1. 3.1 Mdulo de un vector3.2 Argumento de un vector3.3 Vectores en forma polar (o en forma mdulo-argumento)3.4 Mdulo del producto de un escalar por un vector3.5 Argumento del producto de un escalar por un vector3.6 Mdulo de la suma de dos vectores3.7 Argumento de la suma de dos vectores3.8 Obtencin de las componentes conocidos el mdulo y el argumento3.9 Obtencin del mdulo y del argumento conocidas las componentes3.10 Suma de dos vectores dados en forma polar3.1 MDULO DE UN VECTORRecordemos que el mdulo de un vector es la longitud del segmento orientado correspondiente. El mdulode un vector es un nmero siempre positivo y solamente el vector nulo tiene mdulo cero.El mdulo del vector se expresa ||. As, por ejemplo, podemos escribir | |=3,| |=4 y | |=5 para indicar que ,y tienen mdulo 3, 4 y 5 respectivamente.Conociendo las componentes de un vector =(v1,v2), podemos calcular su mdulo| | aplicando el teorema de Pitgoras:| |2 = v12+v22Este procedimiento para calcular el mdulo se puede aplicar tanto si las componentesdeson positivas, caso de la figura, como si son negativas.

2. Este vector tiene mdulo 4, que puedes variar moviendo el punto verde, y direccin y sentido que nopuedes variar. Es decir, no puedes variar el ngulo de 70,25 que forma con el semieje OX positivo (estengulo se llama argumento, y lo estudiaremos en la actividad siguiente).1) Construye vectores con su misma direccin ysentido y con los siguientes mdulos: a) Mdulo 5 b) Mdulo 3 c) Mdulo 0,7 d) Mdulo 6,62) Puedes conseguir que su mdulo sea -2 ocualquier cantidad negativa?3) Puedes conseguir que su mdulo valga cero?4) Dnde estn situados los extremos de todos los vectores que tienen la misma direccin y sentido silos dibujamos con el mismo origen?1 a) Mdulo 51 b) Mdulo 3 3. 1 c) Mdulo 0,71 d) Mdulo 6,62) No es posible. El mdulo de un vector no puede ser negativo.3) S que es posible. Se trata del vector nulo que se obtiene haciendo coincidir el extremo con el origen. 4. 4) Estn situados sobre una semirecta. Es la semirecta que parte del origen comn de los vectores y tiene ladireccin y el sentido de estos ltimos.3.2 ARGUMENTO DE UN VECTORSe define el argumento de un vector , que podemos considerar con origen en el origen de coordenadas,como el ngulo que forma con el semieje de las abscisas positivas OX.En la figura tienes cuatro vectores con argumentos respectivos , , y .Los argumentos se suelen expresar en grados o en radianes; nosotros lo haremos en grados. Observa que:- si el argumento de un vector est entre 0 y 90, el vector est en el 1 r cuadrante- si el argumento de un vector est entre 90 y 180, el vector est en el 2 cuadrante- si el argumento de un vector est entre 180 y 270, el vector est en el 3 r cuadrante- si el argumento de un vector est entre 270 y 360, el vector est en el 4 cuadranteSe consideran positivos los ngulos recorridos a partir de OX en sentido contrario a las agujas del reloj, ynegativos los recorridos en el mismo sentido.Multiplicidad de argumentos. Un mismo vector tiene infinidad de argumentos: si es el argumentocomprendido entre 0 y 360, los dems difieren de l en una o varias vueltas de circunferencia, es decir, en360 o en un mltiplo, positivo o negativo, de 360. As pues, 30, 390, 750, -330, ... pueden serargumentos de un mismo vector. 