Cap 02 - Vectores(Casi)

Física Volumen I Capítulo II

A

Definición gráfica de un vector:

Se lee: vector A

AA

En los vectores concurrentes, las líneas de acción, estén cerca o lejos a un punto, pasarán siempre por dicho punto.

Magnitud Vectorial: Son aquellas que para definirse, además de un módulo y una unidad de medida, requieren de una dirección y un sentido.

Vector: Es un ente matemático que sirve para representar una magnitud vectorial.

Partes de un vector

Donde:

A: Módulo o Magnitud, indica el tamaño del vector.: Dirección, es el ángulo de inclinación. : Sentido, indica hacia donde se dirige el vector---: Línea de Acción, línea sobre la cual actúa el vector

Tipos de vectores

1.Vectores Concurrentes (copuntuales):

Julio Ernesto Cafferatta Estefanero 1


En los vectores colineales, se puede observar que todos los vectores presentaran el mismo valor de la dirección, algunos positiva y otros negativa, dependiendo del sentido.

Dos vectores y serán opuestos, siempre que se cumpla la siguiente igualdad para estos.

Dos vectores y serán idénticos, siempre que se cumpla la siguiente igualdad para estos.

Todos aquellos vectores que inciden, salen o sus líneas de acción pasan por un mismo punto.2.Vectores Colineales:

Todos aquellos vectores que se encuentran sobre una misma línea de acción.

3.Vectores Coplanales:

Todos aquellos vectores que se hallen en un mismo plano.

4.Vectores Paralelos:

Todos aquellos que tengan la misma dirección, sin importar el módulo ni el sentido.

5.Vectores Opuestos:

Todos aquellos que tengan sentido contrario y el mismo módulo.

6.Vectores Idénticos:

Julio Ernesto 2


Se dice que por cada vector que existe también existe un vector unitario, por lo que existen infinitos vectores unitarios.

A3 uA1 u

A A= A

X

Y

j

iX

Y

Z

i jk

Los principales vectores unitarios se trazan en cada uno de los ejes coordenados.

Esta descomposición vectorial es llamada descomposición rectangular.

A

Ax

Ay

Para nunca confundirse, tener en cuenta que del eje en el cual nace el ángulo será coseno y el otro eje será la función seno.

A

AyAx

Si: AB

AB

R = A + B

R = A – B

Todos aquellos que tengan el mismo módulo, dirección y sentido.

7.Vectores Unitarios:

Todos aquellos que su módulo sea igual a 1.

*principales vectores unitarios

Descomposición Vectorial:

Donde: Ax = AcosAy = Asen

Además: = Axi + Ayj

A = Ax2 + Ay

2

tan =

Suma de vectores: A la suma de vectores se le llama vector resultante

1. Suma de dos vectores:

a. Vectores colineales o paralelos:

Para este caso, solo nos fijaremos en el sentido de estos, de tener el mismo sentido se sumaran, de tener sentido contrario se restarán.



Si dos vectores forman 0°, su resultante será máxima y de formar 180° será mínima, el valor de la resultante de dos vectores oscila entre estos valores.Rmax > R > Rmin

A A

B

B

a

a

R = a 2a

b

R = a2 +b2

120ºR = a

a

a60º

a

a

R = a 3

60º3k

5k

R = 7k2

R = 2acos a

a

R = k a2 + b2 + 2abcos

k. b

k. a

Para el método del polígono, se deben colocar los vectores en persecución, y la resultante se trazará del principio del primer vector al final del último vector, formando un triángulo y se podrá usar la ley de senos.

Ley de senos o teorema de Lamy

A

BR

b. Vectores con un ángulo entre si:

-Método del paralelogramo:

Matemáticamente, hallaremos el módulo de la resultante con la siguiente expresión:

R = A2 + B2 + 2ABcos*Algunos Casos particulares:

-Método del polígono (Triángulo):

Julio Ernesto 4


Si: AB

AB

D = A – B

D = A + B

B

A

A - BSi dos vectores forman 0°, su diferencia será mínima y de formar 180° será máxima, el valor de la Diferencia de dos vectores oscila entre estos valores.

