Cónicas en las Ciencias Agropecuariasecaths1.s3.amazonaws.com/matfaz/503266302.CONICAS EN...

2016

Cátedra Matemática

ISBN: 978-987-754-004-8

Cónicas en las Ciencias

Agropecuarias

Serie Didáctica

Cónicas en las ciencias agropecuarias / Norma Macchioni de Zamora ... [et al.]. - 1a edición para el alumno - San Miguel de Tucumán: Universidad Nacional de Tucumán. Facultad de Agronomía y Zootecnia, 2016. Libro digital, PDF Archivo Digital: descarga y online ISBN 978-987-754-004-8 1. Geometría Analítica. I. Macchioni de Zamora, Norma CDD 516.3

Fecha de catalogación: 3 de junio, 2016

Cónicas en las Ciencias

Agropecuarias

Para alumnos de las carreras:

Ingeniero Agrónomo Ingeniero Zootecnista

Cátedra Matemática Edición 2016

ISBN: 978-987-754-004-8

AUTORÍA Y COMPILACIÓN

Mg. Lic. Norma A. Ramón de Lavilla Profesora Titular

Mg. Lic. Graciela S. Galindo

Profesora Asociada

Lic. Liliana N. Isa Profesora Adjunta

Lic. Norma I. Macchioni de Zamora

Profesora Adjunta

Esp. Lic. Silvia E. Carando Profesora Adjunta

Lic. Ana M. García

Jefe de Trabajos Prácticos

Lic. María L. Vallejo de Márquez Jefe de Trabajos Prácticos

Las autoras son docentes de la Cátedra Matemática de la Facultad de Agronomía y Zootecnia de la Universidad Nacional de Tucumán

Primera edición: Junio 2016

San Miguel de Tucumán – República Argentina

ÍNDICE

Secciones cónicas 1

Circunferencia 2

Elipse 9

Hipérbola 20

Bibliografía 34

Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016

Página 1

SECCIONES CÓNICAS

Las secciones cónicas son curvas que se obtienen cuando se intersecta un plano con un cono

circular recto. Dependiendo de la posición del plano, se obtiene: una circunferencia, una

parábola (que no se desarrollará en este libro), una elipse o una hipérbola.

El conjunto de puntos en el plano que satisfacen determinadas condiciones geométricas define

cada cónica. A partir de su definición se podrá encontrar la ecuación del lugar geométrico

descripto y bosquejar su gráfica.

Las cónicas se representan por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y, cuya

expresión general es:

A x 2 + B x y + Cy

2 + Dx + Ey + F = 0

donde los coeficientes A, B, C, D, E y F son números reales que determinan el tipo de curva

correspondiente que, en caso de existir, podrá ser una circunferencia, una parábola, una elipse

o una hipérbola.

El desarrollo de estos contenidos es de importancia por su aplicación en la física, en la

arquitectura, en la mecánica y en las ciencias agropecuarias.

En el campo se utilizan estructuras con las distintas formas de las secciones cónicas como en

silos, invernaderos, estanques de agua, puentes, tinglados, etc., que se verán con más detalle

en el desarrollo de cada una de ellas.


Página 2

CIRCUNFERENCIA

Circunferencia es una sección cónica que se obtiene intersecando un cono con un plano

perpendicular al eje que no contiene al vértice, como se observa en el gráfico

Circunferencia

La circunferencia está presente en innumerables construcciones y diseños, por ejemplo: en un

anfiteatro romano, en una vuelta al mundo, en arquitectura, en dibujos, como se observa en las

imágenes:


Página 3

Importancia de la circunferencia en las Ciencias Agropecuarias

La circunferencia tiene aplicación en agronomía y en zootecnia. Se observa en los silos de

acopio de granos, en tanques para agua, en bebederos para animales, etc.


Página 4

Definición: Se llama circunferencia al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan

de un punto fijo c. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia de cada

punto de la circunferencia al centro se llama radio.

Se considera un punto c coincidente con el origen de coordenadas y un punto p (x, y)

perteneciente a la circunferencia.

Uniendo c con el punto p y trazando por él la paralela al eje y, queda determinado un

triángulo rectángulo. Por el Teorema de Pitágoras:

x 2 + y

2 = r

2 Ecuación canónica de la circunferencia con

centro en c (0, 0) y radio r.

