Dr. Flix Aucallanchi V.

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ANLISIS VECTORIALEl Anlisis Vectorial es una parte esencial de las matemticas que establece las notaciones concisas y claras que se exige en la presentacin de las ecuaciones del modelo matemtico de las situaciones fsicas.

[Anlisis Vectorial, Ph.D. Murray Spiegel, Ed. Mc Graw Hill, Mxico, 1981]El Anlisis Vectorial puede considerarse, sin lugar a dudas, como el ms rico lenguaje y forma del pensamiento de las ciencias fsicas.J. W. GibbsJosiah Willard Gibbs1839 1903, Connecticut, USAFue un qumico, fsico y matemtico

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SISTEMA COORDENADO DE REFERENCIAUn Sistema Coordenado de Referencia es un conjunto de objetos matemticos como rectas, puntos, ngulos y nmeros reales que permiten especificar un lugar en forma precisa y nica.Llamaremos eje a la recta sobre la cual se ha elegido una direccin positiva. Generalmente la direccin positiva en un eje horizontal es la direccin de izquierda a derecha o simplemente hacia la derecha

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El S.C.R es un sistema coordenado de referencia formado por dos rectas numricas perpendiculares llamadas Ejes de coordenadas rectangulares que se trazan perpendicularmente entre s, de modo que sus orgenes coincidan en un punto llamado Origen de coordenadas. A la recta horizontal la llamaremos eje x y a la recta vertical eje y.El plano sobre el cual estn los ejes se llama plano de coordenadas rectangulares o plano cartesiano o plano xy.Llamamos coordenadas rectangulares del punto P al par ordenado (x; y) que identifica cada punto del plano cartesiano, donde x e y se llaman abscisa y ordenada de P respectivamente.SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES (S.C.R)

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Si en lugar de conocer las coordenadas rectangulares de P se conocieran su distancia r al origen O y el ngulo q medido en sentido antihorario que forma respecto de una recta de referencia, habramos establecido un Sistema de Coordenadas Polares, en donde las coordenadas de P son (r; q). Para relacionar las coordenadas rectangulares de P(x; y) con sus coordenadas polares P(r; q), segn la figura, definimos las siguientes Razones Trigonomtricas (R.T)SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

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CLASES DE SISTEMAS COORDENADOS RECTANGULARESSi el movimiento de una partcula se realiza a lo largo de una recta es preferible emplear un sistema unidimensional, si se mueve en el plano ser mejor emplear un sistema bidimensional y si se mueve en el espacio es necesario emplear un sistema tridimensional. Los S.C.R pueden ser (a) unidimensionales, (b) bidimensionales o (c) tridimensionales, segn empleen una, dos o tres rectas numricas perpendiculares entre s.

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ESCALARESSe llama escalar, o cantidad escalar, a la cantidad fsica que se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un nmero y si es el caso de una unidad fsica.

[Fsica, Giancoli, Ed. Prentice Hall, Mxico, 1997] Ejemplo.- Son escalares: la distancia entre la tierra y la luna (), la masa de una manzana (0,1 kg), la temperatura de nuestro cuerpo (310 K), o simplemente 20; -35; ... etc.Nota.- Los escalares se operan del mismo modo que los nmeros reales. Por ejemplo si tenemos que mezclar 23 kg de cemento, 45 kg de arena y 12 kg de agua, se obtiene una mezcla de:23 kg + 45 kg + 12 kg = 56 kg

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Se llama vector, o cantidad vectorial, a la cantidad fsica que se especifica totalmente por su magnitud y una direccin.

