Dr.Erwin F.Haya E.

Dr.Erwin F.Haya E.

Cantidades físicas• Existen cantidades físicas que quedan totalmente

determinadas por su magnitud o tamaño, indicada en alguna unidad conveniente.

Magnitud escalar:Magnitud escalar: • Son aquellas magnitudes físicas que estan definidas por

un numero real y su correspondiente unidad de medida. Es decir queda totalmente definida mediante un escalar

Temperatura (23 ºC)

Masa (10 g)Tiempo (5 s)

Longitud (15 mm)

Presióndensidadcorriente eléctricacarga eléctrica...

Dr.Erwin F.Haya E.

Ejemplos de Cantidades físicas

Momento de una fuerzaAceleraciónVector de posiciónCantidad de movimiento...

Velocidad Fuerza

( ) /2 3 1 i j k m s+ +

( )2k N

Magnitud vectorial:Magnitud vectorial: Son aquellas magnitudes físicas que se manifiesta por tres características fundamentales: Modulo, una dirección y un sentido.

v v

F a

Vector: segmento orientado en el espacio mediante una flecha que permite representar una magnitud vectorial

Dirección.— Es la recta sobre la cual se encuentra la línea de acción

Origen o Punto de aplicación.— Es el lugar concreto en donde se comienza a dibujar el vector

Magnitud o Modulo.— Indica el valor numérico o la longitud del vector.

Sentido.— Nos indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector

MÓDULO

El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es proporcional a la intensidad de la fuerza.

Al representar las fuerzas usaremos una escala similar a la utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papel equivaldrá a 1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).

3 cm

Escala Þ 1 cm : 2 N

3 cm . 2 N = 6 N

1 cm

DIRECCIÓNLa DIRECCIÓN es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.

45º

- 100º = 260º

120º

- 30º = 330º

!OJO! En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN:

2π rad = 360º; π rad = 180º; π/2 rad = 90º, etc.

SENTIDOEl SENTIDO indica hacia dónde se aplica la fuerza. En una misma dirección existen dos sentidos posibles.

45º

Sentido hacia arriba, hacia la derecha o ascendente

Sentido hacia abajo, hacia la izquierda o descendente

PUNTO DE APLICACIÓNEl PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación.

Luna Tierra,F

TierraLuna,F

FLuna, Tierra = FTierra, Luna

Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.

Dr.Erwin F.Haya E.

ALGUNOS TIPOS DE VECTORES:

• A) Vectores colineales• Son aquellos vectores que están

contenidos en una misma línea de acción.

B) Vectores concurrentes• Son aquellos vectores cuyas líneas

de acción, se cortan en un solo punto.

C) Vectores coplanares• Son aquellos vectores que

están contenidos en un mismo plano.

Cr

Ar

Br

Cr

Ar

Br

0

Cr

Ar

Br

Dr.Erwin F.Haya E.

D) Igualdad de vectores:Sean y dos vectores, entonces si y solo si tienen igual magnitud y dirección.

Br

Ar

A B=r r

Ar

E) Vector opuesto:

Sea un vector. Se llama vector opuesto de al vector que tiene la misma magnitud pero sentido contario que . Se designa por .

Ar

ArA

r

A−r

Ar

A−r

ar α Br

αBr

A−r

Ar

Dr.Erwin F.Haya E.

Vector unitario• Es la unidad vectorial representativa que se

caracteriza por su modulo que siempre es la unidad.

• Se manifiesta colineal o paralelo al vector. Es decir tienen la misma dirección y sentido.

Vector unitario$ ,

A Vectoru

ModuloA=

r

r

• Cualquier vector puede ser representado como el producto de un vector unitario en la dirección de y la magnitud de .

ˆA Aa=r

a Ar

Ar

O sea:

Ar

u)

x

yO

i j

k

Los versores cartesianos

)001(ˆ ,,i =

)0,1,0(ˆ =j

)1,0,0(ˆ =k

Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene una magnitud exactamente igual a uno. Se usan sólo por conveniencia en la descripción de una dirección en el espacio. Se usan los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z respectivamente. Como se muestra en la figura

Dr.Erwin F.Haya E.

Componentes de un vector

z

x

y

zAr

xAr

yAr

• Si se considera un sistema cartesiano XYZ, cualquier vector en el espacio podrá ser considerado como la suma de 3 vectores en la dirección X,Y,Z que se llamaran respectivamente. A

r, ,x y zA A Ar r r

x y zA A A A= + +r r r r

Es decir:

(Ax,Ay,Az)

xAr

( ), ,x y zA A A A=r

Dr.Erwin F.Haya E.

