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TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010

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OPERACIONES FINANCIERAS

1. FINANCIACION

La gestión de los recursos económicos y su mejor aplicación es el objetivo de una buena

gestión financiera.

Se entiende por financiación el conjunto de recursos económicos que utiliza una

empresa o familia. En este sentido podemos distinguir dos tipos de financiación:

Financiación interna o autofinanciación: viene generada por las propias

posibilidades de la unidad económica. Ejemplo: retención de los beneficios,

rentas. etc.…

Financiación externa: comprende los recursos captados fuera de la unidad

económica, tanto por cuenta de capital, que comprendería las aportaciones de los

empresarios o socios a la empresa, como mediante las aportaciones de terceros

(prestamos), que es preciso devolver con sus correspondientes intereses en el

tiempo pactado.

Cuando las unidades económicas cuentan con unas fuentes de financiación internas o

ingresos suficientes para cubrir sus gastos, nos encontramos con lo que llamamos

equilibrio presupuestario.

Pero en la mayor parte de las ocasiones este equilibrio no se produce, bien porque los

ingresos son superiores a los gastos (superávit), generando los que conocemos con el

nombre de ahorro, o bien porque los gastos son superiores a los ingresos (déficit),

necesitando los agentes económicos la financiación externa.

La buena gestión financiera se necesita cuando las unidades económicas no tienen

desequilibrio presupuestario. Para lograr la mayor rentabilidad de sus ahorros o el

menor coste de sus prestamos.

2. CONCEPTO DE OPERACIÓN FINANCIERA

Entendemos por operación financiera toda opción encaminada a la sustitución en un

momento determinado de uno o varios capitales por otro u otros equivalentes en

diferentes momentos, aplicando una determinada ley financiera.

La ley financiera es el conjunto de reglas concretas de cálculo. A una operación

financiera se aplica la ley financiera de capitalización simple o la ley financiera de

capitalización compuesta.

En el cálculo de una operación financiera influyen siempre una serie de datos previos

que son:

El tiempo, que vamos a representar con “n”.

El tipo de interés, que es el rendimiento de una operación financiera expresado

en porcentaje y que representaremos con “i” cuando venga expresado en tanto

por 1.


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El criterio de cálculo del interés, incluyendo la ley financiera aplicada al

capital inicial.

Por tanto se puede afirmar que el valor de un capital dependerá de:

El momento de valoración del mismo

El tipo de interés aplicado en la operación

La ley financiera que se use

El valor que tiene el capital en el momento presente se denomina valor actual, y

el que tiene cuando se aplaza su vencimiento se denomina valor final.

El capital valorado en el momento actual recibe el nombre de capital inicial, y

el capital valorado en su vencimiento final se denomina capital final o

montante.

3. ELEMENTO DE UNA OPERACIÓN FINANCIERA

En toda operación financiera debemos tener en cuenta los siguientes elementos:

Origen de la operación financiera: es el momento de disponibilidad en el

tiempo del primer capital.

Fin de la operación financiera: es el momento que coincide con el

vencimiento del último capital.

Duración de la operación financiera: es el periodo de tiempo comprendido

entre el final y el original de la operación financiera.

Acreedor de la operación financiera: es la persona que presta el capital

(prestamista), es decir el que hace la prestación.

Deudor de la operación financiera: es la persona que recibe el capital

(prestatario) y realiza la contraprestación para liquidar la operación

financiera.

Acuerdo de las partes: normalmente toma forma de contrato.

Ley financiera: es la formulación matemática que aceptan las partes

contratantes y que sirven para calcular la contraprestación.

4. CLASIFICACION DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS

Se clasifican atendiendo a diferentes criterios:

Dependiendo de la corteza de la cuantía del vencimiento.

Operaciones financieras ciertas: son aquellas en las que tanto la cuantía

del capital como el vencimiento están determinados desde el principio.

Operaciones financieras aleatorias: son aquellas en que tanto la cantidad

como el vencimiento son aleatorios y por tanto no están determinados de

antemano.


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Dependiendo de la duración de la operación:

Operaciones financieras a corto plazo: son las operaciones financieras

inferior o igual a un año. Se le suele aplicar la ley de capitalización

simple.

Operaciones financieras a largo plazo: son aquellas operaciones

financieras que exceden al año. Se suele aplicar a este tipo de operación

la ley financiera de capitalización compuesta.

Dependiendo de la distribución temporal de los componentes de la

operación.

Operación simple: son aquellas en las que interviene un solo capital

tanto en la prestación como en la contraprestación.

Operaciones compuestas: corresponden a las operaciones financieras

donde la prestación y/o en la contraprestación intervienen varios

capitales con vencimientos distintos.

Dependiendo de la aplicación de la ley financiera.

De capitalización: se caracteriza porque el momento de equivalencia (P)

en el que se van a comparar varios capitales es posterior al vencimiento

del ultimo capital.

De actualización o descuento: son aquellas en las que el momento de

equivalencia es anterior al vencimiento del primer capital.

Operaciones financieras mixtas: son aquellas en las que el momento de

equivalencia se establecen en un momento intermedio entre los

vencimientos de los capitales.

C1=C2

C1 C2 ? De capitalización

n1 n2…………………...p (tiempo)

C1=C2

? C1 C2 De actualización

P n1 n2 (tiempo)


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C1=C2

C1 ? C2 Mixtas

n1 p n2 (tiempo)

5. REGIMENES DE CAPITALIZACION

Toda operación financiera esta sujeta a una determinada ley financiera que se denomina

régimen de capitalización. Existen dos tipos de regimenes de capitalización.

régimen de capitalización simple: se caracteriza porque los intereses que se

generan en cada periodo de tiempo no se cumulan al capital principal. Por lo

tanto los intereses de cada periodo se calculan siempre sobre el capital inicial. Se

suele utilizar en operaciones a corto plazo.

régimen de capitalización compuesta: Se caracteriza porque los intereses que

se generan en cada periodo se acumulan al capital anterior para calcular los

intereses correspondientes al periodo siguiente. Se suele utiliza en operaciones

financieras a largo plazo.

