Estatica Equilibrio de Un Cuerpo Rigido

7/28/2019 Estatica Equilibrio de Un Cuerpo Rigido

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Equilibrio de un cuerpo rgido55

Esttica


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Objectivos

Escribir las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo

rgido.

Concepto de diagrama de cuerpo libre para un cuerpo

rgido. Resolver problemas de equilibrio para un slido rgido.


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ndice

1. Conditiones para el equilibrio del cuerpo rgido

2. Diagramas de cuerpo libre

3. Ecuaciones del equilibrio

4. Miembros de dos y tres fuerzas5. Ms diagramas de cuerpo libre

6. Nuevas ecuaciones de equilibrio

7. Ligaduras y determinacin esttica


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5.1 Conditiones de equilibrio

El equilibrio de un cuerpo se expresa como

Considere sumar los momentos respecto algn otro

punto, tal como A, requerimos

FR=F=0

(M

R )O=

M

O=0

MA=rFR+(MR )O=0

Condicin necesaria y suficiente


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5.2 Diagramas de cuerpo libre


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Fuerzas internas

Fuerzas internas y externas actan sobre un cuerpo

rgido.

Ya que las fuerzas internas actan entre partculascontedidas dentro del contorno del DCL, no se pintan

La partculas o sistemas fuera del contorno ejercen

fuerzas externas sobre el sistema.


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Peso y centro de gravedad

Cada partcula tiene un peso especfico, y puede

considerarse un sistema de fuerzas paralelas.

El sistema se puede representar mediante una nicafuerza resultante conocida comopesoW del cuerpo

El punto de aplicacin del peso es conocido como el

centro de gravedad(ntese que es independiente del

punto elegido para calcularlo).


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Procedimiento para dibujar un DCL

1. Esbozar la forma del cuerpo

Imagine que el cuerpo est aislado, cortando o

liberndolo de sus ligaduras. Dibuje esta situacin.

2. Mostrar todas las fuezas y momentos de pares

Identifique todas las fuerzas externas y los momentos

de pares que actan sobre el cuerpo


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3. Identifique cada carga y d las dimensiones

Indicar las dimensiones

Las fuerzas y momentos conocidos deben de pintarse

con sus etiquetas, magnitudes y direcciones


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Ejemplo 5.1

Dibuje el DCL de la viga. La viga es uniforme y tiene una

masa de 100 kg.


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Solucin

Diagrama de cuerpo libre


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Solucin

DCL

El soporte A es un muro fijo

Las tres fuerzas que actan sobre la viga en A se

denotan como Ax, Ay, Az, dibujadas en direccinarbitraria

Las magnitudes de esos vectores son desconocidas

Asumir el sentido de esos vectores

Para una viga uniforme,

Peso, W = 100(9.81) = 981 N

actuando en el centro de gravedad de la viga, a 3 m

desde A


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5.3 Ecuaciones de Equilibrio

Para el equilibrio de un cuerpo rgido en 2D,

Fx = 0; Fy = 0; MO = 0

Fx , Fy representan la suma de las componentes x, yde todas las fuerzas

MO representa la suma de los momentos de los pares

y de los momentos de las fuerzas que actan sobre el

cuerpo


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Procedimiento de anlisis

DCL

La fuerza o el momento tienen magnitud desconocida,

pero podemos asumir sus lneas de accin Indicar las dimensiones del cuerpo necesarias para

calcular los momentos de las fuerzas


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Ecuaciones de equilibrio

Aplicar MO = 0 respecto al pto O

Orientar los ejes x, y a lo largo de las lneas que dan la

resolucin ms simple de las fuerzas en sus

componentes x, y

Un resultado escalar negativo supone que el sentido es

negativo respecto al que se asumi en el DCL


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Ejemplo

Determine las componentes horizontales y verticales de

las reacciones para la viga. Desprecie el peso de la viga.


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Solucin

DCL

600 N representada por las componentes x,y

200 N acta sobre la viga en B


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Solucin

Ecuaciones de Equilibrio

+ Fx=0 ; 600cos45NBx=0Bx=424N

M

B=0 ;

100N(2m )+(600sin45N)(5m )(600cos45N)( 0.2m )Ay(7m)=0

Ay=319N

+Fy=0 ;319N600sin45N100N200N+By=0By=405N

Nota: Se puede comprobar el resultado de By calculando los momentos respecto

al punto A.

