Clase de Vectores 2d

7/31/2019 Clase de Vectores 2d

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REPASO DE TRIGONOMETRIA

Donde: A, B Y C son los vrtices

a,b y c son los catetos

Algunas funciones trigonomtricas que conocemos:

sin =cateto opuestohipotenusa

= ac

cos =cateto adyacentehipotenusa

= bc

tan = catetoopuestocatetoadyacente

= ab

sec =cos 1 =cb

cosec = sen 1 =ca

cot=

tan 1

=ba

Pitgoras a 2 b2= c 2

El teorema de pitgoras nos brinda algunas identidades :

Dividiendo cada miembro por c 2

a2

c2

b2

c2 = c

2

c2

[ac

]2

[ bc

]2

= c2

c2

sen2

cos2 = 1

ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 1

A

B

C

a

b

c

De poco uso en la fisica


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Dividiendo ahora la ecuacin de pitgoras por a 2 yb2

a2

a2

b2

a2 =

c 2

a2

a2

b2

b2

b2 =

c2

b2

1 [ba ]

2

=[ca ]

2

[ab ]2

1=[ cb ]2

1 cot2 = cosec 2 tan2 1= sec 2

LEY DEL COSENO

Se utiliza para encontrar la magnitud de un lado de un triangulo no rectngulo conociendo la mag

de los dos lados y el ngulo entre ellos (se utiliza tambin en vectores)

C = A2 B2 2ABcos

Ley del coseno

LEY DE LOS SENOSSe utiliza para calcular la magnitud y ngulos de tringulos (sean rectngulos o no). Se utilizan tamen vectores.

Rsen

= Asen

= Bsen


A C

B

R B

ATriangulo normal

Triangulo vectorial

R B

A


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Ley de los senosEjemplo # 1: Desde una determinada posicin en un camino, una persona observa la parte ms auna torre de alta tensin con un angulo de elevacin de 25. Si avanza 45 m en linea recta hacia lade la torre, divisa la parte mas alta con un angulo de elevacin de 55. Considerando que la vist

observador est a unos 1.70 m. Encuentre la altura h de la torre.

Solucin:

x sen 25

=45 m

sen 30, x= 45m

sen 30 sen 25 , x=38.04 m

Trabajando con el siguiente triangulo, para encontrar la altura de la torre.

38.04 m sen 90

= h sen 55

, h= 31.16 m , h total = 31.16 1.70m

h total = 32.86m R/


h

45 m

1.70 m5525

25 125

30

45 m

?

X = ?

55

h38.04 m

90

35


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UNIDAD 1 LGEBRA VECTORIAL

1.1 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

CANTIDADES ESCALARES: Una cantidad escalar, consiste en un nmero y una unidad de medEjemplos:Temperatura (T) 98.6 FVolumen (V) 125 mlMasa (m) 58 kgrea (A) 500 m2 Tiempo 5.25 seg.Etc.Operaciones con escalares: Aritmtica ordinaria.

CANTIDADES VECTORIALES: Una cantidad vectorial queda totalmente determinada slo cuanconoce su magnitud (modulo), su direccin (orientacin angular) y su sentido (punta de la flecha)Ejemplos:Desplazamiento (x) 14.5 m al suroesteVelocidad (v) 98 km/h hacia el sur

Aceleracin (a) 9.80 m/s2

hacia abajoFuerza (F) 57 N, 45 al norte del este

Momento ( ) 38 N.m entrando al plano

Etc.REPRESENTACIN GRFICA DE UN VECTOR


1

2Trayectorias

N

EO

S

Direccin

Magnitud Sentido

N

S

EO


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1.3 OPERACIONES CON VECTORES (PROPIEDADES) GRFICAMENTE1.3.1 SUMA

R= A B R= B A

A B B A Ley conmutativa

R= A B

Mtodo del paralelogramo

SUMAR LOS VECTORES

R= A B C ; R= D C

R= R

A B C = D C Ley Asociativa


A

B

A B

R B A

R

Mtodo del triangulo

A

B

R

A BC

AB C

R D


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1.3.2 DIFERENCIA (RESTA DE VECTORES)

R= A B

R= A B

MTODO ANALTICO1.4 COMPONENTES DE LOS VECTORES (C. R.) EN 2DLa proyeccin de un vector sobre un eje, se denomina componente de un vector.