Dmax > D > Dmin

a

a

D = a 2a

b

D = a2 +b2

2D = 2asen a

a

60ºa

a

R = a

OJO:Los 2 primeros casos particulares, son iguales tanto en la suma como en la diferencia de dos vectores, por ende darán el mismo valor cuando dos vectores formen 90°

R = k a2 + b2 – 2abcos

k. b

k. a

Diferencia de dos Vectores:

a. Vectores colineales o paralelos:

Al ser los vectores colineales o paralelos, solo nos fijaremos en el sentido de estos, y de tener el sentido contrario se sumaran, de ser el mismo sentido se restaran.

b. Vectores con un ángulo entre si:

-Método del paralelogramo:

Gráficamente se puede comprobar la diferencia por persecución de vectores.Para hallar el módulo de la resultante procederemos con la ley de cosenos o teorema Carnot.

A – B = A2 + B2 – 2ABcos

*Casos particulares:



A BC

D

A B C

DR

AB C

D

E

AE D

CB

En el primer esquema vemos que se forma un polígono abierto, en consecuencia si se puede trazar una resultante y esta será diferente de cero.

En el segundo esquema vemos que se forma un polígono abierto, por lo que no se puede trazar una resultante, en este caso la resultante será nula o simplemente igual a cero.

Para no confundir mucho, solo es sumar los números que están con el vector unitario , luego los que tengan y al final los que tengan .

Suma de más de dos vectores:

1. Método del Polígono (Método Gráfico):

Dados varios vectores, procedemos a ponerlos en persecución, uno a continuación de otro, el vector resultante será aquel que se trace desde el inicio del primer vector hasta el final del último vector.

R⃗=A⃗+B⃗+ C⃗+ D⃗

R⃗=0

2. Suma de vectores en función de vectores unitarios:

De darnos dos o más vectores en función de sus vectores unitarios, se procederá a sumar las componentes que correspondan a cada eje.

Si:

. A⃗=A x i⃗+ A y j⃗+A z k⃗

.B⃗=B x i⃗+B y j⃗+B z k⃗

Julio Ernesto 6


Ubicamos todos los vectores desde un mismo origen en un sistema de coordenadas

B

C

A

B

C

A

Ax

Ay

Bx

ByDescomponemos cada vector en los ejes correspondientes (tal como se vio antes en la descomposición vectorial).

CBx Ax

AyBySumamos como vectores colineales, hallando una resultante en cada eje

Calculamos el módulo de la resultante aplicando el teorema de Pitágoras.

Para multiplicar un escalar por un vector, aplicaremos la propiedad distributiva de la multiplicación, repartiendo el escalar en cada uno de los componentes del vector.

Entonces la resultante de A⃗ y B⃗, será:

.R⃗=( A¿¿ x+B x)i⃗+( A y+B y) j⃗+( A z+Bz) k⃗ ¿3. Método por descomposición vectorial:1°

2°

3° R x=A x – Bx

Ry=A y+B y – C

4°

R=√R x2+R y

2

No se descompone “C”, debido a que se halla sobre un eje coordenado.

Productos:

1. Un Escalar con un Vector:

Dado el vector A⃗=A x i⃗+ A y j⃗El escalar “m”



Si: y m = 2

Este producto me dará como resultado un escalar, de allí su nombre.Será máximo si = 0° nulo si = 90°

Cuando los vectores unitarios son iguales, me dará uno y de ser diferentes me dará cero

Aquí se recomienda multiplicar cada componente, con su respectiva componente del otro vector y no entre otras componentes.

Este producto me dará como resultado un vector, el cual se dibuja perpendicular al plano que forman los dos vectores.Será máximo si = 90° nulo si = 0°

En este producto no se cumple la propiedad conmutativa de la multiplicación:

Para calcular el producto cruz, solo debemos calcular la determinante de la matriz mostrada.

Entonces: m A⃗=m Ax i⃗+m A y j⃗

2. Un Vector por otro Vector:

a. Producto Escalar: Conocido como producto punto.

