Fisica - Cap 03 - Vectores

8/7/2019 Fisica - Cap 03 - Vectores

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VECTORES

Captulo 03


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Vectores

Las magnitudes fsicas fundamentales queestudiamos en el captulo de introduccin son

tales que estn determinadas por medio de unnico nmero. Llamaremos a este tipo demagnitudes escalares.

Existe otro tipo de magnitudes fsicas que

estn determinadas por ms de un niconmero. Ellas son las magnitudes quedenominaremos vectores.


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Vectores

Algunos ejemplos de magnitudes escalares son:

Temperatura

Resistencia elctrica

Diferencia de potencial

Presin


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Vectores

Algunos ejemplos de vectores son:

Fuerza: coloquialmente hablamos de cuntafuerza ejercemos y de hacia dnde y dnde laejercemos.

Velocidad: acostumbramos hablar de qu tan

rpido nos movemos y hacia dnde.Desplazamiento: decimos cunto nos hemos

movido y hacia dnde.


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Vectores

De los tres ejemplos anteriores se ve que losvectores tienen algunos elementos en comn:

Estn completamente definidos por ms de unnmero o valor.

Intuitivamente estn asociados a las ideas demagnitud y direccin.

En este captulo, estas nociones lasformularemos matemticamente.


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Vectores

Comenzaremos considerando el concepto de posicin

Podemos indicar un punto porun par de coordenadas (x,y) en

un sistema de coordenadascartesiano, como en la figura:


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Ahora, podemos imaginar que enel punto P(4,2) se encuentra unobjeto.

Decimos entonces, que laposicin de dicho objeto est

descrita por el punto P cuyascoordenadas son x= 4m e y = 2m

Vectores


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Como vemos, se requieren dosnmeros, x= 4 m e y = 2 m, para

determinar e informar laposicin de un objeto.

Notemos que, en el ejemplo, elobjeto est sobre un plano.

En general, se requieren ms dedos nmeros para establecer laposicin de un objeto. Por

ejemplo, en el espacio.

Vectores


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Dos cuadras: idea de la distancia entre dospuntos. Cantidad de cuadras que se deberecorrer para llegar a la posicin deseada.

Hacia el centro: idea de la direccin en la que sedebe caminar para llegar a la posicin deseada.

En algunas situaciones usamos coordenadas,indicamos, por ejemplo, la interseccin de un

par de calles. En otras situaciones decimosdos cuadras hacia el centro.

Vectores


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Matemticamente, de dnde proviene nuestra nocin dela vida diaria en la que se indica la posicin de un objetopor medio de qu tan lejos se encuentra y en qu

direccin? Distancia desde el origen0 hasta el punto P:

ngulo formado por la flecha,con respecto al eje x:

Vectores

x

y

P(x0, y

0)

x0

y0

0

r2 20 0r x + y=

( )1 0 0tan / y x=


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Podemos indicar la posicin de cualquier punto pormedio de los valores de r y del ngulo Decimos que la flecha que comienza en el origen 0 ytermina en el punto P representa grficamente a unvector.

El largo de la flecha sellama mdulo del vector.

El ngulo que el vectorforma con respecto al ejex es su direccin.

Definicin de vector

r

x

y

P(x0, y

0)

x0

y0

0


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Algunos ejemplos de magnitudes fsicasvectoriales que estudiaremos en el transcurso

de esta asignatura:

DesplazamientoVelocidad

AceleracinFuerza

TorqueMomento lineal

Momento angular...

Vectores


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Consideraremos dos vectores como equivalentescuando sus mdulos y direccines sean iguales

Los vectores A y B son equivalentes,tienen igual mdulo y direccin.

Los vectores A y C no son equivalentes,tienen la misma direccin, pero sumdulo es distinto.

Los vectores A y D no son equivalentes,

tienen el mismo mdulo, pero susdirecciones son distintas.

