Cartilla 1 S1

MATEMÁTICAS

FINANCIERAS

Interés Simple

2 [ POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO]

INTÉRES SIMPLE

En las múltiples operaciones financieras que se presentan a diario, sólo hay dos maneras para que se liquide un interés:

a) Interés simple e b) Interés compuesto.

El INTERES SIMPLE tiene las siguientes características:

El capital inicial (VP) no varía, es decir, no crece durante el lapso que dura la operación.

La Tasa de Interés (i) se aplica únicamente sobre el capital inicial (VP) ó sobre el valor de la inversión inicial.

El Interés (I) que se liquida y paga por el uso del dinero ajeno, tiene el mismo valor por periodo de liquidación.

No existe re-inversión de intereses, lo cual significa que no hay capitalización de intereses.

Ejemplo 1

Hallar los distintos tipos de Interés Simple, de un préstamo de $100.000, durante el mes de Agosto, a la tasa del 20% anual simple.

Solución

El Interés Simple Bancario es de mayor uso (es más costoso).

El Interés Simple N.N. es de menor uso (es más barato).

Interés Bancario = 100.000 * 0,2 * 31/360 = 1.722,22

Interés Racional = 100.000 * 0,2 * 31/365 = 1.698,63

Interés Comercial = 100.000 * 0,2 * 30/360 = 1.666,67

Interés N.N. = 100.000 * 0,2 * 30/365 = 1.643,83

I = VP * i * t

3 [ MATEMÁTICAS FINANCIERAS ]

Ejemplo 2

Un trabajador laboró en una empresa desde el día 12-Febrero-2010 hasta el día 25-Noviembre-2010.

Sabiendo que el valor de la cesantía fue de $500.000 y que el Régimen Laboral reconoce Tasa de Interés del 12% anual simple por concepto de Intereses sobre la Cesantía, halle el valor que se debe pagar por concepto de Intereses sobre la cesantía.

Análisis:

a) Los días laborados por el trabajador son 286, calculados a partir de la Tabla de Días, así: 25-Noviembre corresponde al día número 329 en el año

12-Febrero corresponde al día número 43 en el año

Luego la diferencia (tiempo laborado) es 286 días

b) La tasa de interés es del 12% anual simple, equivalente a una tasa de interés del 1% mensual simple. (12% anual simple /12 meses = 1% mensual simple)

c) Un año laboral tiene 360 días lo cual equivale a que un mes laboral (cualquiera que sea) tenga 30 días.

Dos soluciones:

a) I = 500.000 * 0,12 * 286/360 = 47.667 b) I = 500.000 * 0,01 * 286/30 = 47.667

I = VP * i * t


Ejemplo

Se adquiere un bono por $100.000 que reconoce intereses al 4% anual simple, durante tres años.

a) Cuál es el Interés total de la inversión?

Análisis:

Tanto el Tiempo como la Tasa de Interés deben ser anuales

Solución

b) Cuál es el valor del interés por periodo trimestral?

Análisis:

Los intereses calculados anteriormente son de $12.000 que corresponden a tres años.

Por consiguiente el interés por periodo anual es de:

Solución

I= 100.000*0,04*3

I= 12.000

I=VP*i*t

12000

I = --------

3

I = 4.000 cada año

Interés total

I = ------------------------

Número de Periodos


c) Cuál es el valor final a pagar al vencimiento del bono?

En este ejemplo se ilustra la inexistencia de capitalización de intereses, es decir, que sobre el interés ganado NO se liquida interés. Solamente se liquidan intereses sobre el capital inicial.

Ejemplo 3:

¿Cuál es el interés simple bancario producido por un capital de $2.000.000, en un año, dos meses y 10 días, a la tasa del 1,5% mensual simple?

Análisis:

Un año (360 días) + dos meses (60) días + 10 días = 430 días

Un mes = 30 días

VF=100.0000+4.000+4000+4000

VF=112.000

VF=VP+I


Solución:

Ejemplo

Una persona adquirió 1.000 acciones a $ 2.000 cada una y luego de 18 meses recibió dividendos por $1.200.000 ¿Que tasa de rentabilidad trimestral simple ganó el inversionista?

