciones periódicas. Esta nueva entidad es parte de una clasede funciones conocidas como singularidades. Comenzamos por hallar la transformada de Fourier de una funcióncompuerta.

Funciones del tipo ilustrado en la Fig. 1.6 son comunes en los estudios de comunicaciones. Para evitar tenerque reescribir repetidamente este tipo de función, definimos la función senc como

sensenc( )

xx

x= (1.15)

Figura 1.6. Transformada de Fourier de la Función Compuerta.

Suponga que ahora queremos hallar la transformada de Fourier de una constante, ( )s t A= , para todo t.Introduciendo ( )s t A= en la integral de definición de la transformada, se obtiene

2( ) j ftS f Ae dt∞

− π

−∞= ∫ (1.16)

Esta integral no converge. Si consideramos la función constante como un pulso cuya anchura tiende a infinito,vemos que la transformada de Fourier tiende a infinito en el origen. Entonces, sólo se puede sugerir débilmenteque, en el límite, la altura de la transformada se vuelve infinita y el ancho tiende a cero. Eso suena como unafunción bastante ridícula. En efecto, no es una función ya que no está definida en f = 0. Si insistimos en decir algosobre la transformada de Fourier de una constante, aquí es el punto donde debemos reestructurar nuestra formade pensar.

La reestructuración comienza por definir una nueva función que no es realmente una función. Esta nueva“función” recibe el nombre de impulso. Veremos que cuando este nuevo tipo de función opera sobre una función,el resultado es un número. Esto coloca la distribución en algún sitio entre una función (que opera sobre númerospara producir números) y una transformada (que opera sobre funciones para producir funciones).

Definimos esta nueva entidad como impulso y usamos la letra griega delta (δ) para denotarla. Aunqueescribiremos δ(t) como si fuese una función, evitaremos dificultades definiendo su conducta en todas lassituaciones posibles.

La definición usual, aunque no rigurosa, del impulso se forma haciendo tres observaciones sencillas, dos de lascuales ya han sido mencionadas. Éstas son:


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13

Figura 1.8. Funciones que tienen el mismo producto con δ(t).

De las infinitas posibilidades, la función constante en el tiempo es la mejor opción ya que podemos sacarla de laintegral para obtener

( ) ( ) (0) ( ) (0)s t t dt s t dt s∞ ∞

−∞ −∞δ = δ =∫ ∫ (1.22)

Éste es un resultado significativo y nos referiremos a él como la propiedad de muestreo o de selección del impulso.Observe que se ha perdido una gran cantidad de información sobre s(t) ya que el resultado depende solamentedel valor de s(t) en un punto único.

Un cambio de variables produce un impulso desplazado con la propiedad de muestreo análoga:

( ) ( )0 0 0( ) ( ) ( )s t t t dt s t d s t∞ ∞

−∞ −∞δ − = τ + δ τ τ =∫ ∫ (1.23)

Las Ecs. (1.22) y (1.23) constituyen lo único que debemos conocer sobre el impulso. En efecto, cualquiera de ellaspuede tratarse como la definición del impulso.

Ejemplo 1.4

Evaluar las integrales siguientes:

a. ( )2

( ) 1t t dt∞

−∞ δ +∫

b. ( )2

2

1( ) 1t t dt

−δ +∫

c. ( )5

3

3( 1) 4 2t t t dtδ − + +∫

d. ( )4(1 ) 2t t dt∞

−∞δ − +∫

Solución

(a) La aplicación directa de la propiedad de muestreo da

( )2 2( ) 1 0 1 1t t dt∞

−∞δ + = + =∫

(b) Puesto que el impulso cae dentro del intervalo de integración,

( )2

2 2

1( ) 1 1 1 2t t dt

−δ + = + =∫

(c) El impulso ocurre en t = 1, lo que está fuera de la banda de integración. Por tanto,

()

( )


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15

La transformada de Fourier del coseno es entonces la suma de las transformadas de las dos exponenciales, lascuales obtuvimos en la Ec. (1.28). Por tanto,

( ) ( )1 10 0 02 2cos 2 f t f f f f π ⇔ δ − + δ +

Ahora podemos confesar un engaño del cual somos culpables. Aunque la transformada de Fourier esespecificada por una definición estrictamente matemática y f es justo una variable funcional independiente,hemos tratado lentamente de lavar su cerebro y hacerle pensar en esta variable como una frecuencia. En efecto, la

elección de f para el símbolo de esta variable independiente trae a la mente la palabra frecuencia. De hecho, en laSección 1.6 veremos que la transformada no puede ser cero para f negativa en el caso de funciones reales. Puestoque la definición de frecuencia (razón de repetición) no tiene significado para valores negativos, nuncaestaremos completamente correctos en llamar a f una variable de frecuencia.

Suponga que solamente consideramos la parte positiva del eje y. Para esta región, la transformada de

0cos2 tπ es diferente de cero sólo en el punto f = f 0. El único instante en su educación anterior cuando ustedexperimentó la definición de frecuencia fue aquel en que la función del tiempo era una sinusoide pura. Comopara una sinusoide pura, el eje f positivo parece tener significado cuando se interpreta como frecuencia, nosconsideraremos justificados al llamar a f una variable de frecuencia.

Otro par de transformadas que se necesitará posteriormente es el de una función escalón unitario y sutransformada. Una vez más, si aquí simplemente introducimos la función del tiempo en la definición de la

transformada, la integral resultante no converge. Podríamos intentar la técnica de suponer, pero debido en partea la discontinuidad de la función escalón, la técnica no ayuda en nada. La transformada es relativamente fácil deevaluar una vez que nos percatamos que

[ ]( ) 1 sgn( ) 2u t t= + (1.29)

donde la función sgn se define por1, 0

sgn( )1, 0

tt

t

+ >=

−


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16

Figura 1.10

1.6 Convolución

Ahora estamos en posición para investigar la operación mencionada al final de la Sección 1.3. La operación deconvolución de dos funciones de tiempo, r(t) y s(t), se define mediante la siguiente operación integral,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )r t s t r s t d s r t d∞ ∞

−∞ −∞∗ = τ − τ τ = τ − τ τ∫ ∫ (1.33)

La segunda integral en la Ec. (1.33) resulta de un cambio de variables y demuestra que la convolución esconmutativa. Esto es, ( ) ( ) ( ) ( )r t s t s t r t∗ = ∗ .

Observe que la convolución de dos funciones de la variable “ t” es, a su vez, una función de la misma variable t ya que τ es sólo una variable de integración. La integral de la Ec. (1.33) es, en general, muy difícil de evaluar enforma cerrada.