+


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5.4 Miembros de 2 y 3 fuerzas

La solucin se simplifica reconociendo miembros sujetos a solo 2 o 3 fuerzas

Miembros de 2 fuerzas

Cuando las fuerzas se aplican a solo dos puntos de un

elemento, el elemento se llama miembro de dosfuerzas

Solo la magnitud de la fuerza debe de determinarse

La condiciones de equil requieren que acten en lamisma lnea de accin: (b) FR=0 (c) M

A=0 o M

B=0


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5.4 Miembros de dos y tres fuerzas

Miembros de 3 fuerzas

Cuando un elemento est sujeto a 3 fuerzas, las

fuerzas son concurrentes o paralelas (si dos se cortan,

la tercera tambin, ya que MO = 0)


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Ejemplo

La palanca ABC est sostenida por la articulacin A y

conectada a una unin BD. Si el peso de los elementos

se puede despreciar, determine la fuerza del soporte

sobre la palanca en A.


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Solucin

DCL

BD es un miembro de 2 fuerzas

Palanca ABC miembro de 3


Resolviendo, FA=1.07kN

F=1.32kN

= tan1(0 .70 . 4 )=60.3+Fx=0 ; FA cos60.3Fcos45+400N= 0+ Fy=0 ; FA sin60 .3 Fsin45=0


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5.5 Diagramas de cuerpo libre 3D

Reacciones de los soportes

Como en el caso dimensional:

Una fuerza es ejercida por un soporte

Un momento de par se desarrolla cuando se impide larotacin de un miembro ligado

La orientacin de la fuerza se define por los ngulos de

coordenadas , ,


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Ejemplo

Dibujar el DCL de los objetos mostrados. Despreciar el

peso de los objetos


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Solucin


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Ecuaciones vectoriales de equilibrio

Las dos condiciones de equilibrio de un cuerpo rgido

en forma vectorial,

F = 0 MO = 0

Ecuaciones de equilibrio en forma escalar

Si todas las fuerzas externas y momentos de expresanen forma cartesiana

F = Fxi + Fyj + Fzk = 0

MO = Mxi + Myj + Mzk = 0


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5.7 Ligaduras para un cuerpo rgido

Ligaduras impropias

La restriccin impropia de los soportes causa

inestabilidad

Cuando las fuerzas reactivas son concurrentes en unpunto, el cuerpo est impropiamente ligado o sujeto


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DCL

Esboze la forma del cuerpo

Pinte todas las fuerzas y momentos de pares queactan sobre el cuerpo

Pintar todas las componentes desconocidas con

sentido positivo

Indicar las dimensiones necesarias del cuerpo paracalcular los momentos de las fuerzas


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Aplicar las seis ecuaciones escalares o las dos

vectoriales de equilibrio Cualquier conjunto de ejes, no ortogonales puede

elegirse para esto

Elija la direccin de un eje para sumar momentos de

manera que intersecte tantas lneas de accin de lasfuerzas desconocidas como sea posible


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Ejemplo

La placa homognea tiene una masa de 100 kg y est

sujeta a una fuerza y un momento de par a lo largo de

sus lados. Si est aguantada horizontalmente por medio

de una rodadura en A, una unin de pivote en N, y una

cuerda en C, determine las componentes de lasreacciones en los soportes.


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Solucin


La componentes de la fuerza en B se pueden eliminar

si se usan los ejes x, y, z

Mx=0 ;TC(2m)981N(1m )+BZ(2m)=0My=0 ;300N(1.5m )+981N(1.5m )Bz (3m )Az (3m )200N.m=0

Mx'=0 ; 981N(1m )+300N(2m)Az (2m)=0

My'=0 ;300N(1.5m )981N(1.5m)200N.m+T

C(3m)=0


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Solucin

Resolviendo,

Az = 790N Bz = -217N TC = 707N

El signo negativo indica que Bz acta hacia abajo

La placa est parcialmente sostenida ya que lossoportes no pueden evitar que gire alrededor del eje z

si se aplica una fuerza en el plano x-y


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QUIZ

1. Si un soporte previene la traslacin de un cuerpo,entonces el soporte ejerce ___________ sobre l

A) un momento de par

B) una fuerza

C) un momento de par y una fuerza

D) ninguna respuesta es correcta

2. La fuerzas internas _________ se muestran en eldiagrama de cuerpo libre.

A) siempre

B) a veces

C) raras veces

D) nunca


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QUIZ

3. La viga y el cable (con una polea sin friccin en D)

aguantan una carga de 80 kg en C. En un DCL de la

viga, cuntas incgnitas hay?