Análisis:

a) El capital invertido fue de 1.000*$2.000=$2.000.000 b) Un año y medio equivale a 18 meses/3 meses = 6 trimestres

Solución:

Ejemplo

Un contribuyente liquidó y presentó su declaración de renta correspondiente año anterior. El impuesto a cargo fue de $6.000.000, sobre una renta gravable de $30 millones.

I = 2.000.000 * 0,015 * 430/30

I = 430.000,00

I

I = VP*i*t

I 1.200.000

i =--------- = ----------------- = 10% trimestral simple

VP*t 2.000.000*6


Que tasa de impuestos está tributando?

Análisis:

El tiempo es un año (año fiscal).

Solución:

Ejemplo

Un crédito de $5.000.000 se pacto a ocho meses, así: los primeros 2 meses al 1% mensual simple y de allí en adelante al 3% trimestral simple.

a) Cuánto dinero se debe pagar por concepto de intereses? b) Cuánto dinero se debe pagar en total?

Análisis:

Seis meses equivalen a dos trimestres

Solución:

I 6.000.000

i=--------- = ----------------- = 20% anual simple

VP*t 30.000.000*1

I= 5.000.000*0,01*2 = 100.000

I= 5.000.000*0,03*2 = 300.000

----------

Total Intereses a pagar = 400.000

VF=5.000.000 +400.000

VF=5.400.000

I=VP*i*t

VF=VP+I


EJEMPLO

Un capital se invirtió durante 4 años a la tasa del 3% mensual simple y se logró acumular $20.000.000.

¿Cuánto dinero se debió invertir?

Análisis

El tiempo de la operación financiera es de 4*12=48 meses

Solución

EJEMPLO

Una persona depositó determinado capital en una cuenta de ahorro y al cabo de 10 años el saldo era de $15.000.000, es decir, había ganado intereses por $5.000.000

20.000.000

VP = ---------------

1+(0,03*48)

VP = 8.196.721,31

VF

VP = -------------

1 +(it)


Con cuánto dinero se hizo la apertura de la cuenta de ahorro?

Solución

EJEMPLO

Una compañía de factoring está negociando estos documentos:

a) Factura por $2.000.000 a cobrar el día 28-Julio-2011 b) Factura por $4.000.000 a cobrar el día 12-Diciembre-2011

Si el negocio se hace el día 20-Abril-2011, a la tasa del 10% anual simple bancario, ¿cuánto dinero se debe pagar por los dos documentos?

Análisis:

El día en que se celebra el negocio recibe el nombre de Fecha Focal, en este caso es el día 20-Abril-2011

Retomamos la Tabla de Días y establecemos diferencias entre las siguientes fechas:

a) Desde el día 28-Julio-2011 hasta el día 20-Abril-2011 existe una diferencia de 209-110=99 días

b) Desde el día 12-Diciembre-2011 hasta el día 20-Abril-2011 existe una diferencia de 346-110=236 días

c) El valor de la primera factura se expresa en pesos de la Fecha Focal d) El valor de la segunda factura se expresa en pesos de la Fecha Focal

VP = 15.000.000 – 5.000.000

VP = 10.000.000

VP=VF-I


Fecha

Focal

Solución:

20-Abril-2011 12-Diciembre-2011 28-Julio-2011

110 209 346

2.000.000

4.000.000

2.000.000

VP = ----------------------- = 1.946.472,02

1+(0,10*99/360)

4.000.000

VP = ----------------------- = 3.753.910,32

1+(0,10*236/360)

-----------------

Total a pagar 5.700.382,34

por las dos facturas

VF

VP = -------------

1 +(it)


EJEMPLO

Una persona hizo un depósito en una Sociedad Fiduciaria el día 16-Mayo-2011. El día 28-Noviembre de 2012 le informaron que el saldo era de $30.000.000 y que la tasa de rentabilidad era del 8% anual simple bancaria.

¿Cuánto dinero depositó el inversionista?

