TRABAJO DE COMUNICACIONES II

1) ¿COMO SE CALCULA EL MINIMO ANCHO DE BANDA PARA UN MODULADOR FSK?

Se tiene cuando la variación de frecuencia de la señal modulada da como

resultado una diferencia de fase menor que PI/2. Se dice que el índice de modulación

es pequeño.

Existe una coincidencia entre el ancho de banda necesario para ASK y para FSK

de band FSK (Frequency- Shift Keying): Modulación de cambio o por conmutación de

frecuencia a reducida.

Para no depender de las variaciones en la amplitud, la FSK utiliza dos señales

portadoras de amplitud fija, una para el 0 binario y la otra para el 1 binario.

Con FSK, como cada una de las señales - 0 binario y 1 binario - modula una

portadora distinta, el ancho de banda mínimo que requiere cada portadora es igual a

la mitad de la tasa de bits.

Es decir, la componente de frecuencia fundamental más alta de cada portadora, fo, es

la mitad de la ASK.

Debido a que el FSK binario es una forma de modulación en frecuencia de

banda angosta, el mínimo ancho de banda depende del índice de modulación. Para un

índice de modulación entre 0 y 1, se generan dos o tres conjuntos de frecuencias

laterales significativas. Por tanto, el mínimo ancho de banda es dos o tres veces la

razón de bit de entrada.

En consecuencia, en un FSK binario el índice de modulación. por general, se mantiene

bajo 1 .O , produciendo así un espectro de salida de FM de banda relativamente

angosta.

El mínimo ancho de banda necesario para propagar una señal se llama mínimo ancho de banda de Nyquist, se genera un espectro de salida de doble lado (doble banda).

El siguiente ejemplo demuestra como se calcula:

Calcule el mínimo ancho de banda y los baudios para una señal FSK con frecuencia de

marca 32 KHz, frecuencia de espacio 24 Khz. y rapidez de bits de 4kbps.

Datos:

Solución:

El ancho de banda mínimo de una señal es:

, se observa que para ello es necesario conocer la desviación máxima

de frecuencia:

Entonces:

Donde:

Para FSK, los baudios son iguales a la rapidez de bits: 4000.

2) ¿QUE ES Y PARA QUE SE UTILIZA BESSEL?

La función Bessel fue encontrada como solución de un problema de

movimiento planetario por el matemático y astrónomo Friedrich Wilhem Bessel. La

aplicación de las funciones Bessel (es más extensa que la de las funciones gamma) se

extiende a los campos de ingeniería eléctrica, acústica, hidrodinámica, termodinámica,

electricidad y mecánica celeste.

Las funciones Bessel son soluciones particulares de la ecuación diferencial:

donde es un número real o complejo. El caso más común es cuando es un entero

, aunque la solución para no enteros es similar. El número se denomina orden

de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden,

tiene dos soluciones linealmente independientes.

Aunque y dan como resultado la misma función, es conveniente definir

diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las funciones de Bessel

en función del parámetro son funciones suaves casi doquiera. Las funciones de

Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque son

solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.

Bessel o funciones cilíndricas, se utilizan en la mecánica gravitatoria, pero

también se aplican en otros campos como la propagación de ondas electromagnéticas y

de calor. Las funciones de Bessel aparecen como coeficientes en las series de expansión

de la perturbación indirecta de un planeta causada por el movimiento del Sol.

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de

Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables

en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son

especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas,

potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de

Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas

en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( )

y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de

orden semientero ( ), por ejemplo:

Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.

Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.

Conducción del calor en objetos cilíndricos.

Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo).

Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en

procesado de señales.

En el caso particular de síntesis de audio, si tenemos un índice , las primeras funciones de Bessel, corresponden a las amplitudes de las bandas laterales en la siguiente manera:

La función de Bessel de orden 0 con el índice produce un escalar que es el coeficiente para la amplitud de la frecuencia portadora.

La función de Bessel de primer orden produce los coeficientes para las amplitudes de las primeras bandas laterales por encima y por debajo de la frecuencia portadora.

La función de Bessel de segundo orden produce los coeficientes para las amplitudes de las segundas bandas laterales por arriba y por abajo de la frecuencia portadora y así sucesivamente.

Entre más alto el orden de la frecuencia lateral, mas alto debe ser el índice de modulación para que esta frecuencia tenga una amplitud perceptible o significativa. bandas laterales por arriba y por abajo de la frecuencia portadora y así sucesivamente.

Entre mas alto el orden de la frecuencia lateral, mas alto debe ser el índice de modulación para que esta frecuencia tenga una amplitud perceptible o significativa.