Del mismo modo si se considera una circunferencia con el centro desplazado en c (k, h),

la ecuación canónica será: (x – k) 2 + (y – h)

2 = r

2


Página 5

Observando los gráficos anteriores se puede completar el cuadro comparativo de la

circunferencia con centro en el origen de coordenadas y la circunferencia con centro (k, h):

Ecuación

canónica x

2 + y

2 = r

2 (x – k)

2 + (y – h)

2 = r

2

Centro c (0, 0) c (k, h)

Radio r > 0 r > 0

Dominio [– r, r] [k – r, k + r]

Codominio [– r, r] [h – r, h + r]

Simetría de la gráfica

Se observa que la circunferencia es simétrica respecto a las rectas de ecuación x = k

e y = h, y respecto al centro de la gráfica (todas las rectas que pasan por el centro son ejes de

simetría de la circunferencia).

Ejemplo:

1-a) ¿Cómo se denomina la gráfica de la ecuación x 2 + y

2 = 16?

Circunferencia

b) Determine sus elementos.

Los elementos son centro: c (0, 0) y radio: r = 4

c) Represente


Página 6

Ecuación general de la circunferencia

Al desarrollar los cuadrados en la ecuación canónica (x – k) 2 + (y – h)

2 = r

2, se obtiene

(x 2 – 2 x k + k

2)

+ (y

2 – 2 y h + h

2) = r

2 igualando a cero y agrupando:

x 2 + y

2 – 2 k x – 2 h y + k

2 + h

2 – r

2 = 0

Por lo tanto, la ecuación general de la circunferencia es:

x2 + y

2 + d x + e y + f = 0 (1)

Si se comparan los coeficientes de la ecuación (1) con la ecuación general de 2º grado en las

variables x e y: A x 2 + B x y + C y

2 + D x + E y + F = 0

Se observa que:

A = 1, B = 0, C = 1

d = – 2 k k = – d/2

e = – 2 h h = – e/2 por lo tanto c (– d/2, – e/2)

f = k 2 +

h

2 – r

2 r

2 = k

2 + h

2 – f

La expresión (x – k) 2

+ (y – h) 2

= r 2, no siempre representa una circunferencia. Como el

radio se obtiene por la expresión: fhkr 22 existen tres posibilidades:

Si k 2 + h

2 – f > 0 la ecuación (1) representa una circunferencia. Existen infinitos

puntos que verifican la expresión.

Si k 2 + h

2 – f = 0 la gráfica corresponde a un punto (k, h) y no a una

circunferencia.

Si k 2 + h

2 – f < 0 no existen valores reales para x e y que satisfagan la ecuación

por lo que no se puede representar en el plano real.

Condiciones de los coeficientes de la ecuación general de segundo grado para que su

gráfica represente una circunferencia (Sólo se analizan los coeficientes A, B y C).

La ecuación general de segundo grado en las variables x e y es:

A x 2 + B x y + C y

2 + D x + E y + F = 0 y la ecuación general de la circunferencia

es:

x2 + y

2 + d x + e y + f = 0 (1).

Si se comparan los coeficientes de los términos correspondientes se deduce que:

A 0, C 0 y A = C = 1 (A igual a C en valor y signo) y el coeficiente B = 0.

Si A = C pero distinto de 1, se divide por ese valor a toda la ecuación de segundo grado para

obtener la ecuación (1).


Página 7

Ejemplo:

Encuentre los elementos característicos de 2 x 2

+ 2 y 2

– 8 x + 4 y – 16 = 0, utilizando las

fórmulas correspondientes.

2 x 2 + 2 y

2 – 8 x + 4 y – 16 = 0 como A = C = 2, se divide ambos miembros de la

igualdad en 2

x 2 + y

2 – 4 x + 2 y – 8 = 0 donde d = – 4, e = 2 y f = – 8

Utilizando las fórmulas, resulta:

k = – (– 4/2) k = 2; h = – 2/2 h = – 1 Centro c (2, – 1)

r 2 = 2

2 + (– 1)

2 – (– 8) r

2 = 4

+ 1 + 8 r

2 = 13 radio 13r

Ejemplo:

Analice si la expresión – 5 x 2

– 5 y 2

– 20 x + 10 y – 25 = 0 corresponde a una

circunferencia.

