3-Cap 3. Vectores

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEMatemáticas II

Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular, Ingeniero Capítulo 3: Algebra de Vectores

INDICE

1. ALGEBRA VECTORIAL................................................................................................................2

1.1. Magnitud escalar.................................................................................................................................................2

1.2. Magnitud vectorial – Vectores............................................................................................................................2

1.3. Vector en el plano cartesiano..............................................................................................................................3

1.4. Definición de un vector en función de sus componentes sobre los ejes X e Y...................................................4

1.5. Vector en el espacio. Vector en tres dimensiones...............................................................................................5

1.5.1. Módulo del vector en tres dimensiones...............................................................................................................5

1.5.2. Ángulos de dirección – cosenos directores.........................................................................................................6

2. OPERACIONES CON VECTORES...............................................................................................6

2.1. Comparación entre vectores................................................................................................................................6

2.2. Suma vectorial.....................................................................................................................................................7

2.3. Resta de vectores.................................................................................................................................................7

2.4. Producto de un vector por un escalar..................................................................................................................8

2.5. Multiplicación escalar de vectores (.)..................................................................................................................8

2.5.1. Producto escalar de los versores..........................................................................................................................8

2.6. Multiplicación vectorial de vectores (x)............................................................................................................10

2.6.1. Producto vectorial de los versores.....................................................................................................................11

2.6.2. Cálculo del producto vectorial por medio de determinante...............................................................................11

2.7. Comparación entre Producto Escalar y Producto Vectorial..............................................................................12

2.8. Triple producto escalar o Producto Mixto.........................................................................................................15

Cap. 3 – 1



1. ALGEBRA VECTORIAL.

Un vector es un segmento de recta con un principio y un fin, es decir un segmento de

recta orientado. Tiene un módulo (tamaño) y sentido. Sirve para representar a las

magnitudes vectoriales. Su utilización está sujeta a las reglas del álgebra vectorial.

Existen dos tipos generales de magnitudes las que se definen a continuación.

1.1. Magnitud escalar.

Para la total comprensión o definición de una magnitud de este tipo se debe especificar:

El módulo (el tamaño) y la unidad de medida.

Ejercicio 3.1. Ejemplos de Magnitudes Escalares.

Tiempo: 5 seg; 3 horas. Trabajo: 7 Ergios. Masa: 6 Kg.

Volumen: 50 m3 Carga eléctrica: – 3,1 x 10–19 Coulomb.

1.2. Magnitud vectorial – Vectores.

Para la total comprensión o definición de una magnitud vectorial se debe especificar: El

módulo (tamaño), la unidad de medida, la dirección (la recta sobre la cual está el vector)

y el sentido (hacia que lado de la recta apunta el vector). Las magnitudes vectoriales se

representan por vectores y estos se acostumbran representar por una letra con una

flecha encima, o con la letra en negrito.

Ejercicio 3.2. Ejemplos de Magnitudes Vectoriales.

Distancia: = 3 Km, hacia el norte.

Velocidad: ; v = 100 km/h, de norte a sur.

Aceleración: ; a = 7 mts/seg2.

Fuerza: Peso: .

Cap. 3 – 2

Vector A



1.3. Vector en el plano cartesiano.

Un vector es representado a través de pares ordenados (X; Y) relacionados con el

plano de coordenadas cartesianas (Plano XY), donde el primer elemento siempre se

asocia a la componente sobre el eje X (Ax) y el segundo elemento se asocia con la

componente sobre el eje Y (Ay).

Teorema de Pitágoras: El módulo (Norma) del

vector será: .

Vector unitario: vector cuyo módulo vale 1.

El ángulo que el vector forma con el eje

de abcisa será:

El módulo del vector, dibujado a escala, nos da el tamaño de la magnitud vectorial, y el

ángulo nos da la dirección y el sentido del mismo. Si conocemos el módulo y el ángulo

o fase de un determinado vector, podemos escribir: .

de donde: .

de donde: .