Funciones de Bessel de primera especie:

Las funciones de Bessel de primera especie y orden son las soluciones de la

ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen ( ) para enteros no

negativos y divergen en el límite para negativo no entero. El tipo de

solución y la normalización de están definidos por sus propiedades abajo

indicadas. Para las soluciones de orden entero es posible definir la función por

su expansión en serie de Taylor en torno a

es la función gamma | función Gamma de Euler, una generalización del factorial

para números complejos. Para no enteros, se necesitan expansiones en serie de

potencias | series de potencias más generales.

Estas funciones cumplen que:

Si , entonces y son linealmente independientes,

y por tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel.

Si , entonces no está definida en x = 0.

Si , entonces se cumple

por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la

segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de segunda

especie.

Las gráficas de las funciones de Bessel muestran funciones oscilatorias (como

las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a (como nos lo

mostrarán las formas asintóticas de estas funciones más abajo), aunque los ceros de

estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de forma asintótica para

grandes x.

Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

3) ¿QUE ES? Y ¿CUALES SON LAS CARACTERISTICAS DEL DIAGRAMA

FASORIAL Y DE COSTELACIÓN?

Los diagramas fasoriales son usados para representar en el plano complejo las

relaciones existentes entre voltajes y corrientes fasoriales de un determinado circuito.

Para representar cualquier voltaje o corriente en el plano complejo es necesario

conocer tanto su magnitud como su ángulo de fase y de esta manera poder realizar

operaciones entre ellos (suma, resta).

Otro uso de los diagramas fasoriales es la representación en el dominio del

tiempo y la frecuencia, es decir que sobre un plano se pueden representar las

magnitudes (corriente, voltaje, etc.) en el dominio de la frecuencia y de el tiempo

también y realizar la transformación necesaria. Para transformar una magnitud del

dominio de la frecuencia con cierta magnitud y un ángulo de fase, al dominio del

tiempo solo es necesario girar el fasor en sentido contrario a las manecillas del reloj a

una velocidad angular que está dada en rad/s y tomar su proyección sobre el eje real.

Con los diagramas fasorial, es posible observar el comportamiento de los

voltajes y corrientes de un circuito en estado senoidal permanente tanto en el dominio

de la frecuencia como en el dominio del tiempo.

Los diagramas fasoriales se van construyendo teniendo en cuenta los distintos

elementos que componen el circuito.

El diagrama fasorial te sirve para la resolución de circuitos, con el diagrama

puedes saber el ángulo de desfase que hay entre la corriente y el voltaje, y así puedes

saber si la corriente adelanta o atrasa al voltaje.

 

Es una representación gráfica para un número complejo, dibujado como un

vector con un extremo en el centro del diagrama (el módulo es la longitud del vector),

y un ángulo medido en grados a partir de una referencia fija. La proyección de este

vector sobre el eje X se denomina la componente real, mientras que la proyección del

vector sobre el eje Y representa la llamada componente imaginaria. Sus componentes

conforman un triángulo rectángulo (las componentes como catetos perpendiculares,

junto con el vector mismo como la hipotenusa) de forma tal que al aplicar

trigonometría simple podemos realizar el intercambio en la representación analítica

desde la forma “Rectangular”, utilizando diferenciadamente las componentes real e

imaginaria, a la forma “Polar”, empleando un módulo y un ángulo; y viceversa.

Vx = módulo∗Coseno (fase)Vy = módulo∗Seno (fase)⃗�V = Vx + j∗Vy expresado en coordenadas rectangulares

Nota: para diferenciar la parte imaginaria se utiliza la letra j en lugar de i, mayormente asociada con la variable de corriente.

Módulo = √Vx2+Vy2

fase = arctan (VyVx)⃗�V = módulo < fase expresado en coordenadas polares.

En electricidad, la utilidad de los fasores se deriva de la posibilidad que ofrecen

de representar desplazamientos en el tiempo de una señal eléctrica respecto a una

referencia fija, una dimensión adicional que se añade suponiendo además que los

fasores están rotando (se considera que la representación de un diagrama fasorial es

como una fotografía en un instante cualquiera de la rotación de los vectores, con el

que se puede determinar la diferencia angular entre ellos en ese momento).

Los fasores son particularmente útiles cuando aplicamos un voltaje de amplitud

fija que varía sinusoidalmente en el tiempo y además lo hace a una frecuencia fija. En

este caso hablamos de “Régimen Sinusoidal Permanente” (RSP), es decir, la aplicación

de una señal de voltaje sinusoidal a un circuito durante un período que se prolonga

más allá de su respuesta transitoria. Inclusive, para efectos prácticos de cálculo, el

transitorio en circuitos de potencia eléctrica, es decir, el decaimiento exponencial de la

respuesta natural del circuito, se linealiza y se considera como una secuencia de

períodos cuasiconstantes, a partir de los cuales se generan los términos subtransitorio,

transitorio y permanente.