• Si se llaman a los tres vectores unitarios en las direcciones X, Y, Z respectivamente, entonces:

z

x

y

zAr

xAr

yAr

i

k j

x y zA A A A= + +r r r r

k ,j ,i

kAA

jAA

iAA

zz

yy

xx

ˆ

ˆ

ˆ

=

==

r

r

r

Es decir:

Ar (Ax,Ay,Az)

kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

r 2 2 2x y zA A A A= + +

r

Dr.Erwin F.Haya E.

son los cosenos de los ángulos α, β y γ que forma el vector con los ejes del sistema de referencia.

o

X

Z

Ar

Y

(Ax,Ay,Az)

β

γ

αxAr

zAr

yAr

cos

cos

cos

x

y

z

A A

A A

A A

α

β

γ

=

=

=

r

r

r

Cosenos directores

Dr.Erwin F.Haya E.

vzkr

vy jr

vx ir

X

YO

Z

(vx,vy,vz)vr

Componentes de un vectorComponentes de un vector

kvjvivv zyx

rrrr ++=

Un vector se puede expresar en función de sus componentes y de los vectores unitarios del sistema de referencia como la suma de tres vectores en las direcciones de los mismos

( )kjivvrrrrr γβα coscoscos ++=

Dr.Erwin F.Haya E.

X

YO

Z

(vx,vy,vz)vr

vur

Las componentes del vector unitario de un vector son los cosenos directores del vector (cosα, cosβ, cosγ)

kjiv

vuv

rrrr

rr γβα coscoscos ++==

( )kjivvrrrrr γβα coscoscos ++=

kvjvivv zyx

rrrr ++=

cos

cos

cos

x

y

z

v v

v v

v v

αβγ

===

r

r

r

• Calcular los valores de X que hace que el vector A sea un vector unitario

( )1, 2A x=r

2 2(1/ 2)A x= +r

→

1A =r

2 2 2 2

2

(1/ 2) 1 (1/ 2) 1

11

4 4 4

3 3

A x x

x x

= + = ⇒ + =

= = ⇒ = ±−

r

Dr.Erwin F.Haya E.

Metodos analiticos• Cuando un conjunto de vectores no son coliniales ni

paralelos, cuyos módulos y direcciones son conocidos, entonces podemos determinar mediante métodos analíticos:

• Método del triangulo o ley de senos • Método del paralelogramo o ley de cósenos• Método de descomposición rectangular.

• Metodo del triangulo o teorema del seno:

R A B

sen sen senβ δ α= =

Rr

Ar

Br

α

δβ

• Señale el valor del ángulo que forman dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud cuando su resultante forma un ángulo de 50 grados con el vector mayor.

10A u=r

8B u=r

α

R A B= +rr r

50o

10A u=r

8B u=r

α

R A B= +rr r

50o180o α−

50oα −

10 8

( 50 ) (50 ) ( 50 ) 50o o o o

A B u u

sen sen sen senα α= ⇒ =

− −

10 50( 50 ) 0.96

8123.2

oo osen

sen αα =− = = ⇒

Dr.Erwin F.Haya E.

• Método del paralelogramo

Se emplea para calcular el módulo de 2 vectores que forman un angulo entre si.

2 2 2 cos

R A B

R A B A B AB α

= +

= + = + +

rr r

r r

Ar

Br

α

R A B= +rr r

• Metodo de descomposicion rectangularNos permite determinar el modulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares.

(Y)(X)

α

θ F CosθF Se

nθ

W CosαW Senα

W

F

La resultante se obtienen sumando algebraicamente los vectores coliniales en cada eje *X* y en*Y*,

cos( ) ( )

cos( ) ( )

R V P Qsenx x

R V Psen Qy y

β θ

β θ

= = −∑

= = −∑

cos( ) ( )

cos( ) ( )

R V F Wsenx x

R V Fsen Wy y

θ α

θ α

= = −∑

= = −∑

( ) ( )

2 2: Rex y

Modulo R R= + ( )

( )

: =Arctg y

x

RDireccion

Rϕ

÷ ÷

(Y)

(X)

P

θ

Q

β

P cosβ

P S

enβ

Q cosθ

Q Senθ

ϕRe

(X)

T

45

TS

en45

T Cos45

( )0

2 45 2 45

2.707

y

o oy

y

F

R T Tsen T sen

R mg

=∑

= + = +

=( ) ( )

0

cos 45 1 0.707

0.707

x

Ox

x

F

R T mg

R mg

=∑= ==

2.707tan 3.828 75.3

0.707y

x

R oR

θ θ= = = ⇒ =

1mg

T

1T mg=

( ) ( )2 22 2 0.707 2.707

2.8

x yR R R mg mg

R mg

= + = +

=

Dr.Erwin F.Haya E.

