Notas de Clase 2 Raices ecuaciones no lineales Parte1

8/17/2019 Notas de Clase 2 Raices ecuaciones no lineales Parte1

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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales

Métodos Computacionales (ING.INDUSTRIAL)Info m!tica Aplicada (ING. M"CANICA)

NOTAS DE CLASE DE LABORATORIO

Tema# Ra$ces de "cuaciones noLineales (%a te &)

Última revisión: Agosto 2006


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?)( == z z f 0

' Método Bisección' Método Secante y Falsa posición' Método de Newton, Newton Rap!son

"#o$le%a&

T" R"MA D"L AL R M"DI

Dado un inte *alo +a,- en el cual la funci/n f es continua 0satisface 1ue su si2no en a sea distinto de su si2no en -,entonces e3iste al menos un punto 4, llamado a$4, tal 1ue f(4)5 6.

MétodosError

Convergencia

pro lema


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f(x)

x

a c

f(x)

x c

a

f(x)

x

ca

Ecuaciones no lineales

7IS"CCI8N

MétodosError

Convergencia

isección!alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton


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Actuali$o el intervalo% &i el sign'!'c(( ) sign'!'a((* entoncesa + c caso contrario + c% Retorno al paso ,

7IS"CCI8N

IDEA

AL'ORITMO Dada una funci/n f en +a, - , donde el si2n(f(a)) 95si2n(f(-)), 0 una tole ancia (tol)

Di*idi el inte *alo en mitades 0 toma el *alo medio como

"ASO (

"ASO )

"ASO *

Calcula un nue*o punto c 5 (a : -);<

&igo- &i .a / . tol ó .!'c(. tol* detengo el proceso 1retorno el valor de c como respuesta

MétodosError

Convergencia



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Matla-# -isec.m, f-isec.m

MétodosError

Convergencia



6/36


La funci/n f(3) 5 3 = > =3 : < tiene una a$4 simple en 35>< 0 una a$4 do-le en

MétodosError

Convergencia



7/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales

' po- e *elocidad de con*e 2encianecesidad de inte *alo acotado

' e3istencia de ot os métodos m!s!pidos

enta?as

3esventa4as

' con*e 2encia 2a anti4ada

MétodosError

Convergencia




MétodosError

Convergencia

isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton

@ALSA % SICI8N

f(x)

x a)a , )a 2)a 5

c) ,c) 2c) 5



MétodosError

Convergencia


IDEA

AL'ORITMO

"ASO (

"ASO )

"ASO *

&imilar a isección pero reempla$a el punto medio por elpunto en el cual la recta secante corta al e4e 7%

( )( ) ( )a f b f

abb f bc −

−−=Calculo un nuevo punto

Dada una funci/n f en +a, - , donde el si2n(f(a)) 95si2n(f(-)), 0 una tole ancia (tol)

Actuali$o el intervalo% &i el sign'!'c(( ) sign'!'a((* entoncesa + c caso contrario + c% Retorno al paso ,

&igo- &i .a / . tol ó .!'c(. tol* detengo el proceso 1retorno el valor de c como respuesta

@ALSA % SICI8N

i ió



MétodosError

Convergencia


Matla-# falsi.m, alsi.m

Mé d i ió



MétodosError

Convergencia


Mé d i ió



MétodosError

Convergencia


S"CANT"

Mét d i ió



MétodosError

Convergencia


S"CANT"

IDEA

AL'ORITMO

"ASO (

"ASO )

"ASO *

Apro7imar la !unción por su línea secante utili$andosiempre los dos puntos m8s recientes

3ada una !unción ! en 9a* * un par de puntos 7o 7, 1 unatolerancia 'tol(

( )( ) ( )01

01112

x f x f x x

x f x x−

−−=Calculo un nuevo punto

&igo- &i .72 / 7 , . tol ó .!'72(. tol* detengo el proceso 1

retorno el valor de c como respuesta Actuali$o 7o + 7 , ; 7, + 7 2 % Retorno al paso ,

Mét d isección



Matla-# secant.m, fsecant.m

MétodosError

Convergencia


Métodos isección



MétodosError

Convergencia


Métodos isección



MétodosError

Convergencia


enta?as

Des*enta?as

' me?o a la con*e 2encia lineal en lap o3imidad de una a$4 simple' mantiene con*e 2encia lineal pa a a$ces

mBltiples' no e1uie e de de i*ada

' método ite ati*o puede di*e 2e' no es f!cil de acota

Métodos isección



M T D S D" N" T N

MétodosError

Convergencia


Métodos isección



IDEA

AL'ORITMO

"ASO (

"ASO )

"ASO *

M T D S D" N" T N

Utili4a la de i*ada de f pa a encont a la pendiente dela l$nea 1ue ap o3ima a f

3ada una !unción ! en 9a* * 1 !< =) 0 en 9a* * un punto dearran>ue 7o 1 una tolerancia 'tol(

( )( )0

001

x f x f

x x′

−=Calculo un nuevo punto

&igo- &i .7, / 7 0. tol ó .!'7, (. tol* detengo el proceso 1retorno el valor de c como respuesta