Se observa que B = 0 y A = C = – 5, se debe dividir en – 5 a toda la expresión para poder

saber el valor de los restantes coeficientes.

x 2 + y

2 + 4 x – 2 y + 5 = 0

d = 4, e = – 2 y f = 5

Para obtener las coordenadas del centro, se calcula:

k = – 4/2 k = – 2; h = – (– 2)/2 h = 1

r 2 = (– 2)

2 + 1

2 – 5 r

2 = 0 La expresión no corresponde a una circunferencia.

Ejemplo de aplicación:

Se detectó una plaga que afecta a un campo sembrado y se cree conveniente fumigar con un

avión en forma circular con un radio de 4 km la zona, para impedir que la plaga se extienda.

Si la región en cuestión se encuentra a 7 km al oeste y 2 km al norte de los galpones ¿Cuál

será la ecuación de la trayectoria que seguirá el avión?


Página 8

Para resolver esta situación, ubicamos en un sistema de ejes coordenados, la distancia a los

galpones y una posición del avión de acuerdo a los datos del problema, considerando el Norte

como el semieje positivo y.

Por lo tanto, el centro del círculo se ubica en el punto de coordenadas (– 7, 2).

La trayectoria del avión resulta ser el lugar geométrico de los puntos que equidistan 4 km del

centro r = 4

Así la ecuación de la trayectoria que seguirá el avión es la de la circunferencia:

(x + 7) 2 + (y – 2)

2 = 16


Página 9

ELIPSE

Elipse es una sección cónica que se obtiene intersectando una de las hojas de la superficie

cónica con un plano inclinado, como se observa en el gráfico

La importancia de las cónicas radica en su constante presencia en situaciones reales. En el

caso de elipse, esta curva puede presentarse en innumerables situaciones, por ejemplo: las

órbitas que describe la Tierra alrededor del Sol, la emisión de un haz de luz, la sombra que

genera una esfera, la Plaza de San Pedro, la forma de un estadio deportivo, y el Coliseo, entre

muchas otras.


Página 10

Cabe destacar que las elipses son cortes de cuerpos denominados elipsoides, como se puede

observar en las siguientes fotografías:

Teatro Nacional de Beijing

En la arquitectura se utilizan elipses, como superficies de revolución, para la construcción de

edificios, aprovechando sus características físicas singulares en cuanto a resistencia, acústica

y armonía visual.


Página 11

Una de las propiedades más notables se da en lo que se llaman “galerías murmurantes”. Estas

galerías, de forma elíptica, producen un extraño fenómeno: si una persona ubicada en uno de

los focos de la elipse murmura una frase, podría oirla nítidamnete alguien situado en el otro

foco; pero los que estén en otros lugares de la galería no lo oirán. Esto sucede porque el

sonido emitido en todas direcciones desde el primer foco, al rebotar en las paredes elípticas

pasaran indefectiblemente por el otro foco.

Importancia de la elipse en las Ciencias Agropecuarias

Dentro de las cónicas, la elipse tiene múltiples aplicaciones en agronomía y en zootecnia.

Basta recorrer las fincas de citrus de nuestra provincia de Tucumán, para observar que debido

a las características topográficas del suelo es común visualizar curvas de nivel en forma

elíptica en la plantación de limoneros, también en los campos de cultivos de caña de azúcar y

de otras variedades: soja, trigo, tabaco, etc.

También se utilizan cubiertas de forma elíptica para la producción de flores, arándano,

frutillas y hortalizas en general.


Página 12

En criaderos de aves.

Introducción al tema

Estos ejemplos y muchos más forman parte de las aplicaciones de la elipses en los diferentes

campos del conocimiento, por esa razón es necesario estudiar los conceptos, analizar los

parámetros y visualizar sus gráficos.

Definición: Se llama elipse al conjunto de puntos del plano que cumplen con la condición de

que la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

'fpfp = constante

La recta que contiene a los focos se llama eje mayor.

Para poder obtener la expresión canónica de esta curva, se considera la constante igual a 2a.