Los vectores A y E no son equivalentes,

difieren tanto en mdulo, como endireccin.

x

y

A

B

C

D

E

Equivalencia de vectores


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Equivalencia de vectores

El transporte de A paralelo aleje xproduce un nuevo vectorequivalente B

El transporte de A paralelo aleje y produce un nuevo vectorequivalente B

Ejemplo:

x

y

A B

0x

y

A

B

0


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Suma de vectores


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La suma de vectores es Conmutativa


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Multiplicacin por un Escalar

Al multiplicar un vector por un nmero (un escalar)obtenemos un nuevo vector, con la misma direccin que

el inicial, pero con una longitud distinta.

x

y

A

0x

y B = A

0


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Multiplicacin por un Escalar

= 1Con la eleccin:hemos invertido el vector

Ejemplo:

x

y

A

0

B =

A

x

y

0


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Substraccin de vectores

S b t i d t


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Substraccin de vectores

V t unitarios


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Hemos visto grficamente algunas operaciones sobrelos vectores. Sin embargo, para nuestros estudiosposteriores necesitaremos una descripcin analtica de

los mismos.

Tienen la direccin positiva del ejeSon perpendiculares (ortogonales)

Tienen mdulo uno (adimensionales)

Definiremos los vectores y ,los cuales tienen las siguientestres propiedades:

i j

Vectores unitarios

x

y

i

0

D i i d t


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Descomposicin de vectores

A = Ax+ Ay

De la suma de vectoressabemos que:

De la multiplicacin por

un escalar sabemos queA x a x i

A a j

Luego:

A a x i a y j

x

y

A

Ax

Ay

i

j

0

Todo vector puede ser descompuesto como una


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Todo vector puede ser descompuesto como unasuma de los vectores unitarios multiplicados por

la componente escalar de cada eje.

Por ejemplo, en la figura:

6 i 4 j

y

i

j

A

ax

ay

x0

A ax

i ay

j

Operaciones con vectores


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Consideremos los vectores:A a x i a y j B b x i b y j

Suma de vectores:

( ) ( ) x y x yC A + B a i + a j + b i + b j = = ( ) ( ) x x y yC a + b i + a + b j =

x y

C c i + c j =



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Resta de vectores: ( ) ( ) x y x yC A B a i + a j b i + b j = = ( ) ( ) x x y yC a b i + a b j =

x y

C c i c j = +

O sea, que para la suma y resta de vectores, se tiene:

x x x y y yc a b c a b= =


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Multiplicacin de un vector por un escalar:

( ) x yC A a i + a j = =

x y

C c i + c j =( ) ( ) x yC a i + a j=

O sea, que para este caso, se tiene:

x x y y

c a c a = =


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Producto Escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores y es unacantidad escalar igual al producto de las magnitudes de losdos vectores y el coseno del ngulo entre los dos vectores.

( )A B A B co s =

B

Proyeccin de sobreA B

A cos B

B cos

B

Proyeccin de sobreB A

Se cumplen las siguiente propiedades:


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Se cumplen las siguiente propiedades:

1i i j j k k

= = =

El producto escalar entrevectores unitarios es:

( ) B + C A B + A C = DistributivaConmutativaB B A =

0i j j k k i = = =i

k x

y

( ) A B A B = Asociativa

Si los vectores estn expresado en componentes:


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x x y y z z A A A A + A A + A A =

2 2 2x y zA A A + A + A =

2

A A A =

x y zA A i + A j + A k =

x y zB B i + B j + B k =

Si los vectores estn expresado en componentes:

Entonces, se define el producto escalar como:

Caso particular: A B= x x y y z z

A B A B + A B + A B =


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Si conocemos la magnitud deun vector, |A|, y su direccin, el

ngulo , entonces podemoscalcular sus componentes de lasiguiente forma:

Inversamente, si conocemossus componentes podemoscalcular su mdulo y sudireccin, de la siguiente

forma:

y

i

j

A

ax

ay

x

|A|

0

ax= |A|cos()

ay = |A|sin(

)

2 2

x ya + a=

( )1tan / y x a a=


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La descomposicin de un vectoren un plano, en vectores unitarios

ortogonales, puede ser extendidaal caso del espaciotridimensional.

Luego, un vector arbitrariose descompone como:

Basta considerar tres vectoresortogonales unitarios, como seaprecia en la figura.

A a x i a y j a z k

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