A Tendr dos componentes A x y A y

Si conocemos A y . Utilizando funciones trigonomtricas bsicas:

cos = A x A

, A x = Acos , Componente del vector A en la direccin x

sen =A y A

, A y= Asen , Componente del vector A en la direccin y

por pitgoras: A= A x 2

A y2 , Magnitud del vector A. Por definicin siempre es positiva.

tan = A y A x

, Angulo de direccin del vector A depender de la posicin del vector en el plano


A B

A

- B

R

AAx

Ay

x

y


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Las componentes de un vector no son vectores. Son nmeros positivos negativos en algunos son cero en uno de los ejes.

B x= Bcos B y= B sen

Por pitgoras B= B x2 B y2

Si nosotros queremos sumar el vector A con el vector B por sus componentes rectangulares, lo hac

as: R x= A x B x ; R y= A y B y ; R= R x2 R y2 ; tan =

R y R x

no siempre

Si tenemos n vectores, entonces: R x= A x B x ........ n x R y= A y B y ........ n y

Nomenclatura a utilizar:


BBx

By

y

x

N

EO

S

+

+

-

-


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Ejemplo # 1:Un atleta de alto rendimiento en un da de entrenamiento realiza los siguiedesplazamientos: 5 km hacia el sur, 4.5 km al noreste, 3 km hacia el este y 2.5 km 35 al norte delMuestre en un diagrama vectorial los desplazamientos del atleta y proporcione el desplazamientoque realiz.

Resolviendo el problema por componentes rectangulares y utilizando la nomenclatura vista, tenem A x= 0 , A y= 5 km

B x= Bcos45 ; B x=4.5 kmcos 45 ; B x= 3.18 km

B y= B sen 45 ; B y=4.5 km sen 45 ; B y= 3.18 km

C x= 3km , C y= 0

D x= Dcos35 ; D x=2.5

kmcos35 ; D x=2.05

km D y= D sen35 ; D y=2.5 km sen35 ; D y= 1.43 km

Calculando las componentes rectangulares del vector resultante R x= A x B x C x D x ; R x= 0 3.18 3 2.05 km ; R x = 8.23 km

R y= A y B y C y D y ; R y= 5 3.18 0 1.43 km ; R y= 0.39 km


E

N

S

O

EO

S

45A

B

E

N N

S S

C35

D

R


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Como la componente del vector resultante en el eje x es positiva y la de y es negativa, el vresultante esta ubicado en el cuarto cuadrante.

Encontrando la magnitud del vector resultante:

R= R x2

R y2

; R= 8.23 km2

0.39 km2

; R=8.24

km R/

tan = R y R x

; = tan 1R y R x

; = tan 1 0.39 km

8.23 km; = 2.71

= 2.71del este al sur R/

1.5 VECTORES CONCURRENTESLa magnitud de la suma de dos vectores concurrentes que forman entre ellos un angulo determina utilizando la siguiente expresin:

R= A2 B2 2ABcos


R x

R R y

E

N

S

O

R A

B


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1.6 VECTORES UNITARIOSUn vector unitario es un vector con magnitud 1, adimensional su nico fin es apuntar, osea descuna direccin y siempre estar asociado a un vector. Se utiliza ms en sistemas 3D

A= A X i A y j A z k ; B= B X i B y j B z k

R= A B

R= A x B x i A y B y j A z B z k

R= R x i R y j R z k

R= R x2

R y2

R z 2


iX

Y j

Z k Vectores unitarios

x

y

z

i

j

k


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1.7 MULTIPLICACIN DE VECTORES