Página 13

Ecuación de la elipse

Centrada en el origen Con traslación

Eje mayor coincidente con el eje x Eje mayor paralelo al eje x

La ecuación canónica correspondiente, en cada caso, es:

1b

y

a

x2

2

2

2

1b

h)(y

a

k)(x2

2

2

2

Centro c (0, 0) Centro c (k, h)

Vértices v (a, 0) v ' (– a, 0) Vértices v (k + a, h) v ' (k – a, h)

v1 (0, b) v1' (0, – b) v1 (k, h + b) v1' (k, h – b)

Focos f (c, 0) f ' (– c, 0) Focos f (k + c, h) f ' (k – c, h)

Longitud del eje mayor v v ' = 2 a Longitud del eje mayor v v ' = 2 a

Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al

mayor y = 0 eje mayor y = h

Longitud del eje menor v1 v1' = 2 b Longitud del eje menor v1 v1' = 2 b


menor x = 0 eje menor x = k

Distancia focal f f ' = 2 c Distancia focal f f ' = 2 c

Dom R = [– a, a] Dom R = [k – a, k + a]

Cod R = [– b, b] Cod R = [h – b, h + b]


Página 14

Relación entre los parámetros a, b y c

Se considera el triángulo rectángulo v1 c f, se llama a a la hipotenusa y a los catetos b y c.

La relación pitagórica entre ellos es: a 2 = b

2 + c

2

Excentricidad

Se denota a la excentricidad con y se define como = c / a , como c < a 0 < < 1

Este es el parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica respecto a

una circunferencia, en la que la excentricidad es cero.

Ejemplo:

Dada la expresión de la elipse 4 x 2 + 25 y

2 – 100 = 0

a) Escríba en la forma canónica.


c) Represente.

a) 4 x 2 + 25 y

2 = 100 dividiendo ambos miembros en 100 obtenemos la

ecuación canónica de la elipse

14

y

25

x 22

b) Centro c (0, 0)

a 2 = 25 a = 5 Vértices v (5, 0) v ' (– 5, 0)

b 2 = 4 b = 2 v1 (0, 2) v1' (0, – 2)

c 2

= a 2

– b 2

c 2

= 25 – 4


Página 15

c 2

= 21 c = 21 Focos f ( 21 , 0) f ' (– 21 , 0)

= c / a = 21 / 5 < 1

Longitud del eje mayor v v' = 10

Longitud del eje menor v1 v1' = 4

Ecuación de la recta que contiene al eje mayor y = 0

Ecuación de la recta que contiene al eje menor x = 0

c)

Ecuación de la elipse


Eje mayor coincidente con el eje y Eje mayor paralelo al eje y


Página 16


1a

y

b

x2

2

2

2

1a

h)(y

b

k)(x2

2

2

2


Vértices v (0, a) v' (0, – a) Vértices v (k, h + a) v' (k, h – a)

v1 (b, 0) v1' (– b, 0) v1 (k + b, h) v1' (k – b, h)

Focos f (0, c) f ' (0, – c) Focos f (k, h + c) f ' (k, h – c)

Longitud del eje mayor v v' = 2 a Longitud del eje mayor v v' = 2 a


mayor x = 0 eje mayor x = k

Longitud del eje menor v1 v'1 = 2 b Longitud del eje menor v1 v1' = 2 b


menor y = 0 eje menor y = h


Dom R = [– b, b] Dom R = [k – b, k + b]

Cod R = [– a, a] Cod R = [h – a, h + a]

Ecuación general de la elipse

Sea la ecuación canónica de la elipse con centro en c (k, h):

1b

h)(y

a

k)(x2

2

2

2

Se desarrollan los cuadrados:

1b

hhy2y

a

kkx2x2

22

2

22


Página 17

Se iguala a cero, se saca común denominador y se obtiene:

(x 2 – 2 x k + k

2)

b

2 + (y

2 – 2 y h + h

2) a

2 – a

2 b

2 = 0

b 2 x

2 – 2 b

2 k x + b

2 k

2 + a

2 y

2 – 2 a

2 h y + a

2 h

2 – a

2 b

2 = 0

b 2 x

2 + a

2 y

2 – 2 b

2 k x – 2 a

2 h y + b

2 k

2 + a

2 h

2 – a

2 b

2 = 0

Se llama A = b 2; C = a

2; D = – 2 b

2 k; E = – 2 a

2 h; F = b

2 k

2 + a

2 h

2 – a

2 b

2

y se llega a la ecuación general de la elipse:

A x 2 + C y

2 + D x + E y + F = 0

Condiciones de los coeficientes de la ecuación general de 2º grado para que su gráfica

represente una elipse (Sólo se analizan los coeficientes A, B y C)


A x 2 + B x y + C y

2 + D x + E y + F = 0 y la ecuación general de la elipse:

A x 2 + C y

2 + D x + E y + F = 0.

