Estatica Clase 07a Equilibrio de Un Cuerpo Rigido(2d) Uap

ESTÁTICAProfesor: Carlos E. Joo G.

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECURA

Escuela Profesional De Ingeniería Civil

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UNIDAD 2: MOMENTOS DE PRIMER ORDEN, EQUILIBRIO ESTATICO Y FUERZAS DE ROZAMIENTO

1. MOMENTO DE PRIMER ORDEN.2. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO.3. FUERZAS DE ROZAMIENTO

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CLASE Nº7: EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDOReacciones en los apoyos y conexiones de una

estructura bidimensional. Equilibrio en dos dimensiones: DCL

Condiciones para el equilibrio. Equilibrio de un cuerpo rígido en el plano –

Diversas aplicaciones: Vigas, Vigas Gerber, sistemas aporticados isostáticos.

Miembros de dos y tres fuerzas Equilibrio de un cuerpo rígido en 3

dimensiones.DCLEcuaciones y restricciones.

Reacciones en los apoyos y conexiones en estructuras tridimensionales.

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7.1.REACCIONES EN LOS SOPORTES

• Muchas aplicaciones en ingeniería implican sistemas de fuerzas y momentos.

• Por ejemplo, fuerzas y momentos ejercidos sobre diferentes vigas y estructuras planas, pinzas, algunas grúas y otras máquinas, así como ciertos tipos de puentes y presas. Aquí analizamos soportes, diagramas de cuerpo libre y las ecuaciones de equilibrio para aplicaciones bidimensionales.

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7.2.Soportes de cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerza

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7.2.Soportes de cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerza

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7.3.DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

• Revisemos el diagrama de fuerzas sobre la viga:

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7.3.DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

• Observe que la reacción generada por el soporte de rodillo es normal a la superficie sobre la que descansa.

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Ejemplo 7.1 el diagrama de cuerpo libre de la viga uniforme mostrada en la figura 5-7a. La viga tiene

una masa de 100 kg.

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Ejemplo 7.2. Trace el diagrama de cuerpo libre de la palanca de pie mostrado en la figura 5-8a. El operador aplica una fuerza vertical al pedal de manera que el resorte se estira 1.5 pulg. y la fuerza en el eslabón corto en B es 20lB

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Ejemplo 7.3. Dos tubos lisos, cada uno con masa de 300 kg, están soportados por la horquilla del tractor en la figura 5-9a. Trace los diagramas de cuerpo libre para cada tubo y para ambos tubos juntos.

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Ejemplo 7.4. Trace el diagrama de cuerpo libre de la plataforma descargada que está suspendida del borde de la torre petrolera mostrada en la figura 5-10a. La plataforma tiene una masa de 200 kg.

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Ejemplo 7.5. El diagrama de cuerpo libre de cada objeto mostrado en la figura 5-11 está trazado en ésta. Estudie cuidadosamente cada solución e identifique lo que representa cada carga, como se hizo en la figura 5-7b.

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Ejemplo 7.6. Dibuje el diagrama de cuerpo libre (DCL) debidamente acotado para:

Calculamos la resultante de la carga trapezoidal, dividiéndola en una carga uniformemente distribuida y otra carga triangular.

7.3.ECUACIONES DE EQUILIBRIO• Cuando un cuerpo sobre el cual actúa un sistema de fuerzas y

momentos está en equilibrio, se cumplen las siguientes condiciones:

1. La suma de las fuerzas es igual a cero,2. La suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a

cero,Ecuaciones escalares de equilibrio

• Cuando las cargas y las reacciones de un cuerpo en equilibrio forman un sistema bidimensional de fuerzas y momentos, se encuentran relacionadas por tres ecuaciones escalares de equilibrio:

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Ejemplo 7.7. Una grúa fija tiene una masa de 1 000 kg y se usa para levantar una caja de 2 400 kg. La grúa se mantiene en su lugar por medio de un perno en A y un balancín en B. El centro de gravedad de la grúa está ubicado en G. Determine las componentes de las reacciones en A y B.


Determinación de B:

Determinación de Ax:

Determinación de Ay:

Sumando vectorialmente las componentes Ax y Ay se encuentra que la reacción en A es 112.2 kN; 17.3°.

Como el resultado es positivo, la reacción está dirigida en la forma que se supuso.

