Capitulo Matriz de Consecuencias y Arboles

Matrices de Consecuencia y

Árboles de Decisión

Con permiso del autor. Tomado del texto: Teoría de decisiones. Un enfoque desde lo

cuantitativo. Rubén Darío Parra R. Autor-

Editor. Medellín. 2007

2 Rubén Darío Parra R.

Introducción

Durante muchos años y podríamos decir que hasta milenios, la sociedad se sostiene en una gran masa de organizaciones formales e informales, públicas y privadas, con y sin animo de lucro, que cada día es más progresiva y creciente, en la manufactura de bienes y en la prestación de servicios que la sociedad requiere y consume. También es cierto que dentro de esa gran masa de instituciones encontramos personas que tienen la autoridad o al menos la potestad para tomar decisiones, que de alguna manera inciden en el comportamiento de sus semejantes, sean estos individuos internos a la organización o la comunidad en general. El manager, el empresario, el profesor, el médico, el funcionario público, el abogado, el banquero y muchos otros individuos que nos harían esta lista casi que interminable, que tienen en sus manos la facultad de tomar decisiones por sus semejantes, deben darse cuenta del grado de responsabilidad social que tienen en sus respectivos menesteres. La atribución que de alguna forma se transfiere a quienes toman decisiones para poder llevar a cabo ciertos actos y desvelarse por las estrategias que favorecen los valores, objetivos y metas de la sociedad, son el impacto de las decisiones, mostrados a través de la "responsabilidad social". La palabra decisión ocasiona diversas reacciones que pueden ir desde la mera acepción "decisión es sinónimo de tarea a ejecutar" hasta pensar en la "decisión en términos de un modelo". Es por ello, que considero importante el estudio de algunos de los modelos de toma de decisiones, toda vez que el proceso que emplean los managers en posición importante dentro de las organizaciones para tomar decisiones, que en el momento de convertirse en actos visibles, estamos seguros comprometen en buena parte nuestros valiosos y limitados recursos.

Decisiones programables y no programables En la práctica, se dan una buena cantidad de situaciones de toma de decisiones que atraen la atención de las personas; en un extremo, se encuentran las situaciones bien definidas, estructuradas y muy repetitivas, y para las cuales existe una información adecuada y que reciben el nombre de situaciones programables. En el otro extremo, se encuentran las situaciones no programables o estratégicas; por lo general "mal" definidas, que sólo ocurren muy pocas veces y para las cuales no existe una información suficientemente estructurada para tomar una decisión. Por lo general, los managers de las organizaciones formales se encuentran con innumerables situaciones de decisiones que son programables; así por ejemplo, existen reglas rutinarias que normalmente guían la administración del día a día de la organización, tales como fijar un nivel de inventarios o asignar precios para los productos terminados. Pero por otro lado, los managers también se enfrentan a situaciones de decisión para las cuales se es incapaz de aportar reglas que puedan identificarse o procedimientos programables de decisión; en otras palabras, se enfrentan a problemas mal estructurados y definidos de forma imprecisa. Algunas de las características de este tipo de situaciones son: � Existen interrelaciones complejas entre las variables de interés, lo cual dificulta el detectar los

eslabones de causa y efecto entre ellos.

� El problema posee varias dimensiones a lo largo de las cuales se pueden medir las ejecuciones.

� Se encuentran implicados distintos grupos funcionales de la organización, cada uno de los cuales posee una habilidad o información necesaria, la cual debe combinarse con la información de los especialistas antes de que se llegue a un curso de acción aceptable.

� Una base de datos extensa y altos requerimientos para el manejo de los datos; es decir, es necesario procesar la información de tal forma que pueda aportar señales, que posean un significado para el decisor.

� El decisor posee un juicio para determinar la magnitud del problema y poder generar alternativas de solución adecuadas; así como también, un beneficio económico derivado de la solución.

� Existe un contexto dinámico del problema, el cual cambia rápidamente con el paso del tiempo. Estas características, justifican en cierta medida la necesidad que tiene el decisor de contar con una información apropiado y organizada de una manera consistente, para sondear oportunamente la multidimensionalidad de la situación y así poder obtener una solución eficaz en tales situaciones.

Desde la Estadística "Dada una situación en la que disponemos de cursos de acción alternativos, cada uno de los cuales puede llevar a un conjunto de resultados mutuamente excluyentes asociados con ciertas probabilidades, ¿qué curso de acción debe seguir el tomador de decisiones?" El término decisión, no sólo bajo el enfoque estadístico posee diversos significados que deben ser comprendidos con claridad. Para iniciar, se necesita tomar una decisión en aquellas situaciones en las que se dispone de dos o más cursos de acción (alternativas) y en la que sólo se puede seguir una de las acciones. Como es apenas obvio, si se dispone de un sólo curso de acción, no se requiere decisión, pues necesariamente se tendrá que seguir la acción para dar solución a la situación planteada; en consecuencia, la primera consideración en una situación de toma de decisiones bajo el enfoque estadístico, será la de elaborar una lista de acciones mutuamente excluyentes y de esta manera eludir a las confusiones o ambigüedades posteriores. Todos, y de alguna manera estamos atormentados por la estadística, querámoslo o no!, Cualquiera que lea un periódico, escuche la radio, vea la televisión, o quien hable con sus colegas, amigos o vecinos, está expuesto a las estadísticas. En un día cualquiera, al levantarnos por la mañana, escuchamos al periodista en la radio que nos dice que el precio de la gasolina se incrementa en un tanto por ciento, debido a que sube el precio del barril de petróleo o porque el dólar este más caro que hace unos meses atrás; que el cigarrillo produce cáncer; que el número medio de hijos en las familias españolas esta en 1.2 herederos de acuerdo con el último boletín informativo. Estos u otros rasgos de tipo estadístico, o imaginarios, llenan los espacios de los periódicos, revistas, y en general noticieros de radio y televisión diariamente. El campo de la estadística puede comprenderse mejor como un lenguaje especial; y como cualquier lenguaje, nos permite discurrir sobre temas y comunicar nuestros pensamientos a otros individuos; no es un lenguaje especial en el sentido que nos permita pensar o hablar de cosas distintas de lo que corrientemente hacemos en nuestra conversación; sin embargo, sí lo es, ya que nos anima a expresarnos en una forma más precisa que con cualquier otro lenguaje. Este énfasis en la precisión


es la fortaleza de la estadística; si nuestro objetivo es pensar con rigor y comunicar nuestros pensamientos de forma precisa, la estadística debe ser nuestro lenguaje. La traducción de una situación "problema" a fórmulas de carácter numérico viene designada, generalmente, bajo el enunciado de "modelo matemático", destacando que esta representación del mundo real bajo una forma particular ofrece ciertas ventajas para la solución del problema, entre los que vale la pena destacar, que bajo la formulación matemática de un problema, resulta posible aplicar algoritmos de la misma ciencia que llevarán al tomador de decisiones a la solución perseguida, y posteriormente poderla traducir a los términos en los que originalmente se había planteado el problema. La preeminencia del lenguaje matemático bajo el cual reside el enfoque estadístico para la toma de decisiones, radica, en la riqueza de los métodos empleados por esta disciplina y el consiguiente incremento de las posibilidades para obtener soluciones apropiadas.

"No puede haber un lenguaje más universal y más simple, más libre de errores y de obscuridades, lo que equivale a decir más valioso para expresar las relaciones invariables de las cosas naturales" Joseph Fourier

Como otros lenguajes, la estadística posee palabras y reglas gramaticales; éstas son las herramientas de un lenguaje; la estadística, no obstante, es un lenguaje limitado, con un limitado número de herramientas. En estadística sólo podemos hablar sobre las características de las cosas que podemos observar, y para poder contestar con técnicas estadísticas a preguntas propuestas, debe primero disponerse de datos, es decir, del material de observación. En cualquier situación de toma de decisiones, el decisor observa y registra alguna o algunas características del mundo que lo rodea; en estos acontecimientos como en muchos otros, se trata de cosas que vemos, tocamos, olemos u oímos, y que por lo general son todas observables; pero su observabilidad sola no es suficiente, es necesario además poder diferenciarlas de alguna manera. Es así como, si alguna característica observable de un objeto cambia cuando se observa en prolongadas ocasiones, o si difiere entre un objeto y otro, diremos que varía, y en el lenguaje estadístico lo denominamos una variable. Una variable es, pues, una característica observable de algo que es susceptible de adoptar diferentes valores o de ser expresada en varias categorías; así, el peso es una variable, ya que todos los objetos no pesan lo mismo y, a que un objeto puede cambiar de peso de un momento a otro. Si la información pertinente a una variable es de interés para el análisis de toma de decisiones en estadística, entonces los datos deben ser recogidos de forma sistemática. Se hace necesario definir de forma operativa cada variable, es decir, debe ser descrita en función de las operaciones necesarias para registrar los distintos valores; tal definición requiere por un lado una reseña de las características a observar, y por otro la especificación de las categorías en las que van a ser registradas las variaciones. Los estadísticos denominan este procedimiento de definir las variables como medición, y las descripciones que resultan se denominan escalas; así por ejemplo, en nuestra sociedad la variable edad se mide generalmente en años y la escolaridad en grados o años de estudio.

La Estimación La estadística además de describir y resumir experiencias, también es útil cuando a partir de las experimentaciones pasadas se generalizan los conocimientos para predecir el comportamiento futuro.

En muchos instantes de la vida cotidiana y en las prácticas del management, cada uno de nosotros toma una serie de decisiones basadas en la generalización de relaciones observadas en el pasado; cuando salimos de casa por la mañana, podemos mirar el firmamento y decidir si llevar o no un paraguas; pues sabemos que un atributo del tiempo lo determina el que esté o no nublado, y en el pasado ha estado relacionado con otro atributo "que llueva o no" y suponemos que esta relación seguirá siendo válida. Por tanto no es arbitraria nuestra decisión de tomar o dejar el paraguas, para hacerlo no se lanza una moneda al aire y dependiendo de su resultado decidimos; por el contrario juzgamos en función de la generalización de observaciones remotas sobre la relación existente entre un firmamento cubierto y lluvia. De forma análoga la decisión de estudiar en la universidad puede estar fundada en un conocimiento previo de la relación, entre nivel de educación e ingresos potenciales "salario", aplicada a otras personas. Aquí predecimos que esta misma regla será aplicada a nuestro caso. Y el esquivar el curso de estadística puede provenir del conocimiento matemático requerido, que con fundamento o sin cimentación, está íntimamente relacionado con el grado de dificultad de la misma. Y así, utilizamos nuestro conocimiento de una relación observada en el pasado, como guía para nuestra futura conducta; siempre que hayamos sido capaces de predecir una característica de un suceso, basándonos en el conocimiento previo de otra, suponemos que la relación debe seguir existiendo. En efecto, hacemos una pocas observaciones y generalizamos, a partir de ellas, a los casos que están aún por venir. Este proceso parece ser una regla de conducta útil. Es evidente, sin embargo, que algunas generalizaciones son mayores que otras; es decir, algunas de nuestras estimaciones siguen manteniéndose después de posteriores observaciones, mientras otras no. Tratamos de evitar el generalizar basándonos en un número de observaciones demasiado pequeño, y tratamos de asegurarnos con casos típicos; pero nuestro vocabulario corriente nos falla. Es así como, frecuentemente el tomador de decisiones se pregunta: ¿Cuál es el número de experimentos o de observaciones requerido para tomar una buena decisión?, ¿Cómo poder afirmar si las observaciones realizadas son casos realmente típicos?. Nuevamente, resultan útiles los métodos estadísticos para la toma de decisiones; y entre ellos se cuentan las inferencias, diseñadas en cierto modo para colaborar con las anteriores preguntas. El sentido común nos dice que cuanto mayor sea el número de observaciones, más probable será nuestra generalización y de hecho una mejor acción será la seleccionada. Las inferencias estadísticas manifiestan el grado de seguridad de acuerdo con el número de casos analizados; de nuevo la precisión es la recompensa que utiliza la estadística como una herramienta de toma de decisiones. Por otra parte, la estadística precisa dos tipos de inferencias: estimaciones y pruebas de significación "significancia". La estimación por su lado, hace referencia a la generalización directa de las observaciones, así por ejemplo, el ingreso medio del estrato "obrero" en un determinado país es una estimación basada en la observación de unas cuantas familias, pero no de todas las que se encuentren catalogadas en este estrato socioeconómico. Las pruebas de significancia, tratan el problema desde el punto de vista de la comparación de observaciones con un estado hipotético. Continuando con el razonamiento del ejemplo anterior, podemos pensar, que existe una relación entre el nivel de educación y los ingresos de las personas. Resultaría entonces, un costo descomunal el tratar de estudiar toda la población europea, americana o asiática para alguno de los casos antes expuestos, pero podemos tomar una muestra que sea representativa de una de estas poblaciones. Supongamos por un momento y a manera de ilustración, que en los casos estudiados a partir de una muestra encontramos una relación entre el nivel de educación de la población y sus ingresos "salarios"; un critico podría argüir que la relación observada es típica de la muestra, y que si se hubiera estudiado exhaustivamente la población objeto de análisis, probablemente la conclusión fuera distinta. Es así como, entonces, las pruebas de significancia permiten determinar con cierto grado de precisión la probabilidad de que sea éste el caso, es decir, la verosimilitud de encontrar esta relación


aparente en la muestra, si no existiese en la población. En ambos casos el problema básico es el de la generalización a partir de datos observados, a un número mayor de casos o población, del que fueron tomadas las observaciones. En las experiencias cotidianas como en los estudios científicos, se extracta información sobre un campo necesariamente limitado de experimentación; cada uno de nosotros observa a su alrededor, pero no observa sencillamente, busca patrones regulares de sus experiencias, y como consecuencia tiende a pensar y hablar generalizando sobre sus regularidades. Así, podemos ver unos cuantos cuervos y afirmar que "todos los cuervos son negros", en cada acontecimiento el tomador de decisiones tiene una experiencia más o menos limitada a unos cuantos hechos de una materia, y en cada uno generaliza la experiencia a todo el conjunto; la necesidad de tal generalización es evidente, si tuviésemos que enfrentarnos con cada situación con que nos encontramos, como si fuese un suceso totalmente nuevo, si no pudiésemos descubrir consistencias en nuestras observaciones, sería casi imposible resolver aún los problemas más sencillos. Así el tomador de decisiones busca consistencias, hace generalizaciones y las emplea como guía de conducta.