Se comparan los coeficientes de los términos correspondientes y se deduce que:

A ≠ 0 C ≠ 0, además A y C deben ser de distinto valor e igual signo. Y el

coeficiente B = 0, para que su gráfica represente una elipse.

Ejemplo:

Encuentre la ecuación de la elipse que satisface las siguientes condiciones: f (0, 2), f ' (0, – 4)

y = 4

3

Al conocer las coordenadas de los focos se sabe que 2 c = 6 c = 3

El centro, punto medio entre los focos, es: c (0, – 1)

Además se conoce el valor de la excentricidad = 4

3, como c = 3 y =

a

c entonces

reemplazando e igualando, se puede obtener el valor de a:


Página 18

a

3 =

4

3 a = 4

Para poder escribir la ecuación canónica de la elipse se necesitan las coordenadas del centro,

los valores de a y b y la posición que tendrá la curva.

Con los valores de a y c, se puede obtener el valor de b, usando la relación pitagórica:

a 2 = b

2 +

c

2 b

2 =

a

2 –

c

2 b

2 =

16

–

9 = 7

Los focos están en el eje mayor de la curva que contiene los vértices v y v ', y en este caso es

paralelo al eje y. El mayor denominador que es el valor de a 2, deber ser del término que

contenga la variable y

116

1)(y

7

x 22

Ejemplo:

Escriba la ecuación de la elipse, cuya gráfica es:

Del gráfico: c (– 1, 1) a = 4 b = 2 14

1)(u

16

) 1 (v 22


Página 19

Ejemplo de aplicación:

Una galeria murmurante de 20 m de ancho tiene los focos a 7 m del centro. Calcula la altura

de la galería.

Se ubican convenientemente los ejes coordenados de tal manera que sobre el eje x estén los

focos y el origen, en la mitad de la distancia entre ellos.

Como datos se tiene que a = 10 y c = 7

La altura de la galería será la semidistancia b y se la obtiene utilizando la relación pitagórica

para la elipse:

a 2 = b

2 + c

2 b

2 =

a

2 – c

2 b

2 =

100 – 49 b

2 =

51 b = 7,14

La altura de la galería es de 7,14 m


Página 20

HIPÉRBOLA

Hipérbola es una sección cónica que se obtiene intersectando las dos hojas de la

superficie cónica con un plano inclinado que no contiene al vértice del mismo, como se

observa en el gráfico

La hipérbola está presente en situaciones reales, tales como: el planetario Mc Donnell, la

emisión de un haz de luz de una lámpara, una estructura arquitectónica, la Basílica de

Brasilia, una pista de skate, etc.

Hipérbola


Página 21

Importancia de la hipérbola en las Ciencias Agropecuarias

Al igual que en la elipse, la hipérbola también se aplica en agronomía para los campos de

cultivo, como se observa en la siguiente figura:


Página 22

Definición: Se llama hipérbola al conjunto de puntos del plano que cumplen con la

condición de que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es

constante.

'fpfp = constante

La recta que contiene a los focos se llama eje real o focal.

Para poder obtener la expresión canónica de esta curva, se considera la constante igual a 2a.

Ecuación de la hipérbola


Eje real coincidente con el eje x Eje real paralelo al eje x


Página 23


1b

y

a

x2

2

2

2

1b

h)(y

a

k)(x2

2

2

2


Vértices v (a, 0) v ' (– a, 0) Vértices v (k + a, h) v ' (k – a, h)

v1 (0, b) v1' (0, – b) v1 (k, h + b) v1' (k, h – b)

Focos f (c, 0) f ' (– c, 0) Focos f (k + c, h) f ' (k – c, h)

Longitud del eje real o focal Longitud del eje real o focal

v v ' = 2 a v v ' = 2 a


real o focal y = 0 eje real o focal y = h

Longitud del eje imaginario Longitud del eje imaginario

v1 v1' = 2 b v1 v1' = 2 b


imaginario x = 0 eje imaginario x = k

Ecuaciones de las asíntotas Ecuaciones de las asíntotas

xa

by ;x

a

by h k) x(

a

by

h k) x(a

by

Las asíntotas de la hipérbola son las rectas que unen los vértices opuestos del rectángulo cuyo

centro está en el centro de la hipérbola y sus lados tienen longitud 2 a y 2 b.