Como el resultado es negativo, el sentido de Ax es opuesto al que se había supuesto originalmente. Comprobación: la suma de

los momentos de todas las fuerzas externas con respecto a cualquier punto debe ser igual a cero.

Ejemplo 7.8. En la figura 5.14, el cuerpo está empotrado y sometido a dos fuerzas y un par. ¿Qué valor tienen las reacciones en el empotramiento?


1º. Dibujar diagrama de cuerpo libre2º. Aplicar ecuaciones de equilibrio

Al resolver esas ecuaciones obtenemos las reacciones Ax = -86.6 lb, Ay =150.0 lb y MA = 73.2 lb-pie.

Observe que el par de 300 lb-pie y el par MA generados por el empotramiento no aparecen en las dos primeras ecuaciones de equilibrio, ya que un par no ejerce una fuerza neta. Así mismo, como el momento debido a un par es el mismo respecto a cualquier punto, el momento respecto al punto A debido al par antihorario de 300 lb-pie es antihorario de 300 lb-pie.

Consideremos una viga empotrada. De su diagrama de cuerpo libre obtenemos las ecuaciones de equilibrio:

F conocida y tres incógnitas, posible de resolver: Ax=0, Ay = F; y MA = FLI2.

7.4.Cuerpos estáticamente indeterminados• Existen dos situaciones comunes en las

que el procedimiento empleado no conduce a la solución:

1. SOPORTES REDUNDANTES • Esto sucede cuando un cuerpo tiene

más soportes que el mínimo necesario para mantenerlo en equilibrio.

• Así el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo tiene más fuerzas o pares desconocidos que el número de ecuaciones independientes de equilibrio que se pueden obtener. Y no se pueden escribir más de tres de tales ecuaciones en un problema bidimensional, y si hay más de tres incógnitas, éstas no se pueden determinar con sólo ecuaciones de equilibrio.

• Analicemos el siguiente caso:


Consideremos una viga empotrada. De su diagrama de cuerpo libre obtenemos las ecuaciones de equilibrio:

F conocida y tres incógnitas, posible de resolver: Ax=0, Ay = F; y MA = FLI2.

7.4.Cuerpos estáticamente indeterminados• Supongamos ahora que añadimos un soporte de rodillo en el extremo derecho de la viga:

• Obtenemos las ecuaciones de equilibrio:

• Tenemos tres ecuaciones y cuatro reacciones desconocidas. Aunque en la primera ecuación Ax = O, no podemos resolver las demás. La diferencia entre el número de reacciones y el número de ecuaciones independientes de equilibrio se denomina grado de redundancia.


7.4.Cuerpos estáticamente indeterminados

2. SOPORTES IMPROPIOS• Esto sucede si un soporte no permanece en

equilibrio bajo la acción de.las cargas ejercidas sobre él. Un cuerpo con soportes impropios se moverá al aplicarle cargas. En problemas bidimensionales, esto puede ocurrir de dos maneras:

1. Los soportes pueden ejercer sólo fuerzas paralelas. La suma de las fuerzas en la dirección horizontal no puede ser igual a cero porque los soportes de rodillo sólo pueden ejercer reacciones verticales.

2. Los soportes sólo pueden ejercer fuerzas concurrentes. La suma de los momentos respecto a P no es cero y la viga girará cuando se aplique la carga.


Las reacciones sobre un cuerpo con soportes redundantes se pueden determinar complementando las ecuaciones de equilibrio con ecuaciones adicionales que relacionen las fuerzas y pares actuantes sobre el cuerpo con las deformaciones de éste, es decir, con su cambio de forma. Por ello, la obtención de las ecuaciones de equilibrio es el primer paso para su solución.

Ejemplo 7.9. Indique si las barras en L están adecuadamente soportadas. Si una barra está adecuadamente soportada, determine las reacciones en sus soportes.


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Excepto cuando se abordan de manera explícita soportes impropios, en nuestros ejemplos los cuerpos tienen soportes adecuados. Debe desarrollarse el hábito de examinar cuerpos en equilibrio y reflexionar si están adecuadamente soportados según las cargas que actúan sobre ellos.


Ejemplo 7.10. El eslabón mostrado en la figura 5-16a está articulado en A y descansa contra un soporte liso ubicado en B. Calcule las componentes horizontal y vertical de reacción en el pasador A.


