Apuntes Comunicaciones I - 2013

CAPÍTULO 1

Series de Fourier En esta introducción se repasa la formulación de las series de Fourier y se introduce la transformada de Fourier como una generalización de la serie de Fourier.

Denote por 0( )Tg t una señal periódica con periodo T0. Se se usa una expansión en serie de Fourier de esta señal, es

posible resolverla en una suma infinita de términos seno y coseno. La expansión se puede expresar en la forma trigonométrica

( ) ( )0 0 0 0

1

( ) 2 cos 2 sen 2T n n

n

g t a a nf t b nf t

∞

=

= + π + π ∑ (1.1)

donde f0 es la frecuencia fundamental:

00

1f

T= (1.2)

Los coeficientes an y bn representan las amplitudes de los términos de senos y cosenos, respectivamente. La cantidad nf0 representa el n-ésimo armónico de la frecuencia fundamental f0. Cada uno de los términos

( )0cos 2 nf tπ y ( )0sen 2 nf tπ se denomina una función base. Estas funciones base forman un conjunto ortogonal

sobre el intervalo T0 en que satisfacen el siguiente conjunto de relaciones:

( ) ( )0

0

20

0 02

2 , cos 2 cos 2

0,

T

T

T m nmf t nf t dt

m n−

=π π =

≠∫ (1.3)

( ) ( )0

0

2

0 02

cos 2 sen 2 0 para toda y T

Tmf t nf t dt m n

−

π π =∫ (1.4)

( ) ( )0

0

20

0 02

2 , sen 2 sen 2

0,

T

T

T m nmf t nf t dt

m n−

=π π =

≠∫ (1.5)

Para determinar el coeficiente a0, se integran ambos lados de la Ec. (1.1) en un periodo completo. Así se

encuentra que a0 es el valor medio de la señal periódica 0( )Tg t durante un periodo, como muestra el promedio en el

tiempo

0

00

2

020

1( )

T

TT

a g t dtT −

= ∫ (1.6)

Para determinar el coeficiente an, se multiplican ambos lados de la Ec. (1.1) por ( )0cos 2 nf tπ y se integra sobre el

intervalo de −T0/2 a T0/2. Después, utilizando las Ecs. (1.3) y (1.4), se encuentra que

( )0

00

2

020

1( )cos 2 , 1, 2,

T

n TT

a g t nf t dt nT −

= π =∫ … (1.7)

En la misma forma se encuentra que

( )0

00

2

020

1( )sen 2 , 1, 2,

T

n TT

b g t nf t dt nT −

= π =∫ … (1.8)

Haykin-Moher: Analog and Digital Communications (2007)

2

Una pregunta básica que surge en este punto es la siguiente: Dada una señal periódica 0( )Tg t de periodo T0,

¿cómo sabemos que la expansión en serie de Fourier de la Ec. (1.1) es convergente en que la suma infinita de

términos en esta expansión es exactamente igual a 0( )Tg t ? Para resolver este dilema, tenemos que demostrar que

para los coeficientes a0, an y bn calculados de acuerdo con las Ecs. (1.6) a (1.8), esta serie converge efectivamente a

0( )Tg t . En general, para una señal periódica

0( )Tg t de forma arbitraria, no hay garantías de que la serie de la Ec.

(1.1) convergerá a 0( )Tg t o que los coeficientes a0, an y bn siquiera existirán. Una demostración rigurosa de la

convergencia de la serie de Fourier está fuera del alcance de ese texto. Aquí simplemente afirmamos que una

señal periódica 0( )Tg t puede expandirse en una serie de Fourier si la señal

0( )Tg t satisface las condiciones de

Dirichlet:

1. La función 0( )Tg t es uno a uno en el interior del intervalo T0.

2. La función 0( )Tg t tiene como máximo un número finito de discontinuidades en el intervalo T0.

3. La función 0( )Tg t tiene un número finito de máximos y mínimos en el intervalo T0.

4. La función 0( )Tg t es absolutamente integrable; esto es,

0

00

2

2( )

T

TT

g t dt−

< ∞∫

Las señales periódicas que se encuentran usualmente en los sistemas de comunicación satisfacen las condiciones de Dirichlet. En un punto de discontinuidad, la serie de Fourier converge al valor promedio justo a la izquierda del punto y al valor justo a la derecha del punto. SERIE DE FOURIER EXPONENCIAL COMPLEJA

La serie de Fourier de la Ec. (1.1) puede escribirse en una forma mucho más sencilla y más elegante con el uso de exponenciales complejas. Esto se hace si se sustituye En la Ec. (1.1) la forma exponencial por el coseno y el seno, vale decir:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 0

1cos 2 expj 2 exp 2

21

sen 2 expj 2 exp 22

nf t nf t j nf t

nf t nf t j nf tj

π = π + − π

π = π − − π

Así se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

1

( ) exp 2 exp 2T n n n n

n

g t a a jb j nf t a jb j nf t

∞

=

= + − π + + − π ∑ (1.9)

Denote por cn un coeficiente complejo relacionado con an y bn por

0

, 0

, 0

, 0

n n

n

n n

a jb n

c a n

a jb n

− >

= = + <

(1.10)

Entonces, la Ec. (1.9) se puede simplificar y obtener

( )0 0( ) exp 2T n

n

g t c j nf t

∞

=−∞

= π∑ (1.11)

donde

( )0

00

2

020

1( )exp 2 , 0, 1, 2,

T

n TT

c g t j nf t dt nT −

= − π = ± ±∫ … (1.12)


3

La expansión en serie de la Ec. (1.11) se conoce como la serie de Fourier exponencial compleja. Los coeficientes cn se

denominan los coeficientes de Fourier complejos. La Ec. (1.12) establece que, dada una señal periódica 0( )Tg t ,

podemos determinar el conjunto complejo de de los coeficientes de Fourier complejos. Por otra parte, la Ec. (1.11) afirma que, dado este conjunto de coeficientes, podemos reconstruir exactamente la señal periódica

original 0( )Tg t . De la matemática del análisis real y complejo, la Ec. (1.12) es un producto interno de la señal con

las funciones base ( )0exp 2j nf tπ , por cuya combinación lineal todas las funciones periódicas cuadrado integrables

pueden expresarse usando la Ec. (1.11).

Según esta representación, una señal periódica contiene todas las frecuencias (tanto positivas como negativas) que están relacionadas armónicamente con la fundamental. La presencia de frecuencias negativas es simplemente un resultado del hecho d que el modelo matemático de la señal en la forma descrita por la Ec. (1.11) requiere el uso de frecuencias negativas. En efecto, esta representación también requiere del uso de funciones

base de valores complejos – a saber, ( )0exp 2j nf tπ – las cuales tampoco tienen significado físico. La razón para

usar funciones base de valores complejos y componentes de frecuencias negativas es sencillamente para proporcionar una descripción matemática compacta de una señal periódica, lo que se adapta muy bien al trabajo tanto teórico como práctico. ESPECTRO DISCRETO

La representación de una señal periódica por una serie de Fourier es equivalente a la resolución de la señal en sus diferentes componentes armónicas. Por tanto, al usar la serie de Fourier exponencial compleja, se encuentra

que una señal periódica 0( )Tg t con periodo T0 tiene componentes en las frecuencias 0, ±f0, ±2f0, ±3f0, … , y así

sucesivamente, donde f0 = 1/T0 es la frecuencia fundamental. Esto es, en tanto que la señal 0( )Tg t existe en el

dominio del tiempo, se puede decir que su descripción en el dominio de la frecuencia consiste de componentes

en las frecuencias 0, ±f0, ±2f0, ±3f0, … , denominadas el espectro. Si se especifica la señal periódica 0( )Tg t , se puede

determinar su espectro; recíprocamente, si se especifica el espectro, se puede determinar la señal

correspondiente. Esto significa que una señal periódica 0( )Tg t puede especificarse en dos formas equivalentes:

1. Una representación en el dominio del tiempo, donde 0( )Tg t se define como una función del tiempo.

2. Una representación en el dominio de la frecuencia, donde la señal se define en términos de su espectro.

Aunque estas dos descripciones son aspectos separados de un fenómeno dado, ellas no son independientes entre sí, sino que están relacionadas, como muestra la teoría de Fourier.

En general, el coeficiente de Fourier cn es un número complejo y, por tanto, se puede expresar en la forma

( )exp argn n nc c j c = (1.13)

El factor nc define la amplitud de la n-ésima componente armónica de la señal periódica 0( )Tg t , de manera

que una gráfica de nc versus la frecuencia produce el espectro discreto de la amplitud de la señal. Una gráfica de

( )arg nc versus la frecuencia da el espectro discreto de la fase de la señal. Nos referiremos al espectro como un

espectro discreto puesto que tanto la amplitud como la fase de cn tienen valores diferentes de cero solamente en frecuencias discretas que son múltiplos enteros (tanto positivos como negativos) de la frecuencia fundamental.

Para una función periódica 0( )Tg t de valores reales se encuentra, a partir de la definición del coeficiente de

Fourier cn dado por la Ec. (1.12) que

n nc c∗− = (1.14)

donde nc∗ es el conjugado complejo de cn. Por tanto, tenemos que

n nc c− = (1.15)


4

y

( ) ( )arg argn nc c− = − (1.16)

Es decir, el espectro de amplitud de una señal periódica de valores reales es simétrico (una función par de n) y el espectro de fase es de simetría impar (una función impar de n) con respecto al eje vertical que pasa por el origen. EJEMPLO Tren Periódico de Pulsos

Considérese un tren periódico de pulsos rectangulares de duración T y periodo T0, como muestra la Fig. 1.1. Por conveniencia para el análisis, el origen se ha escogido para que coincida con el centro del pulso. Esta señal puede describirse analíticamente en un periodo en la forma siguiente:

0

, ( ) 2 2

0, por el resto del períodoT

T TA t

g t

− ≤ ≤=

(1.17)

FIGURA 1.1 Tren periódico de pulsos rectangulares de amplitud A, duración T y periodo T0.

Usando la Ec. (1.12) para evaluar el coeficiente de Fourier complejo cn, se obtiene

( )2

020

0

1exp 2

sen , 0, 1, 2.

T

nT

c A j nf t dtT

A n Tn

n T

−

= − π

π = = ± ± π

∫… (1.18)

donde T/T0 se denomina el ciclo de trabajo.

La notación se puede simplificar usando la función sinc:

( )( )sen

sincπλ

λ =πλ

(1.19)

y entonces podemos reescribir la Ec. (1.18) como

( )0

0 0 0

sinc sincn n

nTTA TAc f T

T T T

= =

(1.20)

En la Fig. 1.2 se grafica el espectro de amplitud nc y el espectro de fase ( )arg nc versus la frecuencia discreta

0nf n T= para un ciclo de trabajo T/T0 igual a 0.2. Con base en esta figura, se puede señalar lo siguiente:

1. La separación entre líneas en el espectro de amplitud en la Fig. 1.2(a) la determina el periodo T0.

2. La envolvente del espectro de amplitud es determinada por la amplitud del pulso A, la duración del pulso T y el ciclo de trabajo T/T0.

3. Los cruces con cero ocurren en la envolvente del espectro de amplitud en las frecuencias que son múltiplos enteros de 1/T.


5

arg(cn)

(grados)

FIGURA 1.2 Espectro discreto de un tren periódico de pulsos rectangulares para un ciclo de trabajo T/T0 = 0.2. (a) Espectro de amplitud. (b) Espectro de fase.

4. El espectro de fase toma los valores 0 grados y ±189°, dependiendo de la polaridad de ( )0sinc nT T ; en la

Fig. 1.2(b) se usaron 180 grados y −180 grados para preservar la simetría impar. 1.1 Transformada de Fourier En la sección anterior, se usó la serie de Fourier para representar una señal periódica. Ahora se desea desarrollar una representación similar para una señal g(t) que es no periódica en término de señales exponenciales

complejas. Para hacer esto, primero se construye una función periódico 0( )Tg t de periodo T0 en una forma tal

que g(t) define un ciclo de esta función periódica, como se ilustra en la Fig. 1.3. En el límite, se permite que el periodo T0 se vuelva infinitamente grande, de modo que se puede escribir

0

0

( ) lím ( )TT

g f g t→ ∞

= (1.21)

Si se representa la función periódica 0( )Tg t en términos de la forma exponencial compleja de la serie de

Fourier, se tiene que

0

0

2( ) expT n

n

j ntg t c

T

∞

=−∞

π =

∑ (1.22)

donde

0

0

0

2

0 02

21( )exp

T

n T

T

j ntc g t dt

T T−

π = −

⌠⌡

(1.23)


6

FIGURA 1.3 Ilustración de una función del tiempo definida arbitrariamente para construir una forma de onda periódica. (a) Función del tiempo g(t) definida arbitrariamente. (b) Forma de

onda periódica 0( )Tg t basada en g(t).

Los exponentes en las Ecs. (1.22) y (1.23) se han escrito a propósito en la forma mostrada porque se desea permitir que T0 tienda a infinito de acuerdo con la Ec. (1.21). Defina

0

1f

T∆ = (1.24)

0

n

nf

T= (1.25)

y

( ) 0n nG f c T= (1.26)

Por tanto, al hacer este cambio de notación en la representación en serie de Fourier de 0( )Tg t dada en las Ecs.

(1.22) y (1.23), se obtiene la siguiente relación para el intervalo 0 02 2T t T− ≤ ≤ :

( ) ( )0( ) exp 2T n n

n

g t G f j f t f

∞

=−∞

= π ∆∑ (1.27)

donde

( ) ( )0

00

2

2( )exp 2

T

n T nT

G f g t j f t dt−

= − π∫ (1.28)

Ahora se permite que el periodo T0 tienda a infinito o, equivalentemente, que su recíproco ∆f tiende a cero. Entonces se encuentra que, en el límite, la frecuencia discreta fn tiende a la variable de frecuencia continua f y la suma discreta en la Ec. (1.27) se convierte en una integral que define el área bajo una función continua de la

frecuencia f – a saber, ( )( )exp 2G f j ftπ . También, conforme T0 tiende a infinito, la función 0( )Tg t tiende a g(t).

Por tanto, las Ecs. (1.27) y (1.28) se convierten, respectivamente, en

( )( ) ( )exp 2g t G f j ft df∞

−∞

= π∫ (1.29)

donde

( )( ) ( )exp 2G f g t j ft dt∞

−∞

= − π∫ (1.30)

De manera que hemos alcanzado nuestro objetivo de representar una señal g(t) definida arbitrariamente en

términos de funciones exponenciales en todo el intervalo −∞ < t < ∞. Dada la función g(t), la Ec. (1.30) define la

transformada de Fourier ( )G f . Inversamente, la Ec. (1.29) define la transformada de Fourier inversa de ( )G f .

CAPÍTULO 2

REPRESENTACIÓN DE FOURIER

DE SEÑALES Y SISTEMAS En términos matemáticos, una señal se describe comúnmente como una función del tiempo, que es cómo usualmente vemos la señal cuando se muestra en un osciloscopio. Sin embargo, como se señaló en el Capitulo 1, desde la perspectiva de un sistema de comunicación, es importante que se conozca el contenido de frecuencia de la señal en cuestión. La herramienta matemática que relaciona la descripción de la señal en el dominio de la frecuencia con su descripción en el dominio del tiempo es la transformada de Fourier. De hecho, hay varias versiones disponibles de la transformada de Fourier. En este capítulo, el estudio se confina principalmente a dos versiones específicas:

La transformada de Fourier continua, o simplemente la transformada de Fourier (TF), la cual opera con funciones continuas tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia.

La transformada de Fourier discreta, o TFD, la cual trabaja con datos discretos tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia.

La mayor parte del material que se presenta en este capitulo se enfoca en la transformada de Fourier, ya que la principal motivación del capítulo es la determinación del contenido de frecuencia de una señal en tiempo continuo o la evaluación de lo que le sucede a este contenido de frecuencia cuando la señal se pasa a través de un sistema lineal e invariable en el tiempo (LIT). En contraste, la transformada de Fourier discreta, estudiada al final del capítulo, aparece cuando se requiere la evaluación del contenido de frecuencia de la señal en una computadora digital o evaluar lo que sucede a la señal cuando es procesada por un dispositivo digital, como en las comunicaciones digitales.

La gran cantidad de material presentado en este capítulo enseña las lecciones siguientes:

Lección 1: La transformada de Fourier de una señal especifica las amplitudes complejas de las componentes que constituyen la descripción en el dominio de la frecuencia o contenido espectral de la señal. La transformada de Fourier inversa recupera en forma única la señal, dada su descripción en el dominio de la frecuencia.

Lección 2: La transformada de Fourier está dotada de varias propiedades importantes, las cuales, individual y colectivamente, proporcionan información invaluable sobre la relación entre una señal definida en el dominio del tiempo y su descripción en el dominio de la frecuencia.

Lección 3: Una señal sólo puede estar estrictamente limitada en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia, pero no en ambos.

Lección 4: El ancho de banda es un parámetro importante en la descripción del contenido espectral de una señal y de la respuesta de frecuencia de un filtro lineal e invariable en el tiempo.

Lección 5: Un algoritmo ampliamente utilizado denominado el algoritmo de la transformada de Fourier rápida proporciona una herramienta poderosa para calcular la transformada de Fourier discreta; es la herramienta matemática para los cálculos digitales que involucran la transformación de Fourier.

2.1 La Transformada de Fourier DEFINICIONES

Sea ( )g t una señal determinista no periódica, expresada como alguna función del tiempo t. Por definición, la

transformada de Fourier de la señal ( )g t es dada por la integral

Haykin-Moher: Analog and Digital Communications (2007) 8

( )( ) ( )exp 2G f g t j ft dt∞

−∞

= − π∫ (2.1)

donde 1j = − y la variable f denota la frecuencia; la función exponencial ( )exp 2j ft− π se conoce como el núcleo

de la fórmula de definición de la transformada de Fourier. Dada la transformada de Fourier ( )G f , la señal

original ( )g t se recupera exactamente usando la fórmula para la transformada de Fourier inversa:

( )( ) (f)exp 2g t G j ft df∞

−∞

= π∫ (2.2)

donde la función exponencial ( )exp 2j ftπ es el núcleo de la fórmula que define la transformada de Fourier

inversa. Los dos núcleos de las Ecs. (2.1) y (2.2) son, por tanto, el conjugado complejo uno del otro.

Observe también que en las Ecs. (2.1) y (2.2) se usaron letras minúsculas para denotar la función del tiempo y letras mayúsculas para denotar las función de frecuencia correspondiente. Se dice que las funciones ( )g t y ( )G f constituye un par de transformadas de Fourier. En el Apéndice 2, se deducen las definiciones de la transformada de Fourier y su inversa, comenzando con la serie de Fourier de una señal periódica.

Nos referimos a la Ec. (2.1) como la ecuación de análisis. Dada la conducta en el dominio del tiempo de un sistema, ahora podemos analizar la conducta de un sistema en el dominio de la frecuencia. La ventaja básica de transformar la conducta en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia es que la resolución en sinusoides eternas presenta la conducta como la superposición de efectos en estado estacionario. Para sistemas cuya conducta en el dominio del tiempo es descrita por ecuaciones diferenciales lineales, las soluciones separadas de estado estacionario usualmente son fáciles de entender en términos tanto teóricos como experimentales.

Inversamente, nos referimos a la Ec. (2.2) como la ecuación de síntesis. Dada la superposición de efectos de estado estacionario en el dominio de la frecuencia, podemos reconstruir la conducta original en el dominio del tiempo del sistema sin ninguna pérdida de información. Las ecuaciones de análisis y síntesis, consideradas lado a lado como se muestra en la Fig. 2.1, enriquecen la representación de señales y sistemas posibilitando mirar la representación en dos dominios interactivos: el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.

Ecuación de análisis:

Ecuación de síntesis:

Descripción en el dominio del tiempo:

g(t)

Descripción en el dominio de la frecuencia:

g(t)G(f)

( )( ) ( )exp 2G f g t j ft dt∞

−∞= − π∫

( )( ) ( )exp 2g t G f j ft df∞

−∞= π∫

Figura 2.1 Dibujo de la interacción entre las ecuaciones de análisis y síntesis representadas en la transformación de Fourier.

Para que exista la transformada de Fourier de una señal ( )g t , es suficiente, pero no necesario, que ( )g t satisfaga tres condiciones conocidas colectivamente como las condiciones de Dirichlet:

1. La función ( )g t es biunívoca, con un número finito de máximos y mínimos en cualquier intervalo de tiempo finito.

2. La función ( )g t tiene un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo de tiempo finito.

3. La función ( )g t es absolutamente integrable, es decir,


( )g t dt∞

−∞

< ∞∫

Sin temor a una equivocación, es posible ignorar el problema de la existencia de la transformada de Fourier de una función del tiempo ( )g t cuando ella es una descripción especificada con precisión de una señal físicamente realizable (por ejemplo, una señal de voz o una de video). En otras palabras, la realizabilidad física es una condición suficiente para la existencia de una transformada de Fourier. Para la realizabilidad física de una señal

( )g t , la energía de la señal definida por 2

( )g t dt∞

−∞∫ debe satisfacer la condición

2( )g t dt

∞

−∞

< ∞∫

Una señal así se conoce como una señal de energía. Por tanto, lo que estamos afirmando es que todas las señales de energía son transformables en el sentido de Fourier. NOTACIONES

Las fórmulas para la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa presentadas en las Ecs. (2.1) y (2.2) están escritas en términos de dos variables: el tiempo t medido en segundos (s) y la frecuencia f medida en hertz (Hz). La frecuencia f está relacionada con la frecuencia angular ω como

2 fω = π

que se mide en radianes por segundo (rad/s). Se pueden simplificar las expresiones para los exponentes en los integrandos de las Ecs. (2.1) y (2.2) utilizando ω en vez de f. Sin embargo, se prefiere el uso de f por dos razones. Primero, el uso de la frecuencia resulta en simetría matemática entre las Ecs. (2.1) y (2.2) en una forma natural. Segundo, los contenidos espectrales de las señales de comunicación (es decir, señales de voz y video) usualmente se expresan en hertz.

Una notación abreviada conveniente para las relaciones de la transformada de las Ecs. (2.1) y (2.2) es dada por

[ ]( ) ( )G f g t= F (2.3)

y

[ ]1( ) ( )g t G f−= F (2.4)

donde F[ ] y F−−−−1[ ] juegan los papeles de operadores lineales. Otra notación abreviada conveniente para el par de

transformadas de Fourier, representadas por ( )g t y ( )G f , es

( ) ( )g t G f (2.5)

Las notaciones abreviadas descritas en las Ecs. (2.3) a (2.5) se usan en el texto cuando sea apropiado. ESPECTRO CONTINUO

Mediante el uso de la operación de la transformada de Fourier, una señal de tipo pulso ( )g t de energía finita se

expresa como una suma continua de funciones exponenciales con frecuencias en el intervalo de −∞ a ∞. La amplitud de una componente de frecuencia f es proporcional a ( )G f , donde ( )G f es la transformada de Fourier

de ( )g t . Específicamente, en cualquier frecuencia f, la función exponencial ( )exp 2j ftπ es ponderada por el factor

( )G f df , que es la contribución de ( )G f en un intervalo infinitesimal df centrado en la frecuencia f. Por tanto, la

función ( )g t se puede expresar en términos de la suma continua de esas componentes infinitesimales, como muestra la integral

( )( ) ( )exp 2g t G f j ft df∞

−∞

= π∫


Reafirmando lo que se mencionó previamente, la transformación de Fourier proporciona una herramienta para resolver una señal dada ( )g t en sus componentes exponenciales complejas que ocupan todo el intervalo de

frecuencias desde −∞ hasta ∞. En particular, la transformada de Fourier ( )G f de la señal define la representación en el dominio de la frecuencia de la señal en que ella especifica amplitudes complejas de las diferentes componentes de frecuencia de la señal. Equivalentemente se puede definir la señal en términos de su representación en el dominio del tiempo mediante la especificación de la función ( )g t en cada instante del tiempo t. La señal está definida en forma única por cualquiera de las representaciones.

En general, la transformada de Fourier ( )G f es una función compleja de la frecuencia f, de manera que se puede expresar en la forma

( )( ) ( ) expG f G f j f = θ (2.6)

donde ( )G f se denomina el espectro de amplitud continuo de ( )g t y ( )fθ se conoce como el espectro de fase

continuo de ( )g t . Aquí, el espectro se conoce como un espectro continuo porque tanto la amplitud como la fase de

( )G f están definidos en forma única para todas las frecuencias.

Para el caso especial de una función ( )g t de valores reales, se tiene que

( ) ( )*G f G f− =

y

( ) ( )f fθ − = −θ

En consecuencia, se puede afirmar lo siguiente sobre el espectro de una función de valores reales.

1. El espectro de amplitud de la señal es una función par de la frecuencia; esto es, el espectro de amplitud es simétrico con respecto al origen f = 0.

2. El espectro de fase de la señal es una función impar de la frecuencia; esto es, el espectro de fase es antisimétrico con respecto al origen f = 0.

Estas dos afirmaciones se resumen diciendo que el espectro de una función de valores reales exhibe simetría conjugada. EJEMPLO 2.1 Pulso Rectangular

Considere una función caja o pulso rectangular de duración T y amplitud A, como se muestra en la Fig. 2.2(a). Para definir el pulso matemáticamente en una forma conveniente, usamos la notación

1 11,

2 2rect( )1 1

0, o 2 2

tt

t t

− ≤ ≤

= < − >

(2.7)

que representa una función rectangular de amplitud unitaria y duración unitario centrada en t = 0. Entonces, en términos de la función “estándar”, podemos expresar el pulso rectangular de la Fig. 2.2(a) simplemente como

( ) rectt

g t AT

=

La transformada de Fourier del pulso rectangular ( )g t es dada por

( )

( )

2

2( ) exp 2

sen

T

T

G f A j ft dt

fTAT

fT

−

= − π

π=

π

∫ (2.8)


Figura 2.2 (a) Pulso rectangular. (b) Espectro de amplitud.

Para simplificar la notación en el resultados anterior y en los resultados subsiguientes, se introduce otra función estándar – a saber, la función sinc – definida por

( )( )sen

sincπλ

λ =πλ

(2.9)

donde λ es la variable independiente. La función sinc juega un papel importante en la teoría de la comunicación. Como muestra la Fig. 2.3, tiene su valor máximo de uno en λ = 0 y tiende a cero conforme λ tiende a infinito, oscilando a través de valores positivos y negativos. Pasa por cero en 1, 2, λ = ± ± … , y así sucesivamente.

Figura 2.3 La función sinc Por tanto, en términos de la función sinc, podemos reescribir la Ec. (2.8) como

( )rect sinct

A AT fTT

(2.10)

El espectro de amplitud ( )G f se muestra en la Fig. 2.2(b). El primer cruce de cero del espectro ocurre en

1f T= ± . A medida que se disminuye la duración T del pulso, este cruce se mueve hacia arriba en frecuencia. Inversamente, conforme se incrementa la duración T del pulso, el primer cruce de cero se mueve hacia el origen. Este ejemplo muestra que la relación entre las descripciones de una señal en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia es una relación inversa. Es decir, un pulso angosto en el tiempo tiene una descripción de frecuencia


significativa en una amplia gama de frecuencias, y viceversa. Sobre esta relación inversa se dirá más en la Sección 2.3.

Observe también que en este ejemplo, la transformada de Fourier ( )G f es una función de la frecuencia f de

valores reales y simétrica. Esto es una consecuencia directa del hecho de que el pulso rectangular ( )g t mostrado en la Fig. 2.2(a) es una función simétrica del tiempo t.

EJEMPLO 2.2 Pulso Exponencial

Un pulso exponencial que decrece y truncado se muestra en la Fig. 2.4(a). Este pulso se define matemáticamente en una forma conveniente usado la función escalón unitario

1, 0

1( ) , 0

20, 0

t

u t t

t

>

= =

<

(2.11)

FIGURA 2.4 (a) Pulso exponencial decreciente. (b) Pulso exponencial creciente.

Entonces el pulso exponencial decreciente de la Fig. 2.4(a) se puede expresar como

( )( ) exp ( )g t at u t= −

Reconociendo que ( )g t es cero para t < 0, la transformada de Fourier del pulso es

( ) ( )

( )

0

0

( ) exp exp 2

exp 2

1

2

G f at j ft dt

a j f t dt

a j f

∞

∞

= − − π

= − + π

=+ π

∫

∫

El par de transformadas de Fourier para el pulso exponencial decreciente de la Fig. 2.4(a) es por tanto

( )1

exp ( ) 2

at u ta j f

−+ π

(2.12)

Un pulso exponencial creciente y truncado como el mostrado en la Fig. 2.4(b), se define como

( ) ( )( ) expg t at u t= −


Observe que ( )u t− es igual a la unidad para t < 0, a un medio en t = 0 y cero para t > 0. Con ( )g t igual a cero para t > 0, la transformada de Fourier de este pulso es

( ) ( )0

( ) exp exp 2G f at j ft dt−∞

= − π∫

Reemplazando t con −t, ahora se puede escribir

( )0

( ) exp 2

1

2

G f a j f t dt

a j f

∞

= − π

=− π

∫

El par de transformadas de Fourier para el pulso exponencial creciente de la Fig. 2.4(b) es entonces

( )1

exp ( ) 2

at u ta j f

− −− π

(2.13)

Los pulsos exponenciales decreciente y creciente de la Fig. 2.4 son ambos funciones asimétricas del tiempo t. Sus transformadas de Fourier son por tanto de valores complejos, como muestran las Ecs. (2.12) y (2.13). Además, a partir de estos pares de transformadas de Fourier, se observa fácilmente que pulsos exponenciales truncados creciente y decreciente tienen el mismo espectro de amplitud, pero el espectro de fase de uno es el negativo del espectro de fase del otro.

Problema de Ejercicio 2.1 Evalúe la transformada de Fourier de la onda sinusoidal amortiguada ( ) ( )( ) exp sen 2 ( )cg t t f t u t= − π , donde u(t) es la función escalón unitario.

Problema de Ejercicio 2.2 Determine la transformada de Fourier inversa de la función de frecuencia ( )G f definida por los espectros de amplitud y fase mostrados en la Fig. 2.5.

FIGURA 2.5 Función de frecuencia ( )G f para el Problema 2.2.

2.2 Propiedades de la Transformada de Fourier Es útil tener una idea de la relación entre una función del tiempo ( )g t y su transformada de Fourier ( )G f y

también de los efectos que diferentes operaciones sobre ( )g t tienen sobre la transformada ( )G f . Esto puede alcanzarse mediante un examen de ciertas propiedades de la transformada de Fourier. En esta sección, se describen catorce propiedades, las cuales se demostrarán, una por una. Estas propiedades se resumen en la Tabla A8.1 del Apéndice 8 al final del libro.

PROPIEDAD 1 Linealidad (Superposición). Sea 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces, para todas las

constantes c1 y c2, se tiene que


1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) c ( )c g t c g t c G f G f+ + (2.14)

La demostración de esta propiedad se deduce simplemente de la linealidad de las integrales de definición de ( )G f y ( )g t .

La Propiedad 1 permite hallar la transformada de Fourier ( )G f de una función ( )g t que sea una combinación

lineal de otras dos funciones 1( )g t y 2 ( )g t cuyas transformadas de Fourier 1( )G f y 2 ( )G f son conocidas, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 2.3 Combinaciones de Pulsos Exponenciales

Considere un pulso exponencial doble definido por (véase la Fig. 2.6(a))

( )

( )

( )

exp , 0

( ) 1, 0

exp , 0

exp

at t

g t t

at t

a t

− >

= = <

= − (2.15)

FIGURA 2.6 (a) Pulso exponencial doble (simétrico). (b) Otro pulso exponencial doble (simetría impar).

El pulso puede considerarse como la suma de un pulso exponencial truncado que decae y un pulso exponencial truncado que crece. Por tanto, usando la propiedad de linealidad y los pares de transformadas de las Ecs. (2.12) y (2.13), se encuentra que la transformada de Fourier del pulso exponencial doble de la Fig. 2.6(a) es

( )22

1 1 2( )

2 . 2 2

aG f

a j f a j f a f= + =

+ π π + π

Por tanto, tenemos el par de transformadas de Fourier siguiente para el pulso exponencial doble de la Fig. 2.6(a):


( )( )

22

2exp

2

aa t

a f−

+ π (2.16)

Observe que debido a la simetría en el dominio del tiempo, como en la Fig. 2.6(a), el espectro es real y simétrico; ésta es una propiedad general de estos pares de transformadas de Fourier.

Otra combinación importante es la diferencia entre un pulso exponencial truncado que decae y un pulso exponencial truncado que crece, como se muestra en la Fig. 2.6(b). Aquí se tiene que

( )

( )

exp , 0

( ) 0, 0

exp , 0

at t

g t t

at t

− >

= = − <

(2.17)

Se puede formular una notación compacta para esta señal compuesta usando la función signo que es igual a +1 para tiempo positivo e igual a −1 para tiempo negativo, esto es,

1, 0

sgn( ) 0, 0

1, 0

t

t t

t

+ >

= = − <

(2.18)

La función signo se muestra en la Fig. 2.7. En consecuencia, se puede reformular la señal compuesta ( )g t definida en la Ec. (2.17) simplemente como

( )( ) exp sgn( )g t a t t= −

FIGURA 2.7 La función signo.

Por tanto, aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, se encuentra rápidamente que a la luz de las Ecs. (2.12) y (2.13), la transformada de Fourier de la señal ( )g t es dada por

( )

( )22

1 1exp sgn( )

2 2

4

2

at ta j f a j f

j f

a f

− = − + π − π

− π=

+ π

F

Tenemos así el par de transformadas de Fourier

( )( )

22

4exp sgn( )

2

j fa t t

a f

− π−

+ π (2.19)


En contraste con el par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.16), la transformada de Fourier en la Ec. (2.19) es impar y puramente imaginaria. Ésta es una propiedad general de los pares de transformadas de Fourier que aplican a una función del tiempo de simetría impar, que satisfaga la condición ( ) ( )g t g t− = − , como en la Fig. 2.6(b); una función del tiempo así tiene una función impar y puramente imaginaria como su transformada de Fourier. PROPIEDAD 2 Dilación Sea ( ) ( )g t G f . Entonces, la propiedad de dilación o propiedad de semejanza establece que

( )1

f

g at Ga a

(2.20)

donde el factor de dilación – vale decir, a – es un número real. Para demostrar esta propiedad, obsérvese que

( ) ( ) ( )exp 2g at g at j ft dt∞

−∞

= − π ∫F

Haga τ = at. Pueden surgir dos casos, dependiendo de si el factor de dilación a es positivo o negativo. Si a > 0, se obtiene

( )1

( )exp 2

1

fg at g j d

a a

fG

a a

∞

−∞

= τ − π τ τ

=

⌠⌡

F

Por otra parte, si a < 0, los límites de integración se intercambian de modo que tenemos el factor de multiplicación ( )1 a− o, el equivalente, 1 a . Esto completa la demostración de la Ec. (2.20).

Observe que los factores de dilación a y 1/a usados en las funciones del tiempo y de la frecuencia en la Ec. (2.20) son recíprocos. En particular, la función ( )g at representa a ( )g t comprimida en el tiempo por el factor a, en

tanto que la función ( )G f a representa a ( )G f expandida en frecuencia por el mismo factor a, suponiendo que

0 1a< < . Por tanto, la regla de dilación establece que la compresión de una función ( )g t en el dominio del

tiempo es equivalente a la expansión de su transformada ( )G f en el dominio de la frecuencia por el mismo factor, o viceversa.

Para el caso especial e que a = −1, la regla de dilación de la Ec. (2.20) se reduce a la propiedad de reflexión, la cual establece que si ( ) ( )g t G f , entonces

( ) ( )g t G f− − (2.21)

Refiriéndonos a la Fig. 2.4, vemos que el pulso exponencial creciendo mostrado en la parte (b) de la figura es la reflexión del pulso exponencial decreciente mostrado en la parte (a) con respecto al eje vertical. Por tanto, al aplicar la regla de reflexión a la Ec. (2.12) que pertenece al pulso exponencial decreciente, vemos rápidamente que la transformada del pulso exponencial creciente es ( )1 2a j f− π , que es exactamente lo mismo que se obtuvo

en la Ec. (2.13). PROPIEDAD 3 Regla de Conjugación Sea ( ) ( )g t G f . Entonces para una función del tiempo de valores complejos

( )g t , tenemos

* ( ) * ( )g t G f− (2.22)

donde el asterisco denota la operación de obtener el conjugado complejo. Para demostrar esta propiedad, sabemos por la transformada de Fourier inversa que


( )( ) ( )exp 2g t G f j ft df∞

−∞

= π∫

Tomando los conjugados complejos de ambos lados, se obtiene

( )* ( ) * ( )exp 2g t G f j ft df∞

−∞

= − π∫

Ahora, reenlazando f con −f da

( )

( )

* ( ) * ( )exp 2

* ( )exp 2

g t G f j ft df

G f j ft df

−∞

∞

∞

−∞

= − − π

= − π

∫∫

Esto es, * ( )g t es la transformada inversa de * ( )G f− , que es el resultado deseado.

Como un corolario a la regla de conjugación de la Ec. (2.22), podemos decir que si ( ) ( )g t G f , entonces

* ( ) * ( )g t G f− (2.23)

Este resultado se obtiene directamente de la Ec. (2.22) aplicando la regla de reflexión descrita en la Ec. (2.21). PROPIEDAD 4 Dualidad Si ( ) ( )g t G f , entonces

( ) ( )G t g f− (2.24)

Esta propiedad se deduce directamente de la relación de definición de la transformada de Fourier inversa de la Ec. (2.2), reemplazando primero t con −t, y escribiéndola entonces en la forma

( )( ) ( )exp 2g t G f j ft df∞

−∞

− = − π∫

Finalmente, intercambiando t y f (esto es, reemplazado t con f en el lado izquierdo de la ecuación y f con t en el lado derecho), se obtiene

( )( ) ( )exp 2g f G t j ft dt∞

−∞

− = − π∫

que es la parte expandida de la Ec. (2.24) al pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. EJEMPLO 2.4 Pulso Sinc

Considérese una señal ( )g t en la forma de una función sinc, como se muestra por

( )( ) sinc 2g t A Wt=

Para evaluar la transformada de Fourier de esta función, aplicamos las propiedades de dualidad y dilación al par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.10). Entonces, reconociendo que la función rectangular es una función par del tiempo, se obtiene el resultado

( )sinc 2 rect2 2

fAA Wt

W W

(2.25)

la cual se ilustra en la Fig. 2.8. Vemos entonces que la transformada de Fourier de un pulso sinc es cero para f W> . También se observa que el pulso sinc mismo sólo está limitado asintóticamente en el tiempo en el

sentido que tiende a cero conforma t tiende a infinito; esta característica asintótica lo que hace que la función sinc sea una señal de energía y por tanto transformable en el sentido de Fourier.


FIGURA 2.8 (a) Pulso sinc. (b) Transformada de Fourier ( )G f .

PROPIEDAD 5 Corrimiento en el Tiempo Si ( ) ( )g t G f , entonces

( ) ( )0 0 ( )exp 2g t t G f j ft− − π (2.26)

donde t0 es una constante de corrimiento (desplazamiento) real del tiempo. Par demostrar esta propiedad, tomamos la transformada de Fourier de ( )0g t t− y después hacemos ( )0t tτ = −

o, el equivalente, 0t t= τ + . Entonces se obtiene

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

exp 2 ( )exp 2

exp 2

g t t j ft g j d

j ft G f

∞

−∞

− = − π τ − πτ τ

= − π

∫F

La propiedad de corrimiento en el tiempo establece que si una función ( )g t es desplazada a lo largo del eje del

tiempo por una cantidad t0, el efecto es equivalente a multiplicar su transformada de Fourier ( )G f por el factor

( )0exp 2j ft− π . Esto significa que la de ( )G f no es afectada por el corrimiento en el tiempo, pero su fase es

cambiada por el factor lineal 02j ft− π , el cual varía linealmente con la frecuencia f. PROPIEDAD 6 Corrimiento en Frecuencia Si ( ) ( )g t G f , entonces

( ) ( )exp 2 ( ) c cj f t g t G f fπ − (2.27)

donde fc es una constante de frecuencia real. Esta propiedad se deduce del hecho de que

( ) ( )

( )

exp 2 ( ) ( )exp 2

c c

c

j f t g t g t j t f f dt

G f f

∞

−∞

π = − π −

= −

∫F

Esto es, la multiplicación de una función ( )g t por el factor ( )exp 2 cj f tπ es equivalente a desplazar su

transformada de Fourier ( )G f a lo largo del eje de frecuencia por la cantidad fc. Esta propiedad es un caso especial del teorema de modulación estudiado más adelante bajo la Propiedad 11; básicamente, se obtiene un desplazamiento de la banda de frecuencias en una señal utilizando el proceso de modulación. Observe la dualidad entre las operaciones de corrimiento en el tiempo y corrimiento en frecuencia descritas en las Ecs. (2.26) y (2.27).


EJEMPLO 2.5 Pulso de Radio Frecuencia (RF)

Considérese el pulso ( )g t mostrado en la Fig. 2.9(a), el cual consiste de una onda sinusoidal de amplitud

unitaria y frecuencia fc, que se extiende en duración desde t = −T/2 hasta t = T/2. Esta señal se conoce algunas veces como un pulso de RF cuando la frecuencia fc cae en la banda de frecuencias de radio. La señal ( )g t de la Fig. 2.9(a) puede expresarse matemáticamente como

( )( ) rect cos 2 c

tg t f t

T

= π

(2.28)

FIGURA 2.9 (a) Pulso de RF de amplitud unitaria y duración T. (b) Espectro de amplitud.

Para hallar la transformada de Fourier de la señal de RF, usamos primero la fórmula de Euler para escribir

( ) ( ) ( )1

cos 2 exp 2 exp 22c c cf t j f t j f t π = π + − π

Por tanto, si se aplica la propiedad de corrimiento de frecuencia al par de transformadas de la Ec. (2.10) y después se invoca la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, se obtiene el resultado deseado:

( ) ( ) ( ) rect cos 2 sinc sinc2c c c

t Tf t T f f T f f

T

π − + +

(2.29)


En el caso especial de 1cf T ≫ , es decir, la frecuencia fc es grande comparada con el recíproco de la duración del pulso T, se puede usar el resultado aproximado

( )

( )

sinc , 02

( ) 0, 0

sinc , 02

c

c

TT f f f

G f f

TT f f f

− >

= = + <

(2.30)

Bajo la condición 1cf T ≫ , el espectro de amplitud del pulso de RF se muestra en la Fig. 2.9(b). Este diagrama, en relación con la Fig. 2.2(b), ilustra claramente la propiedad de desplazamiento en frecuencia de la transformada de Fourier. PROPIEDAD 7 Área Bajo g(t) Si ( ) ( )g t G f , entonces

( ) (0)g t dt G∞

−∞

=∫ (2.31)

Es decir, el área bajo una función ( )g t es igual al valor de su transformada de Fourier ( )G f en f = 0.

Este resultado se obtiene con simplemente poner f = 0 en la Ec. (2.1) que define la transformada de Fourier de

( )g t . Problema de Ejercicio 2.3 Supóngase que ( )g t es de valores reales con una transformada de Fourier ( )G f de valores complejos. Explique cómo esa señal puede satisfacer la regla de la Ec. (2.31) . PROPIEDAD 8 Área Bajo G(f) Si ( ) ( )g t G f , entonces

(0) ( )g G f df∞

−∞

= ∫ (2.32)

Es decir, el valor de una función ( )g t en t = 0 es igual al área bajo su transformada de Fourier ( )G f , El resultado se obtiene con simplemente poner t = 0 en la Ec. (2.2) que define la transforma de Fourier inversa de ( )G f . Problema de Ejercicio 2.3 Continuando con el Problema 2.3, explique cómo la señal ( )g t descrita allí puede satisfacer la regla de la Ec. (2.32). PROPIEDAD 9 Diferenciación en el Dominio del Tiempo Sea ( ) ( )g t G f y suponga que la primera derivada de

( )g t con respecto al tiempo t tiene una transformada de Fourier. Entonces

( ) 2 ( )d

g t j f G fdt

π (2.33)

Es decir, la diferenciación de una función del tiempo ( )g t tiene el efecto de multiplicar su transformada de Fourier ( )G f

por el factor puramente imaginario 2j fπ . Este resultado se obtiene simplemente en dos pasos. En el paso 1, tomamos la primera derivada de ambos lados de la integral en la Ec. (2.2) que define la transformada de Fourier de ( )G f . En el paso 2, se intercambian las operaciones de integración y diferenciación.

La Ec. (2.33) se puede generalizar para derivadas de orden superior de la función del tiempo ( )g t en la forma siguiente:


( )( ) 2 ( )n

n

n

dg t j f G f

dtπ (2.34)

la cual incluye la Ec. (2.33) como un caso especial. La Ec. (2.34) supone que la transformada de Fourier de las derivadas de orden superior de ( )g t existen. EJEMPLO 2.6 Pulso Gaussiano Unitario

Típicamente, un pulso ( )g t y su transformada de Fourier ( )G f tienen formas matemáticas diferentes. Esta observación la ilustra el par de transformadas de Fourier estudiadas en los Ejemplos 2.1 a 2.5. En este ejemplo, se considera una excepción a esta observación. En particular, usamos la propiedad de diferenciación de la transformada de Fourier para deducir la forma particular de una señal de pulso que tiene la misma forma matemática que su transformada de Fourier.

Denote por ( )g t la señal de pulso expresada como una función del tiempo t y por ( )G f su transformada de Fourier. Diferenciando la fórmula de la transformada de Fourier en la Ec. (2.1) con respecto a la frecuencia f, podemos escribir

2 ( ) ( )d

j tg t G fdf

− π

o el equivalente

2 ( ) ( )d

tg t j G fdf

π (2.35)

Supóngase que ahora se impone la siguiente condición sobre los lados izquierdos de las Ecs. (2.33) y (2.35):

( ) 2 ( )d

g t tg tdt

= − π (2.36)

Entonces, en forma correspondiente, se deduce que los lados derechos de estas dos ecuaciones deben, después de la cancelación del factor común de multiplicación j, satisfacer la condición

( ) 2 ( )d

G f fG fdf

= − π (2.37)

Las Ecs. (2.36) y (2.37) muestran que la señal de pulso ( )g t y su transformada de Fourier ( )G f tienen

exactamente la misma forma matemática. En otras palabras, siempre y cuando la señal de pulso original ( )g t

satisfaga la ecuación diferencial (2.36), entonces ( ) ( )G f g f= , donde ( )g f se obtiene a partir de ( )g t

sustituyendo f por t. Resolviendo la Ec. (2.36) por ( )g t , se obtiene

( )2( ) expg t t= −π (2.38)

El pulso definido por la Ec. (2.38) se denomina un pulso gaussiano y su nombre se deriva de la semejanza de la función con la función de densidad de probabilidades gaussiana. Su gráfica se muestra en la Fig. 2.10. Mediante la aplicación de la Ec. (2.31), se encuentra que el área bajo el pulso gaussiano es igual a uno, como muestra la relación

( )2exp 1t dt∞

−∞

−π =∫ (2.39)

Cuando la ordenada central y el área bajo la curva de un pulso son ambas iguales a la unidad, como en las Ecs. (2.38) y (2.39), se dice que el pulso gaussiano es un pulso unitario. Por tanto, se concluye que el pulso gaussiano unitario es su propia transformada de Fourier, como muestra la relación

( ) ( )2 2exp expt f−π −π (2.40)


FIGURA 2.10 Pulso gaussiano.