En este gráfico se puede apreciar que, mientras el fasor gira los 360 grados del

diagrama la señal sinusoidal va recorriendo su rango de valores, de forma tal que

cuando el fasor completa un giro, también se completa el período de la señal. Esta es

la base de la representación que nos facilita el diagrama fasorial, la rotación del vector

representa el valor de la función en el tiempo. En un mismo diagrama se pueden

representar simultáneamente los voltajes y las corrientes en varios elementos de un

circuito, de acuerdo con la respuesta que tenga cada uno.

Si embargo, por razones de conveniencia y simplicidad visual se recomienda

que en un diagrama fasorial se represente la respuesta de un circuito ante el estímulo

de fuentes sinusoidales que tengan sólo una misma frecuencia. Si hace falta resolver

un caso que combine fuentes de varias frecuencias es preferible aplicar el principio de

superposición y hacer un análisis por separado, para luego combinar los resultados.

Nos interesa estudiar la fase como un lapso entre la aplicación y la reacción.

Este tiempo se puede representar utilizando fasores si se coloca un extremo del vector

en el centro del diagrama y se rota el segmento hasta que tenga un ángulo respecto a

una referencia (puede ser por ejemplo el semi eje positivo de X) que sea proporcional

al tiempo. Para convertir los segundos en grados basta tomar como base el tiempo de

un período (inverso de la frecuencia) y relacionarlo con un giro completo, de 360

grados o 2Π radianes.

Una fase es simplemente un período. En el estudio de las señales eléctricas, la

fase es el tiempo que ha transcurrido desde el momento que se considera como el

inicio, lo que se toma como referencia; lo que ocurre entre la aplicación del voltaje y la

reacción de la corriente que circula por el elemento. Cuando se habla de una fase se

hace en alusión a una distancia medida en segundos o en grados. También puede ser la

diferencia de tiempo entre la ocurrencia de dos señales. En el análisis de un circuito

eléctrico, más importante que conocer el ángulo de cada fasor, es conocer la fase o la

distancia entre los fasores.

Diagramas fasoriales del voltaje y la corrienteSegún el tipo de carga, se tienen los siguientes diagramas:

Circuito serie RC (a) y diagrama fasorial Circuito serie RLC (a) y diagrama fasorial

CARACTERISTICAS DIAGRAMA FASORIAL:

Muestran relaciones entre voltaje y corriente.

Representa la respuesta de un circuito ante el estímulo de fuentes sinusoidales.

La amplitud y dirección.

El ángulo nos indica si las señales de voltaje y corriente se encuentran enfase.

Dependiendo del tipo de carga, el factor de potencia se puede representar :

• adelantado• retrasado• igual a 1.

En un mismo diagrama se pueden representar simultáneamente los voltajes y las

corrientes en varios elementos de un circuito, de acuerdo con la respuesta que

tenga cada uno.

Se representa desplazamientos en el tiempo de una señal eléctrica.

DIAGRAMA DE COSTELACION

Un Diagrama de Constelación es una representación de un esquema de modulación digital en el plano complejo. Los ejes real e imaginario suelen ser llamados I (por In-phase y Q (por cuadrature). Los puntos en la constelación representan símbolos de modulación los que componen el alfabeto, es decir todas las "palabras" que podrán usarse en un intercambio de información

Es una técnica utilizada en la modulación digital, básicamente en las modulaciones QPSK y MQAM, que consigue mejoras en la robustez ( disminución del error de símbolo) y la eficiencia de la transmisión a partir de rotar las constelaciones de símbolos originales en un ángulo determinado. La idea básica es que los símbolos puedan reconstruirse a partir del valor de un único eje de la constelación, de forma que si se pierde el valor del otro eje durante la transmisión, todavía podamos reconstruir el símbolo enviado.

El concepto de símbolo es muy importante ya que la cantidad de estos en un esquema de modulación está estrechamente relacionada con la tasa binaria obtenida, pensemos que si nuestro alfabeto sólo consta de 2 símbolos, por cada uno que se transmita o se transmite un 1 o se transmite un 0. En cambio, si constara de 4 símbolos cuando se

enviara uno se estaría transmitiendo un par 00 o 10 o 01 o 11. Dado un alfabeto con m símbolos, cada uno lleva la información correspondiente a Log2 m bits.