Ejercicio 3.3. Ejemplo de vectores.

3.1. Vector nulo. A cada An se le llama componente del vector . En caso de que

todas las componentes sean nulas tendremos el vector cero.

3.2. Si el vector representa el peso de n personas podemos calcular el

Peso Total: .

y el Peso Promedio .

Cap. 3 – 3

A y

A x

A



1.4. Definición de un vector en función de sus componentes sobre los ejes X e Y.

Para escribir el vector en función de sus componentes, se

definen los versores. Un versor es un vector de

módulo unitario que sirve para dar la dirección.

Por convención siempre se usa sobre el eje X el

versor y sobre el eje Y el versor . Versor ;

. El versor ; .

El vector en dos dimensiones: .

Ejercicio 3.4. Para los siguientes vectores encontrar sus componentes y graficar:

4.1. . ; . .

4.2. Ax = – 1 AY = 1,73.

4.3. Ax = – 5 AY = 0.

4.4. Ax = – 4,1 AY = –2,8.

4.5. Ax = 0 AY = – 10.

Ejercicio 3.5. Cuidado al calcular el ángulo; Vector posicionado en el:

5.1. Primer cuadrante: . .

5.2. Segundo cuadrante: ; = 180º – 37º = 143º; .

5.3. Tercer cuadrante: ; = 180º + 37º = 217º.

; = 360º – 143º = 217º; .

5.4. Cuarto cuadrante: .

Conversión directa, de rectangular a polar, la calculadora da: = – 37º. Haciendo el

cálculo tendremos: .

Valor correcto para el ángulo: = 360º – 37º = 323º.

Equivale a: .

Cap. 3 – 4

X

Y

i

j



1.5. Vector en el espacio. Vector en tres dimensiones.

El vector: forma ángulos con los ejes coordenados: Angulo : con el eje OX.

Angulo : con el eje OY. Angulo : con el eje OZ.

Utilizamos el Sistema Cartesiano de tres ejes: X – Y – Z, los tres ejes cartesianos son

perpendiculares (ortogonales) entre sí. Tenemos una terna ordenada: (X; Y; Z); el

vector indica la posición de un punto en el espacio, y tendrá tres componentes:

. En general un vector es un arreglo lineal que puede tener n

elementos componentes, n – pla ordenada: .

1.5.1. Módulo del vector en tres dimensiones.

Para calcular el módulo del vector: , Las componentes sobre el eje

X y sobre el eje Y dan una resultante: .

La componente sobre el eje Z es perpendicular a la componente que queda sobre el

plano XY (AXY):

El módulo del vector A será:

1.5.2. Ángulos de dirección – cosenos directores.

Elevamos al cuadrado:

Cap. 3 – 5

AXY

AZ

A



Sumamos: .

.

.

.

.

Los ángulos ; y : son ángulos de dirección del vector , y sus respectivos cosenos

son denominados cosenos directores de .

2. OPERACIONES CON VECTORES.

2.1. Comparación entre vectores.

Dos vectores y serán iguales si tienen el mismo número de componentes y si los

elementos correspondientes son iguales. Si tienen el mismo módulo y fase, esto es si

tienen iguales el módulo y el sentido. Si dos vectores tienen igual módulo y sentidos

opuestos se dice que son antiparalelos, son opuestos.

Ejercicio 3.6. Comparación entre vectores:

6.1. Los vectores: y son iguales entre sí.

6.2. Los vectores: y son antiparalelos entre sí.

6.3. Los vectores: y son iguales entre si.

6.4. Los vectores: y = (23; 90; 5; 45) No son iguales entre si.

2.2. Suma vectorial.

Dos vectores definen un paralelogramo:

Cap. 3 – 6



La suma de los dos vectores está dada por la diagonal

mayor del paralelogramo: .

Para resolver una adición de vectores se toman los factores

como pares ordenados y se suman entre sí las

componentes sobre el eje X, el resultado es la

componente sobre el eje X del vector resultante, se hace lo mismo con las componentes

sobre el eje Y, el resultado es la componente sobre el eje Y del vector resultante. Lo

mismo se hace con las componentes sobre el eje Z.