PROPIEDAD 10 Integración en el Dominio del Tiempo. Sea ( ) ( )g t G f . Entonces, siempre y cuando (0) 0G = , se tiene que

1

( ) ( )2

t

g d G fj f−∞

τ τπ∫ (2.41)

Es decir, la integración de una función del tiempo ( )g t tiene el efecto de dividir su transformada de Fourier ( )G f por el

factor 2j fπ , siempre y cuando (0)G sea igual a cero. Esta propiedad se verifica expresando ( )g t como

( ) ( )td

g t g ddt −∞

= τ τ ∫

y aplicando después la propiedad de diferenciación en el tiempo de la transformada de Fourier para obtener

( )(f) 2 ( )t

G j f g d−∞

= π τ τ ∫F

de donde se deduce de inmediato la Ec. (2.41).

La generalización de la Ec. (2.41) a la integración múltiple procede de una forma directa; sin embargo, la notación se vuelve bastante complicada.

La Ec. (2.41) supone que G(0), esto es, el área bajo ( )g t , es cero. El caso más general perteneciente a (0) 0G ≠ se difiere hasta la Sec. 2.4. EJEMPLO 2.7 Pulso Triangular

Considere el pulso doblete 1( )g t mostrado en la Fig. 2.11(a). Integrando es pulso con respecto al tiempo, se obtiene

el pulso triangular 2 ( )g t mostrado en la Fig. 2.11(b). Observamos que el pulso doblete 1( )g t consiste de dos

pulsos rectangulares: uno de amplitud A, definido para el intervalo 0T t− ≤ ≤ ; y el otro de amplitud −A, definida para el intervalo 0 t T≤ ≤ . Aplicando la propiedad de corrimiento en el tiempo de la transformada de Fourier a la Ec. (2.10), se encuentra que las transformadas de Fourier de estos dos pulsos rectangulares son iguales a ( ) ( )sinc expAT fT j fTπ y ( ) ( )sinc expAT fT j fT− − π , respectivamente. Por tanto, invocando la

propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, se encuentra que la transformada de Fourier 1( )G f del

pulso doblete 1( )g t de la Fig. 2.11(a) es dada por

( ) ( ) ( )

( ) ( )1( ) sinc exp exp

2 sinc sen

G f AT fT j fT j fT

jAt fT fT

= π − π

= π (2.42)


FIGURA 2.11 (a) Pulso doblete g1(t). (b) Pulso triangular g2(t) obtenido al integrar g1(t) con respecto a t.

Se observa también en la Ec. (2.42) que G1(0) es cero. Por tanto, usando las Ecs. (2.41) y (2.42), se encuentra que la transformada de Fourier 2 ( )G f del pulso triangular 2 ( )g t de la Fig. 2.11(b) es dada por

( )( )

( )

2 1

2 2

1( ) ( )

2

sen sinc

sinc

G f G fj f

fTAT fT

f

AT fT

=π

π=

π

= (2.43)

Observe que el pulso doblete de la Fig. 2.11(a) es real y de simetría impar y su transformada de Fourier es por tanto impar y puramente imaginaria, en tanto que el pulso triangular de la Fig. 2.11(b) es real y simétrico y su transformada de Fourier es por tanto simétrica y puramente real. EJEMPLO 2.8 Partes Real e Imaginaria de una Función del Tiempo

Hasta ahora en el capítulo, hemos estudiado la representación de Fourier de diferentes señales, algunas puramente reales, otras puramente imaginarias y también otras de valores complejos con partes real e imaginaria. Por tanto, en esta etapa del análisis de Fourier de señales, usamos este ejemplo para desarrollar varias fórmulas generales que pertenecen a señales complejas y sus espectros.

Expresando una función ( )g t de valores complejos en términos de sus partes real e imaginaria, podemos escribir

[ ] [ ]( ) Re ( Im ( )g t g t j g t= + (2.44)


donde Re denota “la parte real de” e Im denota “la parte imaginaria de”. El conjugado complejo de ( )g t se define por

[ ] [ ]* ( ) Re ( ) Im ( )g t g t j g t= − (2.45)

Sumando las Ecs. (2.44) y (2.45), se obtiene

[ ] [ ]1

Re ( ) ( ) * ( )2

g t g t g t= + (2.46)

y restándolas da

[ ] [ ]1

Im ( ) ( ) * ( )2

g t g t g tj

= − (2.47)

Por tanto, al aplicar la regla de conjugación de la Ec. (2.22), obtenemos dos pares de transformadas de Fourier:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1Re ( ) ( ) * ( )

21

Im ( ) ( ) * ( )2

g t G f G f

g t G f G fj

+ −

− −

(2.48)

De la segunda línea de la Ec. (2.48), está claro que en el caso de una función del tiempo ( )g t de valores reales.

tenemos que ( ) * ( )G f G f= − ; esto es, la transformada de Fourier ( )G f exhibe simetría conjugada, lo que confirma un resultado expresado previamente en la Sección 2.2. PROPIEDAD 11 Teorema de Modulación Sea 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t G G f d∞

−∞

λ − λ λ∫ (2.49)

Para demostrar esta propiedad, primero se denota la transformada de Fourier del producto 1 2( ) ( )g t g t por

12 ( )G f , de modo que se puede escribir

1 2 12( ) (t) ( )g t g G f

donde

( )12 1 2( ) ( ) ( )exp 2G f g t g t j ft dt∞

−∞

= − π∫

Para 2 ( )g t , se sustituye la transformada de Fourier inversa

( ) ( )2 2( ) exp 2g t G f j f t df∞

−∞

′ ′ ′= π∫

en la integral de definición de 12 ( )G f para obtener

( ) ( )12 1 2( ) ( ) exp 2G f g t G f j f f t df dt∞ ∞

−∞ −∞

′ ′ ′ = − π − ∫ ∫

Defina la nueva variable f f ′λ = − . Entonces, eliminando la variable f ′ e intercambiando el orden de integración, se obtiene, luego de reacomodar términos,

( ) ( )12 2 1( )exp 2G G f g t j t dt d∞ ∞

−∞ −∞

= − λ − πλ λ ∫ ∫

suponiendo que f es fija. La integral interna (dentro de los corchetes) se reconoce simplemente como ( )1G λ ; por

tanto, podemos escribir


( ) ( ) ( )12 1 2G f G G f d∞

−∞

= λ − λ λ∫

que es el resultado deseado. Esta integral se conoce como la integral de convolución expresada en el dominio de la frecuencia, y a la función ( )12G f se le refiere como la convolución de ( )1G f y ( )2G f . Se concluye que la

multiplicación de dos señales en el dominio del tiempo es transformada en la convolución de sus transformadas de Fourier individuales en el dominio de la frecuencia. Esta propiedad también se conoce como el teorema de modulación. En los capítulos subsiguientes tendremos más que decir sobre las aplicaciones prácticas de esta propiedad.

En un estudio de la convolución, con frecuencia se usa la siguiente notación abreviada:

12 1 2( ) ( ) ( )G f G f G f= ∗

Por tanto, la Ec. (2.49) se puede reformula en la forma siguiente:

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t G f G f∗ (2.50)

donde el símbolo ∗ denota convolución. Observe que la convolución es conmutativa; esto es,

1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )G f G f G f G f∗ = ∗

lo que se deduce directamente de la Ec. (2.50). PROPIEDAD 12 Teorema de Convolución Sea 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 g g t d G f G f∞

−∞

τ − τ τ∫ (2.51)

La Ec. (2.51) se deduce directamente al combinar la Propiedad 4 (dualidad) con la Propiedad 11 (modulación). Podemos entonces expresar que la convolución de dos señales en el dominio del tiempo es transformada en la multiplicación de sus transformadas de Fourier individuales en el dominio de la frecuencia. Esta propiedad se conoce como el teorema de convolución. Su uso permite intercambiar una operación de convolución en el dominio del tiempo para una multiplicación de dos transformadas de Fourier, una operación que ordinariamente es más fácil de manipular. En los capítulos subsiguientes tendremos más que decir sobre la convolución, cuando se estudie el tema de filtrado.

Usando la notación abreviada para la convolución, podemos reescribir la Ec. (2.51) en la forma más sencilla

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t G f G f∗ (2.52)

Observe que las Propiedades 11 y 12, descritas por las Ecs. (2.49) y (2.51), respectivamente, son duales entre sí. Problema de Ejercicio 2.5 Desarrolle los pasos detallados que demuestran que los teoremas de modulación y convolución son efectivamente el dual uno del otro. PROPIEDAD 13 Teorema de Correlación Sea 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces, suponiendo que

1( )g t y 2 ( )g t son de valores complejos,

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t dt G f G f∞

∗ ∗

−∞

− τ∫ (2.53)

donde 2 ( )G f∗ es el conjugado complejo de 2 ( )G f y τ es la variable de tiempo involucrada en la definición de la

transformada de Fourier inversa del producto 1 2( ) ( )G f G f∗ . Para demostrar la Ec. (2.53), comenzamos por reformular la integral de convolución intercambiando los papeles de las variables de tiempo t y τ, en cuyo caso podemos reescribir la Ec. (2.51) simplemente como

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t dt G f G f∞

−∞

− τ∫ (2.54)


Como ya se señaló en el enunciado de la Propiedad 13, la transformada de Fourier inversa del término producto

1 2( ) ( )G f G f tiene a τ como su variable de tiempo; esto es, su núcleo es ( )exp 2j fπ τ . Con la fórmula de la Ec.

(2.54) a mano, la Ec. (2.53) se deduce directamente combinando la regla de reflexión (caso especial de la propiedad de dilación) y la regla de conjugación.

La integral en el lado izquierdo de la Ec. (2.53) define una medida de la semejanza que puede existir entre un para de señales de valores complejos. Esta medida se denomina correlación, acerca de la cual se tendrá más que decir en el capítulo. Problema de Ejercicio 2.6 Desarrolle los pasos detallados involucrados en la deducción de la Ec. (2.53),

comenzando con la Ec. (2.51).

Problema de Ejercicio 2.7 Demuestre las siguientes propiedades del proceso de convolución:

(a) La propiedad conmutativa: 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )g t g t g t g t∗ = ∗

(b) La propiedad asociativa: [ ] [ ]1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t g t g t g t g t g t∗ ∗ = ∗ ∗

(c) La propiedad distributiva: [ ]1 2 3 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t g t g t g t g t g t g t∗ + = ∗ + ∗

PROPIEDAD 14 Teorema de la Energía de Rayleigh Sea ( ) ( )g t G f . Entonces

2 2

( ) ( )g t dt G f df∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫ (2.55)

Para demostrar la Ec. (2.55), hacemos 1 2( ) ( ) ( )g t g t g t= = en la Ec. (2.53), en cuyo caso el teorema de correlación se reduce a

2( ) * ( ) ( ) * ( ) ( )g t g t dt G f G f G f

∞

−∞

− τ =∫

En forma expandida, podemos escribir

( )2

( ) * ( ) ( ) exp 2g t g t d G f j f df∞ ∞

−∞ −∞

− τ τ = π τ∫ ∫ (2.56)

Finalmente, haciendo τ = 0 en la Ec. (2.56) y reconociendo que 2

( ) * ( ) ( )g t g t g t= , se obtiene el resultado

deseado.

La Ec. (2.55), conocida como el teorema de la energía de Rayleigh, establece que le energía total de una señal que posee transformada de Fourier es igual al área total bajo la curva de un espectro de amplitud de esta señal elevado al cuadrado. La determinación de la energía con frecuencia se simplifica al utilizar el teorema de la energía de Rayleigh, como se ilustra en el ejemplo a continuación. EJEMPLO 2.9 Pulso Sinc (continuación)

Considere una vez más el pulso sinc ( )sinc 2A Wt . La energía de este pulso es

( )2 2sinc 2E A Wt dt∞

−∞

= ∫

La integral en el lado derecho de esta ecuación es bastante difícil de evaluar. Sin embargo, del Ejemplo 2.4 se observa que la transforma de Fourier del pulso sinc ( )sinc 2A Wt es igual a ( ) ( )2 rect 2A f W ; por tanto,

aplicando el teorema de la energía de Rayleigh a este problema, obtenemos rápidamente el resultado buscado:


22

2

2

rect2 2

2

2

W

W

fAE df

W W

Adf

W

A

W

∞

−∞

−

=

=

=

⌠⌡

∫ (2.57)

Este ejemplo ilustra claramente la utilidad del teorema de la energía de Rayleigh. Problema de Ejercicio 2.8 Considerando la función pulso sinc( )t , demuestre que

2sin ( ) 1c t dt∞

−∞

=∫

2.3 La Relación Inversa Entre Tiempo y Frecuencia Las propiedades de la transformada de Fourier estudiadas en la Sección 2.2 muestran que las descripciones en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia de una señal están relacionadas inversamente entre sí. En particular, podemos hacer dos afirmaciones importantes:

1. Si se cambia la descripción en el dominio del tiempo de una señal, la descripción de la señal en el dominio de la frecuencia cambia en una forma inversa, y viceversa. Esta relación inversa previene especificaciones arbitrarias de una señal en ambos dominios. En otras palabras, podemos especificar una función de tiempo arbitraria o un espectro arbitrario, pero no podemos especificar ambos al mismo tiempo.

2. Si una señal está estrictamente limitada en frecuencia, la descripción en el dominio del tiempo de la señal perdurará por tiempo indefinido, aunque su amplitud puede tomar una valor progresivamente menor. Se dice que una señal está estrictamente limitada en frecuencia o estrictamente limitada en banda si su transformada de Fourier es exactamente cero fuera de una banda finita de frecuencias. El pulso sinc es un ejemplo de una señal estrictamente limitada en banda, como se ilustra en la Fig. 2.8. Esta figura también muestra que el pulso sinc está sólo asintóticamente limitado en el tiempo. En una forma inversa, si una señal está estrictamente limitada en tiempo (es decir, la señal es exactamente cero fuere de un intervalo de tiempo finito), entonces el espectro de la señal tiene una extensión infinita, aunque la el espectro de amplitud puede tomar una valor progresivamente más pequeño. Esta conducta es ejemplificada por el pulso rectangular (descrito en la Fig. 2.2) y el pulso triangular (descrito en la Fig. 2.11(b)). En consecuencia, podemos afirmar que una señal no puede estar estrictamente limitada tanto en tiempo como en frecuencia.

ANCHO DE BANDA

El ancho de banda de una señal proporciona una medida de la extensión del contenido espectral significativo de la señal para frecuencias positivas. Cuando la señal está estrictamente limitada en banda, el ancho de banda está bien definido. Por ejemplo, el pulso sinc descrito en la Fig. 2.8(a) tiene un ancho de banda igual a W. Sin embargo, cuando la señal no está estrictamente limitada en banda, que es generalmente el caso, tenemos dificultadas en definir el ancho de banda de la señal. La dificultad surge porque el significado de la palabra “significativo” con que se califica el contenido espectral de la señal es matemáticamente impreciso. En consecuencia, no existe una definición universalmente aceptada de ancho de banda.

No obstante, hay algunas definiciones de ancho de banda comúnmente usadas. En esta sección, consideramos tres de esas definiciones; la formulación de cada definición depende de si la señal es de pasabajas o de pasabanda. Se dice que una señal es de pasabajas si su contenido espectral significativo está centrado alrededor del origen f = 0. Se dice que una señal es de pasabanda si su contenido espectral significativo está centrado alrededor de cf± , donde fc es una frecuencia constante.

Cuando el espectro de una señal es simétrico con un lóbulo principal delimitado por nulos bien definidos (es decir, frecuencias en las cuales el espectro es cero), podemos usa el lóbulo principal como la base para definir el


ancho de banda de la señal. La razón para hacer esto es que el lóbulo espectral principal contienen la porción significativa de la energía de la señal. Si la señal es de pasabajas, el ancho de banda se define como la mitad del ancho total del lóbulo espectral principal, ya que sólo una mitad de este lóbulo está dentro de la región de frecuencias positivas. Por ejemplo, un pulso rectangular de duración T segundos tiene un lóbulo espectral principal de ancho total igual a (2/T) hertz centrado en el origen, como muestra la Fig. 2.2(b). En consecuencia, podemos definir el ancho de banda de este pulso rectangular como (1/T) hertz. Si, por otra parte, la señal es de pasabanda con lóbulos espectrales principales centrados alrededor de cf± , donde fc es grande, el ancho de banda se define como el ancho de lóbulo principal para frecuencias positivas. Esta definición de ancho de banda se denomina el ancho de banda de nulo a nulo. Por ejemplo, un pulso de RF de duración T segundos y frecuencia fc tiene lóbulos espectrales principales de ancho (2/T) hertz centrados en torno a cf± , como muestra la Fig. 2.9(b). Por tanto, podemos definir el ancho de banda de nulo a nulo de este pulso de RF como (2/T) hertz. Sobre la base de las definiciones presentadas aquí, podemos afirmar que el desplazamiento del contenido espectral de una señal de pasabajas por una frecuencia lo suficientemente grande tiene el efecto de duplicar el ancho de banda d la señal. Esta traslación de frecuencias se logra utilizando el proceso de modulación, el cual se estudia en detalle en el Capítulo 3.

Otra definición popular de ancho de banda es el ancho de banda de 3 dB. Específicamente, si la señal es de pasabajas, el ancho de banda de 3 dB se define como la separación en la frecuencia cero, donde el espectro de

amplitud alcanza su valor pico, y la frecuencia positiva en la cual el espectro de amplitud cae a 1 2 de su valor pico. Por ejemplo, los pulsos exponenciales decreciente y creciente definidos en la Fig. 2.4 tienen un ancho de banda de 3 dB de (a/2π) hertz. Si, por otra parte, la señal es de pasabanda, centrada en cf± , el ancho de banda de 3 dB se define como la separación (a lo largo del eje positivo de frecuencias) entre las dos frecuencias en las cuales el espectro de amplitud de la señal cae a 1 2 del valor pico en fc. El ancho de banda de 3 dB tiene la ventaja de que puede leerse directamente de una gráfica del espectro de amplitud. Sin embargo, tiene una desventaja en que puede ser engañoso si el espectro de amplitud tiene colas que decrecen lentamente.

Otra medida adicional para el ancho de banda de una señal es el ancho de banda de la raíz cuadrada de la media (rms), definido como raíz cuadrada del segundo momento de una forma normalizada apropiadamente del cuadrado del espectro de amplitud de la señal en torno a punto seleccionado adecuadamente. Se supone que la señal es de pasabajas, de modo que el segundo momento de puede tomar en torno al origen. Igual que para la forma normalizada del cuadrado del espectro de amplitud, usamos la función no negativa

2 2( ) ( )G f G f dt∞

−∞∫ , en la cual el denominador aplica la normalización correcta en el sentido de que el valor

integrado de esta razón sobre todo el eje de la frecuencia es igual a la unidad. Por tanto, podemos definir formalmente el ancho de banda rms de una señal de pasabajas g(t) con transformada de Fourier ( )G f en la forma siguiente:

1 222

rms2

( )

( )

f G f dfW

G f df

∞

−∞

∞

−∞

=

∫∫

(2.58)

Una característica atractiva del ancho de b anda rms, Wrms, es que se presta más fácilmente a una evaluación matemática que las otras dos definiciones de ancho de banda, aunque no se mide tan fácilmente en el laboratorio. PRODUCTO TIEMPO-ANCHO DE BANDA

Para cualquier familia de señales de pulsos que difieran por un factor de escala en el tiempo, el producto de la duración de la señal y su ancho de banda siempre es una constante, esto es,

( ) ( )duración ancho de banda constante× =

El producto se denomina el producto tiempo-ancho de banda o el producto ancho de banda-duración. Lo constante del producto tiempo-ancho de banda es otra manifestación de la relación inversa que existe entre las descripciones de una señal en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia. En particular, si la duración de una señal de pulso


es disminuida mediante compresión de la escala de tiempo por un factor a, por ejemplo, la escala de frecuencias del espectro de la señal, y por tanto el ancho de banda de la señal, es expandida por el mismo factor a, en virtud de la Propiedad 2 (dilación) y por eso el producto tiempo-ancho de banda de la señal se mantiene constante. Por ejemplo, un pulso rectangular de duración T segundos tiene un ancho de banda definido sobre la base de la parte de frecuencias positivas del lóbulo principal igual a (1/T) hertz, haciendo que el producto tiempo-ancho de banda sea igual a uno. El punto importante que se debe observar aquí es que cualquiera sea la definición que usemos para el ancho de banda de una señal, el producto tiempo-ancho de banda permanece constante para ciertas clases de señales de pulsos. La selección de una definición particular para el ancho de banda simplemente cambia el valor de la constante.

Para ser más específicos, considérese el ancho de banda rms definido en la Ec. (2.58). La definición correspondiente para la duración rms de la señal g(t) es

1 222

rms2

(t)

( )

t g dtT

g t dt

∞

−∞

∞

−∞

=

∫∫

(2.59)

donde se supone que la señal g(t) está centrada alrededor del origen. Es posible demostrar que si se usan las definiciones rms de las Ecs. (2.58) y (2.59), el producto tiempo-ancho de banda tiene la forma siguiente:

rms rms

14

T W ≤π

(2.60)

donde la constante es (1/4π). También se puede demostrar que el pulso gaussiano satisface esta condición con el signo de igualdad. Para los detalles de estos cálculos, se refiere el lector al Problema 2.51. 2.4 Función Delta de Dirac Estrictamente hablando, la teoría de la transformada de Fourier, en la forma descrita en las Secciones 2.2 y 2.3, es aplicable solamente a funciones del tiempo que satisfagan las condiciones de Dirichlet. Esas funciones incluyen señales de energía, esto es, señales para las cuales se cumple la condición

2( )g t dt

∞

−∞

< ∞∫

Sin embargo, sería altamente deseable extender la teoría en dos formas:

1. Combinar la teoría de la serie de Fourier y la transformada de Fourier en un marco unificado, de manera que la serie de Fourier pueda tratarse como un caso especial de la transformada de Fourier.

2. Expandir la aplicabilidad de la transformada de Fourier para incluir señales de potencia, es decir, señales para las cuales se cumple la condición

21lím ( )

2

T

T T

g t dtT→ ∞ −

< ∞∫

Resulta que estos dos objetivos se cumplen a través del “uso apropiado” de la función delta de Dirac o impulso unitario.

La función delta de Dirac, denotada por δ(t), se define con una amplitud igual a cero en todas partes excepto en t = 0, donde es infinitamente grande en una forma tal que contiene área unitaria bajo su curva. Específicamente, δ(t) satisface el par de relaciones

( ) 0, 0t tδ = ≠ (2.61)

y

( ) 1t dt∞

−∞

δ =∫ (2.62)


Una consecuencia de este par de relaciones es que la función delta δ(t) debe ser una función par del tiempo t.

Sin embargo, para que la función delta tenga significado, tiene que aparecer como un factor en el integrando de una integral con respecto al tiempo y entonces, estrictamente hablando, sólo cuando el otro factor en el integrando sea una función continua del tiempo. Sea g(t) esa función, y considérese el producto de g(t) y la función delta desplazada en el tiempo ( )0t tδ − . A la luz de las dos ecuaciones de definición (2.61) y (2.62),

podemos expresar la integral del producto ( )0( )g t t tδ − con respecto a t en la forma siguiente:

( ) ( )0 0( )g t t t dt g t∞

−∞

δ − =∫ (2.63)

La operación indicada en el lado izquierdo de esta ecuación selecciona el valor ( )0g t de la función g(t) en el

instante 0t t= , donde −∞ < t < ∞. Por esta razón, la Ec. (2.63) se conoce como la propiedad de selección de la función delta. Esta propiedad se utiliza algunas veces como la ecuación de definición de una función delta; en efecto, ella incorpora las Ecs. (2.61) y (2.62) en una sola relación.

Observando que la función delta δ(t) es una función par de t, podemos reescribir la Ec. (2.63) en una forma que enfatiza su semejanza con la integral de convolución; esto es, en la forma

( ) ( ) ( )g t d g t∞

−∞

τ δ − τ τ =∫ (2.64)

o, usando la notación para la convolución:

( ) ( ) ( )g t t g t∗ δ =

En palabras, la convolución de cualquier función del tiempo g(t) con la función delta δ(t), no cambia la función. Esta afirmación se conoce como la propiedad de réplica de la función delta.

Por definición, la transformada de Fourier de la función delta es dada por

[ ] ( )( ) ( )exp 2t t j ft dt∞

−∞

δ = δ − π∫F

Por tanto, usando la propiedad de selección de la función delta y notando que ( )exp 2j ft− π es igual a la unidad

en t = 0, se obtiene

[ ]( ) 1tδ =F

Tenemos entonces el par de transformadas de Fourier para la función delta de Dirac:

( ) 1tδ (2.65)

Esta relación establece que el espectro de la función delta δ(t) se extiende uniformemente sobre todo el intervalo de frecuencias, como se muestra en la Fig. 2.12.

FIGURA 2.12 (a) La función delta de Dirac δ(t). (b) Espectro de δ(t).


Es importante darse cuenta que el par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.65) existe solamente en un sentido de límite. El punto es que ninguna función en el sentido ordinario tiene las dos propiedades de las Ecs. (2.61) y (2.62) o la propiedad de selección equivalente de la Ec. (2.63). No obstante, es posible imaginarnos una secuencia de funciones que tengan picos progresivamente más altos y más delgados en t = 0, con el área bajo la curva permaneciendo igual a la unidad, mientras que el valor de la función tiende a cero en todos los puntos excepto en t = 0, donde tiende a infinito. Esto es, podemos considerar a la función delta como la forma límite de un pulso de área unitaria conforme la duración del pulso tiende a cero. Es indiferente la forma del pulso que se use.

En un sentido riguroso, la función delta de Dirac pertenece a una clase especial de funciones conocidas como funciones generalizadas o distribuciones. En efecto, en algunas situaciones su uso requiere que se ejerza mucho cuidado. Sin embargo, un aspecto bonito de la función delta de Dirac está precisamente en el hecho de que un tratamiento más bien intuitivo de la función a lo largo de las líneas descritas aquí da la respuesta correcta. EJEMPLO 2.10 La Función Delta como una Forma Límite del Pulso Gaussiano

Considérese un pulso gaussiano de área unitaria, definido por

2

2

1( ) exp

tg t

π= −

τ τ (2.66)

donde τ es un parámetro variable. La función gaussiana g(t) tiene dos propiedades útiles: (1) sus derivadas son todas continuas, y (2) se desvanece más rápidamente que cualquier potencia de t. La función delta δ(t) se obtiene tomando el límite τ → 0. El pulso gaussiano se vuelve entonces infinitesimalmente angosto en duración e infinitamente grande en amplitud, sin embargo, su área permanece finita y fija en uno. La Fig. 2.13(a) ilustra la secuencia de tales pulsos conforme se permite que el parámetro τ disminuya.

El pulso gaussiano g(t), definido aquí, es el mismo que el pulso gaussiano ( )2exp t−π derivado en el Ejemplo

2.6, excepto por el hecho de que ahora está escalado en el tiempo por el factor τ y escalado en amplitud por el factor 1/τ. Por tanto, al aplicar las propiedades de linealidad y dilación de la transformada de Fourier al par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.40), encontramos que la transformada de Fourier del pulso gaussiano g(t) definido en la Ec. (2.66) es también un pulso gaussiano, esto es,

( )2 2( ) expG f f= −πτ

FIGURA 2.13 (a) Pulsos gaussianos de duración variable. (b) Espectros correspondientes.


La Fig. 2.13(b) ilustra el efecto de variar el parámetro τ sobre el espectro del pulso gaussiano g(t). Haciendo entonces τ = 0, encontramos, como se esperaba, que la transformada de Fourier de la función delta es igual a la unidad. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DELTA

1. Señal de cd

Aplicando la propiedad de dualidad al par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.65) y notando que la función delta es una función par, se obtiene

1 ( )fδ (2.67)

La Ec. (2.67) establece que una señal de cd es transformada en el dominio de frecuencia en una función delta δ(f) situada en frecuencia cero, como muestra la Fig. 2.14. Por supuesto, este resultado es intuitivamente satisfactorio.

FIGURA 2.14 (a) Señal de cd. (b) Espectro

Recurriendo a la definición de la transformada de Fourier, se deduce rápidamente, a partir de la Ec. (2.67), la relación útil

( )exp 2 ( )j ft dt f∞

−∞

− π = δ∫

Puesto que la función delta δ(f) es de valores reales, esta relación se puede simplificar para obtener

( )cos 2 ( )ft dt f∞

−∞

π = δ∫ (2.68)

la cual proporciona también otra definición para la función delta, aunque en el dominio de la frecuencia. 2. Función Exponencial Compleja

A continuación, si se aplica la propiedad de desplazamiento en frecuencia a la Ec. (2.67), se obtiene el par de transformadas de Fourier

( ) ( )exp 2 c cf t f fπ δ − (2.69)

para una exponencial compleja de frecuencia fc. La Ec. (2.69) afirma que la función exponencial compleja ( )exp 2 cj f tπ es transformada en el dominio de la frecuencia en una función delta ( )cf fδ − ubicada en f = fc.

3. Funciones Sinusoidales

Considérese ahora el problema de evaluar la transformada de Fourier de la función coseno ( )cos 2 cf tπ . Primero

usamos la fórmula de Euler para escribir


( ) ( ) ( )1

cos 2 exp 2 exp 22c c cf t j f t j f t π = π + − π (2.70)

Por tanto, usando la Ec. (2.69), se encuentra que la función coseno ( )cos 2 cf tπ se representa mediante el par de

transformadas de Fourier

( ) ( ) ( )1

cos 2 2c c cf t f f f f π δ − + δ + (2.71)

En otras palabras, el espectro de la función coseno ( )cos 2 cf tπ consiste de un par de funciones delta ubicada en

cf f= ± , cada una de las cuales está ponderada por el factor 1/2, como muestra la Fig. 2.15.

FIGURA 2.15 (a) Función coseno. (b) Espectro.

En forma similar, se puede demostrar que la función seno ( )sen 2 cf tπ es representada por el par de

transformadas de Fourier

( ) ( ) ( )1

sen 2 2c c cf t f f f f

j π δ − − δ + (2.72)

la cual se ilustra en la Fig. 2.16.

FIGURA 2.16 (a) Función seno. (b) Espectro.

Problema de Ejercicio 2.9 Determine la transformada de Fourier de las señales sinusoidales elevadas al cuadrado:

(i) ( )2( ) cos 2 cg t f t= π


(ii) ( )2( ) sen 2 cg t f t= π

4. Función Signo

La función signo sgn( )t es igual a +1 para tiempo positivo y a −1 para tiempo negativo, como muestra la curva sólida en la Fig. 2.17(a). La función signo se definió previamente en la Ec. (2.18); aquí se reproduce esta definición como conveniencia para la presentación:

1, 0

sgn( ) 0, 0

1, 0

t

t t

t

+ >

= = − <

FIGURA 2.17 (a) Función signo (curva continua) y pulso exponencial doble (curva de guiones). (b) Espectro de amplitud de la función signo (curva continua) y del pulso exponencial doble (curva de guiones).

La función signo no satisface las condiciones de Dirichlet y, por tanto, estrictamente hablando, no tiene una transformada de Fourier. Sin embargo, es posible definir una transformada de Fourier para la función signo considerándola como la forma límite del pulso exponencial doble con simetría impar

( )

( )

exp , 0

sgn( ) 0, 0

exp , 0

at t

t t

at t

− >

= = − <

(2.73)


cuando el parámetro a tiende a cero. La señal g(t), mostrada con la curva de guiones en la Fig. 2.17(a), sí satisface las condiciones de Dirichlet. Su transformada de Fourier se derivó en el Ejemplo 2.3; el resultado es dado por [véase la Ec. (2.19)]:

( )22

4( )

2

j fG f

a f

− π=

+ π

El espectro de amplitudes ( )G f se muestra como la curva de guiones en la Fig. 2.17(b). En el límite, conforme a

tiende a cero, tenemos que

[ ]( )

220

4sgn( ) lím

2

1

a

ft

a f

j f

→

− π=

+ π

=π

F

Es decir,

1

sgn( ) tj fπ

(2.74)

El espectro de amplitudes de la función signo se muestra como la curva continua en la Fig. 2.17(b). Aquí vemos que para a pequeña, la aproximación es muy buena excepto cerca del origen en el eje de frecuencias. En el origen, el espectro de la función de aproximación g(t) es cero para a > 0, en tanto que el espectro de la función signo tiende a infinito.

5. Función Escalón Unitario

La función escalón unitario u(t) es igual a +1 para tiempo positivo y cero para tiempo negativo. Se definió previamente en la Ec. (2.11) y se reproduce aquí por conveniencia:

1, 0

1( ) , 0

20, 0

t

u t t

t

>

= =

<

La forma de onda de la función escalón unitario se muestra en la Fig. 2.18(a). A partir de esta ecuación de definición y la de la función signo, o a partir de las dos formas de onda de las Figs. 2.17(a) y 2.18(a), vemos que la función escalón unitario y la función signo están relacionadas por

[ ]1

( ) sgn( ) 12

u t t= + (2.75)

FIGURA 2.18 (a) Función escalón unitario. (b) Espectro de amplitudes.


Por tanto, si se utilizan la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier y los pares de transformadas de las Ecs. (2.67) y (2.75), se encuentra que la función escalón unitario es representada por el par de transformadas de Fourier

( )1 1

( ) 2 2

u t fj f

+ δπ

(2.76)

Esto significa que el espectro de la función escalón unitario contiene una función delta ponderada por el factor de 1/2 y ocurre en la frecuencia cero, como se muestra en la Fig. 2.18(b). 6. Integración en el Dominio del Tiempo (Revisitado)

La relación de la Ec. (2.41) describe el efecto de la integración sobre la transformada de Fourier de una señal g(t), suponiendo que G(0) = 0. Ahora se considerará el caso más general, donde no se hace ninguna suposición.

Sea

( ) ( )t

y t g d−∞

= τ τ∫ (2.77)

La señal integrada y(t) puede considerarse como la convolución de la señal original g(t) y la función escalón unitario u(t), como muestra la relación

( ) ( ) ( )y t g u t d∞

−∞

= τ − τ τ∫

donde la función escalón unitario desplazada en el tiempo u(t − τ) se define como

1,

1( ) , 0

20,

t

u t

t

τ <

− τ = τ =

τ >

Reconociendo que la convolución en el dominio del tiempo se transforma en una multiplicación en el dominio de la frecuencia de acuerdo con la Propiedad 12, y utilizando el par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.76) para la función escalón unitario u(t), se encuentra que la transformada de Fourier de y(t) es

1 1

( ) ( ) ( )2 2

Y f G f fj f

= + δ π

(2.78)

donde G(f) es la transformada de Fourier de g(t). De acuerdo con la propiedad de selección de una función delta formulada en el dominio de la frecuencia, tenemos que

( ) ( ) (0) ( )G f f G fδ = δ

Por tanto, la Ec. (2.78) se puede reescribir en la forma equivalente:

1 1( ) ( (0) ( )

2 2Y f G f G f

j f= + δ

π

En general, el efecto de integrar la señal g(t) es entonces descrito por el par de transformadas de Fourier

1 1

( ) ( (0) ( )2 2

t

g d G f G fj f−∞

τ τ + δπ∫ (2.79)

Éste es el resultado deseado, el cual incluye la Ec. (2.41) como un caso especial (esto es, cuando G(0) = 0). Problema de Ejercicio 2.10 Considérese la función

1 1( )

2 2g t t t

= δ + − δ −


la cual consiste de la diferencia entre dos funciones delta en 12

t = ± . La integración de g(t) con respecto al

tiempo t produce la función rectángulo unitario rect( )t . Use la Ec. (2.79) para demostrar que

rect( ) sinc( )t f

la cual es una forma especial de la Ec. (2.10), 2.5 Transformadas de Fourier de Señales Periódicas Es bien conocido que mediante el uso de la serie de Fourier, una señal periódica puede representarse como una suma de exponenciales complejas. También, en un sentido de límite, las transformadas de Fourier pueden definirse para exponenciales complejas, como lo demuestran las Ecs. (2.69), (2.71) y (2.72). Por tanto, parece razonable representar una señal periódica en términos de una transformada de Fourier, siempre y cuando se permita que esta transformada incluya funciones delta.

Considérese entonces una señal periódica 0( )Tg t , donde el subíndice T0 denota el periodo de la señal. Sabemos

que 0( )Tg t puede representarse en términos de la serie exponencial compleja de Fourier como

( )0 0( ) exp 2T n

n

g t c j nf t

∞

=−∞

= π∑ (2.80)

donde cn es el coeficiente de Fourier complejo, definido por

( )0

00

2

020

1( )exp 2

T

n TT

c g t j nf t dtT −

= − π∫ (2.81)

y f0 es la frecuencia fundamental definida como el recíproco del periodo T0; es decir,

00

1f

T= (2.82)

Sea g(t) una función de tipo pulso, la cual es igual a 0( )Tg t en un periodo y es cero para otros valores de t; esto

es,

0

0 0( ), ( ) 2 2

0, otros valores de

T

T Tg t t

g t

t

− ≤ ≤

=

(2.83)

La señal periódica 0( )Tg t puede ahora expresarse en términos de la función g(t) como la sumatoria infinita

( )0 0( )T

m

g t g t mT

∞

=−∞

= −∑ (2.84)

Con base en esta representación, podemos considerar a g(t) como una función generadora, en que ella genera la señal periódica

0( )Tg t . Como es de tipo pulso con alguna energía finita, la función g(t) posee transformada de

Fourier. En consecuencia, a la luz de las Ecs. (2.82) y (2.83), podemos reescribir la fórmula para el coeficiente de Fourier complejo cn como

( )

( )

0 0

0 0

( )exp 2

nc f g t j nf t dt

f G nf

∞

−∞= − π

=

∫ (2.85)

donde ( )0G nf es la transformada de Fourier de g(t), evaluada en la frecuencia f = nf0. Podemos entonces

reescribir la fórmula de la Ec. (2.80) para la reconstrucción de la señal periódica 0( )Tg t como


( ) ( )0 0 0 0( ) exp 2T

n

g t f G nf nf t

∞

=−∞

= π∑ (2.86)

Por tanto, eliminando 0( )Tg t entre las Ecs. (2.84) y (2.86), ahora podemos escribir

( ) ( ) ( )0 0 0 0exp 2m n

g t mT f G nf j nf t

∞ ∞

=−∞ =−∞

− = π∑ ∑ (2.87)

que define una forma de la fórmula de la suma de Poisson.

Finalmente, usando la Ec. (2.69), la cual define la transformada de Fourier de una función exponencial compleja, en la Ec. (2.87), se deduce el par de transformadas de Fourier:

( ) ( ) ( )0 0 0 0 m n

g t mT f G nf f nf

∞ ∞

=−∞ =−∞

− δ −∑ ∑ (2.88)

para la señal periódica 0( )Tg t cuya frecuencia fundamental f0 = 1/T0. La Ec. (2.88) simplemente afirma que la

transformada de Fourier de una señal periódica consiste de funciones delta que ocurren en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental f0, incluyendo el origen, y cada función delta es ponderada por un factor igual al valor correspondiente de ( )0G nf . En efecto, esta relación simplemente proporciona un método para mostrar el

contenido de frecuenta de la señal periódica 0( )Tg t .

Es interesante observar que la función tipo pulso g(t), la cual constituye un periodo de la señal periódica

0( )Tg t , tiene un espectro continuo definido por G(f). Por otra parte, la señal periódica

0( )Tg t misma tiene un

espectro discreto. En palabras, es posible entonces resumir la transformación incluida en la Ec. (2.88) en la forma siguiente:

La periodicidad en el dominio del tiempo tiene el efecto de cambiar el espectro de una señal de tipo pulso en una forma discreta definida en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, y viceversa.

EJEMPLO 2.11 Función de Muestreo Ideal

Una función de muestreo ideal, o peine de Dirac, consiste de una secuencia infinita de funciones delta espaciadas uniformemente, como muestra la Fig. 2.19(a). Esta forma de onda se denota por

( )0 0( )T

m

t t mT

∞

=−∞

δ = δ −∑ (2.89)

Observamos que la función generadora g(t) para función de muestreo ideal 0( )Tg t consiste simplemente de la

función delta δ(t). Por tanto, tenemos que G(f) = 1 y

( )0 1 para toda G nf n=

Por tanto, el uso de la Ec. (2.88) produce el nuevo resultado

( ) ( )0 0 0 m n

t mT f f nf

∞ ∞

=−∞ =−∞

δ − δ −∑ ∑ (2.90)

La Ec. (2.90) afirma que la transformada de Fourier de un tren periódico de funciones delta con separación igual a T0 segundos, consiste de otro conjunto de funciones delta ponderados por el factor f0 = 1/T0 y espaciados regularmente con separación de f0 Hz a lo largo del eje de frecuencias como en la Fig. 2.19(b). En el caso especial de T0 = 1, un tren periódico de funciones delta es, como un pulso gaussiano, su propia transformada de Fourier.


FIGURA 2.19 (a) Peine de Dirac (b) Espectro.

Si se aplica la transformada de Fourier inversa al lado derecho de la Ec. (2.90), se obtiene la relación

( ) ( )0 0 0exp 2m n

t mT f j nf t

∞ ∞

=−∞ =−∞

δ − = π∑ ∑ (2.91)

Por otra parte, si se aplica la transformada de Fourier al lado izquierdo de la Ec. (2.90), se obtiene la relación dual

( ) ( )0 0 0exp 2m n

T j mfT f nf

∞ ∞

=−∞ =−∞

π = δ −∑ ∑ (2.92)

donde se utilizó la relación de la Ec. (2.82). Las Ecs. (2.91) y (2.92) son duales entre sí, en que las funciones delta aparecen en el dominio del tiempo en la Ec. (2.91), en tanto que el la Ec. (2.92), las funciones delta aparecen en el dominio de la frecuencia.

Problema de Ejercicio 2.11 Usando la fórmula de Euler ( ) ( )1

cos exp exp2

x jx jx = + − , reformula las Ecs.

(2.91) y (2.92) en términos de funciones coseno. 2.6 Transmisión de Señales A Través de Sistemas Lineales:

La Convolución Revisitada Con la teoría de la transformada de Fourier presentada en la sección anterior a nuestra disposición, estamos listos para entrarle al estudio de una clase especial de sistemas conocidos como lineales. Un sistema se refiere a cualquier dispositivo o fenómeno físico que produce una señal de salida en respuesta a cualquier señal de entrada. Se acostumbra referirse a la señal de entrada como la excitación y a la señal de salida como la respuesta. En un sistema lineal, el principio de superposición se cumple; esto es, la respuesta de un sistema lineal a varias excitaciones aplicadas simultáneamente es igual a la suma de las respuestas del sistema cuando cada excitación se aplica individualmente. Ejemplos importantes de sistemas lineales incluyen los filtros y canales de comunicación que opera en su región lineal. Un filtro se refiere a un dispositivo selectivo en frecuencias que se usa para limitar el


espectro de una señal a alguna banda de frecuencias. Un canal se refiere a un medio físico que conecta el transmisor y el receptor de un sistema de comunicación. Se desea evaluar los efectos de transmitir señales a través de filtros y canales de comunicación lineales. Esta evaluación puede llevarse a cabo en dos formas, dependiendo de la descripción adoptada para el filtro o el canal. Esto es, podemos usar ideas en el dominio del tiempo o de la frecuencia, como se describe a continuación. RESPUESTA EN EL TIEMPO

En el dominio del tiempo, un sistema lineal se describe en términos de su respuesta al impulso, la cual se define como la respuesta del sistema (con cero condiciones iniciales) a un impulso unitario o función δ(t) aplicado en la entrada del sistema. Si el sistema es invariable en el tiempo, entonces esta propiedad implica que un impulso unitario desplazado en el entrada del sistema produce una respuesta al impulso en la salida, desplazada en exactamente la misma cantidad. En otras palabras, la forma de la respuesta al impulso de un sistema lineal invariable en el tiempo es la misma no importa cuando se aplique el impulso unitario al sistema. Por tanto, suponiendo que el impulso unitario o función delta se aplica en el instante t = 0, podemos denotar la respuesta al impulso de un sistema lineal invariable en el tiempo por h(t). Suponga que el sistema se somete a una excitación arbitraria x(t), como en la Fig. 2.20(a). Para determinar la respuesta y(t) del sistema, comenzamos por aproximar primero a x(t) por una función de tipo escalera compuesta por pulsos rectangulares angostos, cada uno de duración ∆τ, como se muestra en la Fig. 2.20(b). Claramente, la aproximación mejora para ∆τ pequeña. Conforme ∆τ tiende a cero, cada pulso tiende, en el límite, a una función delta ponderada por un factor igual a la altura del pulso multiplicada por ∆τ. Considérese un pulso típico, que muestra sombreado en la Fig. 2.20(b), el cual ocurre en t = τ . Este pulso tiene un área igual a ( )x τ ∆τ . Por definición, la respuesta del sistema a un impulso unitario o

función delta δ(t) que ocurre en t = 0, es h(t). Se deduce entonces que la respuesta del sistema a una función delta, ponderada por el factor ( )x τ ∆τ y que ocurre en t = τ , debe ser ( ) ( )x h tτ − τ ∆τ . Para hallar la respuesta y(t) en algún instante t, aplicamos el principio de superposición. Por tanto, sumando las diferentes respuestas infinitesimales debidas a los diferentes pulsos de entrada, obtenemos en el límite, conforme ∆τ tiende a cero,

Entrada x(t)

Salida y(t)

Respuesta al impulso

h(t)

aproximación

FIGURA 2.20 (a) Sistema lineal con entrada x(t) y salida y(t). (b) Aproximación escalonada de la entrada x(t).


( ) ( ) ( )y t x h t d∞

−∞= τ − τ τ∫ (2.93)

Esta relación se conoce como la integral de convolución.

En la Ec. (2.93) están involucradas tres escalas de tiempo diferentes: tiempo de excitación τ, tiempo de respuesta t y

tiempo de memoria del sistema ( )t − τ . Esta relación es la base del análisis en el dominio del tiempo de sistemas lineales e invariables en el tiempo. Ella establece que el valor actual de la respuesta de un sistema lineal e invariable en el tiempo es una integral ponderada sobre la historia pasada de la señal de entrada, ponderada de acuerdo a la respuesta al impulso del sistema. Por tanto, la respuesta al impulso actúa como una función de memoria para el sistema.

En la Ec. (2.93), se calcula la convolución de la excitación x(t) con la respuesta al impulso h(t) para producir la respuesta y(t). Puesto que la convolución es conmutativa, se deduce que también podemos escribir

( ) ( ) ( )y t h x t d∞

−∞= τ − τ τ∫ (2.94)

donde h(t) se convoluciona con x(t). EJEMPLO 2.12 Filtro de Línea de Retardo

Considérese un filtro lineal e invariable en el tiempo con respuesta al impulso h(t). Se hacen dos suposiciones:

1. Causalidad, lo que significa que la respuesta al impulso h(t) es cero para t < 0.

2. Soporte finito, lo que significa que la respuesta al impulso del filtro es de cierta duración finita Tf, de manera que podemos escribir h(t) = 0 para t ≥ Tf.