1. Producto Escalar (Punto)2. Producto Vectorial (Cruz)

Si multiplicamos:Vector x Escalar = Vector Escalar x Escalar = Escalar Vector x Vector = Vector

1.7.1 PRODUCTO ESCALAR (Producto punto)Denotado por A.B

A. B= A Bcos

B. A= B Acos

A. B= B. A ley conmutativa parala multiplicacin

CARACTERSTICAS:

El producto punto es una cantidad escalar, y puede ser positiva, negativa o ceroPositiva 0 90

Negativa 90 180

Cero A es perpendicular a B , = 90

PRODUCTO PUNTO CON VECTORES UNITARIOS


A

B

A

B

Bcos

A

B

A c o

s


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i .i =11cos0 = 1 j . jk . k

i . j=11cos90= 0i . k j. k

PRODUCTO PUNTO A TRAVS DE SUS COMPONENTES RECTANGULARES

A . B= A x i A y j A z k . B x i B y j B z k

A . B= A x . B x i . i A x . B y i . j A x. B z i . k + A y . B x j .i A y . B y j . j A y . B z j . k +

A z . B x k . i A z . B y k . j A z . B z k . k

A . B= A x . B x A y . B y A z . B z

Producto punto en trminos de sus componentes rectangulares

1.7.2 PRODUCTO VECTORIAL (PRODUCTO CRUZ)

Denotado por A X B= V donde V tiene las siguientes propiedades:

1. V es perpendicular al plano delos vectores A y B2. El sentido de V obedece a la regla de la mano derecha

3. A X B= A B sen ? ; B X A= B A sen ?

A X B B X A No es conmutativa

A X B= B X A

A X B X C = A X B A X C Ley distributiva.


y

z

x

j

k

i


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Aplicacin: Introducir o extraer tuercas o tornillos

PRODUCTO VECTORIAL CON VECTORES UNITARIOS

i x i=11 sen 0 = 0 j x j k x k

Utilizando la regla de la mano derecha

i x j= k j x i= k

k x i= j

i x k = j

j x k = i k x j= i

UTILIZANDO LA REGLA DE KRAMER

A X B =

A X B=[ A y X B z A z X B y ]i [ A x X B z A z X B x ] j [ A x X B y A y X B x ]k


z

x

y

B

A

BXA

AXB

y

z

x

j

k

i

i

j k +

-

i j k Ax Ay AzBx By Bz

+ -+ - +- + -+ - +


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Ejemplo # 1: De los siguientes vectores:

A= 40i 10 j 5 k

B= 50 i 30 j 10 k

Donde : C = 3 A y D=12 B

Calcular:

a) C . D

b) C X D

c) D X C

Solucin:

Entonces: C = 120i 30 j 15k y D= 25 i 15 j 5 k

a) C . D= C x . D x C y . D y C z . D z

C . D= 120 . 25 [i . i ] 30 .15 [j . j ] 15 . 5 [k . k ]

C . D= 2475 R/

b) C X D Regla de Kramer

C X D =

C X D=[ 30 X 5 15 X 15 ]i[ 120 X 5 15 X 25 ]j [ 120 X 15 30 X 25 ]k

C X D=[ 150 225 ]i[ 600 375 ] j [ 1800 750 ]k

C X D= 75 i 975 j 2550 k


i j k 120 -30 15 25 15 -5

+ -


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Regla de la mano derecha

C X D= 120i 30 j 15k X 25i 15 j 5 k

C X D= 120X 25 i X i 120X 15 i X j 120X 5 i X k +

30 X 25 j X i 30 X 15 j X j 30 X 5 j X k +

15 X 25 k X i 15 X 15 k X j 15 X 5 k X k C X D= 150 225 i 600 375 hatj 1800 750 k

C X D= 75 i 975 j 2550 k R/

c) D X C = C X D

D X C = 75 i 975 j 2550k R/


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