Actuali$o 7o + 7 , % Retorno al paso ,

( )( )1

11

−

−− ′

−=n

nnn x f

x f x x@/ mula de ecu encia

MétodosError

Convergencia


Métodos isección



Matla-# neEt.m, fneEt.m

MétodosError

Convergencia


Métodos isección



Fué puedo ace si el c!lculo de la de i*ada no est! disponi-le /

es mu0 la-o ioso HAp o3imo numé icamente el c!lculo de la;las de i*ada;s

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 0000

000

2

2

h

h x f x f h x f x f

hh x f h x f

x f

−+−+≈′′

−−+≈′

@/ mulas C"NTRADAS

Matla-# neEtde i*.m

df&d3.m

df



df&d3.m

Calcular la raí$ simple de la !unción !'7( ) 75 ? 57 @ 2utili$andoLa derivada analítica 1 la derivada numérica% Adoptar

di!erentes valores del par8metro B D E"C "FRG-

MétodosError

Convergencia


Métodos isección



M T D D" N" T N>RA%JS NLa derivada segunda de la !unción nose anula en el intervalo

a

Si f(a) 0 fKK(a) tienen i2ual si2no el punto de a an1ueadecuado es a caso cont a io es -.

MétodosError

Convergencia


IM"ORTANTE& + NO SE DEBE AN-LAR EN .a,$/

Métodos isección



Matla-# neEt ap .m

MétodosError

Convergencia


Métodos isección



MétodosError

Convergencia

La funci/n f(3) 5 3 = > =3 : < tiene una

a$4 simple en 35>< 0 una a$4 do-le en35&.


Métodos isección


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' con*e 2encia cuad !tica ce ca de una a$4simple' con*e 2encia lineal ce ca de una a$4

mBltiple' método ite ati*o puede di*e 2e' e1uie e e*alua la de i*ada' no es f!cil de acota

enta?as

3esventa4as

Error Convergencia

!alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton

redondeoMétodos


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No utilice f(a) f(-) 6 pa a *e i ca si el si2nof(a) coincide con el de f(-). Utilice si2n(f(a)) 5si2n(f(-))

%uede lle*a a Unde OoE. Un nue*o *alo ite ado puede se i2ual a uno

ante io si la dife encia ent e a 0 - es mu0 pe1uePa.

La cantidad (- Q a);(f(-) Q f(a)) en el método de

la secante puede lle*a a un *e OoE, lo mismo enel caso de utili4a dife enciaci/n numé ica.

"RR R D" R"D ND"

Error Convergencia

Métodos c e>ueo


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Error Convergencia

velocidad

X

f(x)

1k

x + k

x *

x?tol x x k k


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Error Convergencia

velocidad

%R IMIDAD"l punto de a an1ue 3 o de-e esta lo

su cientemente p /3imo a la a$4 3

X* X 2

X 1

X 0

X

f(x)

Métodos c e>ueo


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"L"CCI8N D"L AL R INICIAL

Error Convergencia

velocidad

X

f(x)

0 x

1 x2 x 0 x

1 x

convergentedivergente

Métodos c e>ueo


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f(x)

X

Con*e 2encia a

scilaci/n

"L"CCI8N D"L AL R INICIAL

Error Convergencia

velocidad

Métodos c e>ueol id d


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Error Convergencia

velocidad

"L CIDAD D" C N "RG"NCIA

&upongamos >ue la sucesión H7nI converge 7 1 sea E n ) 7?7n para n J 0% &ie7isten dos constantes AJ0 1 RJ0 tal >ue

AR

1

R

1 ==−

− +∞→

+

∞→n

n

nn

n

n E

E

x x

x xlimlim R velocidad 'orden( de convergencia

A constante asintótica del error

R),* se dice >ue la convergencia es linealR)2* se dice >ue la convergencia es cuadr8tica

"RI@IFU" LA "L CIDAD D" C N "RG"NCIA D" L S M T D S

MétodosE

c e>ueol id d


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!'7( ) 7 5 ? 57 @ 2

Error Convergencia

velocidad

Modi 1ue li2e amente la funci/n neEt.m a losnes de pode completa la ta-la si2uiente (3

6 5

>


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Error Convergencia

velocidad

!'7( ) 7 5 ? 57 @ 2 A ancando de 36 5 &.< lle2amos a la a$4 do-le

35&

R

1 A nn E E =+

0%K

, 'velocidad lineal(

Al costo de H

MétodosE

c e>ueol id d


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Secante , @alsa posici/n

H

Error Convergencia

velocidad

Utilice los *alo es de R si2uientesMétodo de la secante# &.W&XMétodo de la falsa posici/n# &.

MétodosE

resumen


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Método Nue*o punto Actuali4a7isecci/n %a te al medio Retiene dos

puntos 1ue acotan

la a$4@alsa posici/n T a4a una l$nea Retiene los dosBltimos puntos

Secante T a4a una l$nea(secante)

Retiene dospuntos 1ue acotan

la a$4NeEton T a4a una l$nea(tan2ente)

Retiene el puntom!s eciente

Error Convergencia

C M%ARACI8N "NTR" M T D S >

ALG RITM S

MétodosError

resumen


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Error Convergencia

Método Con*e 2encia elocidad decon*e 2encia

7isecci/n Ga anti4ada Lenta Y" n:& Y5 (Y"nY)

Y"n:& Y≤n>&(->a)@alsa posici/n Ga anti4ada %uede se lenta

Y"n:& Y5 (Y"nY)Secante No 2a anti4ada R!pida

Y"n:& Y5 (Y"nY(&: √V);<

)NeEton No 2a anti4ada R!pidaY"n:& Y5 (Y"nY C N "RG"NCIA

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