- Si nos dan los módulos y el ángulo que forman, procederemos de la siguiente manera:

|A⃗ ∙ B⃗|=|A||B|cosθ- Para vectores unitarios:

i⃗ ∙ i⃗=1 i⃗ ∙ j⃗=0j⃗ ∙ j⃗=1 j⃗ ∙ k⃗=0k⃗ ∙ k⃗=1 i⃗ ∙ k⃗=0

Si: A⃗=A x i⃗+ A y j⃗+A z k⃗. B⃗=B x i⃗+B y j⃗+B z k⃗. A⃗ ∙ B⃗=( A x x B x )+ ( A y x B y )+(A z x B z)

b. Producto Vectorial: Conocido como producto cruz.

- Si nos dan los módulos y el ángulo que forman, procederemos de la siguiente manera:

|A⃗ X B⃗|=|A||B|Sen θ

- Si: A⃗=A x i⃗+ A y j⃗+A z k⃗ , además

B⃗=B x i⃗+B y j⃗+B z k⃗- Entonces:

A⃗ X B⃗=| i⃗ j⃗ k⃗A x A y A z

Bx By B z|

Julio Ernesto 8


X Solo debemos seguir el sentido de la flecha para multiplicar y será positivo, de seguir un sentido contrario, será negativo.

- Para vectores unitarios:

i⃗ X i⃗=0 j⃗ X j⃗=0 k⃗ X k⃗=0

i⃗ X j⃗=k⃗ j⃗ X k⃗=i⃗ k⃗ X i⃗= j⃗j⃗ X i⃗=− k⃗ k⃗ X j⃗=−i⃗ i⃗ X k⃗=− j⃗


b

a = 7

5 – 2x

7 + x

12 – x

2x

3x – 9

5x + 3

60º

3

5

60º

78

60º

4

4

5

12

10

10

120º

127º10

6

6

360º

37º15

12

5 2

545º

16º

25

24

Física Volumen I Capítulo IIProblemas Propuestos

1. Sabiendo que la resultante de los vectores mostrados es 15. ¿Cuál es el módulo de b?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 10

2. Calcular la resultante del sistema de vectores:

a) -3 b) 5 c) -6 d) 0 e) 4

3. Determinar el valor de x para que la resultante sea: R = 24 ( )

a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) -2

4. Determinar el módulo de la resultante en cada caso:

1º a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

2º a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16

3º a) 16b) 8√3c) 8d) 4√3e) 4

4º a) 11b) 12c) 13d) 17e) 20

5º a) 10b) 20

√3c) 20d) 10

√3e) 15

6º a) 15b) 12c) 10d) 19e) 8

7º a) 3b) 3√3c) 6d) 9e) 4

8º a) 8b) 10

√2c) 13d) 9e) 10

9º a) 5b) 5√3c) 10d) 5√2e) 15

10º a) 9b) 8c) 7d) 6

Julio Ernesto 10

a x

b c

Física Volumen I Capítulo IIe) 5

5. Sean los vectores A = 5 y B = 9 cuya resultante es 4√10. ¿Cuál es el ángulo entre ellos?a) 130º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º

6. Se tienen dos vectores A=8 y B=11. ¿Cuál de los siguientes no puede ser una resultante de ellos?

a) 8 b) 11 c) 13 d) 2 e) 5

7. La resultante máxima de dos vectores es 16 y la mínima es 4. ¿Cuál es el módulo de la menor?

a) 10 b) 6 c) 8 d) 5 e) 3

8. Dos vectores codirigidos tienen una resultante de módulo igual a 14. Al girar 90º a uno de los vectores, su nueva resultante tiene un módulo igual a 10. ¿Cuál es el módulo del mayor de ellos?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

9. Dos vectores forman un ángulo de 120º, el de mayor módulo mide 80 y la resultante es perpendicular al menor. Calcular el módulo de dicha resultante.

a) 20 b) 40 c) 40√3 d) 80 e) 1510. Se tienen dos vectores A y B de módulos 5 y 1. Determinar el ángulo que forman los vectores si el vector resultante forma un ángulo de 8º con el vector de mayor módulo.

a) 45º b) 60º c) 30º d) 53º e) 74º11. Se tienen dos vectores de módulos 5 y 3. Calcular el ángulo entre los vectores, si su resultante forma un ángulo de 37º con el mayor de ellos.