El proceso de decisión En primer lugar, el procedimiento de decisión comprende la selección, entre las alternativas de un curso de acción que en verdad pueda ser llevado a cabo; este aspecto es tan evidente que sólo podríamos decir que es una pérdida de tiempo y de recursos, considerar un problema sobre el que no se ejerce control, o seleccionar un curso de acción que nunca puede ser llevado a cabo. En segundo lugar, el objetivo de la decisión es seleccionar una acción que logre algún propósito predesignado. Juzgar si una decisión es o no satisfactoria depende del resultado o la consecuencia de la acción seleccionada por el procedimiento de decisión; si el resultado de la acción seguida es "favorable", se puede considerar la decisión como satisfactoria; pero, ¿cómo evaluamos si el resultado es favorable?. Esta pregunta sólo se puede responder si hemos especificado de antemano exactamente qué resultado se va a considerar favorable. Así por ejemplo, al decidir que medio utilizar para promover un nuevo producto, la gerencia puede hallarse influida por diversos objetivos; puede estar interesada en conseguir la mayor cantidad posible de público, y en consecuencia puede optar por la televisión; puede tener como objetivo el minimizar los costos, y de ser así, puede elegir utilizar envíos postales directos a sus compradores potenciales; o puede desear alcanzar un público relativamente grande a un costo razonablemente bajo, y entonces optar por la radio o los diarios. De todos modos un procedimiento de decisión supone la selección de un curso posible de acción que lleve a un resultado que se juzgue o no favorable, de acuerdo con su éxito o fracaso al cumplir un objetivo predesignado. Es en esta condición donde podría decirse que radica la importancia de la decisión. Finalmente, la decisión tiene un elemento temporal; la decisión conduce a la acción, la cual, a su vez, lleva a un resultado. Las decisiones se toman en el presente y los resultados surgen en el futuro, y, entre estos dos instantes, es cuando la acción se lleva a cabo. El ingrediente del tiempo revela que la decisión es predictiva: para tomar una decisión, debemos predecir el resultado o los resultados de esa decisión.

Características del problema de decisión El tomador de decisiones quiere lograr un objetivo propuesto, es decir, alcanzar una situación distinta a la de su estado original, amén de que selecciona una manera de actuar al pensar que ésa es la forma que mejor le ayudará a conseguir las metas que especificó de antemano. Su actuación toma la forma concreta de una cierta utilización de sus recursos escasos; de acá el énfasis de la estadística en tener objetivos claramente especificados y jerarquizados. Por otro lado, existen factores fuera del control del tomador de decisiones que afectan al logro de los objetivos, comúnmente conocidos como "estados de la naturaleza"; esto nos lleva a considerar las siguientes características contenidas en todo problema de decisiones bajo el enfoque no sólo estadístico sino también de la investigación de operaciones: � Hay una persona responsable de la toma de decisiones, con objetivos propios posibles de

especificar de antemano.

� Existe un contexto para la situación problema, el cual puede estar definido por un conjunto de estados de la naturaleza.

� Hay un conjunto de diferentes cursos de acción factibles, de entre los cuales el tomador de decisiones seleccionará el más adecuado.

� Hay un conjunto de consecuencias, resultantes de la combinación de los cursos de acción disponibles y de la ocurrencia de uno o diversos estados de la naturaleza.

� Existe cierto grado de incertidumbre relacionado con el acto de seleccionar la alternativa más conveniente; en otras palabras, el tomador de decisiones no tiene una noción precisa acerca de cual puede ser el resultado asociado con la acción elegida.

El concepto de Probabilidad La posibilidad de que algo ocurra, la probabilidad, la suerte o la verosimilitud son palabras muy frecuentes en el vocabulario de las personas; y más que tratarse de palabras sinónimas se emplean bajo el mismo significado. Por lo general se puede afirmar que cada uno de estos términos se relaciona con el grado de confianza atribuido a la ocurrencia o no de un estado de la naturaleza o evento. A pesar de que no se puede predecir el resultado que se obtendría al realizar un experimento aleatorio, es característica del mundo real, que, si el experimento se realiza un gran número de veces, la fracción del total de las veces en que se observó cierto resultado se volverá, cada vez más, casi una constante a medida que aumenta el número de repeticiones del experimento. Por lo tanto, el cálculo de la probabilidad puede definirse como el modelo matemático de las regularidades que se observan en las series de frecuencias correspondientes a los fenómenos aleatorios.

El concepto de Probabilidad Subjetiva


Es frecuente en el management que el tomador de decisiones se enfrente a situaciones completamente nuevas o novedosas; es el caso por ejemplo de nuevos productos o desarrollos que alguna vez tuvieron éxito, pero que dadas las condiciones presentes, la información se considera obsoleta o carente de sentido. Es en estas condiciones, donde el empleo de probabilidades para lograr una buena estimación, no es algo inherente a las cosas como lo sería una magnitud física, sino más bien algo subjetivo, determinado en buena parte por la experiencia del tomador de decisiones como medida de su convicción personal, acerca de la materialización o no de un estado de la naturaleza. En tales casos, el patrón analítico empleado por el decisor se encuentra centrado en su creencia racional de que ocurrirá o no el evento, en la medida que tiene en cuenta para su estimación las consecuencias posibles que sus acciones pueden tener.

Dependencia e Independencia Estadística

Independencia

Se acepta que dos o más eventos sean independientes entre sí, cuando la ocurrencia de uno no altera de ninguna manera la ocurrencia de los demás. A partir de esta definición se puede asegurar que si ei forma una colección de eventos estadísticamente independientes, entonces se cumplirá que:

i) P(e1 ∩ e2 ∩ e3 ... ∩ en ) = ∏n

1=i

i)P(e

ii) P(e1/e2,e3 ... en) = P(e1)P(e2/e1)P(e3/e1e2) ... P(en/e1e2e3 ...en-1) = ∏n

1=i

i)P(e

Dependencia

Por el contrario, existe una dependencia estadística entre una colección de eventos, si la probabilidad de ocurrencia de algún evento afecta o es afectada por la ocurrencia de algún otro evento. Al igual que en el caso de los eventos independientes, se acepta que los eventos e1 y e2 sean estadísticamente dependientes, si se cumple que: i) P(e1 ∩ e2) ≠ P(e1)P(e2)

ii) P(e1 /e2) = )P(e

)e P(e

2

21 ∩ para: P(e2) > 0

Axiomas «reglas» de las probabilidades

A partir de dos eventos cualesquiera e1 y e2, se tiene que: i) 0 ≤ P(e1) ≤ 1 y 0 ≤ P(e2) ≤ 1

ii) P(e1) + P(e2) = 1

iii) Axioma de la unión o adición de probabilidades: P(e1 ∪ e2) = P(e1) + P(e2) - P(e1 ∩ e2)

iv) Si e1 y e2 son eventos mutuamente excluyentes, se cumple que: P(e1 ∩ e2) = 0 v) Axioma de la multiplicación

P(e1 /e2) = )P(e

)eP(e

2

21→

∩ P(e1 ∩ e2) = P(e2)P(e1 /e2) con P(e2) >0

P(e2 /e1) = )P(e

)eP(e

1

2 1

→∩

P(e2 ∩ e1) = P(e1)P(e2 /e1) con P(e1) >0

vi) Sea una colección de eventos ei (i=1,2, ... k) mutuamente excluyentes, de los cuales ninguno tiene

probabilidad cero «nula» de ocurrencia por lo que P(ei)>0 y necesariamente uno de ellos debe materializarse, entonces para algún evento D se tiene que:

P(D) = ∑=

k

1i

ii ))P(D/eP(e

El Teorema de Bayes A partir del axioma 6 más comúnmente conocido como regla de la eliminación o del último evento, y haciendo uso de los axiomas referentes a las probabilidades condicionales, se tiene que:

P(ei /D) = ∑

∩

k

1=i

i

iii

))P(D/eP(e

))P(D/eP(e =

P(D)

D)P(e

i

El teorema de Bayes tiene la peculiaridad de evaluar las probabilidades a posteriori, es decir, probabilidades revisadas a partir de nueva información obtenida de un proceso aleatorio y con base en los resultados de los eventos ei, conocidos como resultados a priori de la situación objeto de estudio. Una observación desprevenida de la ecuación anterior permite inferir que ésta es solamente la razón de probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística y el axioma de la eliminación. A la altura de este tema, es importante recordar la anotación que hace Jean Paul Rheault (1973), "En la práctica del management, podemos encontrar situaciones que abarcan toda la gama de las posibilidades, desde aquellas que ofrecen cantidades muy grandes de datos históricos y que casi no requieren elementos subjetivos en la determinación de las probabilidades requeridas, hasta aquellas que carecen de datos históricos pertinentes y cuya determinación de las probabilidades es completamente subjetiva. Sin embargo, una buena parte de las situaciones del management, tiende a situarse entre estos dos extremos; es decir, es posible conseguir alguna información histórica pertinente, pero no lo suficiente para determinar las probabilidades de ocurrencia de los eventos de interés sin la necesidad de recurrir a un juicio subjetivo, apoyado en la experiencia. Normalmente, seremos incapaces de determinar con exactitud las medidas de las probabilidades requeridas; cierta vaguedad persistirá en nuestras mentes a sus valores verdaderos " (P. 115)


El Concepto de Variable Aleatoria A partir de una definición muy simple pero al mismo tiempo fácil de entender por personas no muy versadas en el tema de la estadística; una variable no es más que una cantidad expresada por algún símbolo del lenguaje usual y que representa cada uno de los valores de un conjunto numérico, de esta forma, es común que el manager exprese: las ventas, las unidades producidas, el potencial de una planta o la rentabilidad, como cantidades que cambian en el espacio o en el tiempo. Por otro lado, está el concepto de aleatorio como dependiente de algún suceso fortuito, es decir predecible pero no bajo el control del tomador de decisiones. A partir de los dos conceptos expresados, se puede construir una variable aleatoria como una cantidad numérica que se obtiene como resultado de un experimento aleatorio. En la International Encyclopedia of Statistics (1978) se conceptualiza un experimento de la siguiente manera: "en la investigación científica la palabra experimento generalmente se emplea para aquellos estudios en los que el investigador deliberadamente introduce ciertos cambios dentro del proceso y toma observaciones o medidas con el fin de evaluar y comparar los efectos a través de los diferentes cambios o tratamientos." (P.285). A partir de este concepto, un experimento aleatorio lleva a realizar operaciones para descubrir, comprobar o demostrar algún fenómeno o principio cuyos resultados van a estar sujetos a las leyes de probabilidades. Por otro lado, si a cada elemento de la variable aleatoria se le asocia su probabilidad de ocurrencia, se formará una relación comúnmente conocida como la función de probabilidad. En otros términos, considere una variable aleatoria denotada por X, tal que {x1,x2, ... xk} represente el conjunto de eventos posibles cuyo rango es un subconjunto de los números reales, y sea P(xi) = P(X=xi) la probabilidad asociada a cada evento. En estadística a la definición presentada, se le conoce como la función de probabilidad.1