Dom R = (– ∞, – a] [a, ∞) Dom R = (– ∞, k – a] [k + a, ∞)

Cod R = (– ∞, ∞) Cod R = (– ∞, ∞)

Relación entre los parámetros a, b y c

Se considera el triángulo rectángulo o v p, se llama c a la hipotenusa y a y b a los catetos.


Página 24

La relación pitagórica entre ellos es: c 2

= b 2 + a

2

Excentricidad

Se define excentricidad al cociente: = c / a y como c > a > 1

Ejemplo:

Dada la expresión 9 x 2 – 36 y

2 – 324 = 0

a) Escriba en la forma canónica.


c) Represente.

a) 9 x 2 – 36 y

2 = 324 dividiendo ambos miembros en 324 obtenemos la

ecuación canónica de la hipérbola

19

y

36

x 22

b) Centro c (0, 0)

a 2 = 36 a = 6 Vértices v (6, 0) v ' (– 6, 0)

b 2 = 9 b = 3 v1 (0, 3) v1' (0, – 3)

c 2

= a 2

+ b 2

c 2

= 36 + 9

c 2

= 45 c = 45 Focos f ( 45 , 0) f ' (– 45 , 0)

Excentricidad = c / a = 45 / 6 > 1

Longitud del eje real o focal v v ' = 12


Página 25

Longitud del eje imaginario v1 v1' = 6

Ecuación de la recta que contiene al eje real o focal y = 0

Ecuación de la recta que contiene al eje imaginario x = 0

Ecuaciones de las asíntotas x2

1yx

6

3ye x

2

1y x

6

3y

c)

Ecuación de la hipérbola


Eje real coincidente con el eje y Eje real paralelo al eje y


Página 26


1b

x

a

y2

2

2

2

1b

k)(x

a

h)(y2

2

2

2


Vértices v (0, a) v ' (0, – a) Vértices v (k, h + a) v ' (k, h – a)

v1 (b, 0) v1' (– b, 0) v1 (k + b, h) v1' (k – b, h)

Focos f (0, c) f ' (0, – c) Focos f (k, h + c) f ' (k, h – c)

Longitud del eje real v v ' = 2 a Longitud del eje real v v ' = 2 a


real o focal x = 0 eje real o focal x = k

Longitud del eje imaginario v1 v1' = 2 b Longitud del eje imaginario

v1 v1' = 2 b


imaginario y = 0 eje imaginario y = h


Ecuaciones de las asíntotas Ecuaciones de las asíntotas

xb

ay ;x

b

ay h k) x(

b

ay

h k) x(b

ay

Dom R = (– ∞, ∞) Dom R = (– ∞, ∞)

Cod R = (– ∞, – a] [a, ∞) Cod R = (– ∞, h – a] [h + a, ∞)

En la gráfica de una hipérbola puede ocurrir que a > b (en la generalidad de los casos que

vimos), que a < b o que a = b.


Página 27

Hipérbolas conjugadas

Dos hipérbolas son conjugadas si el eje real de una de ellas es el imaginario de la otra.

Las ecuaciones de dos hipérbolas conjugadas con centro en (0, 0) y sus gráficas, son:

1b

y

a

x2

2

2

2

(1) 1a

x

b

y2

2

2

2

(2)


Página 28

Las ecuaciones de dos hipérbolas conjugadas con centro en (k, h) y sus gráficas, son:

1b

h)(y

a

k)(x2

2

2

2

(1) 1a

k)(x

b

h)(y2

2

2

2

(2)

Ejemplos:

La hipérbola de ecuación 19

y

25

x 22

es conjugada con la de ecuación 125

x

9

y 22


Página 29

La hipérbola de ecuación 116

2)(y

4

3)(x 22

es conjugada con la de ecuación

14

3)(x

16

2)(y 22

Hipérbola equilátera rectangular

Es aquella que tiene los semiejes real e imaginario de igual longitud. Sus asíntotas son

perpendiculares.