Bajo estas dos suposiciones, la salida del filtro y(t) producida en respuesta a la entrada x(t), se puede expresar como

0

( ) ( ) ( )fT

y t h x t d= τ − τ τ∫ (2.95)

Suponga que la entrada x(t), la respuesta al impulso h(t) y la salida y(t) son muestreadas uniformemente con la tasa de ( )1 ∆τ muestras por segundo, de modo que podemos tomar

t n= ∆τ

y

kτ = ∆τ

donde k y n son enteros y ∆τ es el periodo de muestreo. Suponiendo que ∆τ es lo suficientemente pequeña de manera que el producto ( ) ( )h x tτ − τ permanezca esencialmente constante para ( )1k k∆τ ≤ τ ≤ + ∆τ para todos los

valores de k y τ, podemos aproximar la Ec. (2.95) por una suma de convolución como la mostrada por

( ) ( ) ( )1

0

N

k

y n h k x n k

−

=

∆τ = ∆τ ∆τ − ∆τ ∆τ∑

donde fN T∆τ = . Define el peso

( ) , 0, 1, , 1kw h k k N= ∆τ ∆τ = −… (2.96)

Entonces podemos escribir la fórmula para ( )y n ∆τ como

( ) ( )1

0

N

k

k

y n w x n k

−

=

∆τ = ∆τ − ∆τ∑ (2.97)


La Ec. (2.97) puede realizarse usando la estructura mostrada en la Fig. 2.21, la cual consiste de un conjunto de elementos de retardo (donde cada uno produce un retardo de ∆τ segundos), un conjunto de multiplicadores conectados a las tomas de la línea de retardo, un conjunto correspondiente de pesos suplidos a los multiplicadores y un sumador para añadir las salidas de los multiplicadores. Esta estructura se conoce como un filtro de línea de retardo o filtro transversal. Observe en la Fig. 2.21 que la separación entre tomas (derivaciones) o incremento

básico de retardo es igual al periodo de muestreo de la secuencia de entrada ( ) x n ∆τ .

Entrada muestreada x(n∆τ)

Pesos w0 w1 w2 wN−3 wN−2 wN−1

Retardo ∆τ

Retardo ∆τ

Retardo ∆τ

Retardo ∆τ

Salida muestreada y(n∆τ)

FIGURA 2.21 Filtro de línea de retardo.

CAUSALIDAD Y ESTABILIDAD

Se dice que un sistema es causal si no responde antes de que se aplique la excitación. Para que un sistema lineal e invariable en el tiempo sea causal, es claro que la respuesta al impulso h(t) debe anularse para tiempo negativo, como se expresó en el Ejemplo 2.12. Es decir, podemos afirmar formalmente que la condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal e invariante en el tiempo sea causal es

( ) 0, 0h t t= < (2.98)

Claramente, para que un sistema operando en tiempo real sea físicamente realizable, debe ser causal. Sin embargo, existen muchas aplicaciones en las cuales la señal que se va a procesar sólo está disponible en forma almacenada; en estas situaciones, el sistema puede ser no causal y sin embargo físicamente realizable.

Se dice que el sistema es estable si la señal de salida está acotada para todas las señales de entrada acotadas. Nos referiremos a este requerimiento como el criterio de estabilidad de entrada acotada – salida acotada (EASA), el cual se adapta bien para el análisis de sistemas lineales e invariables en el tiempo. Suponga que la señal de entrada x(t) está acotada, esto es

( ) para toda x t M t<

donde M es un número real finito y positivo. Tomando los valores absolutos de ambos lados de la Ec. (2.94), tenemos que

( ) ( ) ( )y t h x t d∞

−∞= τ − τ τ∫ (2.99)

Ahora, si se aplica la propiedad de que el valor absoluto de una integral está acotado por la integral del valor absoluto del integrando, esto es,

( ) ( ) ( ) ( )

( )

h x t d h x t d

M h d

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

τ − τ τ ≤ τ − τ τ

= τ τ

∫ ∫

∫


Entonces, al sustituir esta desigualdad en la Ec. (2.99), se produce el importante resultado

( ) ( )y t M h d∞

−∞≤ τ τ∫

Por tanto, se deduce que para que un sistema lineal e invariable en el tiempo sea estable, la respuesta al impulso h(t) debe ser absolutamente integrable. Esto es, la condición necesaria y suficiente para estabilidad EASA de un sistema lineal e invariable en el tiempo es descrita por

( )h t dt∞

−∞< ∞∫ (2.100)

donde h(t) es la respuesta al impulso del sistema. RESPUESTA DE FRECUENCIA

Considérese ahora un sistema lineal e invariable en el tiempo cuya respuesta al impulso es h(t) y que es excitado por una entrada exponencial compleja de amplitud unitaria y frecuencia f; esto es,

( )( ) exp 2x t j ft= π (2.101)

Usando la Ec. (2.101) en la Ec. (2.94), la respuesta del sistema se obtiene como

( )

( ) ( )

( ) ( )exp 2

exp 2 ( )exp 2

y t h j f t d

j ft h j f d

∞

−∞

∞

−∞

= τ π − τ τ

= π τ − π τ τ

∫

∫ (2.102)

Defina la función de transferencia o respuesta de frecuencia del sistema como la transformada de Fourier de su respuesta al impulso; es decir,

( )( ) ( )exp 2H f h t j ft dt∞

−∞= − π∫ (2.103)

Los términos función de transferencia y respuesta de frecuencia se utilizan de forman intercambiable. La integral en la última línea de la Ec. (2.102) es la misma que la de la Ec. (2.103), excepto por el hecho de que se usa τ en vez de t. Por tanto, podemos escribir la Ec. (2.102) en la forma

( )( ) ( )exp 2y t H f j ft= π (2.104)

La Ec. (2.104) expresa que la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo a una función exponencial compleja de frecuencia f es la misma función exponencial compleja multiplicada por un coeficiente constante

( )H f .

La Ec. (2.103) es una definición de la función de transferencia ( )H f . Se puede deducir una definición alterna de la función de transferencia si se divide la Ec. (2.104) entre la Ec. (2.101) para obtener

( )( ) exp 2

( )( )

( )x t j ft

y tH f

x t= π

= (2.105)

Considérese ahora una señal arbitraria x(t) aplicada al sistema. La señal x(t) puede expresarse en términos de la transformada de Fourier inversa como

( )( ) ( )exp 2x t X f j ft df∞

−∞= π∫ (2.106)

En forma equivalente, x(t) se puede expresar en la forma límite


( )0

( ) lím ( )exp 2f

kf k f

x t X f j ft f

∞

∆ →=−∞= ∆

= π ∆∑ (2.107)

Esto es, la señal de entrada x(t) puede considerarse como una superposición de exponenciales complejas de amplitud incremental. Como el sistema es lineal, la respuesta a esta superposición de entradas exponenciales complejas es dada por

( )

( )

0( ) lím ( ) ( )exp 2

( ) ( )exp 2

fkf k f

y t H f X f j ft f

H f X f j ft df

∞

∆ →=−∞= ∆

∞

−∞

= π ∆

= π

∑

∫ (2.108)

La transformada de Fourier de la señal de salida y(t) se obtiene rápidamente como

( ) ( ) ( )Y f H f X f= (2.109)

De acuerdo con la Ec. (2.109), un sistema lineal e invariable en el tiempo puede entonces describirse muy sencillamente en el dominio de la frecuencia observando que la transformada de Fourier de la salida es igual al producto de la respuesta de frecuencia del sistema y la transformada de Fourier de la salida.

Por supuesto, el resultado de la Ec. (2.109) se pudo haber deducido directamente reconociendo dos hechos:

1. La respuesta y(t) de un sistema lineal e invariable en el tiempo de respuesta al impulso h(t) a una entrada arbitraria x(t) se obtiene por la convolución de x(t) con h(t), de acuerdo con la Ec. (2.93).

2. La convolución de un par de funciones del tiempo es transformada en la multiplicación de sus transformadas de Fourier.

La deducción alterna de la Ec. (2.109) se presenta principalmente para desarrollar una comprensión de por qué la representación de Fourier de una función del tiempo como una superposición de exponenciales complejas es de tanta utilidad en el análisis del desempeño de sistemas lineales e invariables en el tiempo.

La respuesta de frecuencia ( )H f es una propiedad característica de un sistema lineal e invariable en el tiempo. En general, es una cantidad compleja, por lo que se puede expresar en la forma

[ ]( ) ( ) exp ( )H f H f j f= β (2.110)

donde ( )H f se denomina la respuesta de amplitud o respuesta de magnitud y β(f) es la fase o respuesta de fase. En el

caso especial de un sistema lineal con respuesta al impulso h(t) de valores reales, la respuesta de frecuencia ( )H f exhibe simetría conjuntada, lo que significa que

( ) ( )H f H f= −

y ( ) ( )f fβ = −β −

Es decir, la respuesta de amplitud ( )H f de un sistema lineal con respuesta al impulso de valores reales es una

función par de la frecuencia, en tanto que la fase β(f) es una función impar de la frecuencia.

En algunas aplicaciones se prefiere trabajar con el logaritmo de ( )H f , expresada en forma polar, en vez de la

propia ( )H f . Entonces, defina el logaritmo natural

ln ( ) ( ) ( )H f f j f= α + β (2.111)

donde

( ) ln ( )f H fα = (2.112)


La función ( )fα es una definición de la ganancia del sistema. Se mide en Nevers, en tanto que la fase ( )fβ se

mide en radianes. La Ec. (2.111) indica que la ganancia ( )fα y la fase ( )fβ son las partes real e imaginaria del

logaritmo natural de la respuesta de frecuencia ( )H f , respectivamente. La ganancia también puede expresarse en decibeles (dB) usando la definición

10( ) 20 log ( )f H f′α = (2.113)

Las dos funciones de ganancia, ( )fα y ( )f′α están relacionadas por

( ) 8.69 ( )f f′α = α (2.114)

Es decir, 1 neper equivale a 8.69 dB.

A partir del análisis presentado en la Sección 2.3, observamos que el ancho de banda de un sistema es especificado por el valor constante de su respuesta de amplitud. Por tanto, el ancho de banda de un sistema de pasabajas se define como la frecuencia para la cual la respuesta de amplitud ( )H f es 1 2 veces su valor para

frecuencia cero o, el equivalente, la frecuencia en la cual la ganancia α’(f) cae a 3 dB por debajo de su valor a frecuencia cero, como se ilustra en la Fig. 2.22(a). De forma correspondiente, el ancho de banda de un sistema de pasabanda se define como el intervalo de frecuencias en el cual la respuesta de amplitud ( )H f permanece

dentro de 1 2 veces su valor en la frecuencia de media banda, como se ilustra en la Fig. 2.22(b).

FIGURA 2.22 Ilustración de la definición del ancho de banda de un sistema. (a) Sistema de pasabajas. (b) Sistema de pasabanda.


CRITERIO DE PALEY-WIENER

Una condición necesaria y suficiente para que una función ( )fα sea la ganancia de un filtro causal es la convergencia de la integral

2

( )

1

fdf

f

∞

−∞

α +

⌠⌡

(2.115)

Esta condición se conoce como el criterio de Paley-Wiener. Establece que, siempre y cuando la ganancia ( )fα

satisfaga la condición (2.115), entonces podemos asociar con esta ganancia una fase adecuada ( )fβ , de modo que el filtro resultante tenga una respuesta al impulso causal que sea cero para tiempo negativo. En otras palabras, el criterio de Paley-Wiener es el equivalente en el dominio de la frecuencia del requerimiento de causalidad. Un sistema con una característica de ganancia realizable puede tener atenuación infinita [es decir,

( )fα = −∞ ] para un conjunto discreto de frecuencias, pero no puede tener atenuación infinita en una banda de frecuencias; de lo contrario, se viola el criterio de Paley-Wiener. Problema de Ejercicio 2.12 Analice los dos temas siguientes, citando ejemplos para sus respuestas:

(b) ¿Es posible que un sistema lineal e invariante en el tiempo sea causal pero inestable?

(c) ¿Es posible que un sistema así sea no causal pero estable?

Problema de Ejercicio 2.13 La respuesta al impulso se un sistema lineal es definida por la función gaussiana

2

2( ) exp

2

th t

= −

τ

donde τ es un parámetro ajustable que define la duración del pulso. Determine la respuesta de frecuencia del sistema.

Problema de Ejercicio 2.14 Un filtro de línea de retardo consiste de N pesos, donde N es impar. Es simétrico con respecto a la derivación central; es decir, los pesos satisfacen la condición

1 , 0 1n N nw w n N− −= ≤ ≤ −

(a) Halle la respuesta de amplitud del filtro.

(b) Demuestre que este filtro tiene una respuesta de fase lineal. ¿Cuál es la consecuencia de esta propiedad?

(c) ¿Cuál es el retardo producido por el filtro? 2.7 Filtros de Pasabajas Ideales Como se mencionó previamente, un filtro es un sistema selectivo de frecuencias que se usa para limitar el espectro de una señal a alguna banda especificada de frecuencias. Su respuesta de frecuencia se caracteriza por una pasabanda y una banda de rechazo. La frecuencias dentro de la pasabanda son transmitidas con poca o ninguna distorsión, en tanto que aquellas en las banda de rechazo son rechazadas. El filtro puede ser del tipo de pasabajas, pasa altas, pasabanda o rechazo de banda, dependiendo de si transmite frecuencias bajas, altas, intermedias o todas menos frecuencias intermedias, respectivamente. Ya hemos encontrado ejemplos de sistemas de pasabajas y de pasabanda en la Fig. 2.22.

Los filtros, en una forma u otra, representan un bloque funcional importante en l construcción de sistemas de comunicación, En este libro, estaremos interesados en el uso de filtros de pasa altas, pasabajas y pasabanda.

En esta sección, estudiamos la respuesta en el tiempo del filtro de pasabajas ideal, el cual transmite, sin ninguna distorsión, todas las frecuencias dentro de la pasabanda y rechaza completamente todas las frecuencias dentro


de la banda de rechazo, como se ilustra en la Fig. 2.23. De acuerdo con esta figura, la respuesta de frecuencia de un filtro de pasabajas ideal satisface dos condiciones necesarias:

1. La respuesta de amplitud del filtro es una constante dentro de la pasabanda −B ≤ f ≤ B. La constante en la Fig. 2.23 se hace igual a uno por conveniencia de la presentación.

2. La respuesta de fase varía linealmente con la frecuencia en el interior de la pasabanda del filtro. Fuera de la pasabanda, la respuesta de fase puede tomar valores arbitrarios.

Por tanto, en términos matemáticos, la función de transferencia de un filtro de pasabajas ideal es definida por

( )0exp 2 ,

( )0,

j ft B f BH f

f B

− π − ≤ ≤=

> (2.116)

Pendiente = −2πt0

FIGURA 2.23 Respuesta de frecuencia de un filtro de pasabajas ideal. (a) Respuesta de amplitud. (b) Respuesta de fase; fuera de la banda −B ≤ f ≤ B, la respuesta de fase toma una forma arbitraria (no mostrada en la figura).

El parámetro B define el ancho de banda del filtro. El filtro de pasabajas ideal es, por supuesto, no causal porque viola el criterio de Paley-Wiener. Esta observación también puede confirmarse al examinar la respuesta al impulso h(t). Por tanto, si se evalúa la transformada de Fourier inversa de la función de transferencia de la Ec. (2.116), se obtiene

( )0( ) exp 2B

Bh t j f t t df

− = π − ∫ (2.117)

donde los límites de integración se han reducido a la banda de frecuencias en la cual ( )H f no se anula. La Ec. (2.117) se integra rápidamente y se obtiene


( )

( )

( )

0

0

0

sen 2(t)

2 sinc 2

B t th

t t

B B t t

π − =π −

= − (2.118)

La respuesta al impulso tiene un pico de amplitud de 2B centrado en el instante t0, como muestra la Fig. 2.24 para t0 = 1/B. La duración del lóbulo principal de la respuesta al impulso es 1/B y el tiempo de crecimiento desde el cero al comienzo del lóbulo principal hasta el valor pico es 1/2B. En la Fig. 2.24 se ve que, para cualquier valor finito de t0, hay cierta respuesta desde el filtro antes del instante t = 0 en cual se aplica el impulso unitario a la entrada; esta observación confirma que el filtro de pasabajas ideal es no causal. Sin embargo, observe que siempre podemos hacer que el retardo t0 sea lo suficientemente grande para que se satisfaga la condición

( )0sinc 2 1 para 0B t t t − < ≪

Al hacer esto, es posible construir un filtro causal que aproxime un filtro de pasabajas ideal, y la aproximación mejora conforme se aumenta el retardo t0.

FIGURA 2.24 Respuesta al impulso del filtro ideal de pasabajas. RESPUESTA A UN PULSO DE FILTROS DE PASABAJAS IDEALES

Considérese un pulso rectangular x(t) de amplitud unitaria y duración T, el cual se aplica a un filtro de pasabajas ideal de ancho de banda B. El problema es determinar la respuesta y(t) del filtro.

La respuesta al impulso h(t) del filtro la define la Ec. (2.118). Claramente, el retardo t0 no tiene efecto sobre la forma de la respuesta del filtro y(t). Sin pérdida de generalidad, podemos entonces simplificar la exposición haciendo t0 = 0, en cuyo caso la respuesta al impulso de la Ec. (2.118) se reduce a

( )( ) 2 sinc 2h t B Bt= (2.119)

Con la entrada x(t) = 1 para −(T/2) ≤ t ≤ (T/2), la respuesta al impulso del filtro la da la integral de convolución:

( )[ ]

( )

( )

2

2

2

2

( ) ( ) ( )

2 sinc 2

sen 2

2

T

T

T

T

y t x h t d

B B t d

B tB d

B t

∞

−∞

−

−

= τ − τ τ

= − τ τ

− τ = τ

π − τ ⌠⌡

∫

∫ (2.120)


Defina una nueva variable adimensional

2 ( )B tλ = π − τ

Entonces, cambiando la variable de integración de τ a λ, la Ec. (2.120) se puede reescribir como

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 2

0 0

1 sen( )

1 sen sen

1 Si 2 2 Si 2 2

B t T

B t T

B t T B t T

y t d

d d

B t T B t T

π +

π −

π + π −

λ = λ

π λ

λ λ = λ − λ

π λ λ

= π + − π − π

∫

∫ ∫ (2.121)

En la Ec. (2.121) se introdujo una nueva expresión denominada la integral seno, la cual se define por

0

senSi( )

u xu dx

x= ∫ (2.122)

Desafortunadamente, la integral seno Si(u) no puede ser evaluada en forma cerrada en términos de funciones elementales. Sin embargo, puede ser integrada en una serie de potencias, que, a su vez, conduce a la gráfica dibujada en la Fig. 2.25. A partir de esta figura, se hacen tres observaciones:

1. La integral seno Si(u) es una función oscilatoria de u; tiene simetría impar en torno al origen u = 0.

2. Tiene sus máximos y mínimos en múltiplos de π.

3. Tiende al valor límite (π/2) para valores positivos grandes de u.

En la Fig. 2.25 vemos que la integral seno Si(u) oscila con una frecuencia de 1/2π. En forma correspondiente, la respuesta del filtro y(t) también oscilará con una frecuencia igual a la frecuencia de corte (esto es, el ancho de banda) B del filtro de pasabajas, como se indica en la Fig. 2.26. El valor máximo de Si(u) ocurre en máxu = π y es igual a

( )1.8519 1.1792π

= ×

FIGURA 2.25 La integral seno Si(u).


Tiempo t

FIGURA 2.26 Respuesta de un filtro de pasabajas ideal a un pulso cuadrado.

Se puede demostrar que la respuesta del filtro y(t) tiene máximos y mínimos en

máx1

2 2T

tB

= ± ±

con

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

máx1

Si Si 2

1 Si Si 2

y t BT

BT

= π − π − ππ

= π + π − ππ

donde, en la segunda línea, se usó la propiedad de simetría impar de la integral seno. Sea

( ) ( )Si 2 12

BTπ

π − π = ± ∆

donde ∆ es el valor absoluto de la desviación en el valor de ( )Si 2 BTπ − π expresado como una fracción del valor final +π/2. Por tanto, reconociendo que

( ) ( ) ( )Si 1.179 2π = π

se puede redefinir ( )máxy t como

( ) ( )máx1

1.179 12

1 1.09

2

y t = + ± ∆

≈ ± ∆ (2.123)

Para un producto tiempo-ancho de banda BT >> 1, la desviación fraccional ∆ tiene un valor muy pequeño, en cuyo caso podemos hacer dos observaciones importantes a partir de la Ec. (2.123):

1. El porcentaje de sobrepaso en la respuesta del filtro es aproximadamente 9 por ciento.

2. El sobrepaso es prácticamente independiente del ancho de banda del filtro B.

El fenómeno básico que sirve de soporte a estas dos observaciones se denomina el fenómeno de Gibbs. La Fig. 2.26 muestra la naturaleza oscilatoria de la respuesta del filtro y el 9 por ciento de sobrepaso que caracteriza la respuesta, suponiendo que BT >> 1.


La Fig. 2.27 muestra la respuesta del filtro para cuatro productos tiempo-ancho de banda: BT = 5, 10, 20 y 100, suponiendo que la duración del pulso T es 1 segundo. La Tabla 2.1 muestra las frecuencias correspondientes de oscilación y los porcentajes de sobrepasos para estos productos, confirmando así las observaciones 1 y 2.

TABLA 2.1 Frecuencia de Oscilación y Porcentaje de Sobrepaso para Producto Tiempo-Ancho de Banda Variable

BT Frecuencia de Oscilación Porcentaje de Sobrepaso

5 5 Hz 9.11

10 10 Hz 8.98

20 20 Hz 8.99

100 100 Hz 9.63

Tiempo t (s)(a)

Tiempo t (s)(b)

y(t

)y

(t)

FIGURA 2.27 Respuesta de pulso de un filtro ideal de pasabajas para una duración del pulso de T = 1 s y producto tiempo-ancho de banda (BT) variable. (a) BT = 5, BT = 10.


Tiempo t (s)(c)

Tiempo t (s)(d)

y(t)

y(t

)

FIGURA 2.27 (continuación) (C) BT = 20. (d) BT = 100.

La Fig. 2.28 muestra la respuesta del filtro a señales periódicas cuadradas de frecuencias fundamentales diferentes: f0 = 0.1, 0.25, 0.5 y 1 Hz y con el ancho de banda del filtro de pasabajas con un valor fijo en B = 1 Hz. De la Fig. 2.28 podemos extraer las observaciones siguientes:

Para f0 0.1 Hz, en correspondencia con un producto tiempo-ancho de banda BT = 5, el filtro distorsiona en algo el pulso cuadrado de la entrada, pero la forma de la entrada todavía es evidente en la salida del filtro. A diferencia de la entrada, la salida del filtro tiene tiempos de elevación y caída diferentes de cero y que son proporcionales al ancho de banda del filtro. También, la salida exhibe oscilaciones tanto en los bordes delanteros como en los traseros.

Conforme aumenta la frecuencia fundamental f0 de la señal cuadrada de la entrada, el filtro de pasabajas elimina más de las componentes de frecuencias más altas de la entrada. Por tanto, cuando f0 = 0.25 Hz, correspondiente a BT = 2, sólo la frecuencia fundamental y la componentes de la primera armónica pasan por el filtro; los tiempos de elevación y caída de la salida son ahora significativos en comparación con la duración T del pulso de la entrada. Cuando f0 = 0.5 Hz, correspondiente a BT = 1, sólo se preserva la


componente de la frecuencia fundamental de la onda cuadrada de la entrada, lo que resulta en una salida que es esencialmente sinusoidal.

Cuando la frecuencia fundamental de la onda cuadrada de la entrada es incrementada todavía más hasta el valor alto de f0 = 1 Hz, lo que corresponde a un producto tiempo-ancho de banda de BT = 0.5, la componentes de cd se convierte en la salida dominante y la forma de la onda cuadrada de la entrada es destruida completamente por el filtro.

A partir de estos resultados, se obtiene una conclusión importante: Cuando se usa un filtro ideal de pasabajas,

debemos utilizar un producto tiempo-ancho de banda BT ≥ 1 para asegurar que la señal en la entrada del filtro se pueda reconocer a partir de la salida resultante. Un valor de BT mayor que la unidad tiende a reducir el tiempo de elevación y también el tiempo de caída de la respuesta al pulso del filtro.

Tiempo t (s)(a)

Tiempo t (s)(b)

y(t)

y(t

)

FIGURA 2.28 Respuesta del filtro ideal de pasabajas a una señal cuadrada de frecuencia variable f0. (a) f0 = 0.1 Hz. (b) f0 = 0.25 Hz.


Tiempo t (s)(c)

Tiempo t (s)(d)

y(t)

y(t)

FIGURA 2.28 (continuación) (c) f0 = 0.5 Hz. (d) f0 = 1 Hz.

APROXIMACIÓN DE FILTROS IDEALES DE PASABAJAS

Un filtro puede caracterizarse mediante la especificación de su respuesta al impulso h(t) o, equivalentemente, por su función de transferencia ( )H f . Sin embargo, la aplicación de un filtro normalmente involucra la separación de señales con base en sus espectros (esto es, sus contenidos de frecuencia). Esto, a su vez, significa que el diseño de filtro usualmente se realiza en el dominio de la frecuencia. Hay dos pasos básicos en el diseño de un filtro:

1. La aproximación de una respuesta de frecuencia prescrita (esto es, la respuesta de amplitud, respuesta de fase o ambas) mediante una función de transferencia realizable.

2. La realización de la función de transferencia de aproximación mediante un dispositivo físico.

Para que una función de transferencia de aproximación ( )H f sea físicamente realizable, ella debe representar un sistema estable. La estabilidad se define aquí con base en el criterio de entrada acotada-salida acotada descrita en la Ec. (2.100) que envuelve la respuesta al impulso h(t). Para especificar la condición correspondiente para la estabilidad en términos de la función de transferencia, el enfoque tradicional es reemplazar j2πf con s y redefinir la función de transferencia en términos de s. La nueva variable s ahora puede tener una parte real y también una


parte imaginaria. En consecuencia, nos referimos a s como la frecuencia compleja. Denote por ( )H s′ la función de transferencia del sistema, definido en la forma que se acaba de describir. Ordinariamente, la función de transferencia de la aproximación ( )H s′ es una función racional, la cual puede por tanto expresarse en la forma factorizada

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2

1 2

1 2

( ) ( )

j f s

m

n

H s H f

s z s z s zK

s p s p s p

π =′ =

− − −=

− − −

⋯

⋯

donde K es un factor de escala; z1, z2, … , zm se denominan los ceros de la función de transferencia y p1, p2, … pn se denominan sus polos. Para una función de transferencia de pasabajas, el número de cero, m, es menor que el número de polos, n. Si el sistema es causal, entonces la condición de entrada acotada-salida acotada para estabilidad se satisface si todos los polos de la función de transferencia ( )H s′ se restringen a estar en el lado izquierdo del plano s; esto es equivalente a la condición

[ ]( )Re 0 para toda ip i<

Observe que la condición para estabilidad involucra sólo los polos de la función de transferencia ( )H s′ ; los ceros pueden estar en cualquier parte del plano. Se pueden diferenciar dos tipos de sistemas, dependiendo de las ubicaciones de los m ceros en el plano s:

Sistemas de fase mínima, caracterizados por una función de transferencia cuyos polos y ceros están todos restringidos al lado izquierdo del plano s.

Sistemas de fase no mínima, cuyas funciones de transferencia pueden tener ceros en el eje imaginario y también en el lado derecho del plano s.

Los sistemas de fase mínima se distinguen por la propiedad de que la respuesta de fase de esta clase de sistemas lineales invariables en el tiempo está relacionada en forma única con la respuesta de ganancia.

En el caso de filtros de pasabajas, donde el requerimiento principal es la aproximación de la respuesta de amplitud ideal mostrada en la Fig. 2.23, podemos mencionar dos familias populares de filtros: los filtros

Butterworth y los filtros Chebyshev, los cuales tienen todos sus ceros en s = ∞. En un filtro Butterworh, los polos de la función de transferencia ( )H s′ están en un círculo cuyo centro está en el origen y su radio es 2πB, donde B es el ancho de banda de 3 dB del filtro. Por otra parte, en un filtro Chebyshev los polos están en una elipse. En ambos casos, por supuesto, los polos están confinados al lado izquierdo del plano s.

Considerando a continuación el tema de la realización física de un filtro, vemos que hay dos opciones básicas para esta hacer esta realización, una analógica y la otra digital:

Filtros analógicos, construidos usando (a) inductores y capacitores o (b) capacitores, resistores y amplificadores operacionales. La ventaja de los filtros analógicos es la sencillez de su implementación.

Filtros digitales, para los cuales las señales son muestreadas en el tiempo y sus amplitudes cuantizadas. Estos filtros se construyen utilizando hardware digital; de aquí su nombre. Una característica importante de un filtro digital es que es programable, ofreciendo así un alto grado de flexibilidad en el diseño. En efecto, se tiene un intercambio de complejidad por flexibilidad.

2.8 Correlación y Densidad Espectral: Señales de Energía En esta sección, continuamos con la caracterización de señales y sistemas considerando la clase de señales de energía y por tanto concentrándonos en la noción de energía. La caracterización de señales y sistemas se completa en la Sección 2.9, donde se considera la otra clase de señales, las señales de potencia. En particular, aquí se introduce un nuevo parámetro denominado densidad espectral, la cual se define como el cuadrado del espectro de amplitud de la señal de interés. Resulta que la densidad espectral es la transformada de Fourier de la función de correlación, la cual se introdujo por primera vez bajo la Propiedad 13 en la Sección 2.2.


FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

Considérese una señal de energía x(t) que, con el objetivo de generalizar, se supone de valores complejos. Siguiendo el material presentado bajo el teorema de correlación (Propiedad 13) en la Sección 2.2, definimos formalmente la función de autocorrelación de la señal de energía x(t) para un retraso τ como

( ) * ( )xR x t x t dt∞

−∞

= − τ∫ (2.124)

De acuerdo con esta fórmula, la función de autocorrelación Rx(τ) proporciona una medida de la semejanza entre la señal x(t) y su versión retardada x(t − τ), es decir, lo bien que la señal x(t) se adapta a una copia de sí misma cuando la copia es desplazada τ unidades en el tiempo. Como tal, se puede medir usando el arreglo mostrado en la Fig. 4.29. El retardo τ juega el papel de una variable de escaneo o de búsqueda. Observe que Rx(τ) es de valores complejos si x(t) es de valores complejos.

Retardo ajustable τ

Conjugación compleja

Integrador

FIGURA 2.29 Esquema para medir la función de autocorrelación Rx(τ) de una señal de energía x(t) para un retardo τ.

De la Ec. (2.124) se ve rápidamente que el valor de la función de autocorrelación Rx(τ) para τ = 0 es igual a la energía de la señal x(t); es decir,

2(0) ( )xR x t dt∞

−∞= ∫

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA

El teorema de la energía de Rayleigh, estudiado bajo la Propiedad 14 en la Sección 2.2, es importante porque no sólo proporciona un método útil para evaluar la energía de una señal de pulso, sino que también resalta el cuadrado del espectro de amplitud de la energía de la señal medida en el dominio de la frecuencia. A la luz de este teorema, formalmente se define la densidad espectral de energía o espectro de la densidad de energía de una señal de energía x(t) como

2

( ) ( )x f X fΨ = (2.125)

donde ( )X f es el espectro de amplitud de x(t). Claramente, la densidad espectral de energía Ψx(f) es una

cantidad real no negativa para toda f, aunque la señal x(t) puede ser ella misma de valores complejos. RELACIONES DE WIENER – KHINTCHINE PARA SEÑALES DE ENERGÍA

Refiriéndonos al teorema de correlación descrito en la Ec. (2.53), sea 1 2( ) ( ) ( )g t g t x t= = , donde x(t) es una señal de energía y por tanto tiene transformada de Fourier. Bajo esta condición, el lado izquierdo resultante de la Ec. (2.53) define la función de autocorrelación Rx(τ) de la señal x(t). Como corresponde, en el dominio de frecuencia, tenemos que 1 2( ) ( ) ( )G f G f X f= = , en cuyo caso el lado derecho de la Ec. (2.53) define la densidad espectral de

energía Ψx(f). Sobre esta base, podemos entonces afirmar que dada una señal de energía x(t), la función de

autocorrelación Rx(τ) y la densidad espectral de energía ψx(f) forman un par de transformadas de Fourier. Específicamente, tenemos el par de relaciones:

( )( ) ( )exp 2x xf R j f d∞

−∞

Ψ = τ − π τ τ∫ (2.126)


y

( )( ) ( )exp 2x xR f j f df∞

−∞

τ = Ψ π τ∫ (2.127)

Observe, sin embargo, que la transformación de Fourier en la Ec. (2.126) se realiza con respecto al retraso ajustable τ. El par de ecuaciones (2.126) y (2.127) constituyen las relaciones de Wiener – Khintchine para señales de energía.

De las Ecs. (2.126) y (2.127) se deducen rápidamente las dos propiedades siguientes:

1. Haciendo f = 0 en la Ec. (2.126), tenemos que

( ) (0)x xR d∞

−∞

τ τ = Ψ∫

la cual afirma que el área total bajo la curva de la función de autocorrelación de valores complejos de una señal de

energía de valores complejos es igual a la densidad espectral de energía Ψx(0) de valores reales a la frecuencia cero.

2. Si se hace τ = 0 en la Ec. (2.127), se tiene que

( ) (0)x xf df R∞

−∞

Ψ =∫

la cual establece que el área total bajo la curva de la densidad espectral de energía de valores reales de una señal de energía es igual a la energía total de la señal. Este segundo resultado es simplemente otra forma de enunciar el teorema de la energía de Rayleigh.

EJEMPLO 2.13 Función de Autocorrelación del Pulso Sinc

Del Ejemplo 2.4, la transformada del pulso sinc

( )( ) sinc 2x t A W t=

es dada por

( ) rect2 2

fAX f

W W

=

Puesto que la función rectangular ( )rect 2f W no es afectada cuando se eleva al cuadrado, la densidad

espectral de energía de x(t) es entonces

2

( ) rect2 2x

fAf

W W

Ψ =

Tomando la transformada de Fourier inversa de ( )x fψ , se encuentra que la función de autocorrelación del pulso

sinc ( )sinc 2A Wt es dada por

( )2

( ) sinc 22x

AR Wt

Wτ = (2.128)

la cual tiene una forma de onda semejante que el propio pulso sinc, graficada como una función del retardo τ. Este ejemplo nos enseña que algunas veces es más fácil usar un procedimiento indirecto basado en la densidad espectral de energía para determinar la función de autocorrelación se una señal de energía en lugar de usar la fórmula para la función de autocorrelación. EFECTO DEL FILTRADO SOBRE LA DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA

Supóngase ahora que la señal de energía x(t) se pasa a través de un sistema lineal invariable en el tiempo de función de transferencia ( )H f , y se produce la señal de salida y(t) como se ilustra en la Fig. 2.20(a). Entonces, de acuerdo con la Ec. (2.109), la transformada de Fourier de la salida y(t) está relacionada con la transformada de Fourier de la entrada x(t) como


( ) ( ) ( )Y f H f X f=

Elevando al cuadrado la amplitud de ambos lados de esta ecuación, se obtiene rápidamente que

2

( ) ( ) ( )y xf H f fΨ = Ψ (2.129)

donde, por definición, 2

( ) ( )x f X fΨ = y 2

( ) ( )xy f Y fΨ = . La Ec. (2.129) establece que cuando se transmite una

señal de energía a través de un filtro lineal e invariable en el tiempo, la densidad espectral de energía de la salida resultante es igual a la densidad espectral de energía de la entrada multiplicada por el cuadrado de la respuesta de amplitud del filtro. La sencillez de esta afirmación refuerza la importancia de la densidad espectral como un parámetro para caracterizar la distribución de la energía de una señal transformable en el sentido de Fourier en el dominio de la frecuencia.

Adicionalmente, con base en las ecuaciones de Wiener – Khintchine (2.126) y (2.127) y la relación de la Ec. (2.129), podemos describir un método indirecto para evaluar el efecto del filtrado lineal e invariante en el tiempo sobre la función de autocorrelación de una señal de energía:

1. Determine la transformada de Fourier de x(t) y h(t) para obtener ( )X f y ( )H f , respectivamente.

2. Use la Ec. (2.129) para determinar la densidad espectral de energía ( )y fΨ de la salida y(t).

3. Determine ( )yR τ mediante la aplicación de la transformada de Fourier inversa a ( )y fΨ , obtenida en el

punto 2. EJEMPLO 2.14 Energía de una Versión Filtrada a Pasabajas de un Pulso Rectangular

Se pasa un pulso rectangular de amplitud unitaria y duración unitaria a través de un filtro ideal de pasabajas de ancho de banda B, como se ilustra en la Fig. 2.30(a). La parte (b) de la figura muestra la forma de onda del pulso rectangular. La respuesta de amplitud del filtro se define por [véase la Fig. 2.30(c)]

1, ( )

0, otros valores de

B f BH f

f

− ≤ ≤=

Entrada

x(t)Salida

y(t)Filtro ideal de

pasabajas

FIGURA 2.30 (a) Filtrado de pasabajas ideal. (b) Entrada al filtro. (c) Respuesta de amplitud del filtro.


El pulso rectangular que constituye la entrada al filtro tiene energía unitaria. Se desea evaluar el efecto de variar el ancho de banda B sobre la energía de la salida del filtro.

Comenzamos con el par de transformadas de Fourier

( )rect( ) sinct f

que representa la versión normalizada del par de transformadas de Fourier dado en la Ec. (2.10). Por tanto, con la entrada al filtro definida por

( )( ) rectx t t= su transformada de Fourier es igual a

( ) ( )sincX f f=

Por tanto, la densidad espectral de energía de la entrada del filtro es igual a

( )

2

2

( ) ( )

sincx f X f

f

Ψ =

= (2.130)

Esta densidad espectral de energía normalizada se grafica en la Fig. 2.31.

Frecuencia normalizada, f

FIGURA 2.31 Densidad espectral de energía de la entrada al filtro x(t); en la figura sólo se muestran los valores para frecuencias positivas.

Para evaluar la densidad espectral de energía ( )y tΨ de la salida del filtro y(t), usamos la Ec. (2.129), y se

obtiene

2( ) ( ) ( )

( ),

0, otros valores de

y x

x

f H f f

f B f B

f

ψ = ψ

ψ − ≤ ≤=

(2.131)

Por tanto, la energía de la salida del filtro es

2

0 0

( ) ( )

2 ( ) 2 sinc ( )

B

y y yB

B B

x

E f df f df

f df f df

∞

−∞ −

= Ψ = Ψ

= Ψ =

∫ ∫

∫ ∫ (2.132)


Como la entrada del filtro tiene energía unitaria, también podemos considerar el resultado dado en la Ec. (2.132) como la razón entre la energía de la salida del filtro y la de la entrada al filtro para el caso general de un pulso rectangular de amplitud arbitraria y duración arbitraria, procesado por un filtro ideal de pasabajas de ancho de banda B. En consecuencia, en general podemos escribir

( )2

0

Energía de la salida del filtroEnergía de la entrada del filtro

2 sincB

f df

ρ =

= ∫ (2.133)

De acuerdo con la Fig. 2.30(b), el pulso rectangular aplicado a la entrada del filtro tiene duración unitaria; por tanto, la variable f en la Ec. (2.133) representa una frecuencia normalizada. La Ec. (2.133) se grafica en la Fig. 2.32. Esta figura muestra que justo por encima del 90 por ciento de la energía total de un pulso rectangular está dentro del lóbulo espectral principal de este pulso.

Ancho de banda normalizado del filtro de pasabajas

En

ergí

a d

e sa

lid

a

En

ergí

a d

e en

trad

a

FIGURA 2.32 Relación energía de salida-a-energía de entrada versus ancho de banda normalizado.

INTERPRETACIÓN DE LA DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA

La Ec. (2.129) es importante puesto que no sólo relaciona la densidad espectral de energía de salida de un sistema lineal invariable en el tiempo con la densidad espectral de la energía de entrada, sino que también proporciona una base para la interpretación física del concepto mismos de la densidad espectral de energía. Para ser específicos, considérese el arreglo mostrado en la Fig. 2.33(a), en donde una señal de energía x(t) se pasa a través de un filtro de banda angosta seguido por una medidor de energía. La Fig. 2.33(b) muestra la respuesta de amplitud idealizada del filtro. Esto es, el filtro es uno de pasabanda cuya respuesta de amplitud está definida por

1,

( ) 2 20, otros valores de

c c

f ff f f

H f

f

∆ ∆− ≤ ≤ +

=

(2.134)

Suponemos que el ancho de banda ∆f del filtro es lo suficientemente pequeño para que la respuesta de amplitud de la señal de entrada x(t) sea esencialmente plana en el intervalo de frecuencias cubierto por la pasabanda del filtro. En consecuencia, podemos expresar el espectro de amplitud de la salida del filtro mediante la fórmula aproximada

( ) , ( ) ( ) ( ) 2 2

0, otros valores de

c c c

f fX f f f f

Y f H f X f

f

∆ ∆− ≤ ≤ +

= =

(2.135)


Filtro de banda angosta H(f)

Medidor de energía

Entrada x(t)

Energía de salida

Ey

Salida del filtro

y(t)

FIGURA 2.33 (a) Diagrama de bloques de sistema para medir la densidad espectral de energía. (b) Respuesta de amplitud idealizada del filtro. (c) Densidad espectral de energía de la salida del filtro.

De forma correspondiente, la densidad espectral de energía ( )y fΨ de la salida del filtro y(t) está

aproximadamente relacionada con la densidad espectral de energía ( )x fΨ de la entrada del filtro x(t) en la forma siguiente:

( ) , ( ) 2 2

0, otros valores de

x c c cy

f ff f f f

f

f

∆ ∆Ψ − ≤ ≤ +

Ψ =

(2.136)

Esta relación se ilustra en la Fig. 2.33(c), la cual muestra que solamente las componentes de frecuencia de la señal x(t) que están dentro la angosta pasabanda del filtro de pasabanda ideal llegan a la salida. Por el teorema de la energía de Rayleigh, la energía de la salida del filtro y(t) es dada por

0

( )

2 ( )

y y

y

E f df

f df

∞

−∞

∞

= Ψ

= Ψ

∫∫

En vista de la Ec. (2.136), podemos aproximar Ey como

( )2y x cE f f= Ψ ∆ (2.137)


El factor de multiplicación 2 cubre las contribuciones de las componentes de frecuencias tanto negativas como positivas. La Ec. (2.137) se puede reescribir en la forma

( )2

y

x c

Ef

fΨ ≈

∆ (2.138)

La Ec. (2.138) establece que la densidad espectral de energía de la entrada del filtro en alguna frecuencia fc es igual a la energía de la salida del filtro dividida por 2∆f, donde ∆f es el ancho de banda del filtro centrada en fc. Por tanto, la densidad espectral de energía de una señal de energía para cualquier frecuencia f se puede interpretar como la energía por unidad de ancho de banda, la cual es contribuida por las componentes de frecuencia de la señal alrededor de la frecuencia f.

Por tanto, el arreglo mostrado en el diagrama de bloques de la Fig. 2.33(a) proporciona la base para medir la densidad espectral de energía de una señal de energía. Específicamente, utilizando un filtro de pasabanda variable para escanear la banda de frecuencia de interés y determinando la energía de la salida del filtro para cada ajuste de la frecuencia de media banda del filtro, se obtiene una gráfica de la densidad espectral de energía versus frecuencia. Sin embargo, observe que para que se cumpla la fórmula de la Ec. (2.138) y por tanto, para que funcione el arreglo de la Fig. 2.33(a), el ancho de banda ∆f debe permanecer fijo para fc variable. CORRELACIÓN CRUZADA DE SEÑALES DE ENERGÍA

La función de autocorrelación proporciona una medida de la semejanza entre una señal y su propia versión retardada. En una forma similar, la función de correlación cruzada se puede usar como una medida de la semejanza entre una señal y la versión retardada de una segunda señal. Denote por x(t) y y(t) un par de señales de valores complejos. La función de correlación cruzada de este par de señales se define por

( ) ( ) * ( )xyR x t y t dt∞

−∞

τ = − τ∫ (2.139)

Vemos que si las dos señales x(t) y y(t) son algo semejantes, entonces la función de correlación cruzada Rxy(τ) será finita en algún intervalo de τ, dando así una medida cuantitativa de la semejanza, o coherencia, entre ellas. Se dice que las señales de energía x(t) y y(t) son ortogonales en todo el intervalo de tiempo si Rxy(0) es cero; esto es, si

( ) * ( ) 0x t y t dt∞

−∞

=∫ (2.140)

La Ec. (2.139) define un valor posible para la función de correlación cruzada para un valor específica de la variable de retardo τ. Se puede definir una segunda función de autocorrelación para las señales de energía x(t) y y(t) como

( ) ( ) * ( )yxR y t x t dt∞

−∞

τ = − τ∫ (2.141)

A partir de las definiciones de las funciones de correlación cruzada ( )xyR τ y ( )yxR τ que se acaban de dar, se

obtiene la relación fundamental

( ) ( )xy yxR R∗τ = −τ (2.142)

La Ec. (2.142) indica que, a diferencia de la convolución, la correlación no es en general conmutativa; esto es, ( ) ( )xy yxR Rτ ≠ τ .

Para caracterizar el comportamiento de la correlación cruzada de señales de energía en el dominio de la frecuencia, se introduce la noción de densidad espectral cruzada. Específicamente, dado un par de señales de energía de valores complejos x(t) y y(t), definimos sus densidades espectrales cruzadas, denotadas por ( )xy fΨ y

( )yx fΨ , como las respectivas transformadas de Fourier de las funciones de correlación cruzada ( )xyR τ y ( )yxR τ ,

como muestran las relaciones


( )( ) ( )exp 2xy xyf R j f d∞

−∞

Ψ = τ − π τ τ∫ (2.143)

y

( )( ) ( )exp 2yx yxf R j f d∞

−∞

Ψ = τ − π τ τ∫ (2.144)

De acuerdo con el teorema de correlación (esto es, Propiedad 13 de la Sección 2.2), tenemos entonces que

( ) ( ) * ( )xy f X f Y fΨ = (2.145)

y

( ) ( ) * ( )yx f Y f X fΨ = (2.146)

A partir de estas dos relaciones, vemos rápidamente dos propiedades de la densidad espectral cruzada:

1. A diferencia de la densidad espectral de energía, la densidad espectral cruzada es, en general, de valores complejos.

2. ( ) ( )xy yxf f∗Ψ = Ψ , de donde se deduce que, en general, ( ) ( )xy yxf fΨ ≠ Ψ

Problema de Ejercicio 2.15 Deduzca la relación de la Ec. (2.142) entre dos funciones de correlación cruzada

( )xyR τ y ( )yxR τ ,

Problema de Ejercicio 2.16 Considere el pulso exponencial decreciente

( )exp , 0

( ) 1, 0

0, 0

at t

g t t

t

− >

= = <

Determine la densidad espectral de energía del pulso g(t).

Problema de Ejercicio 2.17 Repita el Problema 2.16 para el pulso exponencial doble

( )

( )

exp , 0

( ) 1, 0

exp , 0

at t

g t t

at t

− >

= = <

2.9 Densidad Espectral de Potencia En esta sección se expande la importante noción de densidad espectral para incluir la clase de señales de potencia. La potencia promedio de una señal x(t) se define por

21

lím ( )2

T

T T

P x t dtT→ ∞ −

= ∫ (2.147)

Se dice que la señal x(t) es una señal de potencia si se cumple la condición

P < ∞

Ejemplos de señales de potencia incluyen las señales periódicas y el ruido. En esta sección se consideran las señales periódicas (el ruido se estudia en el Capítulo 8).

