2º ESO potencias y raices cuadradas tema2.pdf

8/10/2019 2º ESO potencias y raices cuadradas tema2.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/2o-eso-potencias-y-raices-cuadradas-tema2pdf 1/17

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

*Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas en

el CD Programación y en www.smconectados.com.

6

4

5

3

2

1

2 E S O

G U Í A D I D Á C T I C A UNIDAD 2

Potencias y raícescuadradas

C O N T E N I D O



El estudio de potencias en 2.º de ESO supone un primer acercamiento al tratamiento de números grandes y técnicas mate-máticas que simplifican el tratamiento de estos valores. Las propiedades de las operaciones de potencias resultan degran utilidad en la resolución de problemas de física, biología o química, en los que sea conveniente el uso de la nota-ción científica.

En esta unidad se inicia el estudio de las potencias con base negativa, que debería quedar suficientemente afianzado en

este curso, incidiendo en el correcto uso de los paréntesis para diferenciar las potencias de base negativa de las poten-cias de base positiva que llevan signo negativo.

Las operaciones con potencias resultan sencillas para la gran mayoría de los alumnos; es importante que adquieran agi-lidad en su uso, puesto que luego se utilizarán repetidamente en las operaciones con polinomios.

Por lo que respecta al cálculo de raíces cuadradas, en este curso se debe incidir en el cálculo de las mismas con algo-ritmo, sin insistir en que lo hagan de forma aproximada, acotando los valores enteros entre los que se encuentra la raíz.

Por último y como en el resto de unidades en las que se trabajan operaciones algebraicas de cualquier tipo, hay que inci-dir en la importancia del uso de la jerarquía de operadores aritméticos, para las operaciones con raíces y potencias.

• Potencias de base entera y exponente natural

• Base y exponente de una potencia

• Producto y cociente de potencias con la misma base

• Potencia de una potencia

• Producto y cociente de potencias con el mismo exponente

• Reducción de expresiones con potencias a una potenciaúnica

• Cuadrados perfectos

• Raíz cuadrada exacta

• Resto de una raíz. Propiedad

• Cálculo de raíces cuadradas de enteros utilizando el algo-ritmo del cálculo de la raíz cuadrada

• Jerarquía de operadores aritméticos

• Actitud crítica en el uso de las diferentes propiedades,diferenciando los casos y aplicando la técnica correctasegún las condiciones de partida

Unidad 2 Potencias y raíces cuadradas

CONTENIDOS

rogramación de aula

Potencias y raíces cuadradasUnidad 2

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓN

COMPETENCIAS

BÁSICAS1. Operar con agilidad y corrección

potencias, identificando sus carac-terísticas y expresando produc-tos, cocientes y potencias depotencias como una única poten-cia cuando sea posible.

1.1 Identificar las potencias de base ente-ra y exponente natural reconociendo labase y el exponente de la potencia y cal-culando su valor.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con el mundofísico

• Tratamiento de lainformación y competenciadigital

• Aprender a aprender

• Autonomía e iniciativapersonal

1.2 Expresar como única potencia los pro-ductos y cocientes de potencias de lamisma base o con el mismo exponen-te, así como las potencias de potencias.

2. Calcular raíces cuadradas senci-llas y aplicar el algoritmo de laraíz cuadrada al cálculo de raícesde números grandes.

2.1 Identificar cuadrados perfectos.

2.2 Calcular la raíz cuadrada entera de unnúmero empleando el algoritmo.

2.3 Resolver operaciones combinadas conpotencias y raíces utilizando la jerar-quía de operadores aritméticos.

3. Utilizar y relacionar las potenciasy las raíces cuadradas para pro-ducir e interpretar distintos tiposde información y resolver proble-

mas relacionados con la vida coti-diana, las ciencias experimentalesy el mundo laboral.

3.1 Resolver problemas en los que se haganecesario el uso de las potencias y lasraíces cuadradas interpretando losdatos del enunciado y las conclusiones

obtenidas.



Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosLos contenidos de esta unidad son casi todos conocidos por los alumnos. Aun así, es preciso que a su inicio dominen lasoperaciones básicas con números enteros: suma, resta, multiplicación y división.

2. Previsión de dificultadesPara expresar propiedades de las potencias se emplean letras. De esta forma se dota a la aritmética de una faceta alge-

braica, lo que supone un paso hacia delante decisivo en el proceso de construcción del lenguaje algebraico. Esto puederesultarles a los alumnos algo abstracto, por lo que conviene hacer numerosos ejemplos.

También surgirán dificultades a la hora de tener que asimilar que un número positivo tiene dos raíces cuadradas, mien-tras que uno negativo no tiene ninguna.