1 Palabras Claves. Bajo la presentación del enfoque de la estadística en la toma de decisiones, es menester tener presente los

conceptos de: * Problema * Curso de acción * Restricciones * Objetivo * Predicción * Riesgo * Deseabilidad * Estimación * Variables * Certidumbre * Incertidumbre

Desde la investigación de operaciones Al hablar de toma de decisiones desde el punto de vista de la Investigación de Operaciones, necesariamente tendremos que centrarnos en alguno o algunos de los muchos modelos que esta parte de las ciencias utiliza; es así cómo, entre otros, tenemos los modelos de: Teoría de Colas también conocidos como Procesos de nacimiento y muerte, Teoría de Juegos, Simulación, Cadenas de Markov, PERT/CPM, Programación Lineal, Programación Meta, Matrices y Árboles de decisión. Sin embargo, en este momento, trataré de esbozar la toma de decisiones, desde el punto de vista de las Matrices de Consecuencias y Árboles de decisión. Podría decir entonces, que al tratar de formular objetivos, en la mayoría de las situaciones surgen problemas, y para alcanzar los objetivos propuestos se hace necesario el tomar alguna decisión, y este punto de vista nos lleva a estudiar tres situaciones de decisión, a saber: decisiones en condiciones de certidumbre «comúnmente llamadas decisiones con certeza», decisiones en condiciones de incertidumbre, y por último, el riesgo en la toma de decisiones. La certeza se caracteriza por el hecho de que a cada alternativa o curso de acción le corresponde un solo resultado, y por lo tanto se hace necesario elegir aquella alternativa cuyo resultado optimice el logro del objetivo propuesto. Por otro lado, la incertidumbre se da en situaciones que implican múltiples resultados, pero en las que se ignora la distribución de probabilidad que describe su ocurrencia, y el riesgo difiere de la certeza en que es posible obtener más de un resultado y difiere de la incertidumbre porque tanto los resultados como la distribución de probabilidades son conocidas o, al menos, supuestamente conocidas. Se comienza el estudio de la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre con el uso de la matriz de consecuencias. Dicha matriz le proporciona a la persona encargada de tomar decisiones una estructura, que puede ser usada para modelar el proceso en la toma de decisiones. Con frecuencia, el tomador de decisiones se enfrenta a un futuro incierto. Por ejemplo, el jefe de compras de una gran cadena de almacenes no sabría con seguridad el nivel de demanda para un producto específico y más aún si el producto de que se trata es nuevo para el mercado. Me propongo en este trabajo, animar a los lectores a desarrollar modelos que ayuden a mejorar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre, mediante un conjunto de conceptos básicos, como los que se desarrollan a continuación:

El Modelo racional y el concepto de racionalidad limitada Las organizaciones las podemos considerar como sistemas orientados hacia unas metas; es decir, que han sido diseñadas para mejorar la capacidad de tomar decisiones de las personas que persiguen objetivos comunes. Este enfoque de la toma de decisiones requiere que el manager decisor tenga un conocimiento claro respecto de: las alternativas o cursos de acción, las variables exógenas, una forma de medir los elementos y preferencias, una metodología clara, sustentable y rigurosa que le permita incorporar toda la complejidad del proceso de decisión; en otras palabras, tener claridad sobre un modelo de tipo cuantitativo que permita involucrar todas las variables controlables y no controlables y una


metodología para su evaluación, que en último término le llevara a una solución óptima. Estos elementos, permiten la simplificación de la realidad en un modelo matemático de la situación o problema sobre el cuál se requiere decidir. Como modelo racional o cuantitativo, se busca la optimalidad de una función a partir de: los objetivos, cursos de acción o alternativas, los estados de la naturaleza como materialización de eventos inciertos, y las restricciones impuestas por el entorno al comportamiento de estas componentes. Los prototipos que hacen parte del modelo racional, han sido fuertemente criticados, por especializar al manager con una racionalidad ilimitada. Quizás el principal argumento que emplean sus críticos, es que las condiciones bajo las cuales se sustentan estos modelos se cumplirían si todas las personas tuvieran un conocimiento equilibrado del mundo. Su principal crítico ha sido Herbert Simon, que como ya se ha expresado anteriormente, agudiza sus observaciones en torno al concepto de racionalidad limitada y, al respecto opina: “el organismo decisor debe ser capaz de asignar a cada posible resultado un pago y también comprenderlos de manera suficiente para no dejar ningún espacio al surgimiento de consecuencias no anticipadas” (Simon, 1989). Como lo expresa Lee Roy Beach, en Psychology of Decision Making: “The model usually presumes that there is only one paramount goal and that the members of the organization, individually and collectively, strive to achieve that goal. It presumes that the decision makers have unlimited information and possess the cognitive ability to use it efficiently; they know all of the opportunities open to them and all of the consequences of pursuing one or another of those opportunities. Finally it presumes that the optimal course of action can be revealed by applying the appropriate normative analysis and that choice of that course of action will, if only in the long run, prove to be more profitable than choice of any other course of action. The key concepts are rationality, analysis, orderliness, and maximization. Because, like normative theory in general, this description is so patently wrong, both conceptually and empirically, if often serves as a foil for contrasting descriptions.” (P. 126) A pesar de todas las críticas que se le han hecho a los modelos de tipo cuantitativo, se puede sostener que como un modelo racional, son la base en la que se sustentan muchos de los modelos de decisión. Como lo muestra Mary Jo Hatch en Organization Theory; las críticas a este modelo se pueden volver maleables, en la medida que se admitan las limitaciones a las cuales se enfrenta su aplicación, en un mundo incierto y en constante cambio. Para la citada autora, el proceso de decisión racional tiene cabida siempre y cuando: “When there is agreement about goals or about the problem being addressed, and there is agreement about how to go about achieving the goal or addressing the problem, then uncertainty and ambiguity are at a minimum and conditions are right for using the rational model of decision making. Consider the example of what engineers call systems analysis, a tool of rational decision making that uses statistical procedures, such as linear programming techniques or Pert charts, to solve complex problems. These aids help the rational model work well even where problems are enormously complex, but, as with all forms of rational decision making, they assume that needed information is either known or estimable. Of course, when important factors are unknown, or cannot be responsibly estimated, the engineering aids to decision making fail, as do all processes based on the rational model. This does not mean that managers will cease to use them. In fact, as uncertainty or ambiguity increases, managers may find that they have even greater incentive to use these methods to provide the symbolic sense of security that is lacking in the decision process. Institutional theorists would argue that this urge comes from institutionalized norms for rationa1ity. But giving in to norms for rationality can lead you to ignore important aspects of a decision or decision-making situation that can be appreciated only if you break out of the rational frame.” (P. 275)

Elementos en la toma de decisiones Antes de entrar al análisis de los problemas de toma de decisiones, será necesario describir tres elementos esenciales, que requiere todo problema de toma de decisiones: • Es necesario establecer los objetivos o metas que trata de alcanzar el tomador de decisiones.

• Para que se pueda dar la toma de decisiones, se deben tener dos o más alternativas, de entre las cuales se debe seleccionar aquella que cumpla con el objetivo perseguido.

• Es necesario establecer un proceso de análisis mediante el cual sea posible evaluar cada una de las metas o alternativas en función del objetivo propuesto, para que de esta manera el tomador de decisiones pueda seleccionar la alternativa que optimice su objetivo.

Los tres aspectos antes mencionados, nos permiten inferir que parte del análisis que debe realizar el tomador de decisiones, consiste en identificar los factores incontrolables que afectan directamente a la toma de decisiones, factores que comúnmente son conocidos como eventos o estados de la naturaleza. Por otro lado, los eventos o estados de la naturaleza que podríamos considerar como de mayor importancia para una situación específica, dependen en cierto grado de las condiciones del entorno y podrían ser expresados en términos de variables exógenas y/o endógenas; es por esto entonces, que al hablar de modelos de toma de decisiones bajo el enfoque de la Investigación de Operaciones, tendremos necesariamente que referirnos a situaciones determinísticas, en las que las variables a estudiar están bajo el control del tomador de decisiones, como es el caso de la programación lineal, o a situaciones estocásticas, donde es necesario el uso de la modelación matemática bajo el empleo de distribuciones de probabilidad, como son el tratamiento de problemas de teoría de colas o procesos de Markov. Para una mejor ilustración, supóngase que el dueño de una pequeña empresa productora de leche, está estudiando sus actividades para el próximo año. La compañía puede crecer sus operaciones o también tiene la posibilidad de vender sus instalaciones a la competencia. Si aumentan los costos de producción sería mejor vender a la competencia e invertir en otro tipo de negocio. Sin embargo, si los costos no suben considerablemente y el Gobierno les permite un alza en sus productos, se debe pensar en expandir sus instalaciones. Si para el próximo año los costos y los precios de venta no aumentan considerablemente, podría pensarse que lo mejor sería mantener el nivel actual de producción. De acuerdo con esta situación, se pueden establecer las siguientes alternativas o acciones: B1: vender a la competencia B2: crecer su producción B3: mantener el nivel actual de producción Por otro lado, los eventos o estados de la naturaleza que podríamos considerar como de mayor importancia para el problema propuesto, dependen de las condiciones del mercado y los podríamos expresar de la siguiente manera: E1: los costos permanecen constantes E2: los costos aumentan considerablemente


E3: los costos no aumentan considerablemente y el Gobierno permite un alza de precios

Los modelos El ambiente económico que en la mayoría de los casos rodea a la persona o grupo de personas encargadas de tomar decisiones que involucran costos o utilidades, o más genéricamente, variables financieras, es complejo. Se puede decir que es infructuoso intentar el estudio de un problema de decisiones, sin contar con un conjunto de variables implicadas en el problema y sus relaciones. Al entrar en el tema de la modelación bajo el concepto de la Investigación de Operaciones, es común encontrar cómo algunas personas simplifican las variables del modelo intencionadamente, con objeto de hacerlo "más manejable", es así como, en algunos casos se omiten las variables o elementos que se creen son los menos esenciales, ya que los modelos complejos, que pueden en cierto grado ser más "reales", son también generalmente los más difíciles de resolver analíticamente. Un modelo específico puede describir exactamente o no, una situación, puede también predecir con cierto grado de seguridad una serie de resultados esperados, y quizás lo más importante, el modelo puede guiar a una mejor toma de decisiones. La modelación es pues, la respuesta que le damos al diseño de las necesidades de obtener información precisa y de calidad para esclarecer situaciones complejas, aquellas no posibles de satisfacer con procedimientos conocidos, que precisan de cierto proceso de investigación para orientar las posibles alternativas; es en este aspecto, que empleamos el modelo como herramienta que nos permite reducir el grado de complejidad de la situación a la que nos enfrentamos en un momento dado. La construcción de modelos matemáticos, que representan la realidad y que a través del mismo podamos simularla para llegar a entenderla, es un arte, basada en un primer momento de intuición. Como nos lo presenta, E.F. Emery (1969): "Un modelo es la representación matemática o simbólica de un entorno del mundo real, utilizada para predecir las consecuencias de acciones alternativas con el fin de elegir la mejor de ellas". A partir del concepto de modelo presentado por Emery, y teniendo presente que el análisis sensato combinado con el histórico, son una fuente importante de información y de conocimiento, en la medida que nos permite comparar los resultados obtenidos con los que fueron planeados o esperados, podemos esquematizar lo que posiblemente puede catalogarse como el curso de acción en la asimilación del proceso decisorio bajo el enfoque de la Investigación de Operaciones. La Investigación de Operaciones nos propone iniciar el análisis con la construcción de un modelo, entendido como la conceptualización abstracta del problema real; a partir de este discernimiento se pasa a la formulación de la situación, que comprende el establecer un objetivo u objetivos, las restricciones o limitantes, provenientes del entorno en el cual se mueve la situación problema y los efectos del sistema en estudio. Este enfoque, nos propone continuar con el disfrute de algoritmos matemáticos que nos proporcionen una solución factible y eventualmente una solución óptima del problema modelado para posteriormente adherirla al problema real; la prueba del modelo, nos permite simular retrospectivamente la situación real y realizar los ajustes que sean necesarios. Como última etapa en el proceso de toma de decisiones y quizás tan importante como la construcción del modelo, ésta el seguimiento a la solución propuesta, fase que contiene el establecimiento de controles para que la solución obtenida siga siendo óptima mientras las variables retengan sus relaciones originales, y el análisis de sensibilidad que determina la dinámica del problema a partir de la solución bajo situaciones de cambio.