CASOS PRÁCTICOS

CASO PRÁCTICO 2.

Una empresa realiza una inversión por valor de 1000000€, dinero que recibe en

préstamo del banco SH con las siguientes condiciones:

Entrega de 1000000€ en el momento de la firma del contrato y devolución del capital en

4 pagos anuales a interés compuesto, el primero transcurrido un año desde el inicio de la

operación financiera.

1M C1 C2 C3 C4 €

0 1 2 3 4 (años)

Origen de la operación financiera: momento 0

Fin de la operación financiera: momento 4

Acreedor de la operación financiera: Banco SH

Deudor de la operación financiera: la empresa

Duración de la operación: 4 años

Acuerdo entre las partes: contrato del préstamo

Ley financiera: capitalización compuesta


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CASO PRÁCTICO

Un señor a pedido un préstamo de 10000€, la devolución del mismo se harán en 4 pagos

mensuales iguales de 2600€ cada uno, empezando el primero dentro de un mes.

Representación grafica

Clasificación de la operación financiera en las 4 clasificaciones.

10000 2600 2600 2600 2600 (€)

0 1 2 3 4 (meses)

Operación financiera cierta

Corto plazo

Operación compuesta

Se aplicaría la capitalización simple porque es inferior de un año

ACTIVIDADES DEL TEMA 1

111... ¿Qué diferencias existe ente la financiación interna y externa de una empresa?

La financiación interna es la que generamos nosotros mismos, por las propias

posibilidades de la unidad económica y la financiación externa es en la que los recursos

se captan fuera de la unidad económica, mediante la aportación de los empresarios o

mediante la aportación de terceros (prestamos)

222... Enumera las fuentes de financiación de una familia.

Sueldos, rentas, retención de beneficios, premios de lotería ahorro y prestamos.

333... Enumera las fuentes de financiación de una empresa.

Ventas, préstamos que haga, aportación de los socios.

444... Enumera las fuentes de financiación del estado.

Impuestos, prestamos, subvenciones, bonos del estado…

555... ¿Qué datos previos es preciso tener para realizar los cálculos en las operaciones

financieras?

El tiempo, el interés y el criterio de cálculo del interés


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666... Realiza un esquema con los elementos de una operación financiera.

Origen

Fin

Duración

Elementos de una

Operación financiera Acreedor

Deudor

Acuerdo de las partes (contrato)

Ley financiera

777... Elabora un esquema con la clasificación de las operaciones financieras.

888... Pon un ejemplo de una operación financiera aleatoria.

Prestaciones a tipo de interés variable

999... Por un ejemplo de una operación financiera de capitalización.

Prestamos, hipotecas…

111000... Pon un ejemplo de una operación financiera de actualización (descuento)

Descuento de efectos, pagares, letras de cambio…

111111... ¿Cuál es la diferencia entre el régimen de capitalización simple y compuesta?

En la simple los intereses no se acumulan al capital y en la compuesta los intereses si se

acumulan con el capital para calcular los nuevos intereses

CLASIFICACION

DE LAS

OPERACIONES

FINANCIERAS

Dependiendo de la

certeza de la cuantía

y el vencimiento

Dependiendo de la

duración de la

operación

Dependiendo de la

distribución temporal

de los componentes

de la operación

Dependiendo de la

aplicación de la ley

financiera


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111222... Si una familia con unos ingresos de 25000 euros anuales tiene que hacer frente a

unos gastos de 30000 euros al año, ¿cuál es su situación financiera?

Déficit

111333... La familia del caso anterior deberá:

Ir al banco a pedir un préstamo

111444... Una empresa ha vendido mercancías por valor de 30000 euros. El cliente se

compromete a pagar su deuda dentro de un año. Si el interés del mercado (precio

del dinero) es del 6% anual:

El cliente deberá pagar más de 30000 euros para saldar la deuda

111555... En una sociedad con inflación (subida de los precios), el tipo de interés (precio del

dinero) será:

Mayor que 0

111666... Cotas, S.A., desea comprar un nuevo local comercial para ampliar su negocio. Para

ello solicita un préstamo de 100000 euros al banco X, con la condición de

devolución del mismo en tres pagos anuales a interés compuesto. Confecciona la

correspondiente representación gráfica e identifica cada uno de los elementos de la

operación financiera.

100000 C1 C2 C3

0 1 2 3 (años)

Origen: momento 0

Fin: momento 3

Duración: 3 años

Acreedor: Banco X

Deudor: Cotas SA

Acuerdo: contrato de préstamo

Ley de capitalización compuesta

111777... La señora Dolores ha pedido un préstamo de 10000 euros a una entidad financiera,

para financiar la compra de un automóvil, con las siguientes condiciones: la

devolución se hará en seis pagos trimestrales iguales de 2000 euros cada uno,

empezando el cobro del primero dentro de tres meses. Efectúa la correspondiente

representación grafica de la operación financiera y clasifícala atendiendo a los

diferentes criterios estudiados en la unidad.

Préstamo de 10000€

10000 2000 2000 2000 2000 2000 2000

0 1 2 3 4 5 6 (trimestral)


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Operación financiera cierta

Largo plazo

Operación compuesta

Capitalización

EL INTERÉS SIMPLE

1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

Recibe el nombre de capitalización simple la ley financiera según la cuela los intereses

de cada periodo de capitalización no se agregan al capital inicial para hallar los intereses

del periodo siguiente, sino que se calculan siempre sobre el capital inicial (Co).

Si denominamos:

Co: Capital inicial

n: El tiempo que dura la O.F. en años

i: Tipo de interés anual en tanto por 1, que representa la cantidad de dinero que se

obtiene en euros invertido en un año.

I: Interés de un año (Co.i)

It: Interés total, siendo su valor la suma de los intereses de cada periodo.