Podemos investigar la operación de la convolución de una función de tiempo arbitraria con el impulso δ(t):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0t s t s t d s t s t∞

−∞δ ∗ = δ τ − τ τ = − =∫ (1.34)

Esto demuestra que la convolución de cualquier función con un impulso en el origen no produce cambios en lafunción.

Si calculamos la convolución de la función s(t) con el impulso desplazado ( )dt tδ − , encontramos que

( ) ( ) ( ) ( )( )d d dt t s t t s t d s t t∞

−∞δ − ∗ = δ τ − − τ τ = −

∫ (1.35)En resumen, la convolución de s(t) con una función impulso no cambia la forma funcional de s(t). Solamentepuede producir un desplazamiento en el tiempo de s(t) si el impulso no ocurre en t = 0.

Como prometimos, el teorema de la convolución establece que la transformada de Fourier de una función detiempo que es la convolución de dos funciones de tiempo es igual al producto de las dos transformadas deFourier correspondientes. Es decir, si

( ) ( )( ) ( )

r t R f

s t S f

⇔

⇔

entonces

( ) ( ) ( ) ( )r t s t R f S f ∗ ⇔ (1.36)Para demostrar la Ec. (1.36), simplemente evaluamos la transformada de Fourier de la convolución:

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

2

2

( ) ( )

j ft

j ft

r t s t e r s t d dt

r e s t dt d

∞ ∞− π

−∞ −∞

∞ ∞− π

−∞ −∞

∗ = τ − τ τ

= τ − τ τ

∫ ∫

∫ ∫

F

(1.37)

Ahora hacemos un cambio de variable en la integral interna tomando t − τ = λ . Entonces tenemos

−

−

−


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17

[ ] ( ) ( )2 2( ) ( ) j f j f r t s t r e s e d d∞ ∞

− π τ − π λ

−∞ −∞

∗ = τ λ λ τ

∫ ∫F (1.38)

La integral entre corchetes es simplemente S( f ). Como S( f ) no es una función de τ, se puede sacar de la integralexterna, lo que produce el resultado deseado:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( ) j f r t s t S f r e d S f R f ∞

− π τ

−∞∗ = τ τ =∫F (1.39)

y el teorema queda demostrado.

La convolución es una operación que se ejecuta entre dos funciones. Éstas no tienen por qué ser funciones de lavariable independiente t. Pudimos muy bien calcular la convolución de dos transformadas de Fourier paraobtener una tercera función de f :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H f R f S f R S f d∞

−∞= ∗ = λ − λ λ∫ (1.40)

Como la integral que define la transformada de Fourier y la que produce la transformada inversa son integralesmuy similares, se podría sugerir que la convolución de dos transformadas corresponde a la multiplicación dedos funciones de tiempo correspondientes. En efecto, se puede demostrar, en una forma semejante a lademostración anterior, que

( ) ( ) ( ) ( ) R f S f r t s t∗ ⇔ (1.41)

Para demostrar esta relación, simplemente calculamos la transformada de Fourier inversa de ( ) ( )R f S f ∗ . La

Ec. ((1.39)se denomina el teorema de la convolución en el tiempo y la Ec. (1.41), el teorema de la convolución en frecuencia.

Ejemplo 1.6

Use el teorema de convolución para evaluar la integral

( )sen 3 sen td

t

∞

−∞

τ − ττ

τ − τ∫

Solución. La integral dada representa la convolución de las dos funciones siguientes:

sen 3 sent tt t

∗

Por tanto, la transformada de la integral es el producto de las transformadas de las dos funciones.

Evaluemos primero la transformada inversa de la función

1, | | 2( )

0, | | 2

f aS f

f a

< π=

> π

Por definición,

[ ]2

21

2

sen( ) ( ) (1)

a j ft

a

ats t S f e df

t

ππ−

− π= = =

π∫F

Usando esta transformada, las dos transformadas del ejemplo y su producto se grafican en la Fig. 1.11.


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18

Figura 1.11

La función del tiempo correspondiente a la convolución es simplemente la transformada inversa de esteproducto, es decir, la función

sen tt

π

Observe que al calcular la convolución de ( )sen t t con ( )sen3t t , el único cambio que ocurre es la adición de

un factor de escala, π. De hecho, si se hubiese calculado la convolución de ( )sen t t con ( )sen3t tπ , no seobservaría ningún cambio. Este resultado no es accidental. Existe una clase completa de funciones que nocambian cuando se convolucionan con ( )sen t t . Si esto no fuese cierto, muchos de los sistemas de comunicaciónmás básicos no podrían funcionar nunca.

1.5.1 Teorema de Parseval

Hay poca semejanza entre la forma de una función y la de su transformada de Fourier. Sin embargo, sí existenciertas relaciones entre la energía de una función de tiempo y la energía de su transformada. Aquí, usamosenergía para denotar la integral del cuadrado de la función. Se usa este término ya que él representaría lacantidad de energía, en vatio-segundos, disipada en un resistor de 1 Ω si la señal de tiempo representase elvoltaje o corriente en el resistor. La relación demuestra ser útil si conocemos la transformada de una función detiempo y queremos conocer la energía de la función de tiempo. No tenemos que pasar por el esfuerzo de evaluarla transformada inversa.

El teorema de Parseval es esa relación. Se deriva a partir del teorema de la convolución en frecuencia.Comenzando con ese teorema, tenemos

( ) ( )( ) ( )r t s t R f S f ⇔ ∗

[ ]

( ) ( )

2( ) ( ) ( ) ( )

j ftr t s t r t s t e dt

R S f d

∞− π

−∞

∞

−∞

=

= λ − λ λ

∫

∫

F

(1.42)

Como la igualdad anterior se cumple para todos los valores de f , podemos hacer f = 0. Para este valor de f , la Ec.(1.42) se convierte en

( ) ( )( ) ( )r t s t dt R S d∞ ∞

−∞ −∞= λ −λ λ∫ ∫ (1.43)

La Ec. (1.43) es una forma de la fórmula de Parseval. Se puede hacer que se relacione con la energía tomando elcaso especial de

f f

f

π

π

− π

− π

π

π−

π π

π2 Producto

F

F


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( ) * ( )s t r t= (1.44)

La transformada de Fourier de la conjugada, F [r*(t)], es dada por la conjugada de la transformada, reflejadacon respecto al eje vertical, R*(− f ). Usando este resultado en la Ec. (1.43), encontramos que

( )22( )r t dt R f d

∞ ∞

−∞ −∞= λ∫ ∫ (1.45)

Hemos usado el hecho de que el producto de una función con su conjugado complejo es igual a la magnitud dela función al cuadrado. La Ec. (1.45) muestra que la energía de la función de tiempo es igual a la energía sutransformada de Fourier.