Independientemente de la forma como se originen los problemas del manager, y aparte del punto de vista adoptado, la tarea de contestar a los interrogantes sobre la efectividad de una acción administrativa propuesta, exige que el manager sea capaz de predecir lo que acontecerá en el futuro próximo. Por lo tanto, un modelo de toma de decisiones bajo el enfoque de la investigación de operaciones debe estar interrelacionado con el entorno en el cual se mueve el tomador de decisiones, y, debe por lo tanto, contener ciertas variables que el mismo pueda controlar; aún en el momento de relacionar los cambios potenciales en las variables controlables, el tomador de decisiones se enfrenta al problema de tener que estimar los efectos más probables de las alternativas que considere sean factibles Por último, la toma de decisiones bajo la modelación y el empleo de los algoritmos propuestos por la Investigación de Operaciones, tendrá éxito dependiendo de la calidad, oportunidad y análisis que se haga de la información disponible y en consecuencia del conocimiento que la misma nos aporta. Si la información es adecuada y el tomador de decisiones la analiza y asimila correctamente, los modelos aportaran soluciones, que es de esperar sean las adecuadas; por el contrario, si la información carece de calidad o si el tomador de decisiones no la asimila correctamente, la acción a seguir no tendrá el conocimiento y racionalidad necesarios, y bajo estas condiciones será muy difícil acertar, en otras palabras el tomador de decisiones puede formular una respuesta válida a un problema equivocado. Los modelos matemáticos bajo los que se cimienta la toma de decisiones en el enfoque de la Investigación de Operaciones, tienen como sistema central una información de calidad, por lo que sí al modelo se le aplica buena información se obtendrán resultados confiables, y en caso contrario «garbage in, garbage out». Como es naturalmente obvio, la información sirve para reducir las incógnitas y el grado de incertidumbre que existe en toda situación de toma de decisiones. Lo importante en estos casos, es formular ciertos juicios de valor al decidir qué información «datos» es necesario recolectar, analizar y procesar para obtener unos resultados confiables con base en el modelo empleado. De la misma manera, el tomador de decisiones requiere un juicio de valor cuando, actúa basándose en la información recolectada; puesto que una misma información en modelos diferentes, puede llevarle a acciones «resultados» también diferentes; por lo que, para tomar una decisión adecuada, no sólo se precisa de información adecuada, sino que además, hay que utilizarla adecuadamente.

Los criterios de decisión En algunas situaciones, el tomador de decisiones no está en capacidad de asignar probabilidades a cada uno de los eventos o estados de la naturaleza que rodean a las diferentes acciones para tomar una decisión. Cuando esto sucede, existen algunos criterios que ayudan a realizar una elección de entre las posibles alternativas. De hecho, la elección de un criterio en particular depende primordialmente de la forma de pensar de la persona hacia la toma de decisiones. Es importante tener presente que, debido a que estos criterios son subjetivos, nunca la decisión tomada ser la óptima, pero si ser la "mejor" desde el punto de vista subjetivo. Algunos de estos criterios son:


El criterio maximax Este criterio desarrollado para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre, representa un enfoque optimista para el problema de decisiones. Bajo este criterio, el tomador de decisiones selecciona aquella estrategia que maximice la máxima utilidad para cada una de las estrategias del problema. Veamos, como opera esta definición tan simple, a través de un ejemplo: Supongamos que el director de una compañía esta estudiando la posibilidad de arrendar una nueva máquina para cumplir con los compromisos de ventas durante cierta temporada; para tal fin, su decisión dependerá en buena parte de la situación del mercado; por lo que al evaluar las utilidades marginales para cada una de las combinaciones posibles de eventos y acciones «alternativas» se encuentran los siguientes valores:

Alternativas Eventos A1 A2 A3 E1 250 150 100 E2 -20 30 60

Tabla No. 1 En donde: E1 : Demanda alta A1 : Arrendar una máquina de alta velocidad E2 : Demanda baja A2 : Arrendar una máquina de velocidad normal A3 : Arrendar una máquina de baja velocidad A partir de la definición dada, la máxima utilidad que podría encontrarse para cada una de las alternativas propuestas sería:

Máxima Utilidad Alternativa

A1 250 ← Máximo de los máximos A2 150 A3 100

A partir de estos valores máximos, seleccionamos aquella alternativa que nos aporte el mayor valor de utilidad, y es así como concluimos que de acuerdo con este criterio o «modelo», la mejor decisión que nuestro directivo debe tomar será la de arrendar una máquina de alta velocidad, para de esta forma lograr el maximizar su utilidad «desde un punto de vista subjetivo».

El criterio maximin Este criterio un tanto opuesto al MAXIMAX, se basa en la idea de maximizar los mínimos rendimientos; por lo que para determinar la "mejor" alternativa, se hace necesario obtener el mínimo

valor para cada una de las estrategias y de estos, seleccionar el mayor valor; en otras palabras, basta con seleccionar el valor máximo de los mínimos. Veámoslo con un ejemplo: Usando la información de la tabla No. 1, encontramos que la utilidad mínima para cada una de las alternativas propuestas es:

Alternativa Utilidad Mínima A1 - 20 A2 30 A3 60 ← Máximo de los mínimos

Vemos entonces como, bajo el criterio MAXIMIN, la estrategia de arrendar una máquina de baja velocidad es la "mejor"; estrategia un tanto diferente a la elegida con el criterio anterior. Podríamos decir entonces que nuestro tomador de decisiones es un tanto conservador, al adoptar este criterio como modelo de decisiones un tanto subjetivas.

El criterio de Hurwicz Bajo el discernimiento de Hurwicz, quien toma las decisiones no está ciento por ciento optimista, y esto parece deberse a que este estado no es real; por lo que, para combatir ese estado de optimismo Hurwicz introduce un coeficiente relativo «probabilidad» de optimismo, teniendo en cuenta para cada estrategia su máxima y mínima utilidad; y considerando al mismo tiempo su importancia, de acuerdo con un índice de optimismo preestablecido. De esta forma el presente criterio nos propone maximizar una función, en la que se hace necesario introducir un coeficiente representado por α con valores entre cero y uno (0 ≤ α ≤ 1), y que nos simboliza el índice de optimismo. La función propuesta es:

Maximizar (Hi)= αααα*Umax + (1-αααα)Umin Una mirada rápida a esta función permite concluir que: para las personas que definamos como completamente optimistas, el criterio de Hurwicz se convierte en el criterio MAXIMAX, y para aquellos que se definan como completamente pesimistas, el criterio se convierte en el MAXIMIN; ejemplificando este principio tendremos: Retomemos por un momento la información que nos suministra la tabla No.1, y asumamos que nuestro tomador de decisiones, se asigna un índice de optimismo de 0,70. Al reemplazar los valores numéricos en la función propuesta por Hurwicz tenemos: H(A1) = 250 * α - 20 * (1-α) = 250 * 0.7 - 20 * 0.3 = 169 H(A2) = 150 * α + 30 * (1-α) = 150 * 0.7 + 30 * 0.3 = 114 H(A3) = 100 * α + 60 * (1-α) = 100 * 0.7 + 60 * 0.3 = 88 Máximo (169, 114, 88) = 169 Este criterio, nos dice entonces que la "mejor" decisión, siempre y cuando se cuente con un índice de optimismo de 0,70 será la de arrendar una máquina de alta velocidad.


El concepto del valor monetario esperado (VME) El presente modelo considera aquellas situaciones de toma de decisiones, en las que es posible hacer una asignación de probabilidades ya sean estas objetivas o subjetivas, a la ocurrencia de cada uno de los estados de la naturaleza. De acuerdo con esto, es admisible determinar una regla de decisión que nos permita hacer una selección de la "mejor" alternativa. Ahora, para una asignación de probabilidades objetivas podemos recurrir a varias fuentes, algunas de las cuales son: información interna de la empresa, información obtenida de oficinas o entes externos encargados de generar estadísticas (generalmente oficinas del Gobierno), asociaciones gremiales ... Con referencia a la asignación de probabilidades subjetivas, el tomador de decisiones debe de confiar en su buen juicio (experiencia e intuición) o encomendar esta labor a personas expertas, es decir conocedoras del medio (método Delphi). Mediante el siguiente ejemplo, tratare de clarificar un poco mas esta situación: Supongamos por un momento, que cierto artículo se produce a un costo de $U.S10 por unidad y que el precio de venta se estima en $U.S16 la unidad. Asumamos además que este producto es de tal naturaleza que si se produce pero no se vende durante cierto período de tiempo, se vuelve inútil esto es carece de valor. Por otro lado, el departamento de Marketing presume unas ventas por período de acuerdo con la siguiente función de demanda:

Demanda 100 110 120 130 140 150 Frecuencia (Pi) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05

Para la elaboración de este tipo de ejercicios, se hace necesario el construir una tabla de doble entrada, conocida como Matriz de Consecuencias «matriz de decisiones» definida por eventos y acciones o alternativas; para el ejemplo propuesto definimos que: Los eventos los conforman los diferentes niveles de demanda; las acciones están representadas por el número de unidades a producir. Niveles de producción inferiores a 100 unidades, mayores a 150 unidades, entre 100 y 110 unidades, entre 110 y 120 unidades, etc., no se tienen en consideración por tener una frecuencia o probabilidad de demanda «venta» igual a cero (0)

Alternativas Evento

s 100 110 120 130 140 150 Pi

100 600 500 400 300 200 100 0.10 110 600 660 560 460 360 260 0.20 120 600 660 720 620 520 420 0.30 130 600 660 720 780 680 580 0.20 140 600 660 720 780 840 740 0.15 150 600 660 720 780 840 900 0.05 UE 600 644 656 620 552 460

La utilidad esperada (U.E), para cada una de las alternativas, se calcula de la siguiente manera:

∑==

n

i 1

ii P*UU.E

Así por ejemplo, la utilidad esperada para la alternativa de producir 150 unidades estaría dada por: U.E(150) = (100*0.1)+(260*0.2)+(420*0.3)+(580*0.2)+(740*0.15)+(900*0.05) = 460 Al aplicar reiterativamente la formula propuesta para cada una de las alternativas posibles, encontramos que, la alternativa que maximiza la utilidad esperada, corresponde a aquella que tiene un nivel de producción igual a 120 unidades y que aporta una utilidad esperada de 656 U.S Aunque en este ejemplo la decisión correspondió con el nivel de demanda cuya probabilidad es máxima, es importante tener en cuenta que no siempre es así, pues si para este ejemplo se supone que la demanda esta uniformemente distribuida, se obtendrían las siguientes utilidades esperadas: U.E (100) = $600 U.E (110) = $633.33 U.E (120) =640.32 U.E (130) = 620.64 U.E (140) =571.04 U.E (150) = 498 En esta situación, la alternativa que maximiza la utilidad esperada, corresponde a un nivel de decisión de 120 unidades, el cual no tiene una probabilidad máxima de demanda, ya que se supone una demanda uniforme con probabilidad de 1/6 para todos los casos

Ejercicio La compañía J.R produce artículos deportivos los cuales vende a los diferentes clubes de la ciudad. Uno de sus artículos se vende a $1000. De acuerdo con los registros históricos de ventas, se ha podido establecer la siguiente distribución de demanda para sus artículos:

Demanda 100 150 200 250 300 Probabilidad 0.25 0.35 0.10 0.15 0.15

Los costos de producción para este artículo, dependen del número de unidades que se produzcan; éstos pueden ser:

Producción 100 150 200 250 300 Costo Unitario 600 460 390 340 290

Por razones técnicas de producción, este artículo debe producirse en lotes de 50 unidades. Si se producen más unidades de las que se venden, se puede vender el excedente al 50% de su costo. Cuántas unidades debe producir la compañía J.R, para maximizar su utilidad esperada?


La matriz de utilidades Para este problema, los eventos se pueden definir como los diferentes niveles de demanda. Las acciones o alternativas, estarán compuestas por los niveles de producción, los cuales van desde 100 hasta 300 unidades.

Alternativas Eventos 100 150 200 250 300 Pi

100 40.000 42.500 41.500 40.500 42.000 0.25 150 40.000 81.000 81.750 82.000 84.750 0.35 200 40.000 81.000 122.000 123.500 127.500 0.10 250 40.000 81.000 122.000 165.000 170.250 0.15 300 40.000 81.000 122.000 165.000 213.000 0.15 UE 40.000 71.375 87.787 100.675 110.400

Para este ejemplo, la alternativa que maximiza la utilidad esperada, corresponde a una producción de 300 unidades.

