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Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática

Agustín Álvarez Marquina

Departamento de Arquitectura y Tecnología de Sistemas Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid

- Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia.

“Circuitos de Corriente Continua”

Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia

Consideremos el siguiente circuito. El interruptor S se encuentra en una posición

intermedia desde hace mucho tiempo.

2 ETSIINF, U.P.M.

Figura. Circuito formado por una resistencia R y una capacidad C.


Proceso de carga del condensador. En el instante t=t1 se procede a conectar el interruptor

al punto . El circuito resultante es el indicado por la Figura.

3 ETSIINF, U.P.M.

Figura. Circuito RC durante el proceso de carga de la capacidad.


Proceso de carga del condensador. Para dicho instante se verifica (condiciones iniciales):

Para cualquier instante t, la ecuación del circuito será:

donde,

4 ETSIINF, U.P.M.

( ) 01 =tVC

( ) max11 IRVtiI ===

CR VVV +=

( )RtiVR =

( )tqC

VC1

=


Proceso de carga del condensador. Derivando la ecuación del circuito ecuación respecto al

tiempo, obtenemos:

La anterior expresión puede rescribirse, si tenemos en cuenta que:

Quedando por tanto:

5 ETSIINF, U.P.M.

( ) ( )tiCdt

tdiR 1−=

( ) ( )tiCdt

tdiR 10 +=

( )dtdqti =

( )dtdq

CdttdiR 10 +=

;


Proceso de carga del condensador. Separando variables en esta última expresión,

tenemos:

Integrando desde t=t1 (instante inicial del proceso de carga) hasta t, queda:

Resolviendo la integral se obtiene por tanto:

6 ETSIINF, U.P.M.

( ) ( )11

1ln ttRCI

ti−−=( ) ( )11

1lnln ttRC

Iti −−=−

( )( )

( )

∫∫ −=t

t

ti

I

dtRCti

tdi

11

1

( )( ) dt

RCtitdi 1

−=

;


Proceso de carga del condensador. Por último, despejando el término i(t) se obtiene la

expresión definitiva:

siendo:

la constante de tiempo o de relajación.

7 ETSIINF, U.P.M.

RC=τ

( ) τ11

11

ttRC

tt

eIeIti−

−−

−==


Proceso de carga del condensador. Gráficamente, la corriente en función del tiempo es la

mostrada en la Figura:

8 ETSIINF, U.P.M.

Figura. Representación de la corriente i(t) en función del tiempo.


Proceso de carga del condensador. Como puede comprobarse la anterior gráfica es una

función exponencial cuya pendiente en el punto inicial (t=t1) es τ=RC. Esto puede comprobarse fácilmente si se deriva la expresión de i(t) respecto al tiempo:

Si ahora personalizamos la última expresión para t=t1, tenemos:

9 ETSIINF, U.P.M.

( ) ατ

tgIRCI

dttid

tt

−=−=−==

11

1

( ) RCtt

eIRCdt

tid 1

11 −

−−=


Proceso de carga del condensador. Un último aspecto relevante es que para una vez

transcurrido un lapso de tiempo mayor o igual a 4τ, el proceso de carga se considera completado, en efecto para t=t1 +4τ , tenemos:

Esto es lo mismo que decir que la corriente es menor

que el 2% de su valor inicial.

10 ETSIINF, U.P.M.

( ) 1

4

11 018,04 IeIti ≅=+−ττ

τ


Proceso de carga del condensador. Así mismo, partiendo de la misma expresión podemos

determinar la evolución de la carga del condensador:

11 ETSIINF, U.P.M.

−=

−−τ

1

1tt

eCVq

−=

−−

RCtt

eRCIq1

11

∫∫−

−=

t

t

RCttq

eIdq1

1

10

( ) RCtt

eIdtdqti

1

1

−−

==


Proceso de carga del condensador. La representación gráfica de la variación de la carga

es:

12 ETSIINF, U.P.M.

Figura. Representación gráfica de la carga q.


Proceso de carga del condensador. De manera similar podemos determinar Vc(t) si

tenemos en cuenta que está relacionada con i(t) por medio de:

En este caso el signo negativo indica que Vc(t)

aumenta a lo largo del tiempo mientras que el valor de la corriente i(t) va disminuyendo.

13 ETSIINF, U.P.M.

( ) ( )tidt

tVdC C −=


Proceso de carga del condensador. Reordenando la expresión e integrando respecto al

tiempo t, obtendremos:

14 ETSIINF, U.P.M.

( ) ( )dttiC

tVd C1

−=

( )( )

∫∫−

−−=

t

t

RCtttV

C dteIC

tVdC

1

1

10

1

( )

−−=

−−

11

1RC

tt

C eRItV

( )t

t

RCtt

C eRCCItV

1

11

−−

−=


Proceso de carga del condensador. Sustituyendo el valor de I1, queda:

y simplificando:

15 ETSIINF, U.P.M.

( )

−=

−−

RCtt

C eRRVtV

1

1

( )

−=

−−

τ1

1tt

C eVtV


Proceso de carga del condensador. La representación gráfica de dicha tensión puede verse

en la Figura.

16 ETSIINF, U.P.M.

Figura. Representación gráfica de la tensión VC(t).


