1

Capítulo 5

FLEXION BIAXIAL

Supongamos un perfil expuesto a solicitaciones de flexión respecto a dos ejes perpendiculares, tal como indica la figura:

Si numeramos los puntos críticos de tensión del (1) al (4) tenemos, para este perfil:

Luego: ( ) ( )TmyTmx fff +=1 → (tracción máxima)

( ) ( )CmyTmx fff +=2

( ) ( )TmyCmx fff +=3

( ) ( )CmyCmx fff +=4 → (compresión máxima)

Luego, el punto (4) es el de solicitación más desfavorable y que por lo tanto, debe ser considerada para los efectos de diseño.

La capacidad del perfil está limitada, sin embargo, por el volcamiento que puede producirse debido al momento flextor " xm ".

En este caso, para el diseño se utiliza la siguiente fórmula de interacción:

1≤+my

my

mx

mx

Ff

Ff

T

T

C

C

xm ym

mxf

mxf

myf myf

x

y 1 2

3 4

2Donde: mxf = fatiga de trabajo producida por " xm " myf = fatiga de trabajo producida por " ym " mxF = Fatiga admisible a la flexión según el eje x, que considera el

efecto de volcamiento myF = Es la fatiga admisible alrededor del eje y, que en este caso no

incluye volcamiento.

Casos especiales que se presentan en la práctica

I) En este caso, se supone que la flexión producida por H la toma sólo el ala superior .

e

h

(A) (B) (C)

P PP

mt = P e.--

H

H

H = P . eh

P

H

e

CASO II

CASO I

CASO II

El modelo (B) no puede reemplazar al modelo (A), porque el alma resiste muy poco la torsión, por lo tanto, toda la responsabilidad de resistencia de esta torsión se la podemos asignar a las alas, tal como se indica en el modelo (C).

3Ejemplo:

Diseño de una costanera Ubicación "La Serena"

Datos:

( )cmL 1070= ( )cma 112= 333,0=αtg

• Las cerchas se ubicarán cada 6 metros • En la techumbre se utilizará pizarreño de 0,8 mm • Se utilizará un acero A 42-27 ES

1) Análisis de cargas

1.1. Carga Normal Supongamos planchas de 0,8 mm ondulada = 7,5 kg/m2

Supongamos pesos costaneras = 5,5 kg/m2 Luego: Q = 13,0 kg/m2 ∴ ( )mlkgaQq /6,1412,113 =⋅=⋅= ( )mlkgqqx /9,13cos =⋅= α ( )mlkgsenqqy /6,4=⋅= α

L

a

α

yq xq

q

x

x

y

y

α

41.2. Viento:

Para ( )mh 4= ; con campo abierto y costa → presión básica ( )2/70 mkgV =

Barlovento: 4,02,1 −⋅= αsenc (coeficiente de forma) 0208,04,0316,02,1 −=−⋅=c

α - 0,4

viento

1,2 sen α - 0,4

Luego: ( )mlkgaVcv /63,112,1700208,0 −=⋅⋅−=⋅⋅=

Entonces:

Y: ( )

0/63,1

=−==

y

x

vmlkgvv

Luego, la acción combinada de sobrecarga (Q) más viento (V) es: ( ) ( ) ( )mlkgvqp xxx /2,963,19,1375,075,0 =−⋅=+⋅= ( ) ( )mlkgvqp yyy /45,36,475,075,0 =⋅=+⋅= Sotavento:

( )

( )mlkgaVcvc

mkgV

/36,3112,1704,04,0

/70 2

−=⋅⋅−=⋅⋅=−=

=

( )

0/36,31

=−==

y

x

vmlkgvv

Combinación de cargas ( ) ( ) ( )mlkgvqp xxx /1,1336,319,1375,075,0 −=−⋅=+⋅= ( ) ( )mlkgvqp yyy /45,36,475,075,0 =⋅=+⋅=

No controla, pero se necesitan colgadores en x para evitar el volcamiento del ala inferior.

1.3 Montaje : Sea una carga de montaje P = 100 kg

Luego; en la combinación de cargas, debemos considerar:

Eje x - x ( )kgPPx 6,63949,010067,0cos67,0 =⋅⋅=⋅⋅= α ( )mlkgqp xx /3,99,1367,067,0 =⋅=⋅=

5 Eje y - y ( )kgsenPPy 2,21316,010067,067,0 =⋅⋅=⋅⋅= α

( )mlkgqp yy /1,36,467,067,0 =⋅=⋅=

Luego: Para el eje x - x, tenemos las siguientes solicitaciones:

137,3 kg-m

6 m

( )kgPx 6,63=

( )mlkgpx /3,9=

x

x

( )kgVx ( )mkgmx −

59,7

31,8

31,8

59,7

ℓ = 6 m (distancia entre cerchas)

48

2 ll xxx

Ppm +=

( )mkgmx −=⋅

+⋅

= 3,1374

66,638

63,9 2 > ( )mkgqx −=

⋅= 6,62

869,13

8

22l

→ ( )mkgmx −= 3,137 Controla el diseño

6Para el eje y - y →

6 m

( mlkgpy /1,3=( )kgPy 2,21=

∴ ( )mkgPp

m yyy −=

⋅+

⋅=+= 8,45

462,21

861,3

48

22 ll

Prediseño: Fórmula empírica

f

y

f

xx F

mF

mW

⋅+

⋅=

1,06,0

( )34,257,21,0

58,47,26,0

73,13 cmWx =⋅

+⋅

=

Probemos un perfil plegado C 12,5 x 6,65

Características del perfil:

( )( )

( )( )247,8

4,05

5,12

cmA

cmecmB

cmH

=

===

( )( )

( )( )cmrcmrcmW

cmI

a

x

x

x

99,176,4

7,30

1923

4

===

=

( )( )

( )( )cmr

cmr

cmW

cmI

t

y

y

y

20,0

51,1

24,5

4,193

4

=

=

=

=

( )( )

( )( )

( )509

452J1000

6,74j0,754

75,585,2

6

4

cmC

cm

cm

cmrcmx

a

o

o

=

=⋅

===

−=

β

a) Tipo de sección:

6,156,255,104

42502=<=

⋅−=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

fala FeeB

eb

9,1502483,274

441254=<=

⋅−=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

falma FeeH

th

→ Sección compacta

7

b) Cálculo de ml para que no se produzca pandeo lateral torsional.