3. Vinculación con otras áreasComo ya mencionamos al principio, el cálculo con potencias tiene muchísima aplicación en otros campos, como la bio-logía, la tecnología y la física. En la unidad, y en especial en las páginas dedicadas a competencias, existen numerosasactividades para poder expresar números grandes o pequeños con potencias.

4. Esquema general de la unidadLa novedad en el tratamiento de potencias en segundo sonlas potencias de base negativa. Se incide en este punto en la

definición de potencia de base entera y exponente naturalpara tratar después las operaciones con potencias de la mis-ma base o con el mismo exponente.

Junto con el estudio de potencias, la unidad trata las raícescuadradas. El tratamiento de raíces que se hace es prácti-camente un repaso de 1.º de ESO, pero estudiando con másprofundidad la diferencia entre raíces exactas y aproxima-ciones a través del concepto de raíz cuadrada entera y res-to de una raíz entera y el cálculo de la misma por medio delalgoritmo

Para finalizar se insiste, como en la unidad anterior, en eluso de la jerarquía de operadores aritméticos en operacio-

nes combinadas.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 10 sesiones:

1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias

2.ª Potencias de base entera y exponente natural

3.ª Producto y cociente de potencias de la misma base. Potencia de una potencia

4.ª Operaciones de potencias del mismo exponente

5.ª Reducción de expresiones a una sola potencia

6.ª Cuadrados perfectos y raíz cuadrada exacta. Raíz cuadrada entera y resto. Cálculo aproximado

7.ª Algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada entera de un número8.ª Jerarquía de las operaciones

9.ª Actividades de repaso y consolidación

10.ª Trabajo de las competencias mediante la doble página final de la unidad

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias paradesarrollar la unidad.

Potencias y raíces cuadradas Unidad 2

POTENCIAS

Operaciones

Jerarquía de las operaciones

Algoritmo

RAÍCES



CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es necesaria para compren-der y aplicar los diferentes procedimientos expuestos y desarrollados en la misma.

En las páginas finales de “Pon a prueba tus competencias” se trabaja de forma concreta la subcompetencia compren-sión escrita, ayudando a fomentar en los alumnos el gusto por la lectura.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

Al desarrollarse en la unidad las potencias y sus propiedades y el algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada, se tra-bajan de especial manera los indicadores de la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físicoEn las páginas finales de “Pon a prueba tus competencias” se trabaja especialmente esta competencia. En concreto, losindicadores desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento y argu-mentar de manera razonada las consecuencias de diferentes modos de vida, de la subcompetencia conocimiento delcuerpo humano y disposición para una vida saludable, son tratados de forma específica en las diferentes actividades de“El cuerpo humano”.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalA lo largo de la unidad aparecen en “Librosvivos” y “En la red” varias referencias para realizar actividades interactivasy buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetenciade obtención, transformación y comunicación de la información.

Al tener que realizar cálculos con números grandes expresados mediante potencias, también trabajaremos la subcom-petencia uso de las herramientas tecnológicas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en la sección de “Autoevaluación” y de las actividades propuestas,con mayor carácter las de ampliación, y las de “Las torres de Hanoi” y “Potencias que crecen”, se puede indagar en laadquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de construcción del propioconocimiento y conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personalLas actividades del texto de entrada, junto con las actividades 1, 2 y 3 de “Las torres de Hanoi” y las de “Potencias quecrecen”, permiten trabajar la subcompetenciaplanificación y realización de proyectos, ya que los alumnos deberán apli-car todo su ingenio y creatividad para poder realizarlas.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate enrelación con las actividades señaladas.

ogramación de aula




TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidadsugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores com-petenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

Programación de aula

COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

Lingüística Comunicación escrita.

Adquirir el hábito de la lectura y

aprender a disfrutar con ella

considerándola fuente de placer y

conocimiento.

– Conoce libros de matemáticas recreativas y

muestra interés en su lectura.

Pon a prueba tus competencias:

Juega y reflexiona

Argumentar con espíritu crítico y

constructivo.

– Elabora un pequeño informe.


Investiga y aprende

Matemática

Razonamiento y

argumentación.

Poner en práctica procesos de

razonamiento que llevan a la

solución de los problemas o a la

obtención de la información.

– Deduce fórmulas a partir de pasos anteriores.

Desarrolla tus competencias, 3

– Calcula razonadamente el grosor de un folio.

Pon a prueba tus competenciasManipula y calcula

Uso de elementos y

herramientas

matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos

matemáticos básicos (distintos

tipos de números, medidas,

símbolos, elementos geométricos,

etc.) en situaciones reales o

simuladas de la vida cotidiana.