Cn: Capital final o montante, que es la suma del capital inicial y los intereses totales.

Para calcular el capital final Cn vamos a partir de que conocemos el valor de Co, de n y

de i y sabiendo que It = Co.i y que Cn = Co + It y combinándolas obtenemos:

It = Co.n.i

Cn = Co + Co.n.i =>

Cn = Co + It

=>

A la expresión 1 + n.i se les llama factor de capitalización para la capitalización simple

porque sirve para trasladar capitales de un momento dado a otro posterior.

Representa el capital final o montante que obtendríamos al invertir una unidad

monetaria a un tanto unitario de interés simple anual i durante n periodos anuales.

It = Co.n.i

Cn = Co + It

Cn = Co (1 + n.i)

Gamer

Typewriter

SI


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CALCULO DEL CAPITAL INICIAL O VALOR ACTUAL

Si en una operación financiera conocemos el valor de Cn, de n y de i obtendríamos el

valor de Co por medio de la siguiente expresión:

Cn

n Cn = Co. (1 + n.i) =>

i

=> in

CnCo

.1 => Cn (1 + n.i)

1

A la expresión in.1

1= (1 + n.i)

1 se le denomina factor de actualización para la

capitalización simple y sirve para trasladar capitales de un memento dado a otro

anterior.

Representa el capital inicial de una inversión realizada a un tanto de interés unitario

anual i durante n periodos anuales, cuyo capital final o montante ascendió a una unidad

monetaria.

CALCULO DEL TIPO DE INTERÉS (i)

Si conocemos el valor de Co, Cn y n en una operación financiera, podemos obtener el

valor de i despejando de la siguiente expresión:

Co

Cn i => Cn = Co (1 + n.i) => Cn = Co + Co.n.i =>

I => Cn – Co = Co.n.i => nCo

CoCn

. = i =>

=> nCo

CoCni

.

Gamer

Typewriter

SI

Gamer

Typewriter

Gamer

Typewriter

SI


- 10 -

CALCULO DEL TIEMPO (n)

Si conocemos el valor de Cn, Co y i en una operación financiera, podemos obtener el

valor de n despejando de la siguiente expresión:

Co

Cn n => Cn = Co (1 + n.i) => Cn = Co + Co.n.i =>

I => Cn – Co = Co.n.i => niCo

CoCn

.

=> iCo

CoCnn

.

CALCULO DE LOS INTERESES TOTALES

Si conocemos en una inversión el valor de Co y Cn podremos obtener el interés total

por medio de la siguiente expresión.

Co

Cn

2. RELACION ENTRE EL TIEMPO Y EL TIPO DE INTERÉS

En las formulas planteadas hasta el momento, el tipo de interés y el tiempo han de estar

referidas a periodos homogéneos; así, si se habla de meses, el tiempo vendrá medido en

meses y el tipo será mensual. Lo normal es que el tiempo se mida en meses, días, etc. Y

que el tipo de interés siempre se de en un tanto anual. En este caso se habrá de

transformar el tiempo a la unidad del tanto o buen el tipo a la unidad del tiempo: una

vez realizada esta transformación podremos utilizar las formulas planteadas.

TANTO EQUIVALENTE TANTO PROPORCIONAL

Dos tanto son equivalentes cuando aplicados a un mismo capital durante el mismo

tiempo producen el mismo montante.

RELACION ENTRE EL TIPO DE INTERES ANUAL Y EL DE UN PERIODO FRACCIONADO.

Para establecer esta relación partiremos de:

i: Tanto de interés anual

i)(m: Tanto de interés fraccionado

m: Frecuencia de fraccionamiento

It = Cn - Co

Gamer

Typewriter

SI

Gamer

Typewriter

SI


- 11 -

Cn = Cn)(m

Co (1 + n.i) = Co (1+ n . m . i)(m)

Co (1 + n.i) = Co (1+ n . m . i)(m)

Para darle valor a m habrá que preguntarse ¿ Cuantas unidades de tiempo pequeñas se

contienen en la unidad de tiempo mayor?

El tanto fraccionado ( i)(m) es un tanto proporcional al i anual por lo que se puede

afirmar que los tantos proporcionales en la capitalización simple son también

equivalentes.

Periodos m (Frecuencia de fraccionamiento

del año)

Años 1

Semestres 2

Cuatrimestres 3

Trimestres 4

Meses 12

Semanas 52

Días (años civil) 365

Días (año comercial) 360

EL AÑO COMERCIAL Y EL AÑO CIVIL

El año comercial es el que tiene exclusivamente una utilidad comercial. Su uso ha

facilitado el cálculo en operaciones financieras con consecuencia de tomar meses de 30

días.

Al existir el año civil y el comercial el problema que se plantea es de hacer los cálculos

siguiendo uno u otros caminos los intereses varían mostrando una diferencia.

Si llamamos I 365 a los intereses obtenidos aplicando el año civil o natural e I 360 a los

intereses obtenidos aplicando el año comercial resulta:

i = i)(m. m

i)(m=

m

i


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It = Co.n.i => I 365 = Co . i . 365

)(díasn

I 365

I 360 > I 365

I 360

It = Co.n.i => I 360 = Co . i . 360

)(díasn

Relación por diferencia:

I 360 - I 365 = Co . i . 365

)(díasn - Co . i .

360

)(díasn =

365.360

...360...365 )()( díasdías niConiCo=

=365.360

...5 )(díasniCo:

365365360365365

)(.

72

1.

72

1.

360

5

365

...

360

5IIIII

niCo días

360365360360360

)(.

73

1.

73

1.

365

5

360

...

365

5IIIII

niCo días

Relación por cociente:

72

73

72

73

360

365

365

1360

1

365..

360..

365

360

5:

5:

)(

)(

365

360

I

I

niCo

niCo

I

I

días

días

3. METODOS ABREVIADOS PARA EL CÁLCULO DE LOS INTERESES

Cuando tratamos de obtener el interés total generado por varios capitales distintos con

vencimientos distintos e igual tipo de interés es normal utilizar formulas abreviadas para

facilitar el calculo.