( )cmF

Cr

f

aa 8,110

4,2199,13,863,86

=⋅⋅

=⋅

=l

( )cmF

Cr

f

tt 2,114

4,212,013701370

=⋅⋅

=⋅⋅

=l

Luego:

Para que no exista P.L.T. ml debe ser menor que el mayor valor entre

al y tl

O sea: ( )cmm 2,114≤l

Pero: 200≤aλ → 200≤=a

ma r

lλ → am r⋅≤ 200l

Para estar dentro de la Norma → no trabajar con mxF muy bajo

∴ ml ≤ 200 · 1,99 = 398 cms → 2 Arriostramientos

Luego probemos con C 12,5 x 6,65 con 2 colgadores en X con arriostramientos cada 2 mts.

8 ∴ Para el eje y - y →

2 m

E , I

2 m

E , I

2 m

E , I

( )kgPy 2,21= ( )mlkgpy /1,3=

K 1 1 1 K' 3/4 1/2 3/4 D 1 3/5 2/5 ME -1,03 1,03 -6,33 6,33 -1,03 1,03 1,03 → 0,52 0 ← 2,87 1,91 → 0 MR 0 4,42 -4,42 4,42 -4,42 0

±∑MR/ℓ -2,21 2,21 0 0 2,21 -2,21

RI 3,1 3,1 13,7 13,7 3,1 3,1 V 0,89 5,31 13,7 13,7 5,31 0,89 Mt 0,13 7,73 0,13 Xt → 0,29 → 1 → 1,71

Tensiones de trabajo :

∴ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== 245,0

7,3073,13

cmton

Wmf

x

xmx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== 2148,0

24,5773,0

cmton

Wm

fy

ymy

Tensiones admisibles

c) Cálculo de myF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=⋅= 262,17,26,06,0

cmtonFF fmy

9d) Cálculo de mxF

d.1 Resistencia al alabeo

5,5274505,10099,1

20011737000=

⋅>===>=

⋅

fa

ma

f FC

rFC l

λ

O sea: f

af F

CF

C ⋅>>

⋅ 745037000 λ

Luego: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−= 2

2

14,11002,113

2cmtonF

CF

F fafa

mλ

OBSERVACION : Si hubieramos considerado sólo un arriostramiento , los resultados son los siguientes :

99,1

300=aλ = 150,7 > 124

O sea: 200 > aλ > 11737000=

⋅

fFC

→ ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅=

⋅= 222 528,0

7,15011200012000

cmtonCF

a

am λ

, que corresponde a

un 48,9% del valor de amF obtenido usando dos arriostramientos.

d.2 Resistencia a la torsión

518140010002,0

200=

⋅>===

ft

mt F

Crl

λ

∴ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅= 284,0840

cmtonCF

t

tm λ

Luego: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== 214,1

cmtonFF a

mmx

Entonces: ..1486,062,1148,0

14,145,0 KO

Ff

Ff

my

my

mx

mx →<=+=+ ¡ Se puede optimizar !

10 Probaremos con un perfil C 10 x 4,48

( )( )( )( )27,5

3,0510

cmA

cmecmB

cmH

=

===

( )( )

( )cmrpequeñomuyFpequeñomuyr

cmW

cmW

a

tt

x

y

99,1

7,17

89,33

3

=−→−=

=

=

a) Tipo de sección

6,156,257,143

32502=<=

⋅−=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

fala FeeB

eb

9,1502483,293

341004=<=

⋅−=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

falma FeeH

th

→ Sección compacta

b) Pandeo local del ala comprimida

3,109,167,142,232,38=>=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛>=

falaf Feb

F

→ 881,00164,0277,1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= fs F

ebQ

Entonces, para no reducir la tensión admisible, se debe cumplir que:

sea

aaa QC

rK

⋅−⋅>= 910425,0lλ

Donde: 11

11===

CKa

∴ 7,80881,0910132425,05,10099,12001

=⋅−⋅⋅>=⋅

=aλ → O.K.

Tensiones de trabajo :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== 2776,0

7,1773,13

cmton

Wmf

x

xmx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== 2199,0

89,3773,0

cmton

Wm

fy

ymy

11Tensiones admisibles : Las tensiones admisibles son las calculadas anteriormente, ya que ambos perfiles tienen el mismo ( )cmra 99,1= , con un tr pequeño.

Luego:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

2

62,1

14,1

cmtonF

cmtonF

my

mx

Ecuación de interacción

..1804,062,1199,0

14,1776,0 KO

Ff

Ff

my

my

mx

mx ⇒<=+=+

c) Verificación de flecha

2001

≤Δl

→ 200600

200=≤Δ

l= 3 cms

Pero: ( ) ..79,21010

600776,010 42

42

KOcmH

fmx →=⋅⋅

=⋅=Δ −−l

d) Verificación del peso del perfil:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== 20,4

12,148,4

mkgpc → O.K.