a) 127º b) 90º c) 150º d) 60º e) 16º

12. La resultante máxima de dos vectores es 8 y su resultante mínima es 2. ¿Cuánto valdrá su resultante si los vectores forman un ángulo de 60º?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 813. Se tiene dos vectores que forman una resultante máxima igual a 7 y una resultante mínima igual a 1. Hallar su resultante cuando dichos vectores son perpendiculares.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

14. Dados los vectores X = i + j, Y = 3i – 2j, Z = 5i + 3j; y los escalares m=2, n=-1, p=1. Encuentre el valor de:W = mX + nY + pZ

a) i – 4j b) 4i + 7j c) 4i – jd) 7i + j e) i + 4j

15. Dados los vectores p=2i+7j y q =-i+2j. Hallar la descomposición del vector A=9i+4j en función de los vectores p y q

a) A = 4p – 3q b) A = 2p – 5q c) A = 2p + 5q d) A = 2p – 3qe) A = p – 5q

16. Para el sistema dado, encontrar una expresión vectorial para x en función de a, b y c

a) c – b + ab) b – c + ac) b + c + ad) b + c – ae) – b + c – a

17. Encontrar una expresión vectorial para x en función de a, b y c


–b

c

xa

2b

b x

–ca

a

b

c

a b

d e

c

3B – 2A 3B – x

x

a b

c

ab

cd

5

xb

k

k

A

B

a

c

x

A

B

a b

m3k

k

Física Volumen I Capítulo IIa) a – b – cb) – a + b + cc) – a – b + cd) a + b + ce) a – b – c

18. Determinar una expresión vectorial para x en función de a, b y c

a) c – a + bb) c + a – bc) c + a + bd) c – a – be) – c + a – b

19. Determinar la resultante:a) 2bb) 3ac) 2cd) 2ae) c

20. Determinar la resultante:

a) 2bb) 3cc) 2(e + d)d) 2(a + b)e) 3d

21. Calcular x

a) Bb) A–Bc) Ad) A+Be) – B

22. Encontrar la resultante de:

a) 3cb) 2bc) ad) a – be) 3b

23. Determinar la resultante de:

a) a√2b) a√3c) 2bd) 2ae) 0

24. Identificar el valor de la resultante:

a) 10b) 15c) 30d) 25e) 60

25. La figura muestra un hexágono regular de lado 2. Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

a) 4√3b) 2√3c) 3√3d) 4e) 3

26. Obtener el vector x en función de los vectores A y B.

a) 12

A⃗+ 12

B⃗

b) 23

A⃗+ 12

B⃗

c) 14

A⃗+ 12

B⃗

d) 32

A⃗−14

B⃗

e) No se puede determinar

27. Hallar el vector x en función de los vectores A y B, m es punto medio de ac

a) 12

A⃗+ 34

B⃗

Julio Ernesto 12

45º37º

10 220

14

60º

74º25

20

10 3

30º

37º15

19

5 3

10

53º 37º

20

30

15

45º74º

37º50

A

15

45º

53º60ºB

20 2

16

25

45º

16º

32 9 2

6060º

30

37º

50


b) 13

A⃗+ 14

B⃗

c) 34

A⃗ + 12

B⃗

d) 32

A⃗+ 14

B⃗

e) No se puede determinarEncontrar el módulo de la resultante de los vectores mostrados en cada caso.

28.a) 14b) 12c) 10d) 8e) 6

29. a) 10√11

b) 20 c) 18

√65 d) 40 e) 3

30. a) 13b) 12c) 10

√3d) 8e) 6√3

31. a) 20b) 15c) 10d) 5e) 0

32. Calcular el valor de A para que la resultante sea vertical

a) 3b)√2c) 4

d) 3√2e) 5√2

33. Hallar B para obtener una resultante horizontal

a) 12b) 11c) 15d) 13e) 25

34. Calcular el valor de para que la resultante de los vectores mostrados sea vertical

a) 10ºb) 30ºc) 40ºd) 50ºe) 60º

35. Calcular el valor de para que la resultante sea horizontal.

a) 10ºb) 11ºc) 16ºd) 5ºe) 30º

36. Determinar el módulo del vector A para que la resultante forme +37º con el semieje positivo de las x. Además: B=2√2; C = 7

a) 10ºb) 11ºc) 16ºd) 5ºe) 30º

37. Dados los vectores cuyos módulos son: A=2u, B=3u. Calcular el módulo del vector A⃗−B⃗ .


60º

A

B

y

x

37º

A

B45º

53º

C

D

53º

B2A

B3A2

1cm

1cmd

ba

c

ab60º

50

5 10

21

1105º

15º

25

45º

16º

37º

15 2

Física Volumen I Capítulo IIa) 1ub) – 2 uc)√3 ud) -√5ue) √7u

38. Hallar la magnitud de la suma del sistema de vectores que se muestra en la figura. Las magnitudes de los vectores dados son: A=5u; B=5u; C=√2u, D=10u.

