Clase 3.1 vectores

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Vectores

Una CANTIDAD ESCALAR es una cantidad física que se describe con un solo número Ej: tiempo, temperatura, masa, densidad, carga eléctrica, rapidez, presión.

• Un vector físico es una magnitud física caracterizable mediante un punto de aplicación u origen, un módulo, una dirección y un sentido.

• Existe la necesidad de explicar fenómenos físicos que no pueden ser descritos con un solo valor, es necesario definir las cuatro características mencionadas anteriormente:

• Punto de aplicación u origen.

• Magnitud o módulo: determina el tamaño del vector. Siempre es positiva.

• Dirección: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector.

• Sentido: determina hacia qué lado de la recta de acción apunta el vector.

VECTORES

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica

El vector de desplazamiento y otros vectores

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Vector de desplazamiento para un barco que se mueve de Liberty Island a Battery en el puerto de Nueva York. La longitud de este vector es de 2 790 m; su dirección es 65° al este del norte.

Muchas rutas alternativas de Liberty Island a Battery (líneas rojas). Todas dan por resultado el mismo vector de desplazamiento

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Estos vectores de desplazamiento son

iguales

• Vectores iguales: Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

• Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u origen- fijado en ningún punto en particular.

• Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algún punto en particular.

Tipos de vectores

A BA = B

A

• Vectores unitarios ( ^ ): vectores de módulo igual a uno. Sirven para indicar la dirección de un vector. En un sistema de coordenadas xyz, se utilizan los vector unitarios:

que apuntan en las direcciones de los ejes +x, +y + z, respe-

tivamente.

Operaciones con vectores1)Suma de vectores por el método gráficoa) Método del Polígono Consiste en disponer gráficamente un vector a

continuación de otro, es decir, el extremo inicial del vector “B" coincide con el extremo final del vector “A". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos.

ˆˆ ˆ, ,i j k

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El desplazamiento A es seguido por el desplazamiento B. El desplazamiento neto es C

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Suma y resta de vectores

a) Los vectores A y B representan los desplazamientos de una lancha de motor que se mueve de Ellis Island (P1) a Battery (P2) y de Battery a Atlantic Basin (P3). El vector C es la suma de estos dos vectores

b) Los vectores A, B y C forman un triángulo rectángulo. Dos de los lados se conocen y la hipotenusa se desconoce.

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De la suma vectorial A + B, la resultante es Ca) Los dos vectores A y Bb) Suma de A y B por el método de origen a la puntac) Suma de A y B por el método del paralelogramo


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Ley conmutativa de suma vectorial


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La resultante de la suma vectorial A + B es

la misma que para la suma vectorial B + A


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El vector A y su negativo -A


Los vectores paralelos A y B y su resultante C

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Suma de un vector y su negativo


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a) El vector 3A tiene la misma dirección que el vector A y es tres veces más largo

b) El vector -3A tiene una dirección opuesta a la de A y es tres veces más largo


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a) Para obtener la diferencia vectorial A - B, se traza primero el vector –B y luego se construye la suma vectorial A + (-B) por el método del paralelogramo

b) Como alternativa, puede trazarse el segmento dirigido de línea recta de la punta de B a la punta de A. Esto da los mismos resultados que el método del paralelogramo y establece que este segmento dirigido de línea recta es igual a la diferencia vectorial de A - B

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El vector de posición; componentes de un vector

El vector de posición r en dos dimensiones y sus componentes

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Un vector A en dos dimensiones y sus

componentes Ax y Ay


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Los componentes de un vector


Magnitud en términos de los componentes

EJEMPLOS

• REPRESENTE GRÁFICAMENTE LOS SIGUIENTES VECTORES Y HALLE SUS COMPONENTES RECTANGULARES y EXPRESELOS VECTORIALMENTE EN FUNCIÓN DE SUS VECTORES UNITARIOS :

• Una persona realiza los siguientes desplazamientos: 72.4 m, 320 al este de norte; 57.3 m, 360 al sur del oeste;17.8 m al sur.

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a) Vectores de posición de un avión (A) y de un huracán (B). El vector de desplazamiento del avión al huracán es la diferencia de vectores, C = B - A


b) Los componentes de x y y de A y B

c) Los componentes de x y y de C. Para mostrar estas componentes, el origen de C se ha movido al origen de las coordenadas.

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Magnitud de un vector 3D


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Un vector A en tres dimensiones y sus componentes Ax, Ay y Az.

Los componentes Ax, Ay y Az están representados por los lados de una caja rectangular, construida trazando perpendiculares de la punta del vector a los planos x – y, x – z y y – z.


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Los vectores unitarios i, j y k


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Tres vectores,

A, B y C,

en tres dimensiones


EJEMPLOS

REPRESENTE GRÁFICAMENTE LOS VECTORES:

ˆˆ ˆ6 3

ˆˆ ˆ4 5 8

ˆˆ ˆ2 3

ˆˆ ˆ4 2

A i j k m

B i j k m

C i j k m

D i j k m

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Multiplicación de vectores

Producto punto en términos del ángulo

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Dos vectores A y B. El ángulo entre ellos es Φ


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La componente de B a lo largo de A es igual a B cos Φ. Por tanto,el producto escalar deA · B = AB cos Φ es igual a la magnitud de A multiplicado por la componente de B a lo largo de A

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El producto punto en términos de componentes

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Los dos vectores B y C

Ejemplo

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Dos vectores A y B y su producto cruz

C – A x B


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La regla de la mano derecha para los productos cruz. Si los dedos de la mano derecha se curvan de A hacia B, el pulgar señala a lo largo de C


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La magnitud del producto cruz


El producto cruz es anticonmutativo

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a) La componente de A prependicular a B es A sen Φb) El área del paralelogramo que tiene A y B como

lados iguala la longitud de la base (B) multiplicada por la altura A sen Φ


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Los dos vectores A y B y su producto cruz


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El producto cruz en términos de componentes


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