Para desarrollar una distribución de potencia en el dominio de la frecuencia, se necesita conocer la transformada de Fourier de la señal x(t). Sin embargo, esto puede presentar un problema, debido a que las señales de potencia tienen infinita energía y por tanto pueden no tener transformadas de Fourier. Para superar el problema, considere una versión truncada de la señal x(t). En particular, definimos


( ) ( )rect2

( ),

0, otros valores de

T

tx t x t

T

x t T t T

t

=

− ≤ ≤=

(2.148)

Siempre y cuando la duración T sea finita, la señal truncada xT(t) tiene energía finita; por tanto, xT(t) tiene transformada de Fourier. Sea ( )TX f la transformada de Fourier de xT(t); esto es,

( ) ( )T Tx t X f

Usando la señal truncada xT(t), podemos reescribir la Ec. (2.147) para la potencia promedio P en términos de xT(t) como

21

lím ( )2 T

TP x t dt

T

∞

→ ∞ −∞

= ∫ (2.149)

Como xT(t) tiene energía finita, podemos usar el teorema de la energía de Rayleigh para expresar la energía de xT(t) en términos de su transformada de Fourier como

2 2( ) ( )T Tx t dt X f df

∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫

donde ( )TX f es el espectro de amplitud de xT(t). Por consiguiente, podemos reescribir la Ec. (2.149) en la

forma equivalente

21

lím ( )2 T

TP X f df

T

∞

→ ∞ −∞

= ∫ (2.150)

Conforme aumenta la duración, también aumenta la energía de xT(t). De forma correspondiente, la densidad

espectral de energía 2

( )TX f se incrementa con T. En efecto, a medida que T tiende a infinito, también lo hará 2

( )TX f . Sin embargo, para que la potencia promedio P sea finita, 2

( )TX f debe tender a infinito como el

mismo ritmo que T. Este requerimiento asegura la convergencia de la integral en el lado derecho de la Ec. (2.150) en el límite conforme T tiende a infinito. La convergencia, a su vez, permite intercambiar el orden en el cual se realizan las operaciones de límite e integración en la Ec. (2.150). Podemos entonces reescribir esta ecuación como

21lím ( )

2TP X f df

T

∞

→ ∞−∞

=

∫ (2.151)

Denote el integrando en la Ec. (2.151) por

"1

( ) lím ( )2x

TS f X f

T→ ∞= (2.152)

La función dependiente de la frecuencia ( )xS f se denomina la densidad espectral de potencia o espectro de potencia

de la señal de potencia x(t), y la cantidad ( )2( ) 2TX f T se denomina el períodograma de la señal.

De la Ec. (2.152) vemos rápidamente que la densidad espectral de potencia es una cantidad de valores reales no negativa para todas las frecuencias. Además, también vemos que

( )xP S f df∞

−∞

= ∫ (2.153)

La Ec. (2.153) establece: el área total bajo la curva de la densidad espectral de potencia de una señal de potencia es igual a la potencia promedio de esa señal. Por tanto, la densidad espectral de potencia de una señal de potencia juega un papel semejante al de la densidad espectral de energía de una señal de energía. Problema de Ejercicio 2.18 En un sentido implícito, la Ec. (2.153) incluye el teorema de la potencia de Parseval,

el cual establece que para una señal periódica x(t) se tiene


( )2 22

02

1( )

T

Tn

x t dt X nfT

∞

−=−∞

=∑∫

donde T es el periodo de la señal, f0 es la frecuencia fundamental y ( )0X nf es la transformada de Fourier de

x(t) evaluada en la frecuencia nf0. Demuestre este teorema.

EJEMPLO 2.15 Onda Modulada

Considere la onda modulada

( )( ) ( )cos 2 cx t g t f t= π (2.154)

donde g(t) es una señal de potencia que está limitada en banda a B hertz. A x(t) se le refiere como una “onda modulada” en el sentido de que la amplitud de la “portadora” sinusoidal de frecuencia fc es variada linealmente con la señal g(t). El tema de modulación se cubre en detalle en el Capítulo 3. Se desea encontrar la densidad espectral de potencia de x(t) en términos de la de g(t), dado que la frecuencia fc es mayor que el ancho de banda B.

Sea gT(t) la versión truncada de g(t), definida en una forma similar a la descrita en la Ec. (2.148). Entonces, podemos expresar la versión truncada de x(t) como

( )( ) ( )cos 2T T cx t g t f t= π (2.155)

Como

( ) ( ) ( )1

cos 2 exp 2 exp 22c c cf t j f j f π = π + − π (2.156)

se deduce de la propiedad de desplazamiento en frecuencia (es decir, la Propiedad 6) de la transformada de Fourier que

( ) ( )1

( )2T T c T cX f G f f G f f = − + + (2.157)

donde ( )TG f es la transformada de Fourier de gT(t).

Dado que fc > B, se encuentra que ( )T cG f f− y ( )T cG f f+ representan espectros que no se solapan; por tanto,

su producto es cero. En consecuencia, si se usa la Ec. (2.157) para evaluar el cuadrado de la amplitud de ( )TX f , se obtiene

( ) ( )2 22 1

( )4T T c T cX f G f f G f f = − + + (2.158)

Finalmente, aplicando la definición de la Ec. (2.152) para la densidad espectral de potencia de la señal de potencia g(t) a la Ec. (2.158), obtenemos el resultado deseado:

( ) ( )1

( )4x g c g cS f S f f S f f = − + + (2.159)

Excepto por el factor de escala de 1/4, la densidad espectral de potencia de la onda modulada x(t) es igual a la suma de la

densidad espectral de potencia ( )gS f desplazada hacia la derecha por fc y la ( )gS f desplazada hacia la izquierda por la

misma cantidad fc.


PROBLEMAS ADICIONALES

2.19 (a) Halle la transformada de Fourier del pulso de semicoseno mostrado en la Fig. 2.40(a).

FIGURA 2.40

(b) Aplique la propiedad de desplazamiento en el tiempo al resultado obtenido en la parte (a) para evaluar el espectro del pulso semiseco mostrado en la Fig. 2.40(b).

(c) ¿Cuál es el espectro de un pulso semiseco que tiene una duración igual a aT?

(d) ¿Cuál es el espectro del pulso semiseno negativo mostrado en la Fig. 2.40(c)?

(e) Halle el espectro del pulso seno mostrado en la Fig. 2.40(d).

2.20 Cualquier función g(t) puede dividirse sin ambigüedad en una parte par y una parte impar, como muestra la relación

( ) ( ) ( )p ig t g t g t= +

La parte para se define por

[ ]1

( ) ( ) ( )2pg t g t g t= + −

y la parte impar se define por

[ ]1

( ) ( ) ( )2ig t g t g t= − −

(a) Evalúe las partes par e impar de un pulso rectangular definido por

1 1( ) rect

2g t A

T

= −

(b) ¿Cuáles son las transformadas de Fourier de estas dos partes del pulso?

2.21 La siguiente expresión puede considerarse como una representación aproximada de un pulso con tiempo de elevación finito:

2

2

1( ) exp

t T

t T

ug t du

+

−

π= −

τ τ ⌠⌡


donde se supone que T >> τ. Determine la transformada de Fourier de g(t). ¿Qué le sucede a la transformada cuando se permite que τ se haga cero?

2.22 La transformada de Fourier de una señal g(t) se denota por ( )G f . Demuestre las siguientes propiedades de la transformada de Fourier:

(a) Si una señal real g(t) es una función par del tiempo t, la transformada de Fourier ( )G f es puramente

real. Si la señal real g(t) es una función impar del tiempo t, la transformada de Fourier ( )G f es puramente imaginaria.

(b) ( ) ( )1

( ) 2

n

n nt g t G f

π , donde ( ) ( )nG f es la n-ésima derivada de ( )G f con respecto a f.

(c) ( ) ( )( ) 02

n

n njt g t dt G

∞

−∞

=

π ∫

(d) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t dt G f G f df∞ ∞

∗ ∗

−∞ −∞

=∫ ∫

2.23 La transformada de Fourier ( )G f de una señal g(t) está acotada por las tres desigualdades siguientes:

(a) ( ) ( )G f g t dt∞

−∞

≤ ∫

(b) ( )

2 ( )dg t

j f G f dtdt

∞

−∞

π ≤⌠⌡

(c) ( )2

2

2

( )2 ( )

d g tj f G f dt

dt

∞

−∞

π ≤⌠⌡

Se supone que las derivadas primera y segunda de g(t) existen. Construya estos tres límites (cotas) para el pulso triangular mostrado en la Fig. 2.41 y compare sus resultados con el espectro de amplitud real del pulso.

FIGURA 2.41

2.24 Considere la convolución de dos señales g1(t) y g2(t). Demuestre que

(a) [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )d d

g t g t g t g tdt dt

∗ = ∗

(b) [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )t t

g g d g d g t−∞ −∞

τ ∗ τ τ = τ τ ∗ ∫ ∫

2.25 Una señal x(t) de energía finita se aplica a un dispositivo de ley cuadrática cuya salida y(t) es definida por

2( ) ( )y t x t=

El espectro de x(t) está limitado al intervalo de frecuencias −W ≤ f ≤ W. Por tanto, demuestre que el espectro de y(t) está limitado a −2W ≤ f ≤ 2W. Sugerencia: Exprese y(t) como x(t) multiplicada por sí misma.

2.26 Evalúe la transformada de Fourier de la función delta considerándola como la forma límite de (a) un pulso rectangular de área unitaria, y (b) un pulso sinc de área unitaria.

2.27 La transformada de Fourier ( )G f de una señal g(t) está definida por


1, 01

( ) , 020, 0

f

G f f

f

>

= =

<

Determine la señal g(t).

2.28 Considere una función de tipo pulso g(t) que consiste de un pequeño número de segmentos de líneas rectas. Supóngase que esta función se diferencia dos veces con respecto al tiempo t de manera de generar una secuencia de funciones delta ponderadas, como muestra la relación

( )2

2

( )i i

i

d g tk t t

dt= δ −∑

donde los coeficientes ki están relacionados con las pendientes de los segmentos de líneas rectas.

(a) Dados los valores de ki y ti, demuestre que la transformada de Fourier de g(t) es dada por

( )2 2

1( ) exp 2

4 i i

i

G f k j ftf

= − − ππ ∑

(b) Utilice este procedimiento para demostrar que la transformada de Fourier del pulso trapezoidal mostrado en la Fig. 2.42 es dada por

( )( ) ( )2 2( ) sen senb a b a

b a

AG f f t t f t t

f t t= π − π + π −

FIGURA 2.42

2.29 Un pulso rectangular de amplitud A y duración 2ta puede considerarse como el caso límite del pulso trapezoidal mostrado en l Fig. 2.42 conforme tb tiende a ta.

(a) Utilice el resultado dado en la parte (b) del Problema 2.28 y demuestre que conforme tb tiende a ta, este resultado se aproxima a una función sinc.

(b) Haga coincidir el resultado deducido en la parte (a) con el par de transformadas de Fourier de la Ec, (2.10).

2.30 Sean x(t) y y(t) las señales de entrada y salida de un filtro lineal e invariable en el tiempo. Utilice el teorema de la energía de Rayleigh para demostrar que si el filtro es estable y la señal de entrada x(t) tiene energía finita, entonces la señal de salida y(t) también tiene energía finita. Esto es, si

2( )x t dt

∞

−∞

< ∞∫

entonces

2( )y t dt

∞

−∞

< ∞∫

2.31 (a) Determine la respuesta de amplitud global de la conexión en cascada mostrada en la Fig. 2.43 y la cual consiste de N etapas idénticas, cada una constante de tiempo RC igual a τ0.


(b) Demuestre que conforme N tiende a infinito, la respuesta de amplitud de la conexión en cascada tiende

a la función gaussiana 2 31exp

2f T

−

, donde para cada valor de N, la constante de tiempo τ0 se

selecciona de manera que se satisfaga la condición

220 24

T

Nτ =

π

Amplifi-cador de memoria



FIGURA 2.43

2.32 Supóngase que, para una señal x(t) dada, se requiere el valor integrado de la señal en un intervalo T, es decir, se requiere

( ) ( )t

t T

y t x d−

= τ τ∫

(a) Demuestre que y(t) se puede obtener al transmitir la señal x(t) a través de un filtro con la función de transferencia dada por

( ) ( )( ) sinc expH f T fT j fT= − π

(b) Se obtiene una aproximación adecuada a esta función de transferencia si se usa un filtro de pasabajas con un ancho de banda igual a i/T, respuesta de amplitud T en la pasabanda y retardo T/2. Suponiendo que este filtro de pasabajas es ideal, determine la salida en el instante t = T debida a una función escalón unitario aplicada al filtro en t = 0 y compare el resultado con la salida correspondiente del integrador ideal. Observe que ( )Si 1.85π = y ( )Si 2∞ = π .

2.33 Demuestre que los dos pulso diferentes definidos en las partes (a) y (b) de la Fig. 2.44 tienen la misma densidad espectral de energía:

( )

( )

2 2 2

22 2 2

4 cos( )

4 1g

A T Tff

T f

πΨ =

π −

FIGURA 2.44

2.34 Determine y dibuje las funciones de autocorrelación de los pulsos exponenciales siguientes

(a) ( )( ) exp ( )g t at u t= −

(b) ( )( ) expg t at= −

(c) ( ) ( )( ) exp ( ) exp ( )g t at u t at u t= − − −

donde u(t) es la función escalón unitario y u(−t) es la versión con su tiempo invertido..

2.35 Determine y dibuje la función de autocorrelación de un pulso gaussiano definido por


2

20 0

1( ) exp

tg t

t t

π= −

2.36 La transformada de Fourier de una señal se define por sinc( )f . Demuestre que la función de autocorrelación de esta señal es de forma triangular.

2.37 Especifique dos señales de tipo pulso diferentes que tengan exactamente la misma función de autocorrelación.

2.38 Considere una señal sinusoidal g(t) definida por

( ) ( )0 1 1 1 2 2 2( ) cos 2 cos 2g t A A f t A f t= + π + θ + π + θ

(a) Determine la función de autocorrelación Rg(τ) de esta señal.

(b) ¿Cuál es el valor de Rg(0)?

(c) ¿Se ha perdido alguna información acerca de g(t) al obtener la función de autocorrelación? Explique.

2.39 Determine la función de autocorrelación del pulso triplete mostrado en la Fig. 2.45.

FIGURA 2.45

2.40 Sea ( )G f la transformada de Fourier de una señal de energía g(t) de valores reales y sea Rg(τ) su función de autocorrelación. Demuestre que

42 2( )

4 ( )gdRd f G f df

d

∞ ∞

−∞−∞

τ τ = π

τ ⌠⌡ ∫

2.41 Determine la función de correlación cruzada R12(τ) del pulso rectangular g1(t) y del pulso triplete g2(t) mostrado en la Fig. 2.46 y dibújelas. ¿Qué es R12(τ)? ¿Son estas dos señales ortogonales entre sí? ¿Por qué?

FIGURA 2.46

2.42 Considere dos señales de energía g1(t) y g2(t). Estas dos señales son retardadas por cantidades iguales a t0 y t1 segundos, respectivamente. Demuestre que los retardos son aditivos cuando se convoluciona el par de señales retardadas, en tanto que son sustractivos al obtener su correlación cruzada.

2.43 (a) Una señal de energía x(t), su transformada de Fourier ( )X f , su función de autocorrelación Rx(τ) y su

densidad espectral de energía ( )x fΨ están todas relacionadas, directa o indirectamente. Construya un diagrama de flujo que muestre todas las posibles relaciones directas entre ellas.

(b) Si se da la descripción ( )X f en el dominio de la frecuencia, la función de autocorrelación Rx(τ) puede

calcularse a partir de ( )X f . Indique dos formas en las cuales se puede realizar este cálculo.


2.44 Halle la función de autocorrelación de una señal de potencia g(t) cuya densidad espectral de potencia se muestra en la Fig. 2.47. ¿Cuál es el valor de esta función de autocorrelación en el origen?

FIGURA 2.47

2.45 Considere la onda cuadrada g(t) mostrada en la Fig. 2.48. Halle la densidad espectral de potencia, la potencia promedio y la función de autocorrelación de esta onda cuadrada. ¿Tiene la onda una potencia de cd? Explique su respuesta.

t (segundos)

FIGURA 2.48

2.46 Considere dos señales periódicas gp1(t) y gp2(t) que tienen las siguientes representaciones en serie de Fourier compleja:

1 1,0

2( ) expp n

n

j ntg t c

T

∞

=−∞

π =

∑

y

2 2 ,0

2( ) expp n

n

j ntg t c

T

∞

=−∞

π =

∑

Las dos señales tienen un periodo común igual a T0.

Usando la siguiente definición de correlación cruzada para un par de señales periódicas,

0

0

2

12 1 220

1( ) ( ) ( )

T

o pT

R g t g t dtT

∗

−

τ = − τ∫

demuestre que el par prescrito de señales periódicas satisface el par de transformadas de Fourier

12 1, 2 ,0

( ) n n

n

nR c c f

T

∞

∗

=−∞

τ δ −

∑

2.47 Una señal periódica gp(t) de periodo T0 se representa mediante la serie de Fourier compleja

( )0( ) exp 2p n

n

g t c j nt T∞

=−∞

= π∑

donde los cn son los coeficientes de Fourier complejos. La función de autocorrelación de gp(t) se define por

0

0

2

20

1( ) ( ) ( )

p

T

g p pT

R g t g t dT

∗

−

τ = − τ τ∫

(a) Considere la onda sinusoidal


( )( ) cos 2p cg t A f t= π + θ

Determine la función de autocorrelación ( )pgR τ y grafique su forma de onda.

(b) Demuestre que 2(0) 2pgR A= .

2.48 Repita las partes (a) y (b) del Problema 2.47 para la onda cuadrada

0 0, ( ) 4 4

0, para el resto del periodop

T TA t

g t

− ≤ ≤

=

2.49 Determine la densidad espectral de potencia de (a) la onda sinusoidal del Problema 2.47 y (n) la onda cuadrada del Problema 2.48.

PROBLEMAS AVANZADOS

2.51 (a) El ancho de banda raíz cuadrada de la media al cuadrado (rms) de una señal de pasabajas g(t) de energía finita se define por

1 222

rms2

( )

( )

f G f dfW

G f df

∞

−∞

∞

−∞

=

∫∫

donde 2

( )G f es la densidad espectral de energía de la señal. Como corresponde, duración rms de la

señal se define por

1 222

rms2

( )

( )

t g t dtT

g t dt

∞

−∞

∞

−∞

=

∫∫

Usando estas definiciones, demuestre que

rms rms

14

T W ≤π

Suponga que ( ) 0g t → más rápido que 1 t conforme .

(b) Considere un pulso gaussiano definido por

( )2( ) expg t t= −π

Demuestre que, para esta señal se puede lograr la igualdad

rms rms

14

T W =π

Sugerencia: Use la desigualdad de Schwarz

22 2

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )g t g t g t g dt g t dt g t dt∞ ∞ ∞

∗ ∗

−∞ −∞ −∞

+ ≤ ∫ ∫ ∫

en la cual se toma

1( ) ( )g t tg t=


y

2

( )( )

dg tg t

dt=

2.52 La transformada de Hilbert de una señal g(t) que posee transformada de Fourier se define por

( )1ˆ( )g

g t dt

∞

−∞

τ= τ

π − τ∫

y la correspondiente transformada de Hilbert inversa se define por

ˆ( )1( )

gg t d

t

∞

−∞

τ= − τ

π − τ∫

Usando estas dos fórmulas, deduzca el siguiente conjunto de pares de transformadas de Hilbert:

g(t) ˆ( )g t

sen t

t

1 cos t

t

−

rect( )t 1 1 1ln

2 2t t

− − + π

( )tδ 1tπ

2

11 t+

21

t

t+

2.53 Evalúe la transformada de Fourier inversa g(t) de la función de frecuencia unilateral

( )exp , 0

1( ) , 0

20. 0

f f

G f f

f

− >

= = <

Por tanto, demuestre que g(t) es compleja y que sus partes real e imaginaria constituyen un par de transformadas de Hilbert.

2.54 Un transformador de Hilbert puede considerarse como un dispositivo cuya función de transferencia exhibe las siguientes características:

(a) La respuesta de amplitud es igual a la unidad para todas las frecuencias positivas y negativas.

(b) La respuesta de fase es +90° para frecuencias negativas y −90° para frecuencias positivas. Comenzando con la definición de la transformada de Hilbert dada en el Problema 2.52, demuestre la descripción en el dominio de la frecuencia incluida en las partes (a) y (b).

(c) ¿Es la transformada de Hilbert físicamente realizable? Justifique su respuesta.

CAPÍTULO 3

Modulación de Amplitud La Modulación se define como el proceso mediante el cual se varía alguna característica de una onda portadora de acuerdo con una señal portadora de información. Se necesita la portadora para facilitar el transporte de la señal modulada por una canal de pasabanda desde el transmisor hasta el receptor. Una portadora de uso común es una onda sinusoidal, cuya fuente es físicamente independiente de la fuente de la señal portadora de información. Cuando esta señal es de un tipo analógico, hablamos de modulación de onda continua, un término que subraya la continuidad de la onda modulada como una función del tiempo.

En el contexto de las comunicaciones, una motivación primaria para la modulación es facilitar la transmisión de la señal portadora de información por un canal de comunicación (por ejemplo, un canal de radio) con una pasabanda prescrita. En la modulación de onda continua, esto se hace posible mediante la variación de la amplitud o el ángulo de la onda portadora sinusoidal. Sobre esta base, podemos clasificar la modulación de onda continua en dos amplias familias: modulación de amplitud y modulación angular. Estas dos familias de modulación se diferencian por ofrecer características espectrales completamente diferentes y por tanto beneficios prácticos diferentes. La clasificación se hace con base en si se varía, por un lado, la amplitud de la onda portadora sinusoidal o, por otro lado, la fase o la frecuencia (y por tanto el ángulo) de la onda portadora sinusoidal, de acuerdo con la señal portadora de información. La familia de modulación de amplitud se estudia en este capítulo, seguida por el estudio de la modulación angular en el capítulo siguiente.

En el Capitulo 1 se identificó la complejidad del sistema y los dos recursos primarios de la comunicación – a saber, la potencia transmitida y el ancho de banda – como los problemas principales involucrados en el diseño de un sistema de comunicación. Con estos problemas en mente, en este capítulo estudiaremos cuatro estrategias de modulación lineal que constituyen la familia de la modulación de amplitud:

Modulación de amplitud (AM)

Modulación de banda lateral doble con portadora suprimida (DSB-SC)

Modulación de banda lateral única (SSB)

Modulación de banda lateral residual (VSB)

Estos cuatro tipos de modulación difieren entre sí en virtud de sus características espectrales. Su estudio nos enseñará las lecciones siguientes:

Lección 1: El análisis de Fourier proporciona una herramienta matemática poderosa para desarrollar una buena comprensión tanto matemática como física de la caracterización espectral de las estrategias de modulación lineal.

Lección 2: La implementación de las comunicaciones analógicas es simplificada de manera significativa al usar AM, a costas de la potencia transmitida y del ancho de banda del canal.

Lección 3: La utilización de la potencia transmitida y del ancho de banda del canal se mejora a través de modificaciones bien definidas del contenido espectral de una onda modulada en amplitud a costas de una mayor complejidad del sistema.

Para resumir, podemos hacer la siguiente afirmación:

No hay nada gratis en el diseño de un sistema de comunicación: por cada ganancia que se hace, entonces

hay un precio que pagar.


76

3.1 Modulación de Amplitud

TEORÍA

Considérese una onda portadora sinusoidal c(t) definida por

( )( ) cos 2c cc t A f t= π (3.1)

donde Ac es la amplitud de la portadora y fc es la frecuencia portadora. La señal portadora de información o señal del mensaje se denota por m(t); los términos “señal portadora de información” y “señal del mensaje” se usan forma intercambiable en el texto. Para simplificar la exposición sin afectar los resultados obtenidos y las conclusiones alcanzadas, hemos supuesto que la fase de la portadora es cero en la Ec. (3.1). La modulación de amplitud (AM) se define formalmente como un proceso en el cual la amplitud de la onda portadora c(t) se varía en torno a un valor medio, de acuerdo con la señal del mensaje m(t). Una onda modulada en amplitud (AM) puede entonces describirse como una función del tiempo en la forma siguiente:

[ ] ( )( ) 1 ( ) cos 2c a cs t A k m t f t= + π (3.2)

donde ka es una constante denominada la sensibilidad de amplitud del modulador responsable por la generación de la señal modulada s(t). Típicamente, la amplitud de la portadora Ac y la señal del mensaje m(t) se miden en

voltios, en cuyo caso la sensibilidad ka se mide en 1voltio− . Observe que si la señal del mensaje m(t) se iguala a cero (se apaga), la portadora sinusoidal queda intacta.

La Fig. 3.1(a) muestra una señal de mensaje m(t), y las Figs. 3.1(b) y 3.1(c) muestran la onda AM s(t) correspondiente para dos valores de la sensibilidad de amplitud ka y una amplitud de portadora Ac = 1 voltio.

En la modulación de amplitud, la información perteneciente a la señal del mensaje m(t) reside solamente en la envolvente, la cual se define como la amplitud de la onda modulada s(t) – esto es, [ ]1 ( )c aA k m t+ . A partir de esta

expresión, se observa que la envolvente de s(t) tiene esencialmente la misma forma que la señal del mensaje m(t) siempre y cuando se satisfagan dos condiciones:

1. La amplitud de kam(t) es siempre menor que la unidad; es decir

( ) 1, para toda ak m t t< (3.3)

Esta condición se ilustra en la Fig. 3.1(b); ella asegura que la función 1 ( )ak m t+ sea siempre positiva, en cuyo caso se puede expresar la envolvente de la onda AM s(t) de la Ec. (3.2) simplemente como

[ ]1 ( )c aA k m t+ . Cuando la sensibilidad de amplitud ka del modulador es lo suficientemente grande para

hacer que ( ) 1ak m t > para cualquiera t, la onda portadora se convierte en sobdemodulada, lo que resulta

en inversiones de fase de la portadora siempre que el factor 1 ( )ak m t+ pasa por cero. La onda modulada exhibe entonces distorsión de envolvente, como en la Fig. 3.1(c). Por tanto, debe quedar claro que al evitar la sobremodulación, se mantiene una relación de uno a uno entre la envolvente de la onda AM y la onda moduladora para todo el tiempo. El valor máximo de kam(t) multiplicado por 100 se conoce como el porcentaje de modulación.

2. La frecuencia portadora fc es mucho mayor que la componente con la mayor frecuencia W de la señal del mensaje m(t); esto es

cf W≫ (3.4)

W se conoce como el ancho de banda del mensaje. Si no se satisface la condición de la Ec. (3.4), la envolvente no se puede visualizar (y por tanto detectar) satisfactoriamente .

Siempre que se satisfagan las condiciones de las Ecs. (3.3) y (3.4), se logra la demodulación de la señal AM utilizando un detector de envolvente, el cual se define como un dispositivo cuya salida traza la envolvente de la onda AM actuando como la señal de entrada. El proceso de detección e envolvente se estudia más adelante en esta sección.


77

Inversiones de fase

FIGURA 3.1 Ilustración del proceso de modulación de amplitud. (a) Señal del mensaje m(t)- (b) Onda AM para ( ) 1ak m t < para toda t. (c) Onda AM para

( ) 1ak m t > para alguna t.

El próximo tema para el estudio es la descripción en el dominio de la frecuencia de la AM. Sea ( ) ( )m t M f ,

donde la transformada de Fourier ( )M f se denomina el espectro del mensaje. A partir de la Ec. (3.2), se encuentra que la transformada de Fourier o espectro de la onda AM s(t) es dada por

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

c a cc c c c

A k AS f f f f f M f f M f f = δ − + δ + + − + + (3.5)

donde se usaron las relaciones:


78

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1cos 2 exp 2 exp 2

2exp 2

c c c

c c

f t j f t j f t

j f t f f

π = π + − π

π δ −

y ( ) ( )( )exp 2 c cm t j f t M f fπ −

Siguiendo la terminología introducida en el Cap. 2, la ( )fδ en la Ec. (3.5) denota la función delta de Dirac en el dominio de la frecuencia.

Supóngase que la señal del mensaje m(t) está limitada en banda al intervalo W f W− ≤ ≤ , como en la Fig. 3.2(a). La forma del espectro mostrada en esta figura es sólo con el propósito de ilustración. De la Ec. (3.5) se encuentra que el espectro ( )S f de la onda AM es como se muestra en la Fg. 3.2(b) para el caso cuando cf W> .

Este espectro consiste de dos funciones delta ponderadas por el factor A/2 y que ocurren en cf± y dos versiones

del espectro del mensaje también en cf± y escaladas en amplitud por 2a ck A . A partir del espectro de la Fig. 3.2(b), se pueden hacer tres observaciones importantes:

1. Como un resultado del proceso de modulación, el espectro de la señal del mensaje m(t) para frecuencias negativas que se extiende desde −W hasta 0 se vuelve completamente visible para frecuencias positivas (esto es, medibles), siempre y cuando la frecuencia portadora satisfaga la condición cf W> ; es aquí donde está la importancia de la idea de frecuencias “negativas”, lo que se recalcó en el Capítulo 2.

2. Para frecuencias positivas, la porción del espectro de una onda AM que está sobre la frecuencia portadora fc recibe el nombre de banda lateral superior, en tanto la parte simétrica por debajo de fc se conoce como la banda lateral inferior. La condición cf W> asegura que las bandas laterales no se solapan. Adicionalmente, con la banda lateral superior, la banda lateral inferior y la portadora representadas totalmente en el espectro de la Fig. 3.2(b), a la onda modulada se le refiere como una AM.

Banda lateral superior

Banda lateral inferior

FIGURA 3.2 (a) Espectro de la señal del mensaje. (b) Espectro de la onda AM s(t).

3. Para frecuencias positivas, la componente con frecuencia más alta de la onda AM es igual a cf W+ y la

componente con frecuencia más baja es igual a cf W− . La diferencia entre estas dos frecuencias define el


79

ancho de banda de transmisión BT de la onda AM, el cual es exactamente igual al doble del ancho de banda del mensaje W; es decir,

2TB W= (3.6) EJEMPLO 3.1 Modulación de un Solo Tono

Considérese una onda moduladora m(t) que consiste de un solo tono o componente de frecuencia; esto es,

( )( ) cos 2m mm t A f t= π

donde Am es la amplitud de la onda moduladora y fm es su frecuencia (véase la Fig. 3.3(a)). Por tanto, la onda AM correspondiente es dada por

( ) ( )( ) 1 cos 2 cos 2c m cs t A f t f t = + µ π π (3.7)

donde

a mk Aµ =

La constante adimensional µ se conoce como el factor de modulación, o el porcentaje de modulación cuando se expresa numéricamente como un porcentaje. Para evitar distorsión de envolvente debida a la sobremodulación, el factor de modulación µ debe mantenerse por debajo de la unidad, como se explicó previamente.

La Fig. 3.3(c) muestra un dibujo de s(t) para µ menor que uno. Sean Amáx y Amín los valores máximo y mínimo de la envolvente de la onda moduladora respectivamente. Entonces, de la Ec. (3.7) se obtiene

( )( )11

cmáx

mín c

AAA A

+ µ=

− µ

Reacomodando esta ecuación, el factor de modulación se puede expresar como

máx mín

máx mín

A AA A

−µ =

+

frecuenciatiempo

FIGURA 3.3 Ilustración de las características en el dominio del tiempo (en la izquierda) y en el dominio de la frecuencia (en la derecha) de la modulación de amplitud producida por un solo tono. (a) Señal moduladora. (b) Onda portadora. (c) Onda AM.


80

Si se expresa el producto de los dos cosenos en la Ec. (3.7) como la suma de dos ondas sinusoidales, una con frecuencia c mf f+ y la otra con frecuencia c mf f− , se obtiene

( ) ( ) ( )1 1

( ) cos 2 cos 2 cos 22 2c c c c m c c ms t A f t A f f t A f f t = π + µ π + + µ π −

Por tanto, la transformada de Fourier de s(t) es

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1( )

21

41

4

c c c

c c m c m

c c m c m

S f A f f f f

A f f f f f f

A f f f f f f

= δ − + δ +

+ µ δ − − + δ + +

+ µ δ − + + δ + −

De modo que el espectro de una onda AM, para el caso especial de modulación sinusoidal, consiste de funciones delta en , c c mf f f± ± y c mf f− ± , como se muestra en la Fig. 3.3(c).

En la práctica, la onda AM s(t) es una onda de voltaje o de corriente. En cualquier caso, la potencia promedio entregada a un resistor de 1 Ω por s(t) está compuesta por tres componentes:

2

2 2

2 2

1 Potencia de la portadora

21

Potencia de la banda lateral superior81

Potencia de la banda lateral inferior8

c

c

c

A

A

A

=

= µ

= µ

Para un resistor de carga R diferente de 1 ohmio, lo que es el caso usual en la práctica, las expresiones para la potencia de la portadora y las de las bandas lateral superior y lateral inferior se escalan simplemente por el factor 1/R o R, dependiente de si la onda modulada s(t) es un voltaje o una corriente, respectivamente. En cualquier caso, la razón entre la potencia total en las bandas laterales y la potencia total en la onda modulada es

igual a ( )2 22µ + µ , la cual depende solamente del factor de modulación µ. Si µ = 1, es decir, se usa 100 por ciento de modulación, la potencia total en las dos frecuencias laterales de la onda AM resultante es sólo un tercio de la potencia total en la onda modulada.

La Fig. 3.4 muestra el porcentaje de la potencia total en ambas bandas laterales y en la portadora graficadas versus el porcentaje de modulación. Observe que cuando el porcentaje de modulación es menor que 20 por ciento, la potencia en una banda lateral es menor que un 1 por ciento de la potencia total en la onda AM.

Porc

enta

je d

e la

pot

enci

a to

tal t

rans

mit

ida

Portadora

Bandas laterales

Porcentaje de modulación

FIGURA 3.4 Variaciones de la potencia de la portadora y de la potencia total en las bandas laterales con el porcentaje de modulación en la modulación de amplitud.


81

EXPERIMENTO DE COMPUTADORA: AM

Para el experimento AM, se estudiará la modulación sinusoidal con base en los parámetros siguientes:

Amplitud de la portadora, Ac = 1

Frecuencia de portadora, fc = 0.4 Hz

Frecuencia de modulación, fm = 0.05 Hz

Se desea mostrar y analizar 10 ciclos completos de la onda modulada correspondiente a una duración total de 200 segundos. Para realizar el experimento en una computadora digital, la onda modulada es muestreada con la tasa de fs = 10 Hz, y se obtiene un total de 200 2 000sf× = Hz puntos de datos. La banda de frecuencias ocupada

por la onda modulada es 5 Hz 5 Hzf− ≤ ≤ . Puesto que la separación entre la frecuencia de la portadora y cualquiera de las bandas laterales es igual a la frecuencia de modulación fm = 0.05 Hz, nos gustaría tener una resolución de frecuencia fr = 0.005 Hz. Para lograr esta resolución, se recomienda que el número de muestras en frecuencia satisfaga la condición:

102 000

0.005s

r

fM

f≥ = =

Por tanto, se escoge M = 2000. Para aproximar la transformada de Fourier de la onda modulada, usamos un algoritmo de 2000 puntos de la FFT.

El único parámetro variable en experimento AM completo es el factor de modulación µ, con respecto al cual se investigan tres situaciones diferentes:

µ = 0.5, lo que corresponden a submodulación

µ = 1.0, lo que corresponde a 100 por ciento de modulación

µ = 2.0, lo que corresponde a sobremodulación.

Los resultados de las investigaciones se muestran en las Figs. 3.5 a 3.7, cuyos detalles se describen a continuación.

1. Factor de modulación µ = 0.5

La Fig. 3.5(a) muestra 10 ciclos de la onda AM, correspondientes a µ = 0.5. Se ve claramente que la envolvente de la onda modulada sigue fielmente a la onda moduladora sinusoidal. Esto significa que podemos usar un detector de envolvente para la demodulación.

La Fig. 3.5(b) muestra el espectro de magnitud de la onda modulada. En la Fig. 3.5(c) hemos aumentado la figura de la onda modulada alrededor de la frecuencia portadora. Las dos figuras muestran claramente las relaciones exactas entre las dos frecuencias laterales y la portadora, en concordancia con la teoría de la modulación de amplitud, como se resume aquí:

La frecuencia lateral inferior, la portadora y la frecuencia lateral superior están ubicadas en ( ) 0.35c mf f− = ± Hz, 0.4cf = ± Hz y ( ) 0.45c mf f+ = ± Hz.

La amplitud de ambas frecuencias laterales es ( )2 0.25µ = veces la amplitud de la portadora.

2. Factor de Modulación µ =1.0

La Fig. 3.6(a) muestra 10 ciclos de la onda modulada como los mismos parámetros que en la Fig. 3.5(a), excepto por el hecho de que µ =1.0. Esta nueva figura muestra que la onda modulada está ahora al borde de la sobremodulación.

El espectro de magnitud de la onda modulada se muestra en la Fig. 3.6(b) y versión aumentada alrededor de la frecuencia portadora se muestra en la Fig. 3.6(c). Una vez más, aquí se ve que la estructura básica del espectro de amplitud de la onda modulada está en coincidencia perfecta con la teoría de la mdulación.


82

Dominio del Tiempo

Dominio de Frecuencia

Dominio de Frecuencia

Am

plit

ud

Frecuencia (Hz)

Frecuencia (Hz)

Tiempo (s)

FIGURA 3.5 Modulación de amplitud con 50 por ciento de modulación: (a) onda AM, (b) espectro de magnitud de la onda AM y (c) espectro expandido en torno a la frecuencia portadora.

3. Factor de Modulación µ = 2.0

La Fig. 3.7(a) demuestra el efecto de la sobremodulación usando un factor de modulación de µ = 2.0. Aquí se ve no hay una relación clara entre la envolvente de la onda sobdemodulada y la onda moduladora sinusoidal. Como se esperaba, el resultado implica que el detector de envolvente no funcionara para

2.0µ = .

No obstante, el contenido espectral de la onda sobre modulada que se muestra en las Figs. 3.7(b) y 3.7(c) sigue exactamente lo que predice la teoría de la modulación de amplitud. Problema de Ejercicio 3.1 Para una modulación de 100 por ciento, ¿es posible que la envolvente de la AM se

haga cerro en algún instante t? Justifique su respuesta.


83

Am

plit

ud

Dominio del tiempo

Dominio de la frecuencia

Tiempo (s)

Frecuencia (Hz)

Frecuencia (Hz)


FIGURA 3.6 Modulación de amplitud con 100 por ciento de modulación: (a) Onda AM, (b) espectro de magnitud de la onda AM y (c) espectro expandido alrededor de la frecuencia portadora.

Problema de Ejercicio 3.2 Para un caso particular de la AM usando una onda moduladora sinusoidal, el

porcentaje de modulación es 20 por ciento. Calcule la potencia promedio en (a) la portadora y (b) cada frecuencia lateral.

Problema de Ejercicio 3.3 En la AM, se dice que ocurre solapamiento espectral si la banda lateral inferior para frecuencias positivas se solapa con su imagen para frecuencias negativas. ¿Qué condición debe cumplir la onda modulada para evitar el solapamiento espectral? Suponga que la señal del mensaje m(t) es de un tipo de pasabajas con ancho de banda W.

Problema de Ejercicio 3.4 Una modulador de ley cuadrado para generar una onda AM se base en el uso de un dispositivo no lineal (por ejemplo, un diodo); La Fig. 3.8 ilustra la forma más sencilla de este tipo de modulador. Ignorando términos de orden superior, la característica de entrada-salida de la combinación diodo-resistor de carga en esta figura se representa por la ley cuadrática:


84

Am

plit

ud

Dominio del tiempo


Tiempo (s)

Frecuencia (Hz)

Frecuencia (Hz)


FIGURA 3.7 Modulación de amplitud con 200 por ciento de modulación: (a) Onda AM, (b) espectro de magnitud de la onda AM y (c) espectro expandido alrededor de la frecuencia portadora.

22 1 1 2 1( ) ( ) ( )v t a v t a v t= +

donde

( )1( ) cos 2 ( )c cv t A f t m t= π +

es la señal de entrada, v2(t) es la señal de salida que se desarrolla en el resistor de carga y a1 y a2 son constantes.

(a) Determine el contenido espectral de la señal de salida v2(t).

(b) Para extraer de v2(t) la onda AM deseada, se necesita un filtro de pasabanda (no mostrado en la Fig. 3.8). Determine las frecuencias de corte del filtro deseado, suponiendo que la señal del mensaje está limitada a la banda W f W− ≤ ≤ .


85

Diodo (Dispositivo no lineal)

Señal del mensajem(t)

Onda portadoraCarga

FIGURA 3.8 Circuito no lineal que usa un diodo.

(c) Para evitar distorsión espectral por la presencia de productos de modulación indeseados en v2(t), se debe satisfacer la condición y 3c cW f f W< ; verifique la validez de esta condición.

DETECCIÓN DE ENVOLVENTE

El modulador de ley cuadrada utilizado en el Problema 3.4 es testimonio de la sencillez de la implementación involucrada en la construcción de un transmisor AM. Esta sencillez de la AM es reforzada aún más cuando se considera la demodulación de una onda AM, lo cual es la inversa de la modulación. En particular, la demodulación de una onda AM puede lograrse mediante un circuito sencillo y altamente eficiente denominado el detector de envolvente, siempre y cuando se satisfagan dos condiciones prácticas:

1. La onda AM es de banda angosta, lo que significa que la frecuencia portadora es grande comparada con el ancho de banda del mensaje.

2. El porcentaje de modulación en la onda AM es menor que el 100 por ciento.

En la Fig. 3.9(a) se muestra un detector de envolvente del tipo en serie, el cual consiste de un diodo y de un filtro resistor-capacitor (RC). La operación de este detector de envolvente se describe a continuación. Durante un semiciclo positivo de la señal de entrada, el diodo está polarizado en directo y el capacitor C se carga rápidamente hasta el valor pico de la señal de entrada. Cuando la señal de entrada cae por debajo de este valor, el diodo se polariza inversamente y el capacitor C se descarga lentamente a través de la resistencia de carga R. El proceso de descarga continúa hasta el siguiente semiciclo positivo. Cuando la señal de entrada se vuelve más granda que el voltaje en el capacitor, el diodo conduce de nuevo y se repite el proceso. Se supone que el diodo es ideal y presenta una resistencia rf al flujo de corriente en la región de polarización directa y una resistencia infinita en la región de polarización inversa. Se supone además que la onda AM que se aplica al detector de envolvente es suministrada por una fuente de voltaje de impedancia interna Rs. La constante de tiempo de carga

( )f sr R C+ debe ser corta en comparación con el periodo de la portadora 1/fc – esto es,

( )1

f sc

r R Cf

+ ≪

de modo que el capacitor C se cargue rápidamente y puede así seguir el voltaje aplicado hasta el pico positivo cuando el diodo esté conduciendo. Por otra parte, la constante del tiempo de descarga RlC debe ser lo suficientemente larga para asegurar que el capacitor se descargue lentamente a través del resistor de carga Rl entre los picos positivos de la onda portadora, pero no tan larga para que el voltaje del capacitor no se descargue con la razón máxima de cambio de la onda moduladora – esto es,

1 1l

c

R Cf W≪ ≪

donde W es el ancho de banda del mensaje. El resultado es que el voltaje del capacitor o la salida del detector es casi la misma que la envolvente de la onda AM, como se demuestra a continuación.


86

Onda AM

Am

plit

ud

Tiempo (s)

Tiempo (s)

Salida

FIGURA 1.9 Detector de envolvente. (a) Diagrama de circuito. (b) Onda AM de entrada. (c) Salida del detector de envolvente.


87

EXPERIMENTO DE COMPUTADORA: DETECCIÓN DE ENVOLVENTE PARA AM SINUSOIDAL

Considérese la onda AM sinusoidal mostrada en la Fig. 3.9(b) y supóngase una modulación de 50 por ciento. La salida del detector de envolvente se muestra en la Fig. 3.9(c). Esta última forma de onda se calcula suponiendo que el diodo es ideal, tiene una resistencia constante rf cuando está polarizado directamente una resistencia infinita cuando está polarizado inversamente. Los valores numéricos usados en el cálculo de la Fig. 3.9(c) son los siguientes:

Resistencia de la fuente Rs = 75 Ω

Resistencia directa rf = 25 Ω

Resistencia de carga Rl = 10 kΩ

Capacitancia C = 0.01 µF

Ancho de banda del mensaje W = 1 kHz

Frecuencia de portadora fc = 20 kHz

Observe que la salida del detector de envolvente incluye un rizo de alta frecuencia; este rizo puede removerse utilizando un filtro de pasabajas (no mostrado en la Fig. 3.9(a)). 3.2 Virtudes, Limitaciones y Modificaciones de la Modulación de Amplitud La modulación de amplitud es el método más antiguo de realizar la modulación. Como ya se señaló en la Sección 3.1, su mayor virtud es la facilidad con la cual se genera y se invierte. El resultado neto es que un sistema de modulación de amplitud es relativamente barato de construir.

Sin embargo, recuerde que la potencia de transmisión y el ancho de banda son dos recursos primarios de la comunicación y deben utilizarse de forma eficiente. En este contexto, se encuentra que la modulación de amplitud definida en la Ec. (3.2) sufre de dos limitaciones importantes.

1. La modulación de amplitud desperdicia potencia transmitida. La onda portadora c(t) es completamente independiente de la señal portadora de la información m(t). Por tanto, la transmisión de la onda portadora representa una pérdida de potencia, lo cual significa que en la modulación de amplitud sólo una fracción de la potencia transmitida total es realmente afectada por m(t).

2. La modulación de amplitud desperdicia el ancho de banda del canal. Las bandas laterales superior e inferior de una onda AM están relacionadas en forma única entre sí en virtud de su simetría en torno a la frecuencia portadora; por tanto, dados los espectros de amplitud y de fase de cualquiera de las bandas laterales, la otra se puede determinar en forma única. Esto significa que, en lo que respecta a la transmisión de información, sólo es necesaria una banda lateral y por tanto el canal de comunicación solamente tiene que proporcionar un ancho de banda igual al de la señal del mensaje. A la luz de esta observación, la modulación de amplitud desperdicia ancho de banda del canal, puesto que requiere un ancho de banda de transmisión igual al doble del ancho de banda del mensaje.

Para superar estas dos limitaciones de la AM, debemos hacer ciertos cambios que resultan en un incremento de la complejidad del sistema del proceso de modulación de amplitud. En efecto, se intercambia complejidad del sistema por una mejor utilización de los recursos de comunicación. Comenzando con la modulación de amplitud, se pueden distinguir tres modificaciones de la modulación de amplitud.

1. Modulación de Banda Lateral Doble con Portadora Suprimida (DSB-SC, por sus siglas en inglés), en la cual la onda transmitida consiste de las bandas laterales únicamente. Aquí se ahorra potencia de transmisión a través de la supresión de la onda portadora, pero el requerimiento de ancho de banda del canal es el mismo que antes (es decir, el doble del ancho de banda del mensaje).