Ejemplo 7.11. El marco mostrado en la figura sostiene una parte del techo de un pequeño edificio. Se sabe que la tensión en el cable es de 150 kN, determine la reacción en el extremo fijo E.

7.5. Miembros de dos y tres fuerzas• La solución de algunos problemas de

equilibrio puede ser simplificada cuando es posible reconocer los miembros que están sometidos a sólo dos o tres fuerzas.

1. Miembros de dos fuerzas. • Si la placa está en equilibrio, la suma de los

momentos de F1 y F2 con respecto a cualquier eje debe ser igual a cero. La línea de acción de F2 debe pasar a través de A y la línea de acción de F1 debe pasar a través de B.

• Como resultado, la línea de acción de ambas fuerzas es conocida ya que siempre pasa por A y B.

• Por consiguiente, sólo debe ser determinada o establecida la magnitud de la fuerza. Otros ejemplos de miembros de dos fuerzas mantenidas en equilibrio se muestran en la figura


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Muchos elementos mecánicos actúan como miembros de dos o tres fuerzas, y la habilidad para reconocerlos en un problema simplificará considerablemente un análisis por equilibrio.• El eslabón AB del cucharón de la excavadora es un ejemplo típico de un miembro de dos fuerzas ya que está conectado mediante pasadores en sus extremos y, si su peso se ignora, ninguna otra fuerza actúa en este miembro.• El cilindro hidráulico Be está conectado mediante pasadores en sus extremos.Se trata de un miembro de dos fuerzas. El pescante ABD está sometido al peso del motor suspendido en D, a la fuerza del cilindro hidráulico en B, y a la fuerza del pasador en A. Si el peso del pescante es ignorado, se trata entonces de un miembro de tres fuerzas.• La caja de volteo del camión opera por extensión del cilindro telescópico hidráulico AB. Si se ignora el peso de AB, podemos clasificarlo como un miembro de dos fuerzas ya que está conectado en sus puntos extremos.


Ejemplo 7.12. La palanca ABC está articulada en A y conectada a un eslabón corto BD, como se muestra en la figura. Si el peso del miembro es insignificante, determine la fuerza del pasador de la articulación sobre la palanca en A.(F=1319.58;FA=1074.63N)

7.5. Miembros de dos y tres fuerzas2. Miembros de tres fuerzas. • Si el cuerpo está en equilibrio, las líneas de acción de las tres fuerzas deben ser

concurrentes o paralelas.• Como el cuerpo rígido está en equdibrio, la suma de los momentos de F1, F2 y F3

con respecto a cualquier eje debe ser igual a cero.



Ejemplo 7.13. Un hombre levanta una vigueta de 10 kg y de 4 m de longitud tirando de una cuerda. Encuentre la tensión T en la cuerda y la reacción en A.

Diagrama de cuerpo libre. La vigueta es un cuerpo sujeto a tres fuerzas: su peso W, la fuerza T ejercida por la cuerda y la reacción R ejercida por el suelo en A. Se observa que :

W = mg = (10 kg)(9.81 m/s2) = 98.1 N

Cuerpo sujeto a tres fuerzas. Como la vigueta es un cuerpo sujeto a tres fuerzas, éstas al actuar deben ser concurrentes. Por tanto, la reacción R pasará a través del punto de intersección C de las líneas de acción del peso W y de la fuerza de tensión T. Este hecho se utilizará para determinar el ángulo a que forma R con la horizontal. Trazando la línea vertical BF a través de B y la línea horizontal CD a través de C, se observa que :

Ahora se conocen las direcciones de todas las fuerzas que actúan sobre la vigueta.


Ejemplo 7.13. Un hombre levanta una vigueta de 10 kg y de 4 m de longitud tirando de una cuerda. Encuentre la tensión T en la cuerda y la reacción en A.

Triángulo de fuerzas. Se dibuja un triángulo de fuerzas, como se muestra en la figura y se calculan sus ángulos interiores a partir de las direcciones conocidas de las fuerzas. Con el uso de la ley de los senos se escribe :

FIN DE LA CLASE 07-B: GRACIASPROXIMA CLASE:

CLASE 07-C: EQUILIBRIO EN 3D

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