Análisis

El día en que se hizo el depósito recibe el nombre de Fecha Focal, en este caso es el día 16-Mayo-2011

Retomamos la Tabla de Días y establecemos diferencias entre las siguientes fechas:

a) Desde el 16-Mayo-2011 y hasta el 31-Diciembre-2011, han transcurrido: 365-136=229 días

b) Durante el año 2012 se contabilizan 332 días. c) El tiempo de la operación es de 229+332=561 días

Fecha

Focal

16-Mayo-2011 28-Noviembre-2012

31-Diciembre-2011

136 365 332

30.000.000

229 + 332


Solución

EJEMPLO

¿Durante cuánto tiempo un capital de $1.000.000 permaneció invertido a la tasa del 4% semestral simple, para que se transformara en $2.000.000?

Solución:

2.000.00.00 – 1.000.000

t= ------------------------------- = 25 semestres

1.000.000* 0.04

VF-VP

t = -----------

VP*i

30.000.000

VP = ----------------------

1+(0,08*561/360)

VP = 26.674.570,24

VP = VF / 1+ (i x t)

VP = -------------

1 +(it)


EJEMPLO

¿En cuánto tiempo se triplica una inversión al 2% mensual simple?

Análisis:

Puesto que no se conoce el valor de la inversión inicial, se toma un valor cualquiera y se multiplica por tres.

Solución:

EJEMPLO

Se pacta un crédito Extra-Bancario por $3.000.000, a dos meses y al 10% mensual simple. Al final, ¿cuánto dinero es necesario cancelar por el préstamo?

6-2

t= -------- = 100 meses

2*0,02

VF-VP

t= ---------

VP*i


Soluciones:

EJEMPLO

Una persona cumple hoy 20 años y deposita $500.000 en una cuenta de ahorro que paga el 6% bimestral simple.

Cuánto dinero tendrá ahorrado cuando cumpla 50 años?

Análisis:

Un bimestre es un periodo que tiene dos meses; luego en un año se contabilizan 6 bimestres y puesto que el tiempo de duración de la inversión es de 30 años, entonces el tiempo equivalente de la operación es de 6*30=180 bimestres.

I=3.000.000*0,1*2

I=600.000

VF= 3.000.000 + 600.000

VF= 3.600.000

I=VP*i*T

VF=VP+I

VF=3.000.000(1+ (0,1*2))

VF=3.600.000

VF=VP(1+it)


Solución directa:

EJEMPLO

Un activo tiene precio de contado de $ 2.000.000 (no incluye IVA)

Con IVA, el precio de ese mismo artículo es de $2.320.000

¿Cuál es la tarifa (%) del IVA que tiene ese producto?

Análisis:

El IVA se calcula sobre el precio de venta del artículo.

Este caso es especial y la variable Tiempo no existe.

Solución:

VF=500.000(1+(0,06*180)

VF=5.900.000

VF=VP(1+it)

2.320.000 – 2.000.000

i= --------------------------

2.000.000

i = 16%

VF-VP

i = ----------

VP


Ejemplo

Usted piensa invertir la suma de $100.000,00 en una cuenta de ahorros, que le ofrece una tasa de interés del 2% mensual simple. ¿Cuánto dinero recibirá al final de tres meses?

VP = $100.000,00

i = 2% mensual simple

t = 3 meses

VF =?

VF = VA x ( 1 + ( i x t))

VF = $100.000,00 x ( 1 + (0,02 x 3))

VF = $106.000,00

$106.000,00 se recibirán al final de los 3 meses que dura la inversión. Verificamos el cumplimiento del principio de la matemáticas financiera que el dinero cambia de valor a través del tiempo, los $100.000,00 se convierten en $106.000,00 al final de los 3 meses.

Comprobemos con la siguiente tabla las características del INTERES SIMPLE, tomando el ejemplo anterior :

Periodo Capital Inicial Tasa de interés Interés Valor final

1 100.000,00 0,02 $2.000,00 $102.000,00

2 100.000,00 0,02 $2.000,00 $104.000,00

3 100.000,00 0,02 $2.000,00 $106.000,00

El capital permaneció constante, el interés ganado es igual en cada período, y la tasa de interés siempre se aplicó sobre el valor original de la inversión.