2. Modulación de Banda Lateral Única (SSB, por sus siglas en inglés), en la cual la onda modulada consiste solamente de la banda lateral superior o de la inferior. La función esencial de la modulación SSB es por tanto trasladar el espectro de la señal moduladora (con o sin inversión) a una nueva posición en el dominio de la frecuencia. La modulación de banda lateral única se adecua particularmente bien para la


88

transmisión de señales de voz en virtud de la brecha de energía que existe en el espectro de las señales de voz entre cero y algunos cientos de hertz. La SSB es la forma óptima de modulación de onda continua en que requiere la potencia transmitida mínima y un mínimo ancho de banda del canal; sus principales desventajas son la mayor complejidad y su aplicabilidad limitada.

3. Modulación de Banda Lateral Residual (VSB, por sus siglas en inglés), en la cual se pasa una banda lateral casi completamente y sólo se retiene un vestigio o residuo de la otra. El ancho de banda requerido del canal es por tanto ligeramente mayor que el ancho de banda del mensaje por una cantidad igual al ancho de la banda lateral residual. Esta forma de modulación se adapta bien para la transmisión de señales de banda ancha tales como señales de televisión, las cuales contienen componentes significativas en frecuencias extremadamente bajas. En la radiodifusión de la televisión comercial, se transmite una portadora considerable junto con la onda modulada, lo cual posibilita la demodulación de la señal moduladora entrante mediante un detector de envolvente y simplifica así el diseño del receptor.

En la Sección 3.3 se estudia la modulación DSB, seguida por análisis de las formas de modulación SSB y VSB en las secciones subsiguientes y en ese orden. 3.3 Modulación de Banda Lateral Doble con Portadora Suprimida TEORÍA

Básicamente, la modulación de banda lateral doble con portadora suprimida (DSB-SC) consiste del producto de la señal del mensaje m(t) y la onda portadora c(t), como muestra la ecuación

( )

( ) ( ) ( )

cos 2 ( )c c

s t c t m t

A f t m t

=

= π (3.8)

Por consiguiente, el dispositivo que se usa para generar la onda modulada DSB-SC se conoce como un modulador de producto. En la Ec. (3.8) también se observa que a diferencia de la modulación de amplitud, la modulación DSB-SC se reduce a cero siempre que se desconecta la señal del mensaje m(t).

Sin embargo, lo que más resalta es el hecho de que la señal modulada s(t) experimenta una inversión de fase siempre que la señal del mensaje m(t) cruza por cero, como se indica en la Fig. 3.10(b) para la señal del mensaje m(t) ilustrada en la parte (a) de la figura. La envolvente de una señal modulada DSB-SC es por tanto diferente de la señal del mensaje, lo que significa que una modulación sencilla usando una detección de envolvente no es una opción viable para la modulación DSB-SC.

A partir de la Ec. (3.8), se obtiene la transformada de Fourier de s(t) como

( ) ( )1

( )2 c c cS f A M f f M f f = − + + (3.9)

donde ( ) ( )m t M f . Para el caso cuando la señal del mensaje m(t) está limitada al intervalo W f W− ≤ ≤ ,

como en la Fig. 3.11(a), se encuentra que el espectro ( )S f de la onda DSB-SC s(t) es como se ilustra en la Fig. 3.11(b). Excepto por un cambio en el factor de escala, el proceso de modulación simplemente traslada el espectro de la señal del mensaje por fc hacia la derecha y por −fc hacia la izquierda. Por supuesto, el ancho de banda de transmisión que requiere la modulación DSB-SC es el mismo que el de la modulación de amplitud, a saber, 2W.

Para resumir, en lo que respecta a la ocupación del ancho de banda, la DSB-SC no ofrece ventajas sobre la AM. Su única ventaja está en el ahorro de potencia de transmisión, lo que es suficientemente importante cuando la potencia de transmisión disponible no es abundante. EJEMPLO 3.1 Espectro de la DSB-SC Sinusoidal

Considere una modulación DSB-SC que utiliza una onda moduladora sinusoidal de amplitud Am y frecuencia fm y que opera sobre una portadora de amplitud Ac y frecuencia fc. El espectro del mensaje es

( ) ( )1 1

( )2 2m m m mM f A f f A f f= δ − + δ +


89

Inversiones de fase

FIGURA 3.10 (a) Señal del mensaje m(t). (b) Onda modulada DSB-SC s(t).

FIGURA 3.11 (a) Espectro de la señal del mensaje m(t). (b) Espectro de la onda modulada DSB-SC s(t).


90

Recurriendo a la Ec. (3.9), el espectro desplazado ( )12 c cA M f f− define las dos frecuencias laterales para

frecuencias positivas:

( )( ) ( )( )1 1

; 4 4c m c m c m c mA A f f f A A f f fδ − + δ − −

El otro espectro lateral desplazado de la Ec. (3.9), a saber, ( )12 c cA M f f+ , define las otras dos frecuencias

laterales para frecuencias negativas:

( )( ) ( )( )1 1

; 4 4c m c m c m c mA A f f f A A f f fδ + + δ + −

que son las imágenes de las primeras dos frecuencias laterales con respecto al origen, en orden inverso. Problema de Ejercicio 3.5 Para la modulación DSB-SC sinusoidal considerada en el Ejemplo 3.2, ¿cuál es la

potencia promedio en la frecuencia lateral inferior o en la superior, expresada como un porcentaje de la potencia promedio en la onda modulada DSB-SC?

DETECCIÓN COHERENTE

Puesto que la envolvente de la onda modulada DSB-SC s(t) es diferente de la señal del mensaje s(t), tenemos que

encontrar algún medio para recuperar m(t) a partir de s(t). Con este objetivo, se reconoce que ( )2cos 2 cf tπ

contiene un término constante, como muestra la identidad trigonométrica

( ) ( )2 1 1cos cos 2

2 2θ = + θ

En vista de esta relación, de la Ec. (3.8) se observa que la recuperación de la señal del mensaje m(t) puede lograrse multiplicando primero a s(t) por una onda sinusoidal generada localmente y luego pasando el producto por un filtro de pasabajas. Se supone que la señal del oscilador local es exactamente coherente o está sincronizada, tanto en frecuencia como en fase, con la onda portadora c(t) usada en el modulador de producto para generar a s(t). Este método de demodulación se conoce como detección coherente o demodulación sincrónica.

Es instructivo deducir la detección coherente como un caso especial del proceso de demodulación más general que usa una señal de un oscilador local de la misma frecuencia pero con una diferencia de fase φ arbitraria, medida con respecto a la onda portadora c(t). Entonces, denotando la señal del oscilador local por

( )cos 2c cA f t′ π + φ y utilizando la Ec. (3.8) para la onda DSB-SC s(t), se encuentra que la salida del modulador de

producto en la Fig. 3.12 es

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) cos 2 ( )

cos 2 cos 2 ( )

1 1 cos 4 ( ) cos ( )

2 2

c c

c c c c

c c c c c

v t A t s t

A A t t m t

A A t m t A A m t

′= π + φ

′= π π + φ

′ ′= π + φ + φ (3.10)

donde se usó la identidad trigonométrica

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 21 1

cos cos cos cos2 2

θ θ = θ + θ + θ − θ

El primer término en la Ec. (3.10) representa una nueva señal modulada DSB-SC con frecuencia portadora 2fc, en tanto que el segundo término es proporcional a la señal del mensaje m(t). Esto se ilustra aún más mediante el espectro ( )V f mostrado en la Fig. 3.13, donde se supone que la señal del mensaje m(t) está limitada al intervalo

W f W− ≤ ≤ . Por tanto, es claro que el primer término en la Ec. (3.10) lo remueve el filtro de pasabajas en la Fig.

3.12, siempre y cuando la frecuencia de corte de este filtro se mayor que W pero menor que 2 cf W− . Esto se satisface si se escoge fc > W. En la salida del filtro se obtiene entonces una señal dada por


91

Onda modulada

s(t)

Modulador de producto

Filtro de pasabajas

Señal demodulada

Oscilador local

FIGURA 3.12 Diagrama de bloques de la detección coherente, suponiendo que el oscilador local tiene un desfase de φ con respecto al oscilador de la portadora sinusoidal en el transmisor.

1

( ) cos( ) ( )2o c cv t A A m t′= φ (3.11)

Por tanto, la señal demodulada vo(t) es proporcional a m(t) cuando el error de fase φ es una constante. La amplitud de esta señal demodulada es máxima cuando φ = 0 y es un mínimo cuando 2φ = ± π . El de la señal

demodulada, el cual ocurre para 2φ = ± π , representa el efecto nulo de cuadratura, que es una propiedad inherente

de la detección coherente. De modo que el error de fase φ en el oscilador local hace que la salida del detector sea atenuada por un factor igual a cos φ . Mientras el error de fase φ sea constante, la salida del detector proporciona una versión no distorsionada de la señal del mensaje m(t). Sin embargo, en la práctica usualmente se encuentra que el error de fase φ varía aleatoriamente con el tiempo, debido a variaciones aleatorias en el canal de comunicación. El resultado es que en la salida del detector, el factor de multiplicación cos φ también variaría aleatoriamente con el tiempo, lo cual es obviamente indeseable. Por tanto, se deben tomar previsiones para que el sistema mantenga la oscilador local en sincronismo, tanto en frecuencia como en fase, con la onda portadora usada para generar la señal modulada DSB-SC en el transmisor. La complejidad resultante en el sistema es el precio que debe pagarse por suprimir la onda portadora para ahorrar potencia transmitida.

FIGURA 3.13 Ilustración del espectro de la salida v(t) en el detector coherente de la Fig. 3.12, el cual se produce en respuesta a una onda modulada DSB-SC en la entrada del detector.

Problema de Ejercicio 3.6 La onda DSB-SC modulada sinusoidalmente del Ejemplo 3.2 se aplica a un

modulador de producto que usa una sinusoide generada localmente de amplitud unitaria y la cual está en sincronismo con la portadora usada en el modulador.

(a) Determine la salida del modulador de producto, denotada por v(t).

(b) Identifique los dos términos sinusoidales en v(t) que son producidos por la onda modulada DSB-SC para frecuencias positivas y los dos términos sinusoidales restantes producidos por la onda modulada DSB-SC para frecuencias negativas.

Problema de Ejercicio 3.7 El detector coherente para la demodulación de la DSB-SC no opera satisfactoriamente si el modulador experimenta solapamiento espectral. Explique la razón para esta falla.


92

Am

plit

ud



Frecuencia (Hz)

Tiempo (s)

Dominio del Tiempo

FIGURA 3.14 Modulación DSB-SC: (a) Onda modulada DSB-SC, (b) espectro de magnitud de la onda modulada, y (c) espectro expandido en torno de la frecuencia portadora.

EXPERIMENTO DE COMPUTADORA: DSB-SC

Para el estudio experimenta de la modulación DSB-SC, seguimos el mismo esquema descrito en la Sección 3.1, excepto por los cambios debido al uso de la DSB-SC en vez de la AM. Los resultados de los experimentos se describen bajo dos puntos:

1. La Fig. 3.14(a) muestra 10 ciclos de la onda modulada DSB-SC producida por la onda moduladora sinusoidal de frecuencia 0.05 HZ. Como se esperaba, la envolvente de la onda modulada no muestra una clara relación con la onda moduladora sinusoidal. Por consiguiente, debemos usar detección coherente para la demodulación, la cual se analiza bajo el punto 2.

La Fig. 3.14(b) muestra el espectro de magnitud de la onda modulada. En la Fig. 3.14(c) se muestra una vista expandida del espectro en torno a la frecuencia portadora de frecuencia 0.4 Hz. Estas dos figuras muestran


93

claramente que la portadora es efectivamente suprimida y que las frecuencias laterales superiores e inferiores están ubicadas exactamente donde deben estar, a saber, en ±0.45 y ±0.35 Hz, respectivamente.

2. Para realizar la detección coherente, procedemos en dos etapas: (i) se multiplica la onda modulada DSB-SC por una réplica exacta de la portadora, y (ii) el producto se pasa a través de un filtro de pasabajas, en la forma describa bajo detección coherente en esta sección. Con dos etapas operacionales involucradas en el proceso de detección coherente, los resultados de esta parte del experimento se presentan a continuación:

(i) La Fig. 3.15(a) muestra la forma de onda de la salida del modulador de producto en el detector coherente. El espectro de magnitud se muestra en la Fig. 3.15(b), la cual muestra rápidamente que la forma de onda consiste de las componentes siguientes:

Una componente sinusoidal con frecuencia 0.05 Hz, la cual representa la onda moduladora sinusoidal.

Una nueva onda modulada DSB-SC con doble frecuencia portadora de 0.8 Hz; en realidad, las dos frecuencias laterales de esta onda modulada están localizadas en 0.75 y 0.85 Hz, exactamente donde deben estar.

Tiempo (s)

Tiempo (s)

Frecuencia (Hz)

Frecuencia (Hz)

FIGURA 3.15 Detección coherente de la onda modulada DSB-SC: (a) Forma de onda de la señal producida en la salida del modulador de producto, (b) espectro de amplitud de la señal en la parte (a); (c) forma de onda de la salida del filtro de pasabajas; y (d) espectro de amplitud de la señal en la parte (c).


94

(ii) La Fig. 3.15(c) muestra la forma de onda de la salida completa del detector coherente, la cual resulta después de pasar la salida del modulador de producto a través del filtro de pasabajas. Excepto por los efectos transitorios experimentados anteriormente en el proceso de detección, se reconoce que la forma de onda es la onda moduladora sinusoidal deseada de frecuencia 0.05 Hz. Este resultado es confirmado aún más en el espectro de amplitud mostrado en la Fig. 3.15(d); el pedestal sobre el cual reposa la componente de la frecuencia de línea en 0.05 Hz se debe a los efectos transitorios que se acaban de describir.

3.4 Receptor de Costas La detección coherente de una onda modulada DSB-SC requiere que la portadora generada localmente en el receptor esté en sincronía tanto en frecuencia como en fase con el oscilador responsable de la generación de la portadora en el transmisor. Este es un requisito bastante exigente, sobretodo porque la portadora se suprime de la onda DSB-SC transmitida. Un método de satisfacer este requisito es usa el receptor de Costas mostrado en la Fig. 3.16. Este receptor consiste de dos detectores coherentes alimentados con la misma señal de entrada, a saber, la onda DSB-SC entrante ( )cos 2 ( )c cA f t m tπ , pero con dos señales del oscilador local que están en cuadratura de

fase entre ellas. La frecuencia del oscilador local se ajusta al mismo valor de la frecuencia portadora fc; se supone que se conoce a priori. Esta suposición es razonable ya que el diseñador del sistema tiene acceso a las especificaciones detalladas del transmisor y del receptor. El detector en la trayectoria superior se conoce como el detector coherente en fase o canal I, y el detector en la trayectoria inferior se conoce como el detector coherente en cuadratura de fase o canal Q. Estos dos detectores están acoplados para formar un sistema de realimentación negativa diseñado de forma tal que el oscilador local se mantenga en sincronía con la onda portadora.

Señal demodulada

Canal Q


Filtro de pasabajas


Filtro de pasabajas

Oscilador controlado por voltaje

Discriminador de fase

Despl. de fase de −90°

Onda DSB-SC

Canal I

FIGURA 3.16 Receptor de Costas para la demodulación de una onda modulada DSB-SC. Para entender la operación de este receptor, supóngase que la señal del oscilador local tiene la misma fase que la onda portadora ( )cos 2c cA f tπ utilizada para generar la onda DSB-SC entrante. Bajo estas condiciones, se

encuentra que la salida del canal I contiene la señal demodulada deseada m(t), en tanto que la salida del canal Q es cero debido al efecto nulo de cuadratura del canal Q. Supóngase ahora que la fase del oscilador local se desvía de su valor correcto por un pequeño ángulo de φ radianes. A partir del análisis de la detección coherente en la Sección 3.3 se sabe que la salida del canal I es proporcional a cos φ y cos 1φ ≈ para φ pequeño; por tanto, la

salida del canal I permanece esencialmente sin cambios siempre y cuando φ sea pequeño. Pero ahora habrá


95

alguna señal, aunque sea pequeña, que aparece en la salida del canal Q, la cual es proporcional a sen φ ≈ φ para

φ pequeño. Esta salida del canal Q tendrá la misma polaridad que la salida del canal I para una dirección de la desviación de fase φ del oscilador local y la polaridad opuesta para la dirección opuesta de φ. Por tanto, mediante la combinación de las salidas de los canales I y Q en un discriminador de fases (el cual consiste de un multiplicador seguido por una unidad de promediar en el tiempo), se genera una señal de control de cd proporcional a la desviación de fase φ. Con una realimentación negativa actuando alrededor del receptor de Costas, la señal de control tiende a corregir automáticamente el error de fase local φ en oscilador controlado por voltaje.

Es obvio que el control de fase en el receptor de Costas deja de actuar con la modulación, lo que significa que el enganche de fase tendría que restablecerse con la reaparición de la modulación. Éste no es un problema significativo, ya que el proceso de enganche ocurre normalmente de forma tan rápida que no se percibe distorsión. Problema de Ejercicio 3.8 Como se acaba de mencionar, los discriminadores de fase en el receptor de Costas de la Fig. 3.16 consisten de un multiplicador seguido por una unidad de promediar en el tiempo. Refiriéndonos a esta figura, haga lo siguiente:

(a) Suponiendo que el error de fase φ es pequeño comparado con un radián, demuestre que la salida g(t)

de la componente del multiplicador es aproximadamente 214 ( )m tφ .

(b) Adicionalmente, si se pasa g(t) a través de la unidad de promediar en el tiempo definida por

1( )

2

T

Tg t dt

T −∫

donde el intervalo del promedio 2T es lo suficientemente largo comparado con el recíproco del ancho de banda de g(t), demuestre que la salida del discriminador de fase es proporcional al error de fase φ multiplicado por la componente de cd de 2 ( )m t . Por tanto, la amplitud de esta señal (que actúa como la señal de control aplicada al oscilador controlado por voltaje en la Fig. 3.16) siempre tendrá el mismo signo algebraico que el error de fase φ, que es como debe ser.

3.5 Multicanalizacion (“Multiplexing”) de Portadora de Cuadratura El efecto del nulo de la cuadratura del detector coherente puede también ponerse a buen uso en la construcción del llamado multicanalizador de portadora de cuadratura o modulación de amplitud de cuadratura (QAM). Este esquema permite que dos ondas moduladas DSB-SC (resultantes de la aplicación de dos señales de mensaje físicamente independientes) ocupen el mismo ancho de banda de un canal y, sin embargo, permite la separación de las dos señales de mensaje en la salida del receptor. Por tanto, el multicanalizador de portadora de cuadratura es un sistema de conservación de ancho de banda.

En la Fig. 3.17 se muestra un diagrama de bloques de este sistema. La parte transmisora del sistema mostrado en la Fig. 3.17(a), involucra el uso de dos moduladores de producto separados que son alimentados con dos ondas portadoras de la misma frecuencia pero que difieren en fase por −90 grados. La señal transmitida s(t) consiste de la suma de estas dos salidas de los moduladores de producto, como muestra la relación

( ) ( )1 2( ) ( )cos 2 ( )sen 2c c c cs t A m t f t A m t f t= π + π (3.12)

donde m1(t) y m2(t) denotan las dos señales de mensaje diferentes aplicadas a los moduladores de producto. La señal multicanalizada s(t) ocupa un canal de ancho de banda de 2W centrado en la frecuencia portadora fc, donde W es el ancho de banda del mensaje, el cual se supone común para m1(t) y m2(t)- De acuerdo con la Ec. (3.12), 1( )cA m t puede considerarse como la componente en fase de la señal de pasabanda multicanalizada s(t) y

2 ( )cA m t− como la componente de cuadratura.


96

Señal de mensaje

m1(t)



Señal multicanalizada

s(t)

Despl. de fase -90°

Señal de mensaje

m2(t)



Filtro de pasabajas

Filtro de pasabajas

Señal multicanalizada

s(t)

Despl. de fase -90°

FIGURA 3.17 Sistema de multicanalización de portadora en cuadratura. (a) Transmisor, (b) receptor.

La parte receptora del sistema se muestra en la Fig. 3.17(b). Específicamente, la señal multicanalizada s(t) se aplica simultáneamente a dos detectores coherentes separados los cuales reciben dos portadoras locales de la misma frecuencia pero que difieren en fase por −90 grados. La salida del detector superior es 1

12 ( )c cA A m t′ , en

tanto que la salida del detector inferior es 122 ( )c cA A m t′ . Para que el sistema opere satisfactoriamente, es

importante mantener las relaciones correctas de fase y frecuencia entre el oscilador utilizado para generar las portadoras en el transmisor y el oscilador local correspondiente usado en el receptor.

Para mantener esta sincronización, se puede usar un receptor de Costas como el descrito en la Sección 3.4. Otro método usado comúnmente es enviar una señal piloto fuera de la pasabanda de la señal modulada. En el último método, la señal piloto consiste típicamente de un tono sinusoidal de baja potencia cuya frecuencia y fase están relacionadas con la onda portadora ( )( ) 2c cc t A f t= π . En el receptor, la señal piloto se extrae mediante un circuito

sintonizado adecuado y luego se traslada hasta la frecuencia correcta para su uso en el detector coherente. Problema de Ejercicio 3.9 Verifique que las salidas del receptor en la Fig. 3.17(b) son como se indica en la

figura, suponiendo sincronismo perfecto entre el receptor y el transmisor.


97

3.6 Modulación de Banda Lateral Única Al suprimir la portadora, la modulación DSB-SC se ocupa de una limitación importante de la AM que pertenece al desperdicio de potencia transmitida. Para ocuparse de las otras limitaciones de la AM que pertenecen al ancho de banda del canal, es necesario suprimir una de las dos bandas laterales en la onda modulada DSB-SC. Esta modificación de la modulación DSB-SC es precisamente lo que se hace en la modulación de banda lateral única (SSB, por sus siglas en inglés). En efecto, la modulación SSB depende únicamente de la banda lateral inferior o de la banda lateral superior para transmitir la señal del mensaje por un canal de comunicación. Dependiente de cuál banda lateral se transmite realmente, hablamos de modulación SSB inferior o modulación SSB superior. TEORÍA

Una demostración rigurosa de la teoría de la modulación SSB que sea aplicable a una señal de mensaje arbitraria es bastante exigente y por tanto está fuera del alcance de este libro. Para simplificar las cosas, tomaremos un enfoque diferente al usado en la Sección 3.1 para la AM y en la Sección 3.3 para la DSB-SC. Específicamente, comenzamos el estudio de la modulación SSB considerando primero el caso sencillo de una onda moduladora sinusoidal y después generalizamos los resultados a una señal de modulación arbitraria en una forma de paso por paso.

Entonces, para proceder, considérese un modulador DSB-SC que usa la onda moduladora sinusoidal


Con la portadora ( )( ) cos 2c cc t A f t= π , la onda modulada DSB-SC resultante se define por

( ) ( )

( ) ( )

DSB ( ) ( ) ( )

A cos 2 cos 2

1 1 A cos 2 A cos 2

2 2

c m c m

c m c m c m c m

s t c t m t

A f t f t

A f f t A f f t

=

= π π

= π + + π − (3.13)

la cual es caracterizada por dos frecuencias laterales, una en c mf f+ y la otra en c mf f− . Supóngase que nos

gustaría generar una onda modulada SSB sinusoidal que retenga la frecuencia lateral superior en c mf f+ . Entonces, suprimiendo el segundo término en la Ec. (3.13), la onda modulada SSB superior se puede expresar como

( )USSB1

( ) cos 22 c m c ms t A A f f t = π + (3.14)

El término coseno en la Ec. (3.14) incluye la suma de dos ángulos, a saber, 2 cf tπ y 2 mf tπ . Por tanto, expandiendo el término coseno en la Ec. (3.14), se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )USSB1 1

( ) cos 2 cos 2 sen 2 sen 22 2c m c m c m c ms t A A f t f t A A f t f t= π π − π π (3.15)

Por otra parte, si fuésemos a retener la frecuencia lateral inferior en c mf f− en la onda modulada DSB-SC de la Ec. (3.13), entonces tendríamos una onda modulada SSB inferior definida por

( ) ( ) ( ) ( )LSSB1 1

( ) cos 2 cos 2 sen 2 sen 22 2c m c m c m c ms t A A f t f t A A f t f t= π π + π π (3.16)

Si se examinan las Ecs. (3.15) y (3.16), vemos que difieren en sólo un aspecto: el signo menos en la Ec. (3.15) es reemplazado con el signo más en la Ec. (3.16). Por tanto, podemos combinar estas dos ecuaciones y definir así una onda modulada SSB sinusoidal en la forma siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )SSB1 1

( ) cos 2 cos 2 sen 2 sen 22 2c m c m c m c ms t A A f t f t A A f t f t= π π π π∓ (3.17)

en la cual el signo más se aplica a la SSB inferior y el signo menos se aplica a la SSB superior.


98

Con la generalización de la Ec. (3.17) como el objetivo, a continuación procedemos en dos etapas. En la etapa 1, suponemos que la señal del mensaje es periódica y en la etapa 2, suponemos que es no periódica. Considérese entonces una señal de mensaje periódica definida por la serie de Fourier

( )( ) cos 2n nn

m t a f t= π∑ (3.18)

la cual consiste de una mezcla de ondas sinusoidales con frecuencias relacionadas armónicamente. Reconociendo que la portadora c(t) es común a todas las componentes sinusoidales de m(t), podemos entonces inferir a partir de la Ec. (3.17) la expresión

( ) ( ) ( ) ( )SSB1 1

( ) cos 2 cos 2 sen 2 sen 22 2c c n n c c n n

n n

s t A f t a f t A f t a f t= π π π π∑ ∑∓ (3.19)

como la fórmula correspondiente para la onda modulada SSB.

A continuación, consideremos otra señal periódica definida por la serie de Fourier

( )ˆ ( ) sen 2n nn

m t a f t= π∑ (3.20)

la cual tiene una forma semejante a la de la Ec. (3.18), excepto por el hecho de que el término coseno ( )cos 2 cf tπ

es reemplazado por el término seno ( )sen 2 cf tπ . Entonces, a la luz de las definiciones en las Ecs. (3.19) y (3.20),

podemos reformular la onda modulada SSB de la Ec. (3.17) como

( ) ( )SSB ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 22 2

c cc c

A As t m t f t m t f t= π π∓ (3.21)

Si se compara la Ec. (3.20) con la Ec. (3.18), se observa que la señal periódica ˆ ( )m t puede obtenerse a partir de la señal moduladora periódica m(t) con simplemente desplazar la fase cada término coseno en la Ec. (3.18) por −90°.

Tanto en términos técnicos como prácticos, la observación que se acaba de hacer es muy importante por dos razones:

1. Por el análisis de Fourier sabemos que bajo condiciones apropiadas, la representación en serie de Fourier de una señal periódica converge a la transformada de Fourier de una señal no periódica: véase el Apéndice 2 para los detalles.

2. La señal ˆ ( )m t es la transformada de Hilbert de la señal m(t). Básicamente, un transformador de Hilbert es un sistema cuya función de transferencia se define por

( ) sgn( )H f j f= − (3.22)

donde sgn( )f es la función signo; para la definición de la función signo véase la Sección 2.4. En palabras, el transformador de Hilbert es un desplazador de fase de banda ancha cuya respuesta de frecuencia es caracterizada en dos partes en la forma siguiente (véase el Problema 2.52):

La respuesta de magnitud para todas las frecuencias, tanto positivas como negativas, es la unidad.

La respuesta de fase es +90° para frecuencias negativas y −90° para frecuencias positivas.

Con el equipo analítico en la forma descrita bajo los puntos 1 y 2, podemos finalmente generalizar la Ec. (3.21) como la fórmula para una onda de banda lateral única producida por una señal de mensaje, indiferentemente de si es periódica o no periódica. Específicamente, dada una señal de mensaje m(t) transformable bajo Fourier con su transformada de Hilbert denotada por ˆ ( )m t , la onda modulada SSB producida por m(t) es definida por

( ) ( )ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 22 2

c cc c

A As t m t f t m t f t= π π∓ (3.23)


99

donde ( )cos 2c cA f tπ es la portadora, ( )sen 2c cA f tπ es su versión con la fase desplazada por −90°; los signos más

y menos se aplican a la SSB inferior y a la SSB superior, respectivamente. En la Ec. (3.23), hemos omitido el uso de SSB como un subíndice para s(t), y se sobreentiende que esta ecuación se refiere a la modulación SSB en su forma más genérica. Problema de Ejercicio 3.10 Usando las Ecs. (3.22) y (3.23), demuestre que para frecuencias positivas, los

espectros de los dos tipos de ondas moduladas SSB están definidas en la forma siguiente:

(a) Para la SSB superior,

( ) ,

( ) 20, 0

cc c

c

AM f f f f

S ff f

− ≥

= < ≤

(3.24)

(b) Para la SSB inferior,

( )

0, ( )

02

c

cc c

f fS f A

M f f f f

>

= − < ≤

(3.25)

Problema de Ejercicio 3.11 Demuestre que si la señal del mensaje m(t) es de pasabajas, entonces la transformada de Hilbert ˆ ( )m t también es de pasabajas con exactamente el mismo ancho de banda que m(t).

Las dos fórmulas espectrales definidas en las partes (a) y (b) del Problema 3.10 son intuitivamente satisfactorias. En particular, ambas están en perfecto acuerdo con las dos imágenes mostradas en las partes (b) y (c) de la Fig. 3.18, respectivamente. La Fig. 3.18(b) describe una onda modulada SSB que ha retenido la banda lateral superior, en tanto que la Fig. 3.18(c) describe el otro tipo de modulación SSB que ha retenido la banda lateral inferior. Desde una perspectiva práctica, la única diferencia que distingue un tipo de modulación SSB del otro es el ancho de banda ocupado. MODULADORES PARA SSB

A la luz de la teoría presentada en esta sección, es posible desarrollar dos métodos para la generación de ondas moduladas SSB, como se describe a continuación. Método de Discriminación de Frecuencia Un método directo para la generación de SSB, denominado el método de discriminación de frecuencia, se ilustra en la Fig. 3.19; este discriminador se obtiene directamente a partir de las Ecs. (3.24) y (3.25) presentadas en el Problema 3.10. El modulador SSB de la Fig. 3.19 está formado por dos componentes: un modulador de producto seguido por un filtro de pasabanda. El modulador de producto produce una onda modulada DSB-SC con una banda lateral superior y una inferior. El filtro de pasabanda está diseñado para transmitir una de estas bandas, dependiendo de si la modulación deseada es la SSB superior o la SSB inferior. Para que el diseño del filtro de pasabanda sea factible, debe haber una cierta separación entre las dos bandas laterales y ella debe ser lo suficientemente ancha para acomodar la banda de transición del filtro de pasabanda. Esta separación es igual a 2fa, donde fa es la componente de menor frecuencia de la señal del mensaje, como se ilustra en la Fig. 3.18. Este requisito limita la aplicabilidad de la modulación SSB a señales de voz para las cuales fa = 100 Hz, pero la elimina para señales de video y datos de computadoras cuyo contenido espectral se extienda a una frecuencia casi igual a cero.


100

Brecha de energía

FIGURA 3.19 (a) Espectro de una señal de mensaje m(t) con brecha de energía centrada alrededor de la frecuencia cero. Espectros correspondientes de ondas moduladas SSB usando (b) banda lateral superior y (c) banda lateral inferior. En las partes (b) y (c), los espectros sólo se muestran para frecuencias positivas.

Señal de mensaje m(t) Modulador

de productoFiltro de

pasabanda

Onda modulada SSB s(t)

( )

Onda portadora

cos 2c cA f tπ

FIGURA 3.19 Esquema de discriminación de frecuencia para la generación de una onda modulada SSB.


101

Método de Discriminación de Fase

El segundo método para la generación de SSB, denominado el método de discriminación de fase, se ilustra en la Fig. 3.20; su implementación se deduce a partir de la descripción en el dominio del tiempo de las ondas SSB definidas en la Ec. (3.23). Este segundo modulador SSB consiste de dos trayectorias paralelas, una denominada la trayectoria en fase y la otra llamada la trayectoria de cuadratura. Cada una de ellas involucra un modulador de producto. Las ondas portadoras sinusoidales aplicadas a los dos moduladores de producto están en cuadratura de fase, lo cual se logra con simplemente usar un desplazador de fase de −90°, como muestra la Fig. 3.20. Sin embargo, el bloque funcional en la Fig. 3.20 que requiere de atención especial es el desplazador de fase de banda ancha, el cual se diseña para producir la transformada de Hilbert ˆ ( )m t en respuesta a la señal de mensaje entrante m(t). El papel de la trayectoria de cuadratura que incluye el desplazador de fase de banda ancha es simplemente interferir con la trayectoria en fase para eliminar potencia en una de las dos bandas laterales, dependiente de si el requerimiento es SSB superior o SSB inferior.

Claramente, los dos moduladores de las Figs. 3.19 y 3.20 son bastante diferentes en sus estructuras. En términos del diseño, el filtro de pasabanda en el discriminador de frecuencia de la Fig. 3.19 se destaca como el bloque funcional que requiere atención especial. Por otra parte, en el discriminador de fase de la Fig. 3.20, el desplazador de fase de banda ancha es el que requiere atención especial.

Señal de mensaje m(t)


Oscilador

Onda modulada SSB s(t)

Despl. de fase −90°


Despl. de fase de banda ancha

( )sen 2 cf tπ

FIGURA 3.20 Método de discriminación de fase para generar una onda modulada SSB. Nota: El signo más en la unión de suma pertenece a la transmisión de la banda lateral inferior y el signo menos pertenece a la transmisión de la banda lateral superior.

DETECCIÓN COHERENTE DE LA SSB

La demodulación de la DSB-SC es complicada por la supresión de la portadora en la señal transmitida. Para compensar por la ausencia de la portadora en la señal recibida, el receptor recurre al uso de la detección coherente, la cual requiere la sincronización de un oscilador local en el receptor con el oscilador responsable por la generación de la portadora en el transmisor. El requerimiento de la sincronización tiene que ser tanto en fase como en frecuencia. Aunque se suprime la portadora, la información sobre la fase y la frecuencia de la portadora está incluida en las bandas laterales de la onda modulada, lo cual se aprovecha en el receptor. Sin embargo, la demodulación de la SSB se complica todavía más por la supresión adicional de la banda lateral superior o la inferior. No obstante, en realidad las dos bandas laterales comparten una propiedad importante: ellas son las imágenes una de la otra con respecto a la portadora. Aquí una vez más, la detección coherente viene al rescate de la demodulación SSB.

El detector coherente de la Fig. 3.12 se aplica igualmente bien para la demodulación de tanto la DSB-SC como de la SSB; la única diferencia entre estas dos aplicaciones es cómo se define la onda modulada s(t).


102

Problema de Ejercicio 3.12 En el filtro de pasabajas en la Fig. 3.12 (suponiendo sincronismo perfecto), para suprimir la onda SSB no deseada, se debe cumplir la siguiente condición:

,cf W> fc = frecuencia de portadora y W = ancho de banda del mensaje

Justifique esta condición.

Problema de Ejercicio 3.13 Comenzando con la Ec. (3.23) para una onda modulada SSB, demuestre que la salida producida por el detector coherente de la Fig. 3.12 en respuesta a esta onda modulada está definida por

( ) ( )4c c

oA A

v t m t′

=

Supóngase que el error de fase φ = 0 en la Fig. 3.12. TRASLACIÓN DE FRECUENCIA

La operación básica realizada en la modulación de banda lateral única es de hecho una forma de traslación de frecuencia, y ésta es la razón por la cual a la modulación de banda lateral única se le refiere algunas veces como cambio de frecuencia, mezclado o heterodinaje.

La idea de la modulación de banda lateral única se ha presentado hasta ahora en el contexto de una señal de mensaje sin cambios. Esta idea puede generalizarse para cubrir la traslación de frecuencias en la forma siguiente. Supóngase que tenemos una onda modulada s1(t) cuyo espectro está centrado en una frecuencia portadora f1 y el requerimiento es trasladarla en frecuencia hacia arriba o hacia abajo, de manera que la frecuencia portadora sea cambiada de f1 a un nuevo valor f2. Este requerimiento se logra utilizando un mezclador. Como se ilustra en la Fig. 3.21, el mezclador es un bloque funcional que está formado por un modulador de producto seguido por un filtro de pasabanda, como lo está en un modulador SSB convencional pero con una diferencia importante: el filtro de pasabanda se diseña en forma directa, como se explica a continuación.

Específicamente, para explicar la acción del mezclador, considérese la situación espectral mostrada en la Fig. 3.22(a), donde, con el propósito de ilustración, se supone que la entrada al mezclador s1(t) es una onda con una frecuencia portador f1 y un ancho de banda 2W. La Fig. 3.21(b) muestra el espectro ( )S f′ de la señal resultante en la salida del modulador de producto en la Fig. 3.21.

La señal ( )s t′ puede considerarse como la suma de dos componentes moduladas: una componente representada por el espectro sombreado en la Fig. 3.22(b) y la otra componente representada por el espectro no sombreado en esta figura. Dependiendo de si la frecuencia portadora f1 va a ser trasladada hacia arriba o hacia abajo, ahora podemos identificar dos situaciones diferentes:

(i) Conversión hacia arriba. En esta forma de mezclado, la frecuencia portadora trasladada, denotada por f2, es mayor que la frecuencia portadora entrante f1. Por tanto, la frecuencia requerida fl del oscilador local es definida por

2 1 lf f f= +

Onda modulada s1(t) con frecuencia portadora f1

Onda modulada s2(t) con frecuencia portadora f2


Filtro de pasabanda

FIGURA 3.21 Diagrama de bloques de un mezclador.


103

FIGURA 3.22 (a) Espectro de la señal modulada s1(t) en la entrada del mezclador. (b) Espectro de la señal correspondiente s’(t) en la salida del modulador de producto en el mezclador. Despejando fl tenemos entonces

2 1lf f f= −

En esta situación, la parte no sombreada del espectro en la Fig. 3.22(b) define la señal convertida hacia arriba s2(t) y la parte sombreada de este espectro define la señal imagen asociada con s2(t), la cual es removida por el filtro de pasabanda en la Fig. 3.21. Por razones obvias, el mezclador en este caso se conoce como un convertidor de frecuencia ascendente.

(ii) Conversión hacia abajo. En esta segunda forma de mezclado, la frecuencia portadora trasladada f2 es menor que la frecuencia portadora entrante f1, esto es,

2 1 lf f f= −

Por tanto, la frecuencia requerida del oscilador local es

1 2lf f f= −

La imagen que tenemos ahora es la inversa de la de conversión hacia arriba. En particular, la parte sombreada del espectro en la Fig. 3.22(b) define la señal convertida hacia abajo s2(t) y la parte no sombreada define la señal imagen asociada. En consecuencia, este segundo mezclador se conoce como un convertidor de frecuencia descendente. Observe que en este caso, la frecuencia portadora trasladada f2 tiene que ser mayor que W (es decir, la mitad del ancho de banda de la señal modulada entrante s2(t)) para evitar solapamiento de las bandas laterales.

Ahora está claro el objetivo del filtro de pasabanda en el mezclador de la Fig. 3.21: pasar la señal s2(t) y eliminar la señal imagen asociada. Este objetivo se logra alineando la frecuencia de la banda media del filtro con la frecuencia portadora trasladada f2 y asignándole un ancho de banda igual al de la señal modulada entrante


104

s2(t). Indiferentemente de si la conversión de frecuencias es hacia arriba o hacia abajo, se permite que la banda de transición del filtro ocupe la brecha desde 1 lf f W− + hasta 1 lf f W+ − ; esto es, el ancho permisible de la banda

de transición es ( )12 f W− , que, en efecto, requiere que la frecuencia del oscilador local fl sea mayor que W.

Además, para evitar solapamiento espectral en la conversión hacia abajo, también se requiere que 1 lf f W− −

sea mayor que cero; esto es, 1lf f W> − .

Es importante señalar que el mezclado es una operación lineal. Por tanto, la relación que existe entre las bandas laterales de la onda modulada entrante y la portadora original en la entrada del mezclador se preserva completamente en la salida del mezclador. 3.7 Modulación de Banda Lateral Residual MOTIVACIÓN

La modulación de banda lateral única trabaja satisfactoriamente para una señal portadora de información (por ejemplo, una señal de voz) con una brecha de energía alrededor de la frecuencia cero. Sin embargo, para la transmisión espectralmente eficiente de señales de banda ancha, tenemos que considerar un nuevo método de modulación por dos razones:

1. Típicamente, los espectros de las señales de banda ancha (ejemplificadas por las señales de video de la televisión y por datos de computadoras) contienen frecuencias bajas significativas, lo que vuelve impráctico el uso de la modulación SSB.

2. Las características espectrales de los datos de banda ancha son convenientes para el uso de la DSB-SC. Sin embargo, la DSBSC requiere un ancho de banda de transmisión igual al doble del ancho de banda del mensaje, lo que viola el requerimiento de conservación del ancho de banda.

Para superar estas dos limitaciones prácticas, se necesita un método de modulación de compromiso que esté en algún punto entre la SSB y la DSB-SC en sus características espectrales. La modulación de banda lateral residual, el esquema de modulación que falta por considerar en esta sección, es ese esquema de compromiso.

La modulación de banda lateral residual (VSB, por sus siglas en inglés) se diferencia de la modulación SSB en dos aspectos prácticos:

1. En vez de remover completamente una banda lateral, se transmite un residuo o vestigio de esa banda lateral.

2. En vez de transmitir totalmente la otra banda lateral, también se transmite casi toda esta segunda banda.

Como consecuencia, el ancho de banda de transmisión de una señal modulada VSB se define por

TB f Wν= +

donde fν el ancho de banda del residuo y W es el ancho de banda del mensaje. Típicamente, fν es 25 por ciento de W, lo que significa que el ancho de banda BT de la VSB está entre el ancho de banda de la SSB W y el ancho de banda 2W de la DSB-SC. FILTRO DE CONFORMADO DE LA BANDA LATERAL

Para producir la modulación VSB, podemos usar el modulador mostrado en la Fig. 3.23, el cual consiste de un modulador de producto seguido por un filtro de pasabanda. Para la modulación VSB, el filtro de pasabanda se conoce como un filtro de conformado de la banda lateral. Suponiendo que el residuo de la VSB está en la banda lateral inferior de la onda modulada DSB-SC, el espectro VSB en la salida del modulador se conforma como se ilustra en la Fig. 3.24(a). El conformado del espectro lo define la función de transferencia del filtro, la cual se denota por ( )H f . El único requerimiento que debe satisfacer el conformado que realiza ( )H f es que el residuo transmitido compense la porción espectral faltante a partir de la otra banda lateral. Este requerimiento asegura que la detección coherente de la onda modulada VSB recupere una réplica de la señal del mensaje, excepto por un escalamiento en amplitud.


105

Señal del mensaje m(t)

Onda modulada VSB m(t)Modulador

de producto

Filtro de conformado

VSB H(f)

Onda portadora

FIGURA 3.23 Modulador VSB que usa discriminación de frecuencia.

FIGURA 3.24 (a) Respuesta de amplitud del filtro de conformado de las bandas laterales; sólo se muestra la parte de frecuencias positivas, la parte punteada de la respuesta de amplitud es arbitraria. (b) La función escalón unitario definida en el dominio de la frecuencia. (c) Función de transferencia de pasabajas Hν(f).


106

Si se impone este requerimiento sobre el proceso de demodulación VSB, se obtiene que el filtro de conformado de la banda lateral debe también satisfacer la siguiente condición:

( ) ( ) 1, para c cH f f H f f W f W+ + − = − ≤ ≤ (3.26)

donde fc es la frecuencia portadora. El término ( )cH f f+ es la parte de frecuencias positivas de la función de

transferencia del filtro de pasabanda ( )H f desplazada hacia la izquierda por fc, y ( )cH f f− es la parte de

frecuencias negativas de ( )H f desplazada hacia la derecha por fc. Una demostración de la Ec. (3.26) relacionada con una señal de mensaje arbitraria y Fourier transformable se presenta más adelante en esta sección sobre la detección coherente de la VSB.

De la Ec. (3.26) se deducen dos propiedades del filtro de bandas laterales:

1. La función de transferencia del filtro de conformado de las bandas laterales exhibe simetría impar en torno a la frecuencia portadora fc. Para explicar esta propiedad, primero se expresa ( )H f como la diferencia entre dos funciones desplazadas en frecuencia en la forma siguiente:

( ) ( )( ) , para c c c cH f u f f H f f f f f f Wν ν= − − − − < + (3.27)

El primer término ( )cu f f− denota la versión desplazada en frecuencia de la función de frecuencia escalón

unitario ( )u f , la cual se muestra en la Fig. 3.24(b). Esto es,

1, para 0

( )0, para 0

fu f

f

>=

< (3.28)

El segundo términos ( )cH f fν − denota la versión desplazada en frecuencia de una nueva función de

transferencia de pasabajas ( )H fν , la cual, como se muestra en la Fig. 3.24(c), es determinada completamente por el residuo de la onda modulada s(t). La relación definida en la Ec. (3.27) se deduce rápidamente a partir de las tres partes de ejemplo de la Fig. 3.24. El punto importante que se debe notar en la parte (c) de la figura es que ( )H fν satisface la propiedad de simetría impar en torno a la frecuencia cero, como muestra la relación

( ) ( )H f H fν ν− = − (3.29)

Por tanto este es el sentido en que se expresa la Propiedad 1.

2. Se requiere que la función de transferencia ( )H fν satisfaga la condición de la Ec. (3.26) sólo para el intervalo de

frecuencia W f W− ≤ ≤ , donde W es el ancho de banda el mensaje. La implicación práctica de esta segunda propiedad es que, para el caso de la VSB mostrada en la Fig. 3.24(a), la función de transferencia del filtro de conformado de las bandas laterales puede tener una especificación arbitraria para cf f W> + ; ésta es

la razón por la cual la parte del espectro que está por encima de cf W+ se muestra punteada en la Fig. 3.24(a).

EJEMPLO 3.3 VSB Sinusoidal

Considérese el ejemplo sencillo de modulación VSB sinusoidal producida por la onda moduladora sinusoidal


y la onda portadora

( )( ) cos 2c cc t A f t= π

Suponga que tanto la frecuencia lateral superior en c mf f+ como su imagen en ( )c mf f− + son atenuadas por el

factor k. Para satisfacer la condición de la Ec. (3.26), la frecuencia lateral inferior en c mf f− y su imagen en

( )c mf f− − deben ser atenuadas por el factor (1 )k− . El espectro VSB es entonces


107

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1( )

41

(1 )4

c m c m c m

c m c m c m

S f kA A f f f f f f

k A A f f f f f f

= δ − + + δ + +

+ − δ − − + δ + −

A ésta le corresponde la onda modulada VSB sinusoidal definida por

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1( ) exp 2 exp 2

41

(1 ) exp 2 exp 241 1

cos 2 (1 ) cos 22 2

c m c m c m

c m c m c m

c m c m c m c m

s t kA A j f f t j f f t

k A A j f f t j f f t

kA A f f t k A A f f t

= π + + − π +

+ − π − + − π −

− π + + − π −

(3.30)

Usando identidades trigonométricas conocidas para expandir los términos coseno ( )( )cos 2 c mf f tπ + y

( )( )cos 2 c mf f tπ − , se puede reformular la Ec. (3.30) como la combinación lineal dedos ondas moduladas DSB-

SC sinusoidales:

( ) ( )

( ) ( )

1( ) cos 2 cos 2

21

(1 2 )sen 2 sen 22

c m c m

c m c m

s t A A f t f t

A A k f t f t

= π π

+ − π π

(3.31)

donde el primer término en el lado derecho es la componente en fase de s(t) y el segundo término es la componente en cuadratura. Para resumir, dependiendo de cómo se define el factor de atenuación k en la Ec. (3.31) en el intervalo (0, 1), podemos identificar todas las formas sinusoidales diferentes de las ondas moduladas linealmente estudiadas en las Secciones 3.3, 3.6 y 3.7 en la forma siguiente:

1. k = 1/2, para la cual s(t) se reduce a la DSB-SC.