– Opera con números grandes y pequeños.


Investiga y aprende, 1 y 2

– Utiliza tablas para representar información.

Desarrolla tus competencias, 1 y 2

Interacción con el

mundo físico

Conocimiento del

cuerpo humano y

disposición para unavida saludable.

Desarrollar actitudes de cuidado y

respeto hacia el cuerpo humano,

partiendo de su conocimiento.

– Conoce características del cuerpo humano.


Investiga y aprende

Argumentar de manera razonada las

consecuencias de diferentes modos

de vida.

– Explica las consecuencias del colesterol y cómocontrolarlo.


Investiga y aprende, 3

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,

transformación y

comunicación de la

información.

Buscar y seleccionar información

con distintas técnicas según la

fuente o el soporte, valorando su

fiabilidad.

– Busca en Internet para complementar la

información.


Juega y reflexiona

– Visita la página librosvivos.net para realizar

distintas actividades.

Actividades 8 y 25

Aprender aaprender

Conocimiento del

propio proceso de

aprendizaje.

Valorar el aprendizaje como

enriquecimiento personal y social.

– Valora los conocimientos adquiridos y disfruta dela parte lúdica de las matemáticas.


Juega y reflexiona

Construcción del

conocimiento.

Admitir la diversidad de

respuestas posibles ante un

mismo problema y encontrar

diferentes estrategias y

metodologías para solventarlo.

– Busca la forma de resolver un juego y compara

las respuestas.


Juega y reflexiona

Autonomía einiciativa personal

Planificación y

realización deproyectos.

Afrontar los problemas de forma

creativa, aprender de los errores,

reelaborar los planteamientos

previos, elaborar nuevas ideas,

buscar soluciones y llevarlas a la

práctica.

– Inventa estrategias de resolución de problemas.

Desarrolla tus competencias, 3


Juega y reflexiona y Manipula y calcula




Sugerencias didácticas

Entrada

Desarrolla tus competencias

1. Potencias de base entera yexponente natural

El texto de entrada hace referencia a la leyenda más cono-cida sobre la invención del ajedrez, en la que se pone demanifiesto una de las múltiples relaciones que existen entreel ajedrez y las matemáticas.

Podemos indicar a los alumnos que numerosos matemá-ticos, como Poyla, Gauss y Euler, han mostrado interés por

plantear y resolver problemas matemáticos relacionadoscon el ajedrez.

El problema que más puede llamar la atención de los alum-nos es el del movimiento del caballo: ¿es posible recorrerel tablero, pasando por todas las casillas una sola vez, conel movimiento del caballo? Sería interesante que los alum-nos dibujasen en su cuaderno un cuadrado de 8×8 cuadrosy que empezaran a describir el movimiento y observar cuáles el mayor número de casillas que ha podido recorrer cadauno de ellos.

• El link al que se hace referencia en el margen nos llevaa la unidad de operaciones con números enteros del pro-yecto Descartes. Los alumnos practicarán con el cálcu-lo de potencias de base entera al tener que completarcuadrados mágicos multiplicativos con el cuadrado y elcubo de números enteros.

En el texto de entrada, los alumnos ya han podido apreciarque una de las principales utilidades de las potencias esla posibilidad de escribir números muy grandes de una for-ma muy concisa.

Todas las actividades de la sección van encaminadas a quelos alumnos traten de averiguar cómo calcular el númerode granos de maíz que pidió el inventor del ajedrez al rey.

I. Esta actividad no debe suponer ninguna dificultad paralos alumnos. Para que la resuelvan podemos indicar-les que escriban en una columna las 15 primeras poten-cias de 2 y que después vayan sumando a cada una de

ellas las anteriores. De esta forma, cuando tengan queaveriguar el número de granos que le corresponde a lacasilla n, bastará con que sumen, a la cantidad corres-pondiente a la casilla n − 1, la potencia 2n− 1.

II. Esta actividad va encaminada a que los alumnos reco-nozcan los cuadros de los primeros 12 números natu-rales.

III. Esta actividad es de especial dificultad, ya que lo que tie-nen que deducir los alumnos es la fórmula de la sumade los 15 primeros términos de una progresión geo-métrica de razón 2.