1.6 Propiedades de la Transformada de Fourier

Ahora ilustramos algunas de las propiedades más importantes de la transformada de Fourier. Las propiedadesnos permiten derivar algo una vez y luego usar el resultado en diferentes aplicaciones. También nos permitenpredecir la conducta de varios sistemas.

1.6.1 Real/Imaginaria − −− − Par/Impar

La tabla siguiente resume propiedades de la transformada de Fourier con base en observaciones realizadas sobrela función de tiempo

Función de Tiempo Transformada de Fourier

A Real Parte real par, parte imaginaria impar

B Real y Par Real y par

C Real e Impar Imaginaria e impar

D Imaginaria Parte real impar; parte imaginaria impar

E Imaginaria y Par Imaginaria y par

F Imaginaria e Impar Real e impar

Demostración:

Propiedad A. La integral de definición de la transformada de Fourier puede expandirse usando la identidad deEuler en la forma siguiente:

( ) 2( )

( ) cos 2 ( )sen 2

j ftS f s t e dt

s t ft dt j s t ft dt

R jX

∞− π

−∞

∞ ∞

−∞ −∞

=

= π − π

= +

∫

∫ ∫ (1.46)

R es una función par de f ya que cuando f se reemplaza por − f , la función no cambia. En la misma forma, X es

una función impar de f .Si se supone primero que s(t) es real, R se convierte en la parte real de la transformada y X en la parte

imaginaria. Así queda demostrada la propiedad A.

Propiedad B. Si, además de ser real, s(t) es par, entonces X = 0. Esto es cierto ya que el integrando en X es impar(el producto de par e impar) y se integra a cero. Queda así demostrada la propiedad B.

Propiedad C. Si ahora s(t) es real e impar, el mismo argumento aplica, pero R = 0. Esto demuestra la propiedad C.

Ahora, suponga que s(t) es imaginaria. Entonces X se vuelve la parte imaginaria de la transformada y R es laparte real. A partir de esta simple observación, se verifican las propiedades D, E y F.


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1.6.2 Desplazamiento en el Tiempo

La transformada de Fourier de una función desplazada en el tiempo es igual al producto de la transformada de la función detiempo original con una exponencial compleja:

( ) ( )2 d j ftds t t e S f π− ⇔ (1.47)

Demostración: La demostración se deduce directamente de la evaluación de la transformada de ( )ds t t− :

( ) ( ) ( ) ( )22 d j f t j ft

d ds t t s t t e dt s e d∞ ∞

− π τ+− π

−∞ −∞ − = − = τ τ ∫ ∫F (1.48)

La segunda integral se obtiene mediante un cambio de variables, haciendo τ = t − td. Ahora sacamos de laintegral la parte que no depende de τ y observamos que lo que queda es la transformada de Fourier de s(t).Finalmente, se obtiene la Ec. (1.47).

Ejemplo 1.7 Considere la señal

( ) ( )atx t e u t−=

Si a < 0, entonces x(t) no es absolutamente integrable y, por tanto, X (ω) no existe. Para a > 0, X (ω) se obtiene a

partir de la definición como

( )

00

1( ) a j tat j tX e e dt e

a j

∞ ∞− + ω− − ωω = = −

+ ω∫ Es decir,

1( ) , 0X a

a jω = >

+ ω

Puesto que esta transformada de Fourier tiene partes real e imaginaria, para graficarla en función de ω laexpresamos en términos de su magnitud y fase:

1

2 2

1

( ) , ( )= tanX X aa

− ω

ω = ∠ ω − + ω

Cada una de estas componentes se grafica en la Fig. 2.16. Observe que si a es compleja, entonces x(t) esabsolutamente integrable siempre que Re{a} > 0, y en este caso el cálculo precedente produce la misma formapara X (ω), es decir,

{ }1

( ) , Re 0X aa j

ω = >+ ω

( ) X ∠ ω( ) X ω

1 a

a− aω

ω

(a) (b)

1 2a

Figura 1.12. Transformada de Fourier de la señal x(t) = e− atu(t).


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21

Ejemplo 1.8

Hallar la transformada de Fourier de

1, 0 2( )

0, otros valores det

s tt

<


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22

En la segunda integral, se hizo un cambio de variables tomando 0 f f λ = − . Ahora sacamos de la integral la parte

que no depende de λ y reconocemos que la integral restante es la transformada de Fourier inversa de s(t). Estoproduce,

( ) ( )020 j f tS f f e s tπ− ⇔ (1.51)

Ejemplo 1.9

Halle la transformada de Fourier de la señal

2 , | | 1( )

0, | | 1

j te ts t

t

π (1.52)

Es muy sencillo demostrar que la transformada de la señal

, | |( )

0, | | A t

s tt

< α=

> α (1.53)

es dada por

sen2

( )

f

S f A f

π α

= π (1.54)

La señal dada en la Ec. (1.52) y la dada en la Ec. (1.53) son las mismas (con 1 A = α = ), excepto por un factor de

multiplicación 2 j te π . Usamos el teorema del desplazamiento de frecuencia para determinar que la transformadaes la transformada original desplazada por 1 unidad de frecuencia. Por tanto tomamos la transformada en la Ec.(1.54) y sustituimos f por f − 1; la transformada buscada es

( )

( )

sen 2 1( )

1

f S f

f

π −=

π −

1.6.4 Linealidad

La linealidad es sin duda la propiedad más importante de la transformada de Fourier.La transformada de Fourier de una combinación lineal de funciones de tiempo es una combinación lineal de las

transformadas de Fourier correspondientes.

( ) ( )1 2 1 2( ) ( )as t bs t aS f bS f + ⇔ + (1.55)

donde a y b son dos constantes cualesquiera.

Demostración. La demostración se deduce directamente a partir de la definición de la transformada de Fourier ydel hecho que la integración es una operación lineal.

Ejemplo 1.10

Hallar la transformada de Fourier de la señal

1, 1 0

2, 0 1( )

1, 1 2

0, otros valores de

t

ts t

t

t

− <


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Figura 1.15

Solución. Usamos la propiedad de linealidad y observamos que s(t) es la suma de las funciones dadas por lasEcs. (1.52) y (1.53) en el Ejemplo 1.9. Por tanto, la transformada es dada por la suma de las dos transformadas,

[ ]2sen2( ) 1 j f f

S f e f

− ππ= +π

(1.56)

Puesto que la función dada sería par si se desplaza hacia la izquierda por 0.5 segundos, podemos reescribir la Ec.

(1.56) en una forma más descriptiva factorizando el término j f e− π :

sen 2 cos( ) 2 f

f f S f e

f − ππ π=

π

1.6.5 Teorema de Modulación

El teorema de modulación está íntimamente relacionado con el teorema de desplazamiento de frecuencia. Lotratamos por separado ya que forma la base de prácticamente todo el estudio de la modulación de amplitud.