Proceso de carga del condensador. La pendiente de la curva en el punto inicial (t=t1) puede

obtenerse evaluando la derivada de VC(t) en dicho punto:

17 ETSIINF, U.P.M.

( )

1

1

1 tt

tt

tt

C eVdt

tdV

=

−−

=

= τ

τ

( )α

τtgV

dttdVC ==1


Proceso de descarga del condensador. Ahora en un instante posterior t=t2 (siendo t2>>t1 para

poder asegurar que el condensador se haya cargado completamente) se procede a conectar el interruptor al punto

18 ETSIINF, U.P.M.

R

C

Vc − +

−

VR

i(t)

Figura. Circuito RC durante el proceso de descarga de la capacidad.


Proceso de descarga del condensador. En dicho instante se verifica (condiciones iniciales):

Para cualquier instante t del proceso de descarga, se cumplirá que:

donde:

19 ETSIINF, U.P.M.

( ) VtVC =2

( )RV

RV

Iti C === max22

( ) ( ) 0=+ tVtV RC

( )RtiVR =( )tqC

VC1

=


Proceso de descarga del condensador. Sustituyendo los términos VC(t) y VR(t) por sus

expresiones y derivando respecto al tiempo, obtenemos:

20 ETSIINF, U.P.M.

( ) ( ) 0=+dt

tdVdt

tdV RC

( ) 01=+

dttdiR

dtdq

C

( ) ( ) 01=+

dttdiRti

C


Proceso de descarga del condensador. Separando variables en la última expresión, tenemos:

Integrando desde t=t2 (instante inicial del proceso de descarga) hasta t, queda:

21 ETSIINF, U.P.M.

( )( ) dt

RCtitdi 1

−=

( )( )

( )

∫∫ −=t

t

ti

I

dtRCti

tdi

22

1


Proceso de descarga del condensador. Si ahora resolvemos la integral se obtiene por tanto:

Por último, despejando el término i(t) se consigue la expresión definitiva:

siendo: la constante de tiempo o de relajación.

22 ETSIINF, U.P.M.

( ) ( )221lnln tt

RCIti −−=−

( ) ( )22

1ln ttRCI

ti−−=

RCτ =

( ) τ22

22

ttRC

tt

eIeIti−

−−

−==


Proceso de descarga del condensador. Gráficamente, la corriente en función del tiempo es la

mostrada en la Figura.

23 ETSIINF, U.P.M.

Figura. Representación de la corriente i(t) en función del tiempo.


Proceso de descarga del condensador. Como puede comprobarse la anterior gráfica es una

función exponencial cuya pendiente en t=t2 es τ=RC.

En efecto, derivando la ecuación que describe la evolución de la corriente, obtenemos:

Ahora si personalizamos la última expresión para t=t1, tenemos:

24 ETSIINF, U.P.M.

( ) τ

τ

2

21 tt

eIdt

tid −−

−=

( ) ατ

tgIdt

tidtt

−=−==

2

1


Proceso de descarga del condensador. Un último aspecto relevante es que para una vez

transcurrido un lapso de tiempo mayor o igual a 4τ, el proceso de descarga se considera prácticamente terminado, puesto que para t=t2 +4τ , tenemos:

Esto equivale a decir que la corriente será menor que el

2% de su valor máximo inicial.

25 ETSIINF, U.P.M.

( ) 2

4

22 018,04 IeIti ≅=+−ττ

τ


Proceso de descarga del condensador. Para establecer el nivel de carga del condensador a lo

largo de todo este proceso partimos del resultado anterior y de la relación existente entre carga presente en el condensador y corriente que circula por éste:

donde el nivel de carga inicial q(t2)= Qmax= CV

26 ETSIINF, U.P.M.

( ) RCtt

eIdtdqti

2

2

−−

==

dteIdq RCtt 2

2

−−

=

( )∫∫

−−

=t

t

RCttq

tq

dteIdq2

2

2

2


Proceso de descarga del condensador. Operando, llegamos al resultado final.

27 ETSIINF, U.P.M.

−=−

−−

12

2RC

tt

eRCICVq

τ2tt

CVeq−

−=


Proceso de descarga del condensador. La representación gráfica de dicha carga puede verse

en la Figura.

28 ETSIINF, U.P.M.

Figura. Representación gráfica de la carga q.

τ

CV

q

t

CV

t=t2

4τ

α e


Proceso de descarga del condensador. Por su parte, la tensión VC(t) puede estimarse también

a partir de su relación con la corriente i(t):

Integrando la anterior expresión, queda:

29 ETSIINF, U.P.M.

( ) ( )dttiC

tVd C1

=

( )( )

∫∫−

−=

t

t

RCtttV

VC dte

CItVd

C

2

22

( )t

t

RCtt

C eRIVtV2

2

2

−−

=−

( )

−=−

−−

12

2RC

tt

C eRIVtV


Proceso de descarga del condensador. Por último, sustituyendo el valor de I2, queda:

y simplificando:

30 ETSIINF, U.P.M.

( ) VeVtV RCtt

C +

−=

−−

12

( ) τ2tt

C eVtV−

−=


Proceso de descarga del condensador. La representación gráfica de dicha tensión puede verse

en la Figura.

31 ETSIINF, U.P.M.

τ

I2R=V

VC(t)

t

V

t=t2

4τ

α e

Figura. Representación gráfica de la tensión VC(t).

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