El concepto del costo de oportunidad esperado (COE) En un sentido muy restringido, el costo de oportunidad se puede definir, como una medida de la cantidad de utilidad que se dejó de percibir por seleccionar una alternativa diferente a aquella que "mejorara" los resultados, para un evento o estado de la naturaleza dado. Esta definición, nos permite inferir que: El costo de oportunidad es cero si se selecciona la "mejor" alternativa para cada evento. Un costo de oportunidad diferente de cero no quiere decir que se haya perdido esa cantidad de dinero, sino que si se hubiera seleccionado la mejor alternativa para ese evento en particular, se habrían obtenido $X adicionales. De acuerdo con esto, el cálculo del costo de oportunidad a partir de una matriz de utilidades, se basa en computar las diferencias entre la utilidad máxima que podría obtenerse en caso de que un evento en particular ocurriera y la ganancia que se obtiene al seleccionar una alternativa diferente de la "mejor", si ocurre el evento de que se trata. A partir de la matriz de utilidad obtenida en el ejercicio anterior, veamos como opera en la práctica este criterio para evaluar alternativas de decisión. Recordemos que en el ejercicio propuesto, las alternativas están representadas por los niveles de producción, y los eventos los representan los niveles de demanda (ventas). De igual forma, en la tabla No. 2 se aprecia que sí el evento: demanda de 130 unidades ocurre, la mejor acción a seguir, es optar por una producción de 130 unidades, por tener un arrepentimiento de cero. Así mismo, la peor acción sería optar por una producción de 100 unidades, puesto que el arrepentimiento en este punto sería de 180 U.S (780-600). De igual forma, si se selecciona la alternativa de 150 unidades, el arrepentimiento sería de 200 U.S, ocasionado por haber producido 20 unidades adicionales. De acuerdo con la definición presentada, la matriz de "arrepentimiento" o costos de oportunidad para este problema es:

Alternativas

Eventos

100 110 120 130 140 150 Pi

100 0 100 200 300 400 500 0.10 110 60 0 100 200 300 400 0.20 120 120 60 0 100 200 300 0.30 130 180 120 60 0 100 200 0.20 140 240 180 120 60 0 100 0.15 150 300 240 180 120 60 0 0.05 UE 135 91 79 115 183 275

En la matriz resultante, podemos notar que la diagonal principal esta compuesta por ceros, y podríamos decir que este resultado es verdadero debido a que la mejor alternativa para tomar una decisión en un momento dado, será el producir un número de unidades igual al que se está demandando, y de esta forma se hace que no "exista" arrepentimiento. Por otro lado, los valores por debajo de la diagonal, representan un arrepentimiento por haber dejado de producir unidades adicionales que ayudarían a aumentar la utilidad; podemos ver como en el ejemplo propuesto estos valores son múltiplos de $6, que corresponde a la utilidad por unidad producida. Por encima de la diagonal los valores son múltiplos de $10 que es el costo por unidad producida, y representan el arrepentimiento por haber producido más unidades de las que se demandan, para un evento en particular. Ahora, de la misma manera como se calculó la utilidad esperada (U.E), se puede calcular el costo de oportunidad esperado (C.O.E) para cada una de las alternativas propuestas, los resultados obtenidos en la última fila de la tabla No.3, permiten inferir que la alternativa de producir 120 unidades, presenta el mínimo costo de oportunidad esperado. Por lo tanto podríamos decir que, a largo plazo es de esperar un arrepentimiento equivalente a dejar de tener una mayor utilidad de $79, sea cual sea el nivel de demanda siempre y cuando se parta del supuesto, que cada período se producen las mismas 120 unidades. Los costos de oportunidad esperados, son una manera equivalente de darle solución a un problema de teoría de decisiones, puesto que se puede establecer como objetivo el maximizar la utilidad esperada o minimizar el costo de oportunidad esperado; vale la pena recordar que para un mismo problema de toma de decisiones, la alternativa con mayor utilidad esperada corresponde a aquella con el mínimo costo de oportunidad esperado.

Ejercicio Para la iluminación de un edificio, se compra una serie de lámparas, las cuales tienen un conector que ocasionalmente necesita ser reemplazado. Si el conector se compra con la lámpara tiene un costo de $100; por otra parte, si no se dispone de los conectores suficientes y uno tiene que ser reemplazado para una falla posterior a la instalación, el costo del ajuste y la pieza requerida será de $120. Basados en las especificaciones del productor, las fallas ocurren de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 1,4 fallas en promedio por unidad de tiempo. Los eventos para este ejercicio, se definen como el número de conectores a requerir en un momento dado, y los cuales de acuerdo con una distribución de Poisson con λ = 1,4, toman los valores entre


cero y cuatro, aproximadamente. Las acciones, están representadas por el número de conectores a comprar (o a mantener en inventario) para una posible falla. Matriz de Costos de Oportunidad

Alternativas Evento

s 0 1 2 3 4 Pi

0 0 100 200 300 400 0.246 1 120 0 100 200 300 0.345 2 240 120 0 100 200 0.242 3 360 240 120 0 100 0.113 4 480 360 240 120 0 0.054

COE 166.08 100.20 110.20 173.48 261.60 De acuerdo con este criterio, la mejor decisión sería la de mantener un conector en inventario, por ser la que minimiza el arrepentimiento.

El concepto del costo de la información adicional Se puede definir este concepto, como la cantidad máxima de dinero que el tomador de decisiones estaría dispuesto a pagar por "conocer con exactitud" el evento o estado de la naturaleza que se materializará en un momento dado. Es así como, si se puede predecir con exactitud el evento que ocurrirá, el tomador de decisiones elegirá aquella alternativa que produce la mayor utilidad. En el ejemplo propuesto, para un nivel de demanda dado, se elegiría la alternativa de producir un número de unidades tal que la utilidad sea la máxima. Supongamos por un momento que se conoce con exactitud que las ventas serán de 110 unidades, si este es el caso entonces, la utilidad máxima ocurrirá cuando se producen 110 unidades; de igual forma si suponemos que las ventas serán de 120 unidades, la utilidad máxima se dará cuando se producen 120 unidades; continuando con este razonamiento para la información suministrada en la tabla No.2, se genera la siguiente información: Utilidad con Certeza (UC)

Demanda Producción

UC

100 100 600 110 110 660 120 120 720 130 130 780 140 140 840 150 150 900

Por otro lado, bajo la hipótesis de que cada evento ocurre durante una fracción de tiempo (el evento de 100 unidades demandadas ocurre el 10% de las veces, el evento de 150 unidades demandadas ocurre el 5% de las veces, etc.), es posible calcular el valor esperado para la utilidad con certeza de la siguiente manera:

∑=

=n

1i

ii P*UC UEC

U.E.C = (600*0.1) + (660*0.2) + (720*0.3) + (780*0.2) + (840*0.15) + (900*0.05) = 735 Esto quiere decir, que si se conociera con anticipación el evento que ocurrirá y si se eligiera cada vez la alternativa de máxima utilidad, se esperaría obtener como máximo una utilidad de $735. Ahora, bajo condiciones de incertidumbre el tomador de decisiones elige la alternativa de producir 120 unidades para de esta manera obtener una utilidad esperada de $656, y bajo condiciones de certeza esperaría una utilidad de $735; podemos entonces concluir que este señor estaría dispuesto a pagar una cantidad de dinero tal que la utilidad esperada con certeza (UEC) fuera igual a la utilidad esperada (UE).

VEIP = UEC - UE = 735 - 656 = 79 Al comparar este resultado con los obtenidos en la matriz de costos de oportunidad (tabla No.3), se puede apreciar que corresponde al mínimo costo de oportunidad esperado; de donde, el costo de la información adicional o valor esperado de la información perfecta (VEIP) es el mismo mínimo costo de oportunidad esperado.

Ejercicio Supóngase que para cierto artículo se tiene un precio de venta de $50 por unidad y que los costos variables sean de $40. Si la distribución de demanda se comporta de acuerdo con la siguiente tabla, determinar: el número de unidades por producir de tal forma que la utilidad esperada sea la máxima, y el valor esperado de la información perfecta.

Demanda 10 11 12 13 14 15 Probabilidad 0.15 0.25 0.15 0.30 0.10 0.05

Eventos: Están compuestos por cada uno de los distintos niveles de demanda Alternativas: Las componen los niveles de producción entre 10 y 15 unidades


Matriz de Utilidades Alternativas

Eventos 10 11 12 13 14 15 Pi UC 10 100 60 20 -20 -60 -100 0.15 100 11 100 110 70 30 -10 -50 0.25 110 12 100 110 120 80 40 0 0.15 120 13 100 110 120 130 90 50 0.30 130 14 100 110 120 130 140 100 0.10 140 15 100 110 120 130 140 150 0.05 150 UE 100 102.5 92.5 75 42.5 5 121

COE 21 18.5 28.5 46 78.5 116 De los resultados obtenidos a partir de la matriz de utilidades, se puede concluir que: La máxima utilidad esperada se presenta cuando se elige la alternativa de producir 11 unidades (UE = $12.5). Si se tiene certeza sobre la demanda, se espera obtener una utilidad de $121 Si se conociera una fuente de información que pudiera predecir con certeza la demanda, se podría pagar por esta información hasta $18.5, de tal forma que la utilidad esperada y la utilidad esperada con certeza fueran iguales; lo que nos lleva a que el mínimo arrepentimiento esperado sucede, cuando se producen 11 unidades

Los árboles de decisión Hasta este punto, los criterios o modelos que se han propuesto para dar solución a determinados problemas de toma de decisiones se han enfocado en términos de una matriz de utilidades o de costos de oportunidad. Una forma de enfocar un problema de decisiones cuando está compuesto por una serie de decisiones secuenciales nos la da un árbol de decisiones, el cual se encuentra compuesto por nodos de decisión, representados por un cuadrado y que dentro del proceso de decisión representan alternativas o acciones, y por nodos probabilísticos, representados por un círculo de donde parten los diferentes eventos o estados de la naturaleza. El árbol de decisión se construye de izquierda a derecha y, de la misma forma se indican los flujos de dinero desde la iniciación hasta obtener la retribución esperada; estos flujos de dinero están representados por lo que percibe (utilidad, ingreso o costo) el tomador de decisiones al llevarse a cabo una situación en particular. De acuerdo con esto, el análisis del árbol de decisiones se realiza en la forma contraria a su construcción (de derecha a izquierda). Para tener una mejor ilustración, se puede pensar que el encargado de tomar la decisión, elige primero una alternativa y luego, asigna los diferentes eventos de los cuales depende el éxito o fracaso de la alternativa seleccionada. A manera de ilustración, supóngase, que usted debe inicialmente decidirse por una de dos acciones (A1 y A2); si selecciona la alternativa A1, pueden ocurrir los eventos B1 y B2; ahora, supongamos que ocurre B1; entonces, usted puede seleccionar una de las alternativas C1, C2 y C3, y al mismo tiempo podemos suponer que cada una de éstas, también pueden llevarnos a un cierto número posible de eventos. Una situación similar podría ocurrir si selecciona la alternativa A2, en lugar de A1. En este orden de ideas, en que el proceso de selección puede repetirse muchas veces, es conveniente representarlo por medio de un árbol de decisiones, como el que aparece en la siguiente figura.