Dados varios capitales C1, C2, C3……….Ch que vencen en los momentos

n1, n2, n3………….nh valorados a un tanto de interés anual i generarán un It igual a:


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C1, C2, C3……….Ch

m

niC

m

niC

m

niC

m

niCIt hh ..

................ 332211

n1, n2, n3………....nh

Sacando factor común m

i

It = m

i. ( C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ……… Ch.nh)

Sabiendo que i

m se le denomina divisor fijo (D). D =

i

m

It = D

1. ( C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ……… Ch.nh)

D

nCIt

h

j jj1.

A los productos de capital por tiempo “C.n” se les denomina número comerciales.

4. INTERESES ANTICIPADOS

En algunas operaciones financieras el prestamista cobra los intereses por adelantado, es

decir en el momento en que tiene lugar la operación que a de producirlos. Para ello

aplica un tipo de interés ia sobre el capital final Cn (nominal) para obtener el efectivo

(Co) de la operación.

El interés por anticipado se calcularía mediante la siguiente expresión.

RELACION ENTRE EL TIPO DE INTERÉS POR ANTICIPADO Y EL TIPO POR VENCIDO

Para plantear dicha operación debemos suponer que el interés total obtenido por vencido

sea igual al interés total obtenido por anticipado.

It (por vencido) = It (por anticipado)

Ya sabemos que It = Cn – Co y que por tanto si despejamos Co; Co = Cn – It.

Si sustituimos It en dicha operación, por anticipado tendríamos:

Co = Cn – Co . ia . n

It = Cn . ia . n


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Aplicando la igualdad entre los intereses por vencidos y los intereses por anticipado

obtendríamos:

It(v) = It(a) => Co . n . i = C . n . ia

Sustituyendo Co.

(Cn – Cn . ia . n) i . n = Cn . n . ia =>

Cn (1 – ia . n) i = Cn . ia =>

(1 – ia . n) . i = ia =>

ia = i – ia . n . i =>

i = ia + ia . n . i =>

i = ia (1+ n . i) =>

CASOS PRACTICOS

CASO PRACTICO 1

Calcula el montante que se obtendrá mediante la inversión de un capital de 70000 euros

al cabo de tres años si se aplica un 4’25% de interés anual. Capitalización simple.

Cn: ?

Co: 70000€ Cn = Co (1 + n.i)

n: 3 años Cn = 70000 (1 + 3 . 0’ 0425)

i: 0’0425 anual simple Cn = 78925 €

CASO PRACTICO 2

Se ha recibido una notificación de ingreso en cuenta de 85476’85 euros por una

inversión cuyo importe desconocemos. Si el tipo aplicado fue de un 4’5% anual y la

duración tres años, ¿a cuanto ascendió la inversión inicial?

Cn: 85476’85€ Co = Cn

i: 0’045 1 + n.i

n: 3 años Co = 85476’85

Co: ? 1 + 0’045.3

Co = 75310 €

i = __ ia_____

1 – ia . n

ia = ___i____

1 + n . i


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CASO PRACTICO 6

¿Cuál fue el tipo de interés que se coloco un capital de 8974 euros para que se

obtuvieran al cabo de cinco años unos intereses de 1678’14 euros? interés simple

i: ? It = Co . n . i

Co: 8974€ 1678.14 = 8974 . 5 . i

n: 5 años _1678.14 = i

It: 1678.14€ 8974 . 5

i = 0’0374 => 3’74%

CASO PRACTICO 7

Un capital de 125000 euros ha producido un montante de 142850 euros al cabo de

cuatro años. ¿Cuál ha sido el tipo aplicado? Interés simple.

Co: 125000€ i = __Cn – Co_

Cn: 141850€ Co.n

n: 4 años i = _141850 - 125000

i: ? 125000 . 4

i = 0’0357 => 3’57%

CASO PRACTICO 10

Calcula el montante de un capital de 12000 euros al 5% de interés anual simple,

colocado durante:

a) Cinco semestres.

b) Tres trimestres.

c) 90 días.

Cn: ? a) n: 5 semestres

Co: 1200€

i: 0’05 i)2(= 0’05 = 0’025

2

Cn = Co (1 + n.i)

Cn = 12000 (1 + 5 . 0’025)

Cn = 13500€

b) n: 3 trimestres c) n: 90 días comerciales

i)4(= 0’05 = 0’0125 i

)360(= 0’05

4 360

Cn = Co (1 + n.i) Cn = Co (1 + n.i)

Cn = 12000 (1+ 3 . 0’0125) Cn = 12000 (1 + 90 . 0’05/360)

Cn = 12450€ Cn = 12150€


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CASO PRACTICO 11

Sabiendo que la diferencia entre los intereses calculados comercial y civilmente es de

24’35€, calcula el valor del capital inicial si la operación duro 90 días y aplicó un 4%

anual.

I360 – I365: 24’35€ I360 – I365 = _1_ . I365

Co: ? 72

n: 90 días 24’35 = _1_ . I365

i: 4% = 0’04 72

24’35 . 72 = I365

I365 = 1753’2

I365 = Co . i . n(días)

365

1753’2 = Co . 0’04 . _90_

365

_1753’2 . 365_ = Co

0’04 . 90

Co = 177755€

CASO PRACTICO 12

Si los intereses de un capital son de 1314€, sabiendo que los hemos hallado según el año

civil, ¿ Cuales serán los cálculos comercialmente?

I365: 1314€ _I360_ = _73_

I360: ? I365 72

_I360_ = _73_

1314 72

I360 = _73 . 1314_

72

I360 = 1332’25€


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CASO PRACTICO 13

Utilizando el divisor fijo y los números comerciales, calcula el interés conjunto que

producirán tres capitales de 1977, 8470 y 2294’30 euros sabiendo que el tiempo al que

estuvieron calculados respectivamente fue de 45, 52 y 70 días y que aplicará un tipo del

6% anual simple. Año comercial.