a) 1 ub) 2 u c) 3 ud) 4 ue) 5 u

39. Sabiendo que, |A+2 B|=7 y |2 A+3 B|=15 El módulo de la resultante de |A+B| es:

a) 17 b) 20 c) 31 d) 11 e) 8

40. Calcular el módulo del vector resultante del siguiente sistema de vectores.

a) √17 cmb)√20 cmc)√21 cmd) √13 cme) – √3 cm

41. Determinar el módulo de la suma y diferencia de vectores, si los módulos respectivos son 16 y 8.

a) 24, 24b) 12, 8√3

c) 8√7, 8√3d) 8√7, 8e) 8√3, 8

42. Determinar el ángulo “” para que el módulo de la resultante de fuerzas sea cero.

a) 30ºb) 45ºc) 60ºd) 37ºe) 53º

43. Halle el módulo del vector resultante para los vectores establecidos.

a) √2b) √5c) 2√3d) 2e) √3

44. Los módulos de 2 vectores son 5 y √2 unidades, halle el módulo de la resultante, si estos forman entre sí un ángulo de 82º.

a)√11 b) 5√2 c)√29 d) 5 e) 11

45. Dos fuerzas cuyos módulos son de √2 y 10 forman entre si un ángulo de 8º, determinar el módulo de la fuerza resultante.

a)√130 b) 5√13 c)√10d)√5 e) √26

46. Hallar el módulo del vector suma en cada caso.a) √50b) √58c) √53

Julio Ernesto 14

53º53º

20

24

20

37º53º

5

8

10

25

40

307º

20

40

80

67º

10 8

6

42º

53º45º

a

c

b

37º

35

120ºo

Física Volumen I Capítulo IId) √57e) √51

47.a) 15b) 23c) 17d) 20e) 13

48.a) (5,3)b) (5,2)c) (5,1)d) (2,8)e) (3,-2)49.a) 25b) 75c) 25√3d) 25√5e) 25√7

50.a) 20√7b) 20√5c) 20√2d) 20√3e) 20

51. ¿Qué ángulo forma la resultante de los vectores dados con el eje y?

a) 1ºb) 3ºc) 5ºd) 7ºe) 9º

52. Hallar el módulo del vector resultante (radio = 25)

a) 8√10b) 9√10c) 10√10d) 7√10e) N.A.53. Hallar el módulo del vector a, si se sabe que la resultante de los vectores mostrados es horizontal b = 25; c = 100

a) 80b) 40√2c) 80√2d) 160e) 100√2

54. El vector de la figura es a=(x, 2y+1). Hallar: “x + y”a) 14b) 15c) 16d) 17e) N.A.

55. En una semicircunferencia con centro en “o” y radio “R”, se hallan contenidos 4 vectores, halle el módulo del vector suma.

a) Rb) 2Rc) 3Rd) 4Re) cero

56. Mostramos los vectores espaciales, determine el valor del vector resultante en el cubo de lado 1.

a) 1b) √2c)√3d) √5e) 2


1

1

2

3

45ºx

A

BM

N

AX

A

Bx

AX

B


57. En el diagrama vectorial expresar el módulo del vector resultante.

a) √21b) √17c) √13d) √15e) √19

58. Si para los vectores representados el módulo de la resultante mide (2–√2). ¿Cuántas unidades mide el lado del cuadrado?

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 559. Hallar el vector x en función de los vectores A y B; sabiendo que M y N son puntos medios de sus respectivos lados.

a) A+B

2

b) 13

( A+B )

c)B – A

2

d)A – B

3

e) A3

– B6

60. La figura mostrada es un cuadrado, se pide expresar X en función A y B

a) √2 ( A+B )2

b) √2 ( A – B )2

c) √2 (2 A+B )2

d) √2 (2 A – B )2

e) N.A.