A manera de prototipo, imaginémonos que un señor está considerando la compra de una de tres líneas de producción, representadas como B1, B2 y B3; y además asumamos que la utilidad neta depende de la migración futura de la población dentro de la zona de influencia; por otro lado imaginemos, que con base en los estimativos hechos por los demógrafos existe una probabilidad de 0.4 de que la mayor concentración de población estará en la Zona Central (C1), de 0.35 de que esté en la zona Sur (C2) y de 0.25 de que ocurra en la zona Norte (C3). Empleando una estructura de rendimiento como la que se presenta a continuación, tratemos entonces de determinar la alternativa que maximice la utilidad esperada de nuestro tomador de decisiones. Matriz de Utilidades

Alternativas Eventos B1 B2 B3

C1 55 40 20 C2 35 35 35 C3 30 40 50

Otra forma de representar esta matriz, es por medio de un diagrama de árbol, en donde, los círculos representan nodos aleatorios de donde nacen los eventos o estados de la naturaleza, y los rectángulos o cuadrados muestran los diferentes cursos de acción que tiene quién toma la decisión El diagrama de árbol para el ejercicio en cuestión estaría dado por la siguiente figura:

A1

B2

B1Nodo Estocástico

A2

Nodo de

Decisión

D1

D2

D3

C1

C2

C3

W2

W1

E1

E2

E3

X1

X2

X3

A1

B2

B1Nodo Estocástico

A2

Nodo de

Decisión

D1

D2

D3

C1

C2

C3

W2

W1

E1

E2

E3

X1

X2

X3

B1

P(C1)=0.40

P(C2)=0.35

P(C3)=0.25

B2

B3

P(C1)=0.40

P(C2)=0.35

P(C3)=0.25

P(C1)=0.40

P(C2)=0.35

P(C3)=0.25

$ 55

35

30

55

35

30

55

35

30

Alternativas Eventos Utilidad

$41.75

$41.75

$38.25

$32.75

B1

P(C1)=0.40

P(C2)=0.35

P(C3)=0.25

B2

B3

P(C1)=0.40

P(C2)=0.35

P(C3)=0.25

P(C1)=0.40

P(C2)=0.35

P(C3)=0.25

$ 55

35

30

55

35

30

55

35

30

Alternativas Eventos Utilidad

$41.75

$41.75

$38.25

$32.75


En una primera instancia nos encontramos con tres alternativas posibles, por lo que iniciamos con un nodo decisorio compuesto por tres ramas, y además cada una estas puede interactuar con alguno de los tres eventos descritos. Al final del árbol (lado derecho de la gráfica) se muestran las utilidades (rendimientos), así, la utilidad de $55 ocurrirá si el tomador de decisiones selecciona la alternativa B1 y ocurre el evento C1. Este razonamiento puede ser empleado para las demás trayectorias (combinaciones de eventos y acciones.) Ahora, para determinar la utilidad o rendimiento esperado de un ramal, basta con sumar las utilidades esperadas para esa rama; es así como, para la alternativa C1 la utilidad esperada es:

U.E(B1) = (55*0,4) + (35*0,35) + (30*0,25) = $41,75

Más por conveniencia u organización que por otra cosa, es recomendable colocar los valores de utilidad esperada en la parte superior de los nodos del árbol de decisiones, como se aprecia en la figura, y de esta forma seleccionar la rama (alternativa) cuya utilidad esperada sea la mayor, las ramas que corresponden a alternativas no seleccionadas se "talan" cruzándolas con una línea doble.

Adición de nueva información La nueva información puede ser manejada por el tomador de decisiones con cierta informalidad; esto es, una vez que los resultados de la prueba estén disponibles, se pueden actualizar los estimativos de la administración. Una manera formal de llevar a cabo esta actualización, se basa en el uso de probabilidades condicionales y más frecuentemente en la utilización del Teorema de Bayes. Antes de entrar a analizar este tipo de problemas, se presentará de una manera no muy formal, el concepto de probabilidad condicional y el Teorema de Bayes, con el animo de recordar al lector la mecánica de trabajo de estas probabilidades. Supóngase, que una empresa cuenta con tres máquinas llamadas M1, M2 y M3, donde cada una de las cuales produce 400, 350 y 250 unidades de un artículo respectivamente. Además, supóngase que la máquina M1, tiene una probabilidad de defectuosos del 2%, la máquina M2 del 1,5% y la máquina M3

del 1%. Sería de interés en un momento determinado, usar estas probabilidades para encontrar la probabilidad de que un artículo seleccionado de entre un montón de defectuosos provenga de la máquina M1 o de M2 o de M3.

Máquina Unidades Producidas

Frecuencia P(D/M)

M1 450 0.45 0.020 M2 300 0.30 0.015 M3 250 0.25 0.010

El símbolo P(A/B) representa una probabilidad condicional, y se lee "probabilidad de A dado B". Así, P(D/M1) = 0.02 significa la probabilidad de sacar un artículo defectuoso dado que fue producido por la máquina M1. Esquemáticamente, se puede representar este problema mediante la siguiente figura:

En la cual P(Mi), representa la probabilidad de seleccionar un artículo de la máquina Mi; P(D/Mi), representa la probabilidad de seleccionar un artículo defectuoso de la máquina Mi y P(B/Mi) la probabilidad de seleccionar un artículo bueno de la máquina Mi. En este punto, vale la pena recordar que, con base en los teoremas de probabilidad condicional las siguientes equivalencias se cumplen:

P(A B) P(A B)P(A/B) y P(B/A)

P(B) P(A)

P(Mi D) P(Mi)P(D/Mi)P(Mi/D) para: P(D) 0P(D) P(D)

de donde:

∩ ∩= =

∩= = >

Por otro lado, de acuerdo con el Teorema de descomposición, la P(D), que se conoce como la probabilidad del último evento, estaría dada por:

∑∀

=i

ii ))P(D/MP(M P(D)

Para este ejemplo en particular, se tiene: P(D) = P(M1)P(D/M1) + P(M2)P(D/M2) + P(M3)P(D/M3)

= (0,45*0,02) + (0,3*0,015) + (0,25*0,01) = 0,016

0.15625 0.016

0.01*0.25

P(D)

3)P(M3)P(D/MP(M3/D)

0.28125 0.016

0.015*0.3

P(D)

2)P(M2)P(D/MP(M2/D) 0.5625

0.016

0.02*0.45

P(D)

1)P(M1)P(D/MP(M1/D)

===

======

P(D/M1) = 0.020

P(B/M1) = 0.980

P(D/M2) = 0.015

P(B/M2) = 0.985

P(D/M3) = 0.010

P(B/M3) = 0.990

P(M1) = 0.45

P(M2) = 0.30

P(M3) = 0.25

P(D/M1) = 0.020

P(B/M1) = 0.980

P(D/M2) = 0.015

P(B/M2) = 0.985

P(D/M3) = 0.010

P(B/M3) = 0.990

P(M1) = 0.45

P(M2) = 0.30

P(M3) = 0.25


La información adicional Imaginémonos por un momento que, en una publicación reciente se encuentran los resultados obtenidos por un centro de investigaciones, acerca del comportamiento del mercado en el servicio de asesoría en sistemas, de donde se extracta la siguiente información: P(W1/E1) = 0.8 P(W1/E2) = 0.3 W1 = La investigación reporta que el mercado responde favorablemente. P(W2/E1) = 0.2 P(W2/E2) = 0.7 W2 = La investigación reporta que el mercado responde desfavorablemente. Haciendo uso de esta información es posible construir el siguiente árbol de teoría de decisiones:

Análisis del Árbol de Decisiones La compañía debe hacer uso de la información adicional para de esta forma obtener una utilidad esperada de $93,6. Con un 50% de probabilidades de que el mercado responda favorablemente, debe seleccionar el alquiler de un equipo grande y con un 50% de probabilidades de que el mercado no responda favorablemente, debe seleccionar el alquiler de un equipo pequeño.

Información

adicional

P(E1/W1)=0.64

P(E2/W1)=0.36

P(E1/W1)=0.64

P(E2/W1)=0.36

P(E1/W1)=0.64

P(E2/W1)=0.36

P(E1/W2)=0.16

P(E2/W2)=0.84

P(E1/W2)=0.16

P(E2/W2)=0.84

P(E1/W2)=0.16

P(E2/W2)=0.84

P(E1)=0.4

P(E2)=0.6

P(E1)=0. 4

P(E2)=0.6

P(E)=0.4

P(E2)=0.6

$ 200

- 20

150

20

100

60

$ 200

- 20

150

20

100

60

$ 200

- 20

150

20

100

60

No Información

adicional

$76

$93.6

P(W1)= 0.5

P(W2)= 0.5

$66.4 A1

A2

A3

A1

A2

A3

$120.8

$103.2

$85.6

$120.8

$15.2

$40.8

$66.4$93.6

Información

adicional

P(E1/W1)=0.64

P(E2/W1)=0.36

P(E1/W1)=0.64

P(E2/W1)=0.36

P(E1/W1)=0.64

P(E2/W1)=0.36

P(E1/W1)=0.64

P(E2/W1)=0.36

P(E1/W1)=0.64

P(E2/W1)=0.36

P(E1/W1)=0.64

P(E2/W1)=0.36

P(E1/W2)=0.16

P(E2/W2)=0.84

P(E1/W2)=0.16

P(E2/W2)=0.84

P(E1/W2)=0.16

P(E2/W2)=0.84

P(E1/W2)=0.16

P(E2/W2)=0.84

P(E1/W2)=0.16

P(E2/W2)=0.84

P(E1/W2)=0.16

P(E2/W2)=0.84

P(E1)=0.4

P(E2)=0.6

P(E1)=0.4

P(E2)=0.6

P(E1)=0. 4

P(E2)=0.6

P(E1)=0. 4

P(E2)=0.6

P(E)=0.4

P(E2)=0.6

P(E)=0.4

P(E2)=0.6

$ 200

- 20

150

20

100

60

$ 200

- 20

150

20

100

60

$ 200

- 20

150

20

100

60

No Información

adicional

$76

$93.6

P(W1)= 0.5

P(W2)= 0.5

$66.4 A1

A2

A3

A1

A2

A3

$120.8

$103.2

$85.6

$120.8

$15.2

$40.8

$66.4$93.6

El valor esperado de la información muestral (V.E.I.M) Debido a que toda información adicional tiene un costo para el que la consume, esta compañía puede pensar en contratar los servicios del centro de investigaciones, con el ánimo de obtener unos resultados más confiables acerca del mercado de su producto (servicio de asesorías). Bajo el supuesto de que los nuevos resultados no serán muy variables con relación a los obtenidos en la publicación, la compañía estaría dispuesta a pagar máximo la diferencia entre la utilidad esperada con información muestral y la utilidad esperada sin información, esto es: V.E.I.M = U.E.I.M - U.E = 93.6 - 76 = 17.6 Esto quiere decir, que el costo de la información (adicional) muestral sería de $17.6

El valor esperado de la información perfecta (V.E.I.P) Si la información obtenida del centro de investigaciones fuera 100% confiable, la compañía estaría dispuesta a pagar por ésta un valor tal que la utilidad esperada con certeza (U.E.C) y la utilidad esperada con incertidumbre (U.E) fueran iguales, esto es el mínimo costo de oportunidad esperado.

Matriz de Costos de Oportunidad

Alternativas Eventos A1 A2 A3 Pi

E1 50 100 0 0.4 E2 40 0 80 0.6

COE 48 44 40 Lo cual quiere decir, que con información perfecta se incrementa la utilidad esperada en $40, por lo tanto la compañía estaría dispuesta a pagar como máximo este valor para obtener dicha información.

Un indicador para la eficiencia de la información (E) Debido a que la información perfecta tiene una eficiencia del 100%, la rata de eficiencia de la información muestral no debe ser inferior al:

%44100*40

17.6E 100*

VEIP

VEIME ==∴=


La información muestral debe tener una eficiencia mínima del 44%, para que sea tan eficiente como la información perfecta.

Ejercicio Considere una persona que desea invertir $500.000 en uno de tres posibles planes. La inversión X es un plan de ahorro con un interés anual del 25%; el plan Y es un bono del gobierno con una rentabilidad del 24% anual, y el plan W consiste en acciones, con una rentabilidad variable de acuerdo con la cotización en la bolsa de valores. Esta persona presupone que durante el próximo año el mercado estará flojo con una probabilidad de ocurrencia del 20% y de ser así las acciones perderán el 8%; el mercado estará estable con una probabilidad del 25% y si esto ocurre, las acciones conservarán su precio y con un 55% de posibilidades, el mercado crecerá, con lo cual las acciones se incrementarán en el 60%. Supóngase ahora que esta persona está considerando contratar los servicios de una firma consultora, la cual tiene establecida una tarifa de $40.000 por sus servicios profesionales. De acuerdo con la información histórica, la firma consultora tiene registrado lo que en el pasado ha ocurrido cada vez que han asesorado a un cliente; los últimos registros muestran los resultados de P(W i/Zj).

Estados de la Naturaleza Opinión de los Consultores Malo (Z1) Estable (Z2) Creciente (Z3) W1: Mercado Malo 0.60 0.15 0.05 W2: Mercado Estable 0.30 0.50 0.25 W3: Mercado Creciente 0.10 0.35 0.70

Sea Ai la alternativa de inversión i, definida como: A1 : No invertir A2 : Invertir en el plan X, con una rentabilidad del 25% A3 : Invertir en el plan Y, con una rentabilidad del 24% A4 : Invertir en acciones, con rentabilidad de -8%, 0% y 60% Sea Zj el j-ésimo estado de la naturaleza, definido como: Z1 : Mercado malo, probabilidad de ocurrencia del 20% Z2 : Mercado estable, probabilidad de ocurrencia del 25% Z3 : Mercado creciente, probabilidad de ocurrencia del 55% Matriz de Rentabilidad

Alternativas Estados A1 A2 A3 A4 Pi UC

Z1 0 125 120 -40 0.20 125 Z2 0 125 120 0 0.25 125 Z3 0 125 120 300 0.55 300

VME 0 125 120 157 1.0 221.15 COE 221.25 96.25 101.25 64.25

En esta matriz se puede apreciar que las alternativas A1 y A3 están siendo dominadas por la alternativa A2, ya que desde el punto de vista de maximizar la utilidad, ninguna persona preferiría no ganar o ganarse $120, en lugar de ganarse $125 seguros; debido a esto, dichas alternativas no se tienen en cuenta para el análisis del problema. Cálculo de las probabilidades a posterior: 1. Cuáles probabilidades conocemos del problema?

