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Propiedad Intelectual Cpech

Álgebra2010

Clase N° 4Potencias y Raíces

Propiedad Intelectual Cpech Propiedad Intelectual Cpech

APRENDIZAJES ESPERADOS• Reconocer la definición de potencia de base entera y de

exponente entero.

• Reconocer la definición de raíz como una potencia de base entera y exponente racional.

• Aplicar las propiedades de las potencias y raíces en la resolución de ejercicios.

• Resolver potencias de base racional y exponente entero.

Propiedad Intelectual Cpech

1. Potencias1.1 Definición

1.2 Propiedades

1.3 Potencias de base 10

1.4 Signos de una potencia

2. Raíces2.1 Definición

2.2 Propiedades

2.3 Racionalización

Potencias y raíces

Propiedad Intelectual Cpech

1.1 Definición

Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o númerosiguales. El término o número que se va multiplicando, se llama“base”, la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama“exponente” y el resultado se denomina “potencia”.

1. Potencias

an = a · a · a · a · …a · · a

n veces

Ejemplo:73 = 7 · 7 · 7 =

(-6)2 = (-6) · (-6)= 36

Libro, página 38

343

Propiedad Intelectual Cpech

-32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 ∙ 3 = -9 y

(-3)2 = (-3)·(-3) = 9

=23

3 23

3ya que:

y =23

3= 2∙2∙2

383

23

3= = 8

2723

23

23

∙ ∙

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1.2 Propiedades

• Multiplicación de Potencias:

De igual base

Se conserva la base y se suman los exponentes.

an+man · am =

Ejemplo:

5x+3x5x · 53x = = 54x

Libro, página 38

2

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De igual exponente:

Se multiplican las bases, conservando el exponente.

(a · b)nan · bn =

Ejemplo:

85 · 42 · 22 = 85 · (4 · 2)2 = 85 ·82 = 87

Propiedad Intelectual Cpech

• División de Potencias:

De igual base:Se conserva la base y se restan los exponentes.

an-man : am =

Ejemplo:

923

96= = 917923-6

Resolver ejercicios 1, 2 y 5 de “EJERCICIOS P.S.U.”, libro, página 49.

Propiedad Intelectual Cpech

De igual exponente:Se dividen las bases y se conserva el exponente.

(a : b)nan : bn =

Ejemplo:

75 :

42

282 = 75 : (28:4)2 = 75 : 72 = 73

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• Potencia de Potencia:

Se multiplican los exponentes.

(an )m = am ∙ n

Ejemplo:

(210 )4 = 210 ∙ 4 = 2 40

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• Potencia de Exponente Negativo:

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.

Potencia de exponente negativo y base entera:

1a-n = a

n

(Con a, distinto de cero)

Ejemplo:

5-2 · 153

2

= · (5)25

2

1 =251

· 25 = 1

Propiedad Intelectual Cpech

33 =43

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria:

ab

-n

=ba

n

(Con a distinto de cero

y b distinto de cero)

Ejemplo:

34

-3

=

3

43 =

6427

3

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• Potencias de exponente cero:

a0 = 1(para todo a, distinto de cero)

00 : indeterminado

Ejemplo:

x3

- 4y

7 – (15-8)

= x3

- 4y

0

= 1

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1.3 Potencias de base 10• Con exponente cero y positivo:

Libro, página 41

101 = 10

102 = 100

103 = 1000…

Ejemplo:

54.000.000 = 54 · 1.000.000

= 54 · 106

100 = 1

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4 ∙ 10 -5

• Con exponente negativo:

Ejemplo:

10=1 0,1

100=1 0,01

10-3 = 1

1.000= 0,001…

10-1 =

10-2 =

Libro, página 41

0,00004 = 4

100.000=

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1.4 Signos de una potencia

• Potencias con exponente par:

Las potencias con exponente par, son siempre positivas.

Ejemplo:

(-11) · (-11) = 121

2) -35

4

= 816255

(-3)4

4=

Libro, página 42

1) (-11)2 = (-11) · (-11) =

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• Potencias con exponente impar:

En las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base.

Ejemplo:

1) (-12)3 = (-12) · (-12) ∙ (-12) = -1.728

2) -23

-5

= 3-2

5

=(3)

5

(-2)=

5243-32

= 24332

-

No existe una regla para sumar o restar potencias.

Propiedad Intelectual Cpech

3 161 3

4

-2

=2)

xxba

= ab

645

Toda raíz corresponde a una potencia con exponente fraccionario.

2.Raíces

Ejemplos:

2.1 Definición

=34

2=423

852

=1) 85 =2

(Con b, distinto de cero)

b: índicex : cantidad subradical

a

4

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9∙3 =3

2.2 Propiedades

• Multiplicación de raíces de igual índice:

Al multiplicar raíces de igual índice, se multiplican laspartes subradicales conservando el índice que tienen encomún.

n∙ b

n= a∙ba n

Ejemplo:

93

33

=∙ 3=3

27

Propiedad Intelectual Cpech

512:24

=

• División de raíces de igual índice:

Al dividir raíces de igual índice, se dividen las partessubradicales conservando el índice que tienen encomún.

Ejemplo:

a:bn

an

bn =:

45124 : 2 = 256 =4

4

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4162

• Composición y Descomposición de raíces:

Composición:

Se utiliza para ingresar un factor a una raíz.

a b = a ∙ bnnn

Ejemplo:

23 =4

3 ∙ 24 =4 481∙2 =

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Descomposición:

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raíz exacta.

Ejemplo:

162 = 81 2∙ = 2981 2∙ =

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• Raíz de Raíz:

a =m

a n m∙n

2 =5 4

25∙4

= 220

Ejemplo:

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2.3 RacionalizaciónCuando tenemos fracciones con raíces en el denominadorconviene obtener fracciones equivalentes pero que notengan raíces en el denominador. A este proceso se lellama racionalización.

Ejemplos:

1) Racionalizar

4

3=∙ 3

3

34 = ?

( )24 3

3= 4

33

Libro, página 46

5

Propiedad Intelectual Cpech

=3 - 23

4+ 2

∙ 3 - 2

2) Racionalizar

=5 5

34

3∙

3

3

32

5334 =5

35 5

4

3

275

45 2

3= ?

3) Racionalizar3

4 = ?+ 2

4( - 23 )3 - 2

= 4( - 23 )1

Libro, página 46Propiedad Intelectual Cpech

Los contenidos revisados anteriormente los puedesencontrar en tu libro, desde la página 38 a la 48.

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Equipo Editorial: Patricia ValdésOlga OrchardPablo Espinosa