61. Determinar en el cuadrado de la figura el vector x en función de A y B

a) (A + 2B)√2+12

b) (A – 2B)√2 – 12

c) (A + B)√2 – 12

d) (A – B)√2 –12

e) N.A.

62. Hallar el vector x en función de los vectores A y B siendo la figura un cuadrado

a) (√2 – 1 ) ( A+B )b) (√2+1 ) ( A+B )c) (√2 – 1 ) ( A – B )d) (√2+1 ) ( A – B )e) N.A.63. Si se sabe que el modulo de la resultante de dos vectores oblicuos es 10√7cm y el modulo de la diferencia de dichos vectores es 10√3. Determine entonces el modulo de la resultante si fuesen perpendiculares

a) 5√3cm. b) 10√5cm. c) 10√3cm.

Julio Ernesto 16

6y

4 x8z

a/2 a/2

a/2

a/2

A B

X

Física Volumen I Capítulo IId) 5√5cm. e) 10 cm.

64. Un vector horizontal forma 1430 con otro vector de 15unidades de longitud, determine el modulo de dicho vector de tal manera que la resultante sea mínima.

a) 9u b) 12u c) 15u d) 18u e) 20u 65. En la figura, determinar el modulo del vector resultante.

a) 5b) 10c) 15d) 20e) 25

66. Determinar el módulo del vector resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura.

a) 2a√2b) –2a√2c) 4√2d) √2e) √3

67. Hallar el módulo del vector resultante, sabiendo que la figura es un cubo de arista “L”

a) Lb) 2Lc) 3Ld) 4Le) 5L68. El ángulo entre dos vectores de 5 y 10 unidades de longitud cuando su resultante forma un ángulo de 37º con el vector de mayor módulo es:

a) 37º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º

69. Determinar la medida del ángulo para que la resultante de los vectores mostrados sea igual a 10, sabiendo además que AB=12, BC=16 (M y N son puntos medios)

a) 60ºb) 74ºc) 90ºd) 120ºe) 127º

70. Tres vectores A; B y C tienen componentes “x” y “y” como se muestra en la tabla, halle la dirección del vector resultante

A B Cx 4 –1 5y –2 0 10

a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

71. Hallar el Vector X en función de los vectores A y B, si el triángulo es equilátero

a) (2B – A)/9b) 4(2B – A)/17c) 13(B – 2A)d) 8(B – 2A)/35e) N.A.

72. Una embarcación parte del puerto con dirección sur-este recorriendo 90km mar adentro, luego vira 82° al norte del este recorriendo 150km hasta llegar al otro puerto ¿Qué distancia hay entre ambos puertos?

a) 40km b) 70km c) 90kmd) 120km e) 150km


B

A

X 5l

3l

Física Volumen I Capítulo II73. En el triángulo Hallar el vector X en función de los vectores A y B.

a) X = (8A + 5B)/8b) X = (3A – 5B)/8c) X = (5A + 3B)/8d) X = (8A + 5B)/3e) X = (5A + 8b)/3

74. La máxima resultante de dos vectores es 28u y su mínima es 4u. ¿Cuál es la resultante cuando dichos vectores sean ortogonales?a) 8u b) 12u c) 16u d) 20u e) 24u

Cuadro de F.T. Notables Sen Cos Tan Cot Sec Csc

30° 12

√32

√33 √3

2

√33

2

60° √32

12 √3 √3

32

2

√33

37° 35

45

34

43

54

53

53° 45

35

43

34

53

54

16° 725

2425

724

247

2524

257

74° 2425

725

247

724

257

2524

45°

√2 2

√22

1 1 √2 √2

8° √2 10

7

√2 10

17 7

5

√2 7

5

√2

82°7

√2 10

√2 10

7 17

5

√25

√2 7

0° 0 1 0 E 1 E

90° 1 0 E 0 E 1

180 0 –1 0 E –1 E

270 –1 0 E 0 E –1

Julio Ernesto 18

Cap 02 - Vectores(Casi)

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