Comenzamos por suponer que se da s(t), con su transformada de Fourier asociada. Entonces se multiplica s(t)por una función coseno para obtener

0( ) cos 2s t f tπ

La transformada de Fourier de esta señal es dada por

[ ] ( ) ( )0 0 01 1

( ) cos 22 2

s t f t S f f S f f π = − + +F (1.57)

El resultado de multiplicar una función de tiempo por una sinusoide pura es el desplazamiento de la transformada originalhacia arriba y hacia abajo por la frecuencia de la sinusoide ( y disminuyendo la amplitud a la mitad).

Demostración. La demostración del teorema de modulación se obtiene directamente a partir del teorema dedesplazamiento en frecuencia. Dividimos 0cos2 f tπ en dos componentes exponenciales y luego aplicamos elteorema de desplazamiento en frecuencia a cada componente.

En una forma más general, esta propiedad puede expresarse así: La propiedad de convolución expresa que la

convolución en el dominio del tiempo se corresponde con una multiplicación en el dominio de la frecuencia. Acausa de la propiedad de dualidad entre los dominios del tiempo y de la frecuencia, es de esperar que tambiénse cumpla una propiedad dual. Específicamente, si

x(t) ↔ X (ω) m(t) ↔ M(ω)

entonces

[ ]12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t m t X M X f M f π↔ ω ∗ ω = ∗ (1.58)

( )

−


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24

La convolución de señales en frecuencia se ejecuta exactamente como la convolución en el dominio del tiempo;es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X H X H d H X d∞ ∞

σ=−∞ σ=−∞ω ∗ ω = σ ω − σ σ = σ ω − σ σ∫ ∫

La multiplicación de la señal deseada x(t) por m(t) es equivalente a alterar o modular la amplitud de x(t) deacuerdo con las variaciones en m(t), y por ello también se denomina modulación de amplitud. La importancia de

esta propiedad se ilustrará con un ejemplo.

Ejemplo 1.11

Sea x(t) una señal cuyo espectro X (ω) se muestra en la Fig. 1.16. También considere la señal m(t) definida por

0( ) cosm t t= ω

Figura 1.16. La propiedad de modulación.

Entonces0 0( ) ( ) ( ) M ω = π δ ω − ω + π δ ω + ω

como se muestra en la Fig. 1.16b, y el espectro ( )1 2 ( ) ( ) M X π ω ∗ ω de m(t)x(t) se obtiene aplicando la Ec. (1.58):

1 1 10 02 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M X X f f X f f R f π

ω ∗ ω = − + + =

el cual se grafica en la Fig. 1.16c. Aquí hemos tomado f 0 > f 1 para que las partes diferentes de cero de R( f ) no sesolapen. Vemos entonces que el espectro de la onda resultante de la multiplicación en el tiempo consiste de lasuma de dos versiones desplazadas y escaladas de X ( f ).

De la Ec. (1.58) y de la Fig. 1.16 está claro que toda la información en la señal x(t) se preserva cuando lamultiplicamos por una señal sinusoidal, aunque la información ha sido corrida hacia frecuencias mayores. Estehecho forma la base para los sistemas de modulación de amplitud sinusoidal y en el próximo ejemplo le damosuna mirada a cómo podemos recuperar la señal original x(t) a partir de la señal modulada.

1.6.6 Escalamiento en Tiempo y en Frecuencia

Concluimos esta parte dedicada a las propiedades de la transformada, con un conjunto de dos propiedadesasociadas conocidas como escalamiento en tiempo y frecuencia. La utilidad de estas propiedades se evidenciacuando tomamos una función de tiempo o una transformada de Fourier y la estiramos o comprimimos a lo largodel eje horizontal. Así, si ya conocemos la transformada de Fourier de un pulso con un ancho de dos unidades,

S (ω) A

ω1−ω1 ω

P (ω)π π

−ω0 ω0

0

0 0−ω0 ω0+ω1ω0ω0 – ω1−ω0 – ω1 −ω0+ω1

)()([)(21 ω∗ω=ωπ

P S R

ω ω

(a)

(b) (c)

A/2


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no necesitamos realizar cálculos adicionales para hallar la transformada de Fourier de un pulso de cualquier otraanchura.

Escalamiento en Tiempo. Suponga que ya sabemos que la transformada de Fourier de s(t) es S( f ) y queremosdeterminar la transformada de s(at), donde a es un factor de escala real. Así, por ejemplo, si a = 2, estamoscomprimiendo la función por un factor de 2 a lo largo del eje t y si a = 0.5, la estamos expandiendo por un factorde 2. El resultado se puede derivar directamente a partir de la definición de la transformada en la forma

siguiente:

( )[ ] ( ) ( )2 2 j ft j f ad

s at s at e dt ea

∞ ∞− π − π τ

−∞ −∞

τ= = τ∫ ∫F

donde la última integral se obtuvo mediante el cambio de variables τ = at. La integral se reconoce ahora como

( )[ ]1 f

s at Sa a

=

F (1.59)

El resultado representa una operación complementaria en el eje de la frecuencia y un escalamiento en amplitud.Así, por ejemplo, si a = 2, el eje del tiempo es comprimido. Al hallar la transformada, expandimos el eje de lafrecuencia por un factor de 2 y escalamos la amplitud de la transformada dividiendo por 2.

Escalamiento en Frecuencia. Si ya se conoce que la transformada de Fourier de s(t) es S( f ), entonces la señal quetiene a S(af ) como su transformada, donde a es una factor de escala real, es dada por

( )11 t

S af sa a

− = F (1.60)

Ésta se demuestra directamente a partir de la definición de la transformada inversa y se deja como un ejerciciopara el lector.

1.7 Funciones Periódicas

Se determinó que la transformada de Fourier de la función coseno está compuesta de dos impulsos que ocurrenen la frecuencia del coseno y en la negativa de esta frecuencia. Ahora se demostrará que la transformada de

Fourier de cualquier función periódica es una función discreta de la frecuencia. Es decir, la transformada esdiferente de cero sólo en puntos discretos a lo largo del eje f . La demostración se deduce a partir de lasexpansiones en series de Fourier y de la linealidad de la transformada de Fourier.

Suponga que tenemos la transformada de Fourier de una función de tiempo, s(t), la cual es periódica conperíodo T . Podemos expresar la función en términos de la representación en serie de Fourier compleja como

02( ) jn f tnn

s t c e∞

π

=−∞

= ∑ (1.61)

donde f 0 = 1/T .