Cj nj (días) Cj . nj

1977 45 88965 D

nCIt

h

j jj1.

8410 52 440440 It = 690006

2294’3 70 160601 6000

It = 115€

i: 6% = 0.06 690006

It: ?

D = i

m

D = 360

0’06

D = 6000

CASO PRACTICO 14

Sabiendo que tres capitales de 100, 200 y 300 euros, colocados a un 4% anual,

produjeron unos intereses de 18’89 euros, calcula lo que correspondió a cada uno si el

primero estuvo colocado la mitad de tiempo que el segundo y el segundo la mitad del

tercero. Año comercial.

Cj n(días) Cj.nj

100 X 100X D

nCIt

h

j jj1.

200 2X 400X

300 4X 1200X 18’89 = _1700X_

9000

i: 4% = 0’04 X = 100 días

It: 18.89€ D = _m_

i

D = _360_ n1 = 100 días It = Co.n.i =>100 . 0’04 . 100 =>

It1 = 1.11€

0’04 360

D = 9000 n2 = 200 días It = Co.n.i =>200 . 0’04 . 200 =>

It2 = 4.44€

360

n3 = 400 días It = Co.n.i =>300 . 0’04 . 400 =>

It3 = 12.22€


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CASO PRÁCTICO 15

A un activo financiero a 6 meses se le aplica un tipo de interés anticipado (ia) del 4.22%

anual.

a) ¿Qué tipo anual por vencido le corresponderá?

b) Calcula el correspondiente a un año de tiempo.

c) Calcula el correspondiente a tres meses de tiempo.

a)

n: 6 meses = 0’5 años i = ___ia___

ia: 4.22% = 0’0422 1 – ia . n

i: ? i = __0’0422___

1 – 0’0422 . 0’5

i = 0’0431 => 4’31%

b)

n: 1 año

ia: 4.22% = 0’0422 i = ___ia___

i: ? 1 – ia . n

i = __0’0422__

1 – 0’0422 . 1

i = 0’04406 => 4’406%

c)

n: 3 meses = 0’25 años

ia: 4.22% = 0’0422 i = ___ia___

i: ? 1 – ia . n

i = __ 0’0422_____

1 – 0’0422 . 0’025

i = 0’04265 => 4’265%

CASO PRÁCTICO INVENTADO

Determina el tiempo de una operación financiera cuyo capital inicial ascendió a 75000€

y su montante a 97500€. El tipo de interés aplicado es 3% simple anual.

Co: 75000€ n = _Cn - Co

Cn: 97500€ Co . i

i: 0’03 n = _97500 - 75000

n: ? 75000 . 0’03

n = 10 años


- 19 -

ACTIVIDADES DEL TEMA 2

111... Halla el capital final que resultara de aplicar un tipo simple del 3’75% anual a un

capital de 19877’24 euros durante cuatro años.

Cn: ? Cn = Co(1 + n.i)

i: 3’75% = 0’0375 Cn = 19877’23 (1 + 4 . 0’0375)

Co: 19877’23€ Cn = 22858’83

n: 4 años

222... Al recibir una notificación referente a una inversión, queremos comprobar su

corrección: para ello contamos con los siguientes datos: una inversión inicial:

112432’22 euros; tipo aplicado: 4’17% anual; tiempo: dos años. Efectúa los

cálculos y especifica la cuantía acumulada. Capitalización simple.

Co: 112432’22€ Cn = Co(1 + n.i)

i: 4’17% = 0’0417 Cn = 112432’22 (1 + 2 . 0’0417)

n: 2 años Cn = 121809’07€

Cn: ?

333... Un comerciante, que deberá entregar dentro de tres años una cantidad de

77420’12 euros, quiere saber de qué capital ha de disponer hoy si espera del

mismo un rendimiento del 4’25% anual a interés simple.

n: 3 años Cn = Co(1 + n.i)

Cn: 77420’12€ 77420’12 = Co (1 + 3 . 0’0425)

i: 4’25% = 0’0425 Co = __77420’12___

Co: ? (1 + 3 . 0’0425)

Co = 68665’29€

444... ¿Qué capital fue el que hizo que sus intereses fueran la mitad del mismo,

sabiendo que el montante generado ascendió a 1237’4 euros?

Co: ? Cn = Co + It

It: Co/2 1237’4 = Co + Co/2

Cn: 1237’4€ 1237’4 = 1’5Co

Co = _1237’4_

1’5

Co = 824’93€


- 20 -

555... La señora Rodríguez desea saber si puede hacer frente a una deuda de 156000

euros que vence dentro de cinco años, con los rendimientos de un capital de

520340 euros sin tener que menguar el mismo. El rendimiento previsto es de un

6% anual a interés simple.

n: 5 años It = Co . n . i

It: ? It = 520340 . 5 . 0’06

Co: 520340€ It = 156102€

i: 6% = 0’06

Si puede, pues los intereses generados son 156102€, cantidad superior a 156000€

666... Calcula los intereses resultantes de una operación en la que a partir de un capital

de 1278’3 euros se obtiene un montante equivalente a un 125% de capital

inicial.

It: ? Cn = Co + It

Co: 1278’3€ 1597’88 = 1278’3 + It

Cn = 125%/Co = 1597’88€ 1597’88 – 1278’3 = It

It = 319’58€

777... Un individuo desea saber que tipo de interés simple fue el que permitió que por

un capital de 224440’75 euros se obtuviera 64775’85 euros de intereses en siete

años. Calcula dicho tipo.

i: ? Cn = Co + It

Co: 224440’75€ Cn = 224440’75 + 64775’85

It: 64775’85€ Cn = 289316’6€

n: 7 años

Cn = Co (1+ n . i)

289316’6 = 224440’75 (1 + 7 . i)

1’29 = 1 + 7 . i

0’29 = 7 . i

i = 0’04123 => 4’123%

888... Sabiendo que el tipo de interés del mercado vigente, a interés simple, es de 5%

anual, ¿le conviene a la señora Pérez cambiar su inversión de 17407’40 euros

por la que le aseguran un montante de 20784’44 euros al cabo de cuatro años?

