Arboles Avl

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Unidad IV

Estructuras no lineales de Datos:

rboles AVL

Prof. Domingo Hernndez

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Contenido.

1.- Introduccin.

2.- rboles AVL.

3.- Caractersticas.

4.- Implantacin.

5.- Balaceo.

6.- Algoritmos.

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Estructuras no lineales: rboles AVL

Introduccin

Un rbol binario de bsqueda es un rbol binario en el

cual cada nodo cumple con que todos los nodos de su

subrbol izquierdo son menores que la raz y todos los

nodos del subrbol derecho son mayores que la raz.

Recordamos tambin que el tiempo de las operaciones

sobre un rbol binario de bsqueda son O(log n)

promedio, pero el peor caso es O(n), donde n es el

nmero de elementos.

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Introduccin

La bsqueda de elementos en un rbol binario tiene un costo O(log n) y O(n).

Depende de cmo fue el orden de insercin de los elementos.

Los arboles equilibrados o balanceados surgen para mejorar el rendimiento de las operaciones que

involucren una bsqueda.

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Estructuras no Lineales: rboles AVL

Un ABB en el peor de los casos cualquier

operacin requiere O(n)

9

5 10

3 7

9

7

10

5

3

Introduccin

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Estructuras no Lineales: rboles Equilibrados

Se desea construir rboles que garanticen un

equilibrio. Entre estas estructuras estn:

AVL con una garanta de tiempo de ejecucin

(log n).

Arboles Rojo y Negro. (log n).

Arboles biselados autoajustables (Splay).

Anlisis amortizado para un conjunto de m

operaciones puede ser completada en un

tiempo (m log n).

Introduccin

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Estructuras no Lineales: rboles Equilibrados

Todos los arboles de bsqueda equilibrados son casos

especiales de los rboles binarios de bsqueda.

Tienen la estructura de un ABB.

Obedecen a la propiedad de los ABB. (poseen la

misma estrategia de bsqueda.)

Los rboles equilibrados slo utilizan restricciones

adicionales sobre los ABB.

Introduccin

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Introduccin

Un rbol AVL es un rbol binario de bsqueda que

cumple con la condicin de que la diferencia entre las

alturas de los subrboles de cada uno de sus nodos es,

como mucho 1.

La denominacin de rbol AVL viene dada por los

creadores de tal estructura

(Adelson-Velskii y Landis).

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Estructuras no lineales: rboles Equilibrados AVL

Definicin Formal de rbol AVL

Sea T un rbol binario de bsqueda (ABB) con Ti y

Td siendo sus sub-rboles izquierdo y derecho

respectivamente, tenemos que:

* Si T es vaco, es un rbol AVL

* Si T es un ABB no vaco, es AVL si y slo si:

o Ti y Td son AVL y

o H(Td) H(Ti) = + 1, 0 1 (factor de equilibrio)

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Introduccin

Los rboles AVL, no se tratan de rboles

perfectamente equilibrados, pero s son lo

suficientemente equilibrados como para que su

comportamiento sea lo bastante bueno como para

usarlos donde los ABB no garantizan tiempos de

bsqueda ptimos.

El algoritmo para mantener un rbol AVL

equilibrado se basa en re-equilibrados locales, de

modo que no es necesario explorar todo el rbol

despus de cada insercin o borrado.

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Introduccin

Los AVL son tambin ABB, de modo que mantienen

todas las operaciones que poseen stos.

Las nuevas operaciones son las de equilibrar el

rbol, pero eso se hace como parte de las operaciones

de insertado y borrado.

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Caractersticas de los rboles AVL

*La diferencia entre las alturas de los subrboles

derecho e izquierdo no debe excederse en ms de 1.

*Cada nodo tiene asignado un peso de acuerdo a las

alturas de sus subrboles

*Un nodo tiene un peso de 1 si su subrbol derecho

es ms alto, -1 si su subrbol izquierdo es ms alto

y 0 si las alturas son las mismas.