Producto punto o escalar entre vectores

• El producto escalar de los vectores representado por el símbolo , se define como el producto de las magnitudes de y con el coseno del ángulo entre los dos vectores. Se llama escalar, porque el resultado por definición es una magnitud escalar.

cosA B AB θ⋅ =r r

Ar

Br

BArr

⋅

θ

Br

Ar ABBA

rrrr⋅=⋅

Dr.Erwin F.Haya E.

• De la definición se puede ver que:

1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii0ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ ikkjji

Si:

kBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

++=r

r

Entonces:zzyyxx BABABABA ++=⋅

rr

Notese que: 2222 AAAAAA zyx =++=⋅rr

ABBArrrr

⋅=⋅

Dr.Erwin F.Haya E.

Producto cruz o vectorial entre vectores• El producto vectorial de dos vectores es

representado por el símbolo , es definido, como un vector

y A Br r

A B×r r

• La dirección del vector es perpendicular al plano formado por (regla de la mano derecha).

BArr

×BArr

y

θ

BArr

×

Ar

Br

n θ

BArr

×

Ar

Br

n

Dr.Erwin F.Haya E.

nABsenBA ˆ( )=× θrr

• En que es un vector unitario que indica la dirección de .

n

BArr

×

ABBArrrr

×−=×

θ

BArr

×

Ar

Br

n

Dr.Erwin F.Haya E.

De la definición tenemos:

0ˆˆˆˆˆˆr

=×=×=× kkjjii

kji ˆˆˆ =×ikj ˆˆˆ =×jik ˆˆˆ =×

ik

j

X

Y

Z

0

· sin 0

0

i i i j k i k j

A B j i k j j j k i

k i j k j i

A

k

B

k

α

× = × = × = −= × = − × = × = × = × = − =

×

×

r rr r r r r r

r rr r r r r r r r

r r r rr r

r

r r

r

ˆ.A B A B sen nθ× = r r

Dr.Erwin F.Haya E.

Si: kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

r

kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=

r

( ) ( ) ( )

ˆˆ ˆ

x y z

x y z

y z z y z x x z x y y x

i j k

A B A A A

B B B

A B A B i A B A B j A B A B k

× = =

= − + − + −

r r

rr r

Dr.Erwin F.Haya E.

Eje x

Eje y

Eje zA(ax,ay,az)

B(bx,by,bz)

Vector entre dos puntosVector entre dos puntos

kajaiaOA zyx

rrr++=

kbjbibOB zyx

rrr++=

OB

OA

( ) ( ) ( )x x y y z zAB OB OA b a i b a j b a k= − = − + − + −uuur uuur uuur rr r

En la figura se observa un cubo cuya arista es la unidad. Realizar las siguientes operaciones vectoriales

x

y

z

Ar

Br

Dr.Erwin F.Haya E.

ar

br

barr + ( ) ( )

( ) ( ) ( )kbajbaiba

kbjbibkajaiaba

zzyyxx

zyxzyxrrr

rrrrrrrr

+++++=

=+++++=+

( ) ( )( ) ( ) ( )zzyyxx

zyxzyx

bababa

kbjbibkajaiaba

···

··

++=

=++++=rrrrrrrr

sumasuma

producto escalarproducto escalar

producto vectorialproducto vectorial

( ) ( )

( ) ( ) ( )

x y z x y z

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

a b a i a j a k b i b j b k

i j k

a b a a a a b a b i a b a b j a b a b k

b b b

× = + + × + + =

× = = − − − + −

r r rr r r rr

rr r

r rr rr

θ

a b×rr

ar

br

n

ar

br

α

Dr.Erwin F.Haya E.

Si:

ˆˆ ˆ (1,1,1)U i j k= + + ≡r

ˆˆ (0,1,1)V j k= + ≡r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

ˆˆ ˆ1 1 1 1 1 1ˆˆ ˆ1 1 11 1 0 1 0 1

0 1 1

1.1 1.1 1.1 1.0 1.1 1.0 0 1 1

1 1

modulo del producto vectorial 0 1 1 2

i j k

U V i j k

i j k i j k

U V j k j k

el U V

× = = − +

= − + − + − = + +

⇒ × = + ≡ +

× = + + =

r r

r rr r r r

r rr r r r

r r

Ur

Vr

Calcular el área del paralelogramo (|u x v|)

22 Nos define el area del paralelogramoU V u∴ × =r r

Dr.Erwin F.Haya E.