Co: 17407’40€ Cn = Co (1 + n . i)

Cn: 20784’44€ 20784’44 = 17407’40 (1 + 4 . i)

n: 4 años 1’194 = 1 + 4 . i

0’194 = 4 . i

i = 0’0485 => 4’85%


- 21 -

999... ¿Qué tiempo estuvo colocado un capital de 22000 euros al 0’02 por uno anual, si

los intereses fueron de 4400 euros? interés simple.

n: ? Cn = Co + It

Co: 22000€ Cn = 22000 + 4400

i: 2% = 0’02 Cn = 26400€

It: 4400€

Cn = Co (1 + n . i)

26400 = 22000 (1+ n . 0’02)

1’2 = 1 + n . 0’02

0’2 = n . 0’02

n = 10 años

111000... ¿Cuánto tiempo será necesario para que un capital se transforme en otro cinco

veces mayor a un 8% a interés simple?

n: ? n = _Cn – Co_

Co Co . i

Cn: 5Co n = _5Co – Co_

i: 8% = 0’08 Co . 0’08

n = __ 4Co__

Co . 0’08

n = __4__

0’08

n = 50 años

111111... ¿Cuál será el montante resultante de la inversión de un capital de 71216’75

euros al 6% anual durante:

a) 4 cuatrimestres

b) 17 meses

c) 120 días

Cn: ?

Co: 71216’75€

I: 6% = 0’06

a) 4 cuatrimestres = 4/3 = 1’33 años

Cn = Co (1 + n . i)

Cn = 71216’75 (1 + 1.33 . 0’06)

Cn = 76914’09€

b) 17 meses => 17/12 = 1’4266 años

Cn = Co (1 + n . i)

Cn = 71216’75 (1 + 1’4166 . 0’06)

Cn = 77270’17€


- 22 -

c) 120 días => 120/360 = 0’333333333 años

Cn = Co (1 + n . i)

Cn = 71216’75 (1 + 0’33 . 0’06)

Cn = 72641’09€

111222... ¿Qué intereses generara un capital de 120000 euros a un 6’25% anual durante 42

días?

Co: 120000€ It = Co . n . i

i: 6’25% = 0’0625 It = 120000 . 0’116 . 0’0625

n: 42 días = 42/360 = 0’11666666666 It = 875€

111333... A un capital de 91743’62 euros que ha estado colocado durante un tiempo, se

sabe que se le aplico un 4’74% anual y que la diferencia entre los intereses

calculados comercial y civilmente fue de 9’9285 euros. Calcula dicho tiempo.

Co: 91743’62€ I360 – I365 = _1_ . I360

n: ? 73

i: 4’47% = 0’0447 9’9285 = _ 1_ . I360

I360 – I365 = 9’9285€ 73

9’9285 . 73 = I360

I360 = 724’78€

I360 = _Co . n(dias) . i_

360

724’78 = _91743’62 . 0’0474 . n_

360

n = 60 días

111444... ¿Qué tipo de interés es el que hizo que un capital de 752743’12 euros colocado

durante 73 días generara una diferencia entre los intereses calculados comercial

y civilmente de 148’46 euros?

i: ? I360 – I365 = _1_ . I360

Co: 752743’12€ 73

n: 73 dias 148’46 = _1_ . I360

I360 – I365 = 148’46€ 73

I360 = 10837’58€

I360 = _Co . n(dias) . i_

360

10837’58 = _752743’12 . 73 . i_

360

10837’58 = 152639’12 . i

i = 0’071 = 7’1%


- 23 -

111555... ¿Es posible que los intereses de un mismo capital calculados comercialmente

sean superiores un 10% a los determinados civilmente? Razona la respuesta.

No puede ser, ya que:

_I360_ = _73_

I365 72

111666... ¿Qué tipo de interés aplicado a unos capitales de 12740’22; 22180’10 y 11320

euros colocados durante 30, 60 y 90 días, respectivamente , produjo unos interés

totales de 341’48 euros? Año comercial. Usa números comerciales.

Cj nj (dias) Cj.nj It = _ Cj . nj_

12740’22 30 382206’6 D

22180’10 60 133086 341’48 = _2731812’60_

11320 90 10188000 D

i: ? 2731812’60 D = 7999’92

It: 341’48€

D = _m_

i

7999’92 = _360_

i

i = 0’045 = 4’5%

111777... En un extracto bancario se nos comunica que los números comerciales del

peridodo de liquidación ascienden a 253623900. Si el tipo aplicado en la

operación es de un 0’75% anual, ¿a cuanto ascienden los intereses? Año civil.

Liquidación en dólares USA.

Cj.nj = 253623900 It = _ Cj . nj_

i: 0’0075 D

It = ? It = _253623900_

48666’67

It = 5211’45$

D = _m_

i

D = _365_

0’0075

D = 48666’67


- 24 -

111888... PI, S.A., hace una inversión en letras del Tesoro a un año. ¿Qué cantidad habrá

de entregar por un nominal de 10000 euros si se aplica un tipo por anticipado del

4’15% anual? ¿Cuál será el tipo por vencido?