5. Este vector tiene mdulo 3,5, que no puedes variar, y argumento 121,5, que s que puedes variarmoviendo el punto verde.1) Construye vectores con mdulo 3,5 y con:a) Argumento 90b) Argumento 180c) Argumento 270d) Argumento 360e) Argumento 0f ) Argumento 60g) Argumento 250h) Argumento 315i ) Argumento - 45j ) Argumento -120k) Argumento 400l ) Argumento 10002) Dnde estn situados los extremos de todoslos vectores que tienen per mdulo 3,5 si losdibujamos todos con el mismo origen?1 a) Argumento 901 b) Argumento 1801 c) Argumento 270 6. 1 d) Argumento 3601 e) Argumento 01 f) Argumento 601 g) Argumento 250 7. 1 h) Argumento 3151 i) Argumento -45 = Argumento 3151 j) Argumento -120 = Argumento 2401 k) Argumento 400 = Argumento 40 8. 1 l) Argumento 1000 = Argumento 2802) Todos los extremos de los vectores que tienen per mdulo 3,5 estn situados sobre una circunferencia deradio 3,5 (y con centro en el origen de estos vectores).3.3 VECTORES EN FORMA POLAR (O EN FORMA MDULO-ARGUMENTO)Un vector queda perfectamente determinado si conocemos su mdulo y su argumento. Su mdulo es unnmero positivo y su argumento un ngulo.Indicaremos un vector de mdulo M y argumento con la notacin M; esta es la llamada forma polar deun vector (o forma mdulo-argumento). 9. Por ejemplo, el vector de mdulo 4 y argumento 60 lo indicaremos en forma polar como 4 60. En la figura dela derecha tienes dibujados los vectores M, N , R y T que tienen por mdulos M, N, R y S, y porargumentos, los ngulos , , y respectivamente.Teniendo en cuenta lo que hemos dicho en la actividad anterior respecto de la multiplicidad de argumentosde un mismo vector, puede escribirse460 = 4420 = 4780 = 4-300Puedes variar el argumento de este vector moviendo el punto verde claro, y variar su mdulo moviendo elpunto verde oscuro.Construye los siguientes vectores:1) 3,5 602) 5 1353) 4 1804) 2,65 2405) 3 3006) 2 - 387) 3,25 4508) 4,6 9451) 3,5 60 10. 2) 5 1353) 4 1804) 2,65 2405) 3 300 11. 6) 2 - 387) 3,25 4508) 4,6 9453.4 MDULO DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTORCmo podemos obtener el mdulo de a partir de m y del mdulo de ?. Es decir,cunto vale | |? 12. Recordemos que definimos como un vector que tiene:1) direccin: la misma que2) sentido: el mismo que si m es positivo opuesto al de si m es negativo3) mdulo: el mdulo de multiplicado por el valor absoluto de mPor lo tanto podemos escribir | |= |m| | |, donde |m| quiere decir valor absoluto de my | | quiere decir mdulo de .Es interesante observar, por ejemplo, que el mdulo de -3 no es -3 por el mdulo de,es 3 por el mdulo de .1) Sita el punto C de forma que=2 .Qu relacin hay entre | |y| |?2) Sita el punto C de forma que=4 .Qu relacin hay entre | |y| |?3) Sita el punto C de forma que= -2 .Qu relacin hay entre | |y| |?4) Sita el punto C de forma que= -3 .Qu relacin hay entre | |y| |? 13. 5) Sita el punto C de forma que=-.Qu relacin hay entre | |y| |?1)=2Relacin entre los mdulos de y:| |=2| |2)=4Relacin entre los mdulos de y:| |=4| |3)= -2Relacin entre los mdulos de y:| |=2| |4)= -3Relacin entre los mdulos de y:| |=3| | 14. 5)=-Relacin entre los mdulos de y :| |=| |3.5 ARGUMENTO DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTORCmo podemos obtener el argumento de a partir de m y del argumento de ?Recordemos nuevamente que definimoscomo un vector que tiene:1) direccin: la misma que2) sentido: el mismo que si m es positivo opuesto al de si m es negativo3) mdulo: el mdulo de multiplicado por el valor absoluto de mConservar el mismo sentido, caso de m positivo, equivale a conservar el argumento, y cambiar el sentidopor su opuesto, caso de m negativo, equivale a sumar 180 al argumento.En consecuencia y resumiendo, podemos escribir: 15. 