Si:

ˆˆ ˆ(2, 1,0) 2 1 0U i j k= − ≡ − +r

ˆˆ ˆ( 1, 2,0) 1 2 0V i j k= − ≡− + +r

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2

ˆˆ ˆ-1 0 2 0 2 -1ˆˆ ˆ2 1 0 2 0 -1 0 -1 2

1 2 0

( 1).0 2.0 2.0 0.( 1) 2.2 ( 1)( 1)

0 0 3

0. 0. 3. 3

modulo del producto vectorial 0 0 3 3

i j k

U V i j k

i j k

i j k

U V i j k k

el U V

× = − = − +−

= − − − − − + − − −

= + +

⇒ × = + + ≡

× = + + =

r r

rr r

rr r

r rr r r r

r r

Ur

Vr

Calcular el área del paralelogramo (|u x v|)

23 Nos define el area del paralelogramoU V u∴ × =r r

Dr.Erwin F.Haya E.

Calcular el área del triángulo con los vértices dados. (Sugerencia: (1/2)|u x v| es el área del triángulo que tiene u y v como lados adyacentes) (1,2,0), (-2,1,0), (0,0,0)

Definimos los vectores U y V

(1,2,0) (0,0,0) (1, 2,0)U = − =r

( 2,1,0) (0,0,0) ( 2,1,0)V = − − = −r

V ( 2,1,0)⇒ = −r

(1, 2,0)U⇒ =r

Ur

Vr

(0,0,0)(1,2,0)

( 2,1,0)−

A

1

2A UxV=

r r

Ell Area es igual al producto vectorial de dos vectores dividido por dos

Dr.Erwin F.Haya E.

Si:

ˆˆ ˆ(1,2,0) 1 2 0U i j k= ≡ + +r

ˆˆ ˆ( 2,1,0) 2 1 0V i j k= − ≡− + +r

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2

ˆˆ ˆ2 0 1 0 1 2ˆˆ ˆ1 2 01 0 -2 0 -2 1

2 1 0

2.0 0.1 1.0 0.( 2) 1.1 (2)( 2)

0 0 5

0. 0. 5. 5

modulo del producto vectorial 0 0 5 5

i j k

U V i j k

i j k

i j k

U V i j k k

el U V

× = = − +−

= − − − − + − −

= + +

⇒ × = + + ≡

× = + + =

r r

rr r

rr r

r rr r r r

r r

2 21 15 =2.5 Nos define el area del triangulo

2 2A UxV u u∴ = =

r r

Dr.Erwin F.Haya E.

(0,0,0)

( , ,0)k k

(0, , )k k

( ,0, )k k

( , , )2 2 2

k k k

θ

Considerar un tetraedro regular con los vértices (0,0,0), (k,k,0), (k,0,k) y (0,k,k), donde k es un numero real positivo.

A) Hallar la longitud de cada arista.

B) Hallar el ángulo entre cada dos aristas.

C) Hallar el ángulo entre los segmentos de recta desde el centroide (k/2,k/2,k/2) a dos de los vértices.

Dr.Erwin F.Haya E.

(0,0,0)

( , ,0)k k

(0, , )k k

( ,0, )k k

( , , )2 2 2

k k k

Ar

Br

θ

(0, , )A k k= −r

( , , ) ( ,0 , 0)A x y z k k k k= = − − −r

( ,0, )B k k= −r

( , , ) (0 , , 0)B x y z k k k k= = − − −r

( ) ( ) 20, , ,0,A B k k k k k× = − − =r r

2A k=r

2B k=r

2 1cos

22 2

A B k

A B k kθ ×= = =

r r

r r

o1cos =60

2θ θ= ⇒

Dr.Erwin F.Haya E.

CH4

PbCl4

(0,0,0)

( , ,0)k k

(0, , )k k

( ,0, )k k

( , , )2 2 2

k k k

Para presentar1. Un avión está viajando a una altura fija y sin la influencia

del aire. El avión viaja a una velocidad de 500km/h, con un ángulo de 120° como muestra la figura (a). Cuando el avión alcanza un cierto punto, el aire influye con una velocidad de 70 km/h en la dirección 45° NE como se muestra en la figura (b). ¿Cuál es la velocidad resultante y su dirección

2. Una pared de concreto está temporalmente en posición vertical sujetada por cuerdas como muestra la figura. Encontrar la fuerza total ejercida sobre la estaca en la posición A. Las tensiones en las cuerdas AB y AC son 190 kg y 300 kg.

3. Una cámara de TV tiene una mas de 25 kg y es sostenida por un trípode, como se muestra en la figura. Representar la fuerza ejercida en cada “pata” del trípode como un vector.