Cn: 10000€ i = ____ia____

Co: ? 1 – ia . n

ia: 4’15 = 0’0415 i = __0’00415__

iv: ? 1 – 0’0415 . 1

n: 1 año i = 0’0432968 = 4.33%

It = Cn . n . ia Co = Cn - It

It = 10000 . 1 . 0’0415 Co = 10000 - 415

It = 415€ Co = 9585€

EL DESCUENTO SIMPLE

1. EL DESCUENTO

Es frecuente que los acreedores de una operación comercial en la que se utiliza el

crédito acudan a intermediarios financieros con la intención de percibir los cobros

pendientes antes del vencimiento de los mismos. Esta operación recibe el nombre de

descuento y por ella los intermediarios financieros suelen cobrar una cantidad que se

calcula aplicando la ley de capitalización simple, ya que son operaciones inferiores al

año. Además se suelen añadir otra serie de cobros, tales como comisiones, gastos de

correo, etc. Por tanto, la cantidad que percibe el acreedor que ha acudido al descuento

no es la que recibiría si esperara hasta el vencimiento, sino dicha cantidad menos el

descuento y los demás gastos

Matemáticamente, se entiende por descuento simple la operación financiera que

consiste en la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente, siendo

además una operación inversa a la capitalización simple.

Si llamamos:

Co: Efectivo o cantidad adelantada

Cn: Nominal o importe total del cobro que se adelanta.

D: Descuento o diferencia entre el nominal y el efectivo.

En la práctica, el denominado descuento comercial (Dc) es el criterio usado

normalmente para el cálculo.

Al tanto o tipo que se utilice en estas operaciones lo denominaremos tanto de descuento.

D = Cn - Co


- 25 -

2. EL DESCUENTO COMERCIAL

El descuento comercial es aquel cuyo cálculo se realiza a partir del nominal (Cn) de la

operación y aplicando la fórmula para el calculo de intereses.

A) CÁLCULOS POSIBLES

A partir de la formula anterior y despejando cada uno de sus componentes, se

obtendrían las siguientes expresiones:

Cálculo del efectivo en función del nominal

A partir de Dc = Cn – Co y despejando Co resulta:

Co = Cn – Dc

Poniendo el valor del descuento en función del nominal:

Co = Cn – Cn . n . i

y sacando factor común:

Cálculo del nominal en función del efectivo

Despejando Cn de la expresión: Co = Cn (1 – n . i)

Se obtiene:

Calculo del descuento en función del efectivo.

A partir de:

Dc = Cn . n . i

Cn = __Dc__

n . i

n = __Dc__

Cn . i

i = __Dc__

Cn . n

Co = Cn (1 – n . i)

Cn = __Co__

1 – n . i


- 26 -

Dc = Cn – Co

y sustituyendo Cn por su valor en fusión del efectivo:

Dc = __Co__ - Co

1 – n . i

Operando:

Dc = __Co – Co (1 – n . i)_ = __Co – Co + Co . n . i_

1 – n . i 1 – n . i

y resolviendo:

B) OPERACIONES DE DESCUENTO COMERCIAL

El descuento bancario

El descuento bancario es un contrato de préstamo o crédito por el que una entidad

financiera entrega el importe de una letra no vencida, previa deducción de los

descuentos (intereses) y comisiones correspondientes, recibiendo la letra (endoso) para

su cobro en el momento del vencimiento.

Valor líquido = Cn - Dc - Comisiones - Gastos

Comisiones y otros gastos

Las comisiones cobradas por los bancos no son fijas, dependen de las diferentes

entidades y de cada cliente en particular; no obstante, las más habituales son el 4‰ en

caso de letras aceptadas, y el 7‰ en las aceptadas. Ambas cantidades se aplican

siempre sobre el nominal del efecto. En el caso de que los porcentajes no alcancen un

mínimo por letra, es usual aplicar una cantidad mínima.

3. EL DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO

El descuento racional (Dr) es aquel cuyo cálculo se utiliza el valor efectivo (Co), por lo

que:

A) CALCULOS POSIBLES

Dc = __Co . n . i_

1 – n . i

Dr = Co . n . i

Co = _ Dr__

n . i

n = __Dr__

Co . i

i = __Dr__

Co . n


- 27 -

Calculo del descuento en función del nominal (Cn)

En la realidad comercial, las operaciones financieras se ajustan conociendo un nominal

con una fecha determinada de vencimiento, por lo que el valor efectivo se desconoce.

Por tanto, si:

Co = Cn – Dr y Dr = Co . n . i

Entonces:

Dr = (Cn – Dr) . n . i

Desarrollando:

Dr = Cn . n . i – Dr . n . i

Dr + Dr . n . i = Cn . n . i

y agrupando:

Dr (1+ n . i) = Cn . n . i

Despejamos:

Calculo del valor nominal en función del descuento

Despejando Cn de la expresión anterior se obtiene:

Calculo del efectivo en función del nominal

Sustituyendo Dr, por su valor en función del nominal en la expresión:

in

CnC

.10

in

inCD n

r.1

..

in

inDC r

n.

).1(


- 28 -

Resulta: inin

inC

in

in

inC

C n

n

.)..1(

..

.

.1

..

0

Y operando:

4. RELACIÓN ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL RACIONAL.

COMPARACIÓN

Dado que

Dr = Co . n .i y Dc = Cn . n . i,

es evidente que Dc > Dr, pues ambas expresiones tienen los mismos multiplicandos

excepto Cn y Co, y como

Cn > Co

el resultado de Dc, para unos mismos valores, será mayor que el de Dr.

Los descuentos comercial y racional se pueden relacionar entre sí mediante tres métodos

diferentes: diferencia, producto y cociente.

Por diferencia

).1

1.1(..)

.1

11(..

.1

....

in

ininC

ininC

in

inCinCDrDc nn

n

n

inDrDrDcniin

inCn .....1

..

in

inDcDrDc

in

ininCn

.1

..

.1

....

in

CC n

o.1


- 29 -

La diferencia entre el Dc y el Dr es el descuento comercial del descuento racional, así

mismo la diferencia entre Dc y Dr es el descuento racional del descuento comercial.

Por producto

Dc – Dr = Dr . n . i Dc . Dr = Cn . n . i . Dr Dc . Dr = Cn (Dc – Dr)

Dc = Cn . n . i DrDc

DrDcCn

.

Por cociente

ininC

ininC

in

inC

inC

Dr

Dc

n

n

n

n .1..

).1(..

.1

..

..