[Fsica Clsica y Moderna, Gettys y otros, Ed. McGraw Hill , Madrid, 1993]Ejemplo.- Supongamos que una persona se ha desplazado entre dos puntos: desde A hacia B. Primero se desplaz hacia el este 30 m y luego hacia el norte 40 m. Obsrvese que el desplazamiento fue de 50 m de A hacia B en la direccin indicada por el eje L, cuya inclinacin con el eje AE forma 53. VECTORES

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DESCRIPCIN DE LOS VECTORESTodo vector posee magnitud y direccin. La magnitud de un vector es siempre positiva y se le llama mdulo. As un vector, tambin, queda determinado por su mdulo y direccin.NOTACIN VECTORIALObsrvese que este valor solo depende del tringulo rectngulo formado y es completamente independiente de la direccin L en que se encuentra. En coordenadas polares se tiene:

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SEGMENTO DIRIGIDOLlamaremos segmento dirigido al segmento de recta limitado por los puntos A y B, en el que se ha convenido cul de estos puntos es el origen cul es el extremo.Todo segmento dirigido tiene direccin , magnitud y longitud

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donde k, llamado factor de escala, es un nmero positivo expresado en unidades de la cantidad fsica V por unidad de longitud.Cuando k = 1, el mdulo del vector coincide con la longitud del segmento dirigido.REPRESENTACIN GRFICA DE UN VECTORUn vector se grafica mediante un segmento dirigidoAplicando la frmula de graficacin:

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TIPOS DE VECTORESVectores Codirigidos

Vectores Contrariamente Dirigidos

Vectores Ortogonales

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IGUALDAD DE VECTORESDefinicin.- Dos vectores A y B son iguales si poseen el mismo mdulo y la misma direccin.Ejemplo.- Los siguientes vectores son igualesObsrvese la igualdadde las longitudes y el paralelismo de los segmentos dirigidos que representan a los vectores.

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VECTORES OPUESTOSUn vector B es el opuesto del vector A si teniendo el mismo mdulo posee direccin contraria.

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MULTIPLICACIN DE UN VECTOR POR UN ESCALARObsrvese que |k| es el valor absoluto del escalar k.

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Ejemplo.- Dado el vector A, se pide determinar los otros vectores como la multiplicacin de un vector por un escalar:

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DESCOMPOSICIN DE VECTORESSon cada una de las proyecciones de un vector sobre dos ejes concurrentes, cuyos segmentos dirigidos estn definidos por las intersecciones entre las paralelas trazadas por su origen y extremo, con cada eje.COMPONENTES VECTORIALES DE UN VECTOR EN EL PLANO

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Se llaman componentes escalares de un vector a los mdulos de stos con un signo segn la direccin que poseen respecto de la direccin positiva del eje sobre el cual descansan. COMPONENTES ESCALARES DE UN VECTORComponente Escalar = (signo) (mdulo del vector)Ejemplo.- En la descomposicin vectorial de A y B se muestran los mdulos de sus componentes vectoriales. Se pide las componentes escalares de c/u:A1 = +8 y A2 = +12B1 = -9 y B2 = -15

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Se llaman componentes rectangulares de un vector a los vectores que corresponden a sus proyecciones sobre dos ejes que forman ngulo recto, llamados ejes rectangulares.Todos los casos posibles son:COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

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Ejemplo.- Determinemos las componentes escalares rectangulares del vector F = (250; 127):Luego de graficar reconocemos que elngulo de referencia mide 53. Aplicando las frmulas de las componentes rectangulares y teniendo en cuenta la orientacin de cada componente, se tiene:Fx = -250cos53Fx = -150Fy = +250sen53Fy = +200

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VECTORES UNITARIOSSe llama vector unitario aquel vector cuyo mdulo es 1, sin dimensiones y unidades fsicas.De la definicin de vector unitario:

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VECTORES UNITARIOS CARTESIANOSEl smbolo ^, denota perpendicularidad.Los ejes cartesianos x, y, z se llaman eje de abscisas, ordenadas y cotas, respectivamente. A los vectores unitarios cartesianos tambin se les conoce como versores

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En un proceso de descomposicin rectangular en el plano xy o en el espacio rectangular xyz, pueden ser tiles los vectores unitarios rectangulares para denotar a las componentes rectangulares as:donde Vx, Vy y Vz se llaman componentes escalares rectangulares.Ejemplo.- Determinar las componentes rectangulares del vector mostrado:

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