2.3. Resta de vectores.

La resta de los dos vectores: está dada por

la diagonal menor del paralelogramo:

Ejercicio 3.7. Dados los vectores y calcular:

7.1. La Suma ( ).

.

7.2. La diferencia ( ).

.

Ejercicio 3.8. Dados los vectores: y , Calcular:

8.1. . .

8.2. . .

8.3. . .

Cap. 3 – 7

B

AD

A

B

– A

R

R



2.4. Producto de un vector por un escalar.

Equivale a multiplicar dicha magnitud por cada componente del vector.

.

Ejercicio 3.9. Para los vectores: y , Calcular:

9.1. .

9.2. .

9.3. .

2.5. Multiplicación escalar de vectores (.).

El producto escalar (.) de dos vectores da como resultado una magnitud escalar:

.

2.5.1. Producto escalar de los versores.

Producto del versor por si mismo: cos(0º) = 1 .

Producto cruzado de los versores: cos(90º) = 0 .

Ejercicio 3.10. Calcular el ángulo entre los vectores y .

.

; = 2º.

Ejercicio 3.11. Dados dos vectores, no nulos, y , si el producto escalar de ambos es cero

verificar que son ortogonales entre si.

= 0; como y son no nulos cos= 0 = /2

Por lo tanto se verifica que y son perpendiculares entre si.

Ejercicio 3.12. Hallar “a” para que y ; sean perpendiculares.

Si ambos vectores son perpendiculares el producto escalar debe ser nulo:

,Tendremos que: .

Cap. 3 – 8

B

A



Ejercicio 3.13. Encontrar el producto escalar de los vectores:

13.1. y .

.

.

.

13.2. ; .

.

13.3. y .

.

Ejercicio 3.14. Dados los vectores: y . Hallar el valor de n para que los

vectores: y ; sean perpendiculares entre si.

.

.

.

.

.

Ejercicio 3.15. Dados los vectores: y ; hallar el vector tal

que: ; y sea perpendicular a .

(1)

(2) Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Cx = – 1; CY = 3. .

Cap. 3 – 9



2.6. Multiplicación vectorial de vectores (x).

El producto vectorial (x) de dos vectores, y da como resultado otro vector, que es

perpendicular al plano formado por los vectores y . El sentido del vector resultante

dependerá del sentido de la multiplicación ya que el producto vectorial de dos vectores

no es conmutativo.

.

El producto vectorial no es conmutativo:

.

2.6.1. Producto vectorial de los versores.

Los versores son ortogonales (perpendiculares) entre sí

Producto del versor por si mismo: sen(0º) = 0: .

Producto cruzado de los versores: sen(90º) = 1:

Cap. 3 – 10

Q

P

C=PxQ

– C=QxP



Ejercicio 3.16. Multiplicar vectorialmente: y .

.

2.6.2. Cálculo del producto vectorial por medio de determinante.

Para calcular el producto (el producto vectorial no es conmutativo), en la primera

fila se colocan los versores, en la segunda fila las componentes del primer factor, en este

caso y en la tercera fila las componentes del segundo factor, en este caso .

.

Cap. 3 – 11



Ejercicio 3.17. Interpretación geométrica del producto vectorial. Dos vectores y

definen un paralelogramo.

El módulo del producto vectorial da el

área del paralelogramo

definido por ambos:

.

Ejercicio 3.18. Dados los vectores: y ; calcular el área del paralelogramo

definido por ambos (valor del producto vectorial ).

.

.

Área del paralelogramo definido por ambos vectores: .

2.7. Comparación entre Producto Escalar y Producto Vectorial.

Producto Símbolo Resultado de la Operación Característica principal

Escalar Escalar Es conmutativo

VectorialOtro vector

(perpendicular al plano definido por los dos vectores)

No es conmutativo

.