P(W i/Zj) Z1 Z2 Z3 W1 0.6 0.15 0.05 W2 0.3 0.50 0.25 W3 0.1 0.35 0.70 P(Z) 0.2 0.25 0.55

2. A partir de lo conocido es posible llegar a lo desconocido mediante el siguiente planteamiento:

P(Z)*P(W/Z)Z)P(W )Z(P

)ZW(P)Z/W(P =∩→

∩=

con esta explicación se puede obtener la matriz de probabilidad conjunta, que cuenta dentro de sus propiedades encontrar las probabilidades marginales mediante la suma de las probabilidades por fila y por columna:

P(W∩Z) Z1 Z2 Z3 P(W) W1 0.120 0.038 0.028 0.185 W2 0.060 0.125 0.138 0.323 W3 0.020 0.088 0.385 0.493 P(Z) 0.200 0.250 0.550

El desarrollo anterior permite inferir la siguiente expresión para evaluar las probabilidades

condicionales a posteriori: )W(P

)WZ(P)W/Z(P

∩= que se requieren para el análisis y los cálculos del

árbol de decisión:

P(Z/W) Z1 Z2 Z3 W1 0.649 0.203 0.149 W2 0.186 0.388 0.426 W3 0.041 0.178 0.782


Este señor debe usar los servicios de consultoría siempre y cuando éstos tengan un valor inferior a $20,89 (VEIM - UE = 177,89 - 157); de ser así, con un 18,5% de probabilidades de que el mercado sea malo debe invertir en el plan X; con un 32.25% de probabilidades de que el mercado sea estable, también debe elegir el plan X; y con el 49.25% de probabilidades de que exista un mercado creciente, debe invertir en acciones, para de esta forma esperar obtener una utilidad bruta de $177,89. De no ser posible contratar los servicios de consultoría por $20,89 o menos, debe invertir en acciones para obtener una utilidad esperada de $157.000. Para concluir esta parte relacionada con algunos de los modelos que tratan los métodos cuantitativos para la toma de decisiones, bastaría con agregar que la razón por la que propongo una presencia permanente de todos y cada uno de estos conceptos, estriba en su trascendencia de estructurar debidamente la conceptualización de la toma de decisiones, en los modelos matemáticos.2

2 Palabras Claves. Bajo la representación del enfoque de Investigación de Operaciones en la toma de decisiones, es

menester tener presente los conceptos de: * Certidumbre * Incertidumbre * Riesgo * Objetivo (meta) * Acciones (alternativas) * Factores controlables * Factores no controlables * Problema * Información * Modelo «representación de la realidad» * Restricciones «limitantes del entorno»

Consultoría

$93.6

P(W1)= 0.185

$177.89

P(Z1/W1)=0.65

P(Z2/W1)=0.20

P(Z3/W1)=0.015

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(Z1/W2)=0.19

P(Z2/W2)=0.39

P(Z3/W2)=0.42

A4

A2$125

$ -40

0

300P(W2)= 0.3225

P(Z1/W3)=0.04

P(Z2/W3)=0.18

P(Z3/W3)=0.78

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(W3)= 0.4925

No Consultoría P(Z1)=0.20

P(Z2)=0.25

P(Z3)=0.55

A4

A2$125

$ -40

0

300$157

$157

$232.4

$232.4

$118.4

$118.4

$125

$-21.5

Consultoría

$93.6

P(W1)= 0.185

$177.89

P(Z1/W1)=0.65

P(Z2/W1)=0.20

P(Z3/W1)=0.015

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(Z1/W1)=0.65

P(Z2/W1)=0.20

P(Z3/W1)=0.015

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(Z1/W2)=0.19

P(Z2/W2)=0.39

P(Z3/W2)=0.42

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(Z1/W2)=0.19

P(Z2/W2)=0.39

P(Z3/W2)=0.42

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(Z1/W2)=0.19

P(Z2/W2)=0.39

P(Z3/W2)=0.42

A4

A2$125

$ -40

0

300P(W2)= 0.3225

P(Z1/W3)=0.04

P(Z2/W3)=0.18

P(Z3/W3)=0.78

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(Z1/W3)=0.04

P(Z2/W3)=0.18

P(Z3/W3)=0.78

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(Z1/W3)=0.04

P(Z2/W3)=0.18

P(Z3/W3)=0.78

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(W3)= 0.4925

No Consultoría P(Z1)=0.20

P(Z2)=0.25

P(Z3)=0.55

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(Z1)=0.20

P(Z2)=0.25

P(Z3)=0.55

A4

A2$125

$ -40

0

300

P(Z1)=0.20

P(Z2)=0.25

P(Z3)=0.55

A4

A2$125

$ -40

0

300$157

$157

$232.4

$232.4

$118.4

$118.4

$125

$-21.5

Ejercicios propuestos 1. El Punto de Equilibrio como herramienta «modelo» de Decisión: Supongamos que una empresa

cualesquiera, tiene la posibilidad de arrendar una máquina, para aumentar su producción y poder así satisfacer una posible demanda extra en el futuro. El costo del arrendamiento será de $4.000.000 y el costo de mantenimiento y funcionamiento de $8.000.000; Sí la demanda esperada supera la capacidad de producción, se estima una utilidad neta de $36.000.000.

Bajo la hipótesis de que el objetivo de esta empresa es el de maximizar el valor monetario de la inversión, ¿cuál deberá ser el valor mínimo de probabilidad asignada al hecho de tener una demanda alta, para decidir favorablemente sobre la opción de arrendar la máquina?

2. Criterios Maximin y Mínimas: Imaginemos por un momento, que dos aerolíneas tratan de

aumentar su participación en el mercado en una ruta especifica, para lo cual se proponen las siguientes estrategias:

A1 – B1: Obsequiar una copa de vino Rioja durante el viaje A2 – B2: Prestar a los pasajeros el servicio de taxi gratuito A3 – B3: Obsequiar un bolígrafo con el logotipo de la empresa Bajo el criterio antes anotado, y con base en los resultados previstos para cada una de las combinaciones de estrategias; ¿cuál opción considera usted debe seguir la empresa A o B?

3. Criterios subjetivos vs Criterios objetivos: Al igual que en los casos anteriores, supongamos que

una compañía de servicios, está estudiando el alquiler de un computador; sin embargo, esta decisión depende en cierto grado de la situación del mercado; por lo que, al evaluar las utilidades marginales para cada tipo de equipo se obtienen los resultados propuestos. ¿Bajo los criterios presentados, qué podríamos concluir al respecto?

Aceptación del Mercado OPCIONES Grande Mediano Pequeño

Alta (S1) 400 250 200 Baja (S2) -100 -50 10

4. Los Árboles de Decisión: Retomando la información del ejercicio 3 y en aras a la simplificación,

supongamos que nuestra compañía solamente tendrá una Alta (S1) o una Baja Aceptación del Mercado (S2), con probabilidades de 0,3 y 0,7 respectivamente. Además, imaginemos que un Centro de Investigaciones publica los resultados obtenidos a partir de un estudio sobre el comportamiento de la demanda del producto de que se trata, de donde podemos extraer que el mercado responde favorablemente (I1) o que este responde desfavorablemente (I2) a partir de los resultados propuestos por la investigación, con valores de probabilidad como se muestran a continuación:

P(I1/S1) = 0,8 P(I2/S1) = 0,2 P(I1/S2) = 0,1 P(I2/S2) = 0,9


A partir de la información adicional qué podríamos concluir? investigación reporta 5. La historia de Juana y los Árboles de Decisión: Juana estuvo siempre muy cerca de su abuelo.

Incluso la gente decía que se parecían. Estando en buena posición financiera, el abuelo de Juana abrió un fondo fideicomiso que Juana recibiría cuando cumpliera 25 años. Juana acaba de celebrar su vigésimo quinto aniversario y ha recibido $200.000.000 del fideicomiso que puso su abuelo

Juana ha usado parte del dinero para financiar un viaje a San Andrés, y estando allí, piensa que puede invertir el resto del dinero en un apartamento; Ella usará el apartamento parte del año y el resto del tiempo lo alquilará. Existe un edificio de apartamentos por el que Juana se interesa en particular y con un horizonte de planeación a mediano plazo «5 años», Juana piensa que podría recibir $40 ó $50 millones con probabilidades de 0.6 y 0.4 respectivamente, considerando los ingresos por renta, valorización de la inversión, impuestos, etc. Un viaje que Juana tiene planeado para la Florida, está complicando su decisión, pues ahora también se interesa por comprar un apartamento en uno de los condominios que existen en esa ciudad, pero no tiene suficiente dinero para invertir en ambos lugares. Juana piensa que si espera hasta después de su viaje a Florida, existe sólo un 50% de posibilidades de que el apartamento en San Andrés esté disponible; ahora, sí resulta que la propiedad de San Andrés no está disponible, sencillamente comprará algo en Florida, pero si la propiedad en San Andrés todavía está disponible, piensa que existe una probabilidad del 60% de poder comprarla más barata, y esto aumentaría su rendimiento neto en $1.000.000. Para tener más conocimiento sobre los rendimientos posibles de una inversión en Florida Juana llama a su agente de bienes raíces en USA, y basándose en su conversación Juana estima que puede haber rendimientos de $20.000.000, $40.000.000 ó $60.000.000 con probabilidades respectivas de 0.4, 0.4 y 0.2 en el mismo horizonte de planeación de los cinco años. ¿Cuál considera usted debe ser la decisión que debe tomar Juana?

6. Una inversión y los Árboles de Decisión: Considere una persona que desea invertir $1.000.000 en uno de tres posibles planes: La inversión A, es un plan de ahorro con un interés del 26%; el plan B, es un bono del gobierno con una rentabilidad del 23% anual y el plan C, consiste en acciones con una rentabilidad variable de acuerdo con las fluctuaciones el mercado bursátil. Este señor presupone que si el mercado esta flojo, durante el próximo año las acciones perderán el 5%, si el mercado es estable, las acciones conservarán su precio y si el mercado crece, subirán el 70%

Alternativas de inversión Estados de la Naturaleza Al = No invertir S1 = Mercado Flojo A2 = Invertir en plan A S2 = Mercado Estable A3 = Invertir en plan B S3 = Mercado Creciente A4 = Invertir en plan C

Matriz de rentabilidad ACCIONES

EVENTOS A1 A2 A3 A4 Pi S1 $0 $260 $230 -$50 0,25 S2 $0 260 230 0 0,25 S3 $0 260 230 700 0,50

Supongamos ahora que nuestro inversionista, está considerando el contratar los servicios de una firma consultora para disminuir el riesgo sobre su inversión, en la medida que por $40.000 la empresa consultora le puede dar cierta información sobre el comportamiento del mercado de acciones.

Se tiene registrado lo que en el pasado ha ocurrido cada vez que la firma consultora ha asesorado a un cliente; y los resultados de estas observaciones son los siguientes:

Matriz de Probabilidades: P(Xi/Sj)

Opinión de la Firma Consultora Estado de la Naturaleza S1 S2 S3

X1 0,60 0,15 0,05 X2 0,30 0,50 0,25 X3 0,10 0,35 0,70

7. Los Costos de Oportunidad: Para la iluminación de un edificio se compra una serie de lámparas,

las cuales tienen un conector que ocasionalmente necesita ser reemplazado. Si el conector se compra con la lámpara tiene un costo de $1.000; por otro lado, si usted no dispone de suficientes conectores y uno tiene que ser reemplazado para una falla posterior a la instalación, el costo del ajuste y la pieza requerida será de $1200.

Basados en las especificaciones del productor, las fallas ocurren aleatoriamente de acuerdo con la siguiente distribución de probabilidad.