1) Sita el punto C de forma que=2 . Qu relacin hay entre los argumentos de y de?2) Sita el punto C de forma que=3 . Qu relacin hay entre los argumentos de y de?3) Sita el punto C de forma que= -2 . Qu relacin hay entre los argumentos de y de ?4) Finalmente, sita el punto C de forma que = -0,75 . Qu relacin hay entre los argumentos dey de?1)=2Relacin entre los argumentos de y : Arg = Arg2)=3Relacin entre los argumentos de y : Arg = Arg 16. 3)= -2Relacin entre los argumentos de y : Arg= Arg +1804)= -0,75Relacin entre los argumentos de y : Arg= Arg +1803.6 MDULO DE LA SUMA DE DOS VECTORESQu relacin existe entre el mdulo de la suma de dos vectores, |+ |, y los mdulos de los sumandos,| | y | |?La observacin de una suma geomtrica de vectores ya nos lleva a la conclusin de que | + || |+| |Una observacin ms a fondo de la suma geomtrica de dos vectores nos hacer ver que | + || |+| |esta desigualdad, llamada desigualdad triangular, se deduce del hecho de que un lado de un tringulosiempre es menor que la suma de los otros dos lados. Slo si los dos vectores y tienen la mismadireccin y sentido se verifica que | + | = | | + | |. 17. Si conoces las componentes de dos vectores = (u1, u2) y = (v1, v2), puedes obtener el mdulo de lasuma + efectuando la suma en primer lugar+ = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1+ v1 , u2+ v2)y calculando despus el mduloa) Trata de encontrar, moviendo los puntos verdes si te parece conveniente, alguna relacin entre elmdulo de la suma+ y los mdulos de los sumandosy .b) Hay alguna situacin en la que |+|=| |+||(es decir, que el mdulo de la suma sea igual a la suma de los mdulos)? Trata de encontrarla moviendolos puntos verdes.a) Puedes observar que siempre se verifica la desigualdad triangular | + || |+| |Tambin puedes observar que en el valor de | + | interviene el ngulo que forman los vectores y(de hecho, para calcular | + | conociendo | | , | | y el ngulo que forman y , se puede aplicar latrigonometra, y se obtiene | + |2 = | |2 + | |2 + 2| || |Cos ).b) Esta situacin se presenta cuando ytienen la misma direccin y el mismo sentido, por ejemplo 18. 3.7 ARGUMENTO DE LA SUMA DE DOS VECTORESDe la misma forma que hicimos con los mdulos, podemos preguntarnos si existe algunarelacin entre el argumento de la suma de dos vectores, Arg( + ), y los argumentos de lossumandos, Arg y Arg .La siguiente actividad pone de manifiesto que no existe ninguna relacin sencilla entre Arg( + ), Argy Arg .Mueve los puntos verdes y comprueba que no existe ninguna relacin sencilla entreArg( + ), Argy Arg . 19. Por ejemplo, comprueba, dibujndolas, que pueden darse las tres situaciones siguientes1) Arg( + ) < Arg + Arg2) Arg( + ) > Arg + Arg3) Arg( + ) = Arg + Arg1) Situacin en la que Arg( + ) < Arg + Arg : 45 < 68,9 + 28,32) Situacin en la que Arg( + ) > Arg + Arg : 45 > 80 + (-50) 20. 3) Situacin en la que Arg( + ) = Arg+ Arg : 0 = 45 + (-45)3.8 OBTENCIN DE COMPONENTES CONOCIDOS MDULO Y ARGUMENTOConociendo el mdulo M y el argumento de un vector , podemos calcular sus componentes (u1,u2)utilizando trigonometra:- puesto que se define el coseno de como Cos =u1/Mentonces la 1 componente u1 ("horizontal") vale u1 = MCos- puesto que se define el seno de como Sen = u2/Mentonces la 2 componente u2 ("vertical") vale u2 = MSenResumiendo, si tenemos en cuenta que indicamos un vector de mdulo M y argumento con la notacinM , podemos escribir:= M = ( MCos , MSen ) 21. Calcula las componentes de los siguientes vectores.a) 5 45b) 3,4 120c) 6 210d) 4 340e) 4,2 -30f ) 3 90g) 6 180h) 