Es un método de representar los estados de símbolos en un módem de paso de banda moduladora de portadora en término de amplitud y fase.

Cada Estándar de módems de alta velocidad tiene su propio diagrama de constelación y se pueden comunicar solamente con otros módems que utilicen el mismo modelo (aunque la mayoría de los módems pueden emular a todos los modelos más lentos.

Cuando hay muchos puntos en un diagrama de constelación, incluso la cantidad mínima de ruido en la amplitud de fase detectada, puede dar como resultado un error, y potencialmente muchos bit malos, con el propósito de reducir la posibilidad de error, los estándares para los módems de velocidades mas altas realizan corrección de errores mediante la incorporación de bits adicionales en cada muestra.

Identificar el problema que aqueja a una señal digital en un diagrama de constelación consiste en reconocer el patrón que provoca una desviación respecto a la posición ideal de los símbolos. Si cada punto en la constelación corresponde a la posición ideal del símbolo correspondiente, entonces la señal es perfecta y no contendrá errores.

Al comparar los diagramas 4.1 y 4.2, se observa que el primer diagrama tiene

una señal limpia, en el segundo se puede distinguir un efecto de atracción hacia el

centro de la constelación. Los símbolos atraídos, son los de mayor potencia, es decir

aquellos que están más alejados del centro o punto de amplitud, o provocando que

las constelaciones se arquee conforme a las esquinas se deforman hacia el centro. La

principal causa de este problema es operar los amplificadores en su región no lineal.

El efecto del diagrama 4.3 es el efecto de un desbalanceo de los ejes IQ, en

fase y cuadratura, respectivamente). En moduladores, desmoduladores o

amplificadores y filtros de banda base.

Cuando existe interferencia de ondas continuas o espurias, es muy probable

que se presente el efecto del diagrama 4.4. La interferencia de onda continua se

presentará en los diagrama de constelación como un vector de error circular y, por lo

regular, no es visible en el analizador de espectro porque su energía se oculta bajo la

señal modulada.

En el diagrama 4.5 se puede observar la presencia de ruido blanco que

provocará la dispersión de los símbolos alrededor de su posición ideal de su

constelación.

En la 4.6 muestra una fuga de señal, que ocurre cuando ciertas frecuencias de

radio escapan del cable coaxial. Una fuga indicaría un posible desbalanceo en el

mezclador .del desmodulador o la presencia no deseada de corriente continua (DC). En

la constelación partir del punto de amplitud 0, la fuga se presenta como un offset, en

el diagrama 4.6. En diagrama 4.7 se presenta la inestabilidad de la frecuencia de la

portadora, lo que provoca que la señal sea desplazada en fase. La inestabilidad de los

osciladores locales de conversores ascendente y descendente es la principal causa de

este problema.

Representación de diagrama de constelación en algunas modulaciones.

Modulación 4-PSK ó QPSK (Quadrature PSK) es en la que la señal modulada tiene cuatro estados posibles.

La representación de señales PSK suele hacerse con los llamados "diagramas constelación":

En estos diagramas:

Los distintos estados de la señal (distintas fase) se

representan por puntos sobre

unos ejes coordenados.

A veces se dibujan vectores asociados a esos

puntos.

La distancia de un punto al origen de los ejes

representa una amplitud de la señal (la longitud

del vector) pero en PSK esta longitud no cambia.

.El ángulo del vector respecto al semieje positivo

de abscisas representa la fase de la señal- cada

punto suele llevar asociados uno o más bits.

Ej. diagrama constelación para BPSK

bit 0: asociado a señal con fase 0º

bit 1: asociado a señal con fase 180º

A los pulsos de las señales multinivel se los denomina dibits, puesto que en cada uno de ellos se envían dos bits. En forma similar se pueden obtener tribits, cuadribits, etc.

Este tipo de señales son las que se emplean en MPSK. Para el caso particular de N = 4, se tiene 4PSK o QPSK.

Un dibit se introduce a un derivador de bits, los bits se han introducido en forma señal salen simultáneamente en forma paralela, un bit se dirige por el canal I y el otro por el canal Q. El bit I (In-phase) modula una portadora en la fase, y el otro el Canal Q (Quadrature-phase), modula un portador en cuadratura. Una vez que el dibit ha sido derivado en los canales I y Q la operación es igual a un modulador BPSK.

Como la señal portadora toma 4 valores posibles, se deberán producir 4 desplazamientos de fase que nos proveerán 4 fases distintas, correspondiendo cada uno de ellos a un dibit diferente.

Para este caso, gráficamente tendremos los siguientes desplazamientos de fase:

Constelación de QPSK.