Si el centro está en (0, 0), su ecuación sería

1a

y

a

x2

2

2

2

Si el eje real es el eje x Si el eje real es el eje y

x 2 – y

2 = a

2 y

2 – x

2 = a

2

Si el centro está en (k, h), su ecuación sería:

(x – k) 2 – (y – h)

2 = a

2 (1) (y – h)

2 – (x – k)

2 = a

2 (2)


Página 30

Ecuación general de la hipérbola

A partir de la ecuación canónica de la hipérbola con centro en c (k, h):

1b

h)(y

a

k)(x2

2

2

2

Se desarrollan los cuadrados, se acomodan términos y se iguala a cero, obteniendo la ecuación

general de la hipérbola: A x 2 + C y

2 + D x + E y + F = 0

Condiciones de los coeficientes de la ecuación general de segundo grado para que su

gráfica represente una hipérbola (Sólo se analizan los coeficientes A, B y C)


A x 2 + B x y + C y

2 + D x + E y + F = 0 y la ecuación general de la hipérbola

es:

A x 2 + C y

2 + D x + E y + F = 0.

Si se comparan los coeficientes de los términos correspondientes, se deduce que:

A ≠ 0 C ≠ 0, además A y C deben ser de distinto valor y signo. Y el coeficiente B = 0,

para que su gráfica represente una hipérbola.


Página 31

Ejemplo:

Encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las siguientes condiciones:

f (– 2, 7), f ' (– 2, – 3) y = 5/3.

Conociendo las coordenadas de los focos se sabe que 2 c = 10 c = 5

El centro, punto medio entre los focos, es: c (– 2, 2)

Como el valor de la excentricidad es = 5/3 y se sabe que c = 5 entonces reemplazando y

despejando, se puede obtener el valor de a: 5/a = 5/3 a = 3

Para poder escribir la ecuación canónica de la hipérbola se necesitan las coordenadas del

centro, los valores de a y b y la posición que tendrá la curva.

Sabiendo los valores de a y c, se puede obtener el valor de b2, usando la relación pitagórica:

c 2 = a

2 +

b

2 b

2 =

c

2 –

a

2 b

2 =

25

–

9 = 16

Los focos están en el eje real de la curva que contiene los vértices v y v ', y en este caso es

paralelo al eje y. El término positivo es el que contiene a la variable y

116

2)(x

9

2)(y 22

Ejemplo:

a) Escriba la ecuación de la hipérbola, cuya gráfica es:


Página 32

b) Escriba las ecuaciones de sus asíntotas

a) Del gráfico: c (3, – 2) a = 2 b = 4 116

3)(x

4

) 2(y 22

b) 2)(7x2)(1y2 3) (x2)(1y ///

2)(1x2)(1 y2 3) (x2)(1 y ///

Problema de aplicación

Dos estaciones LORAN (ubicadas en la costa) están separadas 200 km entre sí. Un barco

registra una diferencia de tiempo de 0,0004 segundos entre las dos señales LORAN.

Encuentre a qué distancia de la estación principal tocaría tierra el barco si sigue la trayectoria

de una hipérbola. (Velocidad de la luz 300.000 km/s)

LORAN (LOng RAnge Navigation): Sistema de radionavegación hiperbólica de largo alcance

y gran precisión.

Para resolver este problema, se ubican convenientemente los ejes coordenados de tal manera

que sobre el eje x estén las estaciones y en la mitad de la distancia de entre ellas, el origen.

Como el barco sigue una trayectoria hiperbólica, las estaciones serían los focos de la

hipérbola.


Página 33

Se sabe, por definición de hipérbola, que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos

llamados focos es 2a. Es decir, la diferencia de las distancias d del barco a cada estación es

d = 2a y como d = v . t v . t = 2a

300000 km/s . 0,0004 s = 2a 120 km = 2a a = 60 km

Los vértices de la hipérbola están en ( 60, 0).

La diferencia de las abscisas entre (100, 0) y (60, 0) dará la distancia del barco a la estación

principal:

c – a = 100 km – 60 km c – a = 40 km

El barco tocará tierra a 40 km de la estación principal.

BIBLIOGRAFÍA

Di Caro, H. – Álgebra y Elementos de Geometría – Tomo I – 1994 – Editorial Reverte

Argentina, S. A. – Argentina.

Engler, A.; Müller, D.; Vrancken, S.; Hecklein, M. – Geometría Analítica – 1ª edición –

2005 – Ediciones UNL, Universidad Nacional del Litoral – Santa Fe – Argentina.

Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. – Precálculo - Matemáticas para el cálculo – 5°

edición – 2007– Cengage Learning Editores, S. A. – México D. F.

Stewart, J. y otros – Introducción al cálculo – 2007– Thomson Learning – Buenos Aires

– Argentina.

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