A) 2 fuerzas y 1 momento de par

B) 3 fuerzas y 1 momento de par

C) 3 fuerzas

D) 4 fuerzas


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QUIZ

4. Las fuerzas internas no se muestran en un DCL

porque son _____.

A) iguales a cero

B) iguales y opuestas y no afectan a los clculosA) extremadamente pequeas

D) no son importantes


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QUIZ

5. Las tres ecuaciones FX = FY = MO = 0, son ____

ecuaciones de equilibrio en 2 dimensiones.

A) incorrectas B) las nicas correctas

C) las usadas comnmente D) no suficientes

6. Este cuerpo rgido puede considerarse

como un miembro de ______.

A) fuerza nica B) 2 fuerzas

C) 3 fuerzas D) 6 fuerzas


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QUIZ

1. Para la viga, cuntas reacciones de los soportes

hay, y est el problema estticamente determinado?

A) (2, S) B) (2, No) C) (3, S) D) (3, No)

8. La viga AB est cargada como se muestra: a)

cuntas reacciones de los soportes hay en la viga?,

b) est el problema estticamente determinado?,

c) es la estructura estable?

A) (4, Yes, No) B) (4, No, Yes)

C) (5, Yes, No) D) (5, No, Yes)

F F F F

FFixed

suppor

tA B


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QUIZ

9. Qu ecuacin de equilibrio permite calcular FB

directamente?

A) FX = 0 B) FY = 0

C) MA = 0D) Cualquiera de las anteriores.

10. Una viga est mantenida por una articulacin y una

rodadura. Cuntas reacciones de los soportes hay yes la estructura estable para cualquier tipo de carga?

A) (3, Yes) B) (3, No)

C) (4, Yes) D) (4, No)

AX

A B

FBA

Y

100 N


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QUIZ

11. Si un soporte previene la rotacin de un cuerpo

alrededor de un eje, entonces el soporte ejerce

________ sobre el cuerpo respecto a ese eje.

A) un momento de par B) una fuerza

C) A y B D) ninguna es correcta.

12. Cuando se analiza un problem en 3-D, se dispone de

________ ecuaciones escalares de equilibrio

A) 3 B) 4

C) 5 D) 6


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QUIZ

13. La barra AB est soportada mediante dos cables en u

B y una unin de bola en A. Cuntas reacciones de

los soportes se desconocen en este problema?

A) 5 fuerzas y 1 momento

B) 5 fuerzas

C) 3 fuerzas y 3 momentos

D) 4 fuerzas y 2 momentos


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QUIZ

14. Si se aplica un momento de par adicional en la direccin vertical

a la barra AB en el punto C, qu le sucede a la barra?

A) La barra premanece en equilibrio poque los cables proporcionan

las reacciones necesarias.

B) La barra permanece en equilibrio ya que la unin de bolaproporcionan las reacciones necesarias.

C) La barra se vuelve inestable ya que los cables no pueden

mantener las fuerzas de compresin.

D) La barra se vuelve inestable porque

el momento sobre AB no puede restringirse


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QUIZ

15. Un plato est soportado por una unin de bola en A,

una rodadura en B, y un cable en C. Cuntas

reacciones desconocidas de los soportes hay en el

problema?

A) 4 fuerzas y dos momentos

B) 6 fuerzas

C) 5 fuerzas

D) 4 fuerzas y 1 momento


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QUIZ

16. Cul sera la manera ms fcil de determinar la

fuerza de reaccin B en direccin Z ?

A) La ecuacin escalar FZ = 0

B) La ecuacin escalar MA = 0C) La ecuacin escalar MZ = 0

D) La ecuacin escalar MY = 0

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