En el sistema 4PSK las señales son más sensibles a los efectos de interferencias

y ello provoca un aumento en la tasa d error. Si se desea transmitir 4PSK con la misma

tasa de error que en 2PSK, se debe aumentar en 3dB la relación señal ruido.

Si N=8 (8-PSK) existirán 8 posibles fases de salidas, agrupándose los bits de 3 en

3 (tribit, 23=8). Estos 3 bits se conforman por el canal I, el canal Q y la portadora C.

Cada uno de los canales se modula en forma separada a través de un modulador

balanceado y suma en la salida.

Un flujo de bits seriales que están entrando se introduce al desplazador de bits en donde se convierte a una salida paralela de 3 canales:

• El Canal I o en Fase.• El Canal Q o en Cuadratura.• El Canal C o de Control.

La tabla de verdad de la modulación 8-PSK se muestra a continuación.

ENTRADA BINARIA FASE SE SALIDA DE 8-PSK

Q I C

0 0 0 -112.5º

0 0 1 -157.5º

0 1 0 -67.5º

0 1 1 -22.5º

1 0 0 112.5º

1 0 1 157.5º

1 1 0 67.5º

1 1 1 22.5º

Luego se representa en el Diagrama de Constelación de la modulación 8-PSK.

Debe observarse que el código tribits entre cualquiera de dos fases adyacentes

cambia en un solo bit. Este código se llama código de Gray y se utiliza para reducir el

número de errores en la transmisión.

Con el 8PSK los datos se dividen en tres canales I, Q o C con una velocidad fb/3.

El derivador de bits estira los bits a tres veces su longitud de bit de entrada.

La frecuencia fundamental más alta es igual a la sexta parte de la tasa de bits de

entrada binaria.

QAM

Es la combinación de modulación en fase y modulación en amplitud. La

eficiencia espectral de QAM es la misma que PSK. QAM tiene mejor eficiencia en

potencia

8QAM.

El QAM de ocho (8-QAM), es una técnica de codificación M-ario, en donde

M=8. A diferencia del 8-PSK, la señal de salida de un modulador de 8-QAM no es una

señal de amplitud constante.

Las características de la misma son:

• La amplitud varia entre dos valores.

• La fase varía entre cuatro valores (8 estados).

En el 8-QAM, la tasa de bits, en los canales I y Q, es un tercio de la tasa binaria

de entrada, al igual que con el 8-PSK. Como resultado, la frecuencia de modulación

fundamental más alta y la razón de cambio de salida más rápida en 8-QAM, son iguales

que para el 8-PSK.

Por tanto, el mínimo ancho de banda requerido para 8- QAM es fb/3, al igual

que en el 8-PSK.

Los datos por los canales I, Q y C van a fb/3. Los bits I y Q determinan la

polaridad y el canal C determina la magnitud.

Las tensiones de 8-QAM son:

CANAL I o Q CONTROL C SALIDA V

0 0 -0.541

0 1 -1.307

1 0 0.541

1 1 1.0307

Constelación de la modulación 8-QAM.

16QAM

Con el l6-QAM, ya que los datos de entrada se dividen en cuatro canales, la tasa

de bits en el canal I, I’, Q o Q’ es igual a un cuarto de la tasa de datos de entrada

binarios (fb/4).

El derivador de bits estira los bits I, I’, Q y Q’, a cuatro veces su longitud de bits de entrada.

Además, debido a que estos bits tienen salidas de manera simultánea y en

paralelo, los convertidores de nivel 2 a 4 ven un cambio en sus entradas y salidas a una

fase igual a un cuarto de la tasa de datos de entrada. Los bits I´, Q´ determinan

la magnitud.

Las tensiones de salida son:

I I’ SALIDA (V) Q Q’ SALIDA (V)0 0 -0.22 0 0 -0.220 1 -0.821 0 1 -0.8211 0 O.22 1 0 O.221 1 0.821 1 1 0.821

Diagrama de constelación de 16-QAM

128 QAM

CARACTERISTICAS DIAGRAMA DE COSTELACION

Un diagrama de constelación puede ayudarnos a definir la amplitud y la fase de un elemento de señal, particularmente cuando se usan dos portadoras.

El diagrama de constelación posee dos componentes: fase y cuadratura que representan una señal.

La proyección del punto sobre el eje (x) define la amplitud pico del componente en fase.

La proyección del punto sobre el eje (y) define la amplitud pico del componente en cuadratura.

Los diagramas de constelación muestran un patrón de los símbolos modulado

digitalmente.

Muestra errores en la señal modulada.

Disminución del error de símbolo.