• La gran novedad en el estudio de potencias en este cur-so es la introducción de potencias de base negativa. Apesar de su aparente sencillez, los alumnos tienen pro-blemas con frecuencia para calcular el valor de las poten-cias de base negativa, sobre todo por el signo. Posible-mente la dificultad venga del lenguaje algebraico y enparticular del uso de los paréntesis: no es lo mismo unapotencia de base −2 (en cuyo caso la base se escribe

entre paréntesis) que menos una potencia de base 2 (quees siempre negativa y en la que no aparecen paréntesis).Conviene practicar con varios casos para que los alum-nos tengan clara esta diferencia.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 2, 3 y 37 a 40

Medio 4 a 7, 41 a 43, 69 y 70

Alto 78


Básico 10

Medio 11, 12 y 46 a 48

Alto 72 a 74


2. Operaciones de potencias con lamisma base

• Las operaciones con potencias de la misma base son unode los casos más sencillos para enseñar a los alumnos

a memorizar una propiedad y aplicarla en los casoscorrespondientes. Esta es una habilidad típicamente mate-mática y esencial en la formación del alumno: la capaci-dad de comprender un criterio general y aplicarlo a loscasos particulares es imprescindible para la adquisiciónde la competencia matemática, así como para la correc-ta comprensión del método científico como forma útil deacercarse al medio físico.

• Como novedad con respecto al curso pasado, se intro-ducen en esta unidad las operaciones con potencias debase negativa, por ello debemos dedicar especial inte-rés en resolver ejercicios como el 12.

• El link del margen nos redirecciona de nuevo a una pági-na del proyecto Descartes, en la que podemos encontrar

juegos matemáticos para rellenar figuras como estre-llas, cuadrados, aros cruzados, etc., cumpliendo condi-ciones que implican que los alumnos dominen el pro-ducto y el cociente de potencias de la misma base.

3. Operaciones con potencias delmismo exponente

• Igual que en el epígrafe anterior, el producto y el cocien-te de potencias con el mismo exponente es un buen ejer-cicio para que los alumnos aprendan a reconocer en quécasos se puede aplicar una determinada propiedad, estu-diando si se verifican las condiciones necesarias para suaplicación.

• En el epígrafe se distingue entre potencia de un produc-

to (cociente) y producto (cociente) de potencias con elmismo exponente. Es preciso ver ejemplos de las dossituaciones para que los alumnos se den cuenta de quees la misma propiedad.



gerencias didácticas

4. Cuadrados perfectos y raícescuadradas

• Para que los alumnos comprendan que la potencia deuna suma (resta) no es igual a la suma (resta) de laspotencias de los sumandos, conviene poner ejemplosnuméricos, ya que les cuesta mucho verlo con fórmulas,para que puedan comprobar por ellos mismos el resul-tado. Además, conviene que lo asimilen bien de cara a launidad 5, en la que se introducen por primera vez lasigualdades notables.

• Los ejercicios 15 a 19 no supondrán problemas para losalumnos, ya que solo deben aplicar las propiedades rese-ñadas en este epígrafe. Sin embargo, en el resto de ejer-cicios aparecen expresiones en las que se combinantodas las propiedades de las potencias, para que losalumnos aprendan a discriminar qué propiedad hay queaplicar en cada caso. Para ello conviene dedicar unasesión exclusivamente a la reducción de expresiones auna sola potencia.

5. Raíz cuadrada de un número entero

• La sección “En la red” habla de unos números curiosos,los cuadratines, que verifican numerosas propiedadesrelacionadas con los cuadrados perfectos:

– Todos sus dígitos son cuadrados.

– Son cuadrados perfectos.

– Si separamos el número en parejas de dígitos de dere-cha a izquierda, estas parejas son cuadrados perfec-tos si los consideramos como números de 2 cifras.

La actividad que aparece en esta página va dirigida alos alumnos que dominan el cálculo numérico. Puedenrealizarla por sí solos, ya que pueden enlazar con lasolución, que viene muy bien detallada.

• La explicación del algoritmo de cálculo de la raíz cua-drada puede suponer una buena oportunidad para insis-tir en la acotación entre dos decenas o dos centenas dela raíz de un número entero. Calcular la primera cifra dela raíz ya es acotarla.

• Se pueden presentar varios ejercicios de este tipo en losque se pide encontrar solo la primera cifra de la raíz y, apartir de ella, y por el número de cifras del cuadrado,entre qué dos valores se encuentra dicha raíz.

• Por otro lado, para aquellos alumnos que tienen más difi-

cultades puede ser interesante calcular raíces de valoresmuy sencillos: 1600, 2500, 4900… Es muy importante quese familiaricen con este tipo de cuadrados perfectos, y ala vez, en estos casos el algoritmo de cálculo es tan sen-cillo que puede ser un buen ejercicio de refuerzo. Dehecho, quizá no tenga demasiado interés calcular raícesde valores muy complicados, sino más bien casos senci-llos que permitan a los alumnos calcular mentalmente lasolución y a la vez aplicar el algoritmo con facilidad.

• También conviene poner ejemplos de cálculo de raícesde números tanto con un número par de cifras como conun número impar.