Previamente se estableció el par de transformadas,

( )02 0 j f t Ae A f f π ⇔ δ − (1.62)

De este par de transformadas y de la propiedad de linealidad de la transformada se tiene que

[ ] [ ]02( ) jn f tnn

s t c e∞

π

=−∞

= ∑F F (1.63)

Ésta muestra que la transformada de Fourier de una función periódica es un tren de impulsos igualmenteespaciados, cada uno de los cuales tiene una intensidad igual al coeficiente de Fourier cn correspondiente.


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Ejemplo 1.12

Halle la transformada de Fourier de la función periódica compuesta de impulsos unitarios, como muestra la Fig.1.17.

Figura 1.17. s(t) periódica para el Ejemplo 1.12.

La función se puede expresar como

( )( )n

s t t nT ∞

=−∞

= δ −∑

Solución. La transformada de la función la da la Ec. (1.63):

( ) ( )0nn

S f c f nf ∞

=−∞

= δ −∑ donde

01

f T

=

02

2

2

1( )

T jn f t

nT

c s t e dtT

− π

−= ∫

Dentro del intervalo de integración, la única contribución de s(t) es la que da el impulso en el origen. Por tanto,

( )0

22

2

1 1T jn f tn

T c t e dtT T − π

−= δ =∫ Finalmente, la transformada de Fourier del tren de pulsos es dada por

( ) ( )01

n

S f f nf T

∞

=−∞

= δ −∑

donde f 0 = 1/T .

La función del ejemplo previo tiene una expansión en serie de Fourier interesante. Todos los coeficientes soniguales. Cada componente de frecuencia posee la misma amplitud que todos los demás. Esto es análogo a laobservación de que la transformada de Fourier de un solo impulso es una constante. Esta semejanza nos lleva a

examinar la relación entre la transformada de Fourier de una función periódica y la transformada de Fourier deun período de esta función.

Suponga que s(t) representa un solo período de la función periódica s p(t). Podemos entonces expresar lafunción periódica como una suma de versiones desplazadas de s(t):

( )( ) pn

s t s t nT ∞

=−∞

= −∑ (1.64)

Como la convolución con un impulso simplemente desplaza la función original, la Ec. (1.64) puede reescribirsecomo

. . .. . .

s(t )

1

T 2T 3Tt

− T


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( )( ) ( ) pn

s t s t t nT ∞

=−∞

= ∗ δ −∑ (1.65)

La convolución en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación de las transformadas de Fourier. Enel ejemplo se determinó la transformada de Fourier del tren de impulsos. Transformando la Ec. (1.65) daentonces

( )01( ) ( ) pn

S f S f f nf t

∞

=−∞

= δ −∑ (1.66)

La Ec. (1.66) muestra que la transformada de Fourier de la función periódica es simplemente una versiónmuestreada y escalada de la transformada de un solo período de la función.

SISTEMAS LINEALES

1.8 La Función del Sistema

Comenzamos por definir algunos términos comunes. En nuestro caso, un sistema es un conjunto de reglas queasocia una función de salida con cada función de entrada. Esto se muestra en la forma de un diagrama de bloquescomo en la Fig. 1.18.

Figura 1.18. Representación en bloques de un sistema.

La entrada, o señal fuente, es r(t); s(t) es la salida, o señal de respuesta, debida a esta entrada. La estructura físicareal del sistema determina la relación exacta entre r(t) y s(t).

Se usa una flecha con una sola punta como un método abreviado de relacionar una entrada con su salidaresultante. Esto es,

( ) ( )r t s t→

y que se lee como “una entrada r(t) produce una salida s(t)”.

Por ejemplo, supongamos que el sistema bajo estudio es un circuito eléctrico. Entonces r(t) podría ser una señalde voltaje o corriente y s(t) podría ser un voltaje o corriente medidos en cualquier parte del circuito. Larepresentación en la Fig. 1.18 no se modificaría aun cuando el esquema del circuito tendría dos alambres paracada voltaje. Las líneas únicas en la figura representan el flujo de la señal.

En el caso especial de una red eléctrica de dos terminales, r(t) podría ser un voltaje sinusoidal entre dosterminales y s(t) podría ser la corriente que fluye por uno de los terminales debido a la acción del voltaje. En este

caso, la relación entre r(t) y s(t) es la impedancia compleja entre los dos terminales de la red.

Cualquier sistema puede describirse especificando la respuesta r(t) asociada con cada entrada posible r(t). Éstees obviamente un proceso exhaustivo. Ciertamente esperamos hallar una forma más sencilla de caracterizar elsistema.

Antes de introducir una técnica alterna para describir sistemas, se necesitan algunas definiciones básicas.

Se dice que un sistema obedece superposición si la salida debida a una suma de entradas es la suma de lassalidas individuales correspondientes. Es decir, dado que la respuesta (salida) debida a una excitación (entrada)r1(t) es s1(t) y que la respuesta debida a r2(t) es s2(t), entonces la respuesta a 1 2( ) ( )r t r t+ es 1 2( ) ( )s t s t+ .

r (t ) s(t )


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Dicho de otra forma, un sistema que obedece el principio de superposición tiene la propiedad de que si

1 1( ) ( )r t s t→

y

2 2( ) ( )r t s t→

entonces

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )r t r t s t s t+ → +

Si se piensa un poco sobre esto, es fácil de ver que para que un sistema obedezca el principio de superposición,la respuesta libre de fuentes o respuesta transitoria (respuesta debida a condiciones iniciales) debe ser cero. En lapráctica, con frecuencia se reemplaza un circuito que tiene condiciones iniciales diferentes de cero con uno quecontiene cero condiciones iniciales. Se deben añadir fuentes adicionales para simular las contribuciones de lascondiciones iniciales.

Un concepto íntimamente relacionado con la superposición es la linealidad. Suponga una vez más que

1 1( ) ( )r t s t→ y 2 2( ) ( )r t s t→ . Se dice que el sistema es lineal si se cumple la siguiente relación para todos losvalores de las constantes a y b:

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ar t br t as t bs t+ → +

En el resto de estas notas, se usarán las palabras linealidad y superposición de manera intercambiable.

Un sistema se dice invariable en el tiempo si la respuesta debida a una entrada no depende del tiempo real enque ocurre la entrada. Es decir, un desplazamiento temporal en la señal de entrada produce un desplazamientotemporal igual en la señal de salida. En forma simbólica, si

( ) ( )r t s t→ entonces

( ) ( ) d dr t t s t t− → −

para todo td real.

Una condición suficiente para que una red eléctrica sea invariable en el tiempo es que los valores de sus

componentes no cambien con el tiempo (suponiendo que las condiciones iniciales tampoco cambian). Esto es, lasresistencias, capacitancias e inductancias permanecen constantes.