Despejando resulta:

O también:

Cálculo de n y i a partir de la fórmula:

in

inCD n

r.1

..

Dr (1+n . i) = Cn . n . i Dr (1+n . i) = Cn . n . i

Dr + Dr . n . i = Cn . n . i Dr + Dr . n . i = Cn . n . i

Dr = Cn . n .i – Dr . n . i Dr = Cn . n .i – Dr . n . i

Dr = n (Cn . i – Dr . i) Dr = i (Cn . n – Dr . n)

Dc = Dr (1+ n . i)

in

DcDr

.1

1).1( inDc

iDriCn

Drn

..

nDnC

Dri

rn ..


- 30 -

A) EQUIVALENCIA ENTRE EL TANTO DE DESCUENTO RACIONAL Y EL

TANTO COMERCIAL

Dado un mismo nominal Cn, efectivo, Co y tiempo, el tanto de descuento racional anual

iR, equivalente a otro anual ic de descuento comercial, es aquel que posibilita la

coincidencia de los descuentos, así: Dc = Dr.

Dc = Dr Cn . n . ic = ni

inC

R

rn

.1

..

R

Rc

in

ii

.1

ic (1+iR . n) = iR ic + ic . iR . n = iR ic = iR – ic . iR . n iR (1- ic . n)

EQUIVALENCIA FINANCIERA

1. CAPITALES EQUIVALENTES

Cuando el efectivo actual de un capital es igual al valor actual de otro u otros capitales,

diremos que son equivalentes financieramente.

En la practica mercantil, para hacer los cálculos de equivalencia se utiliza el descuento

comercia, por lo que se produce una alteración de la ley financiera de actualización

simple.

Si una serie de capitales de nominal C1, C2, C3 …, Ch con sus respectivos vencimientos

en n1, n2, n3 …,nh, se desean sustituir por uno equivalente de nominal Cn, con

vencimiento en n, bastará con que la suma del valor actual de los primeros sea igual al

valor de este último, es decir:

Con = Co1 + C02 + C03 + … + C0h

donde el subíndice en primer lugar indica el momento de cálculo de la equivalencia

financiera (en este caso, el momento actual, 0), y el segundo, el momento en que cada

capital respectivo tiene su vencimiento (1, 2, 3, …, h)

Si se recuerda la fórmula que relaciona el valor actual de un capital en función del

nominal en el descuento comercial:

C0 = Cn (1 – n . i)

ni

ii

c

c

R.1


- 31 -

y se sustituye en la expresión anterior, ya que los valores que se conocen son los

nominales:

Cn (1 – n . i) = C1 (1 – n1 . i) + C2 – C2 . n2 . i + … + Ch (1 – nh . i)

Desarrollando:

Cn (1 – n . i) = C1 – C1 . n1 . i + C2 – C2 . n2 . i + … + Ch – Ch . nh . i

Ordenando:

Cn (1- n . i) = C1 + C2 + … + Ch – (C1 . n1 . i) + C2 . n2 . i + … + Ch . nh . i)

Y agrupando:

Cn (1 – n . i) = hj

j

jj

hj

j

j nCiC11

..

Despejando Cn se obtiene:

Expresión que permite calcular el valor del capital con vencimiento en n que puede

sustituir el conjunto de capitales por uno único.

Si el tiempo se midiera en periodos distintos e inferiores al anual, entonces se podrían

simplificar los cálculos mediante el uso del divisor fijo i

mD , por lo que, partiendo de

la expresión:

m

in

nCm

iC

C

hj

j

jj

hj

j

j

n

.1

..11

Y como sabemos que i

mD , resulta que

i

m

D

1.

Sustituyendo en la anterior expresión

in

nCiC

C

hj

j

jj

hj

j

j

n.1

..11


- 32 -

D

in

nCD

iC

C

hj

j

jj

hj

j

j

n

.1

..11

Multiplicando numerador y denominador de esta expresión por D:

2. VENCIMIENTO COMÚN

El vencimiento común es el momento o fecha en que se realiza la sustitución del

conjunto de capitales por uno único.

Se puede obtener n utilizando el divisor fijo a partir de:

(D – n) Cn = D . Cj - Cj . nj

Cn . D – Cn . n = D Cj - Cj . nj

Cn . D - Cj - Cj . nj . n = Cn . n

D(Cn - Cj) + Cj . nj = Cn . n

Y despejando n:

3. VENCIMIENTO MEDIO

Se produce el vencimiento medio cuando la suma del nominal de los capitales a sustituir

es igual al nominal del capital que los sustituye. Por tanto, es un caso particular del

vencimiento común.

Si:

Cn = C1 + C2 + C3 + … + Ch = Cj

Entonces:

n

jjn

C

nCCCDn

.

nD

nCC

C

hj

j

jj

hj

j

j

n

11

..

n

jjjn

C

nCCCDn

..


- 33 -

El valor de n, fecha de sustitución del capital, es independiente del tipo de interés a que

se realice la operación.

A) CASO PARTICULAR DE VENCIMIENTO MEDIO

Cuando todos los capitales que van a ser sustituidos tienen un nominal igual entre sí,

entonces:

C1 = C2 = C3 = … = Ch

Y por tanto:

Cj = Cj . n = Cn

Sustituyendo en la formula del vencimiento medio:

h

n

Ch

nC

C

nCn

jjj

n

jj

1.

..

En donde h representa el número de capitales que van a ser sustituidos.

4. CAPITALES EQUIVALENTES EN DESCUENTO RACIONAL

Partiendo de:

in

CnCo

.1

y aplicando el concepto de capitales equivalente:

C0n = C01 + C02 + C03 + … + C0h

n

jj

C

nCn

.

h

n

n

hj

j

j

1n


- 34 -

Resulta:

in

C

in

C

in

C

in

C

in

Cn

h

h

.1...

.1.1.1.1 3

3

2

2

1

1

Si se despeja para obtener el valor de Cn:

hj

j j

j

in

CinCn

1 .1)..1(

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