• Los alumnos ya han practicado en el curso anterior conel cálculo de raíces cuadradas exactas a partir del cua-drado de un número, pero daban solo la raíz positiva. Eneste curso se introduce por primera vez la noción de que

un número entero positivo tiene dos raíces cuadradas:una positiva y otra negativa.

• Este es posiblemente uno de los epígrafes más intere-santes de la unidad, el estudio de las aproximaciones deraíces cuadradas ofrece muchas posibilidades para tra-bajar tanto con aquellos alumnos que tengan más difi-cultades como con los que posean un nivel más alto.

• Hay muchas técnicas para el cálculo de raíces cuadradasexactas que evitan el uso del algoritmo y tienen gran uti-lidad didáctica: posiblemente la más sencilla sea la des-composición en factores primos del radicando, lo que nospermite el cálculo de la raíz sin más que dividir entre doslos exponentes. Esta es una estrategia que se puede tra-bajar con los alumnos con más dificultades y servirá tam-bién para afianzar la descomposición en factores primos.Pero se pueden estudiar otras propiedades muy intere-santes, como:

– El estudio de la última cifra del cuadrado en función dela última cifra de la base. Para ello conviene que pida-mos a los alumnos que escriban los cuadrados de los25 primeros números naturales, con el fin de queencuentren regularidades.

– Cómo acotar la raíz entre dos valores en función de susprimeras cifras.

• Se introduce también la propiedad del resto de la raízcuadrada de un número entero, que comprobaremos conalgunos ejemplos sencillos.



Básico 15 a 19 y 44

Medio 20 a 22, 49 y 50

Alto 23, 24, 51 a 53 y 76


Básico 27, 28, 54 a 58 y 67

Medio 29, 30, 68 y 71

Alto 75 y 77

6. Jerarquía de las operaciones

• Como en todas las unidades en las que se tratan opera-ciones en distintos conjuntos numéricos, la conclusióndel tema incide en la jerarquía de operadores aritméticos.Es importante esta visión globalizadora.

• Se deben plantear ejercicios de dificultad creciente. La ven-

taja en este punto es que es fácil graduar los ejercicios pro-poniendo casos más largos y complejos o más cortos y sen-cillos según el nivel del grupo o del alumno en concreto.


Básico 59

Medio 31, 32, 60 y 61



Sugerencias didácticas

Organiza tus ideas

Pon a prueba tus competencias

• Se insiste en el resumen de la unidad en tres puntos bási-

cos: la definición de potencia y raíz cuadrada, las pro-piedades de operaciones con potencias y la jerarquía deoperadores aritméticos. Es fundamental que los alum-nos memoricen correctamente tanto las propiedades delas operaciones como la jerarquía de operadores arit-méticos, puesto que con frecuencia los errores que come-ten vienen originados porque no saben correctamenteestas propiedades.

• Especialmente al realizar los primeros ejercicios de launidad puede ser interesante que cada alumno tengadelante este resumen u otro similar para identificar encada ejercicio qué propiedad o definición se utiliza y por

qué. Fomentaremos así poco a poco la autonomía delalumno a la hora de enfrentarse a los problemas.

JUEGA Y REFLEXIONA. LAS TORRES DE HANOI

Esta actividad continúa con la idea introducida en la entra-da. Si bien en la entrada se resaltaba la relación de laspotencias con el ajedrez, aquí se relacionan con otro jue-go: las torres de Hanoi.

En la introducción de la actividad se refleja la leyenda del

juego que recoge Perelman en su libro Matemáticas recre-ativas. Sería interesante llevar al aula algún ejemplar deeste libro para que los alumnos lo ojeen y muestren inte-rés y gusto por los libros de acertijos y juegos matemáti-cos, tratando de resolver algunos de los acertijos que en élaparecen, empleando los conocimientos matemáticos queposeen.

Las actividades 1, 2 y 3 giran en torno a la resolución del jue-go en diferentes casos.

Actividades de ampliación

Con estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cadauna de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajus-

tan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo quepuede resultarles muy estimulante, aunque al comienzoles asuste un poco.

En la actividad 1, los alumnos deberán realizar esquemasen su cuaderno con los movimientos necesarios para laresolución en el caso de 3 discos. Una vez que hayan ter-minado les pediremos que cada uno de ellos indique elnúmero de movimientos que ha empleado, para que a con-tinuación lo comparen con el número que obtienen en laactividad 2.

La actividad 3 nos redirecciona a una página donde losalumnos podrán practicar interactivamente con el juegoen el caso de 4 y 5 discos.

Para resolver la actividad 4 será necesario que empleencalculadora científica, para que den de forma aproximadael número de años que tardarían los monjes.