.

.

Cap. 3 – 12

P

Q

P

Q



Ejercicio 3.19. Dados los vectores: y . Calcular el ángulo entre

ambos.

19.1. Usando el producto escalar.

.

; ;

= 100º.

19.2. Usando el producto el vectorial.

.

.

; = 80º; Valor del ángulo: 180º – 80º = 100º.

Ejercicio 3.20. Dados los vectores: y . Calcular el ángulo

entre ambos.

; ;

. Ambos vectores son perpendiculares entre si.

Ejercicio 3.21. ¿Son paralelos los vectores: y ?

; ; ;

cos .

Ambos vectores son anti paralelos.

Cap. 3 – 13



Ejercicio 3.22. Probar que las diagonales de un paralelogramo, se dividen en partes iguales.

La diagonal menor es el vector AC: .

El segmento AM es una porción de “d”: 0 m 1.

La diagonal mayor es el vector OB: .

El segmento OM es una porción de “D” 0 n 1.

El vector: AM = OM – Q.

.

pasamos todo hacia la izquierda:

.

.

Como y deben ser diferentes de cero, pues en caso contrario no habría

paralelogramo, los coeficientes deben ser nulos para que se cumpla la ecuación:

(m – n) = 0 n = m.

(1 – m – n) = 0 2n = 1.

LCDD.

Cap. 3 – 14

O

Q

P

A

C

M

B



2.8. Triple producto escalar o Producto Mixto.

El resultado es un escalar.

Los vectores: ; y forman un paralelepípedo; la

interpretación geométrica del producto

mixto es que su valor representa el

volumen de ese paralelepípedo.

.

.

Ejercicio 3.23. Calcular el volumen del paralelepípedo definido por los vectores:

23.1. .

.

.

.

23.2. .

.

.

.

Cap. 3 – 15

A

B

RC A

B

CB



Ejercicio 3.24. Probar que el producto mixto mantiene el valor si se permutan los vectores en

orden cíclico:

Vamos a calcular :

.

.

Vamos a calcular :

Vamos a calcular: :

= (ByCz – BzCy)Ax + (BzCx – BxCz)Ay + (BxCy – ByCx)Az.

.

Luego de desarrollar y ordenar tenemos:

.

Cap. 3 – 16



Ejercicio 3.25. Probar que para cualquier terna de vectores: , y se cumple la Ley de la

Distributividad del producto vectorial: .

Pasamos todo hacia la izquierda: ;

Basta probar que la diferencia entre los miembros de la ecuación es el vector nulo:

.

Si y ambos no son ortogonales entonces .

el producto escalar: .

Desarrollamos el producto:

Aplicando la conmutación cíclica del triple producto escalar:

Tomamos factor común: .

Por todo lo anterior tenemos que: , por lo tanto:

.

Ejercicio 3.26. Determinar el valor de a para que los vectores: y

sean perpendiculares entre si?.

Si 2a2 – 2a – 4 = 0 a = – 1; a = 2.

Ejercicio 3.27. Para: ; y Calcular:

27.1.

.

27.2. Verificar: .

Ejercicio 3.28. Para: ; y . Calcular:

28.1. .

Cap. 3 – 17



.

28.2. .

.

28.3. .

.

28.4. .

.

28.5. .

.

28.6. .

Absurdo; no se puede sumar un vector con un escalar.

28.7. Verificar que:

.

Cap. 3 – 18



Ejercicio 3.29. Para los vectores: y . Calcular:

29.1.

.

29.2.

.

29.3.

.

29.4.

.

29.5.

.

Ejercicio 3.30. Para los vectores: ; y . Calcular:

30.1.

.

30.2. .

.

30.3. Triple Producto Escalar: .

Ejercicio 3.31. Para: ; ; . Calcular:

31.1. .

.

.

Cap. 3 – 19



31.2. .

.

.

.

.

31.3. .

.

31.4. .

.

Cap. 3 – 20

3-Cap 3. Vectores

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