2. k = 0, para la cual s(t) se reduce a la SSB inferior.

k = 1, para la cual s(t) se reduce a la SSB superior.

3. 1

02

k< < , para la cual la versión atenuada de la frecuencia lateral superior define el residuo de s(t).

11

2k< < , para la cual la versión atenuada de la frecuencia lateral inferior define el residuo de s(t).

DETECCIÓN COHERENTE DE LA VSB

Para una recuperación exacta de la señal del mensaje m(t) a partir de la onda modulada VSB s(t), excepto por algún escalamiento en amplitud, podemos usar el detector coherente mostrado en la Fig. 3.12. Igual que con las demodulaciones de la DSB-SC y la SSB estudiadas previamente, la demodulación de la VSB consiste de la multiplicación de s(t) por una sinusoide generada localmente y luego de un filtrado de pasabajas de la señal producto resultante v(t). Se supone que la sinusoide local en el detecto coherente de la Fig. 3.12 está en sincronismo perfecto con la portadora en el modulador responsable de generar la onda modulada VSB. Entonces, ajustando la fase φ igual a cero en la sinusoide local en la Fig. 3.12, se expresa la transformada de Fourier de la señal producto

( )( ) ( )cos 2c cv t A s t f t′= π

en la forma siguiente:


108

( ) ( )1

( )2 c c cV f A S f f S f f′ = − + + (3.32)

donde

( ) ( )s t S f

A continuación, se expresa la transformada de Fourier de la onda modulada VSB s(t) como

( ) ( )1

( ) ( )2 c c cS f A M f f M f f H f = − + + (3.33)

la cual se deduce de la Fig. 3.23 que muestra el modulador VSB; ( )M f es el espectro del mensaje y ( )H f es la función de transferencia del filtro de conformado de las bandas laterales. El desplazamiento del espectro VSB de

( )S f hacia la derecha por fc produce

( ) ( ) ( ) ( )1

22c c c cS f f A M f f M f H f f − = − + − (3.34)

y su desplazamiento hacia la izquierda por fc produce

( ) ( ) ( ) ( )1

22c c c cS f f A M f M f f H f f + = + + + (3.35)

Por tanto, al sustituir las Ecs. (3.34) y (3.35) en la Ec. (3.32) y luego combinar los términos, se obtiene

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )

41

2 24

c c c c

c c c c c c

V f A A M f H f f H f f

A A M f f H f f M f f H f f

′ = − + +

′ + − − + + +

la cual, a la luz de la condición impuesta sobre ( )H f en la Ec. (3.26), se reduce a

( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )

41

2 24

c c

c c c c c c

V f A A M f

A A M f f H f f M f f H f f

′=

′ + − − + + +

(3.36)

El primer término en el lado derecho de la Ec. (3.36) es una versión escalada del espectro del mensaje ( )M f . El segundo término en la Ec. (3.36) es la transformada de Fourier de las componentes de alta frecuencia, y representa una nueva onda VSB modulada sobre una portadora de frecuencia 2fc. Siempre y cuando el filtro de pasabajas en el detector coherente de la Fig. 3.12 tenga una frecuencia de corte sólo ligeramente mayor que el ancho de banda del mensaje, las componentes de alta frecuencia de v(t) serán removidas por el filtro. La señal demodulada resultante es una versión a escala del la señal del mensaje deseado m(t). Problema de Ejercicio 3.14 Valide la afirmación de que las componentes de alta frecuencia en la Ec. (3.36)

representan una onda VSB modulada sobre una portadora de frecuencia 2fc. EJEMPLO 3.4 Detección coherente de una VSB sinusoidal

Recuerde de la Ec. (3.31) del Ejemplo 3.3, que la señal modulada VSB sinusoidal está definida por

( ) ( )

( ) ( )

1( ) cos 2 cos 2

21

(1 2 )sen 2 sen 22

c m m c

c m m c

s t A A f t f t

A A k f t f t

= π π

+ − π π

Si se multiplica s(t) por ( )cos 2c cA f t′ π de acuerdo con la detección coherente perfecta, produce la señal producto


109

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

( ) ( )cos 2

1 cos 2 cos 2

21

(1 2 )sen 2 sen 2 cos 22

c c

c c m m c

c c m m c c

v t A s t f t

A A A f t f t

A A A k f t f t f t

′= π

′= π π

′+ − π π π

o

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1( ) cos 2

41

cos 2 cos cos 4 (1 2 )sen 2 sen 44

c c m m

c c m m c m c

v t A A A f t

A A A f t f t k f t f t

′= π

′ + π π + − π π

(3.37)

El primer término en el lado derecho de la Ec. (3.37) es una versión a escala de la señal del mensaje ( )cos 2m mA f tπ . El segundo término de la ecuación es una nueva onda VSB sinusoidal modulada sobre una

portadora de frecuencia 2fc, que representa las componentes de alta frecuencia de v(t). Este segundo término es removido por el filtro de pasabajas en el detector de la Fig. 3.12, siempre y cuando su frecuencia de corte sea ligeramente mayor que la frecuencia del mensaje fm.

EJEMPLO 3.5 Detección de envolvente de la VSB más portadora

La detección coherente de la VSB requiere sincronismos del receptor con el transmisor, lo que incrementa la complejidad del sistema. Para simplificar el proceso de demodulación, se puede añadir a propósito la portadora a la señal VSB (escalada por un factor ka) antes de su transmisión y entonces usar detección de envolvente en el receptor.3 Suponiendo modulación sinusoidal, la señal “VSB más portadora” se define [véase la Ec. (3.31) del Ejemplo 3.3] como

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) cos 2 ( ), factor de sensibilidad de amplitud

cos 2 cos 2 cos 22

(1 2 )sen 2 sen 22

1 cos 22

VSB C c c a a

ac c c m m m

ac m m c

ac m m

s t A f t k s t k

kA f t A A f t f t

kA A k f t f t

kA A f t

+ = π + =

= π + π π

+ − π π

= + π ( )

( ) ( )

cos 2

(1 2 )sen 2 sen 22

c

ac m m c

f t

kA A k f t f t

π

+ − π π

La envolvente de ( )VSB Cs t+ es entonces

( ) ( )

( )( )

( )

1 22 22 2

1 22

( ) 1 cos 2 1 (1 2 )sen 22 2

(1 2 )sen 22 1 cos 2 1

2 1 cos 22

a ac m m c m m

am m

ac m m

am m

k ka t A A f t A A k f t

kA k f tk

A A f tk

A f t

= + π + + − π

− π

= + π + + π

(3.38)

3 Otro procedimiento usado para la detección de una onda modulada VSB es añadir un piloto a la onda modulada en el

transmisor. El piloto sería una versión trasladada en frecuencia de la portadora usada en la generación de onda modulada, pero está fuera de la banda de frecuencias ocupada por la onda modulada. En el receptor, el piloto se extrae mediante un filtro de pasabanda y luego se traslada (hacia arriba o hacia abajo) para producir una réplica de la portadora original. Con esta réplica de la portadora disponible en el receptor, se puede usar detección coherente para recuperar la señal del mensaje original. Se puede usar un procedimiento similar para la detección coherente de ondas moduladas SSB.


110

La Ec. (3.38) muestra que la distorsión en la detección de envolvente realizada sobre la envolvente a(t) es contribuida por la componente de cuadratura de la señal VSB sinusoidal. Esta distorsión puede reducirse utilizando una combinación de dos métodos:

Se reduce el factor de sensibilidad de amplitud ka, lo que tiene el efecto de reducir el porcentaje de modulación.

Se reduce el ancho de la banda lateral residual, lo que tiene el efecto de reducir el factor (1 2 )k− .

Ambos de estos métodos son intuitivamente satisfactorios a la luz de lo que vemos dentro de los corchetes en la Ec. (3.38). 3.8 Representación de Banda Base de Ondas

Moduladas y de Filtros de Pasabanda Del estudio de las diferentes estrategias de modulación presentadas en este capítulo, vemos que una onda modulada que usa una onda sinusoidal como la portadora es realmente una señal de pasabanda centrada en la frecuencia portadora. En virtud de este hecho, la onda portadora se imprime en la estructura de la onda modulada. En un sentido explícito, lo hace cuando la onda portadora está contenida como una componente separada en la señal transmitida. Cuando se suprime la onda portadora, hace que su presencia sea notada en el receptor en un sentido implícito posicionando las bandas laterales del espectro transmitido alrededor de la frecuencia portadora en una forma u otra, dependiendo del tipo de modulación utilizada.

Típicamente, la frecuencia portadora es grande comparada con el ancho de banda del mensaje, lo que hace que el procesamiento de una onda modulada en una computadora digital sea una proposición difícil. Sin embargo, a partir de la teoría de modulación presentada en este capítulo, sí sabemos que todo el contenido de información de una señal de mensaje reside completamente en las bandas laterales de la onda modulada. En consecuencia, cuando el objetivo es procesar una onda modulada en una computadora, el procedimiento eficiente es hacer el procesamiento sobre la versión de banda base de la onda modula en vez de hacerlo directamente sobre la propia onda modulada. El término “banda base” se usa para designar la banda de frecuencias que representan la señal original en la forma entregada por una fuente de información.

REPRESENTACIÓN DE BANDA BASE DE ONDAS MODULADAS

Considérese entonces una onda genérica modulada linealmente, la cual se define por

( ) ( )( ) ( )cos 2 ( )sen 2I c Q cs t s t f t s t f t= π − π (3.39)

Sea

( )( ) cos 2 cc t f t= π

la onda portadora con frecuencia fc y

( )ˆ( ) sen 2 cc t f t= π

la versión de cuadratura de fase de la portadora. Para simplificar las cosas, sin pérdida de generalidad, hemos fijado la amplitud de la portadora en uno. Ahora expresamos la onda modulada en la forma compacta

ˆ( ) ( )c( ) ( ) ( )I Qs t s t t s t c t= − (3.40)

El término sI(t) se denomina la componente en fase de la onda modulada s(t), llamado así debido a que es multiplicado por la portadora c(t). Por la misma razón, el termino sQ(t) se denomina la componente de cuadratura de fase o simplemente la componente de cuadratura de s(t), llamado así debido a que es multiplicado por la portadora en cuadratura ˆ( )c t . Las portadoras c(t) y ˆ( )c t son ortogonales entre sí


111

La Ec. (3.39) o la (3.40) se conoce como la representación canónica de ondas moduladas linealmente. Lo que es más importante, esta representación incluye todos los miembros de la familia de modulación de amplitud analiza en este capítulo, como muestra la Tabla 3.1. TABLA 3.1 Formas Diferentes de Modulación Lineal como Casos Especiales de

la Ec. (3.39), suponiendo amplitud unitaria de la portadora.

Tipo de modulación Componente en fase sI(t)

Componente en cuadratura sQ(t)

Comentarios

AM 1 ( )ak m t+ 0 ka = sensibilidad de amplitud m(t) = señal del mensaje

DSB-SC m(t) 0

SSB: (a) Banda lateral

superior transmitida

1( )

2m t

1 ˆ ( )2

m t

ˆ ( )m t transformada de Hilbert de m(t)

(b) Banda lateral inferior transmitida

1( )

2m t

1 ˆ ( )2

m t

VSB: (a) Residuo de banda

lateral inferior transmitida

1( )

2m t

1( )

2m t′

( )m t′ = respuesta del filtro con función de

transferencia ( )QH f debida a la señal del

mensaje m(t). La ( )QH f se define por la

fórmula

( ) ( )( )Q c cH f j H f f H f f = − + − −

donde ( )H f es la función de transferencia del

filtro de conformado de bandas laterales de la VSB.

(b) Residuo de banda lateral superior transmitida

1( )

2m t

1( )

2m t′−

De esta tabla, es claro que el contenido de información de la señal del mensaje m(t) y la forma en que se implementa la estrategia de modulación son descritos completamente por la componente en fase sI(t) tanto en la AM como en la DSB-SC o en la combinación de la componente en fase sI(t) y la componente en cuadratura sQ(t) tanto en la SSB como en la VSB. Adicionalmente, la ortogonalidad de la sI(t) y la sQ(t) entre ellas nos impulsa a introducir una nueva señal denominada la envolvente compleja de la onda modulada s(t), la cual se define formalmente por

( ) ( ) ( )I Qs t s t js t= +ɶ (3.41)

Esta definición es motivada por la forma en que tratamos con números complejos. En cualquier caso, el punto importante a tomar en cuenta en la Ec. (3.41) es el hecho de que la envolvente compleja ( )s tɶ considera completamente los contenidos de información de ambas sI(t) y sQ(t). Observe, sin embargo, que la envolvente compleja ( )s tɶ es una señal ficticia, que se usa con la intención de simplificar las operaciones de procesamiento de señales en señales de pasabanda, las cuales son ejemplificadas por ondas moduladas con base en una portadora sinusoidal.

En una forma que corresponde a la Ec. (3.41), podemos definir la onda portadora compleja


112

( ) ( )

( )

ˆ( ) ( ) ( )

cos 2 sen 2

exp 2c c

c

c t c t j c t

f t j f t

j f t

= +

= π + π

= π

ɶ

(3.42)

En consecuencia, la onda modulada s(t) se define por

[ ]

( )

( ) Re ( ) ( )

Re ( )exp 2 c

s t s t c t

s t j f t

=

= π

ɶ ɶ

ɶ (3.43)

Ahora se puede ver la ventaja práctica de la envolvente compleja ( )s tɶ sobre la onda modulada de valores reales s(t):

1. La componente de frecuencia más alta de s(t) puede ser tan grande como cf W+ , donde fc es la frecuencia portadora y W es el ancho de banda del mensaje.

2. Por otra parte, la componente de frecuencia más alta de ( )s tɶ es considerablemente menor, y está limitada por el ancho de banda del mensaje W.

Sin embargo, al usar al usar la Ec. (3.43) como la representación de la onda modulada s(t), no se pierde absolutamente nada.

Dada una onda modulada arbitraria s(t), podemos deducir la componente en fase sI(t) y la componente en cuadratura sQ(t) usando el esquema mostrado en la Fig. 3.25(a). Inversamente, dadas las componentes en fase sI(t) y en cuadratura sQ(t), podemos generar la onda modulada s(t) usando el esquema complementario mostrado en la Fig. 3.25(b). Por razones obvias, estos dos esquemas se denominad el analizador y el sintetizador de ondas moduladas.

Filtro de pasabajas

Filtro de pasabajas

Oscilador Oscilador

Desplaz. de fase de 90°

Desplaz. de fase de −90°

FIGURA 3.25 (a) Esquema para obtener las componentes en fase y en cuadratura de una señal modulada linealmente (por ejemplo, de pasabanda). (b) Esquema para reconstruir la señal modulada a partir de sus componentes en fase y en cuadratura.

Problema de Ejercicio 3.15 La derivación del sintetizador en la Fig. 3.25(b) se obtiene directamente a partir

de la Ec. (3.39). Sin embargo, la derivación del analizar mostrado en la Fig. 3.25(a) requiere una consideración más detallada. Dado que fc > W y las identidades trigonométricas

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1cos 2 1 cos 4 , sen 2 1 cos 4

2 2c c c cf t f t f t f t π = + π π = − π

y


113

( ) ( ) ( )1

sen 2 cos 2 sen 42c c cf t f t f tπ π = π

demuestre que el analizador de la Fig. 3.25(a) produce sI(t) y sQ(t) como sus dos salidas. REPRESENTACIÓN EN BANDA BASE DE FILTROS DE PASABANDA

La representación en banda base de una señal de pasabanda (ejemplificada por una onda modulada) desarrollada en esta sección impulsa el deseo de desarrollar la representación correspondiente para filtros de pasabanda, incluyendo canales de comunicación de pasabanda.

Con este objetivo, considérese un filtro de pasabanda lineal cuya relación de entrada-salida se define por la función de transferencia ( )H f , la cual está limitada a frecuencia dentro de B± de la frecuencia de media banda fc; en efecto, 2B define el ancho de banda del filtro. Supóngase que se aplica una onda modulada s(t) a este filtro, lo que produce la salida y(t), como muestra la Fig. 3.26(a). Se supone que el ancho de banda de transmisión de la onda modulada es 2W, centrado en una frecuencia portadora fc. En otras palabras, el espectro de la onda modulada y la respuesta de frecuencia del filtro de pasabanda están alineados, con B ≤ W. (La razón para ignorar el caso B > W es que esa situación la onda modulada s(t) pasa a través del filtro sin ser afectada y por tanto no es de importancia práctica.) Obviamente, podemos determinar la señal de salida y(t) evaluando la transformada de Fourier inversa del producto ( ) ( )H f S f . Sin embargo, un procedimiento más sencillo es utilizar una transformación de pasabanda a pasabajas (esto es, de banda base), la cual elimina la frecuencia portadora fc del análisis. Específicamente, esta transformación es definida por

( ) 2 ( ), para 0cH f f H f f− = > (3.44)

La nueva función de frecuencia ( )H f es la función de transferencia del filtro de pasabanda complejo, el cual resulta de la transformación definida en la Ec. (3.44). Se requiere el factor de escala 2 en esta ecuación para asegura que la transformación produzca el resultado exacto cuando lleguemos a evaluar la salida y(t).

De acuerdo con la Ec. (3.44), ( )H f se puede determinar procediendo en la forma siguiente:

1. Dada la función de transferencia ( )H f de un filtro de pasabanda, el se define para frecuencias positivas y

negativas, mantenga la parte de ( )H f que corresponde a las frecuencias positivas; denote esta parte por

( )H f+ .

2. Desplace ( )H f+ hacia la izquierda a lo largo del eje de frecuencias por una cantidad igual a fc y escálela

por el factor 2. El resultado así obtenido define la deseada ( )H f .

Onda modulada s(t)

Envolvente compleja ( )s tɶ

Filtro de pasabanda

H(f)

Señal de salida y(t)

Filtro de pasabajas

complejo ( )H fEnvolvente compleja escalada

de la señal de salida 2 ( )y tɶ

FIGURA 3.26 Transformación de filtro de pasabanda a sistema de pasabajas complejo: (a) Configuración de pasabanda de valores reales y (b) configuración correspondiente de pasabajas de valores complejos.

Habiendo determinado el filtro de pasabanda complejo caracterizado por ( )H f , podemos entonces procedemos a la siguiente etapa del procesamiento de la señal compleja. Específicamente, alimentamos este filtro con la envolvente compleja ( )s tɶ de la onda modulada s(t); la ( )s tɶ se deriva de s(t) de acuerdo con la Ec. (3.41).


114

Entonces, aplicando ( )s tɶ a ( )H f , como muestra la Fig. 3.26, determinamos la envolvente compleja ( )y tɶ de la señal de salida y(t) . Finalmente, la salida verdadera y(t) se determina a partir de la fórmula

( )( ) Re ( )exp 2 cy t y t j f t = π ɶ (3.45)

que es simplemente otra forma de escribir la Ec. (3.43). Problema de Ejercicio 3.16 Comenzando con el sistema de pasabajas complejo mostrado en la Fig. 3.26(b),

demuestre que la y(t) obtenida de la Ec. (3.45) es idéntica a la salida real y(t) en la Fig. 3.26(a). 3.9 Receptor Superheterodino En un sistema de radiodifusión, indiferentemente de si está basado en la modulación de amplitud o de frecuencia, el receptor no sólo tiene la tarea de demodular la señal modulada recibida, sino que también tiene que realizar algunas otras funciones del sistema:

Sintonización de la frecuencia portadora, aquí el objetivo es seleccionar la señal deseada (esto es, la estación de radio o TV deseada).

Filtrado, el cual se requiere para separar la señal deseada de otras señales moduladas que pueden captarse en el camino.

Amplificación, cuya intención es compensar por la pérdida de potencia en la señal incurrida en el curso de la transmisión.

El receptor superheterodino es un tipo especial de receptor que cumple con todas las tres funciones, particularmente con las primeras dos, en una forma elegante y práctica. Específicamente, supera la dificultad de tener que construir un filtro sintonizable altamente selectivo en frecuencia y variable. En efecto, todos los receptores de radio y TV construidos actualmente son del tipo superheterodino.

Básicamente, el receptor consiste de una sección de radio frecuencia (RF), un mezclador y un oscilador local, una sección de frecuencia intermedia (IF), un demodulador y un amplificador de potencia. En la Tabla 3.2 se da una lista de los parámetros de frecuencia típicos de receptores de radio AM. (Para hacer la tabla más completa, también se incluyen los parámetros de frecuencia correspondientes de los receptores FM comerciales); la teoría de la modulación de frecuencia (FM) se cubre en el Capítulo 4.) La Fig. 3.27 muestra el diagrama de bloques de un receptor superheterodino para la modulación de amplitud que usa un detector de envolvente para la demodulación.

TABLA 3.2 Parámetros de Frecuencia Típicos de Receptores de Radio AM y FM

Radio AM Radio FM

Recorrido portadora de RF 0.535−1.605 MHz 88−108 MHz

Frecuencia de media banda de la sección IF 0.455 MHz 10.7 MHz

Ancho de banda de FI 10 kHz 200 kHz

La onda modulada en amplitud recibida es captada por la antena receptora y amplificada en la sección de RF que está sintonizada en la frecuencia portadora de la onda entrante. La combinación del mezclador y el oscilador local (de frecuencia ajustable) proporciona una función de heterodinaje, por lo que la señal recibida es convertida en una frecuencia intermedia predeterminada y fija, usualmente menor que la frecuencia portadora entrante. Esta traslación de frecuencia se logra sin perturbar la relación de las bandas laterales con la portadora. El resultado del heterodinaje es la producción de una portadora de frecuencia intermedia definida por

IF RF LOf f f= − (3.46)


115

FIGURA 3.27 Elementos básicos de un receptor de radio AM del tipo superheterodino. donde fLO es la frecuencia del oscilador local y fRF es la frecuencia portadora de la señal de RF recibida. A fIF se le conoce como la frecuencia intermedia, ya que la señal no está a la frecuencia de entrada original ni a la frecuencia de banda base final. A la combinación mezclador-oscilador local se le refiere algunas veces como el primer detector, en cuyo caso al demodulador (detector de envolvente en la Fig. 3.27) se le denomina el segundo detector.

La sección de IF consiste de una o más etapas de amplificación sintonizada, con un ancho de banda como lo requiera el tipo particular de señal que el receptor debe manipular. Esta sección proporciona la mayor parte de la amplificación y selectividad en el receptor. La salida de la sección de IF se aplica a un demodulador, cuyo objetivo es recuperar la señal de banda base. Si se usa detección coherente, entonces se debe proveer una fuente de la señal coherente en el receptor. La operación final en el receptor es la amplificación de potencia de la señal de mensaje recuperada.

En un receptor superheterodino, el mezclador desarrollará una salida de frecuencia intermedia cuando la frecuencia de la señal de entrada es mayor o menor que la frecuencia del oscilador local por una cantidad igual a la frecuencia intermedia. Esto es, hay dos frecuencias de entrada, a saber, LO IFf f± , que resultarán en fIF a la

salida del mezclador. Esto introduce la posibilidad de recepción simultánea de dos señales que difieran en frecuencia por el doble de la frecuencia intermedia. Por ejemplo, un receptor sintonizado a 1 MHz y con una IF de 0.455 MHz está sujeto a una interferencia de imagen en 1910 MHz. En efecto, cualquier receptor con este valor de IF, cuando se sintoniza a cualquier estación, está sujeto a una interferencia de imagen en una frecuencia de 0.910 MHz más alta que la estación deseada. Como la función del mezclador es producir la diferencia entre dos frecuencias aplicadas, es incapaz de diferenciar entre la señal deseada y su imagen y produce una salida de IF a partir de cualquiera de ellas. La única cura práctica para la supresión de la interferencia de imagen es emplear etapas altamente selectivas en la sección de RF (esto es, entre la antena y el mezclador) para favorecer la señal deseada y discriminar contra la señal imagen o no deseada. La efectividad para suprimir señales de imagen no deseada se incrementa conforme aumenta el número de etapas selectivas en la sección de radio frecuencia y conforme aumenta la razón entre la frecuencia intermedia y la de la señal. SEÑALES DE TELEVISIÓN

La modulación de banda lateral residual, analizada en la Sección 3.7, juega un papel clave en la televisión comercial. Los detalles exactos del formato de modulación usado para transmitir la señal de video que caracteriza un sistema de TV son influidos por dos factores:

1. La señal de video exhibe un ancho de banda grande y un contenido significativo de baja frecuencia, lo que sugiere el uso de la modulación de banda lateral residual.

2. Los circuitos usados para la demodulación en el receptor deben ser sencillo y por tanto de bajo costo. Esto sugiere el uso de la detección de envolvente, lo que requiere la adición de una portadora a la onda modulada VSB.


116

Sin embargo, en lo que se refiere al punto 1, se debe recalcar que aunque efectivamente existe un deseo básico de conservar el ancho de banda, en la radiodifusión de la TV comercial la señal transmitida no es totalmente modulada VSB. La razón es que en el transmisor los niveles de potencia son altos, con el resultado de que sería costoso controlar rígidamente el filtrado de las bandas laterales. Más bien, se inserta un filtro VSB en cada receptor donde los niveles de potencia son bajos. El desempeño global es el mismo que con la modulación de banda lateral residual convencional, excepto por algo de desperdicio de potencia y de ancho de banda. Estas observaciones se ilustran en la Fig. 3.28. En particular, la Fig. 3.28(a) muestra el espectro idealizado de una señal de TV transmitida. Se transmite la banda lateral superior, 25 por ciento de la banda lateral inferior y la portadora de imagen. La respuesta de frecuencia del filtro de VSB usado para hacer el conformado del espectro requerido en el receptor se muestra en la Fig. 3.28(b).

Portadora de imagen

Portadora de sonido

Portadora de imagen

Portadora de sonido

Res

pues

ta N

orm

aliz

ada

Máx

ima

inte

nsid

ad d

e ca

mpo

rad

iada

en

rela

ción

con

la p

orta

dora

de

imag

en 1

.0

Ancho de banda del canal

FIGURA 3.28 (a) Espectro de amplitud idealizado de una señal transmitida de TV. (b) Respuesta de amplitud de un filtro de conformado VSB en el receptor.


117

El ancho de banda del canal usada para radiodifusión de TV en Norte América es 6 MHz, como se indica en la Fig. 3.28(b). Este ancho de banda no sólo proporciona el requerimiento de ancho de banda de la señal de video con modulación VSB sino que también acomoda la señal de sonido que modula una portadora propia. Los valores presentados en el eje de frecuencia de las Figs. 3.28(a) y 3.28(b) pertenecen a un canal de TV específico. De acuerdo con esta figura, la frecuencia portadora de la imagen está en 55.25 MHz y la frecuencia de la portadora de sonido está en 59.75 MHz. Observe, sin embargo, que el contenido de información de la señal de TV está en un espectro de banda base que se extiende desde 1.25 MHz por debajo de la portadora de imagen hasta 4.5 MHz por encima de ella.

En lo que concierne al punto 2, el uso de la detección de envolvente (aplicada a una onda modulada VSB más portadora) produce una distorsión uniforme en la señal de video recuperada en la salida del detector. Como se estudió en el Ejemplo 3.5, la distorsión de la señal es producida por la componente en cuadratura de la onda modulada VSB. Como se señaló en ese ejemplo, podemos reducir la extensión de la distorsión de la señal si se reduce el porcentaje de modulación y se minimiza el ancho de la banda lateral residual. MULTICANALIZACIÓN (“MULTIPLEXING”) POR DIVISIÓN DE FRECUENCIA Otra operación importante de procesamiento de señales en las comunicaciones analógicas es la multicanalización (“multiplexing”), por lacual varias señales independientes pueden ser combinadas en una señal compuesta adecuada para su transmisión por un canal común. Las frecuencias de voz transmitidas por sistemas telefónicos, por ejemplo, varía desde 300 hasta 3100 Hz. Para transmitir varias de esta señales por el mismo canal (por ejemplo, cable), las señales deben mantenerse separadas de manera que no se interfieran entre ellas y pueden entonces separarse en el terminal receptor. Esto se logra mediante la separación de las señales ya sea en frecuencia o en tiempo. La técnica de separar las señales en frecuencia se conoce como multicanalización (“multiplexing”) por división de frecuencia (FDM, por sus siglas en inglés), en tanto que la técnica de separar las señales en el tiempo se denomina multicanalización por división de tiempo (TDM, por sus siglas en inglés). En esta subsección se estudia la FDM; el estudio de la TDM se difiere para el Capítulo 5.

En la Fig. 3.29 se muestra un diagrama de bloques de un sistema FDM. Se supone que las señales de los mensajes que llegan son del tipo de pasabajas, pero sus espectros no tienen necesariamente valores diferentes de cero hasta la frecuencia cero. Siguiendo cada entrada de una señal, hemos mostrado un filtro de pasabajas, el cual está diseñado para eliminar componentes de alta frecuencia que no contribuyen significativamente a la representación de la señal pero son capaces de perturbar otras señales de mensajes que comparte el canal común. Estos filtros de pasabajas sólo pueden omitirse si las señales de entrada están suficientemente limitadas en banda inicialmente. Las señales filtradas se aplican a moduladores que desplazan las bandas de frecuencia de las señales de manera que ocupen intervalos de frecuencia mutuamente excluyentes. Las frecuencias portadoras que se necesitan para realizar estas traslaciones de frecuencias se obtienen a partir de una fuente de portadoras. Para la modulación, se puede usar cualquier de los métodos descritos en las secciones previas de este capítulo. Sin embargo, en telefonía, el método de mayor uso en la multicanalización por división de frecuencia es el de modulación de banda lateral única, el cual, en el caso de señales de voz, requiere un ancho de banda que es aproximadamente igual al de la señal de voz original. En la práctica, a cada entrada de voz usualmente se le asigna un ancho de banda de 4 kHz. Los filtros de pasabanda que siguen a los moduladores se usan para restringir la banda de cada señal modulada a su intervalo prescrito. A continuación se combinan en paralelo las salidas resultantes de los filtros de pasabanda para formar la entrada al canal común. En el terminal receptor, se usa un banco de filtros de pasabanda, con sus entradas conectadas en paralelo, para separar las señales de mensaje sobre una base de su ocupación en frecuencia. Finalmente, las señales de los mensajes originales son recuperadas por los demoduladores individuales. Observe que el sistema FDM mostrado en la Fig. 3.29 opera en una dirección solamente. Para proveer una transmisión de dos vías, como en telefonía por ejemplo, tenemos que duplicar completamente los equipos de multicanalización, con las componentes conectas en un orden inverso y con las ondas de las señales procediendo de derecha a izquierda.


118

Entradas de mensajes

Filtros de pasabajas

Moduladores Filtros de pasabanda

Canal común

Filtros de pasabanda

Demodu-ladores

Filtros de pasabanda

Salidas de mensajes

Fuente de portadoras

Fuente de portadoras

Transmisor Receptor

FIGURA 3.29 Diagrama de bloques de un sistema de multicanalización por división de frecuencias (FDM).

EJEMPLO 3.6 Etapas de modulación en un sistema FDM de 60 canales.

La implementación práctica de una sistema FDM usualmente involucra muchos pasos de modulación y demodulación, como se ilustra en la Fig. 3.30. La primera etapa de la multicanalización combina 12 entradas de voz en un grupo básico, el cual se forma al hacer que la n-ésima entrada module una portadora de frecuencia

60 4cf n= + kHz, donde n = 1, 2, … , 12. Después se seleccionan las bandas laterales inferiores mediante filtrado de pasabanda y se combinan para formar un grupo de 12 bandas laterales inferiores (una para cada entrada de voz). Por tanto, el grupo básico ocupa la banda de frecuencia de 60−108 kHz. La etapa siguiente en la jerarquía FDM involucra la combinación de cinco grupos básicos en un supergrupo. Esto se logra utilizando el n-ésimo grupo para modular una portadora de crecencia 372 48cf n= + kHz, donde n = 1, 2, … , 5. De nuevo, aquí se seleccionan las bandas laterales inferiores mediante filtrado y luego se combinan para formar un supergrupo que ocupa la banda de 312−552 kHz. Así pues, un supergrupo se diseña para acomodar 60 entradas de voz independientes. La razón para formar el supergrupo en esta forma es que filtros económicos de las características requeridas sólo están disponibles para una banda de frecuencias limitada. En una forma similar, los supergrupos se combina en grupos maestros y éstos se combinan en grupos muy grandes. 3.10 Resumen y Análisis En este capítulo se estudió la familia de la modulación de amplitud, e la cual la portadora es una onda seno cuya amplitud es variada de acuerdo con una señal de mensaje. El formato de esta familia de modulación analógica es tipificado por la onda modulada que sirve de ejemplo

( )( ) ( )cos 2c cs t A m t f t= π (3.47)

donde m(t) es la señal del mensaje y ( )cos 2c cA f tπ es la portadora.


119

Frecuencias portadoras (en kHz) de entradas de voz

Frecuencias portadoras (en kHz) de entradas de voz

Supergrupo de 5 grupos

Grupo básico de 12 entradas de voz

Banda de voz

FIGURA 3.30 Ilustración de las etapas de modulación en un sistema FDM.

La familia de la modulación de amplitud cubre cuatro tipos de modulación de onda continua, dependiendo del contenido espectral de la onda modulada. Los cuatro tipos de modulación y sus méritos prácticos se resumen aquí:

1. La modulación de amplitud (AM), en la cual las bandas laterales superior e inferior se transmiten por completo, acompañadas por la onda portadora. La generación de una onda AM puede obtenerse con simplemente usar un dispositivo no lineal (por ejemplo, un diodo) en un modulador de ley cuadrática, por ejemplo. Por la misma razón, la demodulación de la onda AM se logra de una manera igualmente sencilla en el receptor utilizando, por ejemplo, un detector de envolvente. Éstas son las dos razones, generación sencilla y detección sencilla, por las cuales la modulación de amplitud se utiliza comúnmente en la radiodifusión de radio AM, la cual involucra un solo transmisor poderos y numerosos receptores cuyo costo de construcción es relativamente bajo.

2. La modulación de banda lateral doble con portadora suprimida (DSB-SC), definida por la Ec. (3.47), en la cual sólo se transmiten las dos bandas laterales. La supresión de la onda portadora significa que la modulación DSB-SC requiere menos potencia que la AM para transmitir la misma señal de mensaje. Sin embargo, esta ventaja de la modulación DSB-SC sobre la AM se alcanza a costas de un incremento en la complejidad del receptor. Por tanto, la modulación DSB-SC se adapta bien a la comunicación punto a punto, que involucra un transmisor y un receptor. En esta forma de comunicación analógica, la potencia transmitida es importancia primordial y por ello el uso de un receptor complejo es justificable.

3. Modulación de banda lateral única (SSB), en la cual sólo se transmite la banda lateral superior o la inferior. Es óptima en el sentido de que requiere la mínima potencia transmitida y el mínimo ancho de b anda del canal para trasferir una señal de mensaje de un punto a otro. Sin embargo, la implementación del transmisor SSB impone varias restricciones sobre el contenido espectral de la señal de mensaje entrante. Específicamente, requiere la presencia de una brecha de baja frecuencia alrededor de la frecuencia cero, lo cual por ejemplo, es satisfecho por señales de voz para la comunicación telefónica.


120

4. La modulación de banda lateral residual (VSB), en la cual se transmite “casi” toda una banda lateral y un “residuo” de la otra banda en una forma complementaria prescrita. La modulación VSB requiere un ancho de banda del canal que es intermedio entre el requerido por los sistemas SSB y DSB-SC y el ahorro en ancho de banda puede ser significativo si se está trabajando con señales moduladoras que tienen un anchos de banda grandes, como es el caso de señales de televisión y datos digitales de alta velocidad.

Aquí debemos hacer un comentario final. Aunque el desarrollo de la familia de modulación de amplitud ha sido motivado por su relevancia directa en las comunicaciones analógicas, muchos aspectos de esta rama de la teoría de la modulación se aplican igualmente a las comunicaciones digitales. Si, por ejemplo, la señal del mensaje en la Ec. (3.47) para la onda modulada s(t) está restringida a niveles de −1 a +1 para representar un “0” o un “1” binarios, respectivamente, entonces tenemos una forma básica de modulación digital conocida como modulación binaria por desplazamiento de fase (BPSK, por sus siglas en inglés), la cual se estudia en el Capítulo 7.


3.17 A través de este capítulo nos hemos enfocado en


como la onda portadora sinusoidal. Supóngase que escogemos

( )( ) sen 2c cc t A f t= π

como la onda portadora sinusoidal. Para ser consistentes, supóngase que también definimos

( )( ) sen 2m mm t A f t= π

(a) Evalúe el espectro de la nueva definición de la AM:

( )( ) 1 sen 2c a cs t A k f t = + π

donde ka es la sensibilidad de amplitud.

(b) Compare el resultado deducido en la parte (a) con el estudiado en el Ejemplo3.1.

(c) ¿Qué diferencia se produce entre la formulación de este problema y la formulación de la teoría de la modulación ilustrada en el Ejemplo 3.1?

3.18 Considérese la señal de mensaje

( )( ) 20 cos 2 voltiosm t t= π

y la onda portadora

( )( ) 50 cos 100 voltiosc t t= π

(a) Dibuje (a escala) la onda AM resultante para 75 por ciento de modulación.

(b) Halle la potencia desarrollada en una carga de 100 ohmios debida a esta onda AM.


121

3.19 Usando la señal de mensaje

2

1( )

1m t

t=

+

determine y dibuje la onda modulada para una modulación de amplitud cuyo porcentaje de modulación es igual a los valores siguientes:

(a) 50 por ciento,

(b) 100 por ciento,

(c) 125 por ciento.

3.20 Supóngase que se tiene disponible un dispositivo no lineal para el cual la corriente de salida io y el voltaje de entrada vi están relacionados por

31 3o i ii a v a v= +

donde a1 y a3 son constantes. Explique cómo se pudiese usar este dispositivo para proporciona modulación de amplitud. ¿Podría este dispositivo usarse también para la demodulación? Justifique su respuesta.

3.21 Considérese la onda modulada DSB-SC obtenida al usar la onda moduladora sinusoidal


y la onda portadora

( )( ) cos 2c cc t A f t= π + φ

El ángulo de fase φ, que denota la diferencia de fase entre c(t) y m(t) en el instante t = 0, es variable. Dibuje esta onda modulada para los siguientes valores de φ:

(a) φ = 0

(b) φ = 45°

(c) φ = 90°

(d) φ = 135°

Comente sus resultados.

3.22 Dado el dispositivo no lineal descrito en el Problema 3.20, explique cómo se podría utilizarlo para obtener un modulador de producto.

3.23 Considere una señal de mensaje m(t) con el espectro mostrado en la Fig. 3.31. El ancho de banda del mensaje es W = 1 kHz. Esta señal se aplica a un modulador de producto, junto con una onda portadora

( )cos 2c cA f tπ , y se produce la onda modulada DSB-SC s(t). Esta onda sinusoidal se aplica después a un

detector coherente. Suponiendo sincronismo perfecto entre las ondas portadoras en el modulador y el detector, determínese el espectro de la salida del detector cuando: (a) la frecuencia de la portadora es

1.25cf = kHz y (b) la frecuencia de la portadora es fc = 0.75 kHz. ¿Cuál es la frecuencia portadora más baja para la cual cada componente de la onda modulada s(t) está únicamente determinada por m(t)?

FIGURA 3.31 Problema 3.23.


122

3.24 Considere una onda compuesta obtenida al sumar una portadora no coherente ( )cos 2c cA f tπ + φ con una

onda DSB-SC ( )cos 2 ( )cf t m tπ . Esta onda compuesta se aplica a un detector de envolvente ideal. Halle la

salida resultante del detector para

(a) φ = 0

(b) φ ≠ 0 y ( ) 2cm t A≪

3.25 Una onda DSB-SC es demodulada aplicándola a un detector coherente.

(a) Evalúe el efecto de un error de frecuencia ∆f en la frecuencia portadora local del detector, medida con respecto a la frecuencia portadora de la señal DSB-SC entrante.

(b) Para el caso de una onda moduladora sinusoidal, demuestre que debido a este error en la frecuencia, la onda demodulada exhibe pulsaciones en la frecuencia de error. Ilustre su respuesta con un dibujo de esta onda demodulada.

3.26 Considérese un pulso de amplitud A y duración T. Este pulso se aplica a un modulador SSB y se produce la onda modulada s(t). Determine la envolvente de s(t) y demuestre que esta envolvente exhibe picos al comienzo y al final del pulso.

3.27 (a) Considere una señal de mensaje m(t) que contiene componentes de frecuencia en 100, 200 y 400 Hz. Esta señal se aplica a un modulador SSB junto con una portadora a 100 kHz, y se retiene sólo la banda lateral superior. En el detector coherente usado para recuperar m(t), el oscilador local suministra una onda sinusoidal de frecuencia 100.02 kHz. Determine las componentes de frecuencia de la salida del detector.

(b) Repita su análisis, suponiendo que sólo se transmite la banda lateral inferior.

3.28 A través de este capítulo, la onda portadora sinusoidal se ha expresado en la forma


donde Ac es la amplitud de la portadora y fc es la frecuencia de portadora. En el Capítulo 7, al estudiar técnicas de modulación digitales de pasabanda, se encuentra más conveniente expresar la portadora en la forma

( )0

2( ) cos 2 cc t f t

T= π

donde T0 es la duración asignada a la transmisión del símbolo 1 o del símbolo 0. Determine el valor de la amplitud de la portadora Ac para que la energía en c(t) por símbolo sea igual a la unidad

PROBLEMAS AVANZADOS

3.29 Para un diodo de unión p-n, la corriente i que atraviesa el diodo y el voltaje v en él están relacionados por

0 exp 1T

vi I

V

= − −

donde I0 es la corriente de saturación inversa y VT es el voltaje térmico definido por

TkT

Ve

=

donde k es la constante de Boltzmann en julios por grado Kelvin, T es la temperatura absoluta en grados Kelvin y e es la carga de un electrón. A temperatura ambiente, VT = 0.026 voltios.

(a) Expanda i como una serie de potencia en v y retenga términos hasta v3.

(b) Sea


123

( ) ( )0.01cos 2 0.01cos 2 voltiosm cv f t f t= π + π

donde fm = 1 kHz y fc = 100 kHz. Determine el espectro de la corriente del diodo i resultante.

(c) Especifique el filtro de pasabanda que se requiere para extraer de la corriente del diodo una onda AM con frecuencia portadora fc.

(d) ¿Cuál es el porcentaje de modulación de esta onda AM?

3.30 Considere el sistema de multicanalización por portadora en cuadratura de la Fig. 3.17. La señal multicanalizada (“multiplexed”) s(t) producida en la salida del transmisor en la parte (a) de esta figura se aplica a un canal de comunicación de función de transferencia ( )H f . La salida de este canal es, a su vez, aplicada a la entrada del receptor en la parte (b) de la Fig. 3.17. Demuestre que la condición

( ) ( )* para 0c cH f f H f f f W+ = − ≤ ≤

es necesaria para la recuperación de las señales de mensaje m1(t) y m2(t) en las salidas del receptor; fc es la frecuencia portadora, W es el ancho de banda del mensaje. El asterisco en ( )* cH f f− denota la

conjugación compleja.

Sugerencia: Evalúe los espectros de las dos salidas del receptor.

3.31 (a) Denote por su(t) la onda SSB obtenida al transmitir solamente la banda lateral superior y por ˆ ( )us t su transformada de Hilbert. Demuestre que

( ) ( )2 ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 2u c u c

c

m t s t f t s t f tA

= π + π

y

( ) ( )2ˆ ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 2u c u c

c


= π − π

donde m(t) es la señal del mensaje, ˆ ( )m t es su transformada de Hilbert, fc es la frecuencia de la portadora y Ac es la amplitud de la portadora.

(b) Demuestre que las ecuaciones correspondientes en términos de la onda SSB sl(t)

( ) ( )2 ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 2l c l c

c


= π + π

y

( ) ( )2ˆ ˆ( ) ( )cos 2 ( )sen 2l c l c

c


= π − π

(c) Usando los resultados de (a) y (b), establezca los diagramas de bloques de un receptor para demodular la onda SSB.

Nota: La transformada de Hilbert se definió en el Problema 2.51.

3.32 En este problema se continúa el análisis de la modulación VSB para el caso cuando se transmite un residuo de la banda lateral inferior; la Fig. 3.24 muestra la respuesta de frecuencia ( )H f del filtro de conformado VSB usado para generar esa onda modulada. En particular, se desea examinar la representación compleja de este filtro, denotada por ( )H f .

Denote por ( )IH f y ( )QH f las componentes en fase y en cuadratura de ( )H f , respectivamente.

Demuestre que en el intervalo W f W− ≤ ≤ , tenemos que


124

(a) ( )IH f representa un filtro pasa todo; es decir, la respuesta de frecuencia del filtro es constante como muestra la relación

( ) 1, para H f W f W= − ≤ ≤

donde W es el ancho de banda del mensaje.

(b) ( )QH f representa un filtro de pasabajas con una respuesta de frecuencia que tiene simetría impar,

descrita por las tres relaciones siguientes:

1. ( ) ( ), Q QH f H f W f W− = − − ≤ ≤

2. (0) 0QH =

3. ( ) 1 para Q vH f f f W= ≤ ≤

donde fv es el ancho de la banda lateral residual.

CAPÍTULO 4

Modulación Angular

En el capítulo previo se investigó el efecto de variar lentamente la amplitud de una onda portadora sinusoidal de acuerdo con una señal portadora de información, manteniendo fija la frecuencia portadora. Existe otra forma de modular una onda portadora sinusoidal, a saber, la modulación angular, en la cual se varía el ángulo de la onda portadora de acuerdo con la señal portadora de la información. En esta segunda familia de técnicas de modulación, se mantiene constante la amplitud de la onda portadora.

Una característica importante de la modulación angular es que puede proporcionar una mejor discriminación contra el ruido y la interferencia que la modulación de amplitud. Sin embargo, como se demostrará en el Capítulo 9, esta mejora en el desempeño se alcanza a costas de un incremento en el ancho de banda; es decir, la modulación angular nos provee de un medio práctico de intercambiar ancho de banda por rendimiento mejorado con respecto al ruido. Este intercambio no es posible con la modulación de amplitud. Además, la mejora en el desempeño con respecto al ruido en la modulación angular se alcanza a costas de un incremento en la complejidad del sistema tanto en el transmisor como en el receptor.

El material presentado aquí sobre la modulación angular nos enseñará tres lecciones:

Lección 1: La modulación angular es un proceso no lineal, lo cual demuestra su naturaleza sofisticada. En el contexto de las comunicaciones analógicas, esta propiedad distintiva de la modulación angular tiene dos implicaciones:

En términos analíticos, el análisis espectral de la modulación angular es complicado.

En términos prácticos, la implementación de la modulación angular es exigente.