En la actividad 5 se pretende que reflexionen sobre cómolas potencias sirven para representar números grandes ypara que realicen cálculos con ellas con ayuda de la cal-culadora, para lo que tendrán que introducir en el ordencorrecto las operaciones, de acuerdo con los conocimien-tos adquiridos en la unidad.

MANIPULA Y CALCULA. POTENCIAS QUE CRECEN

En esta actividad vuelve a ponerse de manifiesto cómo laspotencias pueden expresar números grandes.

Podemos dividir la clase en grupos de 4 personas, ya quesi lo hacen de forma individual les llevaría mucho tiemporealizar todos los cortes.

Otra opción para poder realizar todos los cortes es queamontonen varios trozos del mismo tamaño y que con ayu-da de un cúter realicen más de un corte a la vez.

Si los alumnos han entendido bien la forma de contar losgranos de maíz del inventor del ajedrez y los movimientosde las torres de Hanoi, no tendrán problemas para com-

pletar la tabla de la actividad 1.En la actividad 2 deberán aplicar las propiedades de lasoperaciones con potencias y proporcionalidad. No tendránproblemas a la hora de aplicar esta última, ya que es desobra conocida.

INVESTIGA Y APRENDE. EL CUERPO HUMANO

Las actividades aquí propuestas ofrecen a los alumnosejemplos claros de cómo las matemáticas sirven para cuan-tificar la realidad que les rodea.

Tendremos que indicarles que las operaciones deberánrealizarlas con aproximaciones y ayuda de la calculadora.

Para la actividad 3, podríamos pedirles que lleven a claselos resultados de algún análisis de sangre para que veancómo se indican los valores de cada uno de los indicado-res.

Además, esta actividad les permite realizar una reflexiónsobre lo aconsejable de llevar una dieta saludable, no solopara controlar el colesterol, sino también para mantenerdentro de los intervalos adecuados el resto de los principaleselementos bioquímicos presentes en la sangre.



Básico 34, 35, 62 y 66

Medio 36 y 63 a 65

En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluarel grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además,en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.



Actividades de refuerzo

Unidad 2 Potencias y raíces cuadradasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los objetivos principales que los alumnos deberían conseguir son:

• Calcular con agilidad el valor de las potencias de base entera y exponente natural.

• Trabajar con potencias de números enteros.

• Hallar el signo de la potencia en función del de la base y del tipo de exponente (par o impar).

• Operar con potencias, sobre todo, producto y cociente de potencias con la misma base.

• Identificar a1 con a, y a0 con 1.

• Calcular raíces cuadradas, dando especial importancia al cálculo de soluciones enteras por ser este uno de los pro-cedimientos básicos en el curso.

En este nivel todavía se pueden emplear juegos en clase con gran aprovechamiento didáctico, lo que probablementeno ocurrirá en cursos posteriores. Especialmente para aquellos alumnos que tienen más dificultades, los juegos pue-den presentar un enfoque diferente que les ayude a superarlas.

1. a) −33= −27 c) −8

b) −53= −125 d) −1

2. a) 35 d) 74

b) 43 e) 86

c) 65 f) 93

3. a) 6

b) 6

c) 3

4. a) 51= 5 d) 82 = 64

b) 62= 36 e) 92 = 81

c) 72= 49 f) 102 = 100

5. a) 46= (42)3 d) 710

= (72)5

b) 54 = (54)1 e) 820 = (810)2

c) 612= (66)2 f) 928

= (92)14

6. a)

b)

c)

d) 2025 3 5 3 5 454 2 2= ⋅ = ⋅ =

1024 2 2 3210 5= = =

256 2 2 168 4= = =

484 2 11 2 11 222 2= ⋅ = ⋅ =

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

La oca de potencias

Se utilizan varios tableros del juego de la oca y los correspondientes dados, un tablero y un dado por cada grupo que seforme. Los grupos deben ser de cuatro personas y competirán dos contra dos. La actividad consiste en que cada uno deestos grupos juegue una partida de la oca, pero avanzando en cada tirada tantas casillas como 2 elevado a lo que mar-que el dado.

Se puede aumentar la dificultad avanzando en cada tirada tantas casillas como 23⋅ 2n, donde n es la puntuación obtenida.

A medida que los alumnos adquieran agilidad con las potencias de 2, se puede variar el juego usando como base el 3 oel 4.

Incluso podemos usar bases negativas, por ejemplo, −2. Si el resultado de la potencia es negativo porque el exponentees impar, el jugador debe retroceder en lugar de avanzar. Esta variante del juego puede resultar muy divertida y además

útil para que los alumnos se familiaricen con las potencias de base negativa.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.