Fallas 0 1 2 3 4 Probabilidad 0,67 0,27 0,05 0,07 0,003

8. El Teorema de Bayes y los Árboles de Decisión: Considere un inversionista que debe decidir si

perforar o no un pozo de petróleo en cierta zona del país. Él tiene incertidumbre acerca del estado del terreno, por lo que éste puede estar: seco (θ1), húmedo (θ2) o empapado (θ3); pero de acuerdo con sus conocimientos en esta materia, asigna las siguientes probabilidades a cada uno de estos eventos: P(θ1)=0,5 P(θ2)=0,3 P(θ3)=0,2

El costo de perforación se estima en 70.000 US. Sí se juzga que el pozo está empapado los ingresos podrían ascender a 270.000 US, pero sí el pozo está húmedo estos serían de 120.000 US. Por 10.000 US el inversionista puede contratar un estudio basado en sondeos sísmicos, que le ayudaría a determinar la estructura geológica del terreno; las ondas sísmicas revelarán si el terreno tiene: � Ninguna estructura (Z1) esto es, un terreno no apto para encontrar petróleo

� Estructura abierta (Z2) un terreno más bien regular para obtener petróleo

� Estructura cerrada (Z3) un terreno realmente prometedor para encontrar petróleo En el pasado, las excavaciones en pozos de petróleo que han estado bajo una cualquiera de estas estructuras, han tenido la siguiente distribución de probabilidades en los resultados de las pruebas sísmicas:


Resultados de las pruebas sísmicas: P(Zj/θi)

Tipo de Pozo Z1 Z2 Z3 θ1: seco 0,6 0,3 0,1 θ2: húmedo 0,3 0,4 0,3 θ3: empapado 0,1 0,4 0,5

En caso de que usted fuera el inversionista qué decisión tomaría? Perforaría el pozo inmediatamente o más bien llevaría a cabo el estudio basado en sondeos sísmicos? Y de ser así, qué acciones tomaría para cada resultado del sondeo sísmico?

9. Se programa un carnaval para realizarlo en Monteria durante las festividades del 20 de enero.

Las utilidades que se obtengan dependen en gran parte del estado del tiempo; en particular, si el tiempo es lluvioso el carnaval pierde $25.000.000; si está nublado pierde $15.000.000, y si hay sol se obtiene una utilidad de $100.000.000. El carnaval tiene que montar equipo para su espectáculo, pero puede cancelar éste antes de efectuar el montaje, esta acción produce una pérdida de $10.000.000; además, incurriendo en un costo adicional de $1.000.000, el carnaval puede posponer su decisión de hacer el montaje hasta el día anterior a la ejecución programada del espectáculo, en esta ocasión se puede obtener el boletín meteorológico local.

La oficina meteorológica ha recopilado datos basados en sus predicciones, como aparecen en la tabla adjunta: P(Zi/Wj); se cuenta además con información a priori sobre el estado del tiempo, en particular las probabilidades de lluvia, nubes y sol son 0.1; 0.3 y 0.6 respectivamente. Si usted fuera el gerente del carnaval que decisión tomaría?

Estado Real del Tiempo Prob. del Pronóstico Lluvia (W1) Nublado (W2) Sol (W3) Lluvia (Z1) 0,7 0,2 0,1 Nublado (Z2) 0,2 0,6 0,2 Sol(Z3) 0,1 0,2 0,7

10. La compañía AUTOS S.A. para venta de automóviles fue creada recientemente; su activo

principal es una franquicia para vender carros de un fabricante Americano. El gerente general de AUTOS S.A. está planeando el personal del taller de repuestos para lo que se provee de la información suministrada por el fabricante y de amigos que están en el mismo negocio; sus estimaciones sobre el número de horas anuales de servicios mecánicos que probablemente requerirá el taller son:

Horas 10.000 12.000 14.000 16.000 Frecuencia: Pi

0,2 0,3 0,4 0,1

La situación económica y el deseo de generar empleo en el país, le llevan a considerar un salario integral del orden de los $3.500 por hora, bajo el supuesto que cada mecánico trabajara durante 40 horas a la semana y 50 semanas al año, además de un período de vacaciones de dos semanas por año trabajado; un estudio no muy exhaustivo del mercado le ha permitido estimar un promedio de ingresos de $4.600 por hora trabajada.

Con base en la información suministrada, cuántos mecánicos diría usted que se deben contratar si el objetivo se centra en minimizar los costos de oportunidad? Cuánto cree usted que debe pagar la compañía para obtener más información sobre el número de mecánicos que se necesitan?

11. Usted está construyendo una casa de campo y tiene que excavar un pozo de agua, la compañía

Perforaciones S.A. le cobra $10.000.000 sin importar la profundidad que hay que excavar; Pozuelos Ltda. por el contrario cobra $650.000 por cada sección de 20 pies de tubo utilizado en el trabajo. Luego de conversar con la gente del área, usted llega a las siguientes conclusiones:

Profundidad de la excavación Probabilidad

E1: 0 – 20 pies 0,30 E2: 20 – 40 pies 0,50 E3: 40 – 60 pies 0,20

Por $250.000, un hidrólogo del estado vendrá al sitio y le dará una estimación sobre la profundidad donde probablemente encontrará el agua, y aunque el hidrólogo no siempre tiene la razón su tasa de éxito puede resumirse en la tabla que aparece a continuación, en la que las probabilidades se interpretan como: P(estimación/profundidad). Además, hay certeza de encontrar agua antes de los 60 pies.

Estimaciones del Hidrólogo Profundidad de la excavación H1: 0 - 20 H2: 20 - 40 H3: 40 – 60

E3: 0 – 20 pies 0,50 0,50 0,00 E2: 20 – 40 pies 0,30 0,40 0,30 E1: 40 – 60 pies 0,20 0,10 0,70

12. La compañía Fantasía, produce algunos artículos que vende durante la época de Navidad. Cierto

artículo de interés se vende a un precio unitario de $3.000 y la Gerencia de Ventas tiene estimada la siguiente distribución de demanda:

Ventas (und) 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 Probabilidad 0,1 0,4 0,3 0,1 0,1

El costo unitario de producir este artículo, varía de acuerdo al número de unidades producidas, como sigue:

Producción (und) 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 Costo (und) $180 $140 $116 $100 $88

Por razones económicas, este artículo debe ser producido en lotes de 500 unidades y si se producen más unidades de las que se venden se pueden vender hasta 1.000 unidades del excedente a un precio unitario de $150. Después de pasada la época de Navidad, si aún sobran unidades, carecen de todo valor y no se venden a ningún precio. ¿Qué‚ haría usted como Gerente de Ventas de la Fantasía?


13. Para la iluminación de un edificio se compra una serie de lámparas, las cuales tienen un conector que ocasionalmente necesita ser reemplazado. Si el conector se compra con la lámpara tiene un costo de $1.000; por otro lado, si usted no dispone de suficientes conectores y uno tiene que ser reemplazado para una falla posterior a la instalación, el costo del ajuste y la pieza requerida será de $1200.

Basados en las especificaciones del productor, las fallas ocurren aleatoriamente de acuerdo con la siguiente distribución de probabilidad.

Fallas 0 1 2 3 4 Probabilidad 0,67 0,27 0,05 0,07 0,003

14. La conservación de energía es más tangible cuando en el plazo inmediato se experimenta ahorro

monetario en el uso de esta.

Sin embargo, los artículos de menor consumo de energía usualmente son más caros y el costo adicional no se compensa con el ahorro monetario derivado de su uso en el corto plazo. Es por esto que muchas personas no se deciden a hacer el gasto adicional que representa la compra de estos artículos. La empresa de energía de una ciudad está considerando ofrecer a los usuarios unos relojes que conectados al calentador de agua, disminuyan el consumo de energía por recortes nocturnos. La empresa de energía pagar $30.000 por cada reloj y planea venderlo a $45.000. Luego de un cuidadoso análisis, la empresa ha establecido la siguiente distribución de demanda:

Demanda (und) 50 60 70 80 90 Probabilidad 0,15 0,25 0,35 0,20 0,05

• Si los relojes no vendidos se consideran pérdida, cuál debe ser la decisión de la empresa

• Si los relojes no vendidos pudieran regresarse a cambio de un reembolso total, cuál debe ser la decisión de la empresa

15. El Jefe de Compras para el departamento de carnes de un supermercado, está tratando de

determinar el número de pavos que debe ordenar para las dos semanas previas al día de la madre. Tradicionalmente, la demanda ha sido bastante alta durante el período anterior a la fiesta y el Jefe de Compras desea sacar ventaja de ello. Desafortunadamente, durante las dos semanas posteriores a esta fecha, la demanda por pavos es muy baja, hasta que vuelve a subir algo, para el día del padre. No obstante, los pavos son congelados y su daño no es problema, el supermercado simplemente no tiene el espacio para almacenar los pavos no vendidos sin afectar otros comestibles lucrativos. El estimado del Jefe de Compras sobre las ventas probables es el siguiente:

Libras 12.000 12.500 13.000 13.500 14.000 14.500 Probabilidad 0,17 0,22 0,28 0,16 0,11 0,06

El Jefe de Compras planea vender los pavos a un promedio de $590 la libra, con un costo de $500 por libra.

� Cuál es el máximo que el Jefe de Compras podría perder sobre las ventas de pavos si comprara el rango entre 12.000 y 12.500 libras?

� Cuál sería el número de libras a comprar, si el objetivo es el de minimizar el arrepentimiento? 16. Un restaurante especializado en comida de mar vende langostas que son compradas a una

pesquera de las Islas de San Bernardo. De las ventas pasadas el restaurante ha determinado las siguientes probabilidades para la demanda diaria de langostas:

Demanda diaria

10 20 30 40 50

Probabilidad 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2

Las langostas se compran por $38.000 cada una y se venden a $45.000.

� Debido a que este animal es fácil de descomponer, las langostas no vendidas al final del día, se le venden a una enlatadora a razón del 50% de su costo unitario.

� Adopte un criterio de decisión para determinar el número de langostas a comprar cada día, analizar su decisión.

17. La compañía Trueques S.A. tiene una tierra con posibles yacimientos de petróleo; esta compañía clasifica la tierra en cuatro categorías de acuerdo al número total de barriles que se espera obtener de cada pozo; esto es: un pozo de 500.000 barriles, un pozo de 200.000 barriles, un pozo de 50.000 barriles o un pozo seco. La compañía se ve enfrentada ante la decisión de perforar el pozo, incondicionalmente arrendar el terreno o arrendar el terreno condicionado a un valor que dependa del hallazgo de petróleo. El costo de perforación para un pozo que dé petróleo se estima en $100.000 (U.S) y el costo para un pozo seco seria de $75.000 (U.S). Los pozos que dan petróleo tienen una venta por barril de $1.50 (U.S).

Bajo el contrato de arriendo incondicional, la compañía recibe $45.000 (U.S) por el arriendo del terreno, mientras que bajo el arriendo condicional, la compañía recibe $0.50 (U.S) por cada barril extraído, siempre y cuando el terreno dé 500.000 ó 200.000 barriles. Suponga además que esta compañía ha tenido experiencia con pozos situados en áreas geográficas similares a las de su propiedad y ha concluido lo siguiente: 10% de las perforaciones, dan pozos de 50.000 barriles; 15% de las perforaciones dan pozos de 200.000 barriles; 25% dan pozos de 500.000 barriles y el 50% de estas dan pozos secos. Es posible además que la compañía haga experimentaciones utilizando la técnica de vibraciones sísmicas a un costo de $12.000 (U.S) y la información obtenida le lleva a cuatro posibles clasificaciones sísmicas: (1) Estructura geológica cerrada; (2) Denota que hay una estructura probablemente cerrada; (3) Denota que no hay ninguna estructura; (4) Denota que hay una estructura no cerrada. Basados en experimentaciones pasadas en 100 áreas geológicas similares se recopilo la siguiente información:


Número de Barriles de Petróleo Clasificación Sísmica

500.000 (Z1) 200.000 (Z2) 50.000 (Z3) Cero (Z4)

O1 0,58 0,56 0,46 0,19 O2 0,33 0,19 0,25 0,27 O3 0,08 0,13 0,13 0,31 O4 0,01 0,12 0,16 0,23

Los valores de la tabla anterior se pueden interpretar, como probabilidades condicionales de las lecturas sísmicas dado el posible número de barriles de petróleo encontrado; esto es, P(Oi/Zj).

18. Imagine un producto perecedero con un precio de venta de $10.000 y unos costos de $7.000, que

en el pasado reportara la siguiente distribución de demanda, para cada semana:

Di 7 8 9 10 11 12 13 P(Di) 0.05 0.10 0.15 0.20 0.30 0.15 0.05

Cuántas unidades considera usted se deben comprar semanalmente, si se quiere maximizar la rentabilidad esperada o minimizar los costos de oportunidad esperados?

19. Cierto producto tiene un precio de venta de $5.000 y un costo de $2.000, cuál considera usted

debe ser el inventario a mantener si se desea maximizar el valor monetario esperado, a partir de la distribución de demanda asignada a continuación:

Di 10 11 12 13 P(Di) 0.15 0.20 0.40 0.25

A partir de la alternativa seleccionada, considera usted que aún se justifica mantener un inventario mayor?

Capitulo Matriz de Consecuencias y Arboles

Documents

Transcript of Capitulo Matriz de Consecuencias y Arboles