*La insercin y eliminacin en AVLs es la misma que

en los ABBs slo que tenemos que adicionar el

proceso de balanceo.

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Factor de equilibrio

Cada nodo, adems de la informacin que se pretende

almacenar, debe tener los dos punteros a los rboles

derecho e izquierdo, igual que los rboles binarios de

bsqueda (ABB), y adems el dato que controla el

factor de equilibrio.

El factor de equilibrio es la diferencia entre las

alturas del rbol derecho y el izquierdo:

FE = altura subrbol derecho - altura subrbol

izquierdo;

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template class NodoAVL:

privateNododArb {

friend class arbolAVL;

protected:

int h; // Factor de Equilibrio del nodo

public:

NodoAVL();

NodoAVL(const T& elem);

int H(){return h};

void H(int i);

}

Implantacin de la clase nodo para rboles AVL

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Estructuras no lineales: Operaciones sobre rboles Equilibrados AVL

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Estructuras no lineales: Operaciones sobre rboles Equilibrados AVL

Rotaciones:

Una propiedad que comparten todas las estructuras de

datos de rboles de bsqueda equilibrados, es que con

el fin de satisfacer sus diferentes restricciones,

reorganizan sus subrboles utilizando rotaciones.

Cada uno de los patrones de rotacin se construyen

usando uno o ms de las operaciones bsicas de

rotaciones.

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Tc

Ta Tb

p

v

Ta

Tc Tb

v

p

Rotar derecha(p)

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Rotacin simple a la Derecha

Rotacin simple a la derecha de un rbol de raz (r) y

de hijos izquierdo (i) y derecho (d), lo que haremos

ser formar un nuevo rbol cuya raz sea la raz del

hijo izquierdo, como hijo izquierdo colocamos el hijo

izquierdo de i (nuestro i) y como hijo derecho

construimos un nuevo rbol que tendr como raz, la

raz del rbol (r), el hijo derecho de i (d) ser el hijo

izquierdo y el hijo derecho ser el hijo derecho del

rbol (d).

Precondicin : Tiene que tener hijo izquierdo no

vaco.

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Rotacin simple a la Derecha

NodoAVL* RotaSimpleDer(NodoAVL* p) {

Assert (p!=0);

Assert(pHizq()!=0);

NodoAVL * q= pHizq();

pHizq(qHder());

qHder(p);

qH(0); // Actualiza FE

pH(0); // Actualiza FE

return q;

}

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Rotacin simple a la Izquierda

Tc

Ta Tb

p

v

Ta

Tc Tb

v

p

Rotar izquierda(v)

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Rotacin simple a la izquierda de un rbol de raz (r) y

de hijos izquierdo (i) y derecho (d), consiste en formar

un nuevo rbol cuya raz sea la raz del hijo derecho,

como hijo derecho colocamos el hijo derecho de d

(nuestro d) y como hijo izquierdo construimos un

nuevo rbol que tendr como raz la raz del rbol (r),

el hijo izquierdo de d ser el hijo derecho (i) y el hijo

izquierdo ser el hijo izquierdo del rbol (i).

Precondicin : Tiene que tener hijo derecho no vaco.

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NodoAVL* RotaSimpleIzq(NodoAVL* p) {

Assert (p!=0);

Assert(pHder()!=0);

NodoAVL * q= pHder();

pHder(qHizq());

qHizq(p);

qH(0); // Actualiza FE

pH(0); // Actualiza FE

return q;

}

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Rotacin doble a la Derecha

La Rotacin doble a la Derecha se utilizar cuando el

sub-rbol izquierdo de un nodo sea 2 unidades ms

alto que el derecho, es decir, cuando el FE= -2 y

adems la raz del sub rbol izquierdo tenga un FE =1,

es decir, cargado a la derecha.

Se hace rotacin simple de Q a la izquierda y

luego rotacin simple de P a la derecha.