Regresando a la tarea de caracterizar un sistema, veremos que para un sistema lineal e invariable en el tiempo(sistema LIT), es posible una descripción sencilla. Es decir, en lugar de requerir que conozcamos la respuestadebida a cada entrada posible, veremos que solamente necesitamos conocer la salida a una sola entrada de

prueba.

Sabemos que la convolución de cualquier función con un impulso en el origen produce la función original.Esto es,

( ) ( )( ) ( ) ( )r t r t t r t d∞

−∞= ∗δ = τ δ − τ τ∫ (1.67)

Aunque siempre se debe ser extra cuidadoso al trabajar con impulsos, supongamos que la integral puedeconsiderarse como un caso límite de una suma, en la forma dada por la Ec. (1.68):

( ) ( )0

( ) límn

r t r n t n∞

∆τ→=−∞

= ∆τ δ − ∆τ∑ (1.68)

La Ec. (1.68) representa una suma ponderada de impulsos retardados. Suponga ahora que esta suma ponderadaforma la entrada a un sistema lineal e invariable en el tiempo. La salida sería entonces una suma ponderada desalidas retardadas debidas a un solo impulso.


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Suponga ahora que conocemos la salida del sistema debida a un solo impulso. Denotemos esa salida como h(t),la respuesta al impulso. La salida debida a la entrada de la Ec. (1.68) es entonces dada por

( ) ( )0

( ) límn

s t r n h t n∞

∆τ→=−∞

= ∆τ − ∆τ ∆τ∑ (1.69)

Si ahora pasamos al límite, ésta se convierte en una integral:

( ) ( )( ) ( ) ( )s t r h t d r t h t∞

−∞= τ − τ τ = ∗∫ (1.70)

La Ec. (1.70) establece que la salida debida a cualquier entrada es determinada mediante la convolución de esaentrada con la respuesta del sistema a un impulso. Todo lo que necesitamos saber sobre el sistema es surespuesta al impulso. La Ec. (1.70) se conoce como la ecuación de la integral de superposición.

La transformada de Fourier del impulso es la unidad. Por tanto, en un sentido intuitivo, δ(t) contiene todas lasfrecuencias con igual grado. Esta observación sugiere lo conveniente del impulso como una función de pruebapara la conducta del sistema. En el lado negativo, en la vida real no es posible producir un impulso perfecto.Sólo podemos aproximarlo con un pulso muy angosto de amplitud muy grande.

Tomando la transformada de Fourier de la Ec. (1.70), se obtiene

( ) ( ) ( )S f R f H f =

o

( ) ( )

( )

S f H f

R f = (1.71)

La transformada de Fourier de la respuesta al impulso es la relación entre la transformada de Fourier de lasalida y la transformada de Fourier de la entrada. Se le da el nombre de función de transferencia o función delsistema y caracteriza completamente un sistema lineal e invariable en el tiempo.

1.9 Canales de Comunicación Típicos

Todos los sistemas de comunicación contienen un canal. Es el medio que conecta el receptor al transmisor. Elcanal puede consistir de alambres de cobre, cable coaxial, cable de fibra óptica, guías de onda, aire (incluyendola atmósfera superior en el caso de transmisión por satélite) o una combinación de éstos. Todos los canalestienen una frecuencia máxima más allá de la cual las componentes de la señal de entrada son atenuadas porcompleto. Esto se debe a la presencia de capacitancia e inductancia distribuidas. Conforme las frecuenciasaumentan, la capacitancia en paralelo tiende a “poner en cortocircuito” la señal y la inductancia en serie a“ponerla en circuito abierto”.

Muchos canales también exhiben una frecuencia inferior de corte debido al efecto dual mencionado. Si hay unafrecuencia de corte inferior, el canal puede modelarse como filtro de pasabanda. Si no hay una frecuencia decorte inferior (esto se conoce algunas veces como acoplamiento cd), el modelo del canal es un filtro de pasabajas.

Los canales de comunicación se categorizan de acuerdo con el ancho de banda. Hay tres grados tradicionales

de canales: banda angosta, banda de voz y banda ancha (aunque con frecuencia se usan otros términos paracaracterizar canales inalámbricos).

Los anchos de banda hasta 300 Hz están en la banda angosta, o banda telegráfica. Los canales con estos anchos de banda pueden usarse para transmisión lenta de datos, en el orden de los 600 bits por segundo (bps). Los canalesde banda angosta no pueden usarse con fiabilidad para transmisiones de voz no modificada sin compresión.

Los canales de grado de voz tienen anchos de banda entre 300 Hz y 4 kHz. Aunque fueron diseñadosoriginalmente para transmisiones analógicas de voz, regularmente se usan para transmitir datos. Algunasformas de video comprimido pueden ser enviadas por estos canales. Los circuitos de telefonía públicos son de banda de voz.


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Los canales de banda ancha tienen anchos de banda mayores que 4 kHz. Éstos pueden ser concedidos enalquiler por una compañía de teléfonos. Pueden ser usados para datos de alta velocidad, video o canales devoces múltiples.

Alambre, Cable y Fibra

Se puede usar alambre de cobre, cable coaxial o fibras ópticas en la comunicación punto a punto. Es decir, siconocemos la ubicación fija del transmisor y la del receptor, y si éstos pueden conectarse en forma conveniente

entre sí, es posible una conexión alámbrica. Se pueden usar pares de alambres de cobre, trenzados para reducirlos efectos del ruido incidente, para comunicación a baja frecuencia. El ancho de banda de este sistema dependede la longitud. La atenuación (en dB/km) sigue una curva semejante a la mostrada en la Fig. 1.19.

El cable coaxial introduce mejoras sobre el par de alambres de cobre trenzados. El ancho de banda de este canales mucho más alto que el de los alambres trenzados y se pueden introducir pares múltiples de alambres en unsolo tubo de cable. El tubo (funda) que rodea los alambres sirve como blindaje contra el ruido incidente, demanera que se pueden usar cables coaxiales para distancias más largas que con el par de alambres trenzados.

()

( / )

Figura 1.19. Atenuación vs Distancia para alambre de cobre.

La fibra óptica ofrece ventajas sobre el cable metálico, tanto en ancho de banda como en inmunidad contra elruido. La fibra óptica es particularmente atractiva para la comunicación de datos, donde el ancho de bandapermite tasas de datos mucho mayores que las alcanzables con conductores metálicos.

El aire (comunicaciones terrestres) tiene ventajas y desventajas cuando se usa como un canal de transmisión. Laventaja más importante es su habilidad para la radiodifusión de señales. No se necesita conocer la ubicaciónexacta del receptor para establecer un enlace de comunicación. La comunicación móvil no sería práctica sin esacapacidad. Entre las desventajas están las características del canal, las cuales son altamente dependientes de lafrecuencia, el ruido aditivo, la asignación limitada de las bandas de frecuencias disponibles, susceptibilidad a

interferencias intencionales y la falta de seguridad.La atenuación (a nivel del mar) es una función de la frecuencia, la presión barométrica, humedad y

condiciones del tiempo. Una curva típica para condiciones de buen tiempo se parecería a la mostrada en la Fig.1.20.