Estas dos afirmaciones se hacen tomando la modulación de amplitud como marco de referencia.

Lección 2: En tanto que el ancho de banda de transmisión de una onda modulada en amplitud (o cualquiera otra de sus variantes) es de extensión limitada, el ancho de banda de transmisión de una onda modulada angularmente puede asumir una extensión infinita, por lo menos en teoría.

Lección 3: Dado que la amplitud de la onda portadora se mantiene constante, intuitivamente se espera que el ruido aditivo afectaría el desempeño de la modulación angular con menos extensión que a la modulación de amplitud.+


126

4.1 Definiciones Básicas Denote por θi(t) el ángulo de una portadora sinusoidal modulada en el instante t; se supone que es una función de la señal portadora de la información o señal del mensaje. La onda modulada en ángulo resultante se expresa como

[ ]( ) cos ( )c is t A t= θ (4.1)

donde Ac es la amplitud de la portadora. Una oscilación completa ocurre siempre que el ángulo θi(t) cambie por 2π radianes. Si θi(t) se incremente monótonamente con el tiempo, entonces la frecuencia promedio en hertz, durante un pequeño intervalo de t a t + ∆t, es dada por

( ) ( )( )

2i i

t

t t tf t

t∆

θ + ∆ − θ=

π∆

Si se permite que el intervalo de tiempo ∆t tienda a cero, se obtiene la siguiente definición para la frecuencia instantánea de la señal modulada en ángulo s(t):

0 0

( ) ( )( ) lím ( ) lím

2

( )1

2

i ii tt t

i

t t tf t f t

t

d tdt

∆∆ → ∆ →

θ + ∆ − θ = = π∆

θ=

π (4.2)

donde, en la última línea, se ha utilizado la definición de la derivada del ángulo θi(t) con respecto al tiempo t.

Entonces, de acuerdo con la Ec. (4.1), la señal modulada en ángulo s(t) se puede interpretar como un fasor rotativo de longitud Ac y un ángulo θi(t). La velocidad angular de ese fasor es ( )id t dtθ , medida en radianes por

segundo. En el caso sencillo de una portadora no modulada, el ángulo θi(t) es

( ) 2 , para ( ) 0i c ct f t m tθ = π + φ =

y el fasor correspondiente gira con una velocidad angular constate igual a 2 cfπ radianes por segundo. La

constante φc define el ángulo de la portadora no modulada en el instante t = 0.

Existe una variedad infinita de formas en la cual puede variarse el ángulo θi(t) en algún respecto con la señal del mensaje. Sin embargo, sólo se considerarán dos métodos comúnmente usados, la modulación de fase y la modulación de frecuencia, como se definen a continuación:

1. La modulación de fase (PM) es la forma de modulación angular en la cual se varía el ángulo instantáneo θi(t) linealmente con la señal del mensaje m(t), como muestra la relación

( ) 2 ( )i c pt f t k m tθ = π + (4.3)

El término 2 cf tπ representa el ángulo de la portadora no modulada con la constante cφ igualada a cero por conveniencia de la presentación; la constante kp representa el factor de sensibilidad de fase del modulador, expresado en radianes por voltio suponiendo que m(t) es una onda de voltaje. La onda modulada en fase s(t) se describe entonces como

( ) cos 2 ( )c c ps t A f t k m t= π + (4.4)

2. La modulación de frecuencia (FM) es la forma de modulación angular en la cual se varía la frecuencia instantánea fi(t) linealmente con la señal del mensaje m(t), como muestra la relación

( ) ( )i c ff t f k m t= + (4.5)

El término constante fc representa la frecuencia de la portadora no modulada; la constante kf representa el factor de sensibilidad de frecuencia del modulador, expresado en hertz por voltio, suponiendo que m(t) es una señal de voltaje. Si se integra la Ec. (4.5) con respecto al tiempo y multiplicando el resultado por 2π, se obtiene


127

0

0

( ) 2 ( )

2 2 ( )

t

i i

t

c f

t f d

f t k m d

θ = π τ τ

= π + π τ τ

∫

∫ (4.6)

donde el segundo término representa el incremento o decremento en la fase instantánea θi(t) debidos a la señal del mensaje m(t). Por tanto, la onda modulada en frecuencia es

0

( ) cos 2 2 ( )t

c c fs t A f t k m d = π + π τ τ ∫ (4.7)

La Tabla 4.1 resume las definiciones básicas incluidas en la generación de ondas moduladas angularmente. Estas definiciones se aplican a todos los tipos de señales de mensaje, sean ellas analógicas o digitales.

TABLA 4.1 Resumen de las Definiciones Básicas en la Modulación Angular

Modulación de fase Modulación de Frecuencia Comentarios

Fase instantánea θi(t)

2 2 ( )c pf t k m tπ + π 0

2 2 ( )t

c ff t k m dπ + π τ τ∫ Ac : amplitud de la portadora fc : frecuencia de la portadora m(t): señal del mensaje kp: factor de sensibilidad de fase kf: factor de sensibilidad de frecuencia

Frecuencia instantánea fi(t) ( )

2p

c

k df m t

dt+

π

( )c ff k m t+

Onda Modulada s(t)

cos 2 ( )c c pA f t k m tπ + 0

cos 2 2 ( )t

c c fA f t k m d π + π τ τ ∫

4.2 Propiedades de las Ondas Moduladas en Ángulo Las ondas moduladas en ángulo se caracterizan por algunas propiedades importantes, las cuales se deducen de las definiciones básicas resumidas en la Tabla 4.1, En efecto, estas propiedades son las que ubican a las ondas modulas en ángulo en una familia por sí solas y las diferencias de la familia de las ondas moduladas en amplitud, como se ilustra mediante las ondas mostradas en la Fig. 4.1 para el ejemplo de modulación sinusoidal. Las Figs. 4.1(a) y 4.1(b) son la onda portadora sinusoidal y la onda moduladora, respectivamente. Las Figs. 4.1(c), 4.1(d) y 4.1(e) muestra las ondas correspondientes de modulación de amplitud (AM), de modulación de fase (PM) y de modulación de frecuencia (FM), respectivamente. PROPIEDAD 1 Potencia transmitida constante De las dos Ecs. (4.4) y (4.7), se observa rápidamente que la amplitud de las ondas PM y FM se mantiene en un valor constante igual a la amplitud de la portadora Ac para todos el tiempo t, indiferentemente de los factores de sensibilidad kp y kf. Esta propiedad la demuestra bien la onda PM de la Fig. 4.1(d) y la onda FM de la Fig. 4.1(e). En consecuencia, la potencia promedio transmitida de las ondas moduladas en ángulo es una constante y es dada por

2pr

12 cP A= (4.8)

donde se supone que el resistor de carga es de 1 ohmio.


128

tiempo

Figura 4.1 Ilustración de las ondas AM, PM y FM producidas por un solo tono. (a) Onda portadora. (b) Señal moduladora sinusoidal. (c) Señal modulada en amplitud. (d) Señal modulada en fase. (e) Señal modulada en frecuencia.

PROPIEDAD 2 No linealidad del proceso de modulación Otras propiedad particular de la modulación angular es su carácter no lineal. Decimos esto porque ambas ondas, la PM y la FM, violan el principio de superposición. Supóngase, por ejemplo, que la señal del mensaje m(t) está formada por dos componentes diferentes m1(t) y m2(t):

1 2( ) ( ) ( )m t m t m t= +

Denote por s(t), s1(t) y s2(t) las ondas PM producidas por m(t), m1(t) y m2(t) siguiendo la Ec. (4.4), respectivamente. A la luz de esta ecuación, estas ondas PM se pueden expresar en la forma siguiente:

( )1 2

1 1

( ) cos 2 ( ) (

( ) 2 ( )

c c p

c c p

s t A f t k m t m t

s t A cps f t k m t

= π + +

= π +

y

2 2( ) cos 2 ( )c c ps t A f t k m t= π +

A partir de estas expresiones, a pesar del hecho de que 1 2( ) ( ) ( )m t m t m t= + , se ve rápidamente que si viola el principio de superposición puesto que

1 2( ) ( ) ( )s t s t s t≠ + Problema de Ejercicio 4.1 Use la Ec. (4.7) para demostrar que las ondas FM también violan el principio de

superposición. El hecho de que el proceso de la modulación angular es no lineal complica el análisis espectral y el análisis de ruido de las ondas PM y FM, comparado con la modulación de amplitud. Por la misma razón, el proceso de modulación angular tiene beneficios prácticos propios. Por ejemplo, la modulación de frecuencia ofrece un desempeño superior respecto del ruido comparada con la modulación de amplitud, lo que se atribuye al carácter no lineal de la modulación de frecuencia.


129

PROPIEDAD 3 Irregularidad de los cruces en cero Una consecuencia de permitir que el ángulo instantáneo θi(t) se

vuelva dependiente de la señal del mensaje m(t) como en la Ec. (4.3) o su forma integral 0

( )tm dτ τ∫ como en la Ec. (4.6), es

que los cruces en cero de una onda PM o FM ya no tienen una regularidad perfecta en sus separaciones a lo largo de la escala del tiempo. Los cruces en cero se definen como los instantes en los cuales una señal cambia su amplitud de un valor positivo a uno negativo o al contrario. En cierta forma, la irregularidad de estos cruces en las ondas moduladas angularmente también se atribuye al carácter no lineal del proceso de modulación. Para ilustrar esta propiedad, se puede contrastar la onda PM de la Fig. 4.1(d) y la onda FM de la Fig. 4.1(e) con la Fig. 4.1(c) para la onda AM correspondiente.

Sin embargo, podemos citar dos casos especiales donde se mantiene la regularidad en la modulación angular:

1. La señal del mensaje m(t) crece o decrece linealmente con el tiempo t, en cuyo caso la frecuencia instantánea fi(t) de la onda PM cambia de la frecuencia portadora no modulada fc a un nuevo valor constante que depende de la pendiente m(t).

2. La señal del mensaje m(t) se mantiene en algún valor constante, positivo o negativo, en cuyo caso la frecuencia instantánea fi(t) de la onda FM cambia de la frecuencia portadora no modulada fc a un nuevo valor constante que depende del valor constante de m(t).

En cualquier caso, es importante señalar que en la modulación angular, el contenido de información de la señal del mensaje m(t) reside en los cruces en cero de la onda modulada. Esta afirmación es válida siempre y cuando la frecuencia portadora fc sea grande comparada con la componente de frecuencia más alta de la señal del mensaje m(t). PROPIEDAD 4 Dificultad para visualizar la forma de onda del mensaje En la AM, vemos la forma de onda del mensaje como la envolvente de la onda modula, siempre y cuando, por supuesto, el porcentaje de modulación se menor que 100 por ciento, como se ilustra en la Fig. 4.1(c) para modulación sinusoidal. Esto no es así en la modulación angular, como lo ilustran las formas de ondas correspondientes de las Figs. 4.1(d) y 4.1(e) para PM y FM, respectivamente. En general, la dificultada en visualizar la forma de onda del mensaje en ondas moduladas angularmente también se atribuye al carácter no lineal e las ondas moduladas angularmente. PROPIEDAD 5 Intercambio de incremento en el ancho de banda de transmisión por desempeño mejorado respecto del ruido Una ventaja importante de la modulación angular sobre la modulación de amplitud es la realización de un desempeño mejorado en la presencia de ruido. Esta ventaja se atribuye al hecho de que la transmisión de una señal de mensaje mediante la modulación del ángulo de una onda portadora sinusoidal es menos sensible a la presencia de ruido aditivo que la transmisión por modulación de la amplitud de la portadora. Sin embargo, esta mejora del desempeño en la presencia de ruido se alcanza a costas de un incremento correspondiente en el requerimiento del ancho de banda de transmisión de la modulación angular. En otras palabras, el uso de la modulación angular ofrece la posibilidad de intercambiar un incremento en el ancho de banda de transmisión por una mejora en el desempeño en presencia de ruido. Este intercambio no es posible con la modulación de amplitud ya que el ancho de banda de transmisión de una onda modulada en amplitud es fijo con un valor entre el ancho de banda del mensaje W y 2W, dependiendo del tipo de modulación empleado. El efecto del ruido sobre la modulación angular se estudia en el Capítulo 9. EJEMPLO 4.1 Cruces en cero

Considérese una onda moduladora m(t) que crece linealmente con el tiempo t, comenzando en t = 0, como muestra la relación

, 0( )

0, 0

at tm t

t

≥=

<

donde a es el parámetro de la pendiente; véase la Fig. 4.2(a). En lo que sigue, se estudian los cruces en cero de las ondas PM y FM producidas por m(t) para el siguiente conjunto de parámetros:

1 Hz

4 1 voltio/s

cf

a

=

=


130

pendiente a = 1 voltio/s

tiempo t

tiempo t

tiempo t

Onda modulada en fase sp(t)

Onda modulada en frecuencia sf(t)

FIGURA 4.2 Comenzando en el instante t = 0, la figura muestra (a) señal del mensaje m(t) que crece linealmente, (b) onda modulada en fase y (c) onda modulada en frecuencia.

1. Modulación de fase: factor de sensibilidad de fase 2pk π= radianes/voltio. Si se aplica la Ec. (4.4) a la m(t)

dada, se produce la onda PM

( )( )

cos 2 , 0( )

cos 2 , 0

c c p

c c

A f t k at ts t

A f t t

π + ≥=

π <

la cual se grafica en la Fig. 4.2(b) para Ac = 1 voltio.

Denote por tn el instante en que la onda PM experimenta un cruce por cero; esto ocurre siempre que el ángulo de la onda PM sea un múltiplo impar de π/2. Entonces, podemos establecer a

2 , 0, 1, 2, 2c n p nf t k at n nπ

π + = + π = …

como la ecuación lineal para tn. Despejando tn, se obtiene la fórmula lineal

12

2n

pc

nt

kf a

+=

+π

Sustituyendo los valores dados para fc, a y kp en esta fórmula, se obtiene

1, 0, 1, 2,

2nt n n= + = …

donde tn se mide en segundos.


131

2. Modulación de frecuencia: factor de sensibilidad de frecuencia, kf = 1 Hz/voltio. Si se aplica l Ec. (4.7), se obtiene la onda FM

( )( )

2cos 2 , 0( )

cos 2 , 0

c c f

c c

A f t k at ts t

A f t t

π + π ≥=

π <

la cual se grafica en la Fig. 4.2(c).

Aplicando ahora la definición de un cruce por cero, se puede establecer a

22 , 0, 1, 2, 2c n f nf t k at n nπ

π + π = + π = …

como la ecuación cuadrática para tn. La raíz positiva de esta ecuación, a saber,

21 1, 0,1, 2,

2n c c ff

t f f ak n nak

= − + + + =

…

define la fórmula para tn. Sustituyendo los valores dados de fc, a y kf en esta fórmula cuadrática, se obtiene

( )11 9 16 , 0, 1, 2,

4nt n n= − + + = …

donde tn, de nuevo, se mide en segundos.

Si se comparan los cruces por cero obtenidos para las ondas PM y FM, se pueden hacer las siguientes observaciones una vez que la onda de modulación lineal comienza a actuar sobre la onda portadora sinusoidal.

1. Para la PM, se mantiene la regularidad de los cruces por cero; la frecuencia instantánea cambian del valor no modulado de fc = ¼ Hz al nuevo valor constante de ( )2c pf k a+ π Hz.

2. Para la FM, los cruces por cero toman una forma irregular; como se esperaba, la frecuencia instantánea aumenta linealmente con el tiempo t.

Las ondas moduladas en ángulo de la Fig. 4.2 deben contrastarse con las correspondientes de la Fig. 4.1. Mientras que en el caso de la modulación sinusoidal ilustrada en la Fig. 4.1 se dificulta discernir la diferencia entre la PM y la FM, esto no es así en el caso de la Fig. 4.2. En otras palabras, dependiendo de la onda moduladora, es posible que las señales PM y FM exhiban formas de ondas completamente diferentes. 4.3 Relación Entre las Ondas PM y FM Si se examinan las definiciones de las Ecs. (4.4) y (4.7), se ve que una onda FM puede considerarse como una

onda PM producida por la onda moduladora 0

( )tm dτ τ∫ en vez de m(t). Esto significa que una onda FM puede

generarse integrando primero la señal del mensaje m(t) con respecto al tiempo y después usando la señal resultante como la entrada a un modulador de fase, como se muestra en la Fig. 4.3(a).

Inversamente, una onda PM puede considerarse como una onda FM producida por la onda moduladora ( )dm t dt . Por tanto, una onda PM puede ser generada diferenciando primero m(t) con respecto al tiempo y

luego usando la señal resultante como la entrada a un modulador de frecuencia, como se muestra en la Fig. 4.3(b).

Por tanto, se deduce que la modulación de fase y la de frecuencia están relacionadas entre sí en forma única. Esta relación significa, a su vez, que las propiedades de la modulación de fase se pueden deducir de las de la modulación de frecuencia y viceversa. Por esta razón, en este capitulo se dedicará la mayor parte del análisis a la modulación de frecuencia.


132

Onda moduladora

Onda moduladora

IntegradorModulador

de fase

DiferenciadorModulador

de frecuencia

Onda FM

Onda PM

Figura 4.3 Ilustración de la relación entre la modulación de fase y la de frecuencia. (a) Esquema para generar una onda FM usando un modulador de fase. (b) Esquema para generar una onda PM utilizando un modulador de frecuencia.

Problema de Ejercicio 4.2 El esquema mostrado en la Fig. 4.3(a) proporciona la base para la generación

indirecta de una onda FM. El modulador de fase lo define la Ec. (4.4). Demuestre que la onda FM resultante debe tener exactamente la forma que la definida en la Ec. (4.7), entonces el factor de la sensibilidad de fase kp del modulador de fase está relacionado con el factor de la sensibilidad de frecuencia kf en la Ec. (4.7) por la fórmula

2p fk k T= π

donde T es el intervalo en el cual se realiza la integración en la Fig. 4.3(a). Justifique la dimensionalidad de esta expresión.

4.4 Modulación de Frecuencia de Banda Angosta En la Sección 4.2, se resaltó el hecho de que una onda FM es una función no lineal de la onda modulada. Esta propiedad hace que el análisis espectral de la onda FM sea una tarea mucho más difícil que la de la onda AM correspondiente.

¿Cómo podemos entonces abordar el análisis espectral de una onda FM? Nuestra propuesta es dar una respuesta empírica a esta importante pregunta procediendo de la forma siguiente:

Primero consideramos el caso sencillo de una modulación de un solo tono que produce una onda FM de banda angosta.

Luego consideramos el caso más general que también involucra una modulación de un solo tono, pero esta vez la onda FM es de banda ancha.

Por supuesto, podríamos pasar y considerar el caso más elaborado de una onda FM de multitonos. Sin embargo, no proponemos hacer esto porque nuestro objetivo inmediato es el establecimiento de una relación empírica entre el ancho de banda de transmisión de una onda FM y el ancho de banda del mensaje. Como se verá después, el análisis espectral de dos etapas que se acaba de describir nos da conocimiento suficiente para proponer una solución útil al problema.

Considérese entonces una onda moduladora sinusoidal definida por


133

( )( ) cos 2m mm t A f t= π (4.9)

La frecuencia instantánea de la onda FM resultante es

( )

( )

( ) cos 2

cos 2

i c f m m

c m

f t f k A f t

f f f t

= + π

= + ∆ π (4.10)

donde

f mf k A∆ = (4.11)

La cantidad ∆f se denomina la desviación de frecuencia y representa la desviación máxima de la frecuencia instantánea de la onda FM con respecto a la frecuencia portadora fc. Una característica fundamental de la modulación de frecuencia sinusoidal es que la desviación de frecuencia ∆f es proporcional a la amplitud de la señal moduladora y es independiente de la frecuencia moduladora.

Si se usa la Ec. (4.10) en la primera línea de la Ec. (4.6), el ángulo θi(t) de la onda FM se obtiene como

( )( ) 2 sen 2i c mm

ft f t f t

f∆

θ = π + π (4.12)

La razón entre la desviación de frecuencia ∆f y la frecuencia de modulación fm se denomina comúnmente el índice de modulación de la onda FM. Este nuevo parámetro se denota por β y escribimos

m

ff∆

β = (4.13)

y

( )( ) 2 sen 2i c mt f t f tθ = π + β π (4.14)

De la Ec. (4.14) vemos que, en un sentido físico, el parámetro β representa la desviación de fase la onda FM, esto es, la desviación máxima del ángulo θi(t) con respecto al ángulo 2 cf tπ de la portadora no modulada. Por tanto, β se mide en radianes.

La onda FM misma es dada por

( )( ) 2 sen 2c c mts t A f t f = π + β π (4.15)

Para que la onda FM s(t) de la Ec. (4.15) sea de banda angosta, el índice de modulación β debe ser pequeño comparado con un radián. Para seguir adelante, usamos la identidad trigonométrica

( )cos cos cos sen senA B A B A B+ = −

para expandir la Ec. (4.15) como

( ) ( ) ( ) ( )( ) cos 2 cos sen 2 sen 2 sen sen 2c c m c c ms t A f t f t A f t f t = π β π − π β π (4.16)

Entonces, bajo la condición de que el índice de modulación β es pequeño en comparación con un radián, podemos usar las dos aproximaciones siguientes para todo t:

( )cos sen 2 1mf t β π ≈

y

( ) ( )sen sen 2 sen 2m mf t f t β π ≈ β π

y la Ec. (4.16) se simplifica a

( ) ( ) ( )( ) cos 2 sen 2 sen 2c c c c ms t A f t A f t f t≈ π −β π π (4.17)


134

La Ec. (4.17) define la forma aproximada de una onda FM de banda angosta producida por la onda moduladora sinusoidal ( )cos 2m mA f tπ . A partir de esta representación aproximada, se deduce el modulador mostrado en la

forma de diagrama de bloques en la Fig. 4.4. Este modulador involucra separar la onda portadora ( )cos 2c cA f tπ

en dos trayectorias. Una trayectoria es directa; la otra contiene una red de corrimiento de fase de −90 grados y un modulador de producto, cuya combinación genera una onda modulada DSB-SC. La diferencia entre estas dos señales produce una onda FM de banda angosta, pero con cierta distorsión de amplitud, como se analiza a continuación.

Onda moduladora

Modulador de fase de banda angosta

Integrador Modulador de producto

Corredor de fase −90°

Onda FM de banda angosta

Onda portadora

FIGURA 4.4 Diagrama de bloques de un método indirecto para generar una onda FM de banda angosta.

Idealmente, una onda FM tiene una envolvente constante y, para el caso de una señal moduladora sinusoidal de frecuencia fm, el ángulo θi(t) es también sinusoidal con la misma frecuencia. Pero la onda modulada producida por el modulador de banda angosta de la Fig. 4.4 difiere de esta condición ideal en dos aspectos fundamentales:

1. La envolvente contiene una modulación de amplitud residual que varía con el tiempo.

2. El ángulo θi(t) contiene distorsión armónica en la forma de armónicos de tercer orden y superiores de la frecuencia de modulación fm.

Problema de Ejercicio 4.3 La representación cartesiana de señales de pasabanda estudiada en la Sección 3.8 se

adapta bien para esquemas de modulación lineales ejemplificados por la familia de modulación de amplitud. Por otra parte, la representación polar

( ) ( )( ) ( )cos 2 ( )sen 2I c Q cs t s t f t s t f t= π − π

donde sI(t) es la componente en fase y sQ(t) es la componente en cuadratura, se puede escribir

1 22 2( ) ( )I Qa t s t s = +

y

1 ( )( ) tan

( )Q

I

s tt

s t−

φ =

Demuestre que la representación polar de s(t) en términos de a(t) y φ(t) es exactamente equivalente a su representación cartesiana en términos de sI(t) y sQ(t).

Problema de Ejercicio 4.4 Considérese la onda FM de banda angosta definida aproximadamente por la Ec. (4.17). Con base en el Problema 4.3, haga lo siguiente:

(a) Determine la envolvente de esta onda modulada. ¿Cuál es la razón entre el valor máximo y el valor mínimo de esta envolvente?


135

(b) Determine la potencia promedio de la onda FM de banda angosta, expresada como un porcentaje de la potencia promedio de la onda portadora no modulada.

(c) Mediante la expansión del argumento angular ( ) 2 ( )ct f t tθ = π + φ de la onda FM de banda angosta s(t)

en la forma de una serie de potencia y restringiendo el índice de modulación β a un valor máximo de 0.3 radián, demuestre que

( ) ( )3

3( ) 2 sen 2 sen 23c m mt f t f t f t

βθ = π + β π − π

¿Cuál es el valor de la distorsión armónica para β = 0.3 radián?

Sugerencia: Para x pequeña, se cumple la siguiente aproximación en serie:

( )1 31tan

3x x x− = −

En esta aproximación, se ignoran los términos que envuelven x3 y de orden mayor, lo cual se justifica cuando x es pequeña comparada con la unidad.

El punto importante que se debe observar en el Problema 4.4 es que si se restringe el índice de modulación a

0.3β ≤ radianes, los efectos de la modulación de amplitud residual y de la distorsión armónica son limitados a niveles despreciables. Por tanto, nos animamos a seguir adelante con la aplicación de la Ec. (4.17), siempre y cuando 0.3β ≤ radianes. En particular, podemos expandir la onda modulada aún más en tres componentes de frecuencia:

( ) ( ) ( ) 1( ) cos 2 cos 2 cos 2

2c c c c m c ms t A f t A f f t f f t ≈ π + β π + − π − (4.18)

Esta expresión es algo semejante a la expresión correspondiente que define una onda AM, la cual se reproduce aquí del Ejemplo 3.1 en el Capítulo tres en la forma siguiente:

( ) ( ) ( ) AM1

( ) cos 2 cos 2 cos 22c c c c m c ms t A f t A f f t f f t ≈ π + µ π + + π − (4.19)

donde µ es el factor de modulación de la señal AM. Si se comparan las Ecs. (4.18) y (4.19) y dejando a un lado las constantes β y µ, vemos que en el caso de modulación sinusoidal, la diferencia básica entre una onda AM y una onda FM de banda angosta es que el signo algebraico de la frecuencia lateral inferior en la FM de banda angosta está invertido. No obstante, una onda FM de banda angosta requiere esencialmente el mismo ancho de banda de transmisión (es decir, 2fm para modulación sinusoidal) que la onda AM. INTERPRETACIÓN FASORIAL

La onda FM de banda angosta se puede representa con un diagrama Fasorial como el mostrado en la Fig. 4.5(a), donde se usó el fasor de la portadora como referencia. Vemos que la resultante de los dos fasores de las frecuencias laterales forma siempre un ángulo recto con el fasor de la portadora. El efecto de esta geometría es producir un fasor resultante que representa la señal FM de banda angosta y tiene aproximadamente la misma amplitud que el fasor de la portadora, pero está fuera de fase con respecto a él.

El diagrama Fasorial para la onda FM debe compararse con el de la Fig. 4.5(b), el cual representa la onda AM correspondiente. En este último caso, se observa que el fasor resultante que representa la onda AM tiene una amplitud diferente de la del fasor de la portadora, pero siempre está en fase con él.

A pesar del hacho de que tanto la FM de banda angosta de la Ec. (4.18) como la onda AM de la Ec. (4.19) tienen tres componentes sinusoidales, las dos partes de la Fig. 4.5 ilustran claramente las principales diferencias entre estas dos ondas moduladas; las diferencias se atribuyen a las formas en que estas dos ondas moduladas son generadas.


136

Suma de los fasores de las bandas laterales

PortadoraFrecuencia

lateral inferior

Frecuencia lateral superior

Frecuencia lateral superior

Frecuencia lateral inferior

Suma de los fasores de las frecuencias laterales

Figura 4.5 Comparación Fasorial de ondas FM de banda angosta y AM para modulación sinusoidal. (a) Onda FM de banda angosta. (b) Onda AM.

4.5 Modulación de Frecuencia de Banda Ancha A continuación se desea determinar el espectro de la onda FM de un solo tono definida por la fórmula exacta en la Ec. (4.15) para un valor arbitrario del índice de modulación β. En general, una onda FM de este tipo producida por una onda moduladora sinusoidal es una función periódica del tiempo t solamente cuando la frecuencia portadora fc es un múltiplo entero de la frecuencia de modulación fm. Problema de Ejercicio 4.5 Estrictamente hablando, la onda FM de la Ec. (4.15) producida por una onda

moduladora sinusoidal es un función del tiempo no periódica. Demuestre esta propiedad de la modulación de frecuencia.

En vista de este problema, ¿cómo se puede simplificar el análisis espectral de la onda FM de banda ancha definida en la Ec. (4.15)? La respuesta está en la aplicación de la representación compleja en la banda base de una señal modulada (esto es, de pasabanda), la cual se estudió en la Sección 3.8. Específicamente, supóngase que la frecuencia portadora fc es lo suficientemente grande (comparada con el ancho de banda de la onda FM) para justificar que la Ec. (4.15) se reescriba en la forma

( )( )

( )

( ) Re exp 2 sen 2

Re ( )exp 2

c c m

c

s t A j f t j f t

s t j f t

= π + β π

= π ɶ (4.20)

El nuevo término

( )( ) exp sen 2c ms t A j f t = β π ɶ (4.21)

introducido en la Ec. (4.21) es la envolvente compleja de la onda FM s(t). El punto importante que se debe observar en la Ec. (4.21) es que, a diferencia de la onda FM original s(t), la envolvente compleja ( )s tɶ es una función periódica del tiempo con una frecuencia fundamental igual a la frecuencia de modulación fm. Específicamente, si se sustituye el tiempo t en la Ec. (4.21) con mt k f+ para algún entero k, se obtiene


137

( )( ) ( )

( )

( ) exp sen 2 exp sen 2 2

exp sen 2

c m m c m

c m

s t A j f t k f A j f t k

A j f t

= β π + = β π + π

= β π

ɶ

que confirma a fm como la frecuencia fundamental de ( )s tɶ . Por tanto, podemos expandir ( )s tɶ en la forma de una serie de Fourier compleja en la forma siguiente:

( )( ) exp 2n mn

s t c j nf t∞

=−∞

= π∑ɶ (4.22)

donde

( )( )

( )

( )( )

( )

1 2

1 2

1 2

1 2

( )exp 2

exp sen 2 2

m

m

m

m

f

n m mf

f

m c m mf

c f s t j nf t dt

f A j f t j nf t dt

−

−

= − π

= β π − π

∫

∫

ɶ

(4.23)

Defina ahora la nueva variable 2 mx f t= π (4.24)

Entonces, podemos redefinir el coeficiente de Fourier complejo cn en la Ec. (4.23) en la nueva forma

( )exp sen2

cn

Ac j x nx dx

π

−π = β −

π ∫ (4.25)

La integral en el lado derecho de la Ec. (4.25), excepto por la amplitud de la portadora Ac, se conoce como la función de Bessel de orden n de la primera clase y argumento β. Esta función se denota comúnmente por el símbolo

( )nJ β y por tanto podemos escribir

[ ]1

( ) exp sen2nJ j x nx dx

π

−πβ = β −

π ∫ (4.26)

Por consiguiente, la Ec. (4.25) se puede reescribir en la forma compacta

( )n c nc A J= β (4.27)

Sustituyendo la Ec. (4.27) en la Ec. (4.22), se obtiene, en términos de la función de Bessel ( )nJ β , la siguiente expansión para la envolvente compleja de la onda FM:

( )( ) ( )exp 2c n mn

s t A J j nf t∞

=−∞

= β π∑ɶ (4.28)

Ahora, sustituyendo la Ec. (4.28) en la Ec. (4.20), se obtiene

( )( ) Re ( )exp 2c n c mn

s t A J j f nf t∞

=−∞

= β π + ∑ (4.29)

La amplitud de la portadora Ac es una constante y, por tanto, puede sacarse de la operación de obtener la parte real. Además, podemos intercambiar el orden de la sumatoria y la operación de la parte real, ya que ambas son operadores lineales. Por consiguiente, podemos reescribir la Ec. (4.29) en la forma simplificada

( )( ) ( )cos 2c n c mn

s t A J f nf t∞

=−∞

= β π + ∑ (4.30)

La Ec. (4.30) es la forma deseada para la expansión en serie de Fourier de la señal FM de un solo tono s(t) para un valor arbitrario del índice de modulación β.


138

El espectro discreto de s(t) se obtiene tomando la transformada de Fourier de ambos lados de la Ec. (4.30), lo cual produce la transformada

( ) ( )( ) ( )2

cn c m c m

n

AS f J f f nf f f nf

∞

=−∞

= β δ − − + δ + + ∑ (4.31)

donde ( ) ( )s t S f y ( ) ( ) ( )1

cos 2 2i i if t f f f f π δ − + δ + para una fi arbitraria. La Ec. (4.31) muestra que

el espectro de s(t) está formado por un número infinito de funciones delta con una separación de c mf f nf= ± para 0, +1, +2, n = … . PROPIEDADES DE LA FM DE UN SOLO TONO PARA UN ÍNDICE DE MODULACIÓN ARBITRARIO ββββ

En la Fig. 4.6 se grafica la función de Bessel Jn(β) versus el índice de modulación β para diferentes valores enteros positivos de n. Podemos obtener una mejor idea del comportamiento de la función de Bessel Jn(β) utilizando la propiedades siguientes (véase el Apéndice 3 para más detalles):

FIGURA 4.6 Gráficas de la función de Bessel de la primera clase, Jn(β), para n variable. 1. Para valores enteros (positivos y negativos) de n, tenemos que

( ) ( ) para parn nJ J n−β = β (4.32) y

( ) ( ) para imparn nJ J n−β = − β (4.33)

2. Para valores pequeños del índice de modulación β, tenemos que


139

0

1

( ) 1,

( ) ,2

( ) 0, 2n

J

J

J n

β = β

β ≈

β ≈ >

(4.34)

3. La igualdad

2 ( ) 1nn

J∞

=−∞

β =∑ (4.35)

se cumple para valores arbitrarios de β.

Usando entonces las Ecs. (4.31) a (4.35) y las curvas de la Fig. 4.6, podemos hacer las siguientes observaciones:

1. El espectro de una onda FM contiene una componente de portadora y un conjunto infinito de frecuencias laterales ubicadas simétricamente a cada lado de la portadora en separaciones de frecuencia de fm, 2fm, 3fm, …. En este respecto, el resultado es diferente de la imagen que prevalece en la AM, puesto que en el último caso una onda moduladora sinusoidal dar lugar a sólo un par de frecuencias laterales.

2. Para el caso especial de β pequeño en comparación con la unidad, los coeficientes de Bessel J0(β) y J1(β) tienen valores significativos, de manera que la onda FM está efectivamente compuesta por una portadora y un solo par de frecuencias laterales en c mf f± . Esta situación corresponde al caso especial de FM de banda angosta que se consideró en la Sección 4.4.

3. La amplitud de la componente de portadora varía con β de acuerdo con J0(β). Esto es, a diferencia de una onda AM, la amplitud de la componente de portadora de una onda FM dependen del índice de modulación β. La explicación física para esta propiedad es que la envolvente de una onda FM es constante, de manera que la potencia promedio de esa señal desarrollada en un resistor de 1ohmio también es constante, como en la Ec. (4.8), la cual se reproduce aquí por conveniencia de la presentación:

2pr

12 cP A=

Cuando la portadora es modulada para generar la onda FM, la potencia en las frecuencias laterales sólo puede aparecer a costas de la potencia originalmente en la portadora, lo que hace que la amplitud de la componente de portadora sea dependiente de β. Observe que la potencia promedio de una onda FM también puede determinarse a partir de la Ec. (4.30), como muestra la relación

2 21( )

2 c nn

P A J∞

=−∞

= β∑ (4.36)

Si se sustituye la Ec. (4.35) en la Ec. (4.36), la expresión para la potencia promedio Ppr se reduce a la Ec. (4.8), como debe ser.

EJEMPLO 4.2 Espectro FM para Amplitud y Frecuencia Variables de una Onda Moduladora Sinusoidal

En este ejemplo, se desea investigar las formas en las cuales las variaciones en la amplitud y la frecuencia de una onda moduladora sinusoidal afectan el espectro de la onda FM. Considérese primero el caso cuando la frecuencia de la onda moduladora es fija, pero se varía su amplitud, lo que produce una variación correspondiente en la desviación de frecuencia ∆f. Por tanto, si se mantiene fija la frecuencia de modulación, se encuentra que el espectro de amplitud de la onda FM resultante es como se muestra en la gráfica de la Fig. 4.7 para β =1, 2 y 5. En este diagrama, se ha normalizado el espectro con respecto a la amplitud de la portadora no modulada.

Considérese a continuación el caso cuando la amplitud de la onda modulada es fija; es decir, la desviación de frecuencia ∆f se mantiene constante y se varía la frecuencia de modulación fm. En el segundo caso, se encuentra que el espectro de amplitud de la onda FM resultante es como se muestra en la Fig. 4.8 para β = 1, 2 y 5. Ahora


140

vemos que cuando ∆f es fija y β se incrementa, tenemos un número creciente de líneas espectrales amontonándose en el intervalo de frecuencia fija c cf f f f f− ∆ < < + ∆ . Esto es, cuando β tiende a infinito, el

ancho de banda de la onda FM tiende al valor límite de 2∆f, el cual es un punto importante de recordar.

FIGURA 4.7 Espectros de amplitud discretos de una onda FM, normalizada con respecto a la amplitud de la portadora no modulada, para el caso de modulación sinusoidal de frecuencia fija y amplitud variable. Sólo se muestran los espectros para frecuencias positivas.

4.6 Ancho de Banda de Transmisión de Ondas FM REGLA DE CARSON

En teoría, una onda FM contiene un número infinito de frecuencias laterales de modo que el ancho de banda requerido para transmitir esta onda modulada es similarmente infinito en extensión. En la práctica, sin embargo, se encuentra que la onda FM está efectivamente limitada a un número finito de frecuencias laterales significativas con una cantidad especificada de distorsión. Por tanto, es posible elaborar sobre idea para especificar un ancho de banda requerido para la transmisión de una onda FM generada por una onda moduladora de un solo tono de frecuencia fm. En esta onda FM, la frecuencias laterales que están separadas de la frecuencia portadora fc por una cantidad mayor que la desviación de frecuencia ∆f, decrecen rápidamente hacia cero, de manera que el ancho de


141

banda siempre excede la desviación de frecuencia total, pero sin embargo está limitado. Específicamente, se pueden identificar dos casos límite:

1. Para valores grandes del índice de modulación β, el ancho de banda se acerca a, y es sólo ligeramente mayor que la desviación de frecuencia total 2∆f, como se ilustra en la Fig. 4.8(c).

2. Para pequeños valores del índice de modulación β, el espectro de la onda FM está efectivamente limitado a la frecuencia portadora fc y a un para de frecuencias laterales en c mf f± , de modo que el ancho de banda tiende a 2fm, como se ilustra en la Sección 4.4.

Figura 4.8 Espectro de amplitudes discreto de una onda FM, normalizado con respecto a la amplitud de la portadora no modulada, para el caso de modulación sinusoidal de frecuencia variable y amplitud fija. Sólo se muestran los espectros para frecuencias positivas.

A la luz de estos dos escenarios limitadores, se puede definir una regla aproximada para el ancho de banda de transmisión de una onda FM generada por una onda moduladora de un solo tono de frecuencia fm como

1

2 2 2 1T mB f f f ≈ ∆ + = ∆ + β

(4.37)


142

CURVA UNIVERSAL PARA EL ANCHO DE BANDA DE TRANSMISIÓN FM

La regla de Carson es simple de usar pero, desafortunadamente, no siempre proporciona un buen estimado de los requerimientos de ancho de banda de sistemas de comunicación que utilizan modulación de frecuencia de banda ancha. Para una evaluación más precisa del ancho de banda FM, se puede usar una definición basada en la retención del máximo número de frecuencias laterales significativas cuyas amplitudes son todas mayores que algún valor seleccionado. Una selección conveniente para este valor es uno por ciento de la amplitud de la portadora no modulada. Entonces podemos definir el ancho de banda de transmisión de la onda FM como la separación entre las dos frecuencias más de las cuales ninguna de las frecuencias laterales es mayor que un uno por ciento de la amplitud de la portadora obtenida cuando se remueve la modulación. Esto es, el ancho de banda de transmisión se define como máx2 mn f , donde fm es la frecuencia de modulación y nmáx es el mayor valor del entero n que satisface

el requerimiento ( ) 0.01nJ β > . El valor de nmáx varía con el índice de modulación β y puede determinarse

rápidamente a partir de valores tabulados de la función de Bessel Jn(β). La Tabla 4.2 muestra el número total de frecuencias laterales significativas (incluyendo las frecuencias laterales superior e inferior) para diferentes valores de β, calculados sobre la base de uno por ciento. El ancho de banda de transmisión BT que se calcula utilizando este procedimiento puede presentarse en la forma de una curva universal si se le normaliza con respecto a la desviación de frecuencia ∆f y luego se grafica versus β. Esta curva se muestra en la Fig. 4.9, la cual se dibuja como el mejor ajuste a través del conjunto de puntos obtenidos al usar la Tabla 4.2. En la Fig. 4.9, vemos que a medida que se aumenta el índice de modulación β, el ancho de banda ocupado por las frecuencias laterales significativas cae hacia el valor para el cual la frecuencia portadora se desvía realmente. Esto significa que los valores pequeños del índice de modulación β son relativamente más generosos en el ancho de banda de transmisión que los valores más grandes de β.

Tabla 4.2 Número de Frecuencias Laterales Significativas de una Señal FM de Banda Angosta para Índice de Modulación Variable

Índice de modulación β Número de Frecuencias Laterales Significativas 2nmáx

ONDA MODULADORA ARBITRARIA

Considérese ahora el caso más general de una onda moduladora arbitraria m(t) con su componente de frecuencia más alto denotado por W; esto es, W denota el ancho de banda del mensaje. Ahora tenemos una situación más difícil. Una forma de abordarla es buscar una evaluación del peor caso del ancho de banda de transmisión. Específicamente, el ancho de banda requerido para transmitir una onda FM generada por una onda moduladora arbitraria se basa en un análisis de modulación de tono del peor caso. Primero se determina la razón de desviación D, definida como la razón de la desviación de frecuencia ∆f, la cual corresponde a la amplitud máxima posible de la onda de modulación m(t), a la frecuencia de modulación más alta W. Estas condiciones representan los posibles casos extremos. Entonces podemos escribir formalmente

f

DW∆

= (4.38)

La razón de desviación D juega el mismo papel en la modulación sinusoidal que el índice de modulación β juega en el caso de la modulación sinusoidal. Por tanto, reemplazando β por D y reemplazando fm con W, podemos generalizar la Ec. (4.37) y escribirla en la forma


143

Índice de modulación, β

An

cho

de

ban

da

nor

mal

izad

o, B

T/

∆f

Figura 4.9 Curva universal para evaluar el ancho de banda de uno por ciento de una onda FM. ( )2TB f W= ∆ + (4.39)

De aquí en adelante, nos referiremos a la Ec. (4.39) como la regla de Carson generalizada para el ancho de banda de transmisión de una señal FM arbitraria. En la misma forma, se puede generalizar la curva universal de la Fig. 4.9 para obtener un valor para el ancho de banda de transmisión de la señal FM. Desde un punto de vista práctico, la regla de Carson generalizada subestima parcialmente los requerimientos de ancho de banda de un sistema FM, en tanto que, en una forma correspondiente, el uso de la curva universal de la Fig. 4.9 produce un resultado algo conservador. Por tanto, la selección de un ancho de transmisión que esté entre los límites suministrados por estas dos reglas empíricas es aceptable para la mayoría de los objetivos prácticos. EJEMPLO 4.3 Radiodifusión FM Comercial

En Norte América, el valor máximo de la desviación de frecuencia ∆f se fija en 75 kHz para la difusión comercial de la FM por radio. Si se toma la frecuencia de modulación W = 15 kHz, que es típicamente la “máxima” frecuencia de audio de interés en la transmisión de FM, se encuentra que el valor correspondiente de la razón de desviación es [usando la Ec. (4.38)]

755

15D = =

Si se usan los valores ∆f = 75 kHz y D = 5 en la regla de Carson generalizada de la Ec. (4.39), se encuentra que el valor aproximado del ancho de banda de transmisión de la señal FM se obtiene como

( )2 75 15 180 kHzTB = + =

Por otra parte, el uso de la curva universal de la Fig. 4.9 da el ancho de banda de transmisión de la señal FM como

3.2 3.2 75 240 kHzTB f= ∆ = × =

En este ejemplo, la regla de Carson subestima el ancho de banda de transmisión por 25 por ciento comparado con el resultado de la curva universal de la Fig. 4.9.


144

4.7 Generación de Ondas FM De acuerdo con la Ec. (4.5), la frecuencia instantánea fi(t) de una onda FM varía linealmente con la señal del mensaje m(t). Para el diseño de un modulador de frecuencia, se necesitan entonces un dispositivo que produzca una señal de salida cuya frecuencia instantánea sea sensible en forma lineal a variaciones en la amplitud de una señal de entrada.

Existen dos métodos básicos para generar ondas moduladas en frecuencia, uno directo y el otro indirecto. MÉTODO DIRECTO

El método directo utiliza un oscilador sinusoidal, donde uno de los elementos reactivos (por ejemplo, el elemento capacitivo) en el circuito tanque del oscilador es controlado directamente por la señal del mensaje. Por tanto, en términos conceptuales, el método directo se puede implementar de forma directa. Sin embargo, una limitación seria del método directo es la tendencia de la frecuencia portadora a derivar, lo que es usualmente inaceptable para las aplicaciones en la radio comercial. Para superar esta limitación, se requiere la estabilización de frecuencia del generador de FM, lo que se obtiene a través del uso de realimentación en torno al oscilador; véase el Problema 4.15 para la descripción de un procedimiento como éste. Aunque la construcción del oscilador mismo puede ser sencilla, el uso de estabilización de frecuencia le añade complejidad al diseño del modulador de frecuencia

MÉTODO INDIRECTO: MODULADOR DE ARMSTRONG

En el método indirecto, por otra parte, la señal del mensaje se usa primero para producir una FM de banda angosta, la cual es seguida por una multiplicación de frecuencia para incrementar la desviación de frecuencia hasta el nivel deseado. En este segundo método, el problema de la estabilidad de la frecuencia portadora es aliviado al utilizar un oscilador de alta estabilidad (por ejemplo, un oscilador a cristal) en la generación de la FM de banda angosta; este esquema de modulación se denomina el modulador de banda ancha de Armstrong, como reconocimiento a su inventor.

En la Fig. 4.10 se muestra un diagrama de bloques simplificado de sistema de FM indirecta. La señal del mensaje m(t) primero se integra y luego se usa para modular un oscilador controlado por cristal; el del control por cristal proporciona estabilidad de frecuencia. Para minimizar la distorsión inherente al modulador de fase, la máxima desviación de fase o el índice de modulación β se mantiene pequeño a propósito, lo que resulta en una onda FM de banda angosta; para la implementación del modulador de fase de banda angosta, se puede usar el arreglo descrito en la Fig. 4.4. La onda FM de banda angosta es multiplicada después en frecuencia mediante un multiplicador de frecuencia y así producir la onda FM de banda ancha que se desea.