1. En los siguientes apartados te proponemos algunas pistas para adivinar a qué potencia nos referimos.¿Puedes encontrarla?

a) Es una potencia de base −3. Es negativa. Tiene dos cifras.

b) Es una potencia de base −5. Tiene tres cifras. Es negativa.

c) Es una potencia par. Es negativa. Tiene una cifra.

d) Es una potencia impar. Es negativa. Tiene una cifra.

2. Expresa en forma de potencia única:

a) 34⋅ 3 c) 62

⋅ 62⋅ 6 e) 82

⋅ 8 ⋅ 83

b) 43⋅ 40 d) 72

⋅ 7 ⋅ 7 f) 9 ⋅ 92⋅ 90

3. Sustituye el signo de interrogación por el exponente correspondiente.

a) 108⋅ 10?

= 1014 b) 119⋅ 11?

= 1115 c) 123⋅ 124

⋅ 12?= 1210

4. Expresa en forma de potencia única y halla el valor de las siguientes expresiones.

a) 54: 53 c) 710

: 78 e) 913: 911

b) 69: 67 d) 812

: 810 f) 103: 10

5. Expresa en forma de potencia única y luego vuelve a convertirlo en potencia de una potencia, pero conexponentes diferentes a los dados.

a) (43)2 c) (64)3 e) (84)5

b) (52)2 d) (75)2 f) (97)4

6. Un método muy sencillo para calcular raíces cuadradas cuando son exactas es utilizar la descomposi-ción en factores primos.

Por ejemplo, si queremos calcular la raíz de 324, solo hay que descomponer 324 en factores primos yobtenemos:

324 = 22⋅ 34

Ahora, para calcular la raíz cuadrada solo tenemos que dividir entre dos los exponentes de los factores,en este caso 2 y 4. Y así obtenemos:

Calcula usando este método las siguientes raíces.a) 484 b) 256 c) 1024 d) 2025

324 2 3 2 3 182 4 2= ⋅ = ⋅ =


P á g i n a

f o t o c

o p i a b l e

ACTIVIDADES de REFUERZO




Actividades de ampliación

Unidad 2 Potencias y raíces cuadradasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

El estudio de potencias y raíces cuadradas ofrece ciertas posibilidades para trabajar con aquellos alumnos con unnivel más avanzado. En este sentido se proponen ejercicios con varias líneas de trabajo diferentes: se pueden tratarproblemas en los que se estudie cómo se comportan las potencias con una base determinada a medida que aumen-tamos el exponente. El objetivo es presentar un acercamiento muy elemental al concepto de límite y al estudio de la

función exponencial.

Por otro lado, esta es una unidad en la que se tratan solamente las operaciones más básicas de potencias; por ello,otra posible línea de trabajo dentro de la ampliación son los problemas en los que se resuelvan operaciones más com-plicadas que las tratadas en el texto. Se proponen aquí algunos casos. Este tipo de ejercicios pueden resultar intere-santes para preparar mejor a los alumnos para cursos posteriores.

1. a)

b) Se hace cada vez más pequeño, por lo que se va acer-cando a cero.

2. a)

b)

3. a) 2−1

b) 54⋅ 33

4. El resto es 1.

5. a) Se hace cada vez más grande.

b) A cero

c) A ninguno

6. 729

7. a) 1 b)

8. a)

b)

c) 5

2

5

2

25

1

2

1

916

( )−2

7

9

9

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32, , , ,

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

¿Quién es el más rápido?

Vamos a competir por grupos para ver quién puede calcular raíces exactas más rápidamente.Antes de comenzar hay que enseñar a los alumnos algunos trucos para tantear cuál puede ser la raíz cuadrada de unnúmero: si estudiamos las primeras cifras del cuadrado, podemos calcular inmediatamente la primera cifra de la raíz;observando la última cifra del cuadrado podemos limitar los casos para la última cifra de la raíz. Una vez se han selec-cionado unos pocos casos posibles, se comprueba cuál es el correcto.

Al principio se proponen casos sencillos de cuadrados de enteros con dos cifras: 1225, 1764, 3969, 5776, 5929… y a medi-da que los alumnos mejoran estas técnicas de tanteo se puede aumentar la dificultad.

El objetivo de esta actividad es que los alumnos aprendan a desarrollar sus propias estrategias para resolver problemasy que se acostumbren a establecer hipótesis y comprobarlas. Además, la organización del trabajo en grupos para rea-lizar más rápido varias comprobaciones resulta también un buen aprendizaje para ellos.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.