La luz visible ocupa la banda de frecuencias desde aproximadamente 40000 GHz hasta 75000 GHz.

La Fig. 1.21 muestra cómo se amplifica la porción de bajas frecuencias de la curva de atenuación bajocondiciones lluviosas.


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Figura 1.20. Atenuación vs. Frecuencia.

El ruido aditivo y las características de transmisión también dependen de la frecuencia. Mientras más alta seala frecuencia, la características de transmisión se parecerán más a la de la luz. Por ejemplo, en radio frecuencias(rf ) en la banda de 1 MHz, la transmisión no es por línea de vista y es posible transmisión más del horizonte. Sinembargo, para frecuencias ultra altas (uhf , por sus siglas en inglés) en la banda de 500 MHz y mayor, latransmisión comienza a adquirir algunas de las características de la luz. Algunas veces se necesita línea de vista

y la humedad y obstrucciones degradan la transmisión. En frecuencias de microondas superiores a varios cientosde MHz, la transmisión es por línea de vista. Las antenas deben posicionarse para evitar obstrucciones.

Figura 1.21. Bajas frecuencias.

Los satélites proporcionan ventajas en la comunicación a grandes distancias. La señal es enviada al satélitemediante un enlace de ascenso y la electrónica en el satélite (transponder) retransmite esta señal al enlace dedescenso. Para el satélite es tan sencillo retransmitir la señal a un receptor al lado del enlace de ascenso como lo estransmitirla a un receptor a 4000 km de distancia del enlace. El único requisito es que el receptor esté dentro dela huella del satélite – esto es, el área de la superficie terrestre cubierta por la antena transmisora del satélite. Lacomunicación satelital tiene varias desventajas importantes. Los satélites a menudo están ubicados en posiciones

asignadas en órbitas geosincrónicas, a aproximadamente 35000 km sobre la superficie de la tierra. Esto resulta enun tiempo de viaje de ida y vuelta de aproximadamente ½ segundo, lo que dificulta la rapidez en lacomunicación interactiva de dos vías. Este retraso está impulsando un movimiento hacia satélites en órbitas bajas (LEO, por sus siglas en inglés). Hasta se ha propuesto el uso de aviones en lugar de satélites, donde losaviones ocuparían un espacio aéreo por turnos.

Todos los sistemas de transmisión por radiodifusión sufren de falta de privacidad. Cualquiera que esté dentrode un área de recepción de la antena transmisora puede “conectarse” a la conversación. Esta desventaja puedealiviarse parcialmente con perturbaciones y codificación


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Canales Telefónicos

Cuando nos referimos a canales telefónicos, estamos hablando sobre el hardware fijo (alambres y fibra óptica).La porción inalámbrica (por ejemplo, un teléfono celular) se considera por separado). Hay dos tipos de líneastelefónicas en uso. La línea de discado es enrutada a través de oficinas de conmutación de voz. La alternativa es lalínea alquilada, la cual es un circuito permanente que no está sometida a la conmutación de tipo público. Como seusa la misma línea todo el tiempo, se pueden predecir y compensar algunos tipos de distorsión.

En el circuito de discado, surgen diferentes problemas debido a los procedimientos adoptados para los canalesde voz. Estos problemas se pueden caracterizar en forma amplia como distorsión, interferencia aditiva (ruido) ydiafonía.

El sistema telefónico está diseñado específicamente para señales de audio con una frecuencia superior en lacercanía de 4 kHz. Cuando estas líneas se usan para datos, a menudo se aumenta la frecuencia de corte superiorpara mejorar el desempeño en la banda de voz, pero esto produce distorsión adicional por encima de 4 kHz,dificultando así el alcanzar mayores tasas de bits.

Los canales telefónicos de larga distancia contienen supresores de ecos que son activados por la voz. Éstos evitanque un usuario reciba ecos debidos a reflexiones producidas por transiciones en el canal. El retraso en activarestos supresores puede dificultar ciertos tipos de operaciones de datos.

Las líneas telefónicas tienen características de amplitud que no son constantes con la frecuencia y, por tanto,

contribuyen con la distorsión de amplitud. La Fig. 1.22 muestra una curva de atenuación o de pérdidas típica. Lapérdida se da en decibelios (dB) y relativa a una atenuación en aproximadamente 1000 Hz, donde ocurre lapérdida mínima.

En la línea telefónica también ocurre distorsión de fase. En la Fig. 1.23 se muestra una característica de fasetípica para una línea de 7 km. Puesto que ésta no es una línea recta, se tiene distorsión.

Los canales de grado de voz se clasifican de acuerdo con la máxima cantidad de distorsión por atenuación ymáxima distorsión por retardo de envolvente dentro de una banda particular de frecuencias. Las compañíastelefónicas pueden proporcionar acondicionamiento para reducir los efectos de tipos específicos de distorsión. Alcontratar un canal telefónico, se especifica un acondicionamiento particular y la compañía garantiza un ciertonivel de desempeño. Naturalmente, mientras mejor sea el canal, más alto será el costo.

() ()

( )

Figura 1.22. Atenuación típica de canal Figura 1.23. Fase típica de canaltelefónico. telefónico.

La Tabla 1.1 da una lista de las características de canales típicos para tipos representativos deacondicionamiento. Se ilustran las especificaciones del Acondicionamiento C. Otros tipos incluyen el Grado deVoz BELLCORE y tipos de servicio de AT&T.


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Tabla 1.1 – Parámetros de un Canal Telefónico Típico.

Condicionamiento Banda deAtenuación

de Frecuencia

Variación deDistorsión

Banda deFrecuencias del

Retardo de Envolvente

Variación deDistorsión µµµµs

Básico 500-2500300-3000

−2 a +8−3 a +12

800−2600 1750

C1 1000-2400300-2700300-3000

−1 a +3−2 a +6−3 a +12

1000−2400800−2600

10001750

C2 500-2800300-3000

−1 a +3−2 a +6

1000−2600600−2600500−2800

50015003000

C4 500-3000300-3200

−2 a +3−2 a +6

1000−2600800−2800600−3000500−3000

300500

15003000

C5 500-2800300-3000

−0.5 a +1.5−3 a +3

1000−2600600−2600

500−2800

100300

600

Como un ejemplo, examine el canal C2. Si usted fuese a adquirir un canal así y usarlo dentro de su banda defrecuencias entre 500 Hz y 2800 Hz, se le garantizaría que la atenuación no variaría más allá de la banda de −1 a+3 dB (en relación con la respuesta a 1004 Hz). Si lo usa en la banda más ancha entre 300 Hz y 3000 Hz, la bandade atenuación garantizada aumenta a la banda de −2 a +6 dB. En forma similar, la variación del retardo deenvolvente será menor que 3000 microsegundos si se opera dentro de la banda entre 500 Hz y 2800 Hz.