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Rotacin doble a la Derecha

La Rotacin doble a la Derecha son dos rotaciones

simples, primero rotacin simple izquierda y luego

rotacin simple derecha.

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Rotacin doble a la Izquierda

La Rotacin doble a la Izquierda se utilizar cuando el

sub-rbol Derecho de un nodo sea 2 unidades ms alto

que el Izquierdo, es decir, cuando el FE= 2 y adems

la raz del sub rbol derecho tenga un FE = -1, es

decir, cargado a la Izquierda.

Se hace rotacin simple de Q a la Derecha y

luego rotacin simple de P a la Izquierda.

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La Rotacin doble a la Izquierda son dos rotaciones

simples, primero rotacin simple derecha y luego

rotacin simple izquierda.

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NodoAVL* RotadobleDI(NodoAVL* p) {

Assert (p!=0);

Assert(pHder()!=0 && pHder()Hizq()!=0);

NodoAVL * q= pHder();

NodoAVL * r= qHizq();

pHder(rHizq());

qHizq(rHder());

rHizq(p);

rHder(q);

if (rH()==0){

qH(0); pH(0); return r;

}

if (rH()==1){

qH(0); pH(-1);}

else{

qH(1); pH(0);

}

rH(0);

return r;

}

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Insercin en un rbol AVL O(log n)

1.- Buscar la posicin a insertar utilizando el

algoritmo de ABB desde la raz hasta insertar la nueva

hoja. O(log n)?

2.- se regresa a la raz modificando la condicin del

equilibrio por el camino (buscar pivote potencia nodo

con +-1).

3.-Si en el camino algn nodo cambia su condicin a

+-2 entonces se rota en ese nodo pasando a tener una

condicin de equilibrio 0 o 1.

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Insercin en un rbol AVL

Si en el camino algn nodo cambia su condicin a +-2

entonces se rota en ese nodo pasando a tener una

condicin de equilibrio 0 o 1.

Si el equilibrio del pivote es:

+2 y el equilibrio del hijo es +1: R simple izquierda.

+2 y el equilibrio del hijo es -1: R doble ID

-2 y el equilibrio del hijo es -1: R simple derecha.

-2 y el equilibrio del hijo es +1: R doble DI.

Mtodo de insercin

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Eliminar 42

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Eliminar 42

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Eliminar 42

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Eliminar 21

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Eliminar 21

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Eliminar 21

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Eliminar en un rbol AVL

Al eliminar un nodo y regresar por el camino de

bsqueda el factor de equilibrio:

Disminuye en 1 si la eliminacin se hizo por la rama derecha.

Incrementa en 1 si la eliminacin se hizo por la rama izquierda.

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Eliminar en un rbol AVL

Se utiliza una variable hh que indica que se ha eliminado un nodo o que el rbol ha perdido altura al reestructurar (rotar) el rbol.

Es necesario dos rutinas de supresin

Equilibrar1: Cuando la altura de la rama izquierda ha disminuido.

Equilibrar2: Cuando la altura de la rama derecha ha disminuido.

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int Equilibrar1(NodoAVL * p; int hh){

NodoAVL * q;

NodoAVL * r;

// Disminuye la rama izquierda

if (p H()==-1)

p H(0);

else

{if (p H()==0){

p H(1);

hh=0;}

else { q=p Hder(); if (q H()>=0){ if (q H()==0) hh=0; // no disminuye de nuevo la altura r=RotaSimpleI(N);} else r=RotaDobleDI(N);} }

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int Equilibrar2(NodoAVL * p; int hh){

NodoAVL * q;

NodoAVL * r;

// Disminuye la rama derecha

if (p H()==1)

p H(0);

else

{if (p H()==0){

p H(-1);

hh=0;}

else { q=p Hizq(); if (q H()

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Mtodo eliminar elemento en rbol AVL

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Creacin , Recorridos , rotaciones y eliminacin de un nodo.

http://c.conclase.net/edd/?cap=008

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