Un multiplicador de frecuencia consiste de un dispositivo no lineal sin memoria seguido por un filtro de pasabanda, como se muestra en la Fig. 4.11. La implicación de que el dispositivo lineal no tiene memoria es que no tiene elementos que almacenan energía. La relación de entrada-salida de este dispositivo puede expresarse en la forma general

Modulador de frecuencia de banda angosta

Señal del mensaje

m(t)Integrador

Modulador de fase de banda

angosta

Multiplicador de frecuencia

Oscilador controlado por cristal

FM de banda ancha

FIGURA 4.10 Diagrama de bloques del método indirecto para generar una onda FM de banda ancha.


145

21 2( ) ( ) ( ) ( )n

nv t a s t a s t a s t= + + +⋯ (4.40)

donde a1, a2, … , an son coeficiente determinados por el punto de operación del dispositivo y n el orden más alto de la no linealidad. En otras palabras, el dispositivo no lineal sin memoria es un dispositivo de n-ésima ley de potencia.

Onda FM s(t) con frecuencia portadora

fc e índice de modulación β

Dispositivo no lineal sin memoria

Filtro de pasabanda con frecuencia de

media banda nfc

Onda FM s’(t) con frecuencia portadora f’c = nfc e índice de

modulación nβ

FIGURA 4.11 Diagrama de bloques del multiplicador de frecuencia.

La entrada s(t) es una onda FM definida por

0

( ) cos 2 2 ( )t

c c fs t A f t k m d

= π + π τ τ ∫ (4.41)

donde la frecuencia instantánea es

( ) / )i c ff t f k m t= + (4.42)

Supóngase que (1) la frecuencia de media banda del filtro de pasabanda en la Fig. 4.11 se hace igual a nfc, donde fc es la frecuencia portadora de la onda FM entrante s(t), y (2) el filtro de pasabanda se diseña para que tenga un ancho de banda igual a n veces el ancho de banda de transmisión de s(t). En el Problema 4.24, el cual trata sobre efectos lineales en sistemas FM, se abordan las contribuciones espectrales de esos términos no lineales como los términos de segundo y tercer orden en la relación entrada-salida de la Ec. (4.40). Por ahora, basta con decir que después del filtrado de pasabanda de la salida v(t) del dispositivo no lineal, tenemos una nueva onda FM definida por

0

( ) cos 2 2 ( )t


′ ′ ′= π + π τ τ ∫ (4.43)

cuya frecuencia instantánea es

( ) ( )i c ff t nf nk m t′ = + (4.44)

Por tanto, si se compara la Ec. (4.44) con la Ec. (4.42), vemos que el subsistema no lineal de la Fig. 4.11 actúa como un multiplicador de frecuencia con c cf nf′ = y f fk nk′ = . La razón de multiplicación n es determinada por

la potencia más alta n en la relación de entrada-salida de la Ec. (4.40), la cual caracteriza al dispositivo lineal sin memoria. 4.8 Demodulación de Señales FM La demodulación de frecuencia es el proceso mediante el cual se recupera la señal original a partir de la seña FM recibida. En otras palabras, la demodulación de frecuencia es la inversa de la modulación de frecuencia. Puesto que el modulador de frecuencia es un dispositivo que produce una señal de salida cuya frecuencia instantánea varía linealmente con la amplitud de la señal del mensaje de entrada, se deduce que para la demodulación de frecuencia se necesita un dispositivo cuya amplitud de salida sea sensible a variaciones en la frecuencia instantánea de la onda FM recibida también en una forma lineal.

En lo que sigue, se describen dos dispositivos para la demodulación de frecuencia. Un dispositivo, denominado un discriminador de frecuencia, se basta en la detección por pendiente seguido por detección de envolvente. El otro dispositivo, denominado un lazo de encaje de fase, realiza la demodulación de frecuencia en una forma más bien indirecta.


146

DISCRIMINADOR DE FRECUENCIA

Recuérdese que la expresión para la señal FM es

0( ) cos 2 2 ( )

t

c c fs t A f t k m d = π + π τ τ

∫

que es la Ec. (4.41) y se reproduce aquí por conveniencia para la presentación. La pregunta a responder es: ¿cómo se recupera la señal del mensaje m(t) a partir de la señal modulada s(t)? Se puede motivar la formulación de un receptor para hacer esta recuperación observando que si se deriva la Ec. (4.41) con respecto al tiempo, entonces se obtiene

0

( )2 ( ) sen 2 2 ( )

t

c c f c fds t

A f k m t f t k m ddt

= − π + π + π τ τ ∫ (4.45)

Si se inspecciona la Ec. (4.45), se observa que la derivada es una señal de pasabanda con modulación de amplitud definida por el término de multiplicación ( )c ff k m t+ . Por consiguiente, si fc es lo suficientemente

alta de modo que la portadora no esté sobre modulada, entonces podemos recuperar la señal del mensaje m(t) con un detector de envolvente en una forma similar a la descrita para señales AM en el Capítulo 3. Esta idea proporciona la motivación para el discriminador de frecuencia, el cual es básicamente un demodulador que consiste de un diferenciador seguir por un detector de envolvente.

Sin embargo, hay problemas prácticos relacionados con la implementación del discriminador en la forma que se acaba de describir, particularmente, con el diferenciador. En el Capítulo 2 se demostró que la diferenciación corresponde a una función de transferencia lineal en el dominio de la frecuencia; esto es,

2d

j fdt

π (4.46)

En términos prácticos, es difícil construir un circuito que tenga una función de transferencia equivalente al lado derecho de la Ec. (4.46) para todas las frecuencias. Más bien, se construye un circuito que aproxime esta función de transferencia en el ancho de banda de la señal de pasabanda, en particular, para 2 2c T c Tf B f f B− ≤ ≤ + ,

donde BT es el ancho de banda de transmisión de la señal FM recibida s(t). Una característica de transferencia típica que satisface este requisito es descrita por

( )

12 2 , 2 2

( )0, otros valores de

c T c T c Tj f f B f B f f BH f

f

π − − − ≤ ≤ + =

(4.47)

La característica de transferencia de este llamado circuito de pendiente se ilustra en la Fig. 4.12 para frecuencias positivas. Un circuito de pendiente práctico tendría una ganancia no unitaria asociada con la pendiente; pero, para simplificar las cosas, suponemos que tiene una ganancia unitaria sin pérdida de generalidad. Al circuito tampoco se le pide que tenga una respuesta cero fuera del ancho de banda de transmisión, siempre y cuando el circuito sea precedido por un filtro de pasabanda centrado en fc con ancho de banda BT.

Pendiente unitaria

Figura 4.12 Respuesta de frecuencia de un circuito de pendiente ideal.


147

Es más sencillo procede con una representación compleja de la banda base del procesamiento de la señal realizado por el discriminador. Específicamente, si se sigue la teoría de esta representación desarrollada en el Capítulo 3, se encuentra que la envolvente compleja de la señal FM s(t) es

0

( ) exp 2 ( )t

c fs t A j k m d

= π τ τ ∫ɶ (4.48)

cuya aplicabilidad requiere que la frecuencia portadora fc sea grande comparada con BT. De forma correspondiente, podemos expresar el filtro de banda base complejo (esto es, el circuito de pendiente) que corresponde a la Ec. (4.48) como

( )1

2 2 , 2( )

0, otros valores de T Tj f B f B

H ff

π + − ≤ ≤ =

(4.49)

Denote por 1( )s tɶ la envolvente compleja de la respuesta del circuito de pendiente debida a ( )s tɶ . Entonces, de acuerdo con la transformación de pasabanda a pasabajas descrita en el Capítulo 3, podemos expresar la transformada de Fourier de 1( )s tɶ como

ɶ ɶ

ɶ

111

( ) ( ) ( )2

1 1 1( ),

2 2 20, otros valores de

T T T

S f H f S f

j f B S f B f B

f

=

π + − ≤ ≤

=

(4.50)

donde ɶ( )S f es la transformada de Fourier de ( )s tɶ . La razón para introducir el factor de multiplicación 1/2 en la

primera línea de la Ec. (4.50) se delineó en el Capítulo 3. Para determinar ( )s tɶ , que es la inversa de ɶ1( )S f , se invocan dos propiedades pertinentes de la transformada de Fourier (véase el Capítulo 2):

1. La multiplicación de la transformada de Fourier ɶ( )S f por 2j fπ es equivalente a diferenciar la

transformada de Fourier inversa ( )s tɶ de acuerdo con la Propiedad 9 descrita en la Ec. (2.33), como muestra la relación

ɶ( ) 2 ( )d

s t j f S fdt

πɶ

2. La aplicación de la propiedad de linealidad (esto es, la Ec. (2.14)) a la parte no cero de ɶ1( )S f produce

11 1

( ) ( ) ( )2 2 T

ds t s t j B s t

dt= + πɶ ɶ ɶ (4.51)

Al sustituir la Ec. (4.48) en la Ec. (4.51), se obtiene

10

21( ) 1 ( ) exp 2 ( )

2

tfc T f

t

ks t j A B m t j k m d

B

= π + π τ τ

∫ɶ (4.52)

Finalmente, la respuesta real del circuito de pendiente debida a la onda FM s(t) es dada por

( )1 1

0

( ) Re ( )exp 2

21 1 ( ) cos 2 2 ( )

2 2

c

tfc T c f

T

s t s t j f t

kA B m t f t k m d

B

= π

π= π + π + π τ τ +

∫

ɶ

(4.53)

El siguiente bloque funcional que se considera es el detector de envolvente, el cual es alimentado por s1(t). De la Ec. (4.53), vemos que s1(t) es una onda modulada híbrida, que exhibe modulación de amplitud y modulación de frecuencia de la señal modulada m(t). Siempre y cuando se mantenga el alcance de la modulación de amplitud, vale decir,


148

máx

2( ) 1, para toda f

T

km t t

B

<

entonces el detector de envolvente recupera la señal del mensaje m(t), excepto por alguna deformación. Específicamente, bajo condiciones ideales, la salida del detector de envolvente es dada por

1

21( ) 1 ( )

2f

c TT

kv t A B m t

B

= π +

(4.54)

La deformación en v1(t) la define el término constante en la Ec. (4.54), es decir, el término 2c TA Bπ .

Para remover ese término, se puede usar un segundo circuito de pendiente seguido por un detector de envolvente. Sin embargo, esta vez el circuito de pendiente se diseña de modo que tenga una pendiente negativa. Sobre esta base, de la Ec. (4.54) se infiere que la salida de esta segunda configuración es

2

21( ) 1 ( )

2f

c TT

kv t A B m t

B

= π −

(4.55)

Por consiguiente, restando la Ec. (4.55) de la Ec. (4.54), se obtiene una salida que está libre de deformación, como muestra la relación

1 2( ) ( ) ( )

( )

v t v t v t

cm t

= −

= (4.56) donde c es una constante.

En vista de las Ecs. (4.54) a (4.56), ahora podemos construir el diagrama de bloques de la Fig. 4.13 para el discriminador de frecuencia ideal cuya composición es la siguiente:

La trayectoria superior de la figura pertenece a la Ec. (4.54)

La trayectoria inferior pertenece a la Ec. (4.55).

La unión de suma toma en cuenta la Ec. (4.56).

Onda FM de banda ancha s(t)

Circuito de pendiente positiva

Detector de envolvente


Circuito de pendiente negativa

Señal del mensaje m(t) (excepto por

escalamiento)

FIGURA 4.13 Diagrama de bloques de discriminador de frecuencia balanceado.

Este sistema de detección en particular se denomina un discriminador de frecuencia balanceado, donde el término “balanceado” se refiere al hecho de que los dos circuitos de pendiente del sistema están relacionados entre sí en la forma descrita en las Ecs. (4.54) y (4.55).

Desde un punto de vista práctico, el reto para implementar el discriminador de frecuencia balanceado de la Fig. 4.13 está en cómo construir los dos circuitos de pendiente de manera que satisfagan los requerimientos de diseño de las Ecs. (4.54) y (4.55).


149

LAZO DE ENCAJE DE FASE

El lazo de encaje de fase (“phase locked loop” es su nombre en inglés) es un sistema realimentado cuya operación está íntimamente relacionada con la modulación de frecuencia. Se utiliza comúnmente para sincronización de la portadora y para la demodulación indirecta de frecuencia. La última aplicación es el teme de interés aquí.

Básicamente, el lazo de adquisición de fase está formado por tres componentes principales:

Oscilador controlado por voltaje (OCV), el cual realiza la modulación de frecuencia sobre su propia señal de control.

Multiplicador, el cual multiplica la onda FM recibida por la salida del oscilador controlado por voltaje.

Filtro de lazo de un tipo de pasabajas, cuya función es remover las componentes de alta frecuencia contenidas en la señal de salida del multiplicador, por lo que modifica la respuesta de frecuencia total del sistema.

Como se muestra en el diagrama de bloques de la Fig. 4.14, estas tres componentes están interconectadas para formar un sistema de realimentación de lazo cerrado.

Onda FM s(t)

Filtro de lazo

Oscilador controlado por voltaje

FIGURA 4.14 Diagrama de bloques de lazo de encaje de fase.

Para demostrar la operación del lazo de encaje de fase como un demodulador de frecuencia, se supone que el OCV se ha ajustado de manera que cuando la señal de control (es decir, la entrada) es cero, entonces se satisfacen dos condiciones:

1. La frecuencia del OCV se fija precisamente en la frecuencia portadora no modulada fc de la señal FM recibida s(t).

2. La salida del OCV tiene un desplazamiento de fase de 90 grados con respecto a la onda portadora no modulada.

Supóngase entonces que la onda FM recibida está definida por

[ ]1( ) sen 2 ( )c cs t A f t t= π + φ (4.57)

donde Ac es la amplitud de la portadora. Por definición, el ángulo φ1(t) está relacionado con la señal del mensaje m(t) por la integral

10

( ) 2 ( )t

ft k m dφ = π τ τ∫ (4.58)

donde kf es el factor de sensibilidad de frecuencia del modulador de frecuencia responsable por la generación de s(t). De manera correspondiente, de acuerdo con los puntos (1) y (2)arriba, la onda FM producida por el OCV se define como

[ ]2( ) cos 2 ( )v cr t A f t t= π + φ (4.59)

donde Av es la amplitud. El ángulo φ2(t) está relacionado con la señal de control v(t) del OCV por la integral

20

( ) 2 ( )t

vt k v dφ = π τ τ∫ (4.60)

donde kv es el factor de sensibilidad de frecuencia del OCV.


150

La función del lazo de realimentación que actúa alrededor del OCV es ajustar el ángulo φ2(t) de modo que sea igual a φ1(t), preparando así el escenario para la demodulación de frecuencia. Para ahondar un poco más en esta función y cómo puede surgir, necesitamos desarrollar un modelo para el lazo de encaje de fase, como se describe a continuación.

Con este objetivo, primero observamos que la multiplicación de la señal FM recibida s(t) por la onda FM generada localmente r(t) produce dos componentes (excepto por el factor de escala de 1/2):

1. Una componente de alta frecuencia, la cual se define por el término de frecuencia doble, a saber,

[ ]1 2sen 4 ( ) ( )m c v ck A A f t t tπ + φ + φ

donde km es la ganancia del multiplicador.

2. Una componente de baja frecuencia, la cual se define mediante el término de la diferencia de frecuencia, a saber,

[ ]1 2sen ( ) ( )m c vk A A t tφ − φ

Problema de Ejercicio 4.6 Usando una identidad trigonométrica muy conocida que involucra el producto

del seno de un ángulo y el coseno de otro ángulo, demuestre los dos resultados que se acaban de describir bajo los puntos 1 y 2

Con el filtro de lazo diseñado para suprimir las componentes de alta frecuencia en la salida del multiplicador, de aquí en adelante se puede descartar el término de frecuencia doble. Al hacer esto, se puede reducir la señal aplicada al filtro de lazo a

[ ]( ) sen ( )m c v ee t k A A t= φ (4.61)

donde φe(t) es el error de fase, definido por

1 2

10

( ) ( ) ( )

( ) 2 ( )

et

v

t t t

t k v d

φ = φ − φ

= φ − π τ τ∫ (4.62)

Cuando el error de fase φe(t) es cero, se dice que el lazo de encaje de fase está encajado en fase. Se dice que está cerca del encaje de fase cuando el error de fase φe(t) es pequeño comparado con un radián, y bajo esta condición se puede usar la aproximación

[ ]sen ( ) ( )e et tφ ≈ φ

Esta aproximación de hasta menos de cuatro por ciento siempre y cuando φe(t) sea menor que 0.5 radianes. De forma correspondiente, la señal de error de la Ec. (4.61) se puede aproximar como

0

( ) ( )

( )

m c v e

ev

e t k A A t

Kt

k

≈ φ

= φ (4.63)

donde el nuevo parámetro

0 m v c vK k k A A= (4.64)

se denomina el parámetro de la ganancia del lazo del lazo de encaje de fase.

La señal de error e(t) actúa sobre el filtro de lazo para producir la salida v(t). Denote por h(t) la respuesta al impulso del filtro de lazo. Entonces podemos relacionar v(t) con e(t) mediante la integral de convolución

( ) ( ) ( )v t e h t d∞

−∞= τ − τ τ∫ (4.65)


151

Las Ecs. (4.62), (4.63), (4.65) y (4.60), en ese orden, constituye una modelo de realimentación linealizado del lazo de encaje de fase. El modelo se ilustra en la Fig. 4.15(a) con el ángulo φ1(t) de la señal FM recibida s(t) actuando como entrada y la salida v(t) del filtro de lazo actuando como la salida global del lazo de encaje de fase.

De la teoría de realimentación lineal, se recuerda el siguiente teorema importante:1

Cuando la función de transferencia de un sistema de realimentación lineal tiene una gran magnitud comparada con la unidad para todas las frecuencias, la función de transferencia de lazo cerrado del sistema es determinada efectivamente por la inversa de la función de transferencia de la trayectoria de realimentación.

Dicho de otra forma, la función de transferencia de lazo cerrado del sistema realimentado se vuelve esencialmente independiente de la trayectoria directa.

A partir del modelo linealizado de la Fig. 4.15(a), se observan tres puntos importantes que se refieren al problema actual:

1. La trayectoria de realimentación está definida solamente por el integrador escalado descrito en la Ec. (4.60), que la contribución del OCV al modelo. En forma correspondiente, el inverso de esta trayectoria de realimentación es descrito en el dominio del tiempo por el diferenciador escalado:

FIGURA 4.15 (a) Modelo linealizado del lazo de encaje de fase. (b) Forma aproximada del modelo, suponiendo que la ganancia del lazo K0 es grande comparada con la unidad.

1 Considérese el ejemplo clásico de un amplificador de realimentación negativa, el cual está formado por dos

componentes: un amplificador de ganancia µ en la trayectoria directa y una red de ganancia β en la trayectoria de realimentación. La ganancia de lazo cerrado del lazo cerrado se define como

1A

µ=

+ µβ

El término producto µβ en el denominador es la ganancia de lazo abierto del amplificador realimentado. Cuando µβ es grande comparado con la unidad, la fórmula para A es determinada efectivamente por la inversa de β, esto es,

1A =

β


152

2

1( )

( )2 v

v td t

kdt

=φ

π

(4.66)

2. El comportamiento en el dominio del tiempo de lazo cerrado del lazo de encaje de fase es descrito por la salida global v(t) producida en respuesta al ángulo φ1(t) en la señal FM recibida s(t).

3. La magnitud de la función de transferencia de lazo abierto del lazo de encaje de fase es controlada por el parámetro de la ganancia de lazo K0 de la Ec. (4.64).

Suponiendo que el parámetro de la ganancia del lazo K0 es grande comparado con la unidad, la aplicación del teorema de realimentación lineal al modelo de la Fig. 4.1(a) nos enseña que la función de transferencia de lazo cerrado (esto es, la conducta del lazo cerrado en el dominio del tiempo) del lazo de encaje de fase es determinada efectivamente por la inversa de la función de transferencia (esto es, la conducta en el dominio del tiempo) de la trayectoria de realimentación. Por consiguiente, en vista del teorema de realimentación y de la Ec. (4.66), podemos relacionar la salida global v(t) del ángulo de entrada φ1(t) mediante la fórmula aproximada

1( )1( )

2 v

d tv t

k dtφ

≈ π

(4.67)

Permitir que K0 asuma un valor grande tiene el efecto de hacer que el error de fase φe(t) tienda a cero. Bajo esta condición, tenemos que 1 2( ) ( )t tφ ≈ φ de acuerdo con la primera línea de la Ec. (4.62). Esta condición de igualdad

aproximada proporciona la razón para reemplazar φ2(t) con φ1(t) en la Ec. (4.67).

En vista de la relación aproximada descrita en la Ec. (4.67), ahora podemos simplificar el modelo de realimentación linealizado de la Fig. 4.15(a) a la forma mostrada en la parte (b) de la figura. Por tanto, sustituyendo la Ec. (4.58) en la Ec. (4.67), se obtiene

0

1( ) 2 ( )

2

( )

t

fv

f

v

dv t k m d

k dt

km t

k

≈ π τ τ

π

=

∫ (4.68)

La Ec. (4.68) establece que cuando el sistema opera en el modo de encaje de fase o casi encaje de fase y el parámetro de la ganancia de lazo K0 es grande comparado con la unidad, se logra la demodulación de frecuencia de la onda FM recibida s(t), excepto por el factor de escala ( )f vk k .

Una característica importante del lazo de encaje de fase, cuando actúa como un demodulador de frecuencia, es que el ancho de banda de la señal FM recibida s(t) puede ser mucho más amplia que la del filtro de lazo caracterizado por la función de transferencia ( )H f ; esto es, la transformada de Fourier de la respuesta al

impulso del filtro del lazo h(t). La función de transferencia ( )H f del filtro del lazo puede y por tanto debe ser restringida

a la banda base (esto es, la banda original de frecuencias ocupada por la señal del mensaje). Entonces la señal de control del OCV, vale decir, v(t), tiene el ancho de banda de la señal de banda base m(t) (el mensaje), en tanto que la salida del OCV r(t) es una onda modulada en frecuencia de banda ancha cuya frecuencia instantánea rastrea las variaciones en la frecuencia instantánea de la onda FM recibida s(t) debidas a m(t). Aquí estamos simplemente reafirmando el hecho de que el ancho de banda de una onda FM de banda ancha es mucho mayor que el ancho de banda de la señal del mensaje responsable por su generación.

La complejidad del lazo de encaje de fase es determinada por la función de transferencia ( )H f del filtro de lazo.

La forma más sencilla de un lazo de encaje de fase se obtiene haciendo ( ) 1H f = ; esto es, no hay filtro de lazo, en cuyo caso el lazo de encaje de fase se conoce como un lazo de encaje de fase de primer orden. Para lazos de orden suprior, la función de transferencia ( )H f toma una forma que tiene una dependencia más compleja de la frecuencia.

Una limitación importante de un lazo de encaje de fase de primer orden es que el parámetro de la ganancia de lazo K0 controla tanto el ancho de banda del lazo como el intervalo de frecuencias de retención del lazo. El


153

intervalo de frecuencias de retención se refiere a la banda de frecuencias para las cuales el lazo permanece en una condición de encaje de fase con respecto a la onda FM recibida. Ésta es la razón por la cual, a pesar de su sencillez, un lazo de encaje de fase de primer orden raramente se usa en la práctica. Más bien, el procedimiento recomendado es utilizar un lazo de segundo orden, cuya realización se satisface usando un filtro de lazo de primer orden; Véase el Problema 4.25. Problema de Ejercicio 4.7 Use el modelo linealizado de la Fig. 4.15(a) para demostrar que el modelo es gobernado aproximadamente por la ecuación integro-diferencial

10

( ) ( )2 ( ) ( )e

ed t d t

K h t ddt dt

∞

−∞

φ φ+ π φ τ − τ τ ≈∫

Por tanto, deduzca los dos resultados aproximados siguientes en el dominio de la frecuencia:

(a) 11

( ) ( )1 ( )e f f

L fφ ≈ Φ

+

(b) 1( )

( ) ( )1 ( )v

jf L fV f f

k L f≈ Φ

+

donde

0( )

( )H f

L f Kjf

=

es la función de transferencia de lazo abierto. Finalmente, demuestre que cuando ( )L f es grande comparada con la unidad para todas las frecuencias en el interior de la banda del mensaje, la versión en el dominio del tiempo de la fórmula en la parte () se reduce a la forma aproximada en la Ec. (4.68). 4.9 Ejemplo del Tema: Multiplexado de FM Estéreo El multiplexado de estéreo es una forma de multicanalización por división de frecuencia (FDM, por sus siglas en inglés) diseñado para transmitir dos señales separadas usando la misma portadora. Se usa ampliamente en la radiodifusión de FM para enviar dos elementos diferentes de un programa (por ejemplo, dos secciones diferentes de una orquesta, un vocalista y un acompañante) para dar una dimensión espacial a su percepción por un oyente en el terminal receptor.

La especificación de estándares para la transmisión de FM estéreo es influenciada por dos factores:

1. La transmisión tiene que operar dentro de los canales asignados a la radiodifusión de FM.

2. Tiene que ser compatible con los receptores de radio monofónicos.

El primer requerimiento fija los parámetros de frecuencia permitidos, incluyendo la desviación de frecuencia. El segundo requerimiento restringe la forma en que se configura la señal transmitida.

La Fig. 4.16(a) muestra el diagrama de bloques del sistema de multiplexado que se utiliza en un transmisor de FM estéreo. Sean mi(t) y md(t) las señales captadas por los micrófonos izquierdo y derecho en el lado transmisor del sistema. Ellas se aplican a un matrizador sencillo que genera la señal suma, mi(t) + md(t), y la señal diferencia,

( ) ( )i dm t m t− . La señal suma se deja sin procesar en su forma de banda base y está disponible para recepción monofónica. La señal diferencia y una subportadora de 38 kHz (obtenida de un oscilador a cristal de 19 kHz por multiplicación de frecuencia) se aplican a un modulador de producto, produciendo así una señal modulada DSB-SC. Además de la señal suma y esta onda modulada DSB-SC, la señal multiplexada m(t) también incluye un piloto de 19 kHz para proporcionar una referencia para la detección coherente de la señal diferencia en el receptor estéreo. Entonces, de acuerdo con la Fig. 4.16(a), la señal multicanalizada se describe como

[ ] [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 4 cos 2i d i d c cm t m t m t m t m t f t k f t= + + − π + π (4.69)


154

Matrizadormi(t)

md(t)

Duplica frecuencia

LPF de banda base

BPF centrado en 2fc = 38 kHz

LPF de banda base

Detector coherente

Duplica frecuencia

Filtro de banda angosta

centrado en fc = 19 kHz

mi(t) + md(t)

mi(t) − md(t)

2mi(t)

2md(t)

Matrizador

FIGURA 4.16 (a) Multiplexor en transmisor de FM estéreo. (b) Desmultiplexor en receptor de FM estéreo.

donde fc = 19 kHz y K es la amplitud del tono piloto. La señal combinada m(t) modula entonces en frecuencia a la portadora principal para producir la señal transmitida; esta modulación de frecuencia no se muestra en la Fig. 4.18(a). Al piloto se le asigna entre 8 y 10 por ciento de la desviación de frecuencia pico; la amplitud K en la Ec. (4.69) se escoge para que satisfaga este requerimiento.

En el receptor estéreo, lo primero que se hace es la recuperación de la señal combinada m(t) mediante la demodulación de la onda FM recibida. Entonces m(t) se aplica al sistema de desmultiplexado mostrado en la Fig. 4.16(b). Las componentes individuales de la señal combinada m(t) son separadas mediante el uso de tres filtros apropiados. El piloto recuperado (usando un filtro de banda angosta sintonizado en 19 kHz) es doblado en frecuencia para producir la subportadora deseada de 38 kHz. La disponibilidad de esta subportadora permite la detección coherente de la señal modulada DSB-SC (véase la parte de la Fig. 4.16(b) dentro del rectángulo punteado). Así se recupera la señal diferencia ( ) ( )i dm t m t− . El filtro de pasabajas de la banda base en la

trayectoria superior de la Fig. 4.16(b) está diseñado para pasar la señal suma ( ) ( )i dm t m t+ . Finalmente, el matrizador sencillo reconstruye la señal original izquierda mi(t) y la señal original derecha md(t), excepto por el factor de escala 2, y las aplica a sus respectivas bocinas. De esta forma se logra la recepción de la señal FM estereofónica.


155

4.10 Resumen y Análisis En el Capítulo 3, se estudiaron los principios que sirven de soporte a la primera familia de modulación de onda continua (OC), con base en la modulación de amplitud y sus variantes. En este capitulo se completó el estudio de los principios básico de la modulación de OC, basados en la modulación angular.

Fundamentalmente, hay dos tipos de modulación angular:

La modulación de fase (PM), en la cual la fase instantánea de la onda portadora sinusoidal se varía linealmente con la señal del mensaje.

Modulación de frecuencia (FM), donde se varía la frecuencia instantánea de la onda portadora sinusoidal con la señal del mensaje.

Estos dos métodos de modulación están íntimamente relacionados en que si se nos da uno de ellos, el otro se pude deducir. Por esta razón , la mayor parte del análisis se concentró en la modulación de frecuencia.

La modulación de frecuencia (FM) es tipificada por la ecuación

0

( ) cos 2 2 ( )t


= π + π τ τ ∫ (4.70)

donde m(t) es la señal del mensaje, ( )cos 2c cA f tπ es la onda portadora sinusoidal y kf es la sensibilidad de

frecuencia del modulador. La Ec. (4.70) es una repetición de la Ec. (4.7), reproducida aquí simplemente por conveniencia de la presentación.

A diferencia de la modulación de amplitud, de la Ec. (4.70) vemos que la FM es un proceso de modulación no lineal. Por consiguiente, el análisis espectral de la FM es más difícil que para la AM. No obstante, si se estudia la FM de un solo tono, es posible desarrollar un buen entendimiento sobre las propiedades espectrales de la FM. En particular, se dedujo una regla empírica conocida como la regla de Carson generalizada para una evaluación aproximada del ancho de banda de transmisión BT de la FM. De acuerdo con esta regla, BT es controlado por un solo parámetro: el índice de modulación β para la FM sinusoidal o la razón de desviación D para la FM no sinusoidal.

En la FM, la amplitud de la portadora, y por tanto la potencia promedio transmitida, se mantiene constante. En esto se encuentra la ventaja importante de la FM sobre la AM para combatir los efectos del ruido o interferencia en la recepción, un tópico que se estudia en el Capítulo 9. Esta ventaja se vuelve más pronunciada conforme aumenta el índice de modulación (o la razón de desviación), lo cual tiene el efecto de aumentar el ancho de banda de transmisión en una forma correspondiente. Por tanto, la modulación de frecuencia proporciona un método práctico para el intercambio de ancho de banda del canal para mejorar el desempeño con respecto al ruido, lo cual no es posible con la modulación de amplitud.

Un comentario final es el siguiente. Igual que con la modulación de amplitud, el desarrollo de la familia de modulación angular ha sido motivado por su relevancia directa en las comunicaciones analógicas, pero muchos aspectos de esta rama de la teoría de la modulación son igualmente aplicables a las comunicaciones digitales. Por ejemplo, si la señal del mensaje en la Ec. (4.70) se restringe a niveles de −1 o +1 para representar un 0 binario y un 1 binario, respectivamente, entonces tenemos una forma básica de comunicación digital conocida con modulación por desplazamiento de frecuencia (BFSK, por sus siglas en inglés); ésta se estudian en el Capítulo 7.


156


4.8 Dibuje las ondas PM y FM producidas por la onda diente de sierra mostrada en la Fig. 4.17 como la fuente de la modulación.

FIGURA 4.17 Problema 4.8

4.9 En un radar modulado en frecuencia, la frecuencia instantánea de la portadora transmitida se varía como en la Fig. 4.18. Una señal así es generada por modulación de frecuencia con una onda moduladora triangular. La frecuencia instantánea de la señal de eco recibida se muestra punteada en la Fig. 4.18, donde τ es el tiempo de viaje de ida y vuelta. Las señales transmitida y recibida se aplican a un mezclador y se retiene la componente con la frecuencia diferencia. Suponiendo que 0 1f τ≪ para todo τ, determínese el número de ciclos de batido en la salida del mezclador, promediados en un segundo, en términos de la desviación pico ∆f de la frecuencia portadora, el retardo τ y la frecuencia de repetición f0 de la señal transmitida. (El batido se refiere a una señal cuya frecuencia es la diferencia entre las frecuencias de las dos señales de entrada.)

Señal transmitida Eco


4.10 Considérese un intervalo ∆t de una onda FM [ ]( ) cos ( )cs t A t= θ tal que θ(t) satisface la condición

( ) ( )t t tθ + ∆ − θ = π

Por tanto, demuestre que si ∆t es lo suficientemente pequeño, la frecuencia instantánea de la onda FM en el interior de este intervalo es dada aproximadamente por

12if t

≈∆

4.11 La onda moduladora sinusoidal


se aplica a un modulador de fase con sensibilidad de fase kp. La onda portadora no modulada tiene una frecuencia fc y amplitud Ac. Determínese el espectro de la onda modulada en fase resultante, suponiendo que la máxima desviación de fase p mk Aβ = no se excede de 0.3 radianes.

4.12 Una onda portadora es modulada en frecuencia usando una señal sinusoidal de frecuencia fm y amplitud Am.

(a) Determinar los valores del índice de modulación β para los cuales la componente de portadora de la onda FM se reduce a cero. Para este cálculo se pueden usar los valores de J0(β) dados en el Apéndice 3.


157

(b) En un cierto experimento realizado con fm = 1 kHz e incrementando Am (comenzando desde cero voltios), se encuentra que la componente de portadora de la onda FM se reduce a cero por primera vez cuando Am = 2 voltios. ¿Cuál es la sensibilidad de frecuencia del modulador? ¿Cuál es el valor de Am para el cual la componente de portadora se reduce a cero por segunda vez?

4.13 Una onda portadora de frecuencia 100 MHz es modulada en frecuencia por una onda sinusoidal de amplitud 20 V y frecuencia 100 kHz. La sensibilidad de frecuencia del modulador es 25 kHz/V.

(a) Determine el ancho de banda aproximado de la onda FM utilizando la regla de Carson.

(b) Determine el ancho de banda obtenido cuando se transmiten solamente aquellas frecuencias laterales con amplitudes que exceden uno por ciento de la amplitud de la portadora no modulada. Use la curva universal de la Fig. 4.9 para este cálculo.

(c) Repita sus cálculos, suponiendo que se duplica la amplitud de la onda moduladora.

(d) Repita sus cálculos, suponiendo que se duplica la frecuencia de modulación.

4.14 Considere una onda PM de banda ancha producida por la onda moduladora sinusoidal ( )cos 2m mA f tπ ,

usando un modulador con una sensibilidad de fase igual a kp radianes por voltio.

(a) Demuestre que si la máxima desviación de fase de la onda PM es grande comparada con un radián, el ancho de banda de la onda PM varía linealmente con la frecuencia de modulación fm.

(b) Compare esta característica de una onda PM de banda ancha con la una onda FM de banda ancha.

4.15 La Fig. 4.19 muestra el diagrama de bloques de un sistema realimentado de lazo cerrado para la estabilización de la frecuencia portadora de un modulador de frecuencia de banda ancha. El oscilador controlado por voltaje mostrado en la figura constituye el modulador de frecuencia. Usando las ideas del mezclado (esto es, de la traslación de frecuencias) descritas en el Capítulo 3 y la discriminación de frecuencia (descrita en este capítulo), analice cómo puede el sistema realimentado de la Fig. 4.19 aprovecharse de la precisión de la frecuencia del oscilador de cristal para estabilizar el oscilador controlado por voltaje.

Señal de mensaje m(t)

Oscilador controlado por

voltaje0

Filtro de pasabajas

Discriminador de frecuencias

Mezclador Oscilador a cristal

Onda FM estabilizada en frecuencia

FIGURA 4.19 Problema 4.15.

4.16 Considere el esquema de demodulación de frecuencia mostrado en la Fig. 4.10, en el cual la onda FM recibida s(t) se pasa a través de una línea de retardo que produce un desplazamiento de fase de −π/2 radianes en la frecuencia de la portadora fc. La salida de la línea de retardo se resta de s(t) y la onda compuesta resultante es entonces detectada mediante envolvente. Este demodulador tiene aplicación en la demodulación de ondas FM en frecuencias de microondas. Suponiendo que

( )( ) cos 2 sen 2c c ms t A f t f t = π + β π

analice la operación de este demodulador cuando el índice de modulación β es menor que la unidad y el retardo T producido en la línea de retardo es lo suficientemente pequeño para justificar las aproximaciones:

( )cos 2 1mf Tπ ≈

y

( )sen 2 2m mf T f Tπ ≈ π


158

Onda FM s(t)

Línea de retardo


Señal de salida


4.17 Considere el siguiente par de señales moduladoras:

1. 1 01

, 0( )

0, 0

a t a tm t

t

+ ≥=

=

2. 2

2 1 02

, 0( )

0, 0

b t b t b tm t

t

+ + ≥=

=

donde las a’es y las b’s son parámetros constantes.

La señal 1 se aplica a un modulador de frecuencia, en tanto que la señal 2 se aplica a un modulador de fase. Determine las condiciones para las cuales las salidas de los dos moduladores de ángulos son exactamente las mismas.

4.18 En este problema se trabaja en la especificación de un receptor FM superheterodino en la Tabla 3.2. En particular, dadas esas especificaciones, haga el trabajo siguiente:

(a) Determine el intervalo de frecuencias suministradas por el oscilador local del receptor para acomodar la banda de la portadora RF de 88-108 MHz.

(b) Determine la banda correspondiente de las frecuencias imágenes. PROBLEMAS AVANZADOS

4.19 La frecuencia instantánea de una onda sinusoidal es igual a cf f+ ∆ para 2t T< y a fc para 2t T> .

Determine el espectro de esta onda modulada en frecuencia. Sugerencia: Divida el intervalo de tiempo de interés en tres regiones que no se solapan.

(i) 2t T−∞ < < −

(ii) 2 2T t T− ≤ ≤

(iii) 2T t< < ∞

4.20 La Fig. 4.32 muestra el diagrama de bloques de un analizar de espectro en tiempo real que trabaja con el principio de modulación de frecuencia. La señal dada g(t) y una señal modulada en frecuencia s(t) se aplican a un multiplicador y la salida ( ) ( )g t s t se alimenta a un filtro de respuesta al impulso h(t). Las señales s(t) y h(t) son señales FM lineales cuyas frecuencias instantáneas varía con tasas opuestas, como muestran las relaciones

( )2( ) cos 2 cs t f t kt= π + π

y

( )2( ) cos 2 ch t f t kt= π − π

donde k es una constante. Demuestre que la envolvente de la salida del filtro es proporcional al espectro de amplitud de la señal de entrada g(t), donde el término producto kt juega el papel de la frecuencia f. Sugerencia: Use las notaciones complejas descritas en la Sección 3.8 para la transmisión de pasabanda.


159

Filtro: respuesta al impulso

h(t)Salida


4.21 Considere la onda modulada

10

( ) ( )cos 2 2 ( )t

c fs t a t f t k m d

= π + π τ τ ∫

donde a(t) es una función envolvente que varía lentamente, fc es la frecuencia portadora, kf es la sensibilidad de frecuencia y m(t) es una señal de mensaje. La onda modulada s(t) es procesada por un limitador de pasabanda, el cual consiste de un limitador duro seguido por un filtro de pasabanda. La función del limitador de pasabanda es remover fluctuaciones en la amplitud debidas a a(t). Especifique los parámetros del filtro de pasabanda para producir la onda FM

20

( ) cos 2 2 ( )t

c fs t A f t k m d

= π + π τ τ ∫

donde A es una amplitud constante.

4.22 El análisis de la distorsión producida en una onda FM aplicada a un canal de comunicaciones lineal tiene un interés práctico importante. En este problema, se explora este análisis para el caso especial de una onda FM de banda ancha producida por una onda moduladora sinusoidal. Denote por ( )H f la función de transferencia del canal. Comience con la Ec. (4.15) y haga lo siguiente:

(a) Deduzca la expresión para la señal modulada producida en la salida del canal.

(b) Usando la expresión deducida en la parte (a), analice la distorsión producida por el canal.

4.23 En la Sección 4.1, se señaló que el ángulo instantáneo ( )i tθ en ondas moduladas angularmente puede variarse de acuerdo don una señal de mensaje m(t) en un número infinito de formas. El tratamiento de la modulación angular presentado en este capítulo se concentró en la modulación de fase y de frecuencia como dos candidatos importantes. El objetivo de este problema es explorar otros métodos para producir ondas moduladas angularmente.

(a) Haga esta exploración considerando derivadas e integrales de la señal del mensaje m(t) como respuestas de funciones posibles para el proceso de modulación.

(b) ¿Habría algunos beneficios prácticos en estos nuevos métodos de modulación angular? Explique bien su respuesta.

4.24 En este problema se explora la utilización de la FM para superar la distorsión no lineal. Considérese un canal sin memoria caracterizado por la relación no lineal de entrada-salida:

2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( )o i i iv t a v t a v t a v t= + +

donde vi(t) es la entrada y vo(t) es la salida; a1 y a2 son coeficientes fijos. La entrada es definida por la señal modulada en frecuencia

0( ) cos 2 2 ( )

t

i c c fv t A f t k m d

= π + π τ τ ∫

El ancho de banda del mensaje se denota por W y la desviación de frecuencia de la señal FM es ∆f.

(a) Evalúe la salida vo(t)-


160

(b) Usando la regla de Carson generalizada, demuestre que si la frecuencia portadora satisface la condición

3 2cf f W> ∆ +

entonces el efecto de la distorsión lineal puede removerse mediante filtrado de pasabanda.

(c) Especifique la frecuencia de media banda y el ancho de banda del filtro en la parte (b).

4.25 Considere un lazo de encaje de fase de segundo orden que utiliza un filtro de lazo con la función de transferencia

( ) 1a

H fjf

= +

donde a es un parámetro del filtro.

(a) Si se usa este filtro de lazo en la fórmula siguiente (véase la parte a del Problema de Ejercicio 4.7)

11

( ) ( )1 ( )e f f

L fΦ = Φ

+

demuestre que la transformada de Fourier resultante del error de fase ( )e tΦ se expresa como

( )

( ) ( )

2

12( ) ( )

1 2

ne

n n

jf ff f

jf f jf f

Φ = Φ + ζ +

donde fn es la frecuencia natural del lazo y

0 4K aζ =

es su factor de amortiguamiento.

(b) Por tanto, justifique la afirmación de que mediante una selección apropiada de los parámetros fn y ζ, es posible que este lazo de encaje de fase supere las limitaciones de la versión de primer orden del lazo.


161

Apéndice 3

Funciones de Bessel

A3.1 Solución en Serie de la Ecuación de Bessel En su forma más básica, la ecuación de Bessel de orden n se escribe como

( )2

2 2 22

0d y dy

x x x n ydxdx

+ + − = (A3.1)

que es una de las ecuaciones diferenciales con coeficientes variables más importantes. Para cada orden n, se define una solución de esta ecuación por la serie de potencias

( )

( )

2

0

11

2()! !

n mm

mm

xJ

m n m

+

∞

=

−

=+∑ (A3.2)

La función Jn(x) se denomina una función de Bessel de la primera clase de orden n. La Ec. (A.3.1) tiene dos funciones

como coeficientes, a saber, 1/x y ( )2 21 n x− . Por tanto, no tiene puntos singulares finitos excepto en el origen.

Se deduce entonces que la expansión en serie de la Ec. (A3.2) converge para toda x > 0. De mera que la Ec. (A3.2) puede usarse para calcular numéricamente a Jn(x) para n = 0, 1, 2, 3, …. La Tabla A3.1 presenta valores de Jn(x) para diferentes órdenes de n y x variable. Interesa observar que las gráficas de J0(x) y J1(x) se asemejan a las gráficas de cos x y sen x , respectivamente; véanse las gráficas de la Fig. 4.6 en el Capítulo 4.

Tabla A3.1 Tabla de las Funciones de Bessel


162

La función Jn(x) también puede expresarse en la forma de una integral como

( )0

1( ) cos sennJ x x n d

π

= θ − θ θπ ∫ (A3.3)

o, en forma equivalente, usando notación compleja, como

( )1

( ) exp sen2nJ x jx jn d

π

−π= θ − θ θ

π ∫ (A3.4)

A3.2 Propiedades de la Función de Bessel La función de Bessel Jn(x) tiene ciertas propiedades:

PROPIEDAD 1 ( )( ) 1 ( )nn nJ x J x= − (A3.5)

Para demostrar esta relación, se reemplaza θ por ( )π − θ en la Ec. (A3.3). Entonces, puesto que ( )sen senπ − θ = θ , se obtiene

( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

0

0

1( ) cos sen

cos cos sen sen sen sen

nJ x x n n d

n x n n x n d

π

π

= θ + θ − π θπ

= π θ + θ + π θ + θ θ

∫

∫

Para valores enteros de n, se tiene que

( ) ( )

( )

cos 1

sen 0

nn

n

π = −

π =

Por tanto,

( )

( )0

1( ) cos sen

n

nJ x x n dπ−

= θ + θ θπ ∫ (A3.6)

De la Ec. (A3.3) también se encuentra que, al reemplazar n con −n:

( )0

1( ) cos sennJ x x n d

π

− = θ + θ θπ ∫ (A3.7)

El resultado deseado se deduce de inmediato a partir de la Ec. (A4.36) y la Ec. (A3.7).

PROPIEDAD 2 ( ) ( )( ) 1 nn nJ x J x= − − (A3.8)

Esta relación se obtiene al reemplazar x con −x en la Ec. (A3.3) y luego usando la Ec. (A3.6). PROPIEDAD 3 Para valores pequeños de x, tenemos

( )2 !

n

n n

xJ x

n≃ (A3.9)

Esta relación se obtiene con simplemente retener el primer término en la serie de potencias de la Ec. (A3.2) e ignorando los términos de orden superior. Por tanto, cuando x es pequeña, se tiene que

0

1

( ) 1

( )2

( ) 0 para 1n

J x

xJ x

J x n >

≃

≃

≃

(A3.10)


163

PROPIEDAD 4 2 ( ) 1 para toda nn

J x x∞

=−∞

=∑ (A3.11)

Para demostrar esta propiedad, se procede en la forma siguiente. Observe que Jn(x) es real. Por tanto, si se multiplica la Ec. (A3.4) por su conjugado complejo y sumando para todos los valores posibles de n, se obtiene

( )( )2

2

1( ) exp sen sen

2n

n n

J x jx jn jx jn d d∞ ∞ π π

−π −π=−∞ =−∞

= θ − θ − φ + φ θ φπ

∑ ∑ ∫ ∫

Si se intercambian el orden de la doble integración y la sumatoria:

( )

( ) ( )22

1( ) exp sen sen exp

2n

n n

J x d d jx jn∞ ∞π π

−π −π=−∞ =−∞

= θ φ θ − φ φ − θ π

∑ ∑∫ ∫ (A3.12)

Usando la siguiente relación de la teoría de la transformada de Fourier para la función delta (véase el Capitulo 2):

( )1

( ) exp2

n

jn∞

=−∞

δ φ = φπ∑ (A3.13)

en la Ec. (A3.12) y aplicando después la propiedad de selección de la función delta, se obtiene finalmente

2 1( ) 1

2nn

J x d∞ π

−π=−∞

= θ =π∑ ∫

que es el resultado deseado.

La función de Bessel Jn(x) tiene varias otras propiedades. Sin embargo, en lo que respecta al alcance de este texto, las propiedades 1 a 4 presentadas arriba son todas las que necesitamos.

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