Además de los parámetros dados en la Tabla 1.1, las diferentes líneas especifican pérdidas, variaciones en laspérdidas, error de frecuencia máximo y variación de fase. Por ejemplo, el canal C1 especifica una pérdida de 16dB ±1 dB a 1000 Hz. La variación en la pérdida está limitada a 4 dB para largos períodos de tiempo. El error defrecuencia está limitado a 5 Hz y la variación de fase a 10°.

1.10 La Transformada de Hilbert

Si todas las componentes de una señal de tiempo son desplazadas por −90 grados en fase (y no se cambia laamplitud), el resultado es una nueva función de tiempo conocida como la transformada de Hilbert. Como larespuesta al impulso h(t) de un sistema real, es real, la parte real de H ( f ) debe ser par y la parte imaginaria debese impar. Alternativamente, la amplitud de H ( f ) debe ser par y la fase impar. Así, resulta la función del sistemade la Fig. 1.24. H ( f ) es dada entonces por

( ) sgn( ) H f j f = − (1.72)

donde sgn es la función “signo”. La respuesta al impulso de este sistema se determina evaluando latransformada de Fourier inversa de H ( f ). Un proceso de límite semejante al utilizado para hallar la transformadade Fourier de la función escalón unitario da que

1( )h tt

=π

(1.73)

Este resultado se obtiene aplicando la dualidad a [ ]sgn 1t j f = πF , lo cual da [ ] ( ) ( )1 sgn sgn j t f f π = − − = −F , de

manera que [ ]1 sgn 1 j f j j t t− − = π = πF .


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Figura 1.24. Función de sistema del transformador de Hilbert

Así pues, la transformada de Hilbert de una señal, s(t), es dada por la convolución de la señal con h(t):

( )1 1ˆ( ) ( )s

s t s t dt t

∞

−∞

τ= ∗ = τ

π π − τ

⌠ ⌡

(1.74)

Observe que la transformación de Hilbert es una convolución y no cambia el dominio, de modo que s(t) y ( )s tɶ sonfunciones del tiempo.

Si tomamos la transformada de Hilbert de una transformada de Hilbert, el efecto en el dominio de frecuenciases multiplicar la transformada de la señal por 2( ) H f . De la Ec. (1.72) vemos que 2 ( ) 1 H f = . Así pues, latransformada de Hilbert inversa es dada por

ˆ( )1( )

ss t d

t

∞

−∞

τ= − τ

π − τ

⌠ ⌡

(1.75)

Ejemplo 1.13

Halle la transformada de Hilbert de las siguientes señales de tiempo.

(a) ( )0( ) cos 2s t f t= π + θ

(b) ( )sen( ) cos 2 100m ts t tt= π×

(c) ( )sen

( ) sen 2 100mt

s t tt

= π×

Solución. Siempre es más fácil evitar la convolución en el tiempo y trabajar con las transformadas de Fourier.

(a) La transformada de Fourier de s(t) es dada por

( ) ( ) 01 10 02 2( ) j f f S f f f f f e− θ = δ − + δ +

Observe que el desplazamiento de fase de θ radianes es equivalente a un desplazamiento en el tiempo de θ/2π f segundos. Ahora multiplicamos por sgn( ) j f − para obtener

( ) ( ) 01 10 02 2ˆ( ) j f f S f j f f j f f e− θ = − δ − + δ +

La cantidad entre corchetes es la transformada de Fourier de una onda seno, de modo que el resultado es

( )0ˆ( ) sen 2s t f t= π + θ

Esto no es una sorpresa, ya que la transformada de Hilbert es una operación de desplazar la fase por 90 grados.

(b) Sea

1| H ( f )|

f

90°

−90°

∠ H ( f )


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sen( )

ts t

t=

Entonces la transformada de Fourier de sm(t) es dada por

( ) ( )1 12 2( ) 100 100mS f S f S f = − + +

Como S( f ) está limitada en banda a 1 f = ± Hz, el primer término en Sm( f ) ocupa frecuencias entre 99 y 101 Hz,

en tanto que el segundo término ocupa frecuencias entre −101 y −99 Hz. Cuando Sm( f ) es multiplicada porsgn( ) j f − para obtener la transformada de Fourier de la transformada de Hilbert, encontramos que

( ) ( )1 12 2ˆ ( ) 100 100mS f jS f jS f = − − + +

y la transformada inversa de ésta da

( ) ( )senˆ ( ) ( )sen 2 100 sen 2 100m

ts t s t t t

t= π× = π×

(c) Podemos usar el hecho de que la transformada de Hilbert de la transformada de Hilbert es el negativo de lafunción original. Entonces, por inspección, el resultado es

( ) ( )

sen

( )cos 2 100 cos 2 100

t

s t t tt− π× = − π×

1.11 Tipos de Señales

Las señales que queremos transmitir vienen ya sea directamente de la fuente o resultan de operaciones deprocesamiento de señales. Ejemplos de señales que vienen directamente de la fuente son la onda de presiónemitida por las cuerdas vocales y la señal eléctrica que resulta de una fuente de poder conectada al teclado deuna computadora. Las señales procesadas pueden provenir de convertidores analógicos a digitales, dispositivosde codificación y circuitos de acondicionamiento de una señal. La forma en que comunicamos informacióndepende de la forma de la señal. Hay dos clasificaciones amplias de las señales – análogas y digitales. Dentro deéstas hay varias subdivisiones más detalladas.

1.11.1 Señales Analógicas

Una señal analógica puede considerarse como una forma de onda que puede tomar un continuo de valores paracualquier instante dentro de una cierta banda. Aunque el dispositivo de medición puede estar limitado enresolución (por ejemplo, puede no ser posible leer un voltímetro analógico con una precisión más allá de 1/100de un voltio). Por ejemplo, en un instante en particular se podría leer el valor de una señal de voltaje como 13.45voltios. Si el voltaje es una señal analógica, el valor real podría expresarse como un decimal extendido con unnúmero infinito de dígitos a la derecha del punto decimal.

En la misma forma que la ordenada de la función contiene un infinito de valores, también sucede para el ejedel tiempo. Aunque podemos resolver convenientemente el eje del tiempo en puntos (por ejemplo, cadamicrosegundo en un osciloscopio), la func

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