1. Potencias de base racional: La paradoja de Zenón.

En el siglo V antes de Cristo, un filósofo griego, Zenón de Elea, quiso demostrar que el movimiento noexiste, y para ello razonó de la siguiente manera: “Si quiero ir de A a B, primero debo recorrer la mitad dela distancia AB. Después, la mitad de lo que queda; después, la mitad del resto…, y así sucesivamente. Elproceso ha de repetirse infinitas veces y, por tanto, el tiempo que se requiere es infinito. En conclusión,

nunca llegaré a B”.Supongamos que queremos recorrer una distancia de 1 km.

a) ¿Qué distancia recorreremos en cada paso siguiendo el proceso descrito por Zenón? Expresa el resul-tado con un número racional. Calcula la distancia recorrida en los 5 primeros pasos.

b) ¿A qué valor se acerca si tomamos valores muy grandes de n?

2. Expresa como cociente de dos potencias:

a) b)

3. Escribe el resultado lo más simplificado posible.

a) b)

4. Si elevamos 100 a la 100ª potencia y dividimos el resultado entre 11, ¿cuál es el resto?

5. a) ¿A qué valor se acerca 3n si n es grande?

b) ¿A qué valor se acerca si n es grande?

c) ¿A qué valor se acerca si n es grande?

6. Tenemos una potencia de 3 de tres cifras y una potencia de 5 también de tres cifras. Si la cifra de las dece-nas de la potencia de 5 coincide con la cifra de las decenas de la potencia de 3, ¿de qué potencia de 3 esta-mos hablando?

7. Simplifica las siguientes expresiones.

a) b)

8. Calcula las siguientes operaciones.

a) b) c)50

2

8 25

4 625

4

625

5 2

4

2

10⋅

7

3

3 7

7⋅

−

1

3

n

1

3

n

5 5

81

25

3 9

1 3

1 2 3 1

n n

n

n

n n

+ +

− − +

⋅

⋅:

2 2 8 2

4 2 16 2

2 2 3

4 3

⋅ − ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )

1

9

1

9

1

9

4 2

552

−

⋅ −

2

7

2

7

32

3

1

2

n


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

P á g i n a

f o t o c

o p i a b l e




APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Calcula el valor de las siguientes potencias indicando su base y su exponente.

a) 43 c) (−5)1 e) (−10)4

b) (−2)3 d) 1123

2. El producto nacional bruto per cápita de un país se calcula dividiendo el producto nacional bruto (PNB)entre el número de habitantes. Calcula el producto nacional bruto per cápita de un país con 106 habi-tantes y un producto nacional bruto de 1010 dólares.

3.

Expresa como potencia única y calcula su valor:

a) c) 31 ⋅ 34

b) (−2)4 : (−2)4 d) (−5)2)3

4. Expresa como potencia única y calcula su valor:

a) b)

5. Calcula el valor de las siguientes raíces.

a) c)

b) d)

6. Calcula el valor y el resto de las siguientes raíces.

a) b)

7. Expresa como única raíz:

a) c) e)

b) d) f)

8. Simplifica todo lo que puedas y calcula:

a) c)

b) d)

( ) ( )3 3 7 5 5 21 3 3 8 21⋅ ⋅ ⋅:

2 3 3 5 2⋅ − −( )

3 3

3

4 2

2 2

( )

( )⋅

3 3 3 3 32 2 2⋅ ⋅ − − ⋅( ( ) )

3 3 7 21 3 3 8 21⋅ + ⋅

4 23

3⋅5 2 820

⋅ ⋅

5 2 3⋅ ⋅

6 2:

5 30⋅

684185

625

81

64

225

( ) ( )

(( ) )

− ⋅ −

−

3 3

3

3

2 2

2 2 2

2

2 5 3

2 3

⋅ ⋅

( )

2

2

6

2

Página fotoc

opiable


PROPUESTA de EVALUACIÓN




1. a) base 4, exponente 3, valor 64

b) base−2, exponente 3, valor −8

c) base−5, exponente 1, valor −5

d) base 1, exponente 123, valor 1

e) base−10, exponente 4, valor 10 000

2. 104=10 000 dólares

3. a) 24= 16 b) (−2)0

= 1 c) 35= 243 d) (−5)6

= 15 625

4. a) 24= 16 b) 30

= 1

5. a) 15 b) 9 c) 8 d) 25

6. a) Raíz: 13, resto: 16 b) Raíz: 26, resto: 8

7. a) d)

b) e)

c) f)

8. a) 3 c)

b) −19 d) 0

35

85

4 2=

4 2

45 63

30

3

150

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación





SOLUCIONARIO

2 E S O

2º ESO potencias y raices cuadradas tema2.pdf

Documents

Transcript of 2º ESO potencias y raices cuadradas tema2.pdf