3,57270a) 5 45b) 3,4 120 22. c) 6 210d) 4 340e) 4,2 -30 23. f ) 3 90.El mejor procedimiento para obtener las componentes de un vector si su argumento es de 0, 90, 180, 270 o360, es imaginarse el mentalmente vector, o hacer un pequeo esbozo de l. As, es fcil darse cuenta de quelas componentes del vector 3 90 son (0,3).g) 6 180. Tambin en este caso, si nos representamos mentalmente el vector, llegamos a la conclusin de quesus componentes son (-6,0).h) 3,57270. Finalmente, representndonos tambin mentalmente el vector, las componentes en este caso son(0, -3,57). 24. 3.9 OBTENCIN DE MDULO Y ARGUMENTO CONOCIDAS LAS COMPONENTESConociendo las componentes de un vector =(v1,v2), podemos calcular su mdulo | | :Para calcular su argumento tengamos en cuenta que tan =, y podemos escribir = ArctanLa funcin Arctanx, que en las calculadoras generalmente corresponde al botn tan-1, devuelve un ngulocomprendido entre -90 y 90 que tiene por tangente x. Si el vector est situado en el 2 o 3r cuadrantes seha de efectuar una correccin al valor de Arctan consistente en sumarle 180.Resumiendo, el argumento se calcula:Si =(v1,v2) est en el 4 cuadrante, el clculo de Arctan da negativo; podemos convertirlo en positivosumando 360. 25. Calcula los mdulos y los argumentos de los siguientes vectores y exprsalos en la forma M . Utiliza despus el applet dela derecha para dibujarlos y comprobar los resultados. = (3,4) = (-6,4) = (-8,-6) = (3,-5) = (5,0) = (0,4) = (-7,0)= (0,-6)= (3,4)= (-6,4) 26. = (-8,-6)= (3,-5) 27. = (5,0)En este caso es aconsejable representarse mentalmente el vector= (5,0) y llegar a la conclusin de que:| |=5Arg = 0= 50= (0,4)Tambin en este caso, representndonos mentalmente el vector= (0,4), llegamos a la conclusin de que:| |=4Arg= 90= 490 = (-7,0)Nuevamente, representndonos mentalmente el vector = (-7,0),llegamos a la conclusin de que:| |=7Arg = 180 = 7180 = (0,-6)Finalmente, representndonos mentalmente el vector = (0,-6),llegamos a la conclusin de que: 28. | |=6Arg = 270 = - 90= 6270 = 6-903.10 SUMA DE DOS VECTORES DADOS EN FORMA POLARDados dos vectores en forma polar, =U y = V , cmo realizaremos su suma? Recuerda que, segnhemos visto en actividades anteriores, el mdulo de la suma de dos vectores no es la suma de mdulos, niel argumento la suma de argumentos.Para realizar esta suma no tenemos ms remedio que empezar por calcular sus componentes:= U = (UCos , USen)= U = (VCos , VSen)realizar la suma: + = (UCos + VCos , USen + VSen )y, si queremos dar el resultado en forma polar, calcular finalmente el mdulo y el argumento de la suma:(piensa en sumar 180 a Atan si +est en el 2 o 3r cuadrantes, es decir, si la 1 componente de + esnegativa).Un barco se ha de desplazar por un canal con la ayuda de dos fuerzas yde 3 kN y 4 kNrespectivamente. Se trata de hallar los argumentos de estas dos fuerzas para que el barco se desplace enlnea recta a lo largo del canal. 29. Trata de conseguirlo de las tres formas siguientes:1) Sin variar la fuerza y modificando la direccin de la fuerza . Es decir, moviendo slo el extremo de lafuerza .2) Actualiza esta pgina WEB y repite el ejercicio ahora sin variar la fuerza y modificando la direccin dela fuerza .3) Actualiza de nuevo la pgina WEB y repite el ejercicio variando simultneamente las dos fuerzasy .1) Sin variar la fuerza y modificando la direccin de la fuerza2) Sin variar la fuerza y modificando la direccin de la fuerza3) Variando simultneamente las dos fuerzas y . En este caso, hay muchos resultados posibles y uno deellos es