De lo anterior podemos concluir, que en INTERES SIMPLE nos daría igual si nos ofrecen la tasa de interés anual, que correspondería a : i = 2% x 12 = 24% anual, si la tasa es anual el tiempo debe manejarse en años, entonces : t = 3 meses convertidos a años = 3 de 12 meses que tiene un año = 3/12, para el uso de la fórmula sería :

VF = 100.000,00 x ( 1 + (0,24 x 3/12))

VF = $106.000,00

CLASES DE INTERES DE ACUERDO AL MANEJO DEL TIEMPO

Ejemplo

Se desea hacer una inversión de $1´000.000,00 durante el mes de Marzo y nos ofrecen una tasa de Interés del 18% anual simple. Hallar el Interés ganado:

VA = $1´000.000,00

i = 18% anual simple

t = mes de marzo

I = ?

I = VA x i x t

Este es un ejemplo aparentemente sencillo, pero no nos están dando un tiempo muy claro, nos dicen mes de marzo, lo que nos lleva a analizar, si la tasa es anual, el tiempo debe ser años, ¿cómo convertimos el mes de marzo en años ?

Primera opción : tomar el mes de marzo como un mes, lo cual convertido a años sería 1/12 ó lo que es igual, decir marzo tiene 30 días y el año 360 días, días convertidos a años = 30/360.


Segunda opción: Tomar el mes de marzo con los días exactos que tiene, es decir marzo tiene 31 días y el año 360, días convertidos a años = 31/360

Tercera opción : pero si marzo lo tomamos de 31 días, sería correcto decir que el año tiene 365 días, días convertidos a años = 31/365

Cuarta opción : una última combinación posible sería tomar marzo de 30 días y el año de 365 días, días convertidos a años = 30/365.

¿Cuál es la opción correcta ?, todo depende de con quién estamos haciendo la transacción.

En la práctica comercial, éste manejo que se le da al tiempo, origina unas clases de interés :

Interés ordinario : cuando tomamos años de 360 días.

Interés exacto : cuando tomamos años de 365 días (ó 366 cuando es bisiesto)

Y a la vez, el Interés ordinario y el Interés exacto se pueden trabajar con :

Tiempo aproximado : cuando tomamos todos los meses de 30 días y

Tiempo exacto : cuando tomamos los meses según calendario.

El Interés Ordinario Con Tiempo Aproximado : Es el que se conoce como comercial, y se utiliza normalmente en el comercio y cuando no se especifica el uso de otro. Para nuestro ejemplo :

I = $1´000.000,00 x 0,18 x 30/360

I = $15.000,00

El Interés Ordinario Con Tiempo Exacto : Es el que se conoce como Bancario, y se utiliza normalmente en todas las transacciones que se efectúen con el sistema bancario. Para nuestro ejemplo :

I = $1´000.000,00 x 0,18 x 31/360

I = $15.500,00


El Interés Exacto Con Tiempo Exacto : Es el que se conoce como Racional, Real, Verdadero o sencillamente Exacto. En la actualidad es de mucha aplicación en las entidades que ofrecen intereses diarios, en los fondos de inversión donde se efectúan inversiones temporales. Para nuestro ejemplo :

I = $1´000.000,00 x 0,18 x 31/365

I = $15.287,67

El Interés Exacto Con Tiempo Ordinario : No tiene un nombre comercial, normalmente no se utiliza, y la razón podría ser obvia al observar el resultado del ejemplo, los intereses que genera son los más bajos posibles :

I = $1´000.000,00 x 0,18 x 30/365

I = $14.794,52

Ejemplo

Hallar el valor a su vencimiento, de un certificado de ahorro a Término (CDAT), el cual tiene fecha de apertura el 25 de Febrero de 1999, y que vence el 25 de Mayo de 1999, acordado con una tasa de interés simple real del 33% anual y una inversión inicial de $3.000.000,00.

Como es un interés simple real, debemos hallar los días exactos transcurridos entre la fecha de apertura y la fecha de vencimiento. Con la calculadora financiera (ver manual), encontramos que el CDAT tiene una duración de 89 días. Y el manejo del tiempo se hará tomando años de 365 días.

VF = VA ( 1 + i x t ) entonces

VF = $3.000.000,00 (1 + 